Institut National AgronomiqueInstitut National AgronomiqueDDéépartement du Gpartement du Géénie Ruralnie RuralSection Hydraulique AgricoleSection Hydraulique Agricole
- Force de pression sur une surface plane
- Force de pression sur une surface courbe
- Application des principes de la dynamique des fluides au calculdes conduites simples :- Equation de Continuité- Nombre de Reynolds- Equation de Bernoulli- Pertes de charge
1.- force de pression sur surface plane :
AghF cw
AhIhhc
cccD
AghF cH
ChC
D
hD
F
2.- force de pression sur surface courbe :
F
FH FV
gWFv
22VH FFF
• Une vanne rectangulaire de dimensions 1,2 m sur 1,8 mest immergée dans l’eau et est inclinée de 30 avec l’horizontale Calculer la force de pression hydrostatiqueexercée sur la vanne ainsi que la profondeur de son centre d’application quand son extrémité supérieure se trouve :1.- à la surface de l’eau2.- à 50 cm en dessous du niveau d’eau
- Exercice I : Vanne plane inclinée
- Cas 1 :
AghF c
21622181 mxLbA ,,,
mL
yh cc 45030281
2,sin
,sinsin
On sait que pour une surface plane , la force s’écrit :Avec :
hc = Profondeur du centre de gravité de la vanne :
A = Surface de la vanne :
Et donc :
KNNxxxAghF c 549295391624508149103 ,,,,,
* Force de pression :
α=30F
b=1,2 mL=1,8 m
hc
CD
y c
y D
hD
* Profondeur du centre d’application de la force de pression :
On sait que :Ay
Iyy
c
cccD
12
3bLIcc
mxLLL
bLL
bLLAy
Iyy
c
cccD 2181
32
32
622
122
3
,,
Avec : A = Moment d’inertie de la vanne rectangulaire par rapport à un axe passant par son centre de gravité :
mxyh DD 603021 ,sin,sin
( Paroi inclinée )
D’où :
Et donc :
- Cas 2 :
* Force de pression :
Dans ce cas :m
hLy c 91
3050
281
2,
sin,,
sin
KNNxxxAghF c 20320138162950814910 3 ,,,,
Et donc :
mxyh cc 9503091 ,sin,sin
h=0,5 m30
F
1,2 m
CD
y c
hc
hD
yD
* Profondeur du centre d’application de la force de pression :
mxy
Ly
bLybL
yAy
Iyy
cc
cc
c
cccD 042
91128191
1212
223
,,
,,
Et donc :
mxyh DD 02130042 ,sin,sin
A
B
mh 51,
my 51,
F1
F2
C
hc1
hc2
b=2m
L=y/sinα
- Exercice II : Cas d’une vanne retenant l’eau des 2 côtés
Calculer la force résultante s’exerçant sur la vanne AB si l’angle α = 45 ° .
La force résultante est égale à la différence entre les 2 forces opposées F1 et F2
21 FFF
- Calcul de F1 :
AghF c11 2
1
24445512
25251251
2
my
bA
mhy
hc
,sin
,sin
,,,
KNNxxxF 9459362524425281910001 ,,,,
AghF c22 2
2
24445512
750251
2
my
bA
my
hc
,sin
,sin
,,
KNNxxxF 3153120824475081910001 ,,,,
- Calcul de F2 :
KNFFF 63319421 Et donc :
22
VF
HFF
y=7m
R=4m
FL=2m
F FH
FV
- Calcul de la composante horizontale :
y=7m
R=4mFH
'AghF cH
2824
9724
2mxRLA
myR
hc
'
C
hc
Ce qui donne : KNNxxxFH 707706608898149103 ,
KNNxxFH 6176171048862814910 3 ,,
y=7m
R=4m
- Calcul de la composante verticale :
FV
gWFV
322
8862244744
4m
xL
RyRRW ,
Et finalement :
KNVFHFF 9382617270722
LyRR )( - Le niveau de l’eau- Les 2 verticales des extrémités de la surface- Le contour de la surface elle même
LR4
2
Ce qui donne :
R
1.- Débit :
4.- Equation de Bernoulli :
2.- Equation de Continuité :
3.- Nombre de Reynolds :
5.- Perte de charge répartie :
6.- Perte de charge singulière :
AVQ
steCVAVAQ 2211
VDRe
12
222
2
211
1 22 whg
Vg
PZg
Vg
PZ
gV
DLhr 2
2
LKQh r 2
2
gVh ss 2
2
• Soit un écoulement d’air de densité 1,2 kg/m3 dans une conduitecirculaire avec un débit massique de 7,2 kg/h .Le diamètre de la conduite est égal à 20 mm.
