INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN
D I S E Ñ O D E L M E C A N I S M O D E P R E N S A D O P A R A L A
F A B R I C A C I Ó N D E M O S A I C O
T E S I S
QUE PARA OBTENER EL GRADO ACADÉMICO DE
M A E S T R O E N C I E N C I A S
EN INGENIERÍA MECÁNICA: OPCIÓN DISEÑO
P R E S E N T A :
I n g . V i c t o r M a n u e l S a l i n a s A r r o y o
D i r e c t o r : M . e n C . C á n d i d o P a l a c i o s M o n t ú f a r
México, D.F. Mayo 2000
ÍNDICE
DISEÑO DEL MECANISMO DE PRENSADO PARA LA FABRICACIÓN DE MOSAICO ii
ÍNDICE
DISEÑO DEL MECANISMO DE PRENSADO PARA LA FABRICACIÓN DE MOSAICO iii
DDEEDDIICCAATTOORRIIAASS
A m i s p a d r e s :
S a l v a d o r S a l i n a s G o n z á l e z
y
M a r í a d e l P i l a r A r r o y o R o m e r o
Por e l g ran amor incond ic iona l que me han b r indado en las
horas de a legr ía y sobre todo en las horas de t r i s teza cuando me
he v is to en d i f i cu l tades , s iendo con e l lo una g ran ayuda para la
rea l i zac ión de mis metas . Metas que me he fo r jado para se r un
hombre de b ien según sus enseñanzas y e jemp lo .
A m i s h e r m a n o s :
S a l v a d o r ,
B e a t r i z
y
R o s a m a r í a .
M u y e s p e c i a l m e n t e a R o s a l b a p o r e l A m o r , C a r i ñ o y
C o m p r e n s i ó n q u e m e h a d e m o s t r a d o .
ÍNDICE
AAGGRRAADDEECCIIMMIIEENNTTOOSS A Dios por haber ten ido la opor tunidad de l legar a l
termino de un per iodo más de mi formación.
A l Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT) .
A l Inst i tu to Pol i técnico Nacional ( I P N) .
A la Secc ión de Estudios de Posgrado e Invest igac ión
(SEPI ) de la ESIME- IPN.
A l M. en C. Cándido Pa lac ios Montúfar, por su va l iosa
d i recc ión, consejos y sugerencias durante la rea l izac ión de
este t raba jo .
A l M. en C. Serg io Ale jandro Vi l lanueva Pruneda, por su
apoyo y sugerencias .
A e l Dr. Lu is Hector Hernández Gómez, M. en C. Gabr ie l
Vi l la y Rabasa, M. en C. R icardo López Mar t ínez y M. en C. A la
Kavaskaia , por su va l iosa rev is ión y comentar ios para la
mejora de este t raba jo .
DISEÑO DEL MECANISMO DE PRENSADO PARA LA FABRICACIÓN DE MOSAICO iv
A todos los profesores de la Secc ión de Estudios de
Posgrado e Invest igac ión, por su par t ic ipac ión en mi formación
profes ional .
ÍNDICE
ÍÍNNDDIICCEE
ÍNDICE DE FIGURAS. VIII
ÍNDICE DE TABLAS. XII
GLOSARIO XIV
SIMBOLOGÍA. XIX
RESUMEN. XXIV
ABSTRACT. XXV
OBJETIVO. XXVI
JUSTIFICACIÓN. XXVII
INTRODUCCIÓN. 1
CAPÍTULO 1. ANTECEDENTES DEL MECANISMO PROPUESTO.
1.1 Antecedentes internacionales y nacionales. 8
1.2. Normas que rigen el diseño para mosaico de mármol y granito. 9
1.3. Descripción del proceso para elaborar baldosa de mármol y granito. 10
1.4. Planteamiento del problema. 12
1.5. Traducción de los requerimientos del cliente a términos mensurables de ingeniería. 13
1.6. Ponderación de los requisitos del cliente. 14
1.7. Generación de conceptos. 16
1.8. Sumario. 18
Referencias. 19
CAPÍTULO 2. CINEMÁTICA DEL MECANISMO PROPUESTO.
2.1 Estructura y clasificación de los mecanismos. 21
2.1.1. Ecuación de la movilidad del mecanismo. 22
2.2 Tipos de mecanismos. 24
2.2.1. Mecanismo biela – manivela - corredera. 25
2.3. Cinemática del mecanismo. 26
2.3.1. Análisis de la velocidad; Polígono de velocidades. 27
2.3.2. Análisis de la velocidad; utilizando álgebra compleja. 30
DISEÑO DEL MECANISMO DE PRENSADO PARA LA FABRICACIÓN DE MOSAICO v
ÍNDICE
2.4. Los engranajes. 31
2.4.1. Aplicación de los sistemas de engranajes planetarios. 33
2.5. Datos para el mecanismo propuesto para la fábricación de mosaico de mármol y granito.
33
2.5.1. Cinemática del mecanismo de transmisión. 35
2.6 Levas. 40
2.61. Cinemática del seguidor de rodillo respecto a la leva. 45
2.6.2. Cálculo de las dimensiones principales en los mecanismos de leva con seguidor oscilatorio de rodillo.
50
2.6.2.1. Cálculo del radio mínimo de base por el método gráfico. 56
2.7. Cinemática del mecanismo biela – manivela – corredera. 59
2.8. Sumario 63
Referencias. 64
CAPÍTULO 3. DINÁMICA DEL MECANISMO PROPUESTO.
3.1. Generalidades. 66
3.1.1. Fuerzas de fricción. 69
3.2. Dinámica del mecanismo biela manivela corredera. 70
3.3. Fuerzas de las ruedas dentadas. 79
3.4. Sumario 85
Referencias. 86
CAPÍTULO 4. DIBUJOS Y SELECCIÓN DE MATERIALES
PARA EL PROYECTO. 4.1. Esfuerzos en los dientes de los engranajes. 87
4.1.1. Concentración del esfuerzo. 89
4.1.2. Factor geométrico. 91
4.1.3. Efectos dinámicos. 91
4.1.4. Materiales del engranaje. 92
4.1.4.1. Diseño por resistencias a la fatiga. 94
4.1.4.2. Durabilidad de la superficie. 102
4.2. Esfuerzos en los ejes de transmisión o ejes (flecha). 114DISEÑO DEL MECANISMO DE PRENSADO PARA LA FABRICACIÓN DE MOSAICO vi
ÍNDICE
4.2.1. Diseño para cargas estáticas. 114
4.2.2. Fatiga en las flechas de transmisión. 116
4.2.2.1. Método de Soderberg. 117
4.2.3. Cálculo de diámetros de ejes de transmisión. 119
4.2.4. Selección de rodamientos. 126
4.2.5. Esfuerzo en el brazo soporte guía de transmisión y brazo soporte de transmisión.
134
4.3. Sumario. 181
Referencias. 181
CAPÍTULO 5. EVALUACIÓN APROXIMADA DE COSTOS DEL PROYECTO.
5.1. Elementos para hacer un análisis de fabricación 183
5.2. Sumario 188
Referencias 188
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 189
RESULTADOS Y DISCUCIONES 191
ANEXOS 193
DISEÑO DEL MECANISMO DE PRENSADO PARA LA FABRICACIÓN DE MOSAICO vii
ÍNDICE
ÍNDICE DE FIGURAS.
Figura 1 Máquina de volante para mosaico de mármol y granito. 2
Figura 2 Máquina de cigüeñal para mosaico. 3
Figura 1.1. Generación de conceptos. 17
Figura 2.1. Mecanismo biela – manivela – corredera 25
Figura 2.2. Velocidades absolutas VA del punto A sobre el eslabón giratorio 2. 26
Figura 2.3. Velocidades absolutas VA y VB de los puntos A y B sobre el eslabón giratorio 2
27
Figura 2.4. Trazado del polígono de velocidades para el mecanismo de la figura 2.1. 29
Figura 2.5. Terminología para un engranaje recto. 31
Figura 2.6. Diagrama del engranaje que se utilizará para el diseño de la prensa 34
Figura 2.7. Relación de velocidad entre el engranaje 3 y el engranaje 2’ 37
Figura 2.8. Tipos comunes de levas: (a) leva de placa o disco con seguidor de rodillo en traslación; (b) leva de traslación o cuña con seguidor de rodillo traslacional; (c) Leva cónica con seguidor en traslación; (d) leva de cara con seguidor oscilante; (e) leva cilíndrica con seguidor de rodillo en traslación.
40
Figura 2.9. Leva de disco y seguidor de rodillo radial con la nomenclatura apropiada c-d es la elevación del seguidor en la posición 7
41
Figura 2.10. Perfil de desplazamiento del seguidor correspondiente a la figura 2.9. La Distancia c-d es la elevación del seguidor en la posición 7. El viaje máximo L del seguidor representa el movimiento del punto a sobre el circulo primario al punto b en las estaciones 5 y 6.
41
Figura 2.11. Comparación de las características cinemáticas de cuatro movimientos básicos.
43
Figura 2.12. (a) Movimiento cicloidal, (b) generación de la elevación cicloidal por medio de un fasor complejo rodante.
47
Figura 2.13. Características del movimiento del seguidor ó desplazamiento (a), velocidad del seguidor (b) y aceleración del seguidor (c)
49
Figura 2.14. Diagrama para encontrar el ángulo de presión λ 51
Figura 2.15. Figura de apoyo para calcular el radio mínimo de base 57
Figura 2.16. Posición del eje del brazo del seguidor de rodillo oscilante, así como el contorno de la leva de disco.
58
Figura 2.17. Circuito de cierre para las ecuaciones 2.54. a la 2.59 59
DISEÑO DEL MECANISMO DE PRENSADO PARA LA FABRICACIÓN DE MOSAICO viii
ÍNDICE
Figura 2.18. Diagrama de aceleraciones tangenciales y normales 62
Figura 3.1. Eslabón K en movimiento plano general. 67
Figura 3.2. (a) Eslabonamiento del mecanismo biela manivela corredera, (b)diagrama de cuerpo libre.
71
Figura 3.3. Comportamiento del momento en la leva 78
Figura 3.4. Diagrama para el análisis de las fuerzas en los engranes 80
Figura 4.1. (a) Voladizo con dimensiones, (b) Diente de engranaje, para deducir la ecuación de Lewis
87
Figura 4.2. Croquis para obtener x y t, cuando la carga F se ejerce en el punto más alto del contacto en un solo diente
90
Figura 4.3. Factores de acabado en la superficie para dientes de engranes cortados, cepillados y esmerilados.
96
Figura 4.4. Gráfica de límites de fatiga en función de resistencias a la tensión. Con base en resultados de pruebas reales
99
Figura 4.5. Prensa para mosaico con capacidad de 2 ton. 107
Figura 4.6. Engrane 1 para la transmisión. 108
Figura 4.7. Engrane 2 para la transmisión. 109
Figura 4.8. Engrane 2’ para la transmisión. 110
Figura 4.9. Engrane 3 para la transmisión 111
Figura 4.10. Engrane 4 para la transmisión. 112
Figura 4.11. Engrane 5, soporte para levas 113
Figura 4.12. Diagrama de Soderberg que muestra la línea de esfuerzo seguro AB, paralela a la de Soderberg y tangente a la elipse.
117
Figura 4.13. Distancias donde se aplican las fuerzas en el eje de transmisión de la figura 4.15
119
Figura 4.14. Fuerzas y reacciones en el eje de transmisión 121
Figura 4.15. a) Diagrama de cortantes, b) Diagrama de momentos 121
Figura 4.16. Eje de transmisión de la flecha motor 123
Figura 4.17. Eje de transmisión de la flecha brazo. 124
Figura 4.18. Eje de transmisión de la flecha de salida 125
Figura 4.19. Soporte brida SKF-722511, para flecha de entrada y salida 131
Figura 4.20. Soporte brida SKF-722512, para flecha de entrada y salida 132
Figura 4.21. Tornillo sujetador para bridas 133DISEÑO DEL MECANISMO DE PRENSADO PARA LA FABRICACIÓN DE MOSAICO ix
ÍNDICE
Figura 4.22. a) Fuerzas que actúan en el brazo soporte guía de transmisión, b)Fuerzas que actúan en el brazo soporte de transmisión.
134
Figura 4.23. Brazo soporte para sujetar engrane 1-2 (movimiento interno) 135
Figura 4.24. Brazo de posición de los ejes de transmisión. 136
Figura 4.25. Tuerca hexagonal para sujetar balero SKF-21310, del brazo de posición. 137
Figura 4.26. Brazo soporte para sujetar engrane 2’-3. 138
Figura 4.27. Pieza 1.12.1., soporte del brazo (para guía fija) 139
Figura 4.28. Cuña 140
Figura 4.29. Brazo de posición, pieza 1.12.3. 141
Figura 4.30. Tornillo de cabeza allen (prisionero para brazo fijo) 142
Figura 4.31. Transmisión. 143
Figura 4.32. Separador del eje de transmisión. 144
Figura 4.33. Armazón de la caja de transmisión. 145
Figura 4.34. Frente del armazón de la caja de transmisión. 146
Figura 4.35. Piso del armazón de la caja de transmisión. 147
Figura 4.36. Lateral izquierda del armazón de la caja de transmisión. 148
Figura 4.37. Trasero del armazón de la caja de transmisión 149
Figura 4.38. Techo del armazón de la caja de transmisión. 150
Figura 4.39. Lateral derecha del armazón de la caja de transmisión. 151
Figura 4.40. Marco del armazón de la caja de transmisión 152
Figura 4.41. Pieza 1 del marco de transmisión. 153
Figura 4.42. Marco (pieza 2) del armazón de la caja de transmisión 154
Figura 4.43. Marco (pieza 3) del armazón de la caja de transmisión. 155
Figura 4.44. Tornillo de cabeza allen M8 (prisionero para marco) 156
Figura 4.45. Soporte SKF722506 157
Figura 4.46. Eje de la manivela (mecanismo de fuerza) 158
Figura 4.47. Leva exterior 159
Figura 4.48. Leva interior 160
Figura 4.49. Eje de engrane - leva. 161
Figura 4.50. Conjunto engrane - levas para prensa de mosaico 162
DISEÑO DEL MECANISMO DE PRENSADO PARA LA FABRICACIÓN DE MOSAICO x
ÍNDICE
Figura 4.51. Tornillo M16 para sujetar levas. 163
Figura 4.52. Pernos de centraje. 164
Figura 4.53. Tornillo para sujetar cuña 165
Figura 4.54. Conjunto biela manivela - corredera. 166
Figura 4.55. Subconjunto pistón. 167
Figura 4.56. Armado del cilíndro 168
Figura 4.57. Tubo del armado de cilíndro 169
Figura 4.58. Base del armado del cilindro 170
Figura 4.59. Armado del muñón. 171
Figura 4.60. Orejas del tejo. 172
Figura 4.61. Tejo 173
Figura 4.62. Manivela del mecanismo 174
Figura 4.63. Tuerca de esfuerzo 175
Figura 4.64. Tornillo M20x15.5 paso fino 176
Figura 4.65. Biela 177
Figura 4.66. Cojinete para la biela 178
Figura 4.67. Brazo biela 179
Figura 4.68. Conjunto estructura 180
Figura 5.1. Análisis de fabricación 186
DISEÑO DEL MECANISMO DE PRENSADO PARA LA FABRICACIÓN DE MOSAICO xi
ÍNDICE
ÍNDICE DE TABLAS.
Tabla 1.1. Características físico mecánicas, según norma UNE 127001/90 10
Tabla 1.2. Requerimientos deseables del cliente 14
Tabla 1.3. Ponderación de los requerimientos del cliente 15
Tabla 1.4. Gráfica de despliegue de calidad 15
Tabla 1.5. Matriz de decisión (+ es mayor, - es menor y es igual) 16
Tabla 2.1 Pares inferiores 21
Tabla 2.2. Datos de las velocidades, obtenidos del análisis cinemático del tren de engranajes
39
Tabla 2.3. Datos para las aceleraciones, obtenidos del análisis cinemático del tren de engranajes
39
Tabla 2.4. Datos obtenidos de las fórmulas del movimiento cicloidal 48
Tabla 2.5. Radio mínimo de base de la leva, cuando se tiene un ángulo de presión de 30, 40 y 45 grados.
54
Tabla 2.6. Angulo de presión para una leva con seguidor oscilatorio 55
Tabla 2.7 (a) Aceleración tangencial y normal del eslabón AO3B del mecanismo biela manivela corredera, Tabla 2.7 (b) Velocidad y aceleración del mecanismo biela manivela corredera.
61
Tabla 2.8. Aceleraciones normales y tangenciales de los puntos S2 y S3, así como el ángulo formado entre la aceleración total y la aceleración tangencial.
63
Tabla 3.1. Datos obtenidos de la solución de ecuaciones lineales 76
Tabla 3.2. Momento de inercia y masa de cada engrane 79
Tabla 3.3. Fuerzas que actúan en el tren de engranajes 85
Tabla 4.1. Factores de tamaño para dientes de engranes rectos 97
Tabla 4.2. Factores de confiabilidad sugeridos por Shiley 97
Tabla 4.3. Factores de efectos diversos para flexión en un solo sentido 98
Tabla 4.4. Factor de corrección por sobrecarga KO 100
Tabla 4.5. Factor de distribución de la carga Km para engranes cilíndricos rectos 101
Tabla 4.6. Factores de modificación de vida y confiabilidad 103
Tabla 4.7. Valores del coeficiente elástico Cp para engranes rectos y helicoidales con contacto no localizado y para µ=30
104
DISEÑO DEL MECANISMO DE PRENSADO PARA LA FABRICACIÓN DE MOSAICO xii
ÍNDICE
Tabla 4.8. Factores de seguridad para las tres posibles fallas que existen en un engranaje
106
Tabla 4.9. Tipos de rodamientos - diseño y características 127
Tabla 5.1. Comparación de costo beneficio. 188
DISEÑO DEL MECANISMO DE PRENSADO PARA LA FABRICACIÓN DE MOSAICO xiii
ÍNDICE
GLOSARIO
A
Aceleración Angular. Se define como la rapidez de cambio de su velocidad angular
con respecto al tiempo.
Aceleración instantánea. Se define como la rapidez de cambio de su velocidad
respecto al tiempo.
Addendum. Es la distancia radial entre el borde superior y el círculo de paso, también
es la distancia radial entre el círculo de paso y el círculo de exterior.
Altura total. Es la suma del addendum y el dedendum.
Ángulo de transmisión. Ángulo mínimo necesario para trasmitir o comunicar
movimiento, sin que existan puntos de interferencia que ocasionen que los eslabones
del mecanismo no realicen su función de trasmitir movimiento.
Ángulo de presión. Es una medida de la capacidad de la leva para trasmitir
movimiento al seguidor y este es similar al ángulo de desviación en el análisis de
eslabonamientos y es el complemento del ángulo de transmisión.
C
Cadena Cinemática Se usa para especificar una posición particular de los eslabones
y articulaciones, cuando no se ha especificado con claridad cuál eslabón se usará
como marco de referencia. Una vez que se estipula el eslabón de referencia la cadena
cinemática se convierte en mecanismo.
Centrodas. Es la ubicación del centro instantáneo para todas las fases posibles de un
mecanismo, describiendo curvas o lugares geométricos.
DISEÑO DEL MECANISMO DE PRENSADO PARA LA FABRICACIÓN DE MOSAICO xiv
ÍNDICE
Cinemática. Parte de la mecánica que estudia el movimiento relativo en sus
elementos de espacio y tiempo.
Cinética. Parte de la física que estudia la acción de las fuerzas sobre los cuerpos.
Círculo de holgura. Es un círculo tangente al de addendum del engrane acoplado
Círculo de paso. Es un círculo teórico sobre el que generalmente se basan todos los
cálculos, y este es la tangente de dos engranes embonados entre si.
D
Dedendum. Es la distancia radial que va del borde inferior hasta el círculo de paso.
Diferencial. Si se le permite a un tren de engranes planetarios conservar dos grados
de libertad o más, se le llama diferencial.
Dinámica. Parte de la mecánica que estudia el movimiento en relación con las fuerzas
que lo producen.
E
Embrague. Como el conjunto de engranes planetarios poseen inherentemente dos
grados de libertad, podemos utilizar un tren planetario para transmitir potencia o bien
como rueda libre (es decir, para girar sin transmitir potencia del eje de entrada al eje de
salida).
Engranes. Son elementos de máquinas que transmiten movimiento mediante dientes
que engranan de manera sucesiva. Transmiten el movimiento de un eje giratorio a
otro.
Eslabón. Cuerpo rígido ó material resistente capas de soportar y trasmitir fuerzas ya
sea en tensión o compresión
Eslabonamiento. Consiste en eslabones generalmente considerados rígidos,
conectados por pares cinemáticos.
DISEÑO DEL MECANISMO DE PRENSADO PARA LA FABRICACIÓN DE MOSAICO xv
ÍNDICE
Espesor de diente Es la distancia a lo ancho del diente a lo largo del arco del círculo
de paso
Estructura. Son eslabones fijos sin movimiento alguno.
F
Fuerza. Acción de un cuerpo que actúa sobre otro con características de lugar de
aplicación, dirección y magnitud.
G
Granito. Roca visiblemente cristalina, compuesta por minerales de silicato. La
definición comercial de “granito” se aplica a todas las piedras con definición geológica.
I
Inercia. Inercia es la propiedad de la masa que hace que se resista a cualquier
esfuerzo por cambiar su movimiento.
Inversión geométrica. Mecanismo que puede ser ensamblado en configuraciones
diferentes para una orientación dada del eslabón de entrada r2
Isótropo. Se le considera a un material isótropo por tener las mismas propiedades en
todas las direcciones
J
Jalón. Es la rapidez de cambio de la aceleración y esta se determina por la tercera
derivada del desplazamiento, algunos autores lo llaman sobre-aceleración
Juego entre dientes. Es la cantidad en la anchura del espacio de diente excede al
espesor del diente acoplado sobre el círculo de paso.
M
DISEÑO DEL MECANISMO DE PRENSADO PARA LA FABRICACIÓN DE MOSAICO xvi
ÍNDICE
Mármol. Por lo general es una roca de carbonato, visiblemente cristalina, sin embargo,
también incluyen rocas microcristalinas tales como ónix, travertino y serpentino, que
suelen quedar incluidas en esta clasificación comercial siempre y cuando se puedan
pulir.
Máquina. Es un conjunto de mecanismos que trasmiten movimiento, fuerzas y
trasforman un tipo de energía en otra. Es decir que trasmiten fuerzas desde la fuente
de energía hasta la resistencia que se debe vencer.
Masa. Cantidad de materia de un cuerpo según la miden su volumen y densidad
Mecanismo. Es una combinación de cuerpos resistentes conectados por medio de
articulaciones móviles para formar una cadena cinemática cerrada o abierta con un
eslabón fijo, cuyo propósito es trasformar el movimiento o realizar una trayectoria
determinada. Es decir es una formación de eslabones que tienen un movimiento
relativo unos con respecto a otro bien definido y su función es la de trasformar el
movimiento o seguir una trayectoria determinada.
Módulo. Es la razón del diámetro de paso al número de dientes. La unidad de longitud
acostumbrada es el milímetro.
Movimiento. Es el cambio de posición de un cuerpo con respecto de un sistema de
referencia.
Movimiento Absoluto. Su punto de referencia es fijo.
Movimiento Relativo. Se considera cuando se toma un punto de referencia en
movimiento
Movimiento Rígido Limitado. Es un movimiento limitado por los cuerpos a moverse a
una determinada trayectoria
Movimiento Semi-Rígido. Se trata de un movimiento limitado en un arco haciendo el
movimiento de un balancín.
P DISEÑO DEL MECANISMO DE PRENSADO PARA LA FABRICACIÓN DE MOSAICO xvii
ÍNDICE
Pares. Se llaman pares a las formas geométricas mediante las cuales se unen dos
elementos de un mecanismo de manera que el movimiento relativo entre ambos sea
consistente.
Paso circular. Es la distancia a lo largo del arco del círculo entre perfiles
correspondientes de dientes vecinos.
Paso diametral. Es el número de dientes en el engrane por pulgada de diámetro de
paso
Peso. Peso es la fuerza de gravedad que actúa sobre una masa.
Piñón. Es el más pequeño de los dos engranes acoplados
T
Transmisión. Esta permite que un tren de engranes de un solo eje de entrada a un
solo eje de salida, trasmita potencia en un solo grado de libertad
V
Velocidad Angular. Se define como la cantidad vectorial ω cuya dirección es la misma
que el eje instantáneo de rotación
Velocidad instantánea. En este trabajo se le designará también como velocidad y se
define por el límite de una distancia entre un intervalo de tiempo infinitesimalmente.
DISEÑO DEL MECANISMO DE PRENSADO PARA LA FABRICACIÓN DE MOSAICO xviii
ÍNDICE
SIMBOLOGÍA
A
a. Aceleración total.
an . Aceleración normal.
at . Aceleración tangencial.
B
b. Anchura real del diente
C
cg. Centro de gravedad
CL Factor de duración o vida
CH Factor de relación de dureza.
CT Factor de temperatura
CR Factor de confiabilidad.
Cp Coeficiente elástico.
CV Factor de velocidad.
D
d. Diámetro primitivo del engrane
F
F. Fuerza total
f(θ). Función del desplazamiento angular.
fk. Fuerza de fricción dinámica.
fs. Fuerza de fricción estática.
DISEÑO DEL MECANISMO DE PRENSADO PARA LA FABRICACIÓN DE MOSAICO xix
ÍNDICE
H
h. Altura del diente
Hc. Número de dureza Brinell.
I
I. Momento de inercia.
J
j. Número de pares cinemáticos (grados de libertad.)
J Factor de forma
K
ka Factor de superficie
kb Factor de tamaño
kc Factor de confiabilidad
kd Factor de temperatura
ke Factor de modificación por concentración del esfuerzo
kf Factor de efectos diversos
Kf Factor de concentración de esfuerzo en la fatiga
Km Factor de distribución de carga
Kv. Factor dinámico.
L
L. Elevación total de la leva.
l. Magnitud del brazo del seguidor oscilatorio.
M
m. Masa del eslabón.
md. Módulo. DISEÑO DEL MECANISMO DE PRENSADO PARA LA FABRICACIÓN DE MOSAICO xx
ÍNDICE
mM Relación de carga.
mo. Movilidad del mecanismo.
N
n. Eslabones móviles.
N. Fuerza normal.
nG Factor de seguridad de los engranes
no Factor de seguridad ordinario
P
p. Eslabón restante de un mecanismo de 4 barras.
pa Paso del engrane
Q
q. Eslabón restante de un mecanismo de 4 barras.
R
r Magnitud del eslabón
r•
Velocidad lineal
r••
Aceleración lineal
Rb. Radio base de la leva.
rf Radio del filete del engrane.
rr Radio del rodillo del seguidor.
R0 Radio mínimo de la superficie de paso de la leva.
S
s. Eslabón más corto de un mecanismo de 4 barras.
Sc Esfuerzo recomendado por Buckingham.
Se Límite de resistencia a la fatiga del elemento mecánico DISEÑO DEL MECANISMO DE PRENSADO PARA LA FABRICACIÓN DE MOSAICO xxi
ÍNDICE
SH Límite de fatiga superficial corregido, o resistencia herziana.
T
t. Tiempo.
T. Torque ó momento.
V
V. Velocidad tangencial.
Y
Y Factor de forma de Lewis
y. Desplazamiento lineal del seguidor.
y’ Velocidad lineal del seguidor considerando la velocidad angular.
y’’ Aceleración lineal del seguidor considerando la aceleración angular
Z
Z. Número de dientes del engrane.
α
α ó . Aceleración angular. θ&&
β
β. Angulo de rotación de la leva durante la elevación.
δ
δ. Angulo complementario.
θ
θ. Posición angular.
θ•
Velocidad angular
DISEÑO DEL MECANISMO DE PRENSADO PARA LA FABRICACIÓN DE MOSAICO xxii
ÍNDICE
θ••
Aceleración angular
λ
λ. Angulo de presión formado por el rodillo del seguidor y la leva.
µ
µS Coeficiente de fricción estática.
µf Coeficiente de fricción cinética.
γ
γ. Angulo complementario.
π
π. 3.1416.
ρ
ρ. Superficie de paso.
σ
σ. Esfuerzo normal.
φ
φ. Angulo de presión del engranaje.
φL. Angulo de carga.
ψ
ψ. Angulo de posición del brazo del seguidor.
ω
ω. Velocidad angular.
DISEÑO DEL MECANISMO DE PRENSADO PARA LA FABRICACIÓN DE MOSAICO xxiii
ÍNDICE
R E S U M E N .
En este t rabajo se d iseña un mecanismo con caracter ís t icas
especi f icas de movimiento c inemát ico y d inámico. Para e l lo fue
necesar io combinar los movimientos de un mecanismo de es labones
ar t icu lados, una leva con movimiento c ic lo ida l y un reductor
p lanetar io de ruedas dentadas. Se ca lcu la la c inemát ica y d inámica
del mecanismo e legido con topología RRRP de p is tón, b ie la y
manivela. Este mecanismo va acoplado a una leva con seguidor de
rodi l lo osc i la tor io , que genera la ley de movimiento del p is tón, donde
se apl ica la fuerza de res is tencia út i l . E l per f i l de la leva a su vez
forma par te de una rueda dentada movida por e l motor e léct r ico a
t ravés del reductor de ve loc idad.
DISEÑO DEL MECANISMO DE PRENSADO PARA LA FABRICACIÓN DE MOSAICO xxiv
ÍNDICE
A B S T R A C T .
This work a mechanism is designed wi th speci f ic k inemat ics
character is t ics and dynamic movement . For th is propose, the
movements of ar t icu late l inks a, a cam with cyc lo ida l movement and
a p lanetary reducer of jagged wheels were combined. The k inemat ics
and dynamic of the resul tant mechanism is evaluated in a
concordance wi th RRRP topology of p is ton, rod and crank
mechanism. I t is impor tant to keep in wind that th is mechanism is
connect wi th a cam, which has an osci l la tory a fo l lower wi th ro l ler ,
th is generates the p is ton movement law, where th is force is apply .
The cam prof i le is par t o f the jagged wheel that is moved by the
e lect r ic motor through a speed reducer .
DISEÑO DEL MECANISMO DE PRENSADO PARA LA FABRICACIÓN DE MOSAICO xxv
ÍNDICE
O B J E T I V O .
GENERAL:
• D iseñar un mecanismo de prensado para la fábr icac ión de
mosaico.
ESPECÍFICOS:
• Establecer una metodología de d iseño de mecanismos,
para la fábr icac ión de mosaico
• Resolver las ecuaciones c inemát icas y d inámicas que
gobiernan e l movimiento de la máquina.
• Hacer los cá lcu los para vencer una fuerza de res is tencia
út i l de dos toneladas.
