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Indice general
1. Integral de Linea 3
1.1. La Integral de Linea con respecto de la longitud de arco . . . . . . . . . . 4
1.2. Aplicaciones de la Integral de Linea con respecto de la longitud de arco a
la mecanica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3. Integral de Linea y Trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.1. Independencia de la trayectoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4. Campos Conservativos y Funciones Potenciales . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5. Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6. La divergencia y flujo de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2. Superficies 25
2.1. Expresiones de una Superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.1. Superficie parametrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2. Area de la superficie parametrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3. Integrales de Superficie 33
3.1. Integrales de Superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2. Segundo tipo de Integral de Superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3. El Flujo de un Campo Vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.4. El Teorema de la Divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4.1. Ley de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.4.2. Ley de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4.3. Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Referencias Bibliograficas 53
1
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2 INDICE GENERAL
-
Captulo 1
Integral de Linea
Para definir la integral de linea, comencemos imaginando un alambre delgado con la
forma de una curva suave C con extremos A y B. Supongamos que el alambre tiene unadensidad variable dada en el punto (x, y, z) por la funcion continua conocida f(x, y, z) en
unidades tales como gramos por centmetro (lineal)[2].
Figura 1.1: alambre delgado C
Sea (t) = ( x(t) , y(t) , z(t) ) , t [a, b] unaparametrizacion suave de la curva C, donde t = acorresponde al punto inicial A de la curva y t = b
corresponde al punto final B.
Para aproximar la masa totalm del alambre curvo,
comenzamos con una particion
a = t0 < t1 < t2 < ... < tn = b
de [a, b] en n subintervalos, todos con la misma longitud t = (b a)/n esta subdivisionde puntos de [a, b] produce, por medio de nuestra parametrizacion, una division fsica del
alambre en cortos segmentos curvos. Sea Pi el punto (x(ti), y(ti), z(ti)) para i = 0, 1, 2, ...n.
Entonces los puntos P0, P1, ..Pn son los puntos de subdivision de CSabemos que la longitud de arco Si del segmento de C de Pi1 a Pi es
Si =
titi1
(x(t))2 + (y(t))2 + (z(t))2 dt =
(x(ti ))2 + (y(t
i ))
2 + (z(ti ))2t
para algun ti [ti1, ti]. Este ultimo resultado es consecuencia del teorema del valormedio para integrales.
Como la masa es el producto de la densidad por la longitud entonces tenemos una
3
-
4 CAPITULO 1. INTEGRAL DE LINEA
estimacion de la masa total m del alambre:
m ni=1
f(x(ti ), y(ti ), z(t
i ))Si.
El limite de esta suma cuando t 0 debe ser la masa real m. Esto motiva nuestradefinicion de la integral de linea de la funcion f a lo largo de la curva C que se denotapor
Cf(x, y, z) dS
1.1. La Integral de Linea con respecto de la longitud de arco
Definicion 1.1.1 Sea f : D R3 R una funcion continua en cada punto de la curvaparametrica suave C de A a B. Entonces la integral de linea de f a lo largo de C de A aB con respecto de la longitud de arco se define como:
Cf(x, y, z) dS =
ba
f((t))(t)dt
donde (t) = (x(t), y(t), z(t)), t [a, b]y dS = (t)dt =(x(t))2 + (y(t))2 + (z(t))2dt1.2. Aplicaciones de la Integral de Linea con respecto de la
longitud de arco a la mecanica
Masa de una curva Si = (x, y, z) es la densidad lineal en el punto variable (x, y, z)
de la curva C entonces la masa M de la curva es igual a:
M =
C(x, y, z)dS
Centro de gravedad de una curva (X, Y , Z)
X =1
M
Cx(x, y, z)dS , Y =
1
M
Cy(x, y, z)dS , Z =
1
M
Cz(x, y, z)dS
Momento estatico y momento de inercia
ML =
Cd(x, y, z)(x, y, z)dS , IL =
Cd2(x, y, z)(x, y, z)dS
donde d(x, y, z): distancia de un punto de la curva C a la recta L
Momentos estaticos respecto a los planos coordenados son:
MX Y =
Cz(x, y, z)dS , MX Z =
Cy(x, y, z)dS , MY Z =
Cx(x, y, z)dS
-
1.3. INTEGRAL DE LINEA Y TRABAJO 5
Momentos de inercia respecto a los ejes coordenados X,Y ,Z son:
IX =
C(y2+z2)(x, y, z)dS , IY =
C(x2+z2)(x, y, z)dS , IZ =
C(x2+y2)(x, y, z)dS
Ejemplo 1.2.1 Calcule la integral de lineaC xydS donde C es el cuarto de circunferencia
en el primer cuadrante de radio uno.
Solucion
Sea C: x = cos t , y = sent , t [0, pi/2]luego dS =
(sent)2 + (cos t)2dt = dt. Entonces
CxydS =
pi/20
cost sent dt =1
2sen2t|pi/20 =
1
2
Ejemplo 1.2.2 Halle la masa total de un alambre cuya forma es la de la curva y = |x|con 1 x 1. Si la densidad de cada punto P de el es igual al valor absoluto delproducto de las coordenadas del punto.
Solucion
Sabemos que M =C (x, y, z)dS. Entonces calculemos M =
C |x y|dS , pero como
y = |x|, M = C x2dS.
Figura 1.2:
C1 : y = x 1(t) = (t,t) 1 t < 0C2 : y = x 2(t) = (t, t) 0 t < 1
M =
C1
x2dS +
C2
x2dS =
01t2 1 (t)dt+
10
t2 2 (t)dt
=
01t22dt+
10
t22dt =
22
3
1.3. Integral de Linea y Trabajo
Ahora aproximemos el trabajo W realizado por el campo de fuerza F al mover una
Figura 1.3:
partcula a lo largo de la curva C de A a B,para lo cual subdividamos C como se indica enla figura 1.3.
Pensamos que F mueve la partcula de Pi1
a Pi dos puntos de division consecutivos de C.El trabajo 4Wi realizado es aproximadamenteel producto de la distancia 4Si de Pi1 y Pi
-
6 CAPITULO 1. INTEGRAL DE LINEA
(medida a lo largo de C) y la componente tangencial F.T de la fuerza F en el punto tpico(x(ti ), y(t
i ), z(t
i )) entre Pi1 y Pi. As 4Wi F (x(ti ), y(ti ), z(ti )).T (ti )4Si de modo
que el trabajo total W esta dado aproximadamente por:
W ni=1
F (x(ti ), y(ti ), z(t
i )).T (t
i )4Si
Esto sugiere que definamos el trabajo W como:
W =
CF.TdS
Por lo tanto el trabajo es la integral con respecto de la componente tangencial de la
fuerza.
Si la curva C esta parametrizada por (t) con t [a, b] entonces:
W =
CF.TdS =
ba
F ((t)). (t) (t)
(t)dt = ba
F ((t)). (t)dt
W =
ba
F ((t)). (t)dt
Siendo W el trabajo realizado por el campo de fuerzas F sobre una partcula que se
mueve a lo largo de una trayectoria (t) con t [a, b].
Teorema 1.3.1 Supongamos que el campo de vectores F = (P,Q,R) tiene funciones
componentes continuas y que T es el vector tangente unitario a la curva suave C. EntoncesCF.TdS =
CPdx+Qdy +Rdz
(Para la Prueba ver Cap. 16 pag. 913 de [2])
Observaciones
1. Si la curva C estuviera parametrizada por trayectorias diferentes que originan la mis-ma orientacion de C entonces el resultado de la integral de linea sobre esas trayec-torias es la misma es decir, por ejemplo:
CF ().d =
CF ().d
Si las trayectorias (t) y (t) originan orientaciones opuestas de C entoncesC1
F ().d = CF ().d
C1 denota la curva C con su orientacion invertida.
-
1.3. INTEGRAL DE LINEA Y TRABAJO 7
2. Cuando C es una curva cerrada, a la integral de linea del campo vectorial F a lolargo de C se le denota por
CF.T dS
3. De acuerdo con la segunda ley de Newton [6], se sabe que si el cuerpo tiene masa m,
entonces la fuerza que actua sobre el es igual a la rapidez de cambio del momento
p = mv es decir,
F =dp
d t= m
dv
dt= m (t)
Sustituyendo este resulta en la integral anterior, y observando que ddt( (t) . (t)) =
2 (t) . (t), inferimos que el trabajo W esta dado por:
W =
CF.T dS =
Cm (t) . T dS
=
ba
m (t) . (t) dt = ba
d
dt(m
2 (t) . (t))
=
ba
d
dt(m
2 (t) 2) =
ba
d
dt(m
2v2(t))
=m
2v2(t)|ba =
m
2[ v2(b) v2(a) ]
Por tanto el trabajo realizado es igual al incremento o ganacia de la energa cinetica
del cuerpo de la partcula.
4. Si el campo de fuerzas F es irrotacional (conservativo), entonces el trabajo efectuado
efectuado para mover una partcula alrededor de una trayectoria cerrada es cero.
Ejemplo 1.3.1 Calcule el trabajo que realiza el campo de fuerzas F (x, y, z) = (x y +2z, x+y3z2, 2xz4y2) al mover una partcula alrededor de la curva cerrada x2
4+y2 = 1,
z = 2 en sentido antihorario.
Solucion
Figura 1.4:
La curva C : x24+ y2 = 1 se puede
parametrizar por:
x = 2 cost
y = sent 0 t 2piz = 2
Luego C : (t) = (2 cost, sent, 2) t [0, 2pi] y (t) = (2 sent, cost, 0).
-
8 CAPITULO 1. INTEGRAL DE LINEA
Finalmente
W =
CF.TdS =
2pi0
F ((t)). (t)dt = 2pi0
(3sent cost 8sent+ 2cos(2t)) dt = 0
1.3.1. Independencia de la trayectoria
Sea F = (P,Q,R) un campo vectorial con funciones componentes continuas. La inte-
gral de linea de ecuacion CF.T dS =
CP dx+Qdy +Rdz
es independiente de la trayectoria en la region D si, dados dos puntos A y B de D, la
integral tiene el mismo valor a lo largo de cualquier curva suave por partes o trayectoria
en D de A en B. En este caso podemos escribirCF.T dS =
BA
F.T dS
debido a que el valor de la integral solo depende de los puntos A y B y no de la eleccion
particular de la trayectoria C que los une.
Teorema 1.3.2 (Independencia de la trayectoria) La integral de lineaC F.T dS es
independiente de la trayectoria en la region D si y solo si F = f para alguna funcionf definida en D.
