Integrales Impropias
Integrales Impropias
Veronica Briceno V.
noviembre 2013
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 1 / 26
En esta Presentacion...
Estudiaremos: ∫ b
af (x)dx
en los casos:
Intervalo no acotado
Asintota en x = a y/o x = b
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 2 / 26
En esta Presentacion...
Estudiaremos: ∫ b
af (x)dx
en los casos:
Intervalo no acotadoAsintota en x = a y/o x = b
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 2 / 26
Integrales Impropias de Primera Especie
DefinicionIntegrales sobre intervalos no acotados, de la siguiente forma:
1 Sea f : [a,+∞[→ R integrable en cada intervalo [a,b]. Se define:∫ +∞
af (x)dx = lım
b→∞
∫ b
af (x)dx
2 Sea f :]−∞,b]→ R integrable en cada intervalo [a,b]. Se define:∫ b
−∞f (x)dx = lım
a→−∞
∫ b
af (x)dx
3 Sea f : R→ R integrable en cada intervalo [a,b]. Se define:∫ +∞
−∞f (x)dx =
∫ c
−∞f (x)dx +
∫ +∞
cf (x)dx ,∀c ∈ R
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Integrales Impropias de Primera Especie
DefinicionIntegrales sobre intervalos no acotados, de la siguiente forma:
1 Sea f : [a,+∞[→ R integrable en cada intervalo [a,b]. Se define:∫ +∞
af (x)dx = lım
b→∞
∫ b
af (x)dx
2 Sea f :]−∞,b]→ R integrable en cada intervalo [a,b]. Se define:∫ b
−∞f (x)dx = lım
a→−∞
∫ b
af (x)dx
3 Sea f : R→ R integrable en cada intervalo [a,b]. Se define:∫ +∞
−∞f (x)dx =
∫ c
−∞f (x)dx +
∫ +∞
cf (x)dx ,∀c ∈ R
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Integrales Impropias de Primera Especie
DefinicionIntegrales sobre intervalos no acotados, de la siguiente forma:
1 Sea f : [a,+∞[→ R integrable en cada intervalo [a,b]. Se define:∫ +∞
af (x)dx = lım
b→∞
∫ b
af (x)dx
2 Sea f :]−∞,b]→ R integrable en cada intervalo [a,b]. Se define:∫ b
−∞f (x)dx = lım
a→−∞
∫ b
af (x)dx
3 Sea f : R→ R integrable en cada intervalo [a,b]. Se define:∫ +∞
−∞f (x)dx =
∫ c
−∞f (x)dx +
∫ +∞
cf (x)dx ,∀c ∈ R
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Integrales Impropias de Primera Especie
DefinicionIntegrales sobre intervalos no acotados, de la siguiente forma:
1 Sea f : [a,+∞[→ R integrable en cada intervalo [a,b]. Se define:∫ +∞
af (x)dx = lım
b→∞
∫ b
af (x)dx
2 Sea f :]−∞,b]→ R integrable en cada intervalo [a,b]. Se define:∫ b
−∞f (x)dx = lım
a→−∞
∫ b
af (x)dx
3 Sea f : R→ R integrable en cada intervalo [a,b]. Se define:∫ +∞
−∞f (x)dx =
∫ c
−∞f (x)dx +
∫ +∞
cf (x)dx ,∀c ∈ R
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Convergencia
DefinicionEn los casos (1) y (2), se dice que la INTEGRAL CONVERGE, siexiste ese lımite.En caso contrario se dice que DIVERGE.En el caso (3), la integral converge si
∫ c−∞ y
∫ +∞c convergen en forma
independiente.