• Hacer d ibu jos de conjunto y de deta l le de los e lementos y
e leg i r los mater ia les, que conforman e l mecanismo de
prensado
DISEÑO DEL MECANISMO DE PRENSADO PARA LA FABRICACIÓN DE MOSAICO xxvi
ÍNDICE
J U S T I F I C A C I Ó N .
El empleo de recubr imientos de p isos es una pract ica con una
t radic ión que puede contarse por mi len ios; ex is ten magní f icos
e jemplos de recubr imientos que han res is t ido por e l paso del t iempo
en un estado de conservación y de cá l ido aspecto. E l mármol es un
c laro e jemplo, así en 1911 se funda la pr imer empresa de mosaico y
ter razo, en Tuscan I ta l ia . Fué hasta en los años cuarenta que en
México toma importancia la industr ia de la fabr icac ión de mosaico y
grani to , s in contar con e l equipo adecuado, en 1958 en la c iudad de
puebla se dan las pr imeras empresas func ionando como pequeños
ta l leres ar tesanales. Desde entonces muy pocos ta l leres se han
conformado como verdaderas fábr icas, debido a la fa l ta de
desarro l lo de tecnología, ya que la gran par te de la maquinar ia ha
s ido de importac ión, por lo tanto e l mantenimiento es costoso, por lo
que muchos de estos ta l leres han optado por segui r los métodos
t radic ionales de fabr icac ión del mosaico. Método que no just i f ica e l
costo del producto, por lo que muchos han l legado a l c ier re parc ia l o
tota l de sus ta l leres, y con e l lo e l desempleo.
Por estas c i rcunstanc ias con este t rabajo del proyecto del
DISEÑO DEL MECANISMO DE PRENSADO PARA LA FABRICACIÖN
DE MOSAICO se pretende tener un equipo nacional que aumente la
producción con estándares que e l mercado nacional e in ternacional
demanda. DISEÑO DEL MECANISMO DE PRENSADO PARA LA FABRICACIÓN DE MOSAICO xxvii
CAPÍTULO 1
8
C a p í t u l o 1 .
ANTECEDENTES DEL MECANISMO PROPUESTO.
En éste trabajo se suponen las condiciones del objeto a diseñar. Tales condiciones
o especificaciones son los parámetros de entrada y salida, las características y
dimensiones del espacio que deberá ocupar el objeto, y todas las limitaciones a estas
cantidades. Es decir se puede considerar al objeto, como algo colocado en una caja negra,
invisible desde fuera.
Después de haber definido el problema y obtenido un conjunto de especificaciones,
se hará la síntesis de solución.
1.1. ANTECEDENTES INTERNACIONALES Y NACIONALES.
La primer industria fundada, sobre pedacería de mármol, surge en 1911 cuando el
Señor Oreste Menicucci S. originario de Tuscan Italia, abre la primer industria de mosaico
en la calle 30 de marzo en Italia. El pionero, en el uso del terrazo para la construcción, fue
en república Dominicana. La compañía del Sr. Menicucci empezó trabajando con máquinas
de volante, que posteriormente se cambiaron por prensas semi-automáticas.
En México en la ciudad de Puebla, la planta Mármoles y Terrazos abrió sus
operaciones en 1958 y es considerada, hoy en día, la planta más grande de la ciudad de
Puebla y una de las más importantes en el ámbito nacional. Esta compañía hoy en día
cuenta con 5 laminadoras, dos cortadoras de puente y un tren automático de pulido,
después que inicio prácticamente sin maquinaria, ya que moldeaban los trabajos.
El mármol y el granito son dos de los materiales más nobles por su fácil limpieza y
permanencia, ya que el mármol tiene una buena apariencia después de los años. Por lo
que este material puede ser trabajado en medidas y diseños especiales, desde una
CAPÍTULO 1
9
cubierta de baño hasta una chimenea, pasando por columnas, mesas y diversos
accesorios. Este material en pisos de negocios, en casas residenciales, tiene mejores
características de duración que los pisos en base de cerámica.
No existe una compañía, que se dedique exclusivamente, al desarrollo de tecnología
para máquinas de mosaico de granito y mármol, ya que gran parte del proceso es
artesanal, sin embargo, se han hecho intentos en la automatización sin resultados
satisfactorios, debido a que la materia prima, como es el terrazo de mármol, no tiene
uniformidad y por ello se hace difícil el diseño de alguna máquina, para el llenado del
molde. Las empresas AMERICAN HIGH PRESS y DEHISON han realizado prensas para
mosaico; sin embargo, no hay una especificación de cómo debe ser la prensa para
mosaico, por esto, comúnmente se diseñan las prensas como elementos independientes.
Este material tiene una buena aceptación en el mercado, por ejemplo el taller del Sr.
Armado García tiene ventas de 500 a 800 m² semanales, este taller actualmente tiene una
superficie de 500 m², contando con 8 máquinas de cigüeñal, Sin embargo es necesario
hacer un ahorro de espacio ya que el mosaico necesita mas espacio que las máquinas.
1.2. NORMAS QUE RIGEN EL DISEÑO PARA MOSAICO DE MÁRMOL Y GRANITO.
Los fabricantes nacionales que han trabajado en este ramo no cuentan con una
norma que garantice que el producto sea de calidad, ya que estos fabricantes se han
hecho de gente sin preparación, confiando solo en su experiencia.
El control utilizado, es importante para la selección de la materia prima empleada es
por ello que para garantizar la calidad del producto es importante tener controles
intermedios de fabricación, tanto interno como los realizados por laboratorios externos
independientes y así poder garantizar que el producto cumpla con las características
mínimas que rige la norma UNE No. 127.0011, que se transcribe en la tabla 1.1. donde se
1 Fuente: página de internet http://ww.sea.es/paviurba/empresa.htm.
CAPÍTULO 1
10
mencionan los aspectos que deben considerarse para que se tengan las características
optimas.
Tabla 1.1. Características físico mecánicas, según norma UNE 127001/90 Coeficiente de absorción. 4.2%.
Flexotracción. 9, 1-7, 4
Nmm2 .
Espesor. 33 mm. Peso por m2. 78 kg. Compresión.
395 kg
cm2 .
Succión. 0.015 gr./cm.2/min. Capa de la huella. 17 mm.
Permeable. No. M2 por palet. 20 m2.
Fuente : Página Internet http//www.sea.es/paviurba/empresa.htm
Por norma se deben fabricar el mosaico en dimensiones de 400 x 400 mm. y 333 x
333 mm. Sin embargo, es muy común encontrar mosaicos de 300 x 300 mm.
1.3. DESCRIPCIÓN DEL PROCESO PARA ELABORAR BALDOSA DE MÁRMOL Y GRANITO.
El proceso de fabricación de mosaico (baldosa) de mármol y granito, es hasta cierto
punto artesanal, comúnmente, el mosaico es utilizado para el recubrimiento de pisos, que
resisten al paso del tiempo con un excelente estado de conservación y con aspecto cálido.
El proceso de producción del mosaico de pedacería de mármol y granito es el siguiente:
Se inicia con la recepción de las materias primas tal como:
• Cemento Portland normal, tipo 1, según especificación C150 de la
ASTM2.
• Cemento Portland blanco, según especificación C150 de la ASTM .
2 “Book of ASTM Standards” ASTM
CAPÍTULO 1
11
• La arena, que se utiliza, debe constar de granos limpios, duros, sin
recubrimientos y exentos de materia orgánica, marga vegetal, álcalis u
otras sustancias perjudiciales.
• Granito con número de criba del No. 16, 8, 4, 3/8”, 3/4” según norma
ASTM C1093.
• Mármol, pedacería de mármol de diferentes tamaños.
La resistencia del mosaico depende, en gran parte, de las proporciones entre arena
y el cemento Portland normal, tipo 1; comúnmente, es una parte de arena por una parte de
cemento, para producir una resistencia adecuada. Se realiza la mezcla minuciosamente del
cemento Portland normal, tipo 1 con la arena y agua para obtener una mezcla
homogénea. Esta mezcla de arena con cemento no debe tener exceso de agua,
recomiendan, que debe ser húmeda la mezcla, para obtener mejores resultados.
También, se mezcla una parte de cemento Portland blanco, con 1/2 parte de granito
de número de criba 16, comúnmente, conocido en el mercado como polvo de mármol, con
una parte de grano, según el tipo de criba, que escoja el cliente, y agua, para obtener una
mezcla homogénea, la cantidad de agua dependerá de la fluidez con que la pasta ó
mezclado puedan cubrir todo el piso del molde.
Después de tener las mezclas, se procede a engrasar el molde con aceite de linaza,
se pone en el piso del molde la pedacería de mármol, se agrega la pasta de granito con
cemento Portland blanco, hasta obtener un grosor de 17 mm. según norma UNE 127001/90, posteriormente, se agrega la mezcla de cemento Portland normal, tipo 1 hasta
tener un grosor total de 43 mm. se tapa el molde y se aplica la presión, hasta tener un
espesor de 33 mm. para obtener así las características deseables según norma UNE 127001/90 (ver tabla 1.1.).
Después de aplicada la presión, se quita la pieza (mosaico), se deja fraguar, hasta
endurecer por un periodo de 8 h., y, por último se deja remojar por un periodo de una hora,
se seca, así ésta lista para salir al mercado. En ocasiones, se les da un pre-pulido al
mosaico siendo más atractivas para el cliente.
3 “Book of ASTM Standards” ASTM
CAPÍTULO 1
12
Con lo anterior, la parte medular en proceso de fabricación de mosaico, se resume
en el prensado del mosaico.
1.4. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA.
El taller Mármoles de San Lorenzo no tiene una infraestructura de tecnológica, por
tanto es necesario que se adquieran máquinas que aumenten la producción por lo menos
un 50 % más, Así mismo que tenga el cumplimiento de normas técnicas que garanticen la
calidad del producto. Ya que actualmente en este taller se utilizan prensas de volante
donde la calidad del producto no cumple en su totalidad con las especificaciones, así
también la eficiencia de la producción no es constante debido al esfuerzo que se aplica en
el prensado que no es controlado y depende en gran medida de la habilidad del operario,
ocasionando por tanto una gran rotación de personal que no conviene al taller ya que
constantemente debe capacitar.
El cumplimiento de la norma UNE es muy importante, sin embargo es necesario que
se cumplan parte en el vaciado antes de aplicar la presión. Si se cumplen estas, el trabajo
expuesto pretende el diseño de un mecanismo que tenga las siguientes características:
1. Tenga una presión de cierre de 2 Ton. Presión mínima necesaria para que el
producto después de ser prensado tenga una densidad de 2.3 kg/m³
2. Aumente la producción más del 50 %, ya que el operador no se fatigará más de
lo necesario.
3. Sea de dimensiones pequeñas, más adelante se explicará de cuanto debe tener,
para poder tener más versatilidad en el espacio reducido que se cuenta.
4. Todas las refacciones se encuentren fácilmente en el mercado.
5. Que cualquier persona, no especializada, pueda hacer un fácil mantenimiento.
6. Tenga un promedio de vida el mecanismo de 5 años.
7. Sea de un costo accesible.
Con los siete puntos anteriores se optimizará un mecanismo, de tal manera que la
energía potencial almacenada sea capaz de compactar la materia prima, según los
CAPÍTULO 1
13
requerimientos que el producto demanda, cumpliendo así las características físico
mecánicas, Así mismo con este mecanismo se pretende mejorar el proceso, aumentando
la producción de 12 m² a 24 m².
Para lograr lo anterior se utiliza el método del QDF (Quality Funtion Deplayment) ya
que permite hacer el análisis profundo de cada una de las fases del proyecto que se
describen en este trabajo.
1.5. TRADUCCIÓN DE LOS REQUERIMIENTOS DEL CLIENTE A TÉRMINOS MENSURABLES DE INGENIERÍA.
El cliente espera, que la prensa proporcione la compactación necesaria de las
mezclas de cemento Portland normal, tipo 1, con la arena y el cemento Portland blanco con
grano, y tenga la consistencia, para el cumplimiento de la norma UNE-127001/90. Para
obtener la compactación necesaria, es preciso aplicar una fuerza de 19600 N. (2
toneladas).
La máquina a diseñar, deberá tener un largo no mayor de 1500 mm., ancho no
mayor a 1000 mm. y una altura no mayor de 2500 mm. contando la base de la máquina,
además, debe ser de fácil operación, robusta, una buena apariencia y segura para el
operador.
La máquina no deberá tener ningún sistema hidráulico o sistema neumático, ya que
según las experiencias de algunos fabricantes de mosaico, el mantenimiento es muy
costoso, por esto, se prefiere un sistema mecánico sencillo el cual pueda ser capás de
darle mantenimiento, sin necesidad de personal calificado.
Para obtener una compactación necesaria, según tabla 1.1, la aplicación de la
fuerza, tendrá el inicio a una distancia de 15 mm. del ras del molde, así mismo, para tener
movilidad de sacar y meter el molde , la carreta total del pistón será de 30 mm. El
desplazamiento del pistón, debe ser lo mas lento posible, para dar tiempo al operador de
CAPÍTULO 1
14
hacer el moldeado del mosaico(se sugiere una velocidad máxima de 4.0 mm/seg.), no
importando si es variable la velocidad.
La máquina a diseñar debe ser capaz de aumentar un 100% la producción en un
proceso continuo. Para poder competir en el mercado nacional.
1.6. PONDERACIÓN DE LOS REQUERIMIENTOS DEL CLIENTE.
Los requerimientos del cliente obligatorios que se enumeran a continuación, no son
caso de comparación, ya que son requisitos indispensables para cumplir las
especificaciones técnicas que se recomiendan en la tabla 1.1.
1. Presión de 19600 N. (2 toneladas)
2. Dimensiones con largo no mayor a 1500 mm., ancho no mayor a 1000 mm. y
altura no mayor a 2500 mm.
3. No tener instalaciones especiales.
Los requerimientos que entran en la fase de ponderación, son aquellos que son
deseables por el cliente, ver tabla 1.2.
Tabla 1.2. Requerimientos deseables del cliente. Número de
Requerimiento. Requerimientos.
A. Debe tener buena apariencia. B. Fácil mantenimiento. C. Robusta. D. Desplazamiento del pistón lento.
La ponderación consiste en determinar el grado de importancia, relativa de los
requerimientos del cliente. Un método, de ponderación de los requerimientos del cliente
consiste en la confrontación por pares, es decir, de la tabla 1.2 se compara el
requerimiento A con los requerimientos B, C, D y E, y al de mayor importancia se le asigna
el valor de uno y al que tiene menor importancia se le asigna el valor de cero. De donde se
obtiene la tabla 1.3.
CAPÍTULO 1
15
Tabla 1.3. Ponderación de los requerimientos del cliente. Requerimiento. A. B. C. D. Total. Peso especifico.
A. --- 0. 0. 0. 0. 0 %. B. 1. --- 1. 1. 3. 50%. C. 1. 0. --- 0. 1. 16.7%. D. 1. 0. 1. 0. 2. 33.3%. Total. 6. 100%.
La tabla 1.3. para el cliente, es más importante el fácil mantenimiento, así como el
desplazamiento lento del pistón y tiene cierta importancia el ajuste de posición de la carrera
del pistón.
Tabla 1.4. Gráfica de despliegue de calidad. Requerimientos del Ponderación Traducción de los requerimientos del
cliente a términos de ingeniería.. Estudio comparativo.
Cliente. %. A. B. C. D. A. B. C. D.
Buena apariencia. 0. * * Fácil
mantenimiento. 50. * *
Ajuste de posición de la carrera del
pistón.
16.7. * *
Desplazamiento del pistón lento.
33.3. * *
Unidades. ------ ------- mm. mm. /seg.
$ $ $ $
Valor. ------ ------- 20 19. Pesos.
Pesos. Pesos.
Pesos.
Referencia A.
No cumple.
Cumple. Cumple. No cumple.
5000.
Referencia B.
Cumple. Cumple. No cumple.
No cumple.
14000.
Referencia C.
Cumple. No cumple.
Cumple. No cumple.
17000.
Referencia D.
Cumple. No cumple.
Cumple. No cumple.
18000.
Con la ponderación se puede establecer lo deseable e importante del cliente, ésta
ponderación permite medir desde el punto de vista de ingeniería algunos requisitos, de
CAPÍTULO 1
16
donde, consultando a diferentes proveedores, se tiene en el mercado algunas opciones
que se observan en la tabla 1.4. del despliegue de calidad, según el método QFD..
La comparación es realizada para una, (A), Máquina por accionamiento de tornillo,
(B), Máquina mecánica biela manivela, (C), Máquina hidráulica y por último (D), Máquina
neumática. En esta comparación, es un hecho, que la máquina neumática e hidráulica,
requiere gente especializada, y por tanto este equipo no sea lo más adecuado, según los
requerimientos obligatorios y necesarios del cliente.
1.7. GENERACIÓN DE CONCEPTOS.
Para que el mosaico, tenga la consistencia adecuada, por tanto se concluye que la
parte medular del proceso, es el prensado de la materia prima, por consiguiente la meta del
diseño, es obtener una prensa, que satisfaga todos requerimientos obligatorios y deseables
del cliente, por esto es necesario tener una lluvia de ideas, las cuales sean capaces de
solucionar el problema; y así obtener la opción más adecuada, evaluando cada uno de los
conceptos.
Tabla 1.5. Matriz de decisión (+ es mayor, - es menor y es igual). CONCEPTOS.
Requerimientos deseables. Peso especifico.
A. B. C. D. E.
Buena apariencia. 0. - - - - R E
Fácil mantenimiento. 50. + + F E
Ajuste de posición de la carrera del pistón. 16.7. R E
Desplazamiento del pistón lento. 33.3. - - - - N C
+∑ . 1 0 0 1 I A.
−∑ . 2 1 -2 2
( ) ( )+ − −∑ ∑.
-1 -1 -2 -1
Total. 17%
33%
33%
17%
CAPÍTULO 1
17
De esta lluvia de ideas, se genera un árbol de funciones (figura 1.1.), del cual se
selecciona la opción “E” considerada como la más adecuada, esta se evalúa en una matriz
de decisión (tabla 1.5.).
Engrane.
Operario.
Tornillo.
Molde.
Peso Muerto.
Tornillo en agujero roscado.
Motor Eléctrico.
Cigüeñal.
Leva seguidor.
Figura 1.1. Generación de conceptos.
E
Molde
m
M
Molde
Piso
mm
Concepto “A”
Concepto “B”
M E
Molde
Piso
M
Volante de inercia
Molde
Piso
Concepto “C”
Transmisión por Bandas
Molde
Piso
Concepto “D”
Molde
Piso
E
M
Concepto “E”
CAPÍTULO 1
18
Según la evaluación, se tiene los argumentos para obtener una decisión con un
porcentaje menor de error. Según tabla 1.5. y figura 1.1. se tiene que el concepto “E”, es la
referencia correcta, la cual satisface los requerimientos del cliente, así como todo requisito
obligatorio, para poder obtener la prensa de mosaico. Por tanto el mecanismo a diseñar, es
un mecanismo de adaptación ya que nos valemos de algunas medidas que se tienen en el
mercado, así como de experiencias del usuario, por tal motivo en él capítulo dos se
manejan estos datos para adaptarse a nuestra máquina de mosaico de granito y terrazo.
1.8. SUMARIO.
En este CAPÍTULO se tiene la parte importante en la toma decisión en base al
método de aplicación del QFD (Quality Funtion Deplayment), porque sin un método se
corre el riesgo de no presentarse la solución adecuada, ocasionando esfuerzos y gastos
innecesarios que repercuten indirectamente en el costo del producto. Por tanto es
importante obtener un resultado lo más apegado a los requerimientos del cliente haciendo
el mejor juicio posible, sin tomar a la ligera una solución.
En el CAPÍTULO 2 y CAPÍTULO 3, se analiza el proyecto en su forma analítica, es
decir; se hace el análisis de su comportamiento dinámico y cinemático del mecanismo
propuesto.
En el CAPÍTULO 4 se tiene plasmado el resultado de los capítulos anteriores, cabe
mencionar que estos dibujos no son definitivos para hacer en serie la máquina, ya que
depende de gran parte del prototipo para tener los dibujos definitivos.
En el CAPÍTULO 5 se tienen los costos aproximados ya que esta máquina no ha
sido posible su financiamiento, por tanto solo son especulaciones a donde se pretende
llegar.
CAPÍTULO 1
19
REFERENCIAS.
• Yoji Akao, “Despliegue de Funciones de Calidad QFD (S.I)” 2ª. Edición, TGP-
Hoshinn, 1993.
• Sergio A. Villanueva Pruneda. “Metodología para la extracción de tecnología”,
Tesis de grado, México D.F. 1996
• Jorge Ramos Watanave, “Apuntes de la metodología para realizar y/o dirigir la
adaptación, mejora o innovación de productos ó sistemas mecánicos”, México
D.F., 1996
• Jorge A Salbato y Michael Mackenzin, La producción de Tecnología, 2ª. Edición,
Nueva Imagen, México D.F. 1988.
• Norma ASTM “Book of ASTM Standards” Tomo 4.1,1997.
• Internet http://www.sea.es/paviurba/empresa.
CAPÍTULO 2
19
CAPÍTULO 2
20
C a p í t u l o 2 .
CINEMÁTICA DEL MECANISMO PROPUESTO.
La mecánica del sólido rígido, es una rama de la física, que tiene tres ramificaciones
principales: La cinemática, la estática y la cinética. La combinación de la cinemática y la
cinética se denomina dinámica, parte esencial en el del diseño de los mecanismos.
Un mecanismo, es un dispositivo mecánico, que tiene el propósito de transferir el
movimiento y/o fuerza de una fuente a una salida. En otras palabras, un mecanismo
permite el movimiento relativo entre sus eslabones. El estudió de los mecanismos, es muy
importante por los notables avances realizados en el diseño de instrumentos para controles
automáticos y equipos automatizados. Por esto se puede definir a un mecanismo como el
corazón de una máquina que aprovechará los movimientos relativos para transmitir
potencia, información, o trasformar el movimiento en una trayectoria predeterminada, para
facilitar el trabajo del hombre. Los mecanismos más simples conocidos desde la
antigüedad son:
1. Mecanismo de tornillo.
2. Mecanismo de palanca.
3. Mecanismo de cuña.
4. La rueda.
5. El polipasto.
La combinación adecuada, de estos nos permite diseñar y construir máquinas. Por
consiguiente, el mecanismo que se propone en éste tema de tesis, permite tener la
posibilidad de realizar el diseño, análisis y la síntesis de los mecanismos que comúnmente
son empleados en la fabricación de máquinas complejas.
CAPÍTULO 2
21
2.1. Estructura y clasificación de los mecanismos.
Una de las primeras preocupaciones en el diseño o en el análisis de los
mecanismos, es el número de grados de libertad, conocido también, como movilidad del
mecanismo, esta depende de los pares cinemáticos, Robert Willis en 1841 y Franz
Reuleaux en 18761 distingue dos grupos: uno llamado pares cinemáticos Inferiores, que
son aquellos donde sus elementos del par hacen contacto en una superficie y el otro el
llamado pares cinemáticos superiores, son aquellos donde el contacto entre los eslabones
se realiza en una línea o un punto, por ejemplo, el contacto entre el seguidor y la leva.
En la tabla 2.1. aparecen los nombres de los pares inferiores y los símbolos usados
por Hartenberg y Denavit2 para cada uno de ellos, junto con él número de grados de
libertad y las variables del par correspondientes. Ésta simbología generalmente se acepta
en el ámbito mundial.
Tabla 2.1. Pares inferiores. Par. Símbolo. Variable del
par. Grados de libertad.
Movimiento relativo.
Revoluta. R. ∆θ. 1. Circular.
Prismático. P. ∆s. 1. Lineal.
Tornillo. H. ∆θ o ∆S. 1. Helicoidal.
Cilíndrico. C. ∆θ y ∆s. 2. Cilíndrico.
Esfera. S ó G. ∆θ, ∆φ, ∆ψ. 3. Esférico.
Plano. F. ∆x, ∆y, ∆θ. 3. Plano.
En él estudió de los diversos tipos de articulaciones, ya sean pares superiores o
pares inferiores, existe otra suposición restrictiva de gran importancia. Se supone que en la
articulación no existen espacios libres entre los elementos de la misma y cualquier
desviación en la geometría de los elementos es despreciable.
1 Reuleaux,F., Kinematics of Machinery: Outline of a Teory of Machines. New York: Dover.1963. 2 Hantenberg,R.S., and J.Denavit, Kinematics Synthesis of Linkages. New York, McGraw-Hill Book Company,1964.
CAPÍTULO 2
22
La movilidad de los mecanismos hace que estos se clasifiquen, para poder entender
la relación entre la geometría y la trayectoria generada al aplicar una fuerza. Por lo que se
han clasificado en tres grupos:
Mecanismos Planos: Son aquellos cuyos eslabones se mueven en un plano ó en
planos paralelos, por lo que, comúnmente, a estos mecanismos se les conoce como
coplanares. Estos contienen pares inferiores como revolutas y pares prismáticos. Hay
también mecanismos planos que contienen pares cinemáticos superiores como las levas,
mecanismos de ruedas dentadas y ejes paralelos.
Mecanismos Esféricos. Estos mecanismos son aquellos cuyos eslabones se
mueven en una esfera que tiene puntos estacionarios, que son de ubicación común, estos
sólo se componen exclusivamente de pares de revoluta. Sin embargo existen sus
excepciones como el mecanismo con topología RSSC que puede ser también esférico.
Mecanismos Espaciales. Son aquellos que no tienen restricciones en sus
movimientos relativos y pueden tener partículas con lugares geométricos de doble
curvatura. Los ejes de los pares cinemáticos se orientan arbitrariamente en el espacio.
2.1.1. Ecuación de movilidad de un mecanismo.
La ecuación de movilidad de un mecanismo sirve para conocer si la unión de pares
cinemáticos y eslabones es un mecanismo o bien una estructura, la ecuación (2.1.) permite
conocer la movilidad (mo) de un mecanismo plano de n eslabones, ésta ecuación se le
conoce como el criterio de Kutzbach:
mo = 3( n – 1 ) - 2j1 - j2 (2.1.).
Donde (j1) denota él número de pares de un sólo grado de libertad y (j2) el número
de pares con dos grados de libertad.
Si el criterio de la ecuación de Kutzbach nos presenta un resultado mo>0, el
mecanismo poseé m grados de libertad. Si mo=1, el mecanismo se puede impulsar con un
CAPÍTULO 2
23
sólo motor de entrada. Si mo=2, entonces se necesitan dos motores de entrada separados
para producir el movimiento restringido del mecanismo. Si mo=0 el movimiento es
imposible y el mecanismo forma una estructura aunque hay sus excepciones. Si mo =_1 o
menos, entonces hay restricciones redundantes en la cadena y forman una estructura
estáticamente indeterminada.
Cuando existen mecanismos, donde el criterio de la ecuación de Kutzbach no tenga
una aplicación práctica, es común recurrir al criterio de la ecuación de Grübler3 (ecuación
2.2.), donde éste sólo se aplica en articulaciones de un sólo grado de libertad es decir si
mo =1 y j2=0 y sustituimos en la ecuación (2.1.) 1 = 3 n – 3 - 2j1 de donde se tiene:
3n – 2j1 –4 = 0 (2.2.).
Esto permite ver, por ejemplo, que un mecanismo plano con movilidad 1 y que sólo
tiene articulaciones de un grado de libertad, no puede tener un número impar de
eslabones. Si se desarrollan criterios similares para mecanismos espaciales, el criterio de
Kutzbach poseé la forma que se representa en la ecuación (2.3.).
mo = 6(n-1) – 5j1 – 4j2 – 3j3 –2j4 – j5 (2.3.).
De la ecuación (2.3.) se supone que mo = 1 y j2 = 0, obtenemos el criterio de Grübler
(ecuación (2.4.)).
6n – 5j1-7 = 0 (2.4.).
Evidentemente, una de las consideraciones de mayor importancia cuando se diseña
un mecanismo que se impulsará con un motor, es asegurarse que la manivela de entrada
pueda realizar una revolución completa. Cuando se trata de un eslabonamiento de cuatro
barras, existe una prueba muy sencilla para saber si se presenta éste caso.
La ley de Grashof (ecuación (2.5.) afirma que, para un eslabonamiento plano de
cuatro barras, la suma de las longitudes más corta y más larga de los eslabones no puede
3 Esta ecuación es una de las ecuaciones más pupulares usada en la practica, para otras versiones ver: and E.R. Maki, “The Creation of Mechanisms According to Kinematic Structure and Funtion,” General Motor Research Publications, GMR-3073, September 1979; International Journal for the Science of Architecture and Design,(1980)
CAPÍTULO 2
24
ser mayor que la suma de las longitudes de los dos eslabones restantes, si se desea que
exista una rotación relativa continua entre dos elementos, se tiene:
p +q ≥ s + l (2.5.).
s = Eslabón más corto.
l = Eslabón más largo.
p y q = Eslabones restantes.
Si no se satisface ésta desigualdad, ningún eslabón efectuará una revolución
completa, en relación con otro.
2.2. Tipos de mecanismos.
Los mecanismos son, casi siempre impulsados por una fuente de potencia para
producir una amplia variedad de movimientos, que van de una simple tarea rotacional,
como el movimiento reciprocante u oscilante, hasta movimientos tridimensionales
sumamente complejos. Sin perder el objetivo, que sea confiable e insensible a cambios en
la manufactura y desgaste, por lo que implica:
• Seleccionar el tipo de mecanismo (Análisis del mecanismo).
• Determinar las dimensiones apropiadas que se ajusten al espacio disponible(síntesis del mecanismo).
Los mecanismos pueden clasificase de acuerdo a su función en las siguientes
categorías:4
• Generador de función: Se le llama generador de función por ser un
eslabonamiento en el que el movimiento relativo sólo coordinan la posición,
velocidad y aceleración para que el ángulo de salida cambie de una manera
prescrita con respecto al ángulo de entrada para cumplir una función φ4=f (φ2).
4 R.S. Hartenbert y J. Denavit, Kinematic Synthesis of Linkages, McGraw-Hill, New York, 1964
CAPÍTULO 2
25
• Generador de trayectoria; en éste sólo interesa la trayectoria en función de
datos de entrada del eslabón conductor (ángulos o desplazamientos).
• Generador de movimiento; es de interés el movimiento total del eslabón
acoplador: las coordenadas “x”, “y” del punto trazador de trayectoria y la
orientación angular del eslabón acoplador, es decir coordina la conducción de
cuerpo rígido.
2.2.1. Mecanismo biela – manivela – corredera.
Éste mecanismo tiene su mayor aplicación en el motor de combustión interna
(figura. 2.1. (a)), en el caso de que el pistón fuera el elemento motor el nombre de los
eslabones cambia. Se puede ver que hay dos puntos muertos durante el ciclo en las
posiciones extremas correspondientes. Con el propósito de vencerlos es necesario fijar un
volante al cigüeñal de manera que se puedan pasar los puntos muertos.
4
B
A
O2
2 3
1
1.- Bancada. 2.- Manivela. 3.- Biela. 4.- Corredera o pistón.