Prueba
) Supongamos que F = f y que C es una trayectoria de A a B en D parametrizadapor (t) = (x(t), y(t), z(t)) en t [a, b]. Entonces
CF.T dS =
ba
f((t)).(t) dt
=
ba
(f
x,f
y,f
z).(dx(t), dy(t), dz(t))
=
ba
(f
xdx(t) +
f
ydy(t) +
f
zdz(t))
=
ba
df(x(t), y(t), z(t))
= f(x(b), y(b), z(b)) f(x(a), y(a), z(a))= f(B) f(A)
) Queda como ejercicio y puede encontrarlo en Cap. 16 pag. 917 de [2]
-
1.4. CAMPOS CONSERVATIVOS Y FUNCIONES POTENCIALES 9
Ejemplo 1.3.2 Sea el campo vectorial
F (x, y) =
(x
x2 + y2,
y
x2 + y2
)(x, y) D = {(x, y) R2 / x > 0 , y > 0}
1. La integral de lineaC F.T dS es independiente de la trayectoria C en D?
2. Si el item 1) es verdadero, evalue (5,12)(3,4)
xx2+y2
dx+ yx2+y2
dy
Solucion
1. La integral de lineaC F.T dS es independiente de la trayectoria C en D, pues
se cumple F (x, y, z) = f(x, y, z) , (x, y) D donde f(x, y) = 12Ln(x2 +
y2) , (x, y) D
2. Como la integral de lineaC F.T dS es independiente de la trayectoriaC en D, (5,12)
(3,4)
F.T dS = f(5, 12) f(3, 4) = 12(Ln(169) Ln(25)) = Ln(13/5)
1.4. Campos Conservativos y Funciones Potenciales
Definicion 1.4.1 El campo vectorial F definido en una region D es conservativo si existe
una funcion escalar f definida en D tal que
F = f
en cada punto de D. En este caso, f es una funcion potencial para el campo vectorial F .
Nota
En el campo de fuerzas conservativo F = U , a la funcion U se le llama energapotencial y es una cantidad que solo tiene significado si consideramos los cambios que en
ella se operan, lo que implica que la fijacion de un nivel cero para la energa potencial U
es arbitraria. En este caso se tiene: W = BAF . T dS = U(A)U(B) lo cual significa que
el trabajo W desarrollado por F al mover una partcula de A a B es igual al decremento
de energa potencial.
Definicion 1.4.2 (Conjuntos simplemente conexo en R2) Un conjunto D R2 essimplemente conexo [4], si para toda curva simple cerrada contenida en D la region encer-
rado por dicha curva tambien esta contenido en D.
Intuitivamente, un conjunto D R2 es simplemente conexo si no tiene agujeros.
-
10 CAPITULO 1. INTEGRAL DE LINEA
Figura 1.5: Region simplemente conexo Figura 1.6: Regiones no simplemente conexos
Figura 1.7: El toro circular no es simplemente conexo
De forma similar, un conjunto D R3 es simplemente conexo[4], si D fuese deun material elastico podra deformarse continuamente, sin cortes ni pegamentos, a una
esfera.
Teorema 1.4.1 (Campo conservativo y funcion potencial en R2) Sea D un dominio
simplemente conexo en R2. Sean las funciones P (x, y) y Q(x, y) continuas y que tienen
derivadas parciales de primer orden continuas en D. Entonces, el campo vectorial F =
(P,Q) es conservativo en D si y solo si
P
y=Q
xen cada punto de D ()
(Para la prueba ver Cap.10 pag. 415 de [1])
Teorema 1.4.2 (Campo conservativo y funcion potencial en R3) Sea D un dominio
simplemente conexo en R3. Sean las funciones P (x, y, z) , Q(x, y, z) y R(x, y, z) contin-
uas y que tienen derivadas parciales de primer orden continuas en D. Entonces, el campo
vectorial F = (P,Q,R) es conservativo en D si y solo si F = (0, 0, 0), esto es,P
y=Q
x,
P
z=R
x,
Q
z=R
yen cada punto de D ()
(Para la prueba ver Cap.10 pag. 415 de [1])
Observacion 1.4.1 Se dice que P dx + Qdy y P dx + Qdy + Rdz son diferenciales
exactas, si cumplen () y () respectivamente.
Ejemplo 1.4.1 Determine una funcion potencial para el campo vectorial
F (x, y) = (6xy y3, 4y + 3x2 3xy2)
-
1.4. CAMPOS CONSERVATIVOS Y FUNCIONES POTENCIALES 11
Solucion
Notemos que el D = Dom(F ) = R2.
Se tiene que P (x, y) = 6xy y3 y Q(x, y) = 4y + 3x2 3xy2. LuegoP
y= 6x 3y2 = Q
x(x, y) D
De este ultimo resultado concluimos que F es conservativo, entonces F = f . Ahorahallemos la funcion potencial f .
Dado que F = f (P,Q) =(fx, fy
), luego
fx
= 6xy y3 (1)fy
= 4y + 3x2 3xy2 (2)Luego integrando la ecuacion (1) se tiene
df =
(6xy y3) dx f(x, y) = 3x2y y3x+ h(y) ()
Derivemos () con respecto a y se tiene:
f
y= 3x2 3y2x+ dh
dy
De esta ultima ecuacion, y de (2) se tiene:
4y+3x2 3xy2 = 3x2 3y2x+ dhdy
dhdy
= 4y h =
4y dy h(y) = 2y2+ c
Haciendo c = 0 en el ultimo resultado y luego reemplazando en () se obtiene una funcion
potencial f(x, y) = 3x2y y3x+ 2y2
Nota 1.4.1 Una forma simple de determinar una funcion potencial para el campo vec-
torial F (x, y) siendo F conservativo es considerar como trayectoria C que una los puntos(x1, y1) y (x2, y2), la trayectoria que consta de dos segmentos que unen los puntos (x1, y1),
(x, y1) y (x, y). De acuerdo con esto, la funcion potencial sera:
f(x, y) =
xx1
P (x, y1)dx+
yy1
Q(x, y)dy
donde recordemos que x1 y y1 son constantes que al final seran absorbidas en una sola
costantes C.
En forma similar para de determinar una funcion potencial para el campo vectorial
F (x, y, z) siendo F conservativo es considerar como trayectoria C que una los puntos(x1, y1, z1) y (x2, y2, z2) la trayectoria que consta de tres segmentos que unen los puntos
(x1, y1, z1), (x, y1, z1), (x, y, z1) y (x, y, z). De acuerdo con esto, la funcion potencial sera:
f(x, y, z) =
xx1
P (x, y1, z1)dx+
yy1
Q(x, y, z1)dy +
zz1
R(x, y, z)dz
-
12 CAPITULO 1. INTEGRAL DE LINEA
donde recordemos que x1, y1 y z1 son constantes que al final seran absorbidas en una sola
costantes C.
Ejemplo 1.4.2 Determine una funcion potencial para el campo vectorial
F (x, y, z) = (y
x2 + y2, x
x2 + y2, 3z2)
Solucion
Notemos que el D = Dom(F ) = R3 {(0, 0, z) / z R}.Se tiene que P (x, y, z) = y
x2+y2, Q(x, y, z) = x
x2+y2y R(x, y, z) = 3z2.
LuegoP
y=
x2 y2(x2 + y2)2
=Q
x(x, y, z) D
P
z= 0 =
R
x(x, y, z) D
R
y= 0 =
Q
z(x, y, z) D
De este ultimo resultado concluimos que F es conservativo, entonces F = f . Ahorahallemos la funcion potencial f considerando la nota anterior:
f(x, y, z) =
xx1
y1x2 + y21
dx yy1
x
x2 + y2dy +
zz1
3z2dz
= arctan(x
y1)|xx1 arctan(
y
x)|yy1 + z3|zz1
= arctan(x
y1) arctan(x1
y1) arctan(y
x) + arctan(
y1x) + z3 z31
= arctan(yx) + z3 + arctan(
x
y1) + arctan(
y1x) arctan(x1
y1) z31
= arctan(yx) + z3 +
pi
2 arctan(x1
y1) z31
= arctan(yx) + z3 + C , (x, y, z) D
Ejemplo 1.4.3 Sea F (x, y, z) = ( yx2+y2
, xx2+y2
, 3z2) y la curva C parametrizada por(t) = (t, t3 + t2 1, t + 3).Calcule el trabajo necesario para llevar una masa unidada lo largo de C desde el punto P1 = (1,1, 2) hasta el punto P2 = (1, 1, 4).
Solucion
El punto P1 corresponde a t = 1 y el punto P2 corresponde a t = 1.Notemos del ejemplo anterior que F es conservativo y que el trabajo es independiente
de la trayectoria en D = Dom(F ) = R3 {(0, 0, z) / z R}.Recordemos que cuando se habla de que la integral de linea es independiente de la
trayectoria, se supone que es independiente de todas las trayectorias no solo de algunas
-
1.4. CAMPOS CONSERVATIVOS Y FUNCIONES POTENCIALES 13
trayectorias en particular. En este ejemplo la integral de linea es independiente de la
trayectoria solo para trayectorias que no pasan por el eje Z pero que unan P1 y P2, pues
si consideraramos como trayectoria la curva que una los puntos P1 y P2 de manera que
pase por el punto (0, 0, z) (donde z R), en dicho punto F no esta definida. Por lo tanto,para hallar el trabajo del campo de vectores F , no podemos usar la funcion potencial
encontrada en el ejemplo anterior.
Considerando la curva C parametrizada por (t) = (t, t3 + t2 1, t + 3), el calculodel trabajo se hace muy complicado hallarlo. En este caso, aprovechando que el tra-
bajo es independiente de la trayectoria en D = Dom(F ) = R3 {(0, 0, z) / z R},consideremos como la curva que une los puntos P1 y P2, la union de las curvas
1 : f(t) = (2 cost,
2 sent, 2) , t [3pi
4, pi4] y 2 : g(u) = (1, 1, u) , u [2, 4]
(estas facilitan el calculo del trabajo y note que no pasan por el eje Z). Entonces:
Figura 1.8:
CPdx+Qdy +Rdz =
Pdx+Qdy +Rdz
=
1
Pdx+Qdy +Rdz
+
2
Pdx+Qdy +Rdz
=
pi4
3pi4
dt+ 42
3u2du
= pi + 56
Ejemplo 1.4.4 Calcule
C(y + z)dx+ (x+ z)dy + (x+ y)dz donde C es la curva de in-
terseccion del cilindro x2 + y2 = 2y con el plano y = z.
