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INF-103: Avaliação de DesempenhoINF-103: Avaliação de Desempenho
Carlos Alberto Kamienski ([email protected])
UFABC
Geração de Números Geração de Números
Aleatórios Aleatórios
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Motivação
Um dos principais passos para a realização de simulações e experimentações é a geração de valores aleatórios para algumas variáveis com alguma distribuição e probabilidade específica, como normal e exponencial
Procedimento composto de 2 passos Gerar um número aleatório entre 0 e 1 (uniforme) Transformar esse número em um valor que satisfaça a
distribuição específica
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Motivação
Algumas geradores de números aleatórios são melhores do que os outros
Como gerar números aleatórios para simulação/experimentação?
O que são números aleatórios adequados para simulação/experimentação?
Como funciona a geração de números aleatórios/experimentação?
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Um gerador simples
O métodos mais comum é usar uma relação recursiva na qual o próximo número na seqüência é uma função do último número gerado (ou dos últimos dois números)
xn = f (xn-1, xn-2, ...)
Por exemplo xn = 5 xn-1 + 1 mod 16
Começando com x0 = 5 x1 = 5(5) + 1 mod 16 = 26 mod 16 = 10
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Um gerador simples
Os primeiros 32 números obtidos através do procedimento acima são 10, 3, 0, 1, 6, 15, 12, 13, 2, 11, 8, 9, 14, 7, 4, 5 10, 3, 0, 1, 6,
15, 12, 13, 2, 11, 8, 9, 14, 7, 4, 5
Dividindo os xi por 16 0,6250; 0,1875; 0,0000; 0,0625; 0,3750, 0,9375; 0,7500;
0,8125; 0,1250; 0,6875; 0,5000; 0,5625; 0,8750; 0,4375; 0,2500; 0,3125; 0,6250; 0,1875; 0,0000; 0,0625; 0,3750, 0,9375; 0,7500; 0,8125; 0,1250; 0,6875; 0,5000; 0,5625; 0,8750; 0,4375; 0,2500; 0,3125
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TerminologiaSemente
x0 = valor usado para iniciar a seqüência = 5
Ciclo Somente os 16 primeiros números são únicos O 17º é igual ao primeiro Dado um número, o próximo será sempre o mesmo O tamanho do ciclo deste gerador é 16
Cauda Alguns geradores não repetem a parte inicial da seqüência
de números, que é chamada de cauda
Período O período do gerador é a soma do tamanho da cauda
e o tamanho do ciclo
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Semente, Cauda, Ciclo, Período
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Números pseudo-aleatórios
A função f é determinística Dada a mesma semente, a função f sempre gerará a
mesma seqüência de números
Os números ainda podem ser considerados aleatórios porque passam em testes de aleatoriedade
Esses números são apenas parcialmente aleatórios
Em simulação, são preferíveis a números totalmente aleatórios porque é possível repetir os experimentos
Se um resultado diferente é necessário, é possível alterar a semente
Controle sobre a reprodutibilidade dos experimentos
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Tipos de Geradores
Geradores congruo-lineares
Geradores de Tausworthe
Geradores de Fibonacci estendidos
Geradores combinados
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Geradores congruo-lineares
Descobertos por D.H. Lehmer em 1951: Os resíduos de potências sucessivas de um número têm boas propriedades aleatórias.
xn = an mod m
Ou de forma equivalente,
xn = a.xn-1 mod m a multiplicador m módulo
Lehmer escolheu os seguintes valores: a = 23 e m = 108 Bom para o ENIAC: máquina com 8 dígitos decimais.
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Geradores congruo-lineares
Generalizacão (atualmente em uso):
xn = (a.xn-1 + b) mod m
Pode ser analisado utilizando a teoria das congruências
Geradores Congruo-Lineares Mistos Geradores Congruo-Lineares (LCG)
misto = possui tanto uma multiplicação por a como uma adicão de b
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Seleção dos Parâmetros do LCG
a, b e m afetam o período e a autocorrelaçãoO módulo m deve ser grande
O período nunca será maior do que m
Para o cálculo ser eficiente, m deve ser potência de 2 Assim, mod m pode ser obtido por truncamento
Se b é não-nulo, período máximo m será obtido se e só se:
Os inteiros m e b forem primos entre si. Todo número primo que for um fator de m deve ser também um fator
de a -1 Se m for múltiplo de 4, a -1 também deve ser múltiplo de 4.