(b)
B 1
O2
4 3
A
1.- Bancada. 2.- Manivela. 3.- Biela. 4.- Corredera o pistón.
(a).
B O2
A
4
r3 r2
r4
ω2
1
2
1.- Bancada. 2.- Manivela. 3.- Biela. 4.- Corredera o pistón.
(c)
Figura 2.1. Mecanismo biela- manivela – corredera.
CAPÍTULO 2
26
Es posible, fijar algún otro eslabón distinto al 1 de la figura 2.1., y de ésta manera
obtener 3 inversiones. Al mantener fija la manivela se permite el movimiento al resto, lo que
da un mecanismo que se usó en los primeros motores de aviación, conocido como motores
rotatorios debido a que el cigüeñal estaba fijo y los cilindros rodaban alrededor del
cigüeñal. Una aplicación más moderna de ésta inversión es el mecanismo de Whitworth.
Por otra parte, cuando la biela se mantiene fija y se permite el movimiento al resto, el
mecanismo se emplea en máquinas de vapor y es la base para el mecanismo accionador
de un cepillo mecánico(figura 2.1. (b)).
La tercera inversión en que se mantiene fijo el pistón a veces se usa en las bombas
manuales de agua. (Figura 2.1. (c)).
2.3. Cinemática del mecanismo.
Cuando se traslada un cuerpo rígido, el movimiento de cualquier partícula es igual al movimiento de todas las demás del mismo cuerpo (movimiento de traslación). Sin embargo, cuando éste cuerpo gira éste sufre un desplazamiento angular respecto al tiempo
(movimiento de rotación), el cual se define como una cantidad vectorial ω2, cuya dirección
es la misma que la del eje instantáneo de rotación, observando que la magnitud rA y el ángulo de desplazamiento angular son constantes, tenemos que el vector diferencial de
velocidad VA es igual a ω2 x rA (figura 2.2.). Para calcular ésta diferencial de velocidad, existen muy variados métodos, en éste trabajo se mencionan algunos que son empleados.
AV
A 2ω
θ A
A0
iy
e Aiθ
rA
x
Figura 2.2. Velocidades absolutas VA del punto A sobre el eslabón giratorio 2.
CAPÍTULO 2
27
2.3.1. Análisis de la velocidad; Polígonos de velocidades.
Éste método se emplea en problemas bi-dimensionales, cuando se tiene sólo una
posición que requiere solución, su principal ventaja es su rapidez y ayuda a la comprensión
del problema. Aunque la exactitud depende del cuidado en la construcción y la escala del
dibujo, usualmente puede obtenerse una precisión aceptable.
El radio vector rA de un punto arbitrario A sobre el eslabón 2 (ver figura 2.3.), se
localiza instantáneamente en la posición angular θA con respecto al eje x de un sistema de
referencia absoluto fijo al eslabón 1. Por tanto la velocidad es el cambio de posición
angular del eslabón 2 con respecto al eje fijo “1”, llamándose velocidad angular (ω2) del
eslabón 2 (ecuación (2.6.)):
ωθ
2A
d d t
≡ (2.6.).
Realizando el análisis se puede obtener la velocidad absoluta lineal de un punto “A”
siendo ésta, la velocidad del cambio del vector de posición de ese punto con respecto a
tierra.
V A
r
B
r
x
V
2
A
BA
B
B
iy
1
2ω
θB
r B
Figura 2.3. Velocidades absolutas Va y Vb de los puntos A y B sobre el eslabón giratorio 2.
V = rt
AAd
d (2.7.).
CAPÍTULO 2
28
e θ
A
o en forma polar, el vector rA = rAei θA, la velocidad es:
V = r + A Ai A
A Ai Ae rθ θ
• •
(2.8.).
donde el punto indica derivada con respecto al tiempo.
La diferencia de dos velocidades absolutas de dos puntos, en éste caso VBA, donde
el segundo subíndice es el punto de referencia y el primer subíndice es el punto de interés.
Es decir:
V = V - VBA B A (2.9.).
de donde:
V = V + V B A B (2.10.).
A la ecuación (2.10.) se le conoce como teorema de velocidades relativas.
La solución gráfica del mecanismo de la figura 2.1. (a) se puede llevar a cabo,
usando el teorema de las velocidades relativas aplicado a cada eslabón por separado.
Por otro lado, se supone que las dimensiones del mecanismo se conocen, es decir
la longitud de la manivela O2A, la longitud de la biela AB, se conocen, además la velocidad
angular de la manivela ω2. Para este efecto se dibuja el mecanismo a escala ver figura 2.4.
En este caso, se calcula la velocidad del punto A, como el vector de posición es rA =
rAei θA, es un vector de magnitud constante y de dirección variable, entonces:
VA = =• •
r i rA Aieθ θ
2 .
donde . θ ω•
=2 2
Sé Nota que VA es perpendicular a su vector de posición. Un método para demostrar
que el vector de posición es perpendicular, es multiplicando escalarmente A•B=⎢A⎢⎢B⎢cosθ
si θ = 90º, entonces coseno de 90º = 0, como el producto escalar es conmutativo y además
CAPÍTULO 2
29
drdt
VAA= ; se deduce que 2VA * rA = 0, como ninguno de estos vectores es cero, significa
que VA es perpendicular a rA de la definición de producto escalar.
Para encontrar la velocidad del punto B, se hace uso del teorema de velocidades
relativas (ecuación 2.10). De estos tres vectores, al vector VB se le conoce sólo su
dirección o sea, se desplaza horizontalmente a lo largo del par prismático, del vector VA se
le conoce su magnitud, dirección y sentido, pués se conoce ω2 y la longitud O2A,
consecuentemente, VA = ω3 × AB se le conoce su dirección solamente, es perpendicular a
la biela AB, de la definición de producto vectorial, por tanto, se puede elegir un polo “p”
cuya velocidad absoluta es igual a cero, se dibuja el vector VA, luego siguiendo el orden de
la suma vectorial de unir puntos con colas, donde determinamos VA, empieza VAB, en éste
caso sólo trazamos una recta perpendicular a la biela AB. Enseguida del polo “p” se traza
otra recta que sea paralela al eje del par prismático; (ver figura 2.4) donde se juntan ésta
ultima con la que es perpendicular a la biela se cumple por tanto la relación de la ecuación
2.10. En la escala elegida, la distancia “pA” representa la magnitud del vector VA. La
distancia “pB” representa en la escala elegida la magnitud del vector VB. En el polígono de
velocidades AB representa la magnitud de la velocidad relativa VBA.
Por otro lado, la velocidad de VB es lineal, por lo que se traslada, Así mismo se toma
el eslabón 3, para trazar una perpendicular desde el punto A del polígono de velocidades
hasta el crucé de la velocidad lineal de VB, se toma la medida, siendo ésta la velocidad
buscada (en la figura 2.4 se observa que la línea punteada representa el mecanismo de
donde se partió para el análisis del polígono de velocidades).
VBp
VA
B
A
32
ω
Figura 2.4. Trazado del polígono de velocidades para el mecanismo de la figura 2.1.
CAPÍTULO 2
30
2.3.2. Análisis de la velocidad; Utilizando álgebra compleja.
Éste método proporciona un planteamiento alternativo para los problemas
bidimensionales de la cinemática y es adecuado para hallar soluciones mediante
programas para computadora. Su dificultad es la determinación de la ecuación de cierre del
circuito. Su relación general se encuentra derivando el vector de posición en su forma polar
compleja (r = re i θ ).
r = drdt
= r e + re• •
i iθ θ•
iθ (2.11.).
en donde denotan la rapidez de cambio con respecto al tiempo de la magnitud y el
ángulo de r, respectivamente.
r y • •
θ
Para ilustrar éste método, analicemos la figura 2.1.(a). La ecuación de cierre es:
r e + r e + r e = 02i
3i
4i2 3θ θ θπ (2.12.).
Derivando respecto al tiempo y separando las partes real e imaginaria de la
ecuación (2.12.), se obtiene:
θ•
3 = – arc sen ( )r sen
r2 2
3
θ⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
(2.12. a).
de donde se obtiene que la velocidad del punto 4 es:
r r r• • •
= − −4 2 2 2 3 3 3θ θ θsen senθ
••
=
(2.12. b).
2.3.3. Análisis de la aceleración.
Éste método es una extensión del método analítico de la velocidad, obtenido para el
mecanismo de la figura 2.4. Derivando una vez más la velocidad respecto al tiempo, se
obtiene la forma general de la aceleración, considerando que es constante. θ•
2
r i r i i ri i ie e e2 22
3 32
3 42 3 3 0θ θ θθ θ θ( ) ( ( ) ( ))
• • ••
+ + + (2.13.).
CAPÍTULO 2
31
θ
Sé aplica la fórmula de Euler para separar ésta ecuación compleja polar en sus
componentes real e imaginaria, se obtiene:
r = - r sen - r cos - r sen - r cos
0 = - r cos - r sen - r cos - r sen
4 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3
2
3 3
2 2 2 2 2 2 3 3 3 3
2
3 3
•• •• • •• •
•• • •• •
θ θ θ θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ θ θ
2
2 .
Éstas dos ecuaciones se pueden resolver simultáneamente para las dos incógnitas
de aceleración, : θ•• ••
3 4 y r
θθ θ θ θ θ θ
θ
θ θ θ θ θ θ θ θ
•••• • •
•• •• •• • •
32 2
3 =
- r + r sen + r senr
r = - r sen - r sen - r cos - r cos
2 2 2 2
2
3 3 3
2
3
4 2 2 2 3 3 3 2 2 2
2
3 3 3
2
coscos (2.14.).
La solución se considera ahora completa, ya que se puede evaluar numéricamente
para cada ángulo de la manivela, dadas las dimensiones de la velocidad y aceleración de
entrada.
2.4. Los engranajes.
Estos mecanismos constituyen uno de los mejores medios disponibles para
transmitir movimiento, la nomenclatura común para el engranaje tipo recto, que
utilizaremos en el análisis se muestra en la figura 2.5. Círculo de addedendum
Dedendum Holgura Adedendum
Espesor del diente
Círculo de paso
Radio del chaflán
Pasocircular
Figura 2.5. Terminología para un engranaje recto.
CAPÍTULO 2
32
La acción de los dientes acoplados, uno sobre otros, para producir un movimiento
rotatorio, puede compararse con una leva y su seguidor. Cuando a los perfiles del diente se
les da una forma tal como para que produzcan una razón constante entre las velocidades
angulares durante el endentamiento, se dice que las superficies son conjugadas. Una de
las soluciones es el perfil de involuta que se utilizará en éste análisis.
Las relaciones de velocidad se basan en la línea de acción ó de paso; es decir, Si
los radios del punto de paso de los dos perfiles se designan como r2 y r3, tenemos:
ωω
2
3 =
rr
3
2 (2.15.).
Ésta ecuación se usa con mucha frecuencia para definir la ley de engranaje, la cual
afirma que el punto de paso se debe mantener fijo sobre la línea de los centros. Esto
significa que todas las líneas de acción de todo punto de contacto instantáneo debe pasar
por el punto de paso.
No se debe presuponer que cualquier forma o perfil para el que se pueda encontrar
un conjugado resultará satisfactorio, por lo que surgen normas5 (como la NFE 23-001 – NF E 23-005, la ANSI B6.13, ANSI B6.9, AGMA 208.02, AGMA 209.03, AGMA 202.03, AGMA 203.03, AGMA 374.04) que especifican las relaciones entre el addendum,
dedendum, altura de trabajo, espesor del diente y ángulo de presión para lograr la
intercambiabilidad de los engranajes de todos los números de dientes, pero del mismo
ángulo de presión y paso, (para éste trabajo el análisis se basa en un ángulo de presión de
20 grados, porque es el ángulo común para engranejes rectos según la ANSI y AGMA).
Hay muchas maneras de fabricar los engranajes. Comercialmente se emplean dos
procesos distintos: colado o maquinado. Los métodos más utilizados incluyen el colado en
arena, el colado por investidura, el colado por troquel y el colado centrífugo. Para este
trabajo se supone que los engranajes serán maquinados.
Para los engranajes con pasos diametrales siempre que es posible se utilizan: Paso
diametral grueso (2, 2-1/4, 2-1/2 , 3, 4, 6, 8, 10, 12, 16) y paso diametral fino (20, 24, 32,
CAPÍTULO 2
33
40, 48, 64, 80, 96, 120, 150, 200). Para los engranajes con módulo normalizado fino (0.50,
0.60, 0.80, 1.0, 1.25, 1.50, 2.0, 2.50, 3.0) y módulo normalizado grueso (4.0, 5.0, 6.0, 8.0,
10.0, 12.0, 16.0, 20.0, 25.0) con el fin de mantener en un mínimo el inventario de
herramientas de corte de engranes.
2.4.1. Aplicaciones de los sistemas de engranajes planetarios.
Uno de los propósitos de un mecanismo es transmitir movimiento de un lugar a otro,
por lo regular modificado el movimiento durante la transmisión. Los engranajes tienen dos
o más ejes para obtener una relación de velocidad (ecuación 2.15), ésta relación no
contempla un engranaje de dos grados de libertad ó engranes planetarios. Los trenes de
engranajes planetarios representan dos grandes ventajas. La primera, hay algunas
situaciones en las que se requiere dos grados de libertad. Segunda, cuando se trata de
transmisión de potencia con un grado de libertad de un eje de entrada a un eje de salida,
muchas veces es posible lograr la misma razón de engranajes en un espacio más
reducido, y trasmitir más potencia, si se utiliza trenes de engranajes planetarios en lugar de
ordinarios. Por lo anterior el análisis de los trenes planetarios se complica por el hecho de
que el engrananje planetario gira alrededor de su propio centro, y al mismo tiempo gira
alrededor del centro del engraneje sol. Efectivamente, el engranaje planetario tiene dos
velocidades angulares distintas (pero relacionadas entre si) una respecto al brazo y una
respecto a tierra. En este trabajo al engranaje planetario lo fijamos y así transmitir potencia
en un menor espacio, optimizando al máximo la energía requerida para el prensado.
2.5. Datos para el mecanismo propuesto para la fabricación de mosaico de mármol y granito.
El proceso de fabricación de loseta de pedacería de mármol es hasta cierto punto
artesanal, como se sabe comúnmente la loseta es utilizada para el recubrimiento de pisos
5 Normas ANSI Sección B6.1, y AGMA Standard, Sección 201.02 A.
CAPÍTULO 2
34
que resisten al paso del tiempo con un excelente estado de conservación y con aspecto
cálido. Del proceso de fabricación explicado en el capítulo uno tenemos que para un molde
para mosaico de 400 x 400 mm. Se necesita aplicar una fuerza de 2 toneladas según lo
explicado en el capítulo uno.
De donde al tomar en cuenta la generación de alternativas se seleccionó una prensa
mecánica con un mecanismo de engranes planetarios de transmisión de potencia, que está
conectada a una leva y ésta a su vez trasmite movimiento a un mecanismo biela manivela
corredera ver figura 2.6.(a) con las siguientes restricciones:
(a).
(b).
Figura 2.6. Diagrama del engranaje que se utilizará para el diseño de la prensa.
CAPÍTULO 2
35
Los engranajes con número de dientes Z4 y Z5 tienen un módulo 8. Él engranaje con
número de dientes, Z4 = 20 dientes, el engranaje con número de dientes Z5 = 40 dientes y
el resto de los engranajes con un módulo 4. Además la carrera total del pistón es de 30
mm., y un ángulo de desplazamiento total de la biela es de 8 grados.
La velocidad angular del motor de entrada ω1 = 142.41887 rad./seg. (1360 r.p.m.) y a
la velocidad angular de salida ω 2 = 7.1209433 rad./seg. (68 r.p.m.).
Con respecto a la leva, ésta tiene 110 grados en la elevación, con 40 grados de
reposo en el punto más alto, 110 grados en el descenso y con 100 grados de reposo en el
punto más bajo. Y si suponemos las siguientes relaciones del mecanismo biela manivela,
los cuales son datos aproximados que hay que cumplir.
O A
O B
ll
3
3
= 1.2.
O B
BC
ll
3 = 2.
O S
O A
ll
3 2
3
= 0.25.
BS
BC
ll
3 = 0.5.
La fuerza de resistencia productiva se debe aplicar cuando el pistón ha recorrido
una distancia de 15 mm. (datos proporcionado por fabricantes de mosaico).
2.5.1. Cinemática del mecanismo de transmisión.
Analizando la figura 2.6. (b) y de la ecuación 2.1 tenemos que si n=5 eslabónes
móviles y j1=4 pares cinemáticos de revolución y j2 = 3 pares cinemáticos superiores,
obtenemos:
mo = 3(5-1) – 2(4) – 3 = 1.
CAPÍTULO 2
36
es decir se tiene un grado de libertad por lo que se trata de un engrane planetario de
transmisión. Por otro lado si la rueda dentada 1, poseé una velocidad angular a la entrada
de ω1 = 142.41887 rad./seg. (1360 rpm. ) y a la salida de transmisión una velocidad angular
de ω5 = 7.1209433 rad/seg (68 r.p.m.).
Además se tiene que el engranaje 5 tiene un diámetro primitivo de:
d5 = (md2)(Z5) ⇒ d5 = (8)(45) = 360 mm.
Y el diámetro primitivo del engranaje 4 es:
d4 = (md2)(Z4) ⇒ d5 = (8)(20) =160 mm.
Como la velocidad angular del brazo es igual a la velocidad angular del engranaje 4;
se tiene:
ωB = ω4; ⇒ = ⇒ωω
ω45 5
44
rr
= 17.802358 rad./seg..
Por otra parte analizando el tren de engranajes; tenemos que por norma, es
necesario tener como mínimo 18 dientes para el piñón, de donde se utilizaran 20 dientes,
se obtiene:
d1 = (md1)(Z1) ⇒ d1= (4)(20) = 80 mm.
El engranaje 2 tiene la misma velocidad angular del engrane 2’ por estar en el
mismo eje, pero con velocidades tangenciales diferentes es decir:
ω2=ω2’ (a).
V2 ≠V2’ (b).
De donde:
V1= ω1 x r1 (2.16.).
CAPÍTULO 2
37
Sustituyendo valores tenemos:
V1= 5696.7547 mm./seg...
Como la rueda dentada 3 es fija (figura 2.7.) y sobre ésta rueda gira el engrane 2’
tenemos que en el punto de contacto es:
V2p’ = 0 por ser fijo el engrane 3. p
r V2r’
3
2
Figura 2.7. Relación de velocidad entre el engranaje 3 y el engranaje 2.
Considerando que V1 tiene relación directa con el engrane 2’:
V1 = V2r’ + V2r’1 (2.17.).
V1 = 0 + V2r’1 ⇒ si V2r’1 = 2ω2’r2’.
Sustituyendo la ecuación (2.16.) en ecuación (2.17.):
ω1r1 = 2ω2’r2’ despejando ω2’ obtenemos:
ωω
21 1
22''
=r
r (2.18.).
Si suponemos que:
r2 = 2r2’ (2.19.).
CAPÍTULO 2
38
La velocidad tangencial del brazo (VB) es:
VB = V2’ + V2’B.
VB = 0 + V2’B ⇒ si V2’B = ω2’ x r2’.
VB = ω2’r2’ (2.20.).
Sustituyendo la ecuación (2.18.) en la ecuación (2.20.):
Vr
B =ω1 1
2 (2.21.).
Si el brazo tiene un movimiento de rotación tenemos:
VB = (rB)ωB (2.22.).
Sustituyendo la ecuación (2.21.) en la ecuación (2.22.):
ωω
BB
rr
= 1 1
2 (2.23.).
despejando rB’ se tiene:
rr
BB
=ωω1 1
2 (2.24.).
r1 = 40 mm. con 20 dientes, se tiene:
( )( )r rB B= ⇒ =
( . ).
.142 4188 402 17 802358
160mm .
Con el análisis anterior se obtienen la tabla 2.2., con estos datos se analizaran las
aceleraciones:
CAPÍTULO 2
39
Tabla 2.2. Datos de las velocidades, obtenidos del análisis cinemático del tren de engranajes. Engranaje. Número de
dientes. Módulo mm..
Diámetro primitivo mm..
Velocidad angular rad./seg..
Observaciones.
1. 20. 4. 80. 142.41887. El número de dientes es según norma.
2. 60. 4. 240. 47.472957. Se obtuvo por cálculos.
2’. 30. 4. 120. 47.472957. Se obtuvo por cálculos.
3. 110. 4. 440. ---- Se obtuvo por cálculos.
4. 20. 8. 160. 17.802358. Se tiene por diagrama del mecanismo.
5. 50. 8. 400. 7.1209433. Se tiene por diagrama del mecanismo.
Brazo. ---- ---- ** 17.802358. Se obtiene por distancias entre centros.
** Longitud del brazo = 160 mm. (éste conectado al eje del engranaje 2’ y al eje del engranaje 4).
Para calcular las aceleraciones de cada engranaje tenemos:
a = an + at .
a = ω x (ω x r) + α x r (2.25.).
Como se trata de un sistema de velocidad angular constante, la aceleración tangencial es
cero, por ejemplo para el punto “A” de la figura 2.6 b tenemos:.
(aA)n = (142.41887)2(40) = 811325.38 mm./seg..
Realizando las operaciones correspondientes se tiene la tabla 2.3.
Tabla 2.3. Datos para las aceleraciones, obtenidos del análisis cinemático del tren de engranes.
Elemento. Aceleración Normal mm./s².
Velocidad angular rad/seg..
1. 81135.38. 142.41887. 2. 135220.89. 23.736478. 2’. 67610.447. 23.736478. 3. 0. 0. 4. 25353.916. 17.802358. 5. 10141.567. 7.1209433.
Brazo. 50707.832. 17.802358.
CAPÍTULO 2
40
2.6. Levas.
Una leva es un elemento mecánico adecuado para transformar un movimiento en
otro deseado, donde se requiere generar una función matemática de la forma F = f(θ),
siendo θ el ángulo de giro de la leva y f(θ) el desplazamiento del seguidor, comúnmente
éste movimiento se trasforma en oscilatorio, de traslación o una combinación de ambos.
Leva
Seguidor
(e)
(d)
(c) (b)
(a)
leva
Figura 2.8. Tipos comunes de levas: (a) leva de placa o disco con seguidor de rodillo en traslación; (b) leva de traslación o cuña con seguidor de rodillo de traslación; (c) leva cónica con seguidor en traslación; (d) leva de cara con seguidor oscilante; (e) leva cilíndrica con seguidor de rodillo en traslación.
Las levas (figura 2.8.) se han clasificado según su geometría en levas de placa o
disco, levas de traslación (bidimensionales o planas), levas cilíndricas (tridimensionales o
espaciales), y por el tipo de seguidor, lo que hace que sean muy versátiles, según el tipo
de movimiento, sea de traslación (en línea recta) radial o excéntrica, respecto al centro de
leva, ésta clasificación comprende la forma de la superficie de contacto del seguidor (de
cara plana, de rodillo, puntual, esférica, de curva plana o de superficie espacial curva). Sea
cual sea el conjunto de leva seguidor, la forma de cálculo es muy similar.
CAPÍTULO 2
41
A pesar de la gran variedad de tipos de levas usados y sus diferentes formas,
poseén ciertas características comunes que permiten un enfoque sistemático para su
diseño. La nomenclatura estándar para las levas se muestra en la figura 2.9.
Ángulo de presión
Contorno normal de la leva
λ
Movimiento del seguidor
Punto de paso
Círculo de base
Círculo primario
Rotación Número del punto de éstación
Superficie de la leva (contorno)
Curva de paso
Punto de paso
Círculo de Paso
Viaje total L del seguidor
Seguidor de rodillo en traslación
Figura 2.9. Leva de disco y seguidor de rodillo radial con la nomenclatura apropiada c-d es la elevación del seguidor en la posición 7.
Números de los puntos de estación
Puntos de transición o inflexión
C = Círculo Primario Desarrollado detención
Viaje del seguidor, L
Figura 2.10. Perfil de desplazamiento del seguidor correspondiente a la figura 2.9. La distancia c-d es la elevación del seguidor en la posición 7. El viaje máximo L del seguidor representa el movimiento del punto a sobre el círculo primario al punto b en las éstaciones 5 y 6.
Durante la rotación de la leva a lo largo de un ciclo del movimiento de entrada, el
seguidor ejecuta una serie de eventos como los que se muestran en la figura 2.10. En el
diagrama de ésta índole, la abscisa representa un ciclo del movimiento de entrada θ (una
CAPÍTULO 2
42
revolución de la leva) y se dibuja a cualquier escala conveniente. La ordenada representa
el recorrido “y” del seguidor. En el diagrama de desplazamientos se puede identificar una
porción de la gráfica conocida como subida, en donde el movimiento del seguidor es hacia
fuera del centro de la leva. La subida máxima se llama elevación. Los periodos durante los
cuales el seguidor se encuentra en reposo se conocen como detenciones y el retorno es el
periodo en el que el movimiento del seguidor es hacia el centro de la leva. La construcción
de ésta gráfica se realiza con la relación.
( )y y= θ (2.26.).
Ésta ecuación contiene en su expresión misma la naturaleza exacta del perfil de la
leva final, la información necesaria para su trazado y fabricación, y también las
características importantes que determinan la calidad de su comportamiento dinámico.
Los movimientos comúnmente empleados son el movimiento uniforme, el cual se distingue
por ser una recta con pendiente constante, movimiento armónico simple, movimiento
cicloidal, su nombre se debe a la curva geométrica llamada cicloide (figura 2.11.(d)), cabe
aclarar que el ángulo de presión debe mantenerse tan pequeño como sea posible, en la
actualidad éste se fija como máximo de 30º para levas de seguidor traslaciónal.
Adicionalmente, en una leva con un seguidor de carretilla, el radio de curvatura de la
superficie de paso debe ser mayor que el radio del seguidor; en caso contrario, el perfil de
la leva se torna puntiagudo.
Kloomok y Muffley6 desarrollaron un sistema para diseñar levas que impiden el jalón
infinito con su efecto destructivo en el tren de levas, para la cual se emplean tres funciones
analíticas: (a) cicloide (y semicicloide), (b) armónica (y semiarmónica) y (c) polinomio de
octavo grado. Las curvas tienen derivadas continuas en todos los puntos intermedios, por
lo que la aceleración cambia gradualmente y el jalón es finito. En los extremos se evita el
jalón infinito igualando las aceleraciones. Se debe notar que las velocidades también se
igualan debido a que no pueden aparecer discontinuidades en la curva de desplazamiento
tiempo.
6 M. Kloomok, and R.V. Muffley, “Plate Cam Design, Product Engineering. 1955
CAPÍTULO 2
43
sobreaceleración
y&&&
∞∞
β-∞
0 0
-∞
Aceleración
0
y&&
∞
0 β-∞
Velocidad
β 0 0
y& 1
φ φ φ
a) Velocidad constante
0
y& 2
β 0 β
0
y&&
0
-4
4 y&&&
∞
-∞
∞
β0 0
φ φ φ
b) Movimiento parabólico
d) Movimiento cicloidal
c) Movimiento armónico simple
y&
-6.28
6.28
β
y&&
0 0
φ β 0
0
y& 2
4.93
0 βφ
-4.93
-15.5 β
y&&&
∞∞
0 0 0
y&&
1.57
φ β 0
0 φ
y&&&
∞
0
39.5
-39.5
0 φ φβ
Figura. 2.11. Comparación de las características cinemáticas de cuatro movimientos básicos para la velocidad angular ω (grados/s)=β°/s y elevación L=1 m.. Para estos
valores las dimensiones son: y ms y m
s y ms
• •• •••⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ = ⎛
⎝⎜⎞⎠⎟ = ⎛
⎝⎜⎞⎠⎟ =, . y 2 3 .
CAPÍTULO 2
44
Para el diseño de levas, según Kloomok y Muffley las curvas de “aceleración” no deberán
tener implicaciones, ya que si imaginamos una fuerza de inercia del seguidor, la curva de
aceleración tiene variación abrupta que ejercerán esfuerzos de contacto que cambian
brúscamente en los cojinetes y sobre la superficie de la leva y dará por resultado ruido,
desgaste de las superficies y falla final. Por consiguiente, al elegir un diagrama de
desplazamientos es muy importante asegurarse que la primera y segunda derivada, es
decir, las curvas de “velocidad” y “aceleración”, sean continuas, ésto es, que no contengan
cambios en escalón.
Aunque existen excepciones principalmente cuando se utilizan aplicaciones de baja
velocidad, con toda certeza tales levas presentan mayores problemas conforme aumenta
la velocidad. Para cualquier aplicación de leva de alta velocidad es extremadamente
importante que no sólo se hagan continuas las curvas de desplazamiento y “velocidad”,
sino también la de “aceleración” para el ciclo completo del movimiento. Por tanto es
importante que toda leva cumpla los siguientes puntos:
1. Satisfaga las necesidades de movimiento de la aplicación en particular.
2. Los diagramas de desplazamiento “velocidad” y “aceleración” sean continuos, a
través de las fronteras de los segmentos. El diagrama del “tirón ó sobre-
aceleración ”puede admitir discontinuidades si es necesario, pero no hacerse
infinito; es decir, la curva de “aceleración” puede contener vértices pero no
discontinuidades.
3. Las magnitudes máximas de los picos de “velocidad” y “aceleración” se
mantengan tan bajas como sea posible. Coherentes con las dos condiciones
previas.
De la figura 2.11. se analizan los diagramas del seguidor que traza, en el perfil de
velocidad constante inciso (a), se observan picos que pueden causar desgastes,
acuñamiento o ruido, que por lo tanto el diseño no es conveniente, ya que en los puntos a
infinito se generan esfuerzos superficiales que deterioran la leva. Por otro lado el perfil
parabólico inciso (b), se tiene picos en las aceleraciones del seguidor teniendo por
consiguiente deterioro más severo por el desgaste excesivo ocasionando vibración y ruido.
CAPÍTULO 2
45
Otro tipo de diagrama que comúnmente es utilizado por su fácil fabricación, inciso (c), es el
que tiene la trayectoria del con movimiento armónico simple, aunque este tipo de
trayectoria no es recomendable, tiene gran utilización en aplicaciones de baja velocidad.
Para un seguidor que tiene una trayectoria tipo cicloidal, inciso (d) , que se utiliza en
este proyecto, ya que tiene magnitudes finitas en todo el ciclo. Aunque en la aceleración es
alta que los perfiles anteriores, la sobre-aceleración ó “jalón” de la trayectoria es mejor, ya
que evita el golpeteo que ocasiona fatiga y esfuerzos superficiales que ayudan al
mecanismo a tener un ciclo de vida más alto.
Existen otros tipos de levas tal como la llamada leva de perfil trapecial el cual es la
combinación de las curvas de desplazamiento cicloidal y parabólicas. Otro tipo es el seno
modificado siendo un perfil muy aceptado, es una combinación de las curvas de
desplazamiento cicloidal y armónico, y por ultimo e importante es el polinomial, que puede
usarse para el “diseño a la medida”.