Solucion
Notemos que el D = Dom(F ) = R3.
Se tiene que P (x, y, z) = y + z , Q(x, y, z) = x+ z y R(x, y, z) = x+ y.
LuegoP
y= 1 =
Q
x(x, y, z) D
P
z= 1 =
R
x(x, y, z) D
R
y= 1 =
Q
z(x, y, z) D
-
14 CAPITULO 1. INTEGRAL DE LINEA
De este ultimo resultado concluimos que F es conservativo, entonces la integralC F.TdS
es independiente de la trayectoria. Dado que C es una curva cerrada entoncesC(y + z)dx+ (x+ z)dy + (x+ y)dz = 0.
Nota 1.4.2
La ultima conclusion se debe a que como el campo vectorial F es conservativo entonces
podemos hallar su funcion potencial:
f(x, y, z) =
xx1
P (x, y1, z1)dx+
yy1
Q(x, y, z1)dy +
zz1
R(x, y, z)dz
=
xx1
y1 + z1)dx+
yy1
x+ z1dy +
zz1
x+ y)dz
= xy + xz + yz y1x1 z1x1 z1y1= xy + xz + yz + C
luego como C es cerrado, tiene el mismo punto inicial y final (A = B),C(y + z)dx+ (x+ z)dy + (x+ y)dz = f(A) f(A) = 0.
1.5. Teorema de Green
George Green (julio de 1793, 31 de mayo de 1841) fue un matematico britanico cuyo
trabajo influencio notablemente el desarrollo de importantes conceptos en fsica [4].
El teorema de Green relaciona una integral de linea alrededor de una curva plana
cerrada C con una integral doble ordinaria sobre la region plana R acotada por C donde
Figura 1.9:
R es un conjunto compacto (es decir es un conjunto cerrado y acotado) y R = C es elborde o frontera de region R.
Definicion 1.5.1 Una curva tiene orientacion positiva respecto a la region R cuando elsentido de la curva es tal que la region R esta a su izquierda. Es decir, el vector que seobtiene del vector tangente unitario T mediante una rotacion de 90o en sentido contrario
al de las manecillas del reloj apunta hacia dentro de la region R.
-
1.5. TEOREMA DE GREEN 15
Figura 1.10:
Teorema 1.5.1 (GREEN) Sea D un dominio simplemente conexo de R2. Sean P (x, y)
y Q(x, y) dos funciones continuas y que tienen derivadas parciales de primer orden con-
tinuas en D. Sea C una curva simple cerrada suave por partes y positivamente orientadarespecto a la region que lo encierra R, estando C y R contenidos en D. Entonces severifica
CP dx+Qdy =
R
(Q
x P
y
)dxdy
(Para la prueba ver Cap. 11 pag. 465 de [1])
Nota
Figura 1.11:
Podemos devidirR en dos regionesR1 yR2 y tam-bien podemos subdividir la frontera de C de R y es-cribir C1 D1 para la frontera de R1 y C2 D2 parala frontera de R2, obtenemos
C1D1Pdx+Qdy =
R1
(Q
x P
y)dxdy
C2D2Pdx+Qdy =
R2
(Q
x P
y)dxdy
D2
Pdx+Qdy = D1
Pdx+Qdy
Ejemplo 1.5.1 Calcule la integral de lineaC 3xydx + 2x
2dy donde C es la frontera dela region R que esta acotada por la recta y = x y la parabola y = x2 2x
Solucion
Figura 1.12:
Se tiene que P (x, y) = 3xy y Q(x, y) = 2x2.
Luego
P
y= 3x y
Q
x= 4x Q
x P
y= x
Aplicando el teorema de Green se tiene:C3xydx+2x2dy =
30
xx22x
xdy dx =
30
(3x2x3)dx = 274
-
16 CAPITULO 1. INTEGRAL DE LINEA
Corolario 1.5.2 El area A de la region R acotada por una curva simple suave por partesC esta dada por:
A =1
2
Cy dx+ x dy =
Cy dx =
Cx dy
Ejemplo 1.5.2 Halle el area de la elipse x2
a2+ y
2
b2= 1
Solucion
Parametrizando la elipse se tiene:
x = a cost
y = b sent 0 t 2piLuego:
dx = a sent dt y dy = b cost dtPor el corolario anterior, el area de la elipse es:
A =1
2
Cy dx+ x dy = 1
2
2pi0
( a b sen2t+ a b cos2t )dt = ab pi
Observacion
Figura 1.13:
Si dividimos una region R en otrasmas simples, podemos extender el Teore-
ma de Green a regiones con fronteras que
consten de dos o mas curvas simples cer-
radas.
R(Q
x P
y)dxdy =
R1
(Q
x P
y)dxdy +
R2
(Q
x P
y)dxdy
=
C1Pdx+Qdy +
C2Pdx+Qdy
=
C=R
Pdx+Qdy
Ejemplo 1.5.3 Suponga que C es una curva cerrada simple suave que encierra al origen(0, 0). Muestre que:
C
yx2 + y2
dx+x
x2 + y2dy = 2 pi
Pero que esta integral es cero si C no encierra al origen.Solucion
-
1.5. TEOREMA DE GREEN 17
Figura 1.14:
Se tiene que
P (x, y) = yx2+y2
y Q(x, y) = xx2+y2
.
Luego
P
y=Q
x Q
xPy
= 0 cuando x e y no son cero
Si la region R acotada por C no contiene al origenentonces P y Q y sus derivadas son continuas en R,por tanto el Teorema de Green implica que la integral dada es cero.
Si C encierra al origen, entonces encerramos al origrn en un pequeno crculo Ca deradio a tan pequeno que Ca se encuentre totalmentedentro de C. Parametricemos estecrculo por:
x = a cost
y = a sent 0 t 2 piEntonces el Teorema de Green, aplicado a la region R entre C y Case tiene
C
yx2 + y2
dx+x
x2 + y2dy +
Ca
yx2 + y2
dx+x
x2 + y2dy =
R0 dA = 0
Luego C
yx2 + y2
dx+x
x2 + y2dy =
Ca
yx2 + y2
dx+x
x2 + y2dy
=
C1a
yx2 + y2
dx+x
x2 + y2dy
=
2pi0
a2 sen2t+ a2 cos2t
a2dt
= 2 pi.
Nota 1.5.1
Notese que Ca tiene orientacion positiva (en este caso el sentido de las manecillas del
reloj) y C1a es la curva inversa de Ca.
Teorema 1.5.3 Sea W = P dx + Qdy una diferencial exacta en un conjunto abierto
U R2, es decir, Py
= Qx
, (x, y) U . Se cumple las siguientes propiedades:
(1). Si U es simplemente conexo,CW = 0 (por el teorema de Green)
(2). Si U es doblemente conexo, C1 y C2 homotopicos (es decir, se puede llegar de
C2 a C1 mediante un transformacion) y tienen el mismo sentido, entonces se cumple:
-
18 CAPITULO 1. INTEGRAL DE LINEA
Figura 1.15:
Figura 1.16:
C1
W =
C2
W
En efecto, dado queU
W =C1W +
C12
W
0 =C1W
C2W
se concluye que C1
W =
C2
W
(3). Si U es triplemente conexo, se cumpleC3
W =
C1
W +
C2
W
Figura 1.17:
En efecto, dado queU
W =C3W +
C11
W +C12
W
0 =C3W
C1W
C2W
se concluye queC3W =
C1W +
C2W
Ejemplo 1.5.4 Se considera la region D del plano,
dado por D = D1 D2, donde
D1 = {(x, y) R2 : (x 1)2 + y2 4 , (x+ 1)2 + y2 4}D2 = {(x, y) R2 : (x 1)2 + y2 4 , (x+ 1)2 + y2 4}
Calcule el trabajo del campo F (x, y) = (3yx2, x3+x+ sen(y)) a lo largo de la frontera de
D.
Solucion
Se tiene que
-
1.6. LA DIVERGENCIA Y FLUJO DE UN CAMPO VECTORIAL 19
Figura 1.18:
P (x, y) = 3y x2 y Q(x, y) = x3 + x+ sen(y).
Luego
P
y= 3x2 y
Q
x= 3x2 + 1 Q
x P
y= 1
Por otro lado, aplicando el Teorema de Green, se
tiene: D
Pdx+Qdy =
C1C14
Pdx+Qdy +
C2C13
Pdx+Qdy
=
D1
(Q
x P
y)dx dy +
D2
(Q
x P
y)dx dy
= 2
D1
(Q
x P
y)dx dy por ser simetricos D1 y D2
= 2
D1
dx dy
= 2(Area de la circunferencia C1 4
B
dx dy)
Figura 1.19:
Calculemos ahora el area de la region B
A(B) =
B
dx dy
=
10
4(x+1)20
dy dx
=
10
4 (x+ 1)2dx
=
10
22 (x+ 1)2 d(x+ 1)
=1
2[(x+ 1)
4 (x+ 1)2 + 4 arcsen(x+ 1
2) |10
=1
2(4pi
33)
FinalmenteD
Pdx+Qdy = 2 ( Area de la circunferencia C1 4
B
dx dy )
= 2 ( 4pi 2 ( 4pi33) )
=8pi
3+ 4
3
1.6. La divergencia y flujo de un campo vectorial
sea el flujo constante de una capa delgada de fluido en el plano (como por ejemplo,
una capa de agua derramada en el piso), sea V (x, y) su campo vectorial de velocidad y
-
20 CAPITULO 1. INTEGRAL DE LINEA
(x, y) la densidad del fluido en el punto (x, y). El termino flujo constante significa que V
y depende solamente de x e y y no del tiempo t. Queremos calcular la rapidez con que
el fluido fluye fuera de la region R acotada por una curva simple cerrada C. Busquemosla rapidez neta del flujo (la salida menos la afluencia).
Sea Si el segmento corto de la curva C y (xi .yi ) un punto extremo Si. Entonces elarea de la porcion del fluido que fluye fuera de R a traves de Si por unidad de tiempo esaproximadamente el area del paralelogramo. Esta area es:
Figura 1.20:
Area(paralelogramo) = base altura= Si CompniVi
= Vi.ni Si
donde : ni: vector normal unitario a C en (xi .yi )que apunta hacia afuera de RVi: vector en (x
i .y
i )
luego
mi iArea(paralelogramo) = i Vi.ni Sim
ni=1
i Vi.ni Si =ni=1
Fi.ni Si
donde F = V ym: masa total (aproximada) del fluido que dejaR por unidad de tiempo.A la integral de linea alrededor de C que es aproximada por esta suma se le conoce
como flujo del campo vectorial F a traves de la curva C. As el flujo de F atraves de la curva C esta dado por:
=
CF.n dS
donde n es el vector normal unitario exterior de C.El flujo de F = V es la rapidez con el que fluye fuera de R a traves de la curva
con frontera C, en unidades de masa por unidad de tiempo el fluido. Podemos hablar delflujo de un campo vectorial arbitrario, como por ejemplo, el flujo de un campo electrico
o gravitacional a traves de una curva C.