• a) Quelle est la vitesse d’écoulement de l’air dans la conduite ? L’écoulement est-il laminaire ou turbulent ?( la viscosité dynamique de l’air est de 1,8x10-5 kg/m s).
• b)L’écoulement s’élargit ensuite dans une conduite lisse de diamètre plus grand , oû le nombre de Reynolds devient égal à1000. Calculer alors la nouvelle vitesse d’écoulement dans cetteconduite ?
- NOMBRE DE REYNOLDS ET EQUATION DE CONTINUITE
a) Calcul de la vitesse d’écoulement :
On sait que le débit massique s’écrit : AVQQm
smd
QA
QV mm /,
,,
,
315020
421
360027
42
2
D’où :
Le nombre de Reynolds est donc égal à :
Re = 7080 > 2000 Le régime est donc TURBULENT
70801081
020315215
,,,,
Revd
Equation de Continuité ( Débit massique ) :
) 1 (
comme et
équationdd
AA
vv
vAvA
22
211
1
2
21
222111
) 2 équation ( ,
ReeRe
1
2
2
11122
111
222
08770801000
70801000
vv
dddvdv
dvt
dv
Nous avons aussi :
b) Calcul de la nouvelle vitesse d’écoulement :
En Combinant les équations 1 et 2 :
smv
v
vv
vv
/,,,
,
,
1060087315
087
087
221
2
2
1
2
1
2
• Une conduite transporte de l’eau d’unesection de 0,3 m2 ( point 1 ) à une section de 0,15 m2 ( point 2 ). Au point 1 la vitessed’écoulement est de 1,8 m/s et la pressionde 117 kPa. En supposant les pertes de charge négligeables , determiner la pression au point 2 se situant à 6 m au dessus du point 1.
- EQUATION DE BERNOULLI ( Exercice 1 ) :
6 m1
2
A1 = 0,3 m2
P1 = 117 kPa
V1 = 1,8 m/s
A2 = 0,15m2
smAAV
V
AVAVQ
/,,
,,
:B et Aentre continuité de principe le Appliquons
63150
3081
2
112
2211
kPaP ,3532
kPamN
P
VVzzgPP
gV
zg
Pg
Vz
gP
353533006381100060819100010117
22
2
22213
2
22
212
12112
22
22
21
11
,/
,,,
: A)à rapport(par B et Aentre Bernouilli Appliquons
- EQUATION DE BERNOULLI ( Exercice 2 ) :
• De l’eau s’écoule le long d’un tube horizontal avec un débit de 0,01 m3/s. Calculer la différence de pression entre deux points distants de 20 m l’unde l’autre. La section transversale du tube est de 800 mm2 et le coefficient de frottement est de 0,005.
hg
Vg
PZ
gV
gP
Z 22
222
2
211
1
Entre les 2 sections distantes de 20 m et par rapport à l’axe du tube , l’équationde Bernoulli donne ( Z1=0 ; Z2=0 ; V1=V2 ) :
gV
dL
hhg
Pg
Pr 2
221
20m
Q=0,01m3/s 12
mxA
dd
A 03201431080022
4
62
,,
smxA
QVAVQ /,
, 51210800010
6
mxg
VdL
hgPP
r 258192
5120320200050
2
2221
,
,,
,
- Calcul du diamètre du tube :
- Calcul de la vitesse d’écoulement dans le tube :
Et finalement :
Et donc la différence de pression :
22321 4245245350819102525 mKNmNxxgPP /,/,
1
z2 = 50 m
z1 = ?
A
BVanne (ξv = 3)
2
référence
Coude (ξc = 0,3)
DONNEESDONNEES LongueurLongueur totaletotale de la de la conduiteconduite = 10 km= 10 km DiamDiamèètretre de la de la conduiteconduite = 0,2 m= 0,2 m VitesseVitesse moyennemoyenne dd’é’écoulementcoulement dansdans la la conduiteconduite = 1 m/s= 1 m/s Coefficient de Coefficient de frottementfrottement = 0,005= 0,005
Déterminer la hauteur Z1 du niveau d’eau dans le réservoir A
- EQUATION DE BERNOULLI ( Exercice 3 ) :
2121 ZhZhZZH
sr hhh
mx
xg
VdL
h r 74128192
120
1000000502
22
,,,
,
mx
xg
Vh envcsors 260
819215033021
22
22
,,
,,
mZhZ 6350260741221 ,,
L’équation de Bernoulli pour le problème de 2 réservoirs donne :
Avec :
Et donc :