2.6.1. Cinemática del seguidor de rodillo respecto a la Leva.
En la figura 2.12. tenemos un perfil de desplazamiento cicloidal. que con ayuda del
fasor complejo, podemos derivar la ecuación de la elevación cicloidal como sigue:
Si Z = re-iθ donde: rL
L= =
22 2
πθ =
θβ
θβ
π πβ
θ y = L r
L.
Donde θ es el ángulo de giro de la leva, β es ángulo de elevación del seguidor hasta
el reposo, que tiene relación con el ángulo de desplazamiento de la manivela del
mecanismo RRRP:
Z = re-i(2π/β)θ (2.27.).
De la figura 2.12. b:
CAPÍTULO 2
46
y L m= + ℑθβ
( )Z .
y L r m ie= + ℑ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟θ
β
πβ
θ2
(2.28.).
y L r m i= + ℑ −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ + −
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
θβ
πβ
θπβ
θcos sen2 2
.
y L r y L= −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ ⇒ = −
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
θβ
πβ
θθβ π
πθβ
sen sen2 1
22 (2.29.).
donde ( ) significa “ la parte imaginaria de ( )”, y es el desplazamiento lineal del
seguidor. Si derivamos la ecuación (2.29.), considerando L, β y la velocidad angular
constante, obtenemos la velocidad del seguidor para el ascenso:
ℑm
′ = −⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
•
yL
θβ
πθβ
12
cos (2.30.).
Derivando nuevamente, obtenemos la aceleración del seguidor:
′′ = ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
•
yL
θπβ
πθβ
2
22 2
sen (2.31)
Las ecuaciones no incluyen la velocidad angular ni la aceleración angular desde el
punto de vista de la velocidad y aceleración de leva-seguidor, si necesitamos un análisis
dinámico total, la ecuación 2.26 se deriva respecto al tiempo, obteniendo las ecuaciones
(2.32.), (2.33.), (2.34.):
y y•
= ′ω (2.32.).
y y y••
= ′′ + ′ω 2 α
α
(2.33.).
y y y y••• •
= ′′′ + ′′ + ′ω ωα3 3 (2.34.).
Cuando la velocidad del eje de la leva es constante, éstas expresiones se reducen
a:
CAPÍTULO 2
47
ω 2y y y y y y• •• •••
= ′ = ′′ = ′′′ω ω 2 (2.35.).
Figura 2.12. (a) Movimiento cicloidal; (b) generación de la elevación cicloidal por medio de un fasor complejo rodante.
Para el retroceso se tienen las siguientes expresiones:
y L= − +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟1
12
2θβ π
πθβ
sen (2.36.).
CAPÍTULO 2
48
yL, cos= − −
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
•
βθ
πθβ
12
(2.37.).
yL,, ( ) sen= −
•2 22
2πβ
θπθβ
(2.38.).
Donde es la velocidad angular y = α es la aceleración angular del sistema.
Sustituyendo valores en incrementos de θ cada 10 grados se obtienen los siguientes
resultados:
θ•
θ••
Tabla 2.4. Datos obtenidos de las fórmulas del movimiento cicloidal. Divisiones. Desplazamiento
de la leva en Grados (θ).
Desplazamiento lineal del seguidor
(mm.).
Velocidad lineal del seguidor (mm./seg.).
Aceleración lineal del seguidor (mm./seg.2).
Desplazamiento angular del seguidor
(grados). 1. 0. 0 0 0 176.0000 3. 10. 0.17508357 0.369957191 0.51248482 176.0389 5. 20. 1.33364712 1.36236997 0.86225933 176.2967 7. 30. 4.14692271 2.662154292 0.93827259 176.9225 9. 40. 8.76078299 3.856637818 0.71639094 177.9480 11. 50. 14.7494277 4.566580469 0.26706022 179.2782 13. 60. 21.2505723 4.566580469 -0.267060 180.7217 15. 70. 27.239217 3.856637818 -0.716390 182.0519 17. 80. 31.8530773 2.662154292 -0.938272 183.0774 19. 90. 34.6663529 1.36236997 -0.862259 183.7032 21. 100. 35.8249164 0.369957191 -0.512484 183.9610
23-31. 110-150. 36 0 0 183.9999 33. 160. 35.8249164 -0.369957191 -0.512484 183.9610 35. 170. 34.6663529 -1.36236997 -0.862259 183.7032 37. 180. 31.8530773 -2.662154292 -0.938272 183.0774 39. 190. 27.239217 -3.856637818 -0.716390 182.0519 41. 200. 21.2505723 -4.566580469 -0.267060 180.7217 43. 210. 14.7494277 -4.566580469 0.2670602 179.2782 45. 220. 8.76078299 -3.856637818 0.7163909 177.9480 47. 230. 4.14692271 -2.662154292 0.9382725 176.9225 49. 240. 1.33364712 -1.36236997 0.8622593 176.2967 51. 250. 0.17508357 -0.369957191 0.5124848 176.0389
53-72. 260-360. 0 0 0 176.000
Es necesario que para el trazado del perfil de leva los incrementos de θ, sean lo más
pequeños posibles. Con los datos obtenemos los diagramas de desplazamiento, velocidad
angular y aceleración angular del seguidor (figura 2.14.)
CAPÍTULO 2
DESPLAZAMIENTO ANGULAR DEL SEGUIDOR
3
3.05
3.1
3.15
3.2
3.25
ROTACIÓN DE LA LEVA(GRADOS)
RO
TAC
IÓN
DEL
SE
GU
IDO
R(R
AD
IAN
ES)
VELOCIDAD ANGULAR DEL SEGUIDOR
- 0.02
- 0.015
- 0.01
- 0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
ROTACIÓN DE LA LEVA (grados)
VELO
CID
AD
AN
GU
LAR
DEL
SEG
UID
OR
(rad
./seg
.)
ACELERACIÓN ANGULAR DEL SEGUIDOR
- 0.004
- 0.003
- 0.002
- 0.001
0
0.001
0.002
0.003
0.004
ROTACIÓN DE LA LEVA (grados)
AC
ELER
AC
IÓN
AN
GU
LAR
D
EL S
EGU
IDO
R (r
ad./s
eg².)
(c)
(b)
(a)
Figura 2.13. Características del movimiento del seguidor ó desplazamiento(a), Velocidad del seguidor (b) y aceleración del seguidor (c).
49
CAPÍTULO 2
50
2.6.2. Cálculo de las dimensiones principales en el mecanismo de leva con seguidor oscilatorio de rodillo.
Las dimensiones principales de los mecanismos de las levas, se calcula de las
condiciones del movimiento a producir en el seguidor, (como movimiento armónico,
cicloidal, polinómial, etc.), así como de las condiciones de no acuñamiento, ausencia de
ruido y de un alto nivel de eficiencia. Sin olvidar las condiciones de construcción del
mecanismo, éste deberá soportar la resistencia al desgaste de los elementos de contacto
en los pares cinemáticos.
El acuñamiento de estos mecanismos sólo sucede en la fase de elevación, que
corresponde al vencimiento de las fuerzas de resistencia útil. Para evitarlo en lo posible, se
sugiere que para el diseño de mecanismos de levas, un ángulo de presión λmax.= 30 a 40
grados para mecanismos con seguidor traslaciónal y para levas con seguidor oscilatorio
sugieren un ángulo de presión λmax.= 40 a 50 grados.
Para realizar la síntesis de la leva utilizaremos el método de Raven7 de variables
complejas para determinar el radio de curvatura de la superficie de paso ρ y el ángulo de
presión λ.
De la figura 2.14. el punto “O” es el centro de la leva, el punto D el centro de
curvatura y el punto O’ es el centro de oscilación del seguidor. El desplazamiento angular
del seguidor desde la horizontal es “ψ”, dado por la ecuación:
ψ = ψ0 + f(θ) (2.39.).
en que f(θ) es el desplazamiento angular deseado del seguidor desde el ángulo de
referencia ψ0. En la figura 2.14 se aprecia que el ángulo de presión λ está dado por:
λ ψπ
γ= − −2
(2.40.).
7 F.H. Raven, “analytical design of Disk Cams and Three-Dimensional Cams by Independent Position Equations, “ASME transactions, serie E, vol. 26, No. 1, 1959
CAPÍTULO 2
51
Sustituyendo la ecuación (2.39.) en ψ, de la expresión (2.40.) se tiene:
λ=(ψ0 + f(θ)) − −π2
γ (2.41.).
ψ -π/2
γ
θ
ρ δ
γ r
ψ = f(θ)
A
b
a
R
B
Superficie de paso
O’
f(θ)
ψ0
O
λ
l
D
Figura 2.14. Diagrama para encontrar el ángulo de presión λ .
Con el propósito de obtener una expresión para el ángulo γ, se describen dos
ecuaciones independientes de la posición para el centro del rodillo A. Una expresión
describe la trayectoria del triángulo ODA y la otra pasando por el contorno OBO’A. La
ecuación para la primera trayectoria (ODA) está dada por:
R = rei δ + ρei γ = r(cos δ + i senδ) + ρ(cos γ + i sen γ) (2.42.).
La segunda trayectoria (O-B-O’-A) está dada por:
CAPÍTULO 2
52
R = a + bi + l ei ψ = a + bi + l (cos ψ + i sen ψ) (2.43.).
Igualando las ecuaciones (2.42.) y (2.43.) y separando las partes real e imaginaria
se tiene:
r cos δ + ρ cos γ = a + l cos ψ (2.44.).
r senδ + ρsen γ = b + l sen ψ (2.45.).
Diferenciando las ecuaciones (2.44.) y (2.45.) con respecto a θ:
− − = −
+ =
rdd
dd
ldd
rdd
dd
ldd
sen sen sen
cos cos cos
δδθ
ρ γγθ
ψψθ
δδθ
ρ γγθ
ψψθ
.
Se puede considerar que ρ permanece constante para una rotación infinitesimal de
la leva. En consecuencia, el punto D, es el centro de curvatura de la leva en el punto de
contacto. Por tanto, la magnitud de dδ es igual a dθ, y ya que δ decrece al aumentar θ se
infiere que dδ/dθ= -1. Adicionalmente de la ley del movimiento del seguidor, dψ/dθ = f’(θ).
En consecuencia:
)('sensen θθγγρδ lf
ddr −=− (2.46.).
)('coscos θθγγρδ lf
ddr =+− (2.47.).
Eliminando dγ/dθ de las ecuaciones (2.46.) y (2.47.):
tanr lfr lf
γδ θ ψδ θ
=ψ
++
sen ' ( )sencos ' ( ) cos
. (2.48. a)
Despejando los términos r cosδ y r senδ de la ecuación (2.44.) y (2.45.)
respectivamente y sustituyendo en la ecuación (2.48.a), obtenemos:
CAPÍTULO 2
53
ψθγρψψθγρψγ
cos)('sencossen)('sensen
lflalflbtan
+−++−+
=
Si ρ es constante, por tanto γ sólo está en función de la curvatura del punto de
contacto, por consiguiente ρ = 0. (ρ Superficie de paso ver figura 2.14.). De donde:
[ ][ ]tan
b l fa l f
γψ θψ θ
=+ ++ +
sen ' ( )cos ' ( )
11
(2.48. b).
De las ecuaciones anteriores se considera que la longitud “l” es del centro del eje del
rodillo al centro del punto de apoyo; es decir, la longitud izquierda de la manivela, ver figura
4.62.
Si se supone que la manivela tiene una distancia entre el centro de la leva al centro
de apoyo de 257.41 mm. (ver figura 2.16.), cuando el seguidor se encuentra en el punto
más bajo de la leva, y según SKF nos recomienda en sus tablas que el rodamiento de leva
con eje debe ser de un diámetro de 52 mm. para soportar más de 2 tonelada (19620N)
tenemos por tanto que:
b= 26+ radio de base de la leva
l = 258.042 mm.
a = 257.41
f(θ)=al desplazamiento angular de la manivela:
Además, si se supone que el ángulo de presión es de 30º, 40º y 45º, para obtener el
radio mínimo (ver tabla 2.5.).
De la tabla 2.5. tomando el valor absoluto se tiene que el radio mínimo de base es
de 2.2886 mm. Cuando se trata de un ángulo de presión de 45 grados, pero para éste
caso se supone un radio mínimo de base de 61 mm, por cuestión de diseño.
CAPÍTULO 2
54
Tabla 2.5. Radio mínimo de base de la leva, cuando se tiene un ángulo de presión de 30, 40 y 45 grados. Desplazamiento
angular de la leva (grados)
Desplazamiento angular de la
manivela (grados.)
Radio mínimo en mm. de la leva con un
ángulo de presión de 30 grados
Radio mínimo en mm. de la leva con un
ángulo de presión de 40 grados
Radio mínimo en mm. de la leva con un
ángulo de presión de 45 grados
0 176 -43.9975 -43.9978 -44.6178 10 176.0389 -44.2567 -44.2213 -44.9606 20 176.2967 -44.9558 -44.8247 -45.8825 30 176.9225 -45.8860 -45.632 -47.0947 40 177.9480 -71.7234 -68.1001 -80.3993 50 179.2782 -47.33387 -46.9147 -48.8912 60 180.7217 -77.9098 -73.8193 -87.0361 70 182.0519 -46.90126 -46.5642 -48.2601 80 183.0774 -46.0218 -45.7936 -47.1612 90 183.7032 -45.0393 -44.924 -45.9626 100 183.9610 -44.2809 .4425 -45.0463
110-150 183.9999 -43.9972 -43.9975 -44.7041 160 183.9610 -43.7134 -43.745 -44.3612 170 183.7032 -42.9551 -43.0711 -43.4398 180 183.0774 --23.75126 -26.0373 -20.0306 190 182.0519 -41.0933 -41.431 -41.1082 200 180.7217 -40.6060 -41.0155 -40.4335 210 179.2782 -10.6322 -14.8275 -2.2886 220 177.9480 -16.27137 -19.8953 -8.8804 230 176.9225 -42.10876 -42.3635 -42.1619 240 176.2967 -43.0390 -43.1709 -43.3598 250 176.0389 -43.7381 -43.7743 -44.2758
260-360 176.0 -43.9975 -43.9978 -44.6178
Con el radio de base seleccionado se sustituye en la ecuación (2.48.) con el que se
calcula el ángulo suplementario ó de apoyo del ángulo de presión y con el resultado se
sustituye en la ecuación (2.41.), para obtener el ángulo de presión real. Estos resultados se
observan en la tabla 2.6. donde el ángulo máximo de presión es:
λ = 28.833 grados.
No es necesario el cálculo al retorno del seguidor oscilatorio, debido a que sólo nos
interesa el análisis cuando la leva proporciona la fuerza necesaria al seguidor oscilatorio. ;
El ángulo nos ayudará en el cálculo de las fuerzas que intervienen en el análisis dinámico.
CAPÍTULO 2
55
Tabla 2.6. Ángulo de presión para una leva con seguidor oscilatorio. Desplazamiento angular de la leva
(grados). Ángulo de presión (λ = grados).
0. 3.9996 10. 3.7683 20. 3.0044 30. 1.7154 40. 19.8050 50. 1.7886 60. 28.8333 70. 4.54017 80. 4.9487 90. 4.7310
100. 4.2530 110-150. 4.0028
160. 4.2791 170. 4.8856 180. 23.5703 190. 5.2360 200. 4.2616 210. 26.2743 220. 19.7169 230. 1.4246 240. 2.9026 250. 3.7513
260-360. 3.9996
Para encontrar el radio de curvatura ρ es necesario primeramente diferenciar la
ecuación (2.48.) con respecto a θ. Se sustituye dγ/dθ en la ecuación (2.47.) y con ayuda de
las ecuaciones (2.45.) y (2.46.) se obtiene la ecuación (2.49.). Para obtener el valor de ρ (
éste radio es necesario para el maquinado, ver anexo).
[ ]( )[ ]ρ
θ θ ψ ψ=
+
+ + − + + −
C DC D f aC bC f a b lf
2 23
2
2 2 1 ' ( ) ( ) ' ( ) ( sen cos ) ' ' ( )θ (2.49.).
Donde : C=a + l cosψ (1+f’(θ)).
D=b + l senψ (1+f’(θ)).
CAPÍTULO 2
56
2.6.2.1. Cálculo del radio mínimo de base por el método gráfico.
Éste método por cuestión de diseño no es aplicado, pero es importante su uso, ya
que permite de una manera fácil y rápida calcular el radio mínimo de base, así como
diferente variante.
Por otra parte analizando la figura 2.15. se tiene que el seguidor gira alrededor del
eje “E”. El ángulo de presión λ en éste mecanismo se forma entre la normal n-n y la
componente P’ de la fuerza P, dirigida perpendicularmente a la dirección de EB del
seguidor 2.
Se encuentra el eje instantáneo de rotación P0, en la intersección de la normal n-n
con la línea EA. La función de la relación de transmisión i21 en éste caso poseé la forma:
i21 = ωω
ψψ
2
1
2
1= =
dd
APEP
0
0 (2.50.).
si BC = i21l2 = dd
lψψ
2
12 , donde l2 es la longitud del brazo del seguidor 2.
Bajando del punto A una perpendicular Ak a la dirección EB, entonces, el ángulo de
presión se calcula de la igualdad: (figura 2.15)
TankCkA
BC BkkA
λ = =−
(2.51.).
donde:
Bk = l2 – l3cos(ψ2 + ψ0),
l3 = Distancia entre los puntos A y E. ψ0 = Ángulo formado entre el seguidor con la línea AE, en la posición inicial, figura 2.15. ψ2 = Ángulo de giro del eslabón seguidor, o ley del movimiento del seguidor: ψ2=ψ2(ψ1).
CAPÍTULO 2
57
Por otro lado la longitud de BE en el eje “x” tenemos: 22 cosψl , dé donde por
pitágoras tenemos por tanto:
l3 = ( ) ( )222
2 cosψlkA + (2.52.).
con el valor de la ecuación (2.25.) se sustituye en la ecuación (2.53.).para obtener el radio
mínimo de base de la leva.
R l lb l l= + −22
32
2 3 02 cosψ (2.53.).
Con éstas expresiones se tiene que el ángulo de presión disminuirá en la medida
que l3 aumenta.
Figura 2.15. Figura de apoyo para calcular el radio mínimo de la base.
CAPÍTULO 2
58
Figura 2.16. Posición del eje del brazo del seguidor de rodillo oscilante, asi como el contorno de la leva de disco.
CAPÍTULO 2
59
2.7. Cinemática del mecanismo Biela – Manivela - Corredera.
Analizando el mecanismo de la figura 2.17. y según el tema 2.3.2. tenemos por el
método de Raven la ecuación de cierre es:
r1 + r4 = r2 + r3 (2.54.).
en donde r1, θ1=0º , r2 , r3 y θ4 = 90º son constantes. El ángulo θ2 es el ángulo de entrada
conocido.
θ3
θ2
r3
r2
r4
r1
Figura 2.17. Circuito de cierre para las ecuaciones (2.54.) a la( 2.59.).
Donde se tiene:
θθ
31 2 2
3
=−⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥arccos
cosr rr
(2.55.).
r r r4 2 2 3 3= +sen senθ θ (2.56.). Derivando las ecuaciones (2.55.) y (2.56.) se tienen las velocidades
correspondientes:
θθ θ
θ32 2
3 3
••
= −r
rsen
sen2
3
•
(2.57.).
r r r4 2 2 2 3 3
• •
= +cos cosθ θ θ θ (2.58.).
Derivando la ecuación (2.58.) y (2.57.) se tienen las aceleraciones:
CAPÍTULO 2
60
θθ θ θ θ θ θ
θ3
2 2 2 2 2 2
2
3 3 3
2
3 3
••
•• • •
=− − ⎛
⎝⎜⎞⎠⎟ − ⎛
⎝⎜⎞⎠⎟r r r
r
sen cos cos
sen (2.59.).
r r r r r4 2 2 2 2 2
2
2 3 3 3 3
2
3
•• •• • •• •
= − ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ + − ⎛
⎝⎜⎞⎠⎟cos sen cos senθ θ θ θ θ θ θ (2.60.).
Con éstas expresiones se evalúa numéricamente cada ángulo de la manivela, θ2, dadas las dimensiones r1, r2, y r3 (r1 =214.51 mm. , r2 = 215.03381 mm. y r3 = 107.51691
mm.) y la velocidad y aceleración de entrada . Por otra parte si el ángulo generado θ
θ θ2
• •
y 2
•
2 = ψ2 + π (el ángulo ψ2 se obtuvo del análisis del brazo del seguidor oscilante de la figura 2.14. y figura 2.15. para obtener la tabla 2.5. y tabla 2.6.). Y de las expresiones (2.55.) y (2.60.) se tienen las tablas 2.7. (a) y 2.7.(b).
Tabla 2.7.(a) aceleración tangencial y normal del eslabón AO3A del mecanismo Biela manivela corredera.
Desplazamiento angular de la leva
(grados). (aA)t
mm./seg.². (aA)n
mm./seg.².Velocidad
Angular θ2
•
(rad./seg.).
Aceleración angular α2 (rad/seg.2).
Ángulo θ3 (grados).
0. 0. 0. 0. 0. 90. 10. -0.5113. 0.00053. -0.001430292. -0.001981319. 90.00541. 20. -0.8605. 0.00716. -0.00526865. -0.003334588. 90.03987. 30. -0.9369. 0.02739. -0.010301927. -0.0036309. 90.11388. 40. -0.7159. 0.05757. -0.014936275. -0.00277449. 90.20566. 50. -0.267. 0.0808. -0.017695737. -0.00103487. 90.27005. 60. 0.267. 0.0808. -0.017695737. 0.001034872. 90.27005. 70. 0.7159. 0.05757. -0.014936275. 0.002774492. 90.20566. 80. 0.9369. 0.02739. -0.010301927. 0.0036309. 90.11388. 90. 0.8605. 0.00716. -0.00526865. 0.00333458. 90.03987.
100. 0.5113. 0.00053. -0.001430292. 0.001981319. 90.00541. 110-150. 0. 0. 0. 0. 90.
160. -0.5113. -0.0005. 0.001430292. 0.001981319. 90.00541. 170. -0.8605. -0.0072. 0.00526865. 0.003334588. 90.03987. 180. -0.9369. -0.0274. 0.010301927. 0.0036309. 90.11388. 190. -0.7159. -0.0576. 0.014936275. 0.00277449. 90.20566. 200. -0.267. -0.0808. 0.017695737. 0.001034872. 90.27005. 210. 0.267. -0.0808. 0.017695737. -0.001034872. 90.27005. 220. 0.7159. -0.0576. 0.014936275. -0.002774492. 90.20566. 230. 0.9369. -0.0274. 0.010301927. -0.0036309. 90.11388. 240. 0.8605. -0.0072. 0.00526865. -0.003334588. 90.03987. 250. 0.5113. -0.0005. 0.001430292. -0.001981319. 90.00541.
260-360. 2E-16. 0. 0. -8.97932E-19. 90.
CAPÍTULO 2
61
Tabla 2.7.(b) Velocidad y aceleración del mecanismo Biela manivela corredera. Desplazamiento
angular de la leva (grados).
Posición de r4 (mm.).
Velocidad angular θ3 (rad
/seg.).
Velocidad de r4 (mm./seg).
Aceleración Angular. α3
(rad./seg.2).
Aceleración r4 (mm./seg.2).
0. 92.5169 0 0 0 0. 10. 92.6628 -0.000198 -0.306825 -0.0002778 -0.425004 20. 93.6283 -0.000681 -1.130521 -0.0004862 -0.71518 30. 95.9725 -0.001106 -2.211832 -0.0006018 -0.778418 40. 99.8169 -0.00107 -3.209332 -0.0006446 -0.594384 50. 104.807 -0.000446 -3.804654 -0.0006523 -0.221357 60. 110.225 0.000446 -3.805106 -0.0006523 0.2219758 70. 115.216 0.00107 -3.210157 -0.0006446 0.5946352 80. 119.061 0.001106 -2.212304 -0.0006018 0.7784122 90. 121.406 0.000681 -1.130623 -0.0004862 0.715153
100. 122.371 0.000198 -0.306829 -0.0002778 0.425001 110-150. 122.517 0 0 -1.253E-19 1.926E-16
160. 122.371 -0.000198 0.306829 0.0002778 0.4249954 170. 121.406 -0.000681 1.130623 0.0004862 0.7150802 180. 119.061 -0.001106 2.212304 0.0006018 0.778155 190. 115.216 -0.00107 3.210157 0.0006446 0.5941377 200. 110.225 -0.000446 3.805106 0.0006523 0.2213147 210. 104.807 0.000446 3.804654 0.0006523 -0.222019 220. 99.8169 0.00107 3.209332 0.0006446 -0.594881 230. 95.9725 0.001106 2.211832 0.0006018 -0.778675 240. 93.6283 0.000681 1.130521 0.0004862 -0.715253 250. 92.6628 0.000198 0.306825 0.0002778 -0.425009
260-360. 92.5169 0 0 1.253E-19 -1.93E-16
Para el análisis dinámico es necesario tener la aceleración en los puntos de inercia
(S2 y S3), según la figura 2.18. y según datos de diseño se tiene el siguiente análisis.
La aceleración del punto A es igual ala aceleración normal de la leva es decir:
(aA)t + (aA)n= y’’ (2.62.).
Con un ángulo de 90º con respecto al eje “x”, por tanto la aceleración del punto S2
tiene una aceleración total con un ángulo de 90º con respecto al eje x, (ver figura 2.18.)de
donde por tanto se tiene:
CAPÍTULO 2
62
(as2)t= rs2 x α2 (2.63.).
(as2)n= ω2 x ω2 x rs2 (2.64.).
Con las ecuaciones (2.63.) y (2.64.) se puede calcular la aceleración total del punto
S2. Con la ecuación (2.65.).
((as2)t)2 + ((as2)n)2 = (as2)2 (2.65.).
θ3
r2
r3
r1
aA
r4
y’’
A
O3
B
C
S3
S2
“x”
as2
as2t
as2n
as3n
as3t
as3
aBt
aBn
aB
aAt
Figura 2.18. Diagrama de aceleraciónes tangenciales y normales.
De la tabla 2.7.(a) y 2.7.(b) se tienen las aceleraciones angulares y velocidades
angulares para cada eslabón, con las expresiones (2.62.) y (2.65.) se calcula la aceleración
normal y tangencial para el punto S2 y punto S3. De donde se tiene la tabla 2.8.
CAPÍTULO 2
63
Tabla 2.8. Aceleraciónes normales y tangenciales de los puntos S2 y S3, así como el ángulo formado entre la aceleración total y la aceleración tangencial.
Desplazamiento angular de la leva (grados).
(as2)n (mm./seg2)
(as2)t (mm./seg2)
(as2) (mm./seg2)
Ángulo(en grados) de localización
de (as2).
(as3)t (mm./seg2)
(as3)n (mm./seg2)
(as3) (mm./seg2)
Ángulo de localización
de (as3).
0 0 0 0 0 0 0 2.78E-07 0 5 -0.066676 8.52E-06 0.066675 -0.029533 -0.01549 2.78E-07 0.015496 -0.0010 10 -0.127956 0.000132 0.127955 -0.236373 -0.02986 4.19E-06 0.02986 -0.00805 15 -0.178885 0.000624 0.178886 -0.799339 -0.04228 1.89E-05 0.0422 -0.02568 20 -0.215351 0.001790 0.215358 -1.905031 -0.05226 4.98E-05 0.05226 -0.05459 25 -0.234402 0.003856 0.234434 -3.76556 -0.05968 9.26E-05 0.05968 -0.08894 30 -0.234487 0.006846 0.234587 -6.661399 -0.06470 0.00013 0.064704 -0.11648 35 -0.215578 0.010519 0.215834 -11.04496 -0.06773 0.000145 0.06773 -0.12315 40 -0.17918 0.014391 0.179756 -17.81119 -0.06930 0.000123 0.069302 -0.10169 45 -0.128223 0.017828 0.129456 -29.08129 -0.06994 7.24E-05 0.069948 -0.05933 50 -0.066833 0.020200 0.069819 -50.40531 -0.07013 2.13E-05 0.070132 -0.01745 55 -2.91E-17 0.021047 0.021047 -90 -0.07015 8.47E-33 0.07015 -6.E-30 60 0.066833 0.020200 0.069819 50.405313 -0.07013 2.13E-05 0.07013 -0.017 65 0.128222 0.017828 0.129456 29.081285 -0.06994 7.24E-05 0.06994 -0.0593 70 0.179179 0.014391 0.179756 17.811193 -0.0693 0.00012 0.06930 -0.10169 75 0.215577 0.010519 0.215834 11.044964 -0.06773 0.00014 0.06773 -0.1231 80 0.234487 0.00684 0.234587 6.6613986 -0.06470 0.00013 0.0647 -0.11648 85 0.234402 0.003856 0.234434 3.76556 -0.05968 9.26E-05 0.05968 -0.08894 90 0.21535 0.001790 0.215358 1.9050315 -0.0522 4.98E-05 0.05226 -0.05459 95 0.17888 0.000624 0.178886 0.7993391 -0.0422 1.89E-05 0.04228 -0.02568
100 0.127955 0.000132 0.127955 0.2363734 -0.02986 4.19E-06 0.02986 -0.00805 105 0.066676 8.5E-06 0.066675 0.029533 -0.0154 2.78E-07 0.01549 -0.0010 110 5.7E-17 0 5.7E-17 0 -1.3E-17 0 1.34E-17 0
2.8. Sumario.
En éste capítulo se estudió el análisis y síntesis del mecanismo que se propone, de
donde se realizó el estudio con expresiones conocidas como la de movilidad, se realizó la
síntesis obteniendo expresiones del movimiento del mecanismo biela – manivela –
corredera, se analizó el movimiento del engranaje de transmisión de potencia, así mismo
se seleccionó la leva que transmitirá el movimiento al mecanismo biela – manivela –
corredera esta fue según Kloomok, and R.V. Muffley. Con este análisis se obtuvieron tablas
que permitirán realizar el estudio dinámico del mecanismo.
CAPÍTULO 2
64
Siempre considero el movimiento de los eslabones conductores conocidos, esto es,
que la ley de movimiento del eslabón o barra motor es dato conocido. El movimiento de los
eslabones conducidos se estudia en función del movimiento dado del conductor. Las
fuerzas que actúan en los eslabones del mecanismo y las fuerzas que aparecen debido al
movimiento de los eslabones se estudian en el CAPÍTULO 3. De ésta manera podemos
decir que en la cinemática la investigación del movimiento se lleva a cabo tomando sólo la
estructura de los mecanismos y las relaciones entre sus dimensiones.
REFERENCIAS
• Reuleaux, F., Kinematics of Machinery: Outline of a Theory of Machines. New
York: Dover, 1963.
• Hartenberg, R. S., and J. Denavit, Kinematics Synthesis of Linkages. New York:
McGraw-Hill Book Company, 1964.
