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Informatica 3
Codifica binaria
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Il sistema binario
• Il calcolatore opera solo con due cifre: 0 e 1• Tutta l’informazione che un calcolatore
elabora viene espressa con queste due cifre, per mezzo della codifica binaria
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Numerazione: le basi
• Noi siamo abituati a una numerazione basata su 10 cifre: da 0 a 9
• La base della nostra numerazione è il 10:147 = 7 x 100 + 4 x 101 + 1 x 102
• La base del sistema binario è il 2:1011 = 1 x 20 + 1 x 21 + 0 x 22 + 1 x 23 Se si svolge il calcolo si ottiene il numero che, in base 10, corrisponde a 1011 in base 2.
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Base 2 -> Base 10
• 10112, ossia 1011 in base 2, a che numero in base 10 corrisponde?
• Stiamo cercando la x tale che: 10112 = x10
• Basta ricordarsi la definizione di base 2:1011 = 1 x 20 + 1 x 21 + 0 x 22 + 1 x 23 = 11
• Perciò 1011 in base 2 vuol dire 11 in base 10:10112 = 1110
• Il “nostro” 11 è per il calcolatore 1011
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Base 10 -> Base 2
• Il metodo per esprimere in base 2 un numero dato in base 10 è il seguente
• Cerchiamo la x tale che: 2510 = x2
• Si procede con una sequenza di divisioni per 2, fintantoché il quoziente non diventa 0, e scrivendo la sequenza dei resti in ordine inverso
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Come si scrive 25 in base 2?
• 25 : 2 = 12 con resto 1• 12 : 2 = 6 con resto 0• 6 : 2 = 3 con resto 0• 3 : 2 = 1 con resto 1• 1 : 2 = 0 con resto 1• Una volta ottenuto il quoziente pari a 0,
scriviamo i resti in ordine inverso:2510 = 110012
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Verifica del metodo
• 11001 è davvero la codifica in base 2 di 25?• Basta svolgere i calcoli basati sulla definizione
di sistema binario• 110012 = 1 x 20 + 1 x 23 + 1 x 24 = 1 + 8 + 16 =
2510 (gli addendi con lo 0 sono stati omessi perché ovviamente non influiscono sulla somma)
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Numeri binari in memoria
• In un calcolatore, i numeri binari sono tipicamente memorizzati in sequenze di caselle (note anche come parole) di lunghezza fissa dipendente dalla struttura del calcolatore stesso.
• Ad esempio, una parola di 4 bit può contenere il numero 01012
0 01 1
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Combinazioni possibili di numeri
• Una parola di 4 bit può contenere 24 = 16 numeri binari diversi: da 0000 a 1111
• In generale, una parola di n bit può contenere 2n numeri binari diversi
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Interpretazioni possibili dei numeri
• Se non ci preoccupiamo del segno dei numeri, e li consideriamo sempre positivi, la sequenza che va da 00002 a 11112 corrisponde ai numeri da 010 a 1510
• In generale, data una parola da n bit e interpretando i numeri binari come numeri senza segno, solo positivi, i numeri esprimibili con tale parola vanno da 0 a 2n-1
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Numeri con segno
• Se vogliamo introdurre anche i numeri negativi, una possibililità è di usare il primo bit a sinistra per esprimere il segno del numero: 0 sta per +, 1 sta per meno
• Con questa convenzione, chiamata “modulo e segno”, 10102 = -210, e 01112 = 710
• In generale, con una parola di n bit si possono esprimere i numeri compresi tra –(2n-1 – 1) e 2n-1 – 1
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Complemento a due
• La rappresenazione “modulo e segno” ha un inconveniente: ci sono due rappresentazioni per 010: ad esempio, se si hanno parole da 4 bit, sia 00002 sia 10002 corrispondono a 010
• Con la rappresentazione “in complemento a due” si ovvia a questo problema: 010 si rappresenta solo con 00002, +110 come al solito con 00012 mentre per ottenere la rappresentazione binaria di -110, si procede come segue
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Da numero positivo a negativo (1)
• Data la rappresentazione binaria di +110:
00012
• La rappresentazione di si ottiene così:– si invertono tutti i bit– si somma 1
• Quindi, la rappresentazione in complemento a due di -110 è:
11112
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Da numero positivo a negativo (2)
• Analogamente per +210:00102
• La rappresentazione in complemento a 2 di per -210 è:11102
• E così via fino a utilizzare tutte le configurazioni di bit possibili della parola
• Con una parola da n bit, in complemento a due si possono rappresentare i numeri compresi tra tra –2n-1 e 2n-1 – 1 (da notare che c’è un numero in più grazie al fatto che 010 ha un’unica rappresentazione)
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Metodo alternativo
• L’inversione di tutti i bit e la somma di 1 costituiscono un metodo per scoprire, dato un numero positivo +n2, la codifica binaria del suo opposto: –n2 (o anche viceversa: dato -n2, scoprire +n2)
• In alternativa, si può usare la seguente regola:partendo da destra, lascia tutto intatto fino al primo ‘1’ incluso, poi inverti tutto il resto
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Somma di numeri binari
• Sui numeri binari si effettuano le classiche operazioni aritmetiche esattamente come per i numeri in base 10
• In particolare, la somma si esegue bit per bit, con le seguenti regole:0 + 0 = 01 + 0 = 0 + 1 = 11 + 1 = 0 con carry (o riporto) di 1 a sinistra
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Overflow
• Si ha un overflow quando si sommano 2 numeri contenuti in parole da n bit e il risultato non riesce ad essere rappresentato in n bit
• Ad esempio:0111 +0110 =1101
Questa somma non è valida perché sommando due numeri positivi su 4 bit si ottiene un numero negativo, il che è assurdo. Il risultato corretto sarebbe 01101 ma per poterlo rappresentare servono 5 bit invece che 4. Una tecnica per controllare se c’è overflow è di vedere i riporti alla posizione più a sinistra e della posizione a sinistra di essa (vedi le stelle): se i riporti sono diversi c’è overflow. In questo caso c’è riporto alla posizione del quarto bit da destra ma non alla sua sinistra, e infatti c’è overflow.
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Sottrazione
• Con il complemento a due, la sottrazione non è altro che sommare con un numero negativo
• 6 – 4 equivale a calcolare 6 + (-4):610 = 01102
410 = 01002
-410 = 11002
210 = 00102
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Circuiti logici (1)
• Congiunzione, ANDIN1 IN2 OUT= IN1 AND IN2
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
IN1
IN2
OUT
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Circuiti logici (2)
• Disgiunzione, ORIN1 IN2 OUT= IN1 OR IN2
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
IN1
IN2
OUT
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Circuiti logici (3)
• Disgiunzione esclusiva, XORIN1 IN2 OUT= IN1 XOR IN2
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
IN1
IN2
OUT
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Circuiti sommatori (1)
• Half-adder (A+B = Somma con Carry)
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Circuiti sommatori (2)
• Full-adder (A+B+Carry in ingresso = Somma con Carry in uscita)