-
1.6. LA DIVERGENCIA Y FLUJO DE UN CAMPO VECTORIAL 21
Figura 1.21:
En la figura n = T k. El vector tangente unitario T a lacurva C parametrizada por (t) = (x(t), y(t), 0), es:
T =1
(t)(dx
dt,dy
dt, 0)
=1
(t)(dx
dS
dS
dt,dy
dS
dS
dt, 0)
=1
(t)(dx
dS(t), dy
dS(t), 0)
= (dx
dS,dy
dS, 0) =
dx
dSi+
dy
dSj
Luego n = T k = dydSi dx
dSj
Considerando P y Q continuas y de clase C1 en R setiene:
=
CF.n dS =
C(P,Q).(
dx
dS, dy
dS)dS
=
CQdx+ pdy =
R
(P
x+Q
y
)dx dy
=
R.FdA =
RdivF dA
=
CF.n dS =
RdivF dA
Si la region R esta acotada por la circunferencia de radio r, Cr centrada en (x0, y0)entonces
Cr
F.n dS =
R.F dA = (pir2).F (x, y)
para algun (x, y) R)( esto es una consecuencia del Teorema del valor medio paraintegrales dobles).
.F (x0, y0) = lmr0
1
pir2
Cr
F.n dS
ya que (x, y) (x0, y0) cuando r 0. Esta ecuacion implica que el valor de . F en(x0, y0) es una medida de la rapidez mediante la cual el fluido esta divergiendo fuera
desde el punto (x0, y0).
Ejemplo 1.6.1 CalculeC F.n dS donde F (x, y) = (x, 2y) y la curva C encierra a la
elipse x2
4+ y
2
9= 1.
Solucion div F = 1 + 2 = 3CF.n dS =
R=elipse
divF dA =
R=elipse
3 dx dy = 3 (Area de la elipse) = 3(2)(3)pi = 18pi
EJERCICIOS PROPUESTOS
-
22 CAPITULO 1. INTEGRAL DE LINEA
1. Un alambre delgado se dobla en forma de semicirculo x2 + y2 = 4 , x 0. Si ladensidad lineal es una constante K, encuentre la masa y centro de masa del alambre.
2. Halle la masa y el centro de masa de un alambre en forma de helice x = t , y =
cost , z = sent , 0 t 2pi, si la densidad en cualquier punto es igual alcuadrado de la distancia desde el origen.
3. Halle el trabajo realizado por el campo de fuerza F (x, y) = (x, y + 2) al mover una
partcula a lo largo de un arco de cicloide r(t) = (t sent , 1 cost), 0 t 2pi.
4. Un hombre de 160 lb de peso sube con una lata de 25 lb de pintura por una escalera
helicoidal que rodea a un silo, con radio de 20 pies. Si el silo mide 90 pies de alto y
el hombre hace exactamente tres revoluciones completas, cuanto trabajo realiza el
hombre contra la gravedad al subir hasta la parte superior?.
5. Evalue la integral de lineaCy2dx+x2dy donde C es la grafica de y = x2 de (1, 1)
a (1, 1).
6. Evalue la integral de lineaCF.T ds, donde F (x, y, z) = x i + y j + z k y C es la
curva f(t) = (e2t, et, et) 0 t ln2.
7. Evalue la integral de lineaC
zdx +
xdy + y2dz donde C es la curva f(t) =
(t, t3/2, t2) 0 t 4.
8. Evalue la integral de lineaCxyzds donde C es la trayectoria de (1, 1, 2) a (2, 3, 6)
formado por tres segmentos de recta, el primero paralelo al eje X, el segundo paralelo
al eje Y y tercero paralelo al eje Z.
9. Pruebe que la integral de lineaCy2dx + 2xydy es independiente de la trayectoria
C de A a B.
10. Un alambre con la forma de la circunferencia x2 + y2 = a2, z = 0 tiene densidad
constante y masa total M . Determine su momento inercial con respecto de (a) al eje
Z; (b) el eje X.
11. Determine el trabajo realizado por el campo de fuezas F = z ix j+ y kpara moverla partcula de (1, 1, 1) a (2, 4, 8) a lo largo de la curva y = x2 , z = x3.
12. Aplique el teorema de Green para evaluar la integral de lineaC
x2 ydx+ x y2dy
-
1.6. LA DIVERGENCIA Y FLUJO DE UN CAMPO VECTORIAL 23
donde C es la frontera de la region entre las dos curvas y = x2 y y = 8 x2.
13. Evalue la integral de linea C
x2dy,
donde C es la cardioide r = 1+cos, aplicando primero teorema de Green y pasando
despues a coordenadas polares.
14. Suponga que la integral de lineaCPdx+Qdy es independiente de la trayectoria en
la region plana D. Demuestre queC
Pdx+Qdy = 0
para cualquier curva simple cerrada suave por partes C en D.
15. Calcule la integral de linea de la forma diferencial rdr + r2d a lo largo de la curva
de ecuacion r = sen , 0 pi.
16. Se considera el campo vectorial F = (y
x2 + y2, x
x2 + y2, 3z2) y la curva de ecua-
ciones parametricas x = , y = 3+21 , z = +3. Calcule el trabajo necesariopara llevar una masa de unidad a lo largo de desde el punto P = (1,1, 2) hastael punto Q = (1, 1, 4).
17. Se considera el campo de fuerzas
F (x, y, z) = ( y + z(x+ z)2
,1
x+ z,x y
(x+ z)2)
definido en el abierto {(x, y, z) R3 : x + z 6= 0}. Calcule el trabajo del campo Fpara llevar una partcula de masa unidad a lo largo de la curva parametrizada por
(t) = (t, et, cos t) , t [0, 1].
18. Sea 1 el segmento de extremos (0, 0) y (1, 0), y sea 2 la semicircunfeerencia de
centro (1/2 , 0) y radio 1/2, contenida en el semiplano superior y orientada en sentido
antihorario. Calcule 2
x2 sen(x3) dx+ ey2
dy.
19. halle el trabajo realizado por las fuerzas F (x, y) = (3y2 + 2, 16x) al mover una
partcula desde (1, 0) a (1, 0) siguiendo la mitad superior de la elipse b2x2+y2 = b2.Que elipse hace mnimo trabajo?
-
24 CAPITULO 1. INTEGRAL DE LINEA
20. Supongamos que el viento esta soplando con una fuerza F (x, y, z) = (6x 2y2e2x +zexz,2ye2x, cos(z)+xexz) Determine el trabajo que desarrolla el viento para moveruna partcula sobre la curva C dada por (t) = (t, (t 1)(t 2)2, pit2
2), t [0, 1].
21. Calcule el trabajo desarrollado porydx xdy a lo largo de la curva = 1 2
representada en la figura compuesta por un cuadrante de elipse y el segmento que
une los puntos (0, 3) y (4, 0).
Figura 1.22:
22. Calcule el trabajo realizado por el campo de fuerzas
F (x, y, z) = (2xy, (x2 + z), y)
al desplazar una partcula desde el origen de coordenadas hasta el punto (2, 0, 8),
siguiendo cualquier trayectoria que una dichos puntos.
-
Captulo 2
Superficies
Definicion 2.0.1 Se denomina superficie S en el espacio R3, a cualquier funcion
r : R R2 R3. En general r sera de clase C.
Figura 2.1:
2.1. Expresiones de una Superficie
Las principales expresiones de una superficie [3] son:
Ecuacion vectorial r = r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) para cada (u, v) D
Ecuacion parametrica x = x(u, v) , y = y(u, v) , z = z(u, v)) para cada (u, v) D
Ecuaciones explicitas alguno de los tipos son:
z = f(x, y) , x = g(y, z) , y = h(x, z))
Ecuacion explicita F (x, y, z) = 0.
25
-
26 CAPITULO 2. SUPERFICIES
En lo que sigue nos dedicaremos al estudio de las superficies en su forma parametrica.
2.1.1. Superficie parametrica
Una superficie parametrica S es la imagen de una funcion o transformacion r definida
en una region R del plano U V y que tiene valores en X Y Z, esto es:
r : R R2 R3
(u, v) 7 r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) (1)
Supongamos (en lo que sigue) que las funciones componentes de r tienen derivadas
parciales continuas con respecto de u y v y tambien que los vectores
ru =ru
= (xu, yu, zu)
rv =rv
= (xv, yv, zv)
Son distintos de cero y no paralelos en cada punto interior de RLas variables u y v son los parametros de la superficie S (en analoga con el parametro
t para una curva parametrica).
Ejemplo 2.1.1 La funcion r : [0, 2pi R R3 definida por r(u, v) = (cosu , senu , v)representa un cilindro de base regular como se muestra en la figura 2.2.
Figura 2.2:
-
2.2. AREA DE LA SUPERFICIE PARAMETRICA 27
Ejemplo 2.1.2 1. A partir de una superficie de ecuacion explicita, z = f(x, y) por
ejemplo, se puede tener una superficie parametrica dada por
x = x , y = y , z = f(x, y)
2. Podemos considerar de igual forma, una superficie dada en coordenadas cilndricas
por la grafica de z = g(r, ) como una superficie parametrica con parametros r y .
La transformacion r del plano r al espacio X Y Z esta dada entonces por:
x = r cos , y = r sen , z = g(r, )
3. Podemos considerar tambien una superficie dada en coordenadas esfericas por =
h(, ) como una superficie parametrica con parametros y y la transformacion
correspondiente del plano al espacio X Y Z esta dada entonces por
x = h(, ) sen cos , y = h(, ) sen sen , z = h(, ) cos
Ejemplo 2.1.3 Identifique y haga un esbozo de la grafica de la superficie parametrica S
dada por r = (u, v,1 u2 v2) donde (u, v) D = {(u, v) R2 / u2 + v2 1}
Solucion
Como x = u , y = v , z =1 u2 v2 z = f(x, y) =
1 x2 y2
Figura 2.3:
Ahora definamos el area de la superficie parametrica general dada en la ecuacion (1).