• and E. R. Maki, “The Creation of Mechanisms According to Kinematic Structure
and Funtion, “ General Motors Research Publications, GMR-3073, September
1979; Innternational Journal for the Science of Arquitecture and Design, 1980.
• Normas ANSI Sección B6.1 y AGMA Standard, Sección 201.02 A.
• M. Kloomok and R.V. Muffley, Plate Cam Design, Product Engineering, 1955.
• F. H. Raven, Analytical Design of Disk Cams and Three-Dimensional Cams by
Independent Position Equations, ASME Transactions, serie E, vol. 26, NO. 1,
1959.
• Austin H. Church, Cinemática de las Máquinas, 23ª Edición, Compañía Editorial
Continental, S.A. de C.V., México D.F., 1990.
• Hamilton H. Mabie, Mecanismos y Dinámica de Maquinaria, 4ª. Edición,
Compañía Editorial Continental, S. A. De C. V., México D.F., 1990.
CAPÍTULO 2
65
• Beer Johnston, Mecánica Vectorial para Ingenieros (Dinámica), 6ª. Edición,
McGraw Hill, México D.F., 1998.
• Joseph Edwar Shigley, Teoría de Máquinas y Mecanismos, 1ª Edición, McGraw
Hill, México D.F., 1988.
• M. en C. Cándido Palacios Montúfar, Análisis y síntesis de mecanismos., I.P.N.
México D.F. ,1997.
• M. en C. Cándido Palacios Montúfar, Apuntes de Dinámico de maquinas y
mecanismos, México D.F. ,1997.
CAPÍTULO 3
65
CAPÍTULO 3
66
C a p í t u l o 3 .
DINÁMICA DEL MECANISMO PROPUESTO.
En él CAPÍTULO 2, se hizo el análisis cinemático del mecanismo para la prensa de
loseta de pedacería de mármol, su enfoque se basa en la geometría de los movimientos y
de las relaciones entre el desplazamiento y el tiempo. Se pasó completamente por alto las
fuerzas que produce el movimiento, o los movimientos que resultarían de la aplicación de
un sistema de fuerzas dado; es decir, después de haber utilizado la síntesis y el análisis
cinemático para definir una configuración y un conjunto de movimientos para un diseño en
particular, es lógico y conveniente aplicar una solución dinámica inversa, para determinar
las fuerzas y momentos en el sistema. De donde, él análisis de las fuerzas se hace
suponiendo, que el mecanismo tiene las propiedades de un cuerpo rígido, sin considerar
las propiedades de elasticidad de los materiales, es decir; en el análisis de los mecanismos
es usualmente conocido el movimiento, ya sea por experimentación o por predicciones
analíticas basadas en un análisis cinemático. Las restricciones físicas en las juntas del
mecanismo ayudan a predecir el movimiento, mientras que las fuerzas que ocasionan esos
movimientos deben ser determinadas.
3.1. GENERALIDADES.
El análisis de las fuerzas dinámicas está basado en las tres leyes de Newton, que se
utilizarán para determinar las fuerzas y momentos en el sistema que resultan de o se
requieren para impulsar el sistema cinemático, de modo que proporcione las aceleraciones
predeterminadas en la cinemática del mecanismo o como dato de diseño. En otras
palabras, las leyes de Newton describen la relación entre el movimiento de una partícula y
las fuerzas que actúan sobre ella. Los mecanismos están formados por eslabones rígidos
que están constituidos por millones de partículas que forman el cuerpo sólido.
CAPÍTULO 3
67
Analicemos a una partícula (figura 3.1) de un eslabón (k) en un instante con una
velocidad angular ωk y una aceleración angular αk conocida. El centro de masa está
situado en el centro de gravedad (cg) y tiene una aceleración acg. Cualquier partícula
(digamos Pi) de éste eslabón debe obedecer las leyes de Newton. La aceleración de Pi
puede encontrarse por el procedimiento de diferencia de aceleración. Además, se puede
expresar la aceleración en sus componentes, de donde se tiene:
a a a a aPin
Pit
cg Pi cgn
Pi cgt+ = + +( ) ( ) (3.1.).
donde: y está dirigida de Pi a cg; y es perpendicular a la
componente normal con el sentido de α
a Pi cgn
i k( ) = −rω 2 a Pi cgt
i kie( )
/= rα π 2
k. La segunda ley de Newton puede aplicarse a la
partícula Pi para determinar la fuerza aplicada a la partícula Pi :
ddt
ddt
ii
ii i i i i i i
iieT
= mV
= m a = m a - m r + m r = FP PP cg k
2kω α π /2 (3.2.).
donde: mi es la masa de la partícula y T es su momentum expresado en forma vectorial.
Eslabón K
Pi
acg
cg
ωK
αK
Figura 3.1. Eslabón k en movimiento plano general.
La fuerza resultante aplicada a todo el eslabón puede encontrarse sumando las
contribuciones de todas las partículas Pi:
F = F = m a - m r + m rcg k kii
ii
i ii
i ii
ie∑ ∑ ∑ ∑ω α π2 2/ (3.3.).
o
F = F = a m - m r + m r cg k2
k eii
ii
i ii
i
i∑ i i∑ ∑ ∑ω α π /2 (3.4.).
CAPÍTULO 3
68
La expresión (3.4.) se simplifica, observando que:
m ii∑ = m, masa total del eslabón K (3.5.).
y:
m ri ii∑ = 0 (3.6.).
ya que cg es el centro de gravedad. Por tanto la ecuación (3.4.) puede expresarse como:
F = m acg (3.7.).
Si se suman los momentos respecto al centro de gravedad de todos los puntos Pi,
los términos normales desaparecen y el par resultante es entonces:
T = m r r = m rki
ki
i i i i iα α∑ ∑ 2 (3.8.).
Por definición, la suma en el lado derecho de la expresión (3.8.) es el momento de
inercia de masa respecto al centro de gravedad (Icg), La expresión (3.8.) se escribe como:
T = Icgαk (3.9.).
La ecuación (3.7.) tiene dos componentes, en el caso de movimiento plano, se
tendrán tres ecuaciones independientes de equilibrio dinámico que, para cualquier eslabón
k, se escribe como:
F = ax cgx∑ m (3.10.).
F = ay cgy∑ m (3.11.).
T = Icg∑ αk (3.12.).
Las expresiones (3.10.) a la (3.12.) representan las leyes de la dinámica de cuerpos
rígidos que se mueven con movimiento plano. Ellas pueden expresarse como extensiones
convenientes de las leyes de la estática:
F =∑ 0 (3.13.).
T =∑ 0 (3.14.).
CAPÍTULO 3
69
T
en donde, se sobre entiende que tanto las fuerzas, como los momentos externos y de
inercia se deben incluir como términos de las sumatorias en F∑ ∑ y . A ésto, se le
conoce como el principio D’Alembert1, de donde se resume como:
La suma vectorial de todas las fuerzas externas y las fuerzas de inercia que actúan
sobre un cuerpo rígido es cero. La suma vectorial de todos los momentos externos y todos
los momentos de torsión de inercia que actúa sobre un cuerpo rígido también es cero por
separado.
3.1.1. FUERZAS DE FRICCIÓN.
Las fuerzas de fricción siempre se oponen al movimiento relativo de un cuerpo que
se deslice sobre otro, en forma automática y nunca la favorecen. Aún cuando no se
produzca un movimiento relativo existen siempre fuerzas de fricción entre ambas
superficies.
Las fuerzas de fricción que actúan entre superficies que están en reposo entre sí, se
llaman fuerzas de fricción estática. La fuerza de fricción estática máxima será precisamente
del mismo valor que la menor fuerza necesaria para iniciar el movimiento. Una vez que el
movimiento ha comenzado, las fuerzas de fricción que actúan entre las superficies
generalmente decrecen de modo que para conservar el movimiento uniforme se requiere
una fuerza menor. La fuerza que actúa entre las superficies que están en movimiento
relativo entre sí, se llama fuerza de fricción cinética.
La relación entre la magnitud de la fuerza de fricción estática máxima y la magnitud
de la fuerza normal se llama el coeficiente de fricción estática de las superficies
consideradas. Si f, representa la magnitud de la fuerza de fricción estática, se tiene que:
fs ≤ µsN (3.15.).
1 Tomado de” Teoría de máquinas y mecanismos”, Joseph Edward Shigley 1ª edición, pagina 456, México 1988
CAPÍTULO 3
70
en la expresión (3.15.) µs es el coeficiente de fricción estática y N es la magnitud de la
fuerza normal. El valor de la igualdad se cumple cuando fs tiene su valor máximo.
La relación de la magnitud de la fuerza de fricción cinética a la magnitud de la fuerza
normal se llama el coeficiente de fricción cinética. Si fk representa la magnitud de la fuerza
de fricción cinética:
fk = µkN (3.16.).
en donde µk es el coeficiente de fricción cinética.
Tanto µs como µk son constantes adimensionales, puesto que ambas son relaciones
entre dos fuerzas. Generalmente, en un par de superficies dadas, µs>µk. Los valores de µs
y de µk dependen de la naturaleza de ambas superficies en contacto.
Nota: El coeficiente de fricción depende de muchas variables, tales como la
naturaleza de los materiales, el acabado de las superficies, las películas
superficiales, la temperatura y el grado de contaminación.
3.2. DINÁMICA DEL MECANISMO LEVA BIELA MANIVELA CORREDERA.
Éste mecanismo poseé una topología RRRP, cuyos pares cinemáticos, y el orden
en que están colocados definen la naturaleza del movimiento del mecanismo, es decir se
transformará movimiento de rotación de la leva a movimiento de traslación del pistón,
siguiendo una ley de movimiento cicloidal.
Se establece un sistema coordenado local, no rotatorio en cada elemento móvil, es
decir; todas las fuerzas aplicadas exteriormente, ya sea debido a otros elementos
conectados u otros sistemas, deben tener entonces sus puntos de aplicación localizados
en un sistema coordenado local. Además, se considerara que cualquiera de las fuerzas o
torques aplicados cuyas direcciones se conocen, deben conservar los signos apropiados
en sus componentes. Se supondrá que todas las fuerzas y torques desconocidos son
positivos. Sus signos verdaderos "Saldrán en el proceso".
CAPÍTULO 3
71
F41= -F14
a) Eslabonamiento.
A
O3
F21 = -F12
O3
S2
A
B
F25=-F52
F12
F32
Fp
acg
F14
F34 = -F43
b) Diagramas de cuerpo libre. F52
F15ω
O5
O5
y
S3
F43
F23=-F32
mg
acg
acg mg
215.034 mm.
107.517 mm. S2 S3
C
O3
x
y
B 53.758 mm.
64.51 mm.
258.041 mm.
C
x B
F51 = -F15
Figura 3.2. (a) Eslabonamiento del mecanismo biela manivela corredera, (b) Diagramas de cuerpo libre.
CAPÍTULO 3
72
Analizando la figura 3.2, que representa el diagrama de cuerpo libre y si la leva
(eslabón 5) tiene una masa de 5.61026 kg. y con un centro de gravedad en el eje “x” de _
12.855752 mm. y en el eje “y” de 15.320889 mm. respecto al centro de giro de la leva. Y
según la figura 3.2. sin considerar el rodillo del seguidor, se tienen las ecuaciones lineales
de las fuerzas que actúan en el punto de contacto entre el seguidor y la leva, así como las
fuerza ejercida en el eje de giro, es decir:
Fx∑ = F15x - F25x = m5acg5x (a).
Fy∑ = F15y - F25y – m5g = m2acgy (b).
Mo5∑ = T15 _ (r52xF25y – r52yF25x) –rcg5xm5g = I0α0 (c).
Analizando la leva, el punto de presión entre el seguidor y leva tienen un ángulo λ
que es el ángulo de presión del mecanismo. El cual fue analizado anteriormente en el
análisis cinemático. Por otra parte, tenemos que la velocidad angular del mecanismo leva
es constante, por tanto carece de una aceleración angular, por otro lado si la fuerza en la
leva en “x” es:
F25x = F25y tanλ (d).
Como el centro de masa se encuentra desfasado del centro de giro, tenemos que la
aceleración tiene componentes en “x” y en “y” de donde tenemos de las ecuaciones
(a),(b),(c) y (d):
F15x - F25y (tanλ) = m5acg5x (3.17.).
F15y - F25y – m5g = m5acg5y (3.18.).
T15 - r52yF25y tanλ = rcg5xm5g (3.19.).
r52y = (y + Rb)seno (270).
rcg5x = 20(coseno(110 + desplazamiento angular de la leva)).
CAPÍTULO 3
73
Analizando el eslabón 2 (AO3B) según figura 3.2. diagrama de cuerpo libre, y
considerando la ecuación (d) y como punto fijo el punto O3, se tiene:
F12x + F32x + F25ytanλ = m2acg2x (3.20.).
F12y + F32y + F25y = m2acg2y - m2g (3.21.).
(r32xF32y – r32yF32x) + F25y(r25x - r25ytanλ ) = Icg2α2 - (r12m2g) (3.22.).
si:
r12x = (64.510143)(coseno(180 - ψ2)), r12y = (64.510143)(seno(180 - ψ2)).
r32x = (215.03381)(coseno(360 - ψ2)), r32y = (215.03381)(seno (360 - ψ2)).
r25x = (258.04057)(coseno (180 - ψ2)), r25y = (258.04057)(seno (180 - ψ2)).
En el caso del eslabón 3:
F43x - F32x = m3acg3x (3.23.).
F43y - F32y – m3g= m3acg3y (3.24.).
(r43xF43y – r43yF43x) – (r23xF32y – r23yF32x) = Icg3α3 (3.25.).
si:
r43x = (53.75845)(senθ3), r43y =(53.75845)(cosθ3).
r23x = (53.75845)(seno (180 + θ3)), r23y = (53.75845)(seno (180 + θ3).
Para el eslabón 4:
F14x – F43x + Fpx= m4acg4x (e).
F14y – F43y + Fpy = m4acg4y (f).
(r14xF14y – r14yF14x) – (r34xF43y – r34yF43x) + (rpxFpy – rpyFpx) = Icg4α4 (g).
CAPÍTULO 3
74
Para la inversión de la manivela corredera mostrada, el bloque deslizante, o pistón,
ésta en traslación pura respecto al plano fijo estacionario; por tanto, puede no tener
aceleración o velocidad angulares. Asimismo, los vectores de posición en la ecuación “g”
del torqué son todos nulos, ya que la fuerza Fp actúa en el cg. Por lo tanto, la expresión del
torqué para el eslabón 4 es igual a cero para ésta inversión del eslabonamiento de
manivela corredera. Su aceleración lineal tampoco tiene componente “x”:
α4 = 0 acgx = 0 (h).
La única fuerza dirigida según “y”, puede hallarse en la interfaz entre los eslabones 4
y 3, es la fricción. Supóngase efecto friccional ideal, la componente “y” puede expresarse
en función de la componente “x” de la fuerza en está interfaz. Por tanto se tiene una
relación para la fuerza de rozamiento f en esa interfaz, como f = ± µN, donde ± µ es un
coeficiente de fricción conocido (0.058). Los signos más y menos son para reconocer el
hecho de que la fuerza friccional siempre se opone al movimiento. El signo de µ siempre
será el opuesto al signo de ésta velocidad:
F14y = -µF14x (i).
Al sustituir las ecuaciones, tenemos:
F14x – F43x - Fpx= 0 (3.26.).
±µF14x – F43y - Fpy = m4acg4y (3.27.).
Con la última sustitución tenemos 11 incógnitas que son: F15x, F15y, F25y, F12x, F12y
F32x, F32y, F43x, F43y, F14x, T15 con 11 ecuaciones lineales necesarias para la solución del
sistema. Esto puede expresarse en forma matricial, con los coeficientes de las variables
incógnitas en la matriz A, dichas variables en el vector B y los términos constantes en el
vector C; luego se resuelve para evaluar B.
[A] x [B] = [C] (3.28.).
CAPÍTULO 3
75
Nótese que la matriz A contiene toda la información geométrica necesaria y la matriz
C, toda la información dinámica acerca del sistema. La matriz B contiene todas las fuerzas
y Momentos desconocidos. De donde tenemos:
1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 1 0 1 0 0 0 0 00 0 1 0 1 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 1 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 0 1 00 0
52
25 25 2 32 32
23 23 43 43
−−
−
− −−
−− − −
−
tan
r tantan
r r tan r r
r r r r
y
x y y x
y x y x
λ
λλ
µ λ( )
0 0 0 0 0 0 1 00
15
15
25
12
12
32
32
43
43
14
15− −
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
×
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
=
µ
FFFFFFFFFFT
x
y
y
x
y
x
y
x
y
x
=
+
++
+
+ +
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
m am a m g
r m gm a
m a m gI m g r
m am a m g
I
m a F m g
cg x
cg y
cg x
cg x
cg y
x
cg x
cg y
y py
5 5
5 5 5
5 5
2 2
2 2 2
2 2 2 12
3 3
3 3 3
3 3
4 4 4
0
α
α
( ) .
Suponiendo que µ0 = 0.058 para la corredera que tiene un deslizamiento grasoso
entre las superficies de acero con acero, y con los datos obtenidos en la tabla 2.7. (a), 2.7.
(b) y 2.8. y con los datos propuestos en el tema 2.5. se obtiene la tabla 3.1. para la
posición angular de la leva desde 60 grados a 110 grados, ya que es el periodo del cual
nos interesa el análisis dinámico.
CAPÍTULO 3
76
Tabla 3.1. Datos obtenidos de la solución de las ecuaciones lineales. Fuerzas aplicadas en el desplazamiento de la leva en: 60 grados.
Newton Newton Newton Grados Newton metro Fuerza en x Fuerza y Fza. Total Ángulo Momento
F15 -1402.044 -16478.95 16538.486 85.136 F25 1402.831 -16533.85 16593.256 -85.150 F12 1309.262 36556.12 36579.558 87.948 F32 93.66207 -19865.31 19865.531 -89.729 F43 93.66207 -19826.07 19826.291 -89.729 F14 93.66207 -1614.8633 1617.5772 -86.681 T15 5.644
Fuerzas aplicadas en el desplazamiento de la leva en : 65 grados Newton Newton Newton Grados Newton metro
Fuerza en x Fuerza y Fza. Total Ángulo Momento F15 -1674.036 -16506.44 16591.111 84.209 F25 1674.8081 -16561.27 16645.74 -84.225 F12 1590.163 36587.09 3662163 87.5113 F32 84.66759 -19869.86 19869.04 -89.755 F43 84.66759 -19829.62 19829.01 -89.755 F14 84.66759 -1459.786 1462.23938 -86.680 T15 11.731
Fuerzas aplicadas en el desplazamiento de la leva en : 70 grados Newton Newton Newton Grados Newton metro
Fuerza en x Fuerza y Fza. Total Ángulo Momento F15 -1944.397 -16537.39 16651.305 83.294 F25 1945.1475 -16592.15 16705.779 -83.313 F12 1873.883 36620.58 36668.492 87.070 F32 71.26351 -19871.46 19871.588 -89.794 F43 71.26351 -19832.22 19832.348 -89.794 F14 71.26351 -1228.6812 1230.7461 -86.680 T15 19.005
Fuerzas aplicadas en el desplazamiento de la leva en : 75 grados Newton Newton Newton Grados Newton metro
Fuerza en x Fuerza y Fza. Total Ángulo Momento F15 -2201.679 -16574.24 16719.833 82.433 F25 2202.4033 -16628.94 16774.154 -82.455 F12 2091.487 36662.08 36721.689 86.734 F32 110.8681 -19876.18 19876.489 -89.680 F43 110.8681 -19836.94 19837.25 -89.679 F14 110.8681 -1911.519 1914.7314 -86.680 T15 26.892
Fuerzas aplicadas en el desplazamiento de la leva en : 80 grados Newton Newton Newton Grados Newton metro Fuerza en x Fuerza y Fza. Total Ángulo Momento
F15 -2431.718 -16599.77 16776.937 81.665
CAPÍTULO 3
77
F25 2432.4099 -16654.41 16831.102 -81.690 F12 2392.93 36684.67 36762.632 86.267 F32 39.46462 -19873.3 19873.339 -89.886 F43 39.46462 -19834.06 19834.099 -89.885 F14 39.46462 -680.42448 681.568 -86.680 T15 34.650
Fuerzas aplicadas en el desplazamiento de la leva en : 85 grados. Newton Newton Newton Grados Newton metro Fuerza en x Fuerza y Fza. Total Ángulo Momento
F15 -2625.804 -16625.8 16831.877 81.025 F25 2626.4593 -16680.38 1688.5892 -81.051 F12 2603.451 36709.81 36802.012 85.943 F32 25.11205 -19872.47 19872.486 -89.927 F43 25.11205 -19833.23 19833.246 -89.927 F14 25.11205 -432.96638 433.69402 -86.680 T15 41.583
Fuerzas aplicadas en el desplazamiento de la leva en : 90 grados. Newton Newton Newton Grados Newton metro Fuerza en x Fuerza y Fza. Total Ángulo Momento
F15 -2776.052 -16645.51 16875.41 80.531 F25 2776.6639 -16700.03 16929.29 -80.559 F12 2762.839 36727.54 36832.351 85.676 F32 13.83111 -19870.54 19870.545 -89.960 F43 13.83111 -19831.3 19831.305 -89.960 F14 13.83111 -238.46741 238.86818 -86.680 T15 47.121
Fuerzas aplicadas en el desplazamiento de la leva en : 95 grados. Newton Newton Newton Grados Newton metro Fuerza en x Fuerza y Fza. Total Ángulo Momento
F15 -2880.228 -16657.99 16905.157 80.190 F25 2880.7936 -16712.46 16958.93 -80.219 F12 2874.671 36737.09 36849.39 85.516 F32 6.114029 -19867.68 19867.681 -89.982 F43 6.114029 -19828.44 19828.441 -89.982 F14 6.114029 -105.41429 105.59145 -86.680 T15 50.964
Fuerzas aplicadas en el desplazamiento de la leva en : 100 grados. Newton Newton Newton Grados Newton metro Fuerza en x Fuerza y Fza. Total Ángulo Momento
F15 -2971.373 -16663.69 16921.222 79.988 F25 2942.1973 -16717.98 16974.904 -80.018 F12 2940.326 36739 36856.473 85.424 F32 1.881961 -19864.05 19864.05 89.994 F43 1.881961 -19824.81 19824.81 89.994 F14 1.881961 -32.447603 32.502134 86.680
CAPÍTULO 3
78
T15 53.151 Fuerzas aplicadas en el desplazamiento de la leva en : 105 grados.
Newton Newton Newton Grados Newton metro Fuerza en x Fuerza y Fza. Total Ángulo Momento
F15 -2971.373 -16663.69 16926.536 79.889 F25 2969.3967 -16718.07 16979.729 -79.928 F12 2969.166 36734.91 36854.709 85.379 F32 0.2340356 -19859.88 19859.88 -89.999 F43 0.2340356 -19820.64 19820.64 89.999 F14 0.2340356 4.0350966 4.0418779 86.680 T15 54.013
Fuerzas aplicadas en el desplazamiento de la leva en : 110 grados. Newton Newton Newton Grados Newton metro Fuerza en x Fuerza y Fza. Total Ángulo Momento
F15 -2974.416 -16660.63 16924.058 79.877 F25 2974.815 -16714.98 16924.128 79.876 F12 2974.803 36727.38 36847.658 85.369 F32 0.004300 -19855.44 19855.44 89.999 F43 0.004300 -19816.2 19816.2 89.999 F14 0.004300 0.0740379 0.0742625 86.680 T15 54.096
En la tabla 3.1. se observa que el momento máximo es cuando la leva ésta en una posición de 110 grados, respecto al punto de origen de análisis, ya que cuando lleva al punto masa alto, se encuentra en reposo, y al retorno del seguidor no tiene carga por tanto no es necesario el análisis, se puede observar en la gráfica de la figura 3.3. el comportamiento del momento de la leva respecto al seguidor.
MOMENTO DE LA LEVA
0
10
20
30
40
50
60
DES70
PLA M ENTO ANG
NE
WTO
N-M
ETR
O
856560 55ULAR90 95 100 105 110
I80
ZA75
Figura 3.3. Comportamiento del momento en la leva.
CAPÍTULO 3
79
3.3. FUERZAS DINÁMICAS DE LAS RUEDAS DENTADAS
Por otro lado consideremos la dinámica del tren de engranajes, para hacer el
análisis completo es necesario tener las masas de los engranajes, supondremos que k= 8
(k = factor de ancho de cara del diente) y con una densidad promedio de 7800 kg/m3. Con
estos datos y con la tabla 2.2 se obtiene datos de la tabla 3.2.
El momento de inercia de masa se calcula de la siguiente expresión:
(I I m a Ly z= = +1
123 2 2 ) (3.29.).
Tabla 3.2. Momento de inercia y mása de cada engranaje. Engrane Número
de dientes Módulo (mm.)
Diámetro (mm.)
Ancho de cara
(mm.)
Ancho real
(mm.)
Área (mm.2 )
Volumen (mm.3)
Masa (kg.) Momento de inercia (Kg. – m2)
1 20 4 80 32 38.1 5026.548 191511.49 1.493 0.0007 2 60 4 240 32 38.1 45238.93 1723603.4 13.44 0.0500 2' 30 4 120 32 38.1 11309.73 430900.85 3.361 0.0034 3 110 4 440 32 57.15 ------ -------- ------- ------ 4 20 8 160 64 50.8 20106.19 1021394.6 7.966 0.0144 5 50 8 400 64 50.8 125663.7 6383716.3 49.79 0.5088
brazo ------ ------ ----- ----- ------ ------ 1.5 0.0035
De la tabla 3.1. el momento máximo es 54.09683 N.-m. él cual deberá ser trasmitido
por el engranaje 5 (ver figura 2.7.).
De los diagramas de cuerpo libre de la figura 3.4. se determinan las fuerzas que
actúan en cada eslabón. Las fuerzas de inercia son cero para el engranaje planetario y el
porta-engranaje (ó brazo), así como también para en engranaje externo de transmisión ya
que la aceleración angular de los centros de masa de estos elementos es cero, los pares
de inercia también son cero debido a que el tren opera a velocidad angular constante y
aceleración angular igual a cero. Por lo que respecta a los satélites, las fuerzas de inercia
centrifugas actúan debido a la aceleración centrípeta de los centros de los satélites. De
donde se tiene:
T05 = r54 x F45. (3.39.).
Si el torque es debido a la fuerza en “y” (ver figura 3.4.):
CAPÍTULO 3
80
F45y = Tr x
05
54
54 096830 2
=.
. N. .
O5
F45F45y
F45x
F05
F45 = - F54
F04 = -FB4
“x”
“y” T05
(a)
160 F2’B
TO4
FB4 F2B + F2’BPorta engranaje ó Brazo
(b)
Engranaje 5 Engranaje 4
(c)
-F2’3 = F32’
Engranaje 3
“y”
“x” TO3
FO3
“x”
“y”
T22’
FB2’ = -F2’BEngranaje 2’
F2’3
“y” F21
F01
To1
(d) “y”
“x”
T2’2
FB2 = -F2B
F12 = -F21Engranaje 2
Engranaje 1
“x”
F2B
T04
Figura 3.4 Diagrama para el análisis de las fuerzas en los engranajes.
CAPÍTULO 3
81
F45y = - 270.484 N.
F45x = -98.448 N.
Si analizamos las fuerzas en el engranaje 5, tenemos las ecuaciones (3.40.), (3.41.)
y (3.42.) tenemos:
F∑ 5x = F05x + F45x = m5acg5x (3.40.).
F∑ 5y = F05y + F45y – m5g = m5acg5y (3.41.).
T∑ 5cg = T05 + r54xF45y = Icgα5 (3.42.).
Si α5 es igual a cero, la aceleración del centro de gravedad en el eje “y” es cero, de
dónde tenemos que de la ecuación (3.40.) la fuerza en F05x es:
F05x = (49.792)(7.121)2(-0.2) - 98.448 = -603.390 N.
F05y = (49.792)(9.81) + 270.484 =758.953 N.
F05 = 969.098 N ∠ 51.514 º.
Analizando el engranaje 4 tenemos:
F∑ 4x = FB4x - F54x = m4acg4x (3.43.).
F∑ 4y = FB4y - F54y – m4g= m4acg4y (3.44.).
T∑ 4cg = T04 - r45xF54y = Icgα (3.45.).
Sustituyendo valores en ecuaciones (3.43.), (3.44.) y (3.45.):
FB4x =(7.966)(17.802)2(0.08) + 98.448 = 300.439 N
FB4y = (7.966)(9.81) + (270.517) = 348.639 N.
CAPÍTULO 3
82
FB4 = 460.231 N ∠ 49.246 º.
T04 = (0.2)(270.517) = 54.103 N-m.
Analizando el brazo del engranaje planetario.
F∑ brazo(x) = FB4x + (F2Bx + F2’Bx) = mBacg4x (3.46.).
F∑ brazo(y) = FB4y + (F2By + F2’By) – mBg= mBacg4y (3.47.).
T∑ brazo(cg) = T04 – r04B(F2By +F2’By) = I0α (mB)(9.81)(r04Bcg) (3.48.).
De la ecuación 3.48, despejamos (F2By + F2’By) y sustituimos valores obtenemos:
F2By + F2’By = 330.789 N.
Si por otro lado tenemos:
rr
FF
B x
B x
By
By
2
2
2
2
'
'= (3.49.).
Sustituyendo valores en la ecuación (3.49.):
F2By = - 110.263 N.
F2’By = - 220.526 N.
Analizando el engranaje 2’ de la figura 3.3. tenemos:
F∑ 2’x = -F2’Bx + F2’3x = m2’acg2x (3.50.).
F∑ 2’y = -F2’By + F2’3y – m2g = m2’acg2’y (3.51.).
T∑ 2’cg = T2’2 + (r2’3xF2’3 – r2’3yF2’3x) = Icgα2’’ (3.52.).
Sustituyendo valores en la ecuación (3.52.) tenemos que el torque es:
CAPÍTULO 3
83
T22’ = 13.231 N-m.
Sustituyendo valores en la ecuación (3.51.), obtenemos:
F2’3y = (3.361)(9.81)-220.526 = -187.552 N.
Analizando el engranaje 3, tenemos:
F∑ 3x = F03x - F2’3x = 0 (3.53.).
F∑ 3y = F03y - F2’3y = 0 (3.54.).
T∑ 3cg = T03 – r03xF2’3y = 0 (3.55.).
Nótese que la FO3 y TO3 son respectivamente, la fuerza y el momento de torsión que
ejerce el marco sobre el engranaje 3.
Sustituyendo valores en ecuaciones (3.55.) y (3.54.) tenemos:
T03 = 52.414 N-m.
F03y = 187.552 N.
Analizando el engranaje 2 tenemos:
F∑ 2x = -F2Bx – F21x = m2acg2x (3.56.).
F∑ 2y = -F2By – F21y – m2g = m2acg2y (3.57.).
T∑ 2cg = T2’2 - (r12xF21y – r12yF21x) = Icgα2 (3.58.).