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Ejemplos
Calcular:∫ +∞1 (1− x)e−xdx
∫ +∞0 e−xdx∫ +∞0
dxx2+1∫ +∞
−∞arc tg(x)
1+x2 dx∫ +∞0
dx√x(1+x)∫ +∞
1x−1
x3−3x2+x+5dx
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 5 / 26
Ejemplos
Calcular:∫ +∞1 (1− x)e−xdx∫ +∞0 e−xdx
∫ +∞0
dxx2+1∫ +∞
−∞arc tg(x)
1+x2 dx∫ +∞0
dx√x(1+x)∫ +∞
1x−1
x3−3x2+x+5dx
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Ejemplos
Calcular:∫ +∞1 (1− x)e−xdx∫ +∞0 e−xdx∫ +∞0
dxx2+1
∫ +∞−∞
arc tg(x)1+x2 dx∫ +∞
0dx√
x(1+x)∫ +∞1
x−1x3−3x2+x+5dx
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Ejemplos
Calcular:∫ +∞1 (1− x)e−xdx∫ +∞0 e−xdx∫ +∞0
dxx2+1∫ +∞
−∞arc tg(x)
1+x2 dx
∫ +∞0
dx√x(1+x)∫ +∞
1x−1
x3−3x2+x+5dx
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Ejemplos
Calcular:∫ +∞1 (1− x)e−xdx∫ +∞0 e−xdx∫ +∞0
dxx2+1∫ +∞
−∞arc tg(x)
1+x2 dx∫ +∞0
dx√x(1+x)
∫ +∞1
x−1x3−3x2+x+5dx
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Ejemplos
Calcular:∫ +∞1 (1− x)e−xdx∫ +∞0 e−xdx∫ +∞0
dxx2+1∫ +∞
−∞arc tg(x)
1+x2 dx∫ +∞0
dx√x(1+x)∫ +∞
1x−1
x3−3x2+x+5dx
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Integrales p
Son de la forma:
∫ +∞
1
dxxp
Proposicion ∫ +∞
1
dxxp converge ssi p > 1
Demostrar!!!
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 6 / 26
Integrales p
Son de la forma:
∫ +∞
1
dxxp
Proposicion ∫ +∞
1
dxxp converge ssi p > 1
Demostrar!!!
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 6 / 26
Integrales p
Son de la forma: ∫ +∞
1
dxxp
Proposicion ∫ +∞
1
dxxp converge ssi p > 1
Demostrar!!!
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 6 / 26
Integrales p
Son de la forma: ∫ +∞
1
dxxp
Proposicion
∫ +∞
1
dxxp converge ssi p > 1
Demostrar!!!
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 6 / 26
Integrales p
Son de la forma: ∫ +∞
1
dxxp
Proposicion
∫ +∞
1
dxxp converge ssi p > 1
Demostrar!!!
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 6 / 26
Integrales p
Son de la forma: ∫ +∞
1
dxxp
Proposicion ∫ +∞
1
dxxp converge ssi p > 1
Demostrar!!!
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 6 / 26
Demostracion:
p 6= 1
∫ b
1
dxxp =
b1−p
1− p+
1p − 1
Cuando b −→∞∫ +∞1
dxxp = 1
p−1 solo si p > 1
p = 1 ∫ b
1
dxxp = ln(b)
Si b −→∞ entonces la integral diverge.
Por tanto:∫ +∞1
dxxp = 1
p−1 solo si p > 1
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 7 / 26
Demostracion:
p 6= 1
∫ b
1
dxxp =
b1−p
1− p+
1p − 1
Cuando b −→∞∫ +∞1
dxxp = 1
p−1 solo si p > 1
p = 1 ∫ b
1
dxxp = ln(b)
Si b −→∞ entonces la integral diverge.
Por tanto:∫ +∞1
dxxp = 1
p−1 solo si p > 1
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 7 / 26
Demostracion:
p 6= 1 ∫ b
1
dxxp =
b1−p
1− p+
1p − 1
Cuando b −→∞∫ +∞1
dxxp = 1
p−1 solo si p > 1
p = 1 ∫ b
1
dxxp = ln(b)
Si b −→∞ entonces la integral diverge.
Por tanto:∫ +∞1
dxxp = 1
p−1 solo si p > 1
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 7 / 26
Demostracion:
p 6= 1 ∫ b
1
dxxp =
b1−p
1− p+
1p − 1
Cuando b −→∞∫ +∞1
dxxp = 1
p−1 solo si p > 1
p = 1
∫ b
1
dxxp = ln(b)
Si b −→∞ entonces la integral diverge.
