Download - Integral Cauchy
![Page 1: Integral Cauchy](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012319/577c79bb1a28abe05493d85e/html5/thumbnails/1.jpg)
Matematika Teknik 2
![Page 2: Integral Cauchy](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012319/577c79bb1a28abe05493d85e/html5/thumbnails/2.jpg)
27/04/2023 Matematika Teknik 2
Integral Cauchy
Misal fungsi f(z) analitik di dalam dan pada lintasan tertutup C arah positif, dan adalah titik interior dari C
Misal lintasan C dengan arah positif dinyatakan dengan :
2
![Page 3: Integral Cauchy](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012319/577c79bb1a28abe05493d85e/html5/thumbnails/3.jpg)
27/04/2023 Matematika Teknik 2
Maka :
Integral Cauchy (lanjutan)
3
![Page 4: Integral Cauchy](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012319/577c79bb1a28abe05493d85e/html5/thumbnails/4.jpg)
27/04/2023 Matematika Teknik 2
𝑓 (𝑧 0 )= 12𝜋 𝑖∫𝐶
❑ 𝑓 (𝑧)𝑧−𝑧 0
𝑑𝑧
Rumus integral Cauchy
4
![Page 5: Integral Cauchy](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012319/577c79bb1a28abe05493d85e/html5/thumbnails/5.jpg)
27/04/2023 Matematika Teknik 2
Contoh Soal
1. Hitung dengan C berupa |z|=2 dan berlawanan jarum jam.
2. Jawab :3. Lintasan C berbentuk lingkaran dengan pusat z=0 dan jari-
jari 2. 4. Dan titik merupakan titik interior karena terletak di dalam
lingkaran C.
5
![Page 6: Integral Cauchy](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012319/577c79bb1a28abe05493d85e/html5/thumbnails/6.jpg)
27/04/2023 Matematika Teknik 2
Lanjutan …..
Maka :
6
![Page 7: Integral Cauchy](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012319/577c79bb1a28abe05493d85e/html5/thumbnails/7.jpg)
27/04/2023 Matematika Teknik 2
Lanjutan …..
Jadi,
7
![Page 8: Integral Cauchy](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012319/577c79bb1a28abe05493d85e/html5/thumbnails/8.jpg)
27/04/2023 Matematika Teknik 2
Latihan
1. Hitung nilai integral dari bila dan lintasan C berupa
lingkaran |z|=4 dengan arah positif
2. Hitung nilai integral dari bila dan lintasan C berupa
lingkaran |z - i|=2 dengan arah positif
3. Hitung nilai integral dari bila dan lintasan C berupa
lingkaran |z| = 2 dengan arah positif.
8
![Page 9: Integral Cauchy](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012319/577c79bb1a28abe05493d85e/html5/thumbnails/9.jpg)
27/04/2023 Matematika Teknik 2
RESIDU & KUTUB
• Misal f(z) analitik pada dan adalah titik singular terisolasi dari f(z) , maka fungsi f(z) dapat dideretkan menjadi deret Laurent, yaitu
dimana :
n = 1, 2, 3, …
9
![Page 10: Integral Cauchy](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012319/577c79bb1a28abe05493d85e/html5/thumbnails/10.jpg)
27/04/2023 Matematika Teknik 2
Dan
n = 1, 2, 3, …
Bagian utama dari deret Laurent adalah suku kedua, yaitu :
10
n = 1, 2, 3, …
![Page 11: Integral Cauchy](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012319/577c79bb1a28abe05493d85e/html5/thumbnails/11.jpg)
27/04/2023 Matematika Teknik 2
Dimana
Nilai di atas disebut RESIDU dari f(z) di dinotasikan dengan
11
![Page 12: Integral Cauchy](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012319/577c79bb1a28abe05493d85e/html5/thumbnails/12.jpg)
27/04/2023 Matematika Teknik 2
• Titik singular terisolasi dari bagian utama deret Laurent disebut kutub (pole) order m.
• Bila suku dari bagian utama deret Laurent hanya 1 (m=1) maka titik singular terisolasi disebut kutub (pole) sederhana.
12
![Page 13: Integral Cauchy](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012319/577c79bb1a28abe05493d85e/html5/thumbnails/13.jpg)
27/04/2023 Matematika Teknik 2
CARA MENGHITUNG RESIDU
• KUTUB SEDERHANA
Jika titik singular merupakan kutub sederhana maka fungsi f(z) dapat dituliskan
Maka residu dari f(z) di dapat dinyatakan dengan
=
13
![Page 14: Integral Cauchy](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012319/577c79bb1a28abe05493d85e/html5/thumbnails/14.jpg)
27/04/2023 Matematika Teknik 2
CARA MENGHITUNG RESIDU
• KUTUB ORDER M
Jika titik singular merupakan kutub order mmaka fungsi f(z) dapat dituliskan
Maka residu dari f(z) di dapat dinyatakan dengan
14
![Page 15: Integral Cauchy](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022012319/577c79bb1a28abe05493d85e/html5/thumbnails/15.jpg)
27/04/2023 Matematika Teknik 2
LATIHAN
Tentukan residu di titik singular dari fungsiu berikut :
15