Si F2B es la fuerza del eje sobre el brazo planetario “B” que actúa contra el engranaje
“2”, los engranajes 2 y 2’ están conectados entre si pero giran libremente sobre el eje del
brazo planetario por consiguiente T2’2 es el momento de torsión ejercido por el engranaje 2’
sobre el engranaje 2. De donde sustituyendo valores en ecuación (3.57.) y (3.58.) tenemos:
CAPÍTULO 3
84
F21y = -21.624 N.
T2’2 = 2.594 N-m.
Analizando al engranaje 1 tenemos:
F∑ 1x = F01x + F21x = m1acg1x (3.59.).
F∑ 1y = F01y + F21y = m1acg1y + m1g (3.60.).
T∑ 1cg = T01 + (r12xF21y – r12yF21x) = Icgα1 (3.61.).
Sustituyendo valores tenemos que :
T01 = 0.864 N-m.
F01y = 36.278 N.
Si tenemos que el ángulo de presión del engranaje es de 20 grados tenemos por
tanto que:
F21x = F21x tan (20º) (3.62.).
Sustituyendo valores en ecuación (3.62.) tenemos:
F21x = -7.870 N.
Con éste valor se sustituye en las diferentes incógnitas, de donde se obtiene la tabla
3.3.
Por otro lado para calcular la potencia del motor tenemos:
Potencia = torque x velocidad angular (3.63.).
Sustituyendo el torque T01 y la velocidad angular del engranaje 1 tenemos:
Potencia = (0.864)(142.418) = 123.187 watts.
CAPÍTULO 3
85
Potencia = 0.165 Hp.
Con ésta potencia tenemos que el fabricante IFIMOTO-IBÉRICA , según sus tablas
hay un motor de 0.25 Hp. con una eficiencia del 54 % a plena carga, de donde la potencia
real seria del 0.15 hp. Por consiguiente no es el motor adecuado, el siguiente es de 0.33
HP. con una eficiencia del 54% a plena carga , de donde la potencia real seria de 0.1782
Hp., de donde se opta por éste motor para no forzarlo. Por consiguiente tenemos:
Potencia del motor = 0.33 Hp.
Según IFIMOTO–IBÉRICA ® se trata de un motor asíncrono monofásico de par
medio de arranque (4 polos, 230 V. 50 Hz.) Tamaño IEC-71A con potencia nominal de 0.33
Hp. , velocidad angular de 142.418 (1360 r.p.m.) con una eficiencia del 54% a plena carga,
y con una intensidad de corriente para 230 V. de 2.1 y con un peso aproximado de 7.6 Kg.
Tabla 3.3. Fuerzas que actúan en el tren de engranajes. Fuerza en “x”
(Newton). Fuerza en “y”
(Newton). Fuerza total (Newton).
Ángulo (grados).
F05 -603.390 758.953 969.098 51.514 F45 -270.484 -98.448 287.843 20 FB4 300.439 348.639 460.231 49.246 F2B 3627.977 -110.263 3629.65 1.737 F2’B 4012.349 -220.526 4018.40 3.145 F03 3557.868 187.552 3562.80 3.017 F21 7.870 -21.624 23.012 20 F01 142.531 36.278 134.890 43.373 F2’3 -3557.868 -187.552 3562.808 3.017
3.4. SUMARIO.
Del CAPITULO 2, se tomó la información obtenida del análisis y síntesis del
mecanismo biela – manivela – corredera, así mimo la información cinemática del
mecanismo de transmisión para poder evaluar las fuerzas que intervienen para obtener el
movimiento deseado, es decir; en éste CAPITULO se analizaron las fuerzas dinámicas,
conociendo la cinemática de los eslabones, este análisis se realizó en dos partes, en la
CAPÍTULO 3
86
primera se analizó la dinámica del mecanismo biela – manivela – corredera, es donde se
obtuvo una matriz en donde interviene el eslabón “leva”, ésta matriz se resolvió por medio
de herramientas de cómputo, el método empleado es el llamado de “Gauss “, y por ultimo
se analizaron las fuerzas que intervienen en las ruedas dentadas (engranajes), de manera
que se puede decir que la dinámica es la base para realizar el análisis de los materiales y
dimensiones faltantes del sistema. En el CAPÍTULO 4 se observarán dibujos de detalle,
que es el resultado del análisis dinámico y mecánico.
REFERENCIAS
• Halmiton H. Mabie, Mecanismos y Dinámica de Maquinaria, 4ª. Edición,
Compañía Editorial Continental, S. A. De C.V., México D.F., 1990
• Arthur G. Erdman, Diseño de Mecanismos, Análisis y Síntesis, 3ª. Edición,
Prentice Hall, México D.F., 1998.
• Ferdinand P. Beer & E. Russell Johnston Jr., Mecánica Vectial para Ingenieros,
Dinámica, 6ª. Edición, McGraw-Hill, México D.F.,1998.
• Joseph Edwar Shigler, Teoría de Máquinas y Mecanismos, 1ª. Edición, McGraw
Hill, México D.F., 1988.
CAPÍTULO 4
C a p í t u l o 4 .
DIBUJOS Y SELECCIÓN DE MATERIALES PARA EL PROYECTO.
A continuación se realizan los cálculos correspondientes, para obtener las
dimensiones adecuadas de los dispositivos mecánicos, así como los materiales que
proporcionen la óptima resistencia de las fuerzas calculadas con anterioridad. Es
importante señalar, que la selección de estos últimos comprende la maquinabilidad del
mismo.
4.1. Esfuerzos en los dientes de los engranajes.
La resistencia de los dientes de engranaje se tiene que evitar tres posibles fallas.
Estás son la falla estática debida a esfuerzos por flexión, la falla por fatiga debida también
a esfuerzos por flexión y la falla en la superficie, derivada de esfuerzos de contacto.
rf
x
t
F
Ft
h
a
Fn
Ft
(a)
h
t
e
Figura 4.1. (a) voladizo con dimensiones, (b) diente de engranaje, para deducir ecuación de Lewis
(b)
87
CAPÍTULO 4
El investigador Wilfred Lewis1 presenta una expresión que relaciona el esfuerzo
por flexión que se produce en el diente del engranaje (ecuación 4.5.), ésta relación fue
publicada en 1892 el estudió del factor de forma para calcular el esfuerzo en dientes de
engranajes y en la actualidad es fundamental para el diseño de engranajes. De la figura
(4.1.) podemos deducir la ecuación de Lewis, de donde el esfuerzo por flexión es:
σ =TIc
(4.1.).
donde I/c es el módulo de la sección. Por otro lado analizando la figura (4.1. (b)) el
esfuerzo máximo se tiene en el punto a. Por triángulos semejantes tenemos:
xth
=2
4 (4.2.).
Si t es el espesor del diente, t = π (md
2)
y h es la altura del diente, h = 2.25(md), y
sustituimos en la ecuación (4.2.) obtenemos que:
xmd
=π 2
36( )
(4.3.).
Reordenando la ecuación (4.1.):
σ = ×Fb x
t 123
( ) (4.4.).
Se multiplica el numerador y el denominador por el módulo, además se tiene que
yx
md= ⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
23
, por tanto:
σ =F
b md yt
( ) (4.5.).
La ecuación (4.5.) es conocida como la ecuación de Lewis y el factor “y” se le
llama factor de forma de Lewis, si se emplea el paso para determinar el esfuerzo
tenemos:
88
1 R.G. Mitchiner and H:Mabie, The Determination of the Lewis Form Factor and the AGMA Geometry Factor J for
CAPÍTULO 4
σ =F p
bYt a( )
(4.6.).
donde:
Y x pa=23
( ) (4.7.).
“Y” es el factor de forma considerando el paso, sin embargo se desprecia la
compresión debida a la componente radial de la fuerza es decir sólo se considera la
flexión. El uso de la ecuación 4.7 implica asimismo que los dientes no comparten la carga
y que la fuerza se ejerce en el extremo del diente; Sin embargo la relación de contacto
debe ser algo mayor que la unidad, por tanto se considera a la ecuación (4.7.) como la
aproximación del esfuerzo máximo probable que se producirá mientras un sólo par de
dientes soporta la carga completa en un punto donde otro par se encuentra a punto de
hacer contacto.
La ecuación de la norma AGMA2 (publicación 225.01.) para el factor de forma de
Lewis es:
Y
xtan
tL L
=−⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
115cos
cos.φ
φφ (4.8.).
donde φL es el ángulo entre el vector de carga total y éste, difiere del ángulo de presión
de contacto del engranaje φ.
4.1.1. Concentración del esfuerzo.
Cuando Lewis propuso su modelo para el esfuerzo por flexión, los factores de
concentración de esfuerzos todavía no se utilizaban. Pero hoy se sabe de
investigaciones, como la fotoelástica realizada por Dolan y Broghamer3 constituyen la
fuente primaria de información acerca de la concentración del esfuerzo. Mitchiner y
External Spur Gear Teeth, ASME Journal of Mechanical Design, vol 104, No. 1, 1982, pp. 148-158 2 AGMA (American Gear Manufacturers Association, Extractó de la hoja de información AGMA - Resistencia de dientes de engranajes cilíndricos, 1901
89
3 t.j. Dolan y E.I. Broghamer, A Photoelastic Study of the Stresses in Gear Tooth Fillets, Bulletin 335, 1942.
CAPÍTULO 4
Mabie4 interpretan los resultados en función del factor de concentración del esfuerzo en
la fatiga Kf como:
K Htr
thf
L M
= + ⎛⎝⎜⎞⎠⎟ + ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ (4.9.).
donde; H = 0.34 – 0.45366(2φ).
L = 0.316 – 0.458366(2φ).
M = 0.290 + 0.458366 (2φ):
( )( )rr md rd md rf f
f
=+ −
+ −
125
2 125
2. ( )
. ( ).
En éstas ecuaciones h y t se determinan mediante el esquema de la figura 4.2.
donde φ es el ángulo de presión del engranaje, rf es el radio del filete y d es el diámetro
de paso del engranaje.
F
x
h
rf
t2
.
90º
φL
Línea eje del diente Figura 4.2. Croquis para obtener x y t, cuando la carga F se ejerce en el punto más alto del contacto en un sólo diente.
90
4 R.E. Peterson, Stress Concentration Fector, Wiley,1974.
CAPÍTULO 4
4.1.2. Factor geométrico.
La AGMA5 ha éstablecido un factor J, denominado factor geométrico, el cual utiliza
el factor de forma modificado Y de la ecuación (4.8.), el factor de concentración de
esfuerzos en la fatiga Kf de la ecuación (4.9.) y una relación de carga mN . Ésta última, en
el caso de los engranajes rectos mN = 1, por consiguiente tenemos:
JYK f
= (4.10.).
de donde la ecuación (4.6.), considerando el factor geométrico tendrá la forma:
σ =F p
bJt a( )
(4.11.).
La ecuación (4.11.) nos muestra el esfuerzo normal correspondiente a la carga
total F, que actúa en el punto más alto de contacto en un sólo diente e incluye los efectos
de concentración del esfuerzo.
4.1.3. Efectos dinámicos.
Cuando un par de engranajes funciona a velocidades moderadas o altas y se
genera ruido, es seguro que existen efectos dinámicos. Uno de los primeros intentos para
tener en cuenta un incremento en la carga dinámica debido a la velocidad de operación
fue en el siglo XIX por Carl G. Barth6 el cual expreso el factor de velocidad por la
ecuación:
KVv = +
30483048
..
(4.12.).
donde V es la velocidad en la línea de paso en metros por segundo. La ecuación (4.12.)
5 R.G. Mitchiner and H.H. Mabie, The Determination of the Lewis Form Factor ans the AGMA Geometry Fector J for Externel Spur Gear Teeth, ASME Journal of Mechanical Desing, vol. 104,1982.
91
6 AGMA, information Sheet for Strength of Spur,Helical, Herringbone, and Bevel Gear Teeth, AGMA 225.01, American Gear Manufacturers Association.
CAPÍTULO 4
es conocida como la ecuación de Barth y se sabe que está basada en pruebas de
engranajes de hierro fundido con dientes colados. Por lo que es altamente probable que
se llevara a cabo con dientes de perfil cicloidal, en vez de envolvente. La ecuación de
Barth a menudo se modifica a la forma:
KVv = +
60966096
..
(4.13.).
La ecuación (4.13.) es utilizada en el caso de dientes cortados o fresados, o bien
para engranajes formados sin mucha exactitud. Si consideramos de la ecuación (4.6.) el
factor dinámico se tiene:
σ =F pK bY
t a
v
( )( )
(4.14.).
σ =F pK bJ
t a
v
( )( )
(4.15.).
La ecuación (4.14.) es utilizada por lo general cuando no es un problema la falla
por fatiga de los dientes. La ecuación (4.15.) debe ser utilizada en el caso de aplicaciones
importantes y donde debe considerarse la posibilidad de la falla por fatiga.
4.1.4. Materiales del engranaje.
Para analizar un juego de engranajes, con objeto de determinar la confiabilidad
correspondiente a una vida especificada o el factor seguridad contra una falla dada, es
necesario conocer su tamaño y los materiales de que están fabricados. En él capítulo 3
se dio un factor k de anchura de cara de 8 éste ésta basado en un valor de anchura de
cara del intervalo 3pa >b>5pa. De éste modo, una anchura de cara de cinco veces el paso
es aproximadamente el valor máximo, a menos que se tomen precauciones especiales
en lo que respecta a maquinado, montaje y rigidez del ensamble completo.
92
Cuando la anchura de cara sea menor a tres veces el paso se necesitará un
engranaje más grande para soportar la carga mayor por unidad de anchura de cara. Esto
CAPÍTULO 4
requiere más espacio en el alojamiento y lo que hacen que la máquina sea más grande y
de mayor costo.
Si se supone, que existe la posibilidad de una falla por fatiga en el engranaje 1, de
la ecuación (4.15.) se necesita los valores de las variables, de donde:
H = 0.02, t = 12.566371, h = 18 y r = 1.2638655, L = -0.004 M= 0.61, con estos
valores se sustituyen en la ecuación (4.9.), obteniendo:
K f = + ⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
+ ⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
=−
0 021256637112638655
1256637118
181401420 004 0 61
..
..
.. .
.
De la ecuación (4.8.), sustituimos valores obteniendo:
Y tan=−
=1
1521932454
2012566371
15268244..
( ).
.
Con los valores de la ecuación 4.8 y 4.9 obtenemos el factor de forma de la
ecuación 4.10, es decir:
J = =1526824418140142
08416827..
.
Utilizando ecuación (4.13.) y con la velocidad lineal o tangencial del engranaje se
obtiene el factor de velocidad:
Kv = +=
60966096 56967548
05169275.
. .. .
Con todos los valores obtenidos se sustituyen en la ecuación (4.15.), de donde se
obtiene:
σ =×
× ×⎡⎣⎢
⎤⎦⎥× = ×
2162421 2513274105169275 381 08416827
10 32 78514 106 62
. .. . .
.Nm
.
Éste es el esfuerzo que ocurre entre el engranaje de los engranajes 1 y 2 (ver
93
CAPÍTULO 4
figura 2.5. (b)). Siguiendo el procedimiento anterior para el engranaje entre los
engranajes 2’ y 3, de la figura 2.5. (b), tenemos:
σ = 162.06462 x 106 N/m2.
Para el engranaje entre los engranajes 4 y 5 (ver figura 2.6. (b)),tenemos:
σ = 71.059557 x 106 N/m2.
De donde se puede observar, que el mayor esfuerzo en el engranaje es entre los
engranajes 2’y3; para el engranaje 2’ seleccionamos un material AISI 8620, el cual tiene
una resistencia a la cedencia de 352 MPa. en condición de recocido y de 382 MPa. en
condición de normalizado y para el engranaje 3 un material AISI 4140, el cual tiene una
resistencia a la cedencia de 411 MPa en condición de recocido y de 656 MPa en
condición de normalizado. Estos materiales según Aceros Fortuna7 tienen una
maquinabilidad promedio en condiciones de recocido del 67%. De donde se tiene un
margen de seguridad para el engranaje 2’ de:
Factor de seguridad = 382 10
162 06462 1023571
6
6×
×=
.. .
Para el engranaje 3 se tiene un margen de seguridad de :
Factor de seguridad = 656 10
162 06462 104 0478
6
6×
×=
.. .
El factor de seguridad del engranaje 2’ es menor ya que el maquinado de éste
engranaje es de menor costo que el del engranaje 3 por lo que se deja un mayor margen
de seguridad.
4.1.4.1. Diseño por resistencia a la fatiga.
Cuando existe un esfuerzo fluctuante debido al movimiento se dice que el material
94
CAPÍTULO 4
95
puede fallar por fatiga. Éstas comienzan con una pequeña grieta que es tan diminuta que
no se puede percibir a simple vista. La grieta se desarrollará en un punto de
discontinuidad del material. Una vez que se forma la grieta, el efecto de concentración del
esfuerzo se hace mayor y se extiende más rápidamente hasta que finalmente el área
restante falla de repente.
Jeseph Marin8 clasificó las condiciones que afectan al límite de fatiga, como:
1. Material: Composición química, base de falla, variabilidad.
2. Manufactura: método de fabricación, tratamiento térmico, corrosión por desgaste,
condición de la superficie, concentración del esfuerzo.
3. Condición ambiental: corrosión, temperatura, tiempos de relajación.
4. Diseño: tamaño, configuración, duración, estado de esfuerzo, concentración del
esfuerzo, velocidad de desgaste.
Para tener en cuenta las más importantes de éstas condiciones se emplea una
diversidad de factores que modifican el límite de fatiga. Con base a lo anterior tenemos:
Se = kakbkckdkekfSe’ (4.16.).
Donde: Se = Límite de resistencia a la fatiga del elemento mecánico.
Se’ = Límite de resistencia a la fatiga de la muestra de viga rotatoria.
ka = Factor de superficie.
kb = Factor de tamaño.
kc = Factor de confiabilidad.
kd = Factor de temperatura.
ke = Factor de modificación por concentración del esfuerzo.
7 Aceros Fortuna, Manual técnico de productos, edición 1997, Ediciones Acero Fortuna S.A. de C.V., México D.F., 1997. 8 Joseph Marin, Mechanical Behavior of Materials, Prentice-Hall, Emglewood Cliffs, N.J., 1962
CAPÍTULO 4
kf = Factor de efectos diversos.
El factor de superficie ka (valor adimensional) debe corresponder siempre a un
acabado a máquina, aún cuando el flanco del diente sea esmerilado o cepillado. Es
común no rectificar el fondo del espacio entre dientes, por lo que en la figura (4.3.) hay
una gráfica donde se tiene el factor de superficie contra la resistencia a la tensión, en el
eje “x” se tiene la resistencia a la tensión (Sut) del material a utilizar. De donde para el
acero AISI 8620 en una condición de normalizado se tiene una resistencia de 627 MPa.
(92 kpsi), de la figura (4.3.) en el eje “x” se encuentra el valor de 627 MPa. (92 kpsi) se
traza una perpendicular hasta la intersección de la curva, de éste punto se traza otra
perpendicular de donde se encuentra un valor aproximado de:
ka = 0.765.
60 80 100 120 140 160 180 200 220 240
0.9 0.8 0.7 0.6
Factor de superficie ka
Resistencia a la tensión Sut, kpsi.
Gráfica tomada de Joseph Edward Shigley, Diseño en Ingeniería Mecánica, cuarta edición, 1989, pag. 644.
Figura 4.3. Factores de acabado en la superficie para dientes de engranajes cortados, cepillados y esmerilados.
El factor de tamaño tiene una relación con el módulo, donde en la tabla (4.1.) se
muestran los factores de tamaño para dientes de engranajes rectos, Estos valores están
96
CAPÍTULO 4
97
basados a la anchura de cara en el intervalo 3pa>b>5pa.
Tabla 4.1. Factores de tamaño para dientes de engranajes rectos. Módulo Factor kb Módulo. Factor kb
12 0.8362 5 0.9103
10 0.8512 4 0.9285
8 0.8694 3 0.9559
6 0.8944 2 0.9963 Fuente: Joseph Edward Shigler, Diseño en Ingeniería Mecánica, cuarta edición, 1989, pag. 645
De donde de la tabla 4.1 tenemos un factor de tamaño del diente.
kb = 0.8694, para los engranajes con módulo 8. kb = 0.9285, para los engranajes con módulo 4.
El factor de confiabilidad no es un factor que proporcione valores absolutos. Su
mayor utilidad será servir como una guía para determinar qué es la más efectivo para
aumentar la vida y la confiabilidad de elementos reales. Shigley sugiere los valores
representados en la tabla 4.2.
Tabla 4.2. Factor de confiabilidad sugeridos por Shigley. Confiabilidad 0.5 0.90 0.95 0.99 0.999 0.9999
Factor kc 1.0 0.897 0.868 0.814 0.753 0.702
Fuente: Joseph Edward Shigler, Diseño en Ingeniería Mecánica, cuarta edición, 1989, pag. 645
Para el engranaje 3 es necesario que sea lo más confiable posible por lo que
supondremos 0.999 de confiabilidad, con un factor kc de 0.753, y para los demás
engranajes una confiabilidad del 0.5 con un factor kc de 1.0.
El factor de temperatura(kd) se debe considerar por los efectos térmicos, es decir
las altas temperaturas movilizan las dislocaciones y reducen la resistencia a la fatiga de
CAPÍTULO 4
muchos materiales. Forest9 muestra una idea general del efecto de temperatura, de
donde sugiere las siguientes relaciones para evaluar el factor de temperatura:
98
CF
º )k
T C FT C TT F T
d =≤
− − < ≤− − < ≤
⎧
⎨⎪
⎩⎪
−
−
10 450 8401 58 10 450 450 5501 32 10 840 840 1020
3
3
. (. ( ) ( ) º º. ( ) ( ) º º
o
(4.17.).
Como el mecanismo trabajará a temperatura del medio ambiente, y el calor
generado en la transmisión, se supone que no excede de los 450ºC, el factor de
temperatura (kd) es de uno para toda la transmisión.
El factor de concentración de esfuerzos(ke) ha sido incorporado al factor de forma
(ecuación 4.10.), de donde se tiene por tanto que ke = 1.
El factor de efectos diversos kf son debidos a las fuerzas que actúan sobre el
diente. De manera que la carga se repite pero no se invierte. Esto significa que se puede
emplear el factor por efectos diversos a fin de incrementar el límite de fatiga de los
dientes cuando se someten a flexión. Es decir con la expresión de la línea de Goodman10
modificada σ =+
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2S SS S
e ut
ut e se sustituyen valores, es decir si S
Sut
e='
.0 5 y además si Se’
(límite de resistencia a la fatiga de una probeta de viga rotatoria) es igual a Se (límite de
resistencia a la fatiga de un elemento de máquina particular) de donde se encuentra que
σ = 1.33 Se’, así el factor de efectos combinados kf es 1.33 cuando Sut es menor que
1378.94 MPa. (200 kpsi), de ésta manera se obtienen algunos valores útiles y se dan en
la tabla 4 .3.
Tabla 4.3. Factores de efectos Diversos para flexión en un sólo sentido. Resistencia a la tensión Sut, Mpa Hasta
1378.94 1723.675 2068.41 2413.145 2757.88
Factor kf 1.33 1.43 1.50 156 1.6 Fuente: Joseph Edward Shigler, Diseño en Ingeniería Mecánica, cuarta edición, 1989, pag. 646.
9 P.G. Forest, Fatigue of Metals, Pergamon Press, Londres, 1962 10 Robert C. Juvinall, Engineering Considerations of Stress, Strain, and Strength, McGraw-Hill Book Company, Nueva York,1967, pp 268-314.
CAPÍTULO 4
Para obtener Se’ se disponen de tres alternativas. Si el costo del proyecto lo
justifica, deben emplearse procedimientos experimentales para obtener la media y la
desviación estándar del límite de fatiga. Ésta, es buena práctica y debe utilizarse siempre
que sea posible. Un segundo procedimiento recomendado es el utilizar la ecuación
(4.18.), pero hay que utilizar un factor de confiabilidad lo más amplio posible. Un tercer
método sería el de emplear la recta Se’/Sut = 0.35 de la figura 4.4. y utilizar luego Se '= 80
kpsi (551.576 MPa.) cuando Sut > 1400 MPa. (200 kpsi). La raya superior del símbolo Se '
señala el hhecho de que el valor de resistencia que se especifica es un valor medio y, por
tanto los resultados reales pueden variar en un sentido o en otro respecto a éste:
Se '= 0.5 Sut Sut ≤ 1400 MPa. (200 kpsi) (4.18. (a)).
Se '= 700 MPa. (100 kpsi) Sut > 1400 MPa. (200kpsi) (4.18. (b)).
Acero al carbon
Acero de aleación
Hierros forjados
Límite de resistencia a la fatiga
Resistencia última a la tensión Sut , kpsi.
Figura 4.4. Gráfica de límites de fatiga en función de resistencias a la tensión. Con base en resultados de pruebas reales (tomado de datos compilados por H. J. Grover, S.A. y L. R. Jackson en fatigue of Metals and Etructures,Bureaun of Naval Weapons Document NAVWEPS 00-258-534,1960).
De donde el engranaje 3 es de un material de acero AISI 4140 con una resistencia
99
CAPÍTULO 4
100
a la tensión de 1018 MPa. (148kpsi) en condición de normalizado, el cual tiene los
siguientes factores: ka = 0.7650, kb = 0.8694, kc = 0.733, ke = 1, kf = 1.333 y Se’ =
0.5(1018) = 509 MPa. y para el resto de los engranajes de un material AISI 8620 con
una resistencia a la tensión de 627 MPa. (92 kpsi) en condición de normalizado con los
siguientes factores: ka = 0.7650, kb = 0.8694, kc =1, ke = 1, kf = 1.333 y Se’
=0.5(627)=313.5 MPa.
Se analiza el engranaje 2’ y 3 (ver figura 2.6. b y figura 3.3.) donde existe el mayor
esfuerzo, tenemos que para el engranaje 3 el límite de resistencia a la fatiga del elemento
mecánico es:
Se = (0.765)(0.8694)(0.733)(1)(1.333)(509 x 106 ) = 330.77523 x 106 N/m2.
y para el engranaje 2’ se tiene:
Se = (0.765)(0.8694)(1)(1)(1.333)(313.5 x 106 ) = 277.93854 x 106 N/m2.
Con estos valores se obtiene el factor de seguridad de los engranajes cuando
existe la posibilidad de una falla por fatiga. La expresión para calcular el factor de
seguridad (nG) de los engranajes es:
nG = KoKmno (4.19.).
donde K0 es el factor de sobrecarga. Los valores recomendados por la AGMA aparecen
en la tabla 4.4. El factor Km es un factor de distribución de carga establecido por la
AGMA, que toma en cuenta la posibilidad de que la fuerza que actúa sobre un diente
pueda no estar distribuida uniformemente a todo lo ancho de la cara. Los valores
recomendados para el factor Km aparecen en la tabla 4.5.
Tabla 4.4. Factor de corrección por sobrecarga Ko.
Características de impulso Características de la carga impulsada de la máquina motriz Uniforme Choques moderados Choques fuertes Uniforme 1.00 1.25 1.75 Choque ligero 1.25 1.50 2.00 Choque moderado 1.50 1.75 2.25
Fuente: Darle W. Dudley (dir. Ed.) Gear Handbook McGraw-Hill Book Company, Nueva York, 1962, pp. 13-21.
CAPÍTULO 4
Si de la tabla 4.4, Ko = 1.25 para una condición de choque ligero en una máquina
impulsada, y Km = 1.7 para montajes y precisión de engranaje de tipo medio. Por lo tanto,
de la ecuación (4.19.). se obtiene:
nG = KoKmno = (1.25)(1.60)no = 2no.
Tabla 4.5. Factor de distribución de la carga Km para engranajes cilíndricos rectos
Ancho de cara, mm.
Características de montaje 0 a 50.8 152.4 228.6 406.4 o más
Exactos. Holguras pequeñas en cojinetes, mínima flexión del eje, engranajes de precisión
1.3 1.4 1.5 1.8
Menos rígidos, engranajes menos exactos, contactos a través de toda la cara.
1.6 1.7 1.8 2.2
Exactitud y ajuste tales que el área de contacto es menor que la de toda la cara
Mayor que 2.2
(Fuente: Darle W. Dundley (ed) Gear Hanbook, McGraw Hill Book Company, Nueva Yor, 1962,p. 13-21).
Si de la tabla 4.4, Ko = 1.25 para una condición de choque ligero en una máquina
impulsada, y Km = 1.7 para montajes y precisión de engranaje de tipo medio. Por lo tanto,
de la ecuación (4.19.). se obtiene:
nG = KoKmno = (1.25)(1.60)no = 2no.
El factor de seguridad para el engranaje 3 nG es:
nS
Ge= =
××
=σ
330 77523 10162 06462 10
2 04106
6..
. .
por lo tanto:
no = =2 0410
2 010205
..
. .
El factor de seguridad para el engranaje 2’ nG es:
101
CAPÍTULO 4
nS
Ge= =
××
=σ
27793854 10162 06462 10
171506
6..
. .
por lo tanto:
no = =17150
2 00 8575
..
. .
Con los valores de nG y no para el engranaje 2’ y 3 se tiene evidentemente que la
falla por fatiga es una posibilidad a considerar. Posiblemente el engranaje 2’ tenga la falla
por fatiga más evidentemente, sin embargo es necesario sacrificar a éste engranaje, ya
que el maquinado del engranaje 3 es de mayor costo que el maquinado del engranaje 2’,
por lo tanto para el engranaje 2’ según la AGMA no cumple con el factor de seguridad
para las cargas de fatiga.
4.1.4.2. Durabilidad de la superficie.
El desgaste ó falla en las superficies se manifiesta como una picadura superficial
debida a muchas repeticiones de esfuerzos de contacto intensos. Otras fallas de
superficie son la escarificación, que es una falla por falta de lubricación, y la abrasión que
se manifiesta en desgaste debido a la presencia de materias extrañas.
El límite de fatiga en la superficie con frecuencia se observa en elementos de
máquinas que trabajan en contacto entre si por rodamiento, deslizamiento ó una
combinación de contacto rodante y deslizante. Ésta falla ocurrirá después de cierto
número de ciclos de operación por lo que es complicada su determinación y por tanto no
existe un método exacto, sin embargo investigaciones de Buckingham11 y posteriormente
Talbourde12 obtuvieron gran cantidad de datos que para el caso del acero se tiene la
ecuación (4.20.):
SH kpsiHcB
B=
−−
⎧⎨⎩
0 4 102 76 70..
MPa
(4.20.).
11 Earl Buckingham, Analytical Mechanics of Gears, cap. 23, McGraw-Hill Book Company, Nueva York, 1949.
102
12 Según informe de W.D. Cram, Experimental Load-Stress Factors, en Charles Lipson y L.V. Colwell (dirs. Eds.), Engineering Approach to Surface Damage, University of Michigan Summer Session, Ann Arbor, 1958.