2.2. Area de la superficie parametrica
Consideremos una particion interior de la region R ( el dominio de r en el plano U V )en rectangulos R1 , R2 , ...Rn, cada una con dimensiones 4u y 4v. Sea (ui, vi) la esquina
-
28 CAPITULO 2. SUPERFICIES
inferior de Ri. La imagen Si de Ri bajo r no sera generalmete un rectangulo en el espacioX Y Z; se vera como una figura curvilinea en la superficie imagen S, con r(ui, vi) como
un vertice. Sea 4Si el area de esta figura curvilinea Si.
Figura 2.4:
Las curvas parametricas r(u, vi) y r(ui, v) (con parametros u y v respectivamente) estan
sobre la superficie S y se intersectan en el punto r(ui, vi). En este punto de interseccion,
estas dos curvas tienen los vectores tangentes ru(ui, vi), rv(ui, vi) como se muestra en
la figura. Por tanto su producto vectorial N(ui, vi) = ru(ui, vi) rv(ui, vi) es un vectornormal a S en el punto r(ui, vi).
Figura 2.5:
Ahora consideremos que 4u y 4v son pequenos. Entonces el area 4Si de la figu-ra curvilinea Si sera aproximadamente igual al area 4Pi del paralelogramo con ladosadyacentes ru(ui, vi)4u y rv(ui, vi)4v. Pero el area de este paralelogramo es
-
2.2. AREA DE LA SUPERFICIE PARAMETRICA 29
4Pi = |ru(ui, vi)4u rv(ui, vi)4v = |N(ui, vi)|4u4v.
Figura 2.6:
Esto significa que el area a(S) de la superficie S esta dada aproximadamente por
a(S) =ni=1
4Si ni=1
4Pi ni=1
|N(ui, vi)|4u4v
Pero esta ultima suma es una suma de Riemman para la integral doble R|N(u, v)|du dv
Por tanto, esto nos motiva a definir el area A de la superficie parametrica S como
A = a(S) =
R|N(u, v)|du dv =
R|ru
rv|du dv
Ejemplo 2.2.1 Calcule el area de la superficie esferica: x2 + y2 + z2 = a2
Solucion
La parametrizacion de la esfera (en coordenadas esfericas) esta dada por:
r( , ) = (a sen cos , a sen sen , a cos)
definida sobre
D = {( , ) R2 / 0 2pi , 0 pi}r = (a sen sen , a sen cos , 0 )r = (a cos cos , a cos sen , a sen)
|r r| =a4 sen2 = a2 sen
Luego el area de la superficie esferica es:
A =
2pi0
pi0
a2 sen d d = 4 pi a2
-
30 CAPITULO 2. SUPERFICIES
Ejemplo 2.2.2
Determine el area de la rampa espiral dada en coordenadas cilindricas z = , 0 r 1y 0 pi.
Solucion La parametrizacion de la rampa espiral esta dada por:
Figura 2.7:
r(r , ) = (r cos , r sen , )
definida sobre
D = {(r , ) R2 / 0 r 1 , 0 pi}rr = (cos , sen , 0 )
r = (r sen , r cos , 1 ) |rr r| =
1 + r2
Luego el area de la rampa espiral es:
A =
pi0
10
1 + r2 dr d =
pi0
(r
2
1 + r2 +
1
2Ln(r +
1 + r2) |10 d
=pi
2(2 + Ln(1 +
2))
Ejemplo 2.2.3
Determine el area de la superficie del toro generado al girar el crculo (x b)2 + z2 =a2 (0 < a < b) en el plano XZ alrededor del eje Z.
Solucion
El toro queda descrito mediante las ecuaciones:
x = r cos = ( b+ a cos) cos
y = r sen = ( b+ a cos) sen
z = a sen
-
2.2. AREA DE LA SUPERFICIE PARAMETRICA 31
Figura 2.8:
Luego
r( , ) = (( b+ a cos) cos , ( b+ a cos) sen , a sen)
definida sobre
D = {( , ) R2 / 0 2pi , 0 2 pi}
|r r| = a ( b+ a cos)Luego el area de la superficie del toro es:
A =
2pi0
2pi0
a ( b+ a cos)d d = 4 pi 2 a b
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Identifique las superficie con la ecuacion vectorial dada:
a) r(u, v) = (ucosv, usenv, u2)
b) r(u, v) = (1 + 2u,u+ 3v, 2 + 4u+ 5v)c) r(u, v) = (u, cosv, senv)
2. Encuentre una representacion parametrica para la superficie.
a) La parte del hiperboloide x2y2+z2 = 1 que se encuentra abajo del rectangulo[1, 1] [3, 3].
b) La parte del cilindro x2 + z2 = 1 que encuentra entre los planos y = 1 yy = 3.
c) La parte del paraboloide eliptico x + y2 + 2z2 = 4 que se encuentra frente al
plano x = 0.
-
32 CAPITULO 2. SUPERFICIES
3. Encuentre las ecuaciones parametricas de la superficie generada por la curva y)ex
, 0 x 3, al girar alrededor del eje x, y uselas para trazar la superficie.
4. Encuentre el area de la superficie.
a) La parte de la superficie z = x + y2 que se encuentra arriba del triangulo con
vertices (0, 0), (1, 1) y (0, 1).
b) La parte del cilindro x2+z2 = a2 que se encuentra dentro del cilindro x2+y2 = a2.
c) La parte del paraboloide hiperboloide hiperbolico z = y2 x2 que se encuentraentre los cilindros x2 + y2 = 1 , x2 + y2 = 4.
5. Estime el area de la parte de la superficie z = (1 + x2)/(1 + y2) que se encuentra
arriba del cuadrado |x|+ |y| 1 con una aproximacion de 4 cifras decimales.
-
Captulo 3
Integrales de Superficie
3.1. Integrales de Superficie
Una integral de superficie es a las superficies en el espacio lo que una integral de linea
es a las curvas planas [2].
Consideremos una delgada hoja de metal curva con la forma de la superficie S. Supong-
amos que esta hoja tiene densidad variable dada en el punto (x, y, z) por la funcion
continua conocida f(x, y, z) en unidades tales como gramos por centimetro cuadrado de
superficie. Deseamos definir la integral de superficie S
f(x, y, z) ds
de modo que al evaluar nos de la masa total de la delgada hoja del metal. Si f(x, y, z) =
1, el valor numerico de la integral debe ser igual al area de S. Sea S una superficie
parametrica descrita por la funcion o transformacion
r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
para (u, v) en la region D en el plano U V . Supongamos que las funciones componentes
de r tienen derivadas parciales continuas y que los vectores ru y rv son distintos de cero
y no paralelos en cada punto interior de D.
Sabemos que el area a(S) de la superficie S esta dada aproximadamente por
a(S) =ni=1
4Pi =ni=1
|N(ui, vi)|4u4v
donde 4Pi = |N(ui, vi)|4u4v es el area del paralelogramo Pi tangente a la superficie Sen el punto r(ui, vi). El vector
N =r
u rv
33
-
34 CAPITULO 3. INTEGRALES DE SUPERFICIE
es normal a S en r(u, v). Si la superficie S tiene ahora una funcion de densidad f(x, y, z),
entonces podemos aproximar la masa total m de la superficie (masa = densidad areapor:
m ni=1
f(r(ui, vi))4Pi =ni=1
f(r(ui, vi)) |N(ui, vi)|4u4v F
Esta aproximacion es una suma de Riemann para la integral de superficie de la funcion
f sobre la superficie S, que se denota por: Sf(x, y, z) ds =
Df(r(u, v))|N(u, v)|du dv
=
Df(r(u, v))| r
u r
v|du dv
En la integral de superficie
S
f(x, y, z) ds , ds = |N(u, v)|du dv convierte la integralde supereficie en una integral doble ordinaria sobre la region D en el plano U V
En el caso particular de una superficie S descrita por z = h(x, y), con (x, y) D enel plano X Y , podemos utilizar x e y como parametros ( en vez de u y v). Entonces el
elemento de area de la superficie adquiere la forma [5]
ds =
1 + (
h
x)2 + (
h
y)2 dx dy
La integral de superficie de f sobre S esta dada entonces por S
f(x, y, z) ds =
D
f(x, y, h(x, y))
1 + (
h
x)2 + (
h
y)2 dx dy
Los centroides y los momentos de inercia para las superficies se calculan de manera
analoga a sus correpondientes en las curvas.
Ejemplo 3.1.1 Calcule la integral de superficie
S
x2 z ds, donde S es la superficie
del cono circular recto truncado z2 = x2 + y2, limitado superior e inferiormente por los
planos z = 1 y z = 4.
Solucion
Figura 3.1:
Notemos que la superficie S esta formado por el
cono: h(x, y) =x2 + y2, y por los planos z = 1 y
z = 4, luego
hx =xx2+y2
hy =yx2+y2
Proyectando ahora la superficie S sobre el plano
X Y (que es la mas facil de observar) se tiene que:
-
3.1. INTEGRALES DE SUPERFICIE 35
S
x2 z ds =
D
x2 z1 + h2x + h
2y dx dy =
D
2x2
x2 + y2 dx dy
Figura 3.2:
y luego parametricemos usando coorde-
nadas polares la region proyectada D:
x = r cos
y = r sen
donde 1 r 4 , 0 2 piy J(r , ) = r.
Finalmente,
S
x2 z ds =
D
2x2
x2 + y2 dx dy =
2pi0
41
2 r4 cos2 dr d =
10232pi
5
Ejemplo 3.1.2 Calcule la integral de superficie
S
x z
yds, donde S es la superficie
formado por la parte del cilindro x = y2 que se encuentra en el primer octante entre los
planos z = 0 , z = 5 , y = 1 y y = 4.
Solucion
Notemos que la superficie S es mas facil proyectarlo sobre el plano Y Z.
Figura 3.3:
Por lo tanto consideraremos que:
S
x z
yds =
D
x z
y
1 + g2y + g
2z dy dz
donde g(y, z) = x = y2 y D la proyeccion de S
sobre el plano Y Z.
