Download - Integración por fórmulas 05
𝝏𝒚
𝝏𝒙
Fórmulas de integración
G. Edgar Mata Ortiz
න𝒇 𝒙 𝒅𝒙
න𝒗𝒏𝒅𝒗 =𝒗𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏+ 𝑪, 𝒏 ≠ −𝟏
𝝏𝒚
𝝏𝒙
Función elevada a un exponente constante
Esta fórmula se emplea cuando la expresión que se va a integrar es una expresión, generalmente entre paréntesis, elevada a un exponente constante.
Es necesario completar el diferencial, y el valor de n debe ser diferente de -1.
න𝒗𝒏𝒅𝒗 =𝒗𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏+ 𝑪, 𝒏 ≠ −𝟏
𝝏𝒚
𝝏𝒙
Fórmula para el cociente de dos funciones
La fórmula se lee:
La integral de 𝒗 a la 𝒏, diferencial de
𝒗 es igual a:
𝒗 elevada a la 𝒏 + 𝟏, entre 𝒏 + 𝟏
Más la constante de integración C
Se emplean colores para identificar la función y el exponente.
න𝒗𝒏𝒅𝒗 =𝒗𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏+ 𝑪, 𝒏 ≠ −𝟏
𝝏𝒚
𝝏𝒙
Ejemplo
Resolver
La fórmula es:
Es necesario identificar claramente la función 𝒗, el
exponente 𝒏 y revisar si está completo el diferencial
𝒅𝒗
න𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙
𝒙𝟐 − 𝟐𝒙=
න𝒗𝒏𝒅𝒗 =𝒗𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏+ 𝑪, 𝒏 ≠ −𝟏
𝝏𝒚
𝝏𝒙
Ejemplo
Resolver
A primera vista, la expresión algebraica no parece corresponder a la fórmula que se propone para resolver el problema, pero si se reordena como se muestra en seguida queda claro que sí es posible emplear dicha fórmula
න𝒗𝒏𝒅𝒗 =𝒗𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏+ 𝑪
න𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙
𝒙𝟐 − 𝟐𝒙=
න𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙
𝒙𝟐 − 𝟐𝒙=න 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙
−𝟏𝟐 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙
𝝏𝒚
𝝏𝒙
Ejemplo
Resolver
Identificamos la variable 𝒗 para calcular el 𝒅𝒗
El diferencial que se ha obtenido no es igual al diferencial que se encuentra en la integral
𝒗 = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝒅𝒗 = 𝟐𝒙 − 𝟐 𝒅𝒙
න𝒗𝒏𝒅𝒗 =𝒗𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏+ 𝑪
න𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙
𝒙𝟐 − 𝟐𝒙=න 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙
−𝟏𝟐 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙
𝝏𝒚
𝝏𝒙
Ejemplo
Resolver
Identificamos la variable 𝒗 para calcular el 𝒅𝒗
El diferencial que se ha obtenido no es igual al diferencial que se encuentra en la integral.
Para poder integrar, el diferencial “debe estar completo”, es decir, ambos diferenciales deben ser iguales.
𝒗 = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝒅𝒗 = 𝟐𝒙 − 𝟐 𝒅𝒙
න𝒗𝒏𝒅𝒗 =𝒗𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏+ 𝑪
න𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙
𝒙𝟐 − 𝟐𝒙=න 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙
−𝟏𝟐 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙
𝝏𝒚
𝝏𝒙
Ejemplo
Resolver
Identificamos la variable 𝒗 para calcular el 𝒅𝒗
𝒗 = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝒅𝒗 = 𝟐𝒙 − 𝟐 𝒅𝒙
A primera vista, da la impresión que no es posible completar el
diferencial, sin embargo, obteniendo factor común en el diferencial
obtenemos:
𝒅𝒗 = 𝟐𝒙 − 𝟐 𝒅𝒙𝒅𝒗 = 𝟐 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙
න𝒗𝒏𝒅𝒗 =𝒗𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏+ 𝑪
න𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙
𝒙𝟐 − 𝟐𝒙=න 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙
−𝟏𝟐 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙
𝝏𝒚
𝝏𝒙
Ejemplo
Resolver
Identificamos la variable 𝒗 para calcular el 𝒅𝒗
𝒗 = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝒅𝒗 = 𝟐𝒙 − 𝟐 𝒅𝒙𝒅𝒗 = 𝟐 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙
Se completa el diferencial agregando el dos que falta.
