![Page 1: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/1.jpg)
Tahun Ajaran 2013/2014
Induksi MatematikaMatematika Diskret (TKE132107)
Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Iwan Setiawan <stwn at unsoed.ac.id>
![Page 2: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/2.jpg)
Ingat proposisi?
![Page 3: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/3.jpg)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Sebuah proposisi mempunyai nilai.
![Page 4: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/4.jpg)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Benar atau salah.
![Page 5: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/5.jpg)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Perlu dibuktikan.
![Page 6: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/6.jpg)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Metode pembuktian yang sahih.
![Page 7: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/7.jpg)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Pembuktian proposisi himpunan.
![Page 8: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/8.jpg)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Pembuktian proposisi bilangan bulat.
![Page 9: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/9.jpg)
Buktikan pernyataan “hasil penjum- lahan n buah bilangan bulat positif pertama adalah n(n+1)/2”!
![Page 10: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/10.jpg)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Metode pembuktian untuk proposisi perihal bilangan bulat disebut dengan Induksi
Matematika.
![Page 11: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/11.jpg)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Teknik pembuktian yangbaku di dalam matematika.
![Page 12: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/12.jpg)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Dalam pembuktian, kita ingin mencari mana teknik yang paling efisien/sangkil.
(dan tentu saja efektif/mangkus)
![Page 13: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/13.jpg)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Dengan induksi matematika kita dapat melakukan pengurangan langkah-langkah pembuktian bahwa semua bilangan bulat termasuk ke dalam suatu himpunan kebenaran melalui sejumlah langkah terbatas.
![Page 14: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/14.jpg)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Postulat Peano.(aksioma: proposisi yang diasumsikan benar)
![Page 15: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/15.jpg)
Proposisi PerihalBilangan Bulat
![Page 16: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/16.jpg)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Banyak hal terkait dengan bilangan bulat.
![Page 17: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/17.jpg)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
p(n)
![Page 18: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/18.jpg)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n.
fungsi proposisi
![Page 19: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/19.jpg)
p(n) adalah proposisi yang menya- takan “hasil penjumlahan bilangan bulat positif dari 1 sampai n adalah n(n+1)/2”.
Buktikan bahwa p(n) benar!
![Page 20: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/20.jpg)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Coba subtitusikan nilai n!
![Page 21: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/21.jpg)
Apakah cara tersebut dapat membuktikan bahwa
p(n) benar?
![Page 22: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/22.jpg)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Subtitusi langsung p(n) dengan n yang “dicoba-coba” tidak dapat disebut sebagai
pembuktian bahwa p(n) benar untuk seluruh n.
![Page 23: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/23.jpg)
Temukan rumus hasil penjumlahan dari n buah bilangan ganjil
positif pertama!
![Page 24: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/24.jpg)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Coba subtitusikan nilai n dan simpulkan!
![Page 25: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/25.jpg)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Dugaan.
![Page 26: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/26.jpg)
Apakah cara tersebut dapat membuktikan bahwa rumus
tersebut benar?
![Page 27: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/27.jpg)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Contoh-contoh lainnya dapatdibaca pada buku referensi.
![Page 28: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/28.jpg)
Prinsip InduksiSederhana
![Page 29: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/29.jpg)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
p(n) adalah proposisi perihal bilangan bulat positif, dan kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n.
![Page 30: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/30.jpg)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Prinsip Induksi Sederhana
1. p(1) benar, basis induksi;
2. Jika p(n) benar, p(n+1) juga benar untuk setiap n ≥ 1, langkah induksi;
sehingga p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n.
Hipotesis Induksi
![Page 31: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/31.jpg)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Basis induksi digunakan untuk memperlihatkan bahwa pernyataan tersebut benar jika n
diganti dengan elemen terkecil.(bilangan bulat positif terkecil)
![Page 32: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/32.jpg)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Kita harus memperlihatkan bahwaimplikasi p(n) → p(n+1) benar untuk
setiap bilangan bulat positif.
![Page 33: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/33.jpg)
Bagaimana cara membuktikanimplikasi tersebut?
![Page 34: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/34.jpg)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Tunjukkan bahwa:jika p(n) benar, p(n+1) benar.
![Page 35: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/35.jpg)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Tidak ada asumsi p(n) benaruntuk semua bilangan positif.
![Page 36: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/36.jpg)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Kita hanya memperlihatkan bahwa jika diasumsikan p(n) benar, maka p(n+1)
benar untuk setiap n positif.
![Page 37: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/37.jpg)
Soham Banerjee, CC BY, http://flic.kr/p/tkDMw
![Page 38: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/38.jpg)
Buktikan dengan induksi matematika bahwa 1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)/2, untuk n ≥ 1!
