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Integral tripla
Cálculo Diferencial e Integral III
Suzana M. F. de Oliveira
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2
Índice
● Revisão● Integrais triplas
– Caixas retangulares– Regiões mais gerais– Cálculo de volume– Outras ordens (direções)– Coordenadas cilíndricas e esféricas
● Resumo● Bibliografia
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Revisão
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4
Revisão
● Funções vetoriais– Derivadas parciais– Plano tangente– Área de superfícies paramétricas
S=∬R
‖∂ r∂u×
∂ r∂ v‖dA
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Integrais triplas
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6
Integrais triplas
● Comparação– Integral simples
● Função f(x) ● Intervalo fechado finito do eixo x
Área sob a curva ecomprimento de curva
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7
Integrais triplas
● Comparação– Integral simples
● Função f(x) ● Intervalo fechado finito do eixo x
– Integral dupla● Função f(x,y) ● Região fechada finita R no plano xy
Volume sob a superfície,área de superfície,área da região R
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8
Integrais triplas
● Comparação– Integral simples
● Função f(x) ● Intervalo fechado finito do eixo x
– Integral dupla● Função f(x,y) ● Região fechada finita R no plano xy
– Integral tripla● Função f(x,y,z)● Região sólida fechada G de
um sistema de coordenadas xyz
G não pode seestender indefinidamente
em alguma direção
G é umsólido finito
Pense que a função éda densidade (kg/m³),a integral tripla da a
massa do corpo.
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9
Integrais triplas
● Definição– Divida G em n subcaixas
● Planos paralelos aos planos coordenados
– Descarte as caixas com parte fora de G
– Escolha um ponto arbitrário(xk*,yk*,zk*)
– O volume da subcaixa k é ΔVk
– Forme o produto
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Integrais triplas
● Definição– Aplique a soma de Riemann
– Assuma infinitas subcaixas:
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Integrais triplas
● Propriedades
– Sub-regiões
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Integrais triplas
● Integrais triplas em caixas retangulares– Teorema de Fubini:
● Seja G a caixa retangular definida pelas desigualdades:
Se f for contínua na região G, então:
Além disso, a integral iterada pode ser feita em qualquer ordem
Similar aintegrais duplas
Podem sercalculadas por
três integraçõessucessivas
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Integrais triplas
● Integrais triplas em caixas retangulares– Exercício: Calcule a integral tripla na caixa
retangular
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Integrais triplas
● Integrais triplas em caixas retangulares– Exercício: Calcule a integral tripla na caixa
retangular
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Integrais triplas
● Regiões mais gerais
Integraldupla A projeção no plano xy
é do tipo I ou II
Tipo I
Tipo II
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16
Integrais triplas
● Regiões mais gerais– Sólido simples em xy
● Suponha que g1(x, y) e g2(x, y) sejam contínuas em R e que g1(x, y) ≤ g2(x, y) em R
Superfícies podemse tocar, mas não
podem se intersectar
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Integrais triplas
● Regiões mais gerais– Teorema: Seja G um sólido simples em xy com
superfície superior z = g2(x, y) e superfície inferior z = g1(x, y), e seja R a projeção de G no plano xy. Se f(x, y, z) for contínua em G, então
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Integrais triplas
● Regiões mais gerais– Determinação dos Limites de Integração:
sólido simples em xy● Encontre uma equação z = g2(x, y) para a superfície
superior e uma equação z = g1(x, y) para a superfície inferior de G
● Faça um esboço bidimensional da projeção R do sólido no plano xy.
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19y
z
yx
z
Integrais triplas
● Regiões mais gerais– Exemplo: Seja G a cunha no primeiro octante
seccionada do sólido cilíndrico pelos planos y = x e x = 0. Calcule:
x
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Integrais triplas
● Regiões mais gerais– Exemplo: Seja G a cunha no primeiro octante
seccionada do sólido cilíndrico pelos planos y = x e x = 0. Calcule:
A integral duplapode ser qualqueruma (tipo I ou II)
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Integrais triplas
● Regiões mais gerais– Exemplo: Seja G a cunha no primeiro octante
seccionada do sólido cilíndrico pelos planos y = x e x = 0. Calcule:
![Page 22: Integral tripla...Integrais triplas Integrais triplas em caixas retangulares – Teorema de Fubini: Seja G a caixa retangular definida pelas desigualdades: Se f for contínua na região](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062417/61289fc632285863816c5a1f/html5/thumbnails/22.jpg)
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Integrais triplas
● Calculando volume– Assumindo função contante 1
Similar ao cálculo da área com aintegral dupla
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Integrais triplas
● Calculando volume– Exercício: Defina a integral tripla para calcular o
volume do sólido contido no cilindro e entre os planos
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Integrais triplas
● Calculando volume– Exercício: Defina a integral tripla para calcular o
volume do sólido contido no cilindro e entre os planos
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Integrais triplas
● Calculando volume– Exercício: Defina a integral tripla para calcular o
volume do sólido contido no cilindro e entre os planos
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Integrais triplas
● Calculando volume– Exercício: Defina a integral tripla para calcular o
volume do sólido delimitado pelos paraboloides
A projeção R é obtidaao se determinar onde os
paraboloides se intersectam
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Integrais triplas
● Calculando volume– Exercício: Defina a integral tripla para calcular o
volume do sólido delimitado pelos paraboloides
● Achando R (igualando z)
Cilindro elíptico
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Integrais triplas
● Calculando volume– Exercício: Defina a integral tripla para calcular o
volume do sólido delimitado pelos paraboloides
● Achando R (igualando z)
● Integral tripla
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Integrais triplas
● Integrando em outras ordens (direção)– Sólido simples xz
– Sólido simples yz
Indica ondefica a base
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Integrais triplas
● Coordenadas cilíndricas
x=r cos (θ)
y=r sin (θ)z=z
FONTE: https://sites.google.com/site/calculovectorialhakim/_/rsrc/1431822664058/coordenadas-cilindricas-y-esfericas/a13.png
r2=x2+ y2
θ=atan ( y / x)z=z
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Integrais triplas
● Coordenadas cilíndricas– Exemplo: Defina como é feito o calculo do volume
do sólido limitado pelo hemisfério , pelo plano xy e pelo cilindro
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Integrais triplas
● Coordenadas cilíndricas– Exemplo: Defina como é feito o calculo do volume
do sólido limitado pelo hemisfério , pelo plano xy e pelo cilindro
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Integrais triplas
● Coordenadas cilíndricas– Exemplo: Defina como é feito o calculo do volume
do sólido limitado pelo hemisfério , pelo plano xy e pelo cilindro
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34
Integrais triplas
● Coordenadas esféricas
x=ρcos (θ)sin(ϕ)
y=ρsin (θ)sin(ϕ)
z=ρcos(ϕ)
ρ2=x2+ y2+z2
θ=atan( y / x)ϕ=acos( z /√x2+ y2+z2)
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35
Integrais triplas
● Coordenadas esféricasRecomendo olhara Tabela 14.6.1
do Anton
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Resumo
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Resumo
● Integrais triplas– Caixas retangulares– Forma mais geral– Cálculo de da área
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Resumo
● Exercícios de fixação:– Seção 14.5
● Exercícios de compreensão 14.5● 1-12
– Seção 14.6● Exercícios de compreensão 14.6
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Resumo
● Próxima aula:– Mudança de variável em integrais múltiplas
● Jacobiano
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Bibliografia
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Bibliografia
● Bibliografia básica:– ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen.
Cálculo, v. 2. 10a ed. Porto Alegre: Bookman, 2012.
● Seção 14.5, 14.6