Por tanto:∫ +∞1
dxxp = 1
p−1 solo si p > 1
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 7 / 26
Demostracion:
p 6= 1 ∫ b
1
dxxp =
b1−p
1− p+
1p − 1
Cuando b −→∞∫ +∞1
dxxp = 1
p−1 solo si p > 1
p = 1
∫ b
1
dxxp = ln(b)
Si b −→∞ entonces la integral diverge.
Por tanto:∫ +∞1
dxxp = 1
p−1 solo si p > 1
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 7 / 26
Demostracion:
p 6= 1 ∫ b
1
dxxp =
b1−p
1− p+
1p − 1
Cuando b −→∞∫ +∞1
dxxp = 1
p−1 solo si p > 1
p = 1 ∫ b
1
dxxp = ln(b)
Si b −→∞ entonces la integral diverge.
Por tanto:∫ +∞1
dxxp = 1
p−1 solo si p > 1
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 7 / 26
Ejemplos
Estudiar:∫ +∞1
dxx3
∫ +∞1
dx√x∫ +∞
13
dxx3∫ +∞
1x3+1
x4 dx
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 8 / 26
Ejemplos
Estudiar:∫ +∞1
dxx3∫ +∞
1dx√
x
∫ +∞13
dxx3∫ +∞
1x3+1
x4 dx
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 8 / 26
Ejemplos
Estudiar:∫ +∞1
dxx3∫ +∞
1dx√
x∫ +∞13
dxx3
∫ +∞1
x3+1x4 dx
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 8 / 26
Ejemplos
Estudiar:∫ +∞1
dxx3∫ +∞
1dx√
x∫ +∞13
dxx3∫ +∞
1x3+1
x4 dx
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 8 / 26
Proposicion
Sean f ,g : [a,∞[−→ R funciones continuas.
α ∈ R, α 6= 0. Entonces∫ +∞a αf (x)dx converge ssi
∫ +∞a f (x)dx converge.
En este caso:∫ +∞
a αf (x)dx = α∫ +∞
a f (x)dx
Si∫ +∞
a f (x)dx y∫ +∞
a g(x)dx convergen.Entonces
∫ +∞a (f (x) + g(x))dx converge.
Mas aun,∫ +∞a (f (x) + g(x))dx =
∫ +∞a f (x)dx +
∫ +∞a g(x)dx
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 9 / 26
Proposicion
Sean f ,g : [a,∞[−→ R funciones continuas.
α ∈ R, α 6= 0. Entonces∫ +∞a αf (x)dx converge ssi
∫ +∞a f (x)dx converge.
En este caso:∫ +∞
a αf (x)dx = α∫ +∞
a f (x)dx
Si∫ +∞
a f (x)dx y∫ +∞
a g(x)dx convergen.Entonces
∫ +∞a (f (x) + g(x))dx converge.
Mas aun,∫ +∞a (f (x) + g(x))dx =
∫ +∞a f (x)dx +
∫ +∞a g(x)dx
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 9 / 26
Proposicion
Sean f ,g : [a,∞[−→ R funciones continuas.
α ∈ R, α 6= 0. Entonces∫ +∞a αf (x)dx converge ssi
∫ +∞a f (x)dx converge.
En este caso:∫ +∞
a αf (x)dx = α∫ +∞
a f (x)dx
Si∫ +∞
a f (x)dx y∫ +∞
a g(x)dx convergen.Entonces
∫ +∞a (f (x) + g(x))dx converge.
Mas aun,∫ +∞a (f (x) + g(x))dx =
∫ +∞a f (x)dx +
∫ +∞a g(x)dx
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 9 / 26
Teoremas de Convergencia para Funciones Positivas
Lema: Si F : [a,+∞[−→ R es una funcion creciente entonces:lımx−→+∞ F (x) existe o lımx−→+∞ F (x) =∞El primer caso se da si y solo si F es acotada superiormente.