Como g(y, z) = y2, se tiene:
gy = 2y
gz = 0
La region D esta dada por: D = {y, z) R2 / 0 z 5 , 1 y 4}
-
36 CAPITULO 3. INTEGRALES DE SUPERFICIE
Figura 3.4:
Luego S
x z
yds =
D
x z
y
1 + g2y + g
2z dy dz
=
41
50
y2 z
y
1 + 4y2 dz dy
=25
2
41
y1 + 4y2 dy
=25
16
41
1 + y2 d(1 + 4y2)
=25
24(65
65 5
5)
Ejemplo 3.1.3 Determine el centroide de la superficie hemisferica con densidad uni-
taria, z =a2 x2 y2 , x2 + y2 a2
Solucion
El centroide se encuentra en el eje Z, es decir, (0, 0, z) donde z = 1m
Sz (x, y, z) ds
Consideremos (x, y, z) = 1. Como z =a2 x2 y2 se tiene
ds =
1 + (
h
x)2 + (
h
y)2 dx dy =
a
zdx dy
Luego la masa del hemisferio (en este caso area de la semiesfera) es
m =
S
(x, y, z) ds =
S
ds = 2pia2
Finalmente
z =1
2pi a2
D
za
zdx dy =
1
2pia
D
dx dy =1
2piapi a2 =
a
2
donde D es el crculo de radio a en el plano X Y .
3.2. Segundo tipo de Integral de Superficie
La integral de superficie
S
f(x, y, z) ds es analoga a la integral de lineaC f(x, y)ds.
Existe un segundo tipo de integral de linea de la formaC Pdx + Qdy. Para definir la
integral de superficie [2] S
f(x, y, z) ds
con dx dy en vez de dS, reemplazamos el area del paralelogramo 4Pi en la ecuacion (?)por el area de su proyeccion en el plano X Y .
-
3.2. SEGUNDO TIPO DE INTEGRAL DE SUPERFICIE 37
Figura 3.5:
Consideremos el vector normal unitario a S
n =N
|N | = (cos, cos, cos)
como
N =
i j k
xu
yu
zu
xv
yv
zv
o en la notacion del JacobianoN =
((y,z)(u,v)
, (z,x)(u,v)
, (x,y)(u,v)
).
Las componentes del vector normal unitario n son
cos =1
|N |(y, z)
(u, v), cos =
1
|N |(z, x)
(u, v), cos =
1
|N |(x, y)
(u, v)
De la figura vemos que la proyeccion (con signo) del area4Pi en el planoX Y es4Pi cos.La correspondiente suma de Riemann motiva la definicion
Sf(x, y, z) dx dy =
Sf(x, y, z) cos dS
=
R f(r(u, v))(x,y)(u,v)
du dv
De manera analoga, definimos Sf(x, y, z) dy dz =
Sf(x, y, z) cos dS
=
R f(r(u, v))(y,z)(u,v)
du dv Sf(x, y, z) dz dx =
Sf(x, y, z) cos dS
=
Sf(r(u, v)) (z,x)
(u,v)du dv
Nota(x, z)
(u, v)= (z, x)
(u, v)
y esto implica que S
f(x, y, z) dx dz =
S
f(x, y, z) dz dx
La integral de superficie general de segundo tipo es la suma SP dy dz +Qdz dx+Rdx dy =
S(P cos +Qcos +Rcos) dS ? ?
=
R
(P (y,z)
(u,v)+Q (z,x)
(u,v)+R (x,y)
(u,v)
)du dv
En este caso P , Q y R son funciones continuas de x , y y z.
Supongamos que F = (P,Q,R). Entonces, el integrando de la ecuacion (? ?) es sim-
plemente F . n de modo que obtenemos S
F.n dS =
S
P dy dz +Qdz dx+Rdx dy
-
38 CAPITULO 3. INTEGRALES DE SUPERFICIE
entre estos dos tipos de integrales de superficie. Esta formula es analoga a la formula
anterior CF.T ds =
CPdx+Qdy +Rdz
para integrales de linea.
Ejemplo 3.2.1 Supongamos que S es la superficie z = h(x, y) con (x, y) en D Muestre
entonces que S
P dy dz +Qdz dx+Rdx dy =
D
(P z
xQz
y+R
)dx dy
donde P , Q y R de la segunda integral se evaluan en (x, y, h(x, y))
Solucion
Se tiene que S
P dy dz+Qdz dx+Rdx dy =
S
(P(y, z)
(x, y)+Q
(z, x)
(x, y)+R
(x, y)
(x, y)
)dx dy ()
luego
(y, z)
(x, y)=
yx
yy
zx
zy
= zx , (z, x)(x, y) =
zx
zy
xx
xy
= zy , (x, y)(x, y) = 1Reemplazando estos resultados en () se tiene:
S
P dy dz +Qdz dx+Rdx dy =
D
(P z
xQz
y+R
)dx dy
3.3. El Flujo de un Campo Vectorial
Una de las aplicaciones mas importantes de las integrales de superficie requieren del
calculo del flujo de un campo vectorial. Para definir el flujo del campo vectorial F a traves
de la superficie S, supondremos que S tiene un campo vectorial normal unitario n que
varia de manera continua de un puntro a otro de S. Esta condicion excluye de nuestra
consideracion a las superficies con un solo lado (no orientables) como la banda deMobius
[5].
Si S es una superficie con dos lados (orientable) entonces existen dos elecciones posibles
de n. Por ejemplo si S es una superficie cerrada (como una esfera) que separe el espacio
en dos partes, entonces podemos elegir como n el vector normal exterior ( en cada punto
de S) o el vector normal interior. El vector n = N|N | puede ser el normal exterior o interior;
la eleccion de estos depende de la forma como se ha parametrizado a S.
-
3.3. EL FLUJO DE UN CAMPO VECTORIAL 39
Figura 3.6: Banda de Mobius: r(u, v) = ( (2 v sin(u2 )) sen(u) , (2 v sin(u2 )) cos(u) , v cos(u2 ))
Ahora consideremos el flujo de un campo vectorial. Supongamos que tenemos el campo
vectorial F , la superficie orientable S y un campo vectorial normal unitario n sobre S.
Definamos el flujo de F a traves de S en la direccion de n
=
S
F.n dS ( )
Por ejemplo si F = V donde V es el campo vectirial de velocidades correspondiente al
flujo estacionario en el espacio de un fluido de densidad y n es elvector normal unitario
exterior para una superficie cerrada S que acota la region T del espacio, entonces el flujo
determinado por la ecuacion ( ) es la tasa neta de flujo del fluido fuera de T a travesde su superficie frontera S en unidades tales como gramos por segundo.
Una aplicacion similar es al flujo de calor, que desdde el punto de vista matematico
es bastante similar al flujo de un fluido. Supongamos que un cuerpo tiene temperatura
u = u(x, y, z) en el punto (x, y, z). Los experimentos indican que el flujo de calor en el
cuerpo queda descrito por el vector del flujo del calor
q = k5 u
El numero k (que por lo general pero no siempre es constante) es la conductividad termica
del cuerpo. El vector q apunta en la direccion del flujo de calor y su longitud es la razon
de flujo de calor a traves de un area unitaria normal a q. Esta razon de flujo se mide
en unidades como calorias por segundo por centimetro cuadrado. Si S es una superficie
cerrada dentro del cuerpo que acota la region solida T y n denota el vector normal unitario
exterior a S, entonces S
q.n dS =
S
k 5 u.n dS
-
40 CAPITULO 3. INTEGRALES DE SUPERFICIE
es la razon neta del flujo de calor ( en calorias por segundo, por ejemplo) hacia fuera de
la region T a traves de su superficie frontera S.
Ejemplo 3.3.1 Determine el flujo del campo vectorial F = (x, y, 3) hacia afuera de la
region T acotada por el paraboloide z = x2 + y2 y por el plano z = 4.
Solucion
El flujo total de F hacia fuera de T esta dado por: T
F . n dS =
S1
F . n1 dS +
S2
F . n2 dS
Figura 3.7: Figura 3.8:
Sea n1 = (0, 0, 1), luego S1
F . n1 dS =
S1
3 dS = 3 (pi 22 ) = 12 pi.
Por otra parte, seaG(x, y, z) = x2+y2z = 0. LuegoN2 = G = (2x , 2y , 1) (orientacionhacia afuera) y
S2
F . n2 dS =
R
F .N2|N2| |N2| dx dy =
R
( 2x2 + 2y2 3 ) dx dy
donde R = {(x, y) R2 / 0 x2 + y2 4} es la proyeccion de la superficie T sobre elplano X Y . Parametricemos R mediante las coordenadas polares:
x = r cos
y = r sen donde 0 r 2 , 0 2 pi y J(r, ) = r
-
3.3. EL FLUJO DE UN CAMPO VECTORIAL 41
S2
F . n2 dS =
R
( 2x2 + 2y2 3 ) dx dy
=
2pi0
20
( 2r2 3 ) r dr d= 4 pi
Por lo tanto el flujo total hacia fuera de T es: 12 pi + 4 pi = 16 pi.
Ejemplo 3.3.2 La temperatura u de una bola metalica es proporcional al cuadrado de
la distancia desde el centro de la bola. Encuentre la rapidez del termico que atraviesa la
esfera S de radio a con centro en el centro de la bola.
Solucion
Considerando el centro de la esfera (0, 0, 0), se tiene:
u(x, y, z) = C (x2 + y2 + z2)
donde C es la constante de proporcionalidad. Entonces el flujo termico es:
F (x, y, z) = ku = k C (2x, 2y, 2z)
donde k es la conductividad del metal.
La normal a la esfera que esta dada por:G(x, y, z) = x2 + y2 + z2 a2 = 0 es:N = G = (2x, 2y, 2z) (con orientacion hacia afuera)
S
F . n dS =
S
F .N
|N | dS
=
S
k Ca(2x, 2y, 2z) . (x, y, z) dS
=
S
2 k Ca
(x2 + y2 + z2) dS
=
S
2 k C
a(x2 + y2 + z2) dS
=
S
2 k C
aa2 dS
= 2 a k C
S
dS
= 2 a k C ( 4 pi a2 )= 8 k C a3.
-
42 CAPITULO 3. INTEGRALES DE SUPERFICIE
3.4. El Teorema de la Divergencia
El teorema de la divergencia es a las integrales de superficie lo que el teorema de
Green a las integrales de linea. Nos permite convertir una integral de superficie sobre
una superficie cerrada en una integral triple sobre la region que encierra la superficie o
viceversa. El Teorema de la Divergencia tambien se conoce como el teorema de Gauss y
como el teorema de Ostrogradski. Gauss lo utilizo para estudiar los campos de fuerzas
del cuadrado inverso; mientaras que Ostrogradski lo utilizo para estudiar el flujo de calor.
Ambos realizaron sus estudios en la decada de 1830 [6].