CAPÍTULO 4
donde: HB es el número de dureza Brinell. Los resultados con la ecuación (4.20.).
concuerdan con los valores de los factores de carga y esfuerzos recomendados por
Buckingham. Siempre que sea un acero y en el que se estime que tendrá una duración
de 108 aplicaciones del esfuerzo.(para la propuesta se utiliza ésta como base).
La AGMA recomienda que se modifique el límite de fatiga de superficie en forma
similar a la usada para el de flexión. La ecuación es:
SC CC C
SHL H
T RC= (4.21.).
donde: SH = Límite de fatiga superficial corregido, o resistencia herziana.
CL = Factor de duración o vida.
CH = factor de relación de dureza. Se emplea 1.0 para engranajes rectos.
CT = Factor de temperatura. Se usa 1.0 para temperaturas menores que 250ºF.
CR = Factor de confiabilidad.
El factor de duración de vida CL se emplea para incrementar la resistencia cuando
se usa el engranaje en periodos cortos(ver tabla 4.6.). El factor de confiabilidad CR, como
lo presenta la AGMA, es bastante vago por lo que usaremos los valores de la tabla (4.2.),
ya que los valores presentados en ésta tabla son aproximadamente iguales.
Tabla 4.6. Factores de modificación de vida y confiabilidad. Ciclos de vida. Factor de vida CL. Confiabilidad R. Factor de
confiabilidad CR. 104 1.5 Hasta 0.99 0.80 105 1.32 0.99 a 0.999 1.00 106 1.1 0.999 ó más 1.25 ó más
108 ó más 1.0
FUENTE: AGMA 225.01
103
CAPÍTULO 4
Tabla 4.7. Valores del coeficiente elástico Cp para engranajes rectos y Helicoidales con contacto no localizado y para µ = 0.30.
Engranaje Piñón
Acero Hierro fundido
Bronce de aluminio
Bronce de estaño
Acero, E = 206.841 Gpa 190.2x103 165.4x103 161.3x103 157.1x103
Hierro fundido, E = 130.9993 Gpa 165.4x103 148.9x103 148.9x103 144.7x103
Bronce de aluminio, E = 120.6573 GPa 161.3x103 148.9x103 144.7x103 140.6x103
Bronce de estaño, E = 110.3152 GPa 157.1x103 144.7x103 140.6x103 136.5x103
Fuente: Darle W. Dudley, Gear Handbook, McGraw-Hill, Nueva York, 1962, pp. 13-22.
Para Asegurar una vida satisfactoria los engranajes deben diseñarse de manera
que los esfuerzos dinámicos que actúan sobre la superficie queden dentro del límite
superficial del material. La teoría de Hertz relaciona el esfuerzo de contacto en la
superficie, donde:
σπH p
t
vC
FC b md I
= −×( )
(4.22.).
si b = 38.1 mm. (anchura real del diente), de la tabla 4.7, CP = 2300 para material de
acero sobre acero, Ft = 187.55233 N, Cv = Kv (factor de velocidad) para éste caso del
engranaje 2’, tenemos que el factor de velocidad es igual a 1.0, para obtener el factor de
configuración geométrica (I) para engranajes rectos exteriores tenemos:
Im
mG
G=
+cos senφ φ
2 1 (4.23.).
Para engranajes interiores el factor es:
Im
mG
G=
−cos senφ φ
2 1 (4.24.).
Si mG es la relación de velocidad, y por otro lado si para el material AISI 8620 tiene
una dureza HBN de 183, sustituyendo en la ecuación (4.20.) tenemos:
104Sc = 2.76 (183)-70 = 435.08 x 106 Pa.
CAPÍTULO 4
Sustituyendo el valor de Sc y los factores correspondiente en la ecuación (4.21.) se
tiene:
SH = × =( . )( . )( )( . )
( . ) .110 101 0 733
43508 10 65291678 106 6× Pa.
Empleando la ecuación (4.24.) se tiene:
I =−
= =cos( )sen( )
. ( . ) .20 20
2
20060
20060
101607 14286 0 2296 .
Sustituyendo en la ecuación (4.22.) se tiene:
65291678 10 230010 381 31416 8 0 2296
6.( . )( . )( . )( )( . )
,× =Ft p .
Resolviendo da como resultado Ft,p = 2590.6 N. Como Ft = 187.55233 N., el factor
nG es :
nFFGt p
t= = =, .
..
2590 618755233
138127 .
De donde el factor de seguridad ordinario es :
nn
K KoG
m= = =
0
138127125 17
65.
( . )( . ). .
De modo que existe la seguridad contra una falla por fatiga en la superficie, y
puede esperarse que los engranajes tengan una duración por desgaste algo mayor que
106 aplicaciones del esfuerzo.
Resumiendo, se tienen que la tabla 4.8. se muestra que el material seleccionado
es adecuado para resistir las tres posibles fallas que existen en el engranaje.
105
CAPÍTULO 4
106
Tabla 4.8. Factor de seguridad para las tres posibles fallas que existen en un engranaje.
Falla por estática
Falla por esfuerzos de
flexión
Falla por fatiga en la superficie
Factor de seguridad
Engranaje 2’ 2.3571 0.8575 6.5
Ordinario (no) Engranaje 3 4.0478 1.0205
Factor de seguridad
Engranaje 2’ --- 1.7150 13.8127
De engranaje (nG) Engranaje 3 --- 2.0410
El engranaje 2’ puede fallar por flexión, sin embargo es preferible tener en éste
caso al engranaje 2’ como el material de sacrificio, ya que el engranaje 3 su maquinado
es de mayor costo.
El engranaje 1 tiene las dimensiones mostradas en el dibujo EM4-20 (figura 4.5.),
las dimensiones de la flecha se calculan en el tema 4.2.
Nota: El número de identificación no ésta normalizado, sin embargo de ésta
manera es más fácil la identificación en un sistema de control, por ejemplo en número de
asignación EM4-20, donde E es Engranaje, M de módulo 4, con 20 dientes.
En las siguientes figuras (4.6, 4.7, 4.8, 4.9, 4.10, 4.11.) se muestran los dibujos de
detalle para la fabricación de los engranajes 1, 2, 2’, 3, 4 y 5 con número de asignación
EM4-20, EM4-60, EM4-30, EM4-110, EM8-20, EM8-50 respectivamente que pertenecen
al conjunto de transmisión, ver figura 4.5 (prensa).
CAPÍTULO 4
107
CAPÍTULO 4
108
CAPÍTULO 4
109
CAPÍTULO 4
110
CAPÍTULO 4
111
CAPÍTULO 4
112
CAPÍTULO 4
113
CAPÍTULO 4
4.2. Esfuerzos en los ejes de transmisión ó ejes (flechas13).
Los ejes de transmisión, o simplemente ejes, son barras sometidas a cargas de
flexión, tensión, compresión o torsión que actúan individualmente o combinadas. En este
último caso es de esperar que la resistencia estática y la de fatiga sean consideraciones
importantes de diseño, puesto que un eje puede estar sometido en forma simultanea a la
acción de esfuerzos estáticos, completamente invertidos en forma alternante y repetidos
sin cambio de sentido.
Se recomienda, que siempre que sea posible los elementos de transmisión de
potencia, como engranajes o poleas, deben montarse cerca de los cojinetes de soporte,
esto reduce el momento flexionante y, en consecuencia, la deflexión y el esfuerzo por
flexión.
Los métodos de diseño, que siguen difieren en varios aspectos. Algunos son muy
conservadores, mientras que otros son útiles porque proporcionan resultados rápidos,
pero no debe esperarse que todos produzcan resultados idénticos.
4.2.1. Diseño para cargas estáticas.
Si el esfuerzo por flexión (σf) sabemos que se calcula por:
σ fMeI
= (a).
Donde I es el momento de inercia con respecto al eje centroidal (eje neutro), si se
trata de un eje macizo de sección circular, tenemos:
I =12π r4 (b).
y si e es el eje neutro, donde e = r.
114
13 A veces a un eje de transmisión se le llama, impropiamente, “flecha”.
CAPÍTULO 4
Sustituyendo la ecuación b en a tenemos por tanto:
σπf
M=
32d3 (4.25.).
Los esfuerzos en la superficie de un eje macizo de sección circular, sometido a
cargas de torsión son:
τπxy =16 T
d3 (4.26.).
donde: τxy = esfuerzo de torsión.
T = momento torsionante en la sección crítica.
Mediante el círculo de Mohr se halla que el esfuerzo cortante máximo:
τσ
τmax =⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ +x
xy2
22 (c).
Sustituyendo la ecuación (4.25.) y (4.26.) en la ecuación c se obtiene:
τπmax 3d
=16 2M T+ 2 (4.27.).
La teoría del esfuerzo cortante máximo para la falla estática expresa que Sxy=Sy/2.
Empleando un factor de seguridad n la ecuación (4.27.) puede escribirse como:
Sn
M Ty
216 2=π
2+d3 (d).
o bien:
( )d =32 n
Syπ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
M T2 212
13
(4.28.).
115
CAPÍTULO 4
Un enfoque similar se utiliza en la teoría de falla de la máxima energía de
distorsión es decir:
d =32 n
Syπ⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
MT2
212
13
34
(4.29.).
4.2.2. Fatiga en las flechas de transmisión.
En todo árbol rotatorio, que está sometido a momentos flexionantes y torsionantes
invariablemente en el tiempo, ocurrirá el fenómeno comúnmente llamado fatiga. Según
Sines14 no es afectada por la existencia del esfuerzo medio de torsión (esfuerzo cortante)
hasta que la resistencia de fluencia no exceda un 50%, por tanto el esfuerzo alternante
(σa) queda sencillamente así:
σa =Sn
e (4.30.).
donde: Se = al limite de fatiga (ver tema 4.1.4.1.).
Sí el esfuerzo de flexión de la ecuación (4.25.) es igual al esfuerzo alternante,
sustituyendo en la ecuación (4.30.) y despejando al diámetro (d), obtenemos:
d =32 M n
Seπ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
13
(4.31.).
El esfuerzo al corte no es considerado, ya que según Sines no afecta al límite de
fatiga a la flexión.
14 George Sines en George Sines y J.L. Waisman(eds.), Metal Fatigue, McGraw-Hill, Nueva York, 1959, p.158.
116
CAPÍTULO 4
4.2.2.1. Método de Soderberg.15
Este método estudia la resistencia a la fatiga de piezas sometidas a esfuerzos
alternantes y se basa en el diagrama de Soderberg, en la figura 4.12. se muestra que los
esfuerzos cortantes alternos se llevan como ordenadas, y los esfuerzos medios de corte
estáticos, como abscisas. Como se indica, la línea de Soderberg es una recta que pasa
por él limite de fatiga a la cortadura completamente corregida Sse y la resistencia de
fluencia al corte Ssy. Debe notarse particularmente que el límite de fatiga al corte es el
límite correspondiente a un elemento de máquina, después de haber tenido en cuenta los
factores correspondientes (hacer uso de la ecuación (4.16.)).
Línea de Soderberg
Línea de esfuerzo seguro
Sse
B
45º
90º 0º
16Tπ d3
75º 15º
A
16Mπ d3
SsuSsy
.
Esfuerzo alternante de corte ταa
Esfuerzo cortante medio ταm
Figura 4.12. Diagrama de Soderberg que muestra la línea de esfuerzo seguro AB, paralela a la de Soderberg y tangente a la elipse.(Fuente: Joseph Edward Shigler, Diseño en Ingenieria Mecánica, cuarta edición, 1989, pag. 735.).
Por otro lado, si se considera un plano que forma un ángulo α con la horizontal, el
esfuerzo cortante tendrá un valor medio de:
τπ
ααmT
=16
d 23 cos (4.32.).
y una amplitud de componente alternante de:
117
15 C.R. Soderberg, Working Stresses, J. Appl. Mechanics, vol. 57, 1935, p. A.106.
CAPÍTULO 4
τπ
ααaM
=16
d 23 sen (4.33.).
Para determinar si la falla ocurrirá o no en ciertos planos que forman un ángulo α
con la horizontal, se sitúa en la figura 4.12. para cada valor de α. Sus coordenadas serán,
(τ ταm , aα ), según las ecuaciones (4.32.) y (4.33.).Al considerar la figura 4.12. se llega a la
conclusión de que el factor de seguridad debe ser el correspondiente al punto de la elipse
que esté más próximo a la línea de falla. Con tal recta podrá determinarse gráficamente
el factor de seguridad “n”. Esta solución es totalmente aceptable, pero por geometría
analítica puede demostrarse que el valor de n así obtenido será:
nTS
MSsy se
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
π d3
16 22
(4.34.).
De ésta ecuación puede despejarse el diámetro obteniendo:
d = 16 nπ
TS
MSsy se
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
2 212
13
(4.35.).
puesto que Ssy = 0.5 Sy y Sse = 0.5 Se cuando se utiliza la teoría del esfuerzo cortante
máximo, se sustituye en la ecuación (4.35.), obteniendo:
d = 32 nπ
TS
MSy e
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ +
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
2 212
13
(4.36.).
Si se emplea la teoría de la energía de distorsión, entonces Ssy = 0.577 Sy y Sse =
0.577 Se, de donde la ecuación (4.35.) se convierte en:
118
CAPÍTULO 4
d = 48 nπ
TS
MSy e
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ +
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
2 212
13
(4.37.).
Es importante observar que el análisis anterior no toma en cuenta el hecho de que
los límites de fatiga a la torsión pueden requerir factores de modificación diferentes de los
límites de fatiga a la flexión.
4.2.3. Cálculo de diámetros de ejes de transmisión.
Para el cálculo de los ejes de transmisión se consideran los esfuerzos normales
por flexión que se producen, de donde supondremos que los ejes son vigas que son
inicialmente planas y que permanecen planas en todo el ciclo de esfuerzos, así como se
dijo anteriormente el material es homogéneo y obedece a la ley de Hooke.
Por otra parte supondremos que el módulo elástico es igual a tensión que a la
compresión, ya que al esfuerzo de flexión en cualquier fibra es directamente proporcional
a su distancia de la superficie neutra y por último supondremos que la viga es
inicialmente recta y de sección constante.
Para el análisis es necesario calcular las fuerzas que intervienen en el eje de
transmisión, de la figura 4.13, se tienen las distancias donde están aplicadas las fuerzas,
que producen los esfuerzos de flexión.
Brida 2Brida 1 Polea Brazo
deslizanteEngranaje 1
49.4 mm. 86.4 mm.82.025 mm.110.275 mm.
Figura 4.13. Distancias donde se aplican las fuerzas en el eje de transmisión de la figura 4.15.
119
CAPÍTULO 4
En la polea existen dos fuerzas de tensión diferentes en la banda de transmisión
cuando ésta, se encuentra en movimiento, por consiguiente es necesario considerar el
coeficiente empírico de fricción de deslizamiento, (µ = +0 22 0 012. . V ), si el motor tiene
una velocidad angular de 1360 rpm. (142.41887 rad/seg) y suponemos que el diámetro
de las poleas es de 50.8 mm. Tenemos por tanto que la velocidad tangencial es de
7.2349 m/seg. Así por tanto:
µ = + =0 22 0 012 7 234 03068. . ( . ) . .
Si el motor transmite una potencia de 0.33 Hp., tenemos por tanto que la fuerza
tangencial( ó periférica, Fp) es:
Fp =×
=033 716
7 234934027
..
. N. .
Si el ángulo de contacto es de 180º (α = π rad), se tiene por tanto que la fuerza de
tensión total (FTa) es:
F FTa pee
=+−
µα
µα11
(4.37.).
Sustituyendo valores se tiene:
( )( )( )
( )( )FTaee
=+
−
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥=34 026732
11
7598980 3068
0 3068. ..
.
π
π N .
De donde la fuerza total de tensión es aproximadamente igual a 76 N, Si
suponemos que se trata de una polea para dos bandas, tenemos:
FTa = (76 N)(2)= 152 N.
Si se analiza la figura 4.14. se observa que la reacción RA y RB son incógnitas, ya
que los valores del brazo deslizante y del engranaje uno se obtienen de la tabla 3.3.
(nótese que se toman valores de “x”, debido al análisis realizado en su momento.
120
CAPÍTULO 4
FTa=152 N RA RB F2B = 3627.9776 N FO1 = 142.53162 N
49.4 mm. 86.4 mm.82.025 mm.110.275 mm.
Figura 4.14. Fuerzas y reacciones en el eje de transmisión.
De donde la reacción en RA = 3701.109 N y RB = -7623.6182 N, con estos valores
tenemos el diagrama de momentos (figura 4.15.), de donde se tiene un momento máximo
de 332.4285 N-m.
a) Diagrama de Cortantes
M=7.0413 N-m. M=16.5413 N-m.
MB=332.4285 N-m.
b) Diagrama de momentos
Figura 4.15. a) Diagrama de cortantes b) Diagrama de momentos
En el diagrama de momentos de la figura 4.15. b) se observa que en MB es el de mayor magnitud y actúa en el centro del cojinete, si el eje de transmisión se supone que es de un acero AISI 1040, el cual tiene una resistencia de fluencia Sy = 352 Mpa, se toma un factor de seguridad de 2 y de la ecuación (4.28.) se tiene que T es el momento torsiónante del sistema, del cual es igual a a 0.8645 N-m., sustituyendo en ecuación (4.36.), se obtiene:
( )d =×
× ×+
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ =
32 2352 10
332 4285 08645 0 0267962 2
12
13
π( . ) ( . ) . mts .
121
CAPÍTULO 4
Este resultado es en base únicamente en cargas estáticas, pero si se considera la
fatiga, utilizaremos la ecuación (4.31.) y la ecuación (4.16.), de donde:
Se= (0.765)(0.8694)(1)(1)(1.333)(519x106[0.5])=228.7341 MPa. Sustituyendo:
d m=× ×
× ×⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ =
32 332 485 2228 7341 10
0 03096
13.
.. .
πts .
Este resultado es mayor que el anterior lo que significa que el diámetro del eje es
más seguro para cargas de fatiga y estática. El enfoque de Soderberg es más
conservador. Con la ecuación (4.36.) se tiene:
d m=×
×⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ +
×⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
=32 2 08645
352 10332 4285
228 7341 100 0316
2
6
212
13
π. .
.. .ts .
Este resultado se basa en la teoría del esfuerzo cortante máximo. Si utilizamos la
teoría de la energía de distorsión, ocupamos la ecuación (4.37.) de donde obtenemos:
d m=×
×⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ +
×⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
=48 2 0 8645
352 10332 4285
228 7341 100 03546
2
6
212
13
π. .
.. .ts
Este resultado es sustancialmente más conservador. De donde para seleccionar el
diámetro de la flecha, se tiene que partir de tablas comerciales, por consiguiente se tiene
un diámetro comercial del rodamiento de 40mm, según SKF. Para tener este diámetro se
partirá de una barra sólida de diámetro de 57.15 mm. (2-1/4 pulg.) Para el eje de
transmisión de la flecha motor, según figura 4.16.
Para calcular el diámetro de los ejes mostrados en las figuras 4.17. y 4.18., se
siguió el mismo principio, utilizando el diámetro sobre la base de la teoría de falla de la
máxima energía de distorsión. Con un material AISI 1040 y AISI 1060 respectivamente.
En la figura 4.31. se muestra el conjunto transmisión, este cuenta con las
posiciones de los elementos que lo integran.
122
CAPÍTULO 4
123
CAPÍTULO 4
124
CAPÍTULO 4
125
CAPÍTULO 4
126
4.2.4. Selección de rodamientos.
Cada tipo de rodamiento presenta características que dependen de su diseño y lo hacen adecuado para una aplicación en especifico. En muchos casos, cuando se selecciona el tipo de rodamiento se tiene que considerarse, por ejemplo, la rigidez de una disposición integrada por rodamientos de bolas con contacto angular o rodamientos de rodillos cónicos que depende también de la precarga seleccionada, y los límites de velocidad del rodamiento tiene relación directa con la precisión del mismo y de los componentes asociados, así como por el diseño de la jaula. Con los rodamientos de rodillos cilíndricos, la capacidad de carga axial de los diseños moderados es mucho mayor que la del diseño tradicional, razón por la cual no es posible dar reglas generales de selección. Además, es necesario tener en cuenta el espacio disponible, la magnitud de la carga, así como la dirección de la misma, las desalineaciones angulares entre el eje y el soporte (puede ser provocadas por la flexión del eje bajo la carga de funcionamiento), precisión, velocidad, funcionamiento silencioso, rigidez, montaje y desmontaje. La tabla 4.9. clasifica los tipos de rodamientos; sus características de diseño y sus características a las exigencias de su aplicación.
El tamaño del rodamiento que va ser utilizado para una determinada aplicación se
selecciona inicialmente por su capacidad de carga, comparada con las cargas que tendrá
que soportar, y a las exigencias de duración y fiabilidad requeridas por la aplicación en
cuestión. La capacidad de cargas se expresa en los cálculos por medio de valores
numéricos que representan las capacidades de carga nominales básicas de los
rodamientos. En catálogos de rodamientos (SKF16), se indican los valores de la
capacidad de carga dinámica C y de capacidad de carga estática CO de los diferentes
rodamientos.
La capacidad de carga dinámica C se usa para los cálculos en que intervienen
rodamientos sometidos a esfuerzos dinámicos, es decir, el rodamiento al girar puede
soportar cargas alcanzando una vida nominal, y son validos para cargas constantes,
tanto en magnitud como en dirección.
16 Catalogo General SKF 4000/II Sp, SKF-1997.
CAPÍTULO 4
127
Tabla 4.9. Tipos de rodamientos - diseño y características.
Fuente: Catalogo general SKF 1997-06
CAPÍTULO 4
La capacidad de carga estática CO se usa en los cálculos cuando los rodamientos
giran a velocidades muy bajas, cuando están sometidos a movimientos lentos de
oscilación o cuando están estacionarios bajo carga durante ciertos periodos. También
debe tomarse en cuenta cuando sobre un rodamiento giratorio (sometido a esfuerzos
dinámicos) actúan elevadas cargas de choque de corta duración.
La capacidad de carga estática le corresponde una tensión calculada en el centro
de la superficie de contacto. Ésta tensión produce una deformación permanente total del
elemento rodante de aproximadamente igual a 0.0001 el diámetro del elemento rodante.
Por otro lado la vida del rodamiento ésta dada por él número de revoluciones que
el rodamiento puede dar antes de que se manifieste el primer signo de fatiga, sin
embargo, según SKF, los rodamientos aparentemente idénticos funcionan en condiciones
equivalentes, pero tienen vidas diferentes. Es por tanto esencial para el cálculo del
tamaño del rodamiento una definición clara del término “vida”. La capacidad de la carga
dinámica de los baleros SKF está basada en la vida alcanzada o sobrepasada por el 90%
de los rodamientos aparentemente idénticos de un grupo suficientemente grande. A esta
vida se le denomina vida nominal y está de acuerdo con la definición ISO 76:1987. La
vida media de los rodamientos es aproximadamente cinco veces la vida nominal. Para
calcular la vida nominal tenemos:
LCP
p
10 =⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ (4.38.)
Donde: L10 = Vida nominal, en millones de revoluciones
C = Capacidad de carga dinámica, en N.
P = Carga equivalente
p = Exponente de la fórmula de vida, p =3 para los rodamientos de bolas, p=
10/3 para los rodamientos de rodillos.
128
Para rodamientos que funcionan a velocidad constante, será más conveniente
expresar la duración nominal en horas de servicio usando para ello:
CAPÍTULO 4
LCP
Lh
p
h10 101 000 000 1
60= ⎛
⎝⎜⎞⎠⎟ ′ =
60 n
o L 000 000
n10 (4.39.)
donde: L10h = vida nominal, en horas de servicio
n = velocidad de giro, en r/min.
Existen también otros conceptos de vida en un rodamiento. Uno de ellos es la
“vida de servicio”, que es la duración real alcanzada por un rodamiento dada antes de
fallar. El fallo generalmente no se debe en primer lugar a la fatiga, sino al desgaste, la
corrosión, etc.
Para este caso, se necesita un rodamiento que soporte una carga radial pura y
que sea capaz de soportar cargas axiales, rígido y de bajo rozamiento, a demás
silencioso. De la tabla 4.9. se selecciona el tipo de rodamiento el cual es recomendado
según SKF, hay dos rodamientos que son adecuados, como es el rodamiento de rodillos
a rótula con aceptables condiciones y el de rodillos cónicos. Para la flecha motor y para la
flecha conductor se selecciona el rodamiento de rodillos cónicos ya que este evitará la
desalineación en el funcionamiento, por tanto tienen una buena exactitud de giro, lo que
hace necesario evitar errores de alineación, así mismo este puede ser desarmable. Y
para la flecha del brazo seleccionamos el rodamiento de rodillos de rótula.
Al seleccionar el rodamiento de rodillos cónicos, para la flecha motor se necesitan
dos rodamientos de rodillos cónicos los cuales según la flecha por cálculos tiene un
diámetro mínimo seleccionado de 38.1 mm, éste diámetro no puede ser igual al diámetro
interior del rodamiento, ya que por necesidad de sujeción del rodamiento se necesita un
diámetro mayor por lo que se selecciona un diámetro interior de 50 mm. y un diámetro
exterior de 110 mm. Para seleccionar un soporte para rodamiento tipo brida para eje
pasante diseño B, con designación 722511-DB que según SKF necesita de un
rodamiento de designación 30310, serie de dimensiones ISO 355, 2FB, con una
capacidad de carga dinámica C= 125 000 N. y estática CO=140 000 N (ver figura 4.19.).
Sin embargo, par evitar problemas de montaje, se selecciona otro soporte brida para eje
pasante diseño B, con designación SKF 722512-DB que según SKF necesita de un
129
CAPÍTULO 4
130
rodamiento de designación T2ED 055, serie de dimensiones ISO 2ED con un diámetro
interior de 55 mm y diámetro exterior de 110 mm. Con una capacidad de carga dinámica
C = 179 000 N. y estática CO = 232 000 N (ver figura 4.20.) de donde se tiene que la vida
nominal del rodamiento 30310, según fórmula (4.38.) es:
L10= 124526.1203 millones de revoluciones.
Sin embargo si el mecanismo funciona a velocidad constante de donde la duración
nominal de servicio es:
L10n= 1526055.396 hrs de servicio ≅ 174 años.
Para el rodamiento de la biela - manivela se utilizara un soporte para rodamiento
tipo brida para eje pasante diseño B, con designación 722506-DB que según SKF
necesita de un rodamiento de designación 2206 EK con manguito de fijación H306. Éste
tiene una capacidad de carga dinámica C= 23 800 N. y estática CO= 6 700 N (ver figura
4.45.).
Se puede observar que la selección esta muy sobrada, por lo que no se tendrán
problemas por los rodamientos.
CAPÍTULO 4
131
CAPÍTULO 4
132
CAPÍTULO 4
133
CAPÍTULO 4
4.2.5. Esfuerzo en el brazo soporte guía de transmisión y brazo soporte de transmisión.
El brazo soporte guía de transmisión y el brazo soporte de transmisión soportan
las fuerzas ejercidas por los ejes de los engranajes, analizando la figura (4.22.) tenemos:
F01 = 134.89 N
F2B = 3629.65 N.
FB4 = 460.23 N
F2’B = 4018.41 N.
a) b)
Figura 4.22. a) fuerzas que actúan en el brazo soporte guía de transmisión, b) fuerzas que actúan en el brazo soporte de transmisión.
La figura 4.22. se muestra que los brazos están en un estado combinado de
esfuerzos, pero si solo se considera en el cálculo el estado de tensión, es decir cuando
giran y se ejerce solo la tensión sin considerar los esfuerzos de corte; si se considera que
solo se realizara el cálculo para el inciso b) debido a la existencia de una mayor fuerza
aplicada, por tanto una concentración de esfuerzos más alta. Suponiendo las medidas
según figuras 4.23. a la 4.30. Tenemos que la parte más delgada es de 53.61 mm en
dirección de las fuerzas aplicadas; por tanto se tiene:
( ) 2222
. mN0573.396099
mm 9623.10144N 41.4018
6625.93274.1474
N 41.4018==
−= πσ max
Si se considera un material ASTM A-36, el esfuerzo a la tensión es de 339.893
MPa. (58,000 psi.), y el esfuerzo a la cedencia es de 248.21 MPa. (36,000 psi). Este
material seleccionado es el más adecuado para el mecanismo.
134
Para la estructura de la transmisión se tiene el acero ASTM-A-36, así mismo como
el separador son de una acero ASTM-A-36,ver las figuras (4.31.) a la (4.44)
respectivamente.
CAPÍTULO 4
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CAPÍTULO 4
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CAPÍTULO 4
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CAPÍTULO 4
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Capitulo 5
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES.
En el desarrollo de este trabajo de tesis, se tomaron algunas ideas tal vez
alocadas para la solución del problema, se evaluaron según criterios de algún fabricante
de mosaico, según las necesidades.
El camino que se desarrollo en la solución del problema fue largo, pero permitió
observar que cualquier idea, tomando los parámetros definidos del proyecto, puede
trasladarse en dibujos de definición, estos dibujos de definición tienen sustento en su
análisis cinemático importante para realizar la ingeniería del producto.
En el análisis cinemático se mostró el comportamiento del mecanismo “principal”
(mecanismo biela – manivela - corredera), así mismo como el comportamiento del
mecanismo “leva”, parte importante del comportamiento de la velocidad lineal de
corredera (pistón).
Los tipos de leva proporcionan la velocidad más adecuada según se necesite, para
el estudio fue importante una leva cicloidal ya que esta nos permite tener una aceleración
lineal en el seguidor, sin llegar a tener una discontinuidad en la curva de aceleración que
se traduce en menos esfuerzos. Con las ecuaciones se obtuvo el perfil de leva que
traducido en dibujo se muestra en la figura 4.50.
Para el análisis dinámico se estructuraron las ecuaciones del mecanismos del
conjunto leva – manivela – biela- corredera, provocando que el análisis fuera engorroso y
por consiguiente propenso a equivocaciones, por tal motivo se hizo uso de métodos
numéricos donde se logro conjuntar las ecuaciones correspondientes del mecanismo,
obteniendo la tabla 3.1.
Con el análisis dinámico se obtuvieron las diferentes fuerzas que intervienen a
través del mecanismo, con ello y basándose en él calculo por resistencia de los
materiales se le dio forma al diseño que se presenta.
CAPÍTULO 4
182
A un que ente trabajo no fue la intención meterse a fondo con los cálculos de
resistencia propias de los materiales, si se expresaron algunas ideas que son importantes
para el diseño, por tal motivo si quisiéramos tener un análisis más detallado seria
recomendable tener que hacer una análisis por elemento finito, o por otro método que
permita observar el comportamiento real de los elementos según el material y así poder
determinar con más exactitud el tipo las dimensiones de los elementos diseñados.