Teorema de Comparacion: Sean f ,g : [a,+∞[−→ R funcionescontinuas en [a,+∞[ tales que: 0 ≤ f (x) ≤ g(x),∀x ≥ a.Entonces:
1∫ +∞
a g(x)dx converge⇒∫ +∞
a f (x)dx converge.2
∫ +∞a f (x)dx diverge⇒
∫ +∞a g(x)dx diverge.
Teorema Criterio del Cuociente: Sean f ,g : [a,+∞[−→ Rfunciones continuas en [a,+∞[ y no negativas tales que:lımx−→+∞
f (x)g(x) = L > 0. Entonces:∫ +∞
a f (x)dx converge ssi∫ +∞
a g(x)dx converge.
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 10 / 26
Teoremas de Convergencia para Funciones Positivas
Lema: Si F : [a,+∞[−→ R es una funcion creciente entonces:lımx−→+∞ F (x) existe o lımx−→+∞ F (x) =∞El primer caso se da si y solo si F es acotada superiormente.Teorema de Comparacion: Sean f ,g : [a,+∞[−→ R funcionescontinuas en [a,+∞[ tales que: 0 ≤ f (x) ≤ g(x), ∀x ≥ a.Entonces:
1∫ +∞
a g(x)dx converge⇒∫ +∞
a f (x)dx converge.2
∫ +∞a f (x)dx diverge⇒
∫ +∞a g(x)dx diverge.
Teorema Criterio del Cuociente: Sean f ,g : [a,+∞[−→ Rfunciones continuas en [a,+∞[ y no negativas tales que:lımx−→+∞
f (x)g(x) = L > 0. Entonces:∫ +∞
a f (x)dx converge ssi∫ +∞
a g(x)dx converge.
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 10 / 26
Teoremas de Convergencia para Funciones Positivas
Lema: Si F : [a,+∞[−→ R es una funcion creciente entonces:lımx−→+∞ F (x) existe o lımx−→+∞ F (x) =∞El primer caso se da si y solo si F es acotada superiormente.Teorema de Comparacion: Sean f ,g : [a,+∞[−→ R funcionescontinuas en [a,+∞[ tales que: 0 ≤ f (x) ≤ g(x), ∀x ≥ a.Entonces:
1∫ +∞
a g(x)dx converge⇒∫ +∞
a f (x)dx converge.
2∫ +∞
a f (x)dx diverge⇒∫ +∞
a g(x)dx diverge.
Teorema Criterio del Cuociente: Sean f ,g : [a,+∞[−→ Rfunciones continuas en [a,+∞[ y no negativas tales que:lımx−→+∞
f (x)g(x) = L > 0. Entonces:∫ +∞
a f (x)dx converge ssi∫ +∞
a g(x)dx converge.
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 10 / 26
Teoremas de Convergencia para Funciones Positivas
Lema: Si F : [a,+∞[−→ R es una funcion creciente entonces:lımx−→+∞ F (x) existe o lımx−→+∞ F (x) =∞El primer caso se da si y solo si F es acotada superiormente.Teorema de Comparacion: Sean f ,g : [a,+∞[−→ R funcionescontinuas en [a,+∞[ tales que: 0 ≤ f (x) ≤ g(x), ∀x ≥ a.Entonces:
1∫ +∞
a g(x)dx converge⇒∫ +∞
a f (x)dx converge.2
∫ +∞a f (x)dx diverge⇒
∫ +∞a g(x)dx diverge.
Teorema Criterio del Cuociente: Sean f ,g : [a,+∞[−→ Rfunciones continuas en [a,+∞[ y no negativas tales que:lımx−→+∞
f (x)g(x) = L > 0. Entonces:∫ +∞
a f (x)dx converge ssi∫ +∞
a g(x)dx converge.