Teorema 3.4.1 (DIVERGENCIA) Supongamos que S es una superficie cerrada suave
por partes que acota la region del espacio T . Sea F = P i+Qj +Rk un campo vectorial
con funciones componentes que tienen derivadas parciales de primer orden continuas en
T . Sea n el vector normal unitaria exterior a S. Entonces S
F.n dS =
T
.FdV
(Para la prueba ver Cap. 9 pag. 139 de [6])
OBSERVACION
Si n esta dado en terminos de sus cosenos directores como n = (cos , cos , cos),
entonces podemos escribir el teorema de la divergencia en forma escalar: S
(P cos +Qcos +Rcos) dS =
T
(P
x+Q
y+R
z) dV
Es mejor parametrizar S de modo que el vector normal dado por la aproximacion sea la
normal exterior. Entonces escribir la ecuacion anterior en forma cartesiana: S
P dy dz +Qdz dx+Rdx dy =
T
(P
x+Q
y+R
z) dV
Ejemplo 3.4.1 Resuelva el ejemplo 3.3.1. usando el teorema de la divergencia.
Solucion
Sean Dado que F = (x, y, 3) se tiene que P = x , Q = y , R = 3
Px
= 1 , Qy
= 1 , Rz
= 0
luego div F = 2
Dado que F es de clase C1, el teorema de la divergencia implica que S
F.n dS =
T
2 dV
-
3.4. EL TEOREMA DE LA DIVERGENCIA 43
Para resolver la integral triple usemos coordenadas cilindricas
x = r cos 0 2piy = r sen 0 r 2z = z , r2 z 4 , J(r, , z) = r
S
F.n dS =
2pi0
20
4r22 r dz dr d = 16 pi
Ejemplo 3.4.2 Sea S la superficie del cilindro solido T acotada por los planos z = 0
, z = 3 y por el cilindro x2 + y2 = 4. Calcule el flujo hacia fuera
SF.n dS dado que
F = (x2 + y2 + z2) (x, y, z).
Solucion
Sean P = (x2 + y2 + z2) x , Q = (x2 + y2 + z2) y , R = (x2 + y2 + z2) z
Px
= 3x2 + y2 + z2 , Qy
= 3y2 + z2 + x2 , Rz
= 3z2 + x2 + y2
luego div F = 5 (x2 + y2 + z2)
Dado que F es de clase C1, el teorema de la divergencia implica que S
F.n dS =
T
5 (x2 + y2 + z2)dV
Para resolver la integral triple usemos coordenadas cilindricas
x = r cos 0 2piy = r sen 0 r 2z = z J(r, , z) = r
S
F.n dS =
2pi0
20
30
5 (r2 + z2) r dz dr d = 300 pi
Ejemplo 3.4.3 Muestre que la divergencia del campo vectorial F en el punto P esta dada
por
{div F}(P ) = lmr0
1
Vr
Sr
F.n dS ()
donde Sr es la esfera de radio r con centro en P y Vr =43pi r3 es el volumen de la bola
Br acotada por la esfera.
Solucion
Sabemos que Sr
F.n dS =
Br
divF dV
Entonces aplicamos el teorema del valor promedio para integrales triples Br
divF dV = Vr {divF}(P )
-
44 CAPITULO 3. INTEGRALES DE SUPERFICIE
para algun punto P de Br; supongamos que las funciones componentes de F tienen
derivadas parciales de primer orden, continuas en P , de modo que
{div F}(P ) {div F}(P ) cuando P P
Obtenemos la ecuacion () al dividir ambos lados entre Vr y considerar el limite cuando
r 0.NOTA
Supongamos que F = V es el campo de vectorial para el flujo de un fluido. Podemos
interpretar la ecuacion () diciendo que {divF}(P ) es la tasa neta por unidad de volumende masa de fluido que fluye fuera (o diverge) del punto P . Por esta razon, el punto P
es una fuente si {divF}(P ) > 0 y un sumidero si {div F}(P ) < 0.El calor en un cuerpo conductor se puede considerar desde el punto de vista matematico
como si fuera un fluido que fluye por el cuerpo.
El teorema de la divergencia se aplica para demostrar que si u = u(x, y, z, t) es la
temperatura en el punto (x, y, z) en el instante t en un cuerpo por el que fluye el calor,
entonces la funcion u debe satisfacer la ecuacion
2u
x2+2u
y2+2u
z2=
1
k
u
t
donde k es una constante (la difusion termica del cuerpo). Esta es una ecuacion diferencial
parcial llamada ecuacion dl calor. Si estan dadas la temperatura inicial u(x, y, z, 0) y
la temperatura en la frontera del cuerpo, entonces sus temperaturas interiores en los
instantes futuras quedan determinadas por la ecuacion del calor.
A continuacion se mencionan dos aplicaciones inmediatas del teorema de la divergencia
[6].
3.4.1. Ley de Gauss
La ley de Gauss de la electrostatica afirma: el flujo neto de electricidad a traves de
cualquier superficie cerrada es igual a la carga neta que se encuentra dentro de ella divida
entre la constante de permitividad del espacio libre o.
Su formulacion matematica se establece como sigue:
=1
o
Ni=1
qi =q
o=
S
E.n dS
donde denota el flujo electrico y q la carga total.
-
3.4. EL TEOREMA DE LA DIVERGENCIA 45
Utilizando el teorema de la divergencia se deduce que
=
V
div E.dV =q
o
El valor matematico preciso de la constantes fsica 0 (permitividad del vacio o del espacio
libre) es:
o =107
4 pi c2
donde c = 299792458 m/s es el valor exacto de la velocidad de la luz en el vacio.
3.4.2. Ley de Coulomb
La ley Gauss es tan importante, que hasta la misma ley de Coulumb se puede deducir
como un corolario de aquella, como se menciona a continuacion.
Teorema 3.4.2 Dos cargas electricas q0 y q, separadas entre si una distancia r, se atraen
con una fuerza F de magnitud
F =qo q
4pi o r2
Prueba
Supongamos que se tiene una carga puntual q, considerada en el centro de una esfera
S de radio r. Sea E un campo de vectores que represnta el campo electrico sobre S. Es
claro que los dos vectores E y dS = n dS apuntan ambos hacia afuera de la esfera de
manera perpendicular a esta, as que el angulo que forman ambos vectores en un mismo
punto tiene que ser cero. Por tanto,
E.n dS = E. dS = ||E|| ||n|| ds cos0o = E dS
Al aplicar la ley de Gauss a esta esfera S de radio r, se obtiene
q
o=
S
E.n dS =
S
E dS = E
S
dS = E (4pi r2)
De aqui que
E =q
4pi o r2(1)
Ahora consideremos una segunda carga electrica qo separada a una distancia r de la carga
q (no importa si se trata de cargas del mismo signo o de signos contrarios). Obviamente
qo esta sobre la esfera S, as que la magnitud de la fuerza que actua sobre qo es
F = E qo (2)
-
46 CAPITULO 3. INTEGRALES DE SUPERFICIE
Combinando (1) y (2) se obtiene la formula para la ley de Coulomb:
F =1
4pi o
q qor2
La forma vectorial de la ley de Coulumb se puede expresar introduciendo el vector r, que
va desde el punto donde se encuentra la carga q hasta el punto donde se encuentra la
carga qo:
F =1
4pi o
q qor3
r
3.4.3. Teorema de Stokes
El teorema de Stokes se puede considerar como version del teorema de Green para tres
dimensiones. Mientras que el teorema de Green relaciona una integral doble sobre una
region plana D con una integral de linea alrededor de su curva frontera plana, el teorema
de stokes relaciona una integral de superficie sobre una superficie S con una integral de
linea alrededor de la curva frontera de S (que es una curva en el espacio)[4].
Figura 3.9:
La figura 3.9 muestra una superficie orientada con
vector normal unitario n. La orientacion de S induce
la orientacion positiva de la curva frontera C como semuestra en la figura. Esto significa que si usted camina
a lo largo de la curva C, en la direccion positiva consu cabeza apuntando en la direccion de n, entonces la
superficie siempre estara a su izquierda.
Teorema 3.4.3 ( STOKES) Sea S una superficie
suave a trozos y orientada que esta limitada por una curva frontera C, cerrada, suavea trozos y positivamente orientada. Sea F un campo vectorial cuyas componentes tienen
derivadas parciales continuas en una region abierta R3 que contiene a S. EntoncesCF.T dS =
S
(rot F ).n dS
(Para la prueba ver Cap. 9 pag. 928 de [4])
Notas
En terminos de las componentes de F = (P,Q,R) y las de rot F , podemos replantear
el teorema de Stokes, con la ayuda de la ecuacion S
F.n dS =
S
P dy dz +Qdz dy +Rdx dy
-
3.4. EL TEOREMA DE LA DIVERGENCIA 47
en su forma escalar:CP dx+Qdy +Rdz =
S
(R
y Q
z) dy dz + (
P
z R
x) dz dx+ (
Q
x P
y) dx dy
En el caso especial en el que la superficie S es plana y se encuentre en el plano X Y con
orientacion hacia arriba, la norma unitaria es k, la integral de superficie se convierte en
una integral doble y el teorema de Stokes es:CF.T dS =
S
rot F.n dS =
S
rot F.k dA
Esta es precisamente la forma vectorial del teorema de Green que se dio anteriormente.
As que el teorema de Green es realmente un caso especial del teorema de Stokes.
Figura 3.10:
El teorema de Stokes tiene una interesante inter-
pretacion geometrica [6]: En la figura 3.10 se muestra
una curva cerrada y orientada C que encierra una su-perficie abierta S, a la que se le asignado orientacion
positiva en una de sus caras. En el lado con ori-
entacion positiva de S podemos imaginar un numero
infinitamente grande de circulaciones adyacentes infinitamente pequenas, las cuales se
cancelan entre si de tal manera que la unica componente que contribuye al rotacional
neto del campo vectorial F integrando sobre la superficie S es precisamente la integral
de linea sobre el contorno C.
Ejemplo 3.4.4 Utilice el teorema de Stokes para calcular la integral
Srot F.n dS donde
F (x, y, z) = (yz, xz, xy) y S es la parte de la esfera x2 + y2 + z2 = 4 que se encuentra
dentro del cilindro x2 + y2 = 1 y arriba del plano X Y .
Solucion
La curva C es la interseccion del cilindro con la esfera:C :
x2 + y2 + z2 = 4x2 + y2 = 1 x2 + y2 = 1
z =3 > 0
Figura 3.11:
La parametrizacion de C es:x = cos
y = sen 0 2piz =
3
C : () = (cos , sen , 3)
-
48 CAPITULO 3. INTEGRALES DE SUPERFICIE
Srot F . n dS =
C F . T dS =
C F (()) .