![Page 39: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/39.jpg)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
p(n) menyatakan proposisi tersebut.bahwa jumlah n bilangan bulat positif pertama adalah n(n+1)/2,
untuk n ≥ 1, yaitu 1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)/2
![Page 40: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/40.jpg)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Gunakan 2 langkah pembuktianprinsip induksi sederhana.
![Page 41: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/41.jpg)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
1) basis induksi: p(1) benar, dengan n=1.
![Page 42: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/42.jpg)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
2) langkah induksi:jika p(n) benar, p(n+1) juga benar.(hipotesis induksi)
![Page 43: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/43.jpg)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
1 + 2 + 3 + … + n + (n + 1) = (n + 1)((n + 1) + 1)/2
![Page 44: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/44.jpg)
Prinsip Induksiyang Dirampatkan
![Page 45: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/45.jpg)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Kita ingin membuktikan bahwa p(n) benaruntuk semua bilangan bulat yang
tidak dimulai dari 1 saja.
![Page 46: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/46.jpg)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
≥ n0
![Page 47: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/47.jpg)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
p(n) adalah proposisi perihal bilangan bulat dan kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar
untuk semua bilangan bulat n ≥ n0.
![Page 48: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/48.jpg)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Prinsip Induksi yang Dirampatkan
1. p(n0) benar;
2. Jika p(n) benar, p(n+1) juga benar untuk setiap n ≥ n0;
sehingga p(n) benar untuk semua bilangan bulat n ≥ n0.
![Page 49: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/49.jpg)
Buktikan dengan induksi matematikabahwa 3n < n!, untuk n bilangan bulat
positif yang lebih besar dari 6.
![Page 50: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/50.jpg)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
p(n) menyatakan proposisi tersebut.
![Page 51: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/51.jpg)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
1) basis induksi: p(7); 37 < 7!.
![Page 52: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/52.jpg)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
2) langkah induksi:jika p(n) benar, p(n+1) juga benar.
![Page 53: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/53.jpg)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
3(n+1) < (n+1)!
![Page 54: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/54.jpg)
Prinsip Induksi Kuat
![Page 55: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/55.jpg)
Induksi kuat?
![Page 56: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/56.jpg)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
p(n) adalah proposisi perihal bilangan bulat dan kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar
untuk semua bilangan bulat n ≥ n0.
![Page 57: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/57.jpg)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Prinsip Induksi Kuat
1. p(n0) benar;
2. Jika p(n0), p(n0+1), …, p(n) benar, p(n+1) juga benar untuk setiap n ≥ n0;
sehingga p(n) benar untuk semua bilangan bulat n ≥ n0.
Hipotesis yang lebih banyak
![Page 58: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/58.jpg)
Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan bulat positif n (n ≥ 2) dapat dinyatakan sebagai perkalian dari satu atau lebih bilangan prima!
Bilangan bulat positif disebut prima, jika dan hanya jika, bilangan bulat tersebut habis dibagi dengan 1 dan dirinya sendiri.
![Page 59: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/59.jpg)
Bentuk InduksiSecara Umum
![Page 60: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/60.jpg)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Umum.
![Page 61: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/61.jpg)
Generik?
![Page 62: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/62.jpg)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Dapat diterapkan dalamhimpunan obyek secara umum.
(tidak hanya pada proposisi himpunan bilangan bulat positif)
![Page 63: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/63.jpg)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Syarat: (1) himpunan obyek punya keterurutan,(2) mempunyai elemen terkecil.
![Page 64: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/64.jpg)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Baca Definisi 4.1 pada buku referensi.
![Page 65: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/65.jpg)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
X terurut dengan baik oleh “<” dan p(x) adalah pernyataan perihal elemen x dari X. Kita ingin
membuktikan bahwa p(x) benar untuksemua x ∈ X.
![Page 66: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/66.jpg)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Prinsip Induksi secara Umum
1. p(x0) benar;
2. Jika p(y) benar untuk y < x, p(x) juga benar untuk setiap x > x0 di dalam X;
sehingga p(x) benar untuk semua x ∈ X.
x0 adalah elemen terkecil di dalam X
![Page 67: Induksi Matematika - ee.unsoed.ac.idstwn/kul/tke132107/matdis-2013-5.pdf · Induksi Matematika Matematika Diskret (TKE132107) ... Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap bilangan](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052122/5c98503309d3f253358b9262/html5/thumbnails/67.jpg)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Daftar Bacaan
● Munir, R. 2010. Matematika Diskrit, Revisi Keempat, Penerbit Informatika.