Essas condições são satisfeitas se m = 2k, a = 4c + 1 e b for ímparOnde, c,b e k são inteiros positivos
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Correlação
Indica a força e a direção do relacionamento linear entre duas variáveis aleatórias
Correlação 1: correlação perfeita Correlação -1: anti-correlação perfeita Correlação 0: nenhuma correlação
Exemplos: X={1,2,3,4,5}, Y={30,40,50,60,70}, correção = 1 X={1,2,3,4,5}, Z={70,60,50,40,30}, correção = -1 X={1,2,3,4,5}, W={1,10,1,10,1}, correção = 0 X={1,2,3,4,5}, V={1,20,5,10,15}, correção =
0,3746749
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Auto-Correlação
Medida que informa o quanto o valor de uma realização de uma variável aleatória é capaz de influenciar seus vizinhosDescreve a correlação entre valores da variável em tempos diferentesÉ uma ferramenta matemática usada para encontrar padrões que se repetem Ex.: presença de um sinal periódico
Na geração de números aleatórios, demonstra aleatoriedade dos números
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Auto-Correlação
X={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4, 5,6,7,8,9,10,1,2,...}
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Auto-Correlação
X= “1000 números: distribuição uniforme de 0 a 1”
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Período x Auto-correlação
Um gerador que possua um período máximo é chamado de gerador de período completo
xn = (234 + 1) xn-1 + 1 mod 235
xn = (218 + 1) xn-1 + 1 mod 235
É preferível aquele que exibir baixa auto-correlação entre números sucessivos
Ambos os geradores têm o mesmo período completo, mas o primeiro tem uma correlação de 0,25 entre xn-1 e xn, enquanto que o segundo tem
uma correlação desprezível de menos do que 2-18
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0 500 1000 1500 20000.42
0.44
0.46
0.48
0.5
0.52
0.54
0.56
0.58
Méd
ia E
mpí
rica
Tamanho da amostra
m = 9, a = 4,b= 1
m = 27, a = 26, b = 5
m = 482, a = 13, b = 14
m = 231 – 1, a = 4, b = 1
Seleção dos Parâmetros
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Recomendações para Escolha da Semente
Simulações com múltiplas seqüências: necessitam de mais de uma cadeia de números aleatórios
Fila única = Duas cadeias Intervalo entre chegadas e tempos de serviços aleatórios
Não usar zero Pode ser usada com LCGs. Mas, LCGs multiplicativos ou um LCG de Tausworthe
ficarão presos em zero
Evite valores pares. Para LCGs multiplicativos com módulo m = 2k, a semente deve ser ímpar
* É melhor evitar geradores que possuam muitas restrições sobre os valores das sementes ou cujo desempenho (período e aleatoriedade) dependam do valor da semente
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Recomendações para Escolha da Semente
3. Não subdivida uma cadeia.
Não gere sementes sucessivas: u1 para gerar intervalos entre
chegadas, u2 para gerar o tempo de serviço implica em Forte
correlação
4. Use cadeias que não se superponham. Superposição Correlação.
Ex.: Mesma raiz implica na mesma cadeia
5. Reutilize sementes em replicações sucessivas.
6. Não utilize sementes aleatórias tais como a hora do dia:
Não dá para garantir ausência de superposição
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Mitos Sobre a Geração deNúmeros Aleatórios
Um conjunto complexo de operações leva a resultados aleatórios
É melhor usar operações simples que possam ser avaliadas analiticamente quanto à sua aleatoriedade
Um teste simples, como o teste do qui-quadrado, é suficiente para testar a qualidade de um gerador de números aleatórios. A seqüência 0, 1, 2, ...m-1 passa no teste do qui-quadrado com uma boa nota, mas falharia num teste de execução.
Use tantos testes quantos forem possíveis
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Mitos Sobre a Geração deNúmeros Aleatórios
Números aleatórios são imprevisíveis. É fácil obter os parâmetros a,c e m a partir de alguns números. Isso implica em LCGs serem inadequados para aplicações de criptografia
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Mitos Sobre a Geração deNúmeros Aleatórios
4. Algumas sementes são melhores do que outras.
xn = (9806 xn-1 + 1) mod (217 _ 1) Funciona corretamente para todas as sementes exceto x0 = 37911 Fica preso em xn = 37911 para sempre Geradores deste tipo devem ser evitados. Qualquer semente diferente de zero na faixa válida deveria produzir
seqüências de igual qualidade. Para alguns a semente deve ser ímpar. Geradores cujo período ou aleatoriedade dependam da semente não
devem ser usadas, dado que um usuário desavisado pode não se lembrar de seguir todas as diretrizes.
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Geração de Valores para Variáveis Aleatórias (diferentes de U(0,1))
Seja F(x) a distribuição acumulada da função X
A inversa da função F
Gerar X como
Exemplo: Exponencial
F y x F x y y1( ) inf : ( ) ,0 1. X F U1( )
xF x e
X F U U1
( ) 1
1( ) ln(1 )
X F U1( )
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Geração Números Aleatórios Java
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Geração Números Aleatórios Java
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Geração Números Aleatórios Java
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