() d
F (()) = (3 sen ,
3 cos , cos sen
() = (sen, cos , 0)F (()) . () =
3 sen2 +
3 cos2
Finalmente S
rot F . n dS =
CF (()) . () d
=
2pi0
3 (sen2 + cos2) d
=
2pi0
3 cos(2 ) d
= 0
Observaciones
1. Si S1 y S2 son dos superficie orientadas con la misma curva frontera orientada C yambos satisfacen las hipotesis del teorema de Stokes [5], entonces
S1
rot F . n dS =
CF . T dS =
S2
rot F . n dS
2. Utilicemos el teorema de Stokes para explicar el significado del vector rotacional
[5]. Supongamos que C es una curva cerrada orientada y V representa el campo develocidades de un fluido. Consideremos la integral de linea
C V . T dS recordemos
que V.T es la componente de V en la direccion del vector tangente unitaria T . Esto
es, cuanto mas cercana sea la direccion de V a la direccion de T , mayor es el valor
de V.T . EntoncesC V . T dS es una medidad de la tendencia del fluido a moverse al
rededor de C y se llama CIRCULACION de V alrededor de C.
Ahora sea P (xo , yo , zo) un punto del fluido y sea Sa un pequeno disco con radio a y
centro Po. Entonces (rot F ) (P ) (rot F ) (Po) para todos los puntos P sobre Sa porquerot F es continuo. As por el teorema de Stokes, obtenemos la siguiente aproximacion a
la circulacion alrededor del circunferencia frontera Ca:CaV . T dS =
Sa
rot V . n dS
Sa
rot V (Po) . n(Po) dS
= rot V (Po) . n(Po)pi a2
-
3.4. EL TEOREMA DE LA DIVERGENCIA 49
Figura 3.12:C V.T ds > 0 circulacion positiva Figura 3.13:
C V.T ds < 0 circulacion negativa
Esta aproximacion mejora a medida que a 0 y tenemos
rot V (Po) . n(Po) = lma0
1
pi a2
CaV . T dS ()
La ecuacion () da la relacion entre el rotacional y la circulacion. Demuestra que rot V . nes una medida de la rotacion del fluido alrededor del eje n. El efecto de rotacion es mayor
alrededor del eje paralelo al rot V.
Figura 3.14:
Imaginemos una pequena rueda de paletas
colocada en el fluido en un punto P , como en
la figura, la rueda de paletas gira con mas rapi-
dez cuando su eje es paralelo al rot V .
Ejemplo 3.4.5 Aplique el teorema de Stokes
para calcular la integral de superficie
Srot F . n dS
donde F = (3y,xz, yz2) y S es la superficie z = (x2 + y2)/2 tomando como frontera deS a la curva C descrita por el corte de la misma con el plano z = 2 y orientada en elsentido de las manecillas del reloj cuando se ve desde arriba.
Solucion Srot F . n dS =
C F . T dS =
C P dx+Qdy +Rdz =
C 3y dx xzQdy + yz2 dz
C: es una curva dada por la interseccion del paraboloide y el plano:
C : z = 12(x2 + y2)z = 2 x2 + y2 = 4
-
50 CAPITULO 3. INTEGRALES DE SUPERFICIE
Luego C se parametriza por: () = (2 cos , 2 sen , 2) t [0, 2pi] S
rot F . n dS =
C3y dx xzQdy + yz2 dz
=
2pi0
(3(2sen)(2sen) (2cos)(2)(2cos) + (2sen)(4)(0))dt
=
2pi0
(12sen2 + 8cos2)dt
= 20 pi.
Ejemplo 3.4.6 Se consideran el campo vectorial F (x, y, z) = (x2, x 2x y, 0), y la su-perficie regular S (con vector normal n de tercera componente positiva) que resulta de la
interseccion del plano 2y+ z 6 = 0 y el cubo [0, 4] [0, 4] [0, 4]. Si es el borde de S,con orientacion antihoraria, calcule
G . T dS. donde F = rotG.
Solucion
La superficie S esta parametrizado por r(x, y) = (x, y, 6 2y), luego
Figura 3.15:
rx = (1, 0, 0)
ry = (0, 1,2)rx ry = (0,2, 1) = NPor el Teorema de Stokes, se tiene:
G . T dS =
S
rotG.n dS
=
D
F.N dx dy
=
40
31
(2x+ 4xy) dy dx= 96.
Ejemplo 3.4.7 Calcule la circulacion del cam-
po de velocidades de un fluido F (x, y, z) = ( arctan (y2) , 3x , e3 z tan(z)) a lo largo de la
interseccion de la esfera x2 + y2 + z2 = 4 con el cilindro x2 + y2 = 1, con z > 0.
Solucion
La circulacion de un campo es su integral a lo largo de la curva cerrada (trabajo), esto
es: C
F . T ds.
Recordemos que la razon entre la circulacion del campo de velocidades y el area de la
superficie encerrada por la curva, tiende a un cierto valor a medida que el radio de la curva
tiende a cero; si este valor es nulo, entonces el fluido es irrotacional.
-
3.4. EL TEOREMA DE LA DIVERGENCIA 51
Figura 3.16:
Primero parametricemos la superficie S (que es la
interseccion del cilindro con la esfera) por r(r, ) =
(r cos , r sen ,4 r2) donde 0 r 1 y
0 2pi. Luego se tiene:N = rr r = ( r4r2 cos , r4r2 sen , r )Para calcular la circulacion del campo F , aplique-
mos el teorema de Stokes:C
F . T ds =
S
rot F . n dS
=
D
rot F .N dr d
=
2pi0
10
(0, 0, 3) . (r
4 r2 cos ,r
4 r2 sen , r ) dr d
=
2pi0
10
3 r dr d
= 3 pi
Observacion
Notemos que calcular la circulacion en forma directa es bastante engorroso.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Calcule
S(x2 + y2) dS, siendo S la superficie del cono z2 = 3(x2 + y2), con 0
z 3.
2. Sea S la semiesfera x2 + y2 + z2 a2 = 0 , z 0. Halle S(x2 + y2) dS.
3. Sea F un campo irrotacional con derivadas primeras continuas en un dominio D
simplemente conexo de R3. Sea una curva simple cerrada contenida en D. Pruebe
que la circulacion (F . T ds) es cero.
4. CalculeC2ydx+3xdyz2dz siendo C la circunferencia de ecuaciones parametricas
x = 3cost , y = 3sent , z = 0 , para 0 t 2 pi.
5. Se consideran el cono S de ecuaciones parametricas x = ucosv , y = usenv , z =
3u , para 0 u 1 , 0 v 2 pi y el campo vectorial F = (x, y, z). Halle elflujo de F a traves de S en el sentido normal exterior.
6. Halle el flujo de F = (sen(xyz), x2y, z2ex/5) que atraviesa la parte del cilindro 4y2+
z2 = 4 que esta arriba del plano XY y entre los planos x = 2 y x = 2 con
-
52 CAPITULO 3. INTEGRALES DE SUPERFICIE
orientaciones hacia arriba.
7. Un fluido tiene densidad de 1500 y campo de velocidad v = (y, x, 2z). Encuentrela rapidez de flujo que atraviesa la superficie, dirigido hacia afuera (flujo exterior)
x2 + y2 + z2 = 25.
8. Utlice la ley de Gauss para hallar la carga contenida en la semiesfera solida x2 +
y2 + z2 a2 , z 0, si el campo electrico es E(x, y, z) = (x, y, 2z).
9. Utlice la ley de Gauss para hallar la carga encerrada por el cubo con vertices
(1,1,1) si el campo electrico es E(x, y, z) = (x, y, z).
10. La temperatura en el punto (x, y, z) en una sustancia con conductividad K = 6, 5 es
u(x, y, z) = 2y2 + 2z2. Encuentre la rapidez del flujotermico hacia dentro que cruza
la superficie cilndrica y2 + z2 = 6 , 0 x 4.
11. Aplicando el teorema de Stokes, calcule la integral de lineaCx2y3dx + dy + zdz
donde C es la curva x2 + y2 = R2 , z = 0 recorrido en sentido antihorario.
12. Sea S la superficie helicoidal paramerizadopor r(u, v) = (ucosv , usenv , v) 0 u 1 , 0 v 2pi/2. Verifique el teorema de Stokes sobre la superficie S connormal exterior hacia arriba para el campo vectorial F (x, y, z) = (z, x, y).
13. Verifique que se cumple el teorema de Stokes para el campo vectorial dado F y la
superficie S.
a) F (x, y, z) = (3y, 4z,6x), S es la parte del paraboloide z = 9 x2 y2 que seencuentra arriba del plano XY , orientado hacia arriba.
b) F (x, y, z) = (y, z, x), S es la parte plano x + y + z = 1 que se encuentra en el
primer octante, orientado hacia arriba.
14. Calcule el trabajorealizado por el campo de fuerza
F (x, y, z) = (xx + z2, yy + x2, zz + y2)
al mover una partcula alrededor del borde de la parte de la esfera x2+y2+z2 = 4 que
esta en el primer octante, en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj(visto
desde arriba).
15. Si S es una esfera y F satisface las hipotesis del teorema de Stokes, demuestre que Srot F . n dS = 0.
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Bibliografa
[1] Apostol Tom, M. Calculus Vol I y II, ed.,Reverte, Barcelona 2001.
[2] Edwards, Jr., D. Calculo con Geometra Analtica, ed.,Prentice Hall, Mexico, 1998.
[3] Garcia Lopez, A. Calculo II, ed.,CLAGSA, Madrid, 1997.
[4] Pita Ruiz, C. Calculo Vectorial, ed.,Prentice Hall, Mexico, 1998.
[5] Stewart, J.Calculo Multivariable,4a ed.,Thomson, Learning, Mexico, D.F. 2006.
[6] Velasco Sotomayor, G. Problemario de calculo multivariable, ed.,Thomson, Learn-
ing, Mexico, D.F. 2003.
53
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Indice alfabetico
area de la superficie, 27
campos conservativos y funciones poten-
ciales, 9
flujo de un campo vectorial, 38
independencia de la trayectoria, 8
Integrales de Superficie, 33
La Integral de Linea con respecto de la
longitud de arco, 4
ley de Coulomb, 45
ley de Gauss, 44
segundo tipo de Integral de superficie, 36
superficie parametrica, 26
Teorema de la divergencia, 42
teorema de stokes, 46
54