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 10 / 26
Teoremas de Convergencia para Funciones Positivas
Lema: Si F : [a,+∞[−→ R es una funcion creciente entonces:lımx−→+∞ F (x) existe o lımx−→+∞ F (x) =∞El primer caso se da si y solo si F es acotada superiormente.Teorema de Comparacion: Sean f ,g : [a,+∞[−→ R funcionescontinuas en [a,+∞[ tales que: 0 ≤ f (x) ≤ g(x), ∀x ≥ a.Entonces:
1∫ +∞
a g(x)dx converge⇒∫ +∞
a f (x)dx converge.2
∫ +∞a f (x)dx diverge⇒
∫ +∞a g(x)dx diverge.
Teorema Criterio del Cuociente: Sean f ,g : [a,+∞[−→ Rfunciones continuas en [a,+∞[ y no negativas tales que:lımx−→+∞
f (x)g(x) = L > 0. Entonces:∫ +∞
a f (x)dx converge ssi∫ +∞
a g(x)dx converge.
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 10 / 26
Ejemplos
Son convergente o divergentes???∫ +∞1
dx(x4+2)2
∫ +∞1
x3+3x2+1x6+4x4+2 sen x dx∫ +∞
0 e−x2dx∫ +∞
11+ex
1+ex+e2x dx∫ +∞0 x3e−xdx∫ +∞2
dxx2(1+ex )∫ +∞
2x+2
2 3√x5dx
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 11 / 26
Ejemplos
Son convergente o divergentes???∫ +∞1
dx(x4+2)2∫ +∞
1x3+3x2+1
x6+4x4+2 sen x dx
∫ +∞0 e−x2
dx∫ +∞1
1+ex
1+ex+e2x dx∫ +∞0 x3e−xdx∫ +∞2
dxx2(1+ex )∫ +∞
2x+2
2 3√x5dx
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 11 / 26
Ejemplos
Son convergente o divergentes???∫ +∞1
dx(x4+2)2∫ +∞
1x3+3x2+1
x6+4x4+2 sen x dx∫ +∞0 e−x2
dx
∫ +∞1
1+ex
1+ex+e2x dx∫ +∞0 x3e−xdx∫ +∞2
dxx2(1+ex )∫ +∞
2x+2
2 3√x5dx
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 11 / 26
Ejemplos
Son convergente o divergentes???∫ +∞1
dx(x4+2)2∫ +∞
1x3+3x2+1
x6+4x4+2 sen x dx∫ +∞0 e−x2
dx∫ +∞1
1+ex
1+ex+e2x dx
∫ +∞0 x3e−xdx∫ +∞2
dxx2(1+ex )∫ +∞
2x+2
2 3√x5dx
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Ejemplos
Son convergente o divergentes???∫ +∞1
dx(x4+2)2∫ +∞
1x3+3x2+1
x6+4x4+2 sen x dx∫ +∞0 e−x2
dx∫ +∞1
1+ex
1+ex+e2x dx∫ +∞0 x3e−xdx
∫ +∞2
dxx2(1+ex )∫ +∞
2x+2
2 3√x5dx
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 11 / 26
Ejemplos
Son convergente o divergentes???∫ +∞1
dx(x4+2)2∫ +∞
1x3+3x2+1
x6+4x4+2 sen x dx∫ +∞0 e−x2
dx∫ +∞1
1+ex
1+ex+e2x dx∫ +∞0 x3e−xdx∫ +∞2
dxx2(1+ex )
∫ +∞2
x+22 3√x5
dx
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Ejemplos
Son convergente o divergentes???∫ +∞1
dx(x4+2)2∫ +∞
1x3+3x2+1
x6+4x4+2 sen x dx∫ +∞0 e−x2
dx∫ +∞1
1+ex
1+ex+e2x dx∫ +∞0 x3e−xdx∫ +∞2
dxx2(1+ex )∫ +∞
2x+2
2 3√x5dx
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Otro Teorema de Convergencia
TeoremaSean f ,g,h funciones continuas en [a,+∞[ tales queg(x) ≤ f (x) ≤ h(x),∀x ≥ a. Entonces:Si
∫ +∞a g(x)dx y
∫ +∞a h(x)dx convergen entonces
∫ +∞a f (x)dx
converge.