Con los dibujos aquí mostrados podemos llegar a construir la maquina, tal vez en
los dibujos se encuentran detalles no previstos que son propios del maquinado, aunque
en este trabajo se puso un total interés el desarrollo de los dibujos, no por ellos están
exentos de errores.
Se llega a concluir por tanto que este trabajo llega a su objetivo planteado, es decir
siguió una metodología para poder especificar los productos según los requerimientos del
cliente, se pudo integrar los conocimientos aprendidos durante la estancia de estudios y
lo más importante esta metodología empleada puede emplearse para cualquier tipo de
proyecto, producto, maquina o empresa.
CAPÍTULO 4
ANEXOS
ANEXO 1
Para especificar calcular las características de un engranaje recto, normal con ángulo de
presión de 20 grados tenemos la siguiente tabla:
Módulo M Determinado por cálculos basados en resistencias de
materiales
Número de dientes Z Determinado a partir de la relación de velocidades
A
B
B
A
ZZ
nn
=
Paso P P=m*π
Altura de cabeza ah ah =m
Altura de pie fh fh =1.25 m.
Altura del diente H h= + =2.5m. ah fh
Diámetro primitivo D d=m*z
Diámetro de cabeza ad ad =d + 2m
Diámetro de pie fd fd =d-2.5m
ANEXO 2
Especificación PS-1.
Para el maquinado por CAD se pueden utilizar formulas que se vieron en este trabajo.
Sin embargo cuando se trabaja en maquinas convencionales se tiene que especificar los
183
CAPÍTULO 4
184
radios y por ende las distancias en el eje “x” y “y” respecto al centro de la leva, para
nuestro caso será el centro de la circunferencia del engranaje 5. De donde:
Desplazamiento angular de la leva (grados)
Radio de la leva exterior (mm.)
Radio de la leva interior (mm.)
Desplazamiento en el eje “x”
(mm.)
Desplazamiento en el eje “y”
(mm.)
0 113.4 0 0 0
10 137.2881 84.8881 -23.8853 -.7906
20 279.0529 226.6829 -164.4918 -19.0117
30 439.168 386.768 -322.3245 -45.8035
40 224.6034 172.2034 -112.2984 -1.9008
50 151.4427 99.0427 -41.8845 17.9578
60 126.3084 73.9084 -18.8786 28.0804
70 114.9219 62.5176 -9.6013 34.6898
80 109.9738 57.5738 -6.3985 38.4566
90 110.516 58.116 -6.5135 37.9165
100 117.6748 65.2748 -7.2041 30.7903
110 134.7759 82.3759 -4.6049 13.8877
120-150 149.4 0 0 0
160 134.7759 82.3759 -12.8729 6.9466
170 117.7805 65.3805 -29.0751 12.4421
180 110.516 58.116 -36.2094 12.9987
190 109.9777 57.577 -36.7577 12.9806
200 114.9205 62.5205 -32.4933 15.481
210 126.3081 73.9081 -24.3757 23.4677
220 151.4427 99.0427 -10.4118 44.3665
CAPÍTULO 4
185
230 224.6039 172.2039 21.3725 110.2628
240 439.168 386.768 47.2866 158.6915
250 279.0529 226.6529 23.8853 0.892
260-360 113.4 61 0 0
Tabla para maquinar levas.
CAPÍTULO 4
186
BIBLIOGRAFÍA
Joseph Edward Shigley. Teoría de Máquinas y Mecanismos, 1ª edición, Mc Graw Hill, México D.F., 1988.
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Halmiton H. Mabie. Mecanismos y dinamica de máquinaria, 1ª edición, Editorial Limusa S.A. de C.V., México D.F., 1990.
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Chester L. Dawes. Tratado de electricidad tomo 2 corriente alterna, 4ª edición, Ediciones G. Gili S.A. de C.V., México D.F., 1989.
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aumentada, Ediciones Aceros Fortuna S.A. de C.V., México D.F., 1997.
J. P. Den Hartog. Mecánica de las vibraciones, 4ª edición, Cia. Editorial Continental S.A. de C.V., México D.F., 1987.
M. Candido Palacios Montufar. Apuntes de Análisis dinámico de máquinas y mecanismos, 1ª edición, México D.F., 1997.
Jorge Ramos Watanave. Apuntes de la metodología para realizar y/o dirigir la adaptación, mejora o inavación de productos ó sistemas mecánicos, México D.F., 1996.
Sergio A. Villanueva Pruneda. Metodología para la extracción de tecnología, Tesis de grado, México D.F., 1996.
Warren J. Luzadder, Fundamentos de dibujo en ingenieria, 9ª Edición, Prentice Hall hispanoamericana, S.A. 1988 México.
Villanueva Pruneda Sergio A. Ramos Watanave Jorge Manual de métodos de fabricación metal mecanica, 4ª. Edición, AGT Editor S.A. México 1994.
CAPÍTULO 4
187
V.M. Faires. Diseño de elementos de máquinas” Editorial Montaner y Simon, S.A. España 1970
CAPÍTULO 4
107
CAPÍTULO 5
4.3. Sumario.
Este capitulo es el resumen de los tres anteriores, ya que en este se realizó la
selección de los materiales con la información obtenida del análisis cinemático y dinámico
de los elementos mecánicos que intervienen en el diseño de la máquina.
Con la selección de los materiales, se hacen los dibujos de detalle de los
elementos que intervienen en la construcción de la máquina, sin embargo hay que aclarar
que estos dibujos no son los definitivos, ya que serán definitivos hasta que exista un
prototipo.
Nótese que el cálculo de los materiales, se analizó a la ligera ya que no es el
objetivo del presente trabajo hacer una análisis profundo de los elementos mecánicos
bajo los esfuerzos sometidos, por lo que es necesario en trabajos posteriores hacer el
estudio más profundo, sugiriendo el método del elemento finito para la optimización de
los elementos mecánicos.
Referencias.
• R.G. Mitchiner and H. Mabie, the determination of the Lewis Form Factor and
the AGMA Geometry Factor J for External Spur Gear Teeth, ASME journal of
Mechanical Design, vol 104, No. 1, 1982.
• AGMA (American Gear Manufacturers Association), Extracto de la hoja de
información AGMA – Resistencia de dientes de engranes cilíndricos, 1901.
• T. J. Dolan y E.I. Broghamer, A Photoelastic Study of the Stresses in Gear Tooth
Fillets, Bulletin 335.
• R.E. Peterson, Stress Concentration Factor, Wiley, 1974.
• Aceros Fortuna, Manual técnico de productos, edición 1997, ediciones Acero
Fortuna S.A. de C.V. , México D.F.
181
CAPÍTULO 5 • Joseph Marin, Mechanical Behavior of Materials, Prentice-Hall, Emglewood
Cliffs, N. J., 1962.
• P.G. Forest, Fatigue of Metals, Pergamon, Londres,1962.
• Robert C. Juvinall, Engineering Considerations of Stress, Strain, and Strenght,
McGraw-Hill Book Company, Nueva York, 1964.
• Earl Buckingham, Analytical Mechanics of Gears, cap-23, McGraw-hill, Nueva
York, 1949.
• S. P. Timoshenko, Mecanica de Materiales, Editorial unión Tipográfica, hispano
americana, México, 1979.
• Carl A. Keyser, James L. Leach, Materiales y Procesos de Manufactura para
Ingenieros, Prentice-Hall Hispanoamericana S.A. 4ta Edición, México 1988.
• Joseph Edward Shigley, Larry D. Mitchell, Diseño en Ingeniería Mecánica,
McGraw-Hill, Cuarta edición. 1990.
• A. Chevalier, Dibujo Industrial, Grupo Noriega Editores, 2da. Edición, México
1992.
182
CAPÍTULO 5
Capítulo 5
EVALUACIÓN APROXIMADA DE COSTOS DEL PROYECTO.
El costo del proyecto depende de los gastos que se generan en cuanto al consumo
de las materias primas, máquinas, mano de obra, ventas, almacenamiento y otros gastos
generales, es decir, en todo proyecto debe tenerse en cuenta el costo económico para
poder generar un beneficio; por tanto, puede afirmarse que el costo del proyecto debe ser
económicamente aceptable y competitivo.
Es importante señalar que la manufactura demanda la existencia de un control
geométrico severo sobre las piezas que se pretende sean intercambiables por
consiguiente, es necesario que todo proyecto ó diseño sea en lo más posible apegado a
los estándares del mercado, de preferencia del nacional, para garantizar piezas
intercambiables y de fácil servicio.
5.1. ELEMENTOS PARA HACER UN ANALISIS DE FABRICACIÓN.
Para hacer cualquier proyecto, es necesario hacer una secuencia de fabricación,
para obtener el producto especificado en el dibujo de definición, esta secuencia debe
tener en cuenta el ritmo de producción, conocimientos de las posibilidades y limitaciones
del equipo (máquinas, herramientas, dispositivos de sujeción, dispositivos o elementos de
medición) disponible para la fabricación.
Una vez conocidas las especificaciones dadas por el dibujo del proyecto, es
necesario determinar los procesos, según la forma, dimensiones, materiales,
recubrimientos superficiales, tratamientos térmicos, el tipo de esfuerzos a que va estar
sometido el material, etc. Es necesario para escoger el tipo de proceso tener en cuenta
que sea económico sin perder de vista la precisión, ésta selección se ve influida por la
cantidad de piezas a producirse. Generalmente, existe una máquina apropiada a un
problema de fabricación dado. Para la producción de lotes pequeños, tal es el caso de
este proyecto, las máquinas de propósitos generales, se justifican como el tipo de
maquinas más apropiado. 183
CAPÍTULO 5 Es importante señalar que en muchas ocasiones el análisis de fabricación y en la
elaboración no intervienen los elementos idóneos, debido a que se usan sólo aquellos
que se tienen disponibles, pero siempre debe buscarse el trabajar con la herramienta
adecuada, pues el fin más importante es el cumplir con todas las especificaciones del
dibujo de definición del producto en el menor tiempo y con el costo mínimo.
Todos los costos que varían deben considerarse y por comodidad pueden dividirse
en costos directos, indirectos y costos de capital. El costo directo varia de máquina a
máquina de donde en éste costo se debe considerar la mano de obra, el tiempo de
habilitar y de realizar una operación, otros costos directos son la potencia de la máquina
(consumo eléctrico) y material, ya que depende de gran parte el modo de trabajar. Los
costos indirectos comúnmente se calculan multiplicando el tiempo de operación por un
estándar de indirectos. Los costos de capital se determinan por la distribución de los
costos principales de las máquinas y herramientas en una base según horas o entre las
piezas producidas. Es común encontrar que él costeo ó cálculo del costo del producto se
estima en base a tiempo de los maquinados del producto ó pieza, este tiene un precio
según el centro de maquinado, donde se ha determinado los costos directos, indirectos y
de capital, tal es el caso de la compañía “etal” la cual ésta tiene tablas que determinan el
costo del producto según sus tiempos de maquinado.
El tiempo total requerido para realizar una operación puede dividirse en cuatro
partes, que son:
Tiempo de habilitación. Este es el tiempo requerido para preparar la operación
y puede incluir el tiempo para obtener las herramientas desde el cuarto de
herramientas y para hacer la documentación requerida.
�
�
�
Tiempo del trabajador o de manipulación. Este es el tiempo que el operador
pierde cargando y descargando el trabajo, manipulando la máquina y las
herramientas, y haciendo mediciones durante cada ciclo de la operación.
Tiempo de máquina. Este tiempo es durante cada ciclo de la operación que la
máquina está trabajando o las herramientas están cortando.
184
CAPÍTULO 5 Tiempo muerto o perdido. Este tiempo es el inevitable por el operador, ya sea
por descomposturas, esperas por las herramientas y materiales, etc.
�
Es importante señalar que los tiempos de habilitación y trabajador se estiman de
los rendimientos previos en operaciones similares. Todo trabajo en un tipo particular de
máquina herramienta consta de un número limitado de elementos, estos pueden
estandarizarse, medirse y registrarse, siendo esto la esencia del estudio de tiempos y
movimientos, un gran campo que no se trata en este trabajo.
La cantidad real de tiempo muerto que se representa en una operación especifica
difícilmente puede predecirse. Algunas operaciones transcurrirán sin contratiempos, otras
resultarán plagadas por problemas, de donde la mejor estimación se basa en la cantidad
promedio, que comúnmente se pierde en la planta.
El tiempo maquina ó tiempo corte es común que la velocidad y la profundidad de
corte se basen en tablas preestablecidas por los fabricantes de las maquinas
herramientas.
A continuación se presenta un ejemplo del análisis de fabricación del engrane 1,
dibujado en el capítulo 4 en la figura 4.6., con este dibujo se realiza un análisis de
fabricación, se hace un esquema explicativo, se realiza la selección del equipo ó
maquinaria a utilizar, así mismo como alguna observación de relevancia. (ver figura 5.1.).
Esta figura es solo representativa ya que en este trabajo, no tiene la intención de
profundizar en el análisis de fabricación.
Se tiene por tanto que el análisis de fabricación, es el conjunto de actividades
ejecutadas en un mismo puesto de trabajo. Es decir el estudio minucioso de todo lo que
deba efectuarse para cumplir cada etapa de la fabricación del producto.
En el análisis de fase están involucradas todas las actividades simples como
gesticulaciones, movimientos, pasadas de maquinado, etc. Por consiguiente es necesario
antes de hacer un análisis de fase tener establecido el análisis de fabricación de cada
pieza para poder considerar las posibilidades y limitaciones de cada centro de
maquinado.
185
CAPÍTULO 5 Fase No. ESQUEMA EXPLICATIVO Máquina, Herramientas de corte,
Elementos de sujeción y control Observaciones
10
- Torno paralelo - Buril para refrentar - Buril de forma para radios 10 - Broca para aproximar a
diámetro de 38.1 - Rima para diámetro según
tolerancias. - Pie de rey.
Apoyo plano 1,2 y 3 Orientación 4 y 5 Apriete en “b”. a.- Cilindrar en 2 a un diámetro de 60 y refrentar 4 a 38.1 b.- Quitar filos a 4 X 45º en 3 y 6 c.- hacer barreno en 5 a un diámetro de 38.1 con tolerancias de más 0.016, menos cero.
20 - Torno paralelo.
- Buril para refrentar y quitar
filos
- Pie de rey.
Apoyo en 1,2 y 3
Orientación en 4 y 5
Apriete en “c”
a.- Quitar filos a 4 X45º
en 7.
30 - Fresadora horizontal
- Fresa módulo 4.
- Pie de rey.
- Cabezal divisor
- Contra punto
Apoyo en plano 1,2 y 3
Orientación en 4 y 5
Apriete en d.
a.- Hacer dientes
40 - Cepillo.
- Pie de rey.
- Prensa de mecánico.
Apoyo en 1,2y 3
Orientación en 4 y 5
Apriete en “e”
a.- Hacer ranura para
cuña en 11
50 - Taladro.
- Prensa para mecánico.
- Broca
- Machuelo M6
Apoyo en 1,2 y 3
Orientación en 4 y 5
Apriete en “f”.
a.- Hacer cuerda en 12
4
5
1 2 3 10
2
3
5
6
4
b
7
c
4
5
1 2 3
d 1 2 3
4
5
e
4
5
11
1 2 3
e
4
5
11
1 2 3
Figura 5.1. Análisis de fabricación 186
CAPÍTULO 5 Para determinar de manera más exacta el tiempo de maquinado es necesario
hacer la estimación de los tiempos mínimos necesarios, Esta estimación se representa en
una hoja de proceso. Cabe mencionar que en este trabajo no se realiza de manera
detallada el proceso de análisis1 de fase. Por lo que solo se dará para el engranaje 1 el
estimado, según la Compañía ETAL.
Maquina : Torno paralelo “TURRI”.
Costo horas maquina: 0.59 USD.
Costo horas hombre: 2.7170 USD.
Maquina : Fresadora horizontal “HERMLE”.
Costo horas maquina: 0.46 USD.
Costo horas hombre: 2.9073 USD.
Costo de ingeniería: 5.30 USD.
Tiempo necesario para el maquinado en torno: 0.32 hrs., Costo : 1.06 USD.
Tiempo necesario para el maquinado en fresadora : 0.23 hrs. Costo: 0.78 USD.
Costo Materia prima ( acero AISI-4140 ) 3.80 USD.
SUB-TOTAL : 5.64 USD.
Costo por trabajo de ingeniería 5.30 USD
TOTAL : 10.94 USD
De esta manera se calculó el costo por pieza. De donde se tiene que el costo total
del diseño es de :
$3800.00 (tres mil ochocientos pesos)
Si se compara con los precios de la máquina del taller de mármoles de San
Lorenzo y la del taller del Sr. Armado Gracia se tiene( ver tabla 5.1.)
1 Para mayor información ver el ejemplo de: Sergio A Villanueva Pruneda, Manual de Fabricación Metalmecánica,
187
CAPÍTULO 5 Tabla 5.1. Comparación de costo – beneficio.
Taller Mármoles de
San Lorenzo
Taller del Sr.
Armando García.
Diseño propuesto.
Costo de Prensa $ 2700.00 $ 5500.00 $ 3800.00
Piezas producidas 12 mts cuadrados 19 mts. cuadrados 24 mts cuadrados
(estimado)
Rechazos por mal prensado 30 % 10 % 0 % Estimado.
Como se puede ver en la tabla 5.1. se puede apreciar que la máquina propuesta
cumplirá con las expectativas propuestas, es claro señalar que este estimación no puede
ser medida sin que exista un prototipo funcionando.
5.2. SUMARIO.
Este capitulo fue tratado muy a la ligera ya que no es la finalidad hacer un análisis
de costos muy detallado, sin embargo; es necesario considerar en todo proyecto la
viabilidad de poderse fabricar con los recursos materiales mínimos necesarios; es decir,
todo proyecto necesita del análisis detallado para conocer, de que manera se fabricará,
así se determinaran elementos y recursos necesarios, definiendo éstos se podrá hacer
un análisis de fabricación, la cual define el costo aproximado del producto a fabricar.
REFERENCIAS.
• Sergio A. Villanueva Pruneda, Manual de Métodos de Fabricación
Metalmecánica, AGT EDITOR,S.A.,1994.
• Doyle Keyser, Materiales y Procesos de Manufactura para Ingenieros, Prentice
Hall, 1988.
AGT Editor, 1994, paginas 221-242. 188
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES.
Concluyendo es importante señalar que en los talleres que son familiares y de
mediana capacidad, no cuentan con una normalización que garantice la calidad del
producto, además los tiempos de entrega son muy largos por lo que el mercado ha
desplazado al mosaico de granito y terrazo por productos de cerámica, ya que estos son
de más fácil adquisición.
Con la prensa para mosaico que se sugiere, dará una buena calidad del producto,
impactando en el proceso productivo, por cero defecto, y por tanto menos desperdicios.
También esta máquina pretende el aumento de producción de un 100% debido a su
versatilidad y facilidad de operación, ya que por ningún motivo se necesita gente
especializada para su manejo, así mismo se cuidó que las piezas ó eslabones se
encuentren bajo los estándares nacionales para tener una buena intercambiabilidad de
sus partes, por tanto un fácil mantenimiento.
En el desarrollo de este trabajo se presentó una lluvia de ideas para la solución
más apropiada de una área de oportunidad, este método es el llamado QDF (Quality
Funtion Deplayment) el cual permite hacer el análisis profundo de cada una de las fases
del proyecto. Por tanto se puede decir que este trabajo mostró un método para la
solución de un problema, desde el planteamiento hasta tener un análisis económico, muy
general. Sin embargo cabe mencionar que la fabricación de cualquier producto por muy
difícil que fuese, es posible llegar a un término satisfactorio, siempre y cuando el fin
justifique el medio.
Por lo tanto se sugiere para próximos trabajos, hacer un estudio más detallado en
el análisis y selección de los materiales por medio de elemento finito, u otro método que
garantice la funcionalidad y reduzca considerablemente los excesos donde no son
necesarios, según la aplicación de los esfuerzos.
Otro punto importante, es el estudio económico, ya que intervienen muchas
variables que pueden hacer un trabajo más caro de lo normal, por consiguiente es
importante tener un historial de estudio de tiempos y movimientos de los elementos
189
maquinados semejantes ó parecidos para hacer un aproximado de los tiempos mínimos
necesarios para la elaboración del producto.
Como recomendación se sugiere hacer un prototipo para la validación de los
dibujos que se presentaron en él capitulo 4.
Es importante tener en cuenta que la estructura que se sugiere no necesita una
instalación especial, sin embargo esta puede ser cambiada, muy comúnmente se observa
en los talleres que la base de la máquina es de concreto siempre y cuando la máquina se
considere que no tendrá cambios de ubicación.
Y por ultimo se recomienda que en todo diseño se siga la mejor metodología para
la solución de cualquier área de oportunidad, para evitar trabajo innecesario y que traerá
consigo incremento de costos y errores de funcionamiento, por tanto es necesario que
todo proyecto sea de fácil fabricación (barato), sencillo y funcional.
190
RESULTADOS Y DISCUSIONES.
El método empleado se considera en este trabajo como el más viable para la
solución del problema, por el desarrollo que se hace en su metodología desde la
generación de ideas para obtener un satisfactor adecuado.
Las especificaciones de detalle se basaron desde el análisis cinemático, estudiado
en él capitulo 2, donde se observa el comportamiento del mecanismo biela –manivela –
corredera, así mismo como la leva seguidor sin faltar el comportamiento del engranaje
planetario, muy necesario en la optimización de la máquina.
En él capitulo 3, se realizó el análisis dinámico de los mecanismos leva – biela –
manivela – corredera, donde se estructuró las ecuaciones que rigen la dinámica del
mismo, de donde sé tubo que realizar un programa para hacer más fácil la solución de las
ecuaciones, (ver anexos). Así mismo se analizó la dinámica del tren de engranajes
planetarios por un método tradicional.
Con las fuerzas del análisis dinámico se encontraron las formas geométricas y sus
materiales para cada una de las partes ó eslabones integrantes del mecanismo, esto se
realizó satisfactoriamente en el capitulo 4, hasta su fase de calidad de proyecto de
diseño.
Y por ultimo se realizo de manera muy superficial, la comparación de costos con
las otras dos máquinas que se mencionaron desde un inicio del presente, es un echo que
a esta comparación le falta realizar una secuencia detallada de cada una de las piezas,
así mismo como un análisis de fase detallado.
En un futuro se debe hacer una automatización completa del proceso, ya que
existen varias áreas de oportunidad, tal es el caso del llenado del granito con el terrazo
en los moldes, hay que considerar que para este diseño hay que tener en cuenta la falta
de uniformidad de la materia prima. Otra área de oportunidad es el desmoldeo del
mosaico, ya que actualmente este proceso se hace a mano y por ultimo hacer un sistema
de secado que permita la optimización del proceso.
191
ANEXO 1.
Tabla para calcular las características de un engrane recto, con un ángulo de
presión de 20º.
Módulo m Determinado por cálculos basados en resistencias de materiales
Número de dientes Z Determinado a partir de la relación de velocidades
ZZ
nn
A
B
B
A =
Paso p p = m * π
Altura de cabeza ha ha = m
Altura de pie hf hf =1.25 m.
Altura del diente H H = +h = 2.5 m ha f
Diámetro de cabeza da da = d + 2 m
Diámetro primitivo d d = m * Z
Diámetro de pie d f d f = d – 2.5 m
192
ANEXO 2.
Para el maquinado por CAD se pueden utilizar las expresiones que se obtuvieron
en él capitulo 2, sin embargo es común que el maquinado se tenga que especificar según
los radios y por ende las distancias en el eje “x” y “y” respecto al centro de circunferencia
del engrane 5. De donde:
Desplazamiento angular de la leva (grados)
Radio de la leva exterior (mm.)
Radio de la leva interior (mm.)
Desplazamiento en el eje “x”
(mm.)
Desplazamiento en el eje “y”
(mm.) 0 113.4 61 0 0 10 137.2881 84.8881 -23.8853 -0.7906 20 279.0529 226.6829 -164.4918 -19.0117 30 439.168 386.768 -322.3245 -45.8035 40 224.6034 172.2034 -112.2984 -1.9008 50 151.4427 99.0427 -41.8845 17.9578 60 126.3084 73.9084 -18.8786 28.0804 70 114.9219 62.5176 -9.6013 34.6898 80 109.9738 57.5738 -6.3985 38.4566 90 110.516 58.116 -6.5135 37.9165
100 117.6748 65.2748 -7.2041 30.7903 110 134.7759 82.3759 -4.6049 13.8877
120-150 149.4 82.3759 0 0 160 134.7759 82.3759 -12.8729 6.9466 170 117.7805 65.3805 -29.0751 12.4421 180 110.516 58.116 -36.2094 12.9987 190 109.9777 57.577 -36.7577 12.9806 200 114.9205 62.5205 -32.4933 15.481 210 126.3081 73.9081 -24.3757 23.4677 220 151.4427 99.0427 -10.4118 44.3665 230 224.6039 172.2039 21.3725 110.2628 240 439.168 386.768 47.2866 158.6915 250 279.0529 226.6529 23.8853 0.892
260-360 113.4 61 0 0
193
ANEXO 3.
Programa para la resolución de la s ecuaciones dinámicas del mecanismo propuesto. 10 CLS REM Programa para la solución de la ecuaciones REM dinámicas del problema PRINT " La matriz tendrá igual numero de " PRINT " renglones (m) y columnas (n)" PRINT " m = n " DIM A(20, 20), B(20, 20), C(20, 20), D(20, 20), F(20, 20) INPUT "numero de filas o renglones (m) = ", M FOR I = 1 TO M FOR J = 1 TO M PRINT "A("; I; ","; J; ")" INPUT A(I, J) NEXT J NEXT I N = M + 1 FOR K = 1 TO M PRINT " Reducción SUCESIVA #.", K FOR J = 2 TO N FOR I = 2 TO M IF J = N THEN A(I, J) = 0: A(1, J) = 1 B(I - 1, J - 1) = A(I, J) - A(1, J) * A(I, 1) / A(1, 1) NEXT I NEXT J FOR J = 2 TO M B(M, J - 1) = A(1, J) / A(1, 1) NEXT J B(M, M) = 1 / A(1, 1) FOR I = 1 TO M FOR J = 1 TO M PRINT "B("; I; ","; J; ")="; B(I, J) A(I, J) = B(I, J) NEXT J NEXT I NEXT K PRINT "MULTIPLIQUE LA MATRIZ C" REM MULTIPLICACION DE MATRICES INPUT "NUMERO DE RENGLONES DE LA MATRIZ C", N3 INPUT "NUMERO DE COLUMNAS DE LA MATRIZ C", N4 FOR I = 1 TO N3 FOR J = 1 TO N4 PRINT "C("; I; ","; J; ") ": INPUT C(I, J) NEXT J NEXT I 20 PRINT "DESEA MODIFICAR S/N" INPUT S$ IF S$ = "S" THEN GOSUB 100
194
FOR I = 1 TO M FOR J = 1 TO N4 D(I, J) = 0 FOR K = 1 TO M D(I, J) = D(I, J) + B(I, K) * C(K, J) NEXT K NEXT J NEXT I FOR I = 1 TO M FOR J = 1 TO N4 PRINT "F("; I; ","; J; ") ="; F(I, J) NEXT J NEXT I PRINT " DESEA EL MISMO PROBLEMA S/N" INPUT S$ IF S$ = "S" THEN 20 PRINT " DESEA OTRO PLOBLEMA S/N" INPUT S$ IF S$ = "S" THEN 10 GOTO 200 100 REM SUBRUTINA PARA MODIFICAR LAS MATRICES PRINT "CUAL MATRIZ A O B" INPUT A$ INPUT " NUMERO DE RENGLON", N5 INPUT " NUMERO DE COLUMNA", N6 INPUT " VALOR DEL ELEMENTO", E RETURN 200 END
195
En este caso solamente puede facilicitar una orientación aproximada,por lo que en cada caso particular es necesario hacer una selecciónmás cuantificada. Para mas detalle consultar el catalogo general SKF.
Agu
jero
con
ico
Prot
ecci
ones
u o
btur
acio
nes
auto
aline
able
no d
esar
mab
le
desa
rmab
le
carg
a ra
dial
pura
carg
a ax
ial p
ura
carg
a co
mbi
nada
mom
ento
s
altav
eloc
idad
alta
exac
titud
de
giro
alta
rigid
ez
Func
iona
mie
nto
silen
cios
o
bajo
roza
mie
nto
Com
pens
ació
n de
des
aline
ació
n en
fu
ncio
nam
ient
oCo
mpe
nsac
ión
de e
rror
es d
e ali
neac
ión
(inic
ial)
Disp
osic
ione
s de
roda
mie
nto
fijo
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osic
ione
s de
roda
mie
nto
libre
Des
plaz
amie
nto
axial
pos
ible
en
el
roda
mie
nto
Rodamientos rigidos de bola+ + + - +++ +++ + +++ +++ - - ++ + -' -
+ + + + + + + + ++ -' - -' - + + -' -
Rodamiento de bolas a rótula+ - - -' - ++ ++ - ++ ++ +++ ++ + + -' -
Rodamiento de bolas con contacto+ + ++ - ++ +++ + ++ ++ - - ++ -' - -' -
angular (espalda con espalda)a ++ + ++ + + ++ ++ + + -' - -' - ++ + -' -
Rodamiento de bolas de 4 puntos de contacto- + + + ++ + + + + -' - -' - ++ - -' -
Rodamientos de rodillos cilíndricos++ -' - -' - -' - +++ ++ ++ ++ ++ - - -' - +++ +++
++ + + -' - +++ ++ ++ + ++ - - + + +
+++ -' - -' - + +++ +++ +++ ++ ++ -' - -' - -' - +++ +++
Rodamientos completamentea b +++ + - -' - - + +++ - - - - + + +
llenos de rodillos cilindricosa +++ + - + - + +++ - - -' - -' - + + +
Rodamientos de agujas++ -' - -' - -' - + + ++ + - -' - -' - -' - +++ +++
Rodamiento de rodillos a rótula+++ + +++ -' - + + ++ + + +++ ++ ++ + -' -
Rodamiento de rodillos cónicos++ ++ +++ -' - + ++ ++ + + - - ++ -' - -' -
(frente a frente)+++ ++ +++ - + + +++ + + - - +++ + -' -
Rodamientos axiales de bolas-' - + -' - -' - + ++ + - + -' - -' - + -' - -' -
-' - + -' - -' - + + + - + -' - +++ + -' - -' -
Rodamientos axiales de rodillos cilindricos-' - ++ -' - -' - - ++ ++ - - -' - -' - + -' - -' -
Rodamientos axiales de agujas-' - ++ -' - -' - - + ++ - - -' - -' - + -' - -' -
Rodamientos axiales de rodillos a rótula-' - +++ + -' - + + ++ - + +++ ++ ++ -' - -' -
Simbolos:+++ Excelente - Mediocre ++ Bueno - - Inadecuado + Aceptable Simple efecto doble efecto
ab a a
ba a,b a c,b c,b
ab
ab
a
a a b b
a b
a a b c