න𝒗𝒏𝒅𝒗 =𝒗𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏+ 𝑪
න𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙
𝒙𝟐 − 𝟐𝒙=න 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙
−𝟏𝟐𝟐 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙
𝝏𝒚
𝝏𝒙
Ejemplo
Resolver
Identificamos la variable 𝒗 para calcular el 𝒅𝒗
𝒗 = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝒅𝒗 = 𝟐𝒙 − 𝟐 𝒅𝒙𝒅𝒗 = 𝟐 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙
El dos se agrega porque es necesario completar el diferencial, sin
embargo, es evidente que modifica el valor de la expresión origina, que
se multiplica por dos al agregar el dos que completa el diferencial.
Debemos “compensar”, ¿cómo hacerlo?
න𝒗𝒏𝒅𝒗 =𝒗𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏+ 𝑪
න𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙
𝒙𝟐 − 𝟐𝒙=න 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙
−𝟏𝟐𝟐 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙
𝝏𝒚
𝝏𝒙
Ejemplo
Resolver
Identificamos la variable 𝒗 para calcular el 𝒅𝒗
𝒗 = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝒅𝒗 = 𝟐𝒙 − 𝟐 𝒅𝒙𝒅𝒗 = 𝟐 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙
Puesto que la expresión original se multiplicó por dos, podemos
cancelar este efecto dividiendo entre dos, o multiplicar por un medio.
න𝒗𝒏𝒅𝒗 =𝒗𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏+ 𝑪
න𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙
𝒙𝟐 − 𝟐𝒙=𝟏
𝟐න 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙
−𝟏𝟐𝟐 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙
𝝏𝒚
𝝏𝒙
Ejemplo
Resolver
El “un medio” que se agregó se coloca fuera de la integral, ya que las constantes no se integran.
Y entonces se aplica la fórmula de integración.
=𝟏
𝟐
𝒙𝟐 − 𝟐𝒙−𝟏𝟐+𝟏
−𝟏𝟐+ 𝟏
+ 𝑪
La fórmula indica “sumar uno” al exponente y dividir entre
ese mismo valor.
න𝒗𝒏𝒅𝒗 =𝒗𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏+ 𝑪
න𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙
𝒙𝟐 − 𝟐𝒙=𝟏
𝟐න 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙
−𝟏𝟐𝟐 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙
𝝏𝒚
𝝏𝒙
Ejemplo
Resolver
=𝟏
𝟐
𝒙𝟐 − 𝟐𝒙−𝟏𝟐+𝟏
−𝟏𝟐+ 𝟏
+ 𝑪
Se efectúan operaciones:
=𝟏
𝟐
𝒙𝟐 − 𝟐𝒙+𝟏𝟐
+ 𝟏𝟐
+ 𝑪
න𝒗𝒏𝒅𝒗 =𝒗𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏+ 𝑪
න𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙
𝒙𝟐 − 𝟐𝒙=𝟏
𝟐න 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙
−𝟏𝟐𝟐 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙
𝝏𝒚
𝝏𝒙
Ejemplo
Resolver
=𝟏
𝟐
𝒙𝟐 − 𝟐𝒙−𝟏𝟐+𝟏
−𝟏𝟐+ 𝟏
+ 𝑪
=𝟏
𝟐
𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝟏𝟐
𝟏𝟐
+ 𝑪
Simplificando y expresando el exponente fraccionario como raíz:
= 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝑪
න𝒗𝒏𝒅𝒗 =𝒗𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏+ 𝑪
න𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙
𝒙𝟐 − 𝟐𝒙=𝟏
𝟐න 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙
−𝟏𝟐𝟐 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙
Raíz cuadrada
𝝏𝒚
𝝏𝒙
Ejemplo
Resolver
=𝟏
𝟐
𝒙𝟐 − 𝟐𝒙−𝟏𝟐+𝟏
−𝟏𝟐+ 𝟏
+ 𝑪
=𝟏
𝟐
𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝟏𝟐
𝟏𝟐
+ 𝑪
Simplificando y expresando el exponente fraccionario como raíz:
= 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝑪
න𝒗𝒏𝒅𝒗 =𝒗𝒏+𝟏
𝒏 + 𝟏+ 𝑪
න𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙
𝒙𝟐 − 𝟐𝒙=𝟏
𝟐න 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙
−𝟏𝟐𝟐 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙
Solución
𝝏𝒚
𝝏𝒙
Graciashttp://licmata-math.blogspot.mx/
http://www.scoop.it/t/mathematics-learning/
https://sites.google.com/site/licmataalgebra/
http://www.slideshare.net/licmata/
http://www.spundge.com/@licmata
https://www.facebook.com/licemata
Twitter: @licemata
Email: [email protected]