Ingénieurs SuP Galiléel’école d’ingénieurs de l’Institut Galilée
Université Paris 13
Cours analyse numérique MACS 1. Présentation
Enseignants : L. Halpern (cours), Y. Noumir (TD)
Spécialité : MACS
Qu’est-ce que l’analyse numérique ?
Tous les outils entre un problème physique et une liste de nombres ou un dessin sortant d’un ordinateur
Contient :•Modélisation (mise en équation)•Analyse mathématique de l’équation•Approximation par un problème de taille finie•Résolution sur l’ordinateur•Traitement du résultat
Quelques exemples
Simulation du stockage géologique du C02(R. Masson, Institut Français du pétrole)
• Objectifs– Optimisation de l'injection du C02
– Évaluation et réduction des risques de fuites, certification
• Méthode– Simulation des écoulements
polyphasiques (eau – gaz - huile)
– Interaction eau-roche
– Puits, failles, couvertures
Stockage du CO2 dans les aquifères salins profonds
Récupération améliorée par injection de CO2
Compression des images
Quatre-chevaux (1946) Pierre
BézierPierre Bézier 1910-1999
• “Now level sets are used by movies like "Shrek", "Terminator" and many blockbusters.”
• S.J. Osher, professor in numerical analysis, UCLA.
• Level sets : numericalmethods to solve partial differential equations.
• Level: Master 2 ++
De nombreux problèmes d’ingénierie en une seule figure
Un exemple de modélisation
Démarrage d’une fusée,http://www.capcomespace.net/dossiers/espace_europeen/ariane/ariane4/caract
eristiques.htm
1 2 ... Nt t t< < <
Calculer la hauteur en fonction du tempsPas de solution analytiqueSolution approchée
1. Notions de base sur le calcul avec précision finie.2. Résolution directe des systèmes linéaires.3. Equations non linéaires, racines des polynômes.4. Systèmes non linéaires.5. Méthodes itératives pour la résolution de systèmes linéaires. I
méthodes stationnaires.6. Méthodes itératives pour la résolution de systèmes linéaires II
méthodes de Krylov.7. Interpolation et approximation polynômiale.8. Méthodes de moindres carrés.9. Formules de quadrature.10. Méthodes de résolution d’équations différentielles.11. Problèmes de valeurs propres.
Plan du cours
Outils du cours
21/10/07
Utiliser à distance
Utiliser Scilab, logiciel gratuit
Chapitre I : calcul en précision finie
1. Exemple historique : le calcul de π2. Représentation des nombres en machine3. Calcul avec des nombres machine4. Critères d’arrêt5. Conditionnement et stabilité
L’aire de la surface inscrite dans le polygone est
Polygones d’Archimède. On calcule de façon approchée l’aire du disque de rayon 1. Pour cela on construit un polygone à n côtés . Calculons l’aire du triangle élémentaire dessiné en pointillé :
Polygone d’Archimède, suite
Polygone d’Archimède, suite
On peut aussi utiliser la formule
Ou bien