Observacion:
Este criterio se aplica si las funciones no son positivas.Ejemplo: ∫ +∞
1
sen xx3 dx
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 12 / 26
Otro Teorema de Convergencia
TeoremaSean f ,g,h funciones continuas en [a,+∞[ tales queg(x) ≤ f (x) ≤ h(x),∀x ≥ a. Entonces:Si
∫ +∞a g(x)dx y
∫ +∞a h(x)dx convergen entonces
∫ +∞a f (x)dx
converge.
Observacion:Este criterio se aplica si las funciones no son positivas.Ejemplo: ∫ +∞
1
sen xx3 dx
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Ejercicio:
Para que valores de β > 0, es convergente la integral impropia.∫ +∞
1
x1 + xβ + x2β dx
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 13 / 26
Integrales Impropias de Segunda Especie
Integrales sobre funciones no acotadas, esto es funciones que tienenuna asintota en x = a y/o x = b.
DefinicionSea f : [a,b[→ R una funcion no acotada, diremos que f es integrableen [a,b[, si:
1 ∀x ∈ [a,b[, f es integrable en [a, x ]2 ∃ lımx→b−
∫ xa f (x)dx
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 14 / 26
Integrales Impropias de Segunda Especie
Integrales sobre funciones no acotadas, esto es funciones que tienenuna asintota en x = a y/o x = b.
DefinicionSea f : [a,b[→ R una funcion no acotada, diremos que f es integrableen [a,b[, si:
1 ∀x ∈ [a,b[, f es integrable en [a, x ]
2 ∃ lımx→b−∫ x
a f (x)dx
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 14 / 26
Integrales Impropias de Segunda Especie
Integrales sobre funciones no acotadas, esto es funciones que tienenuna asintota en x = a y/o x = b.
DefinicionSea f : [a,b[→ R una funcion no acotada, diremos que f es integrableen [a,b[, si:
1 ∀x ∈ [a,b[, f es integrable en [a, x ]2 ∃ lımx→b−
∫ xa f (x)dx
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 14 / 26
Convergencia
Se tiene...
1 Cuando ∃ lımx→b−∫ x
a f (x)dx se dice que la INTEGRALCONVERGE.En caso contrario se dice que DIVERGE.
2 Notacion:∫ b−
a f (x)dx = lımx→b−∫ x
a f (x)dx3 Analogamente, se define:∫ b
a+ f (x)dx = lımx→a+
∫ bx f (x)dx
y∫ b−a+ f (x)dx =
∫ ca+ f (x)dx +
∫ b−
c f (x)dx , para c ∈]a,b[.Esta ultima converge ssi las dos integrales de la derechaconvergen por separado.
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 15 / 26
Convergencia
Se tiene...1 Cuando ∃ lımx→b−
∫ xa f (x)dx se dice que la INTEGRAL
CONVERGE.En caso contrario se dice que DIVERGE.
2 Notacion:∫ b−
a f (x)dx = lımx→b−∫ x
a f (x)dx3 Analogamente, se define:∫ b
a+ f (x)dx = lımx→a+
∫ bx f (x)dx
y∫ b−a+ f (x)dx =
∫ ca+ f (x)dx +
∫ b−
c f (x)dx , para c ∈]a,b[.Esta ultima converge ssi las dos integrales de la derechaconvergen por separado.
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 15 / 26
Convergencia
Se tiene...1 Cuando ∃ lımx→b−
∫ xa f (x)dx se dice que la INTEGRAL
CONVERGE.En caso contrario se dice que DIVERGE.
2 Notacion:∫ b−
a f (x)dx = lımx→b−∫ x
a f (x)dx
3 Analogamente, se define:∫ ba+ f (x)dx = lımx→a+
∫ bx f (x)dx
y∫ b−a+ f (x)dx =
∫ ca+ f (x)dx +
∫ b−
c f (x)dx , para c ∈]a,b[.Esta ultima converge ssi las dos integrales de la derechaconvergen por separado.
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 15 / 26
Convergencia
Se tiene...1 Cuando ∃ lımx→b−
∫ xa f (x)dx se dice que la INTEGRAL
CONVERGE.En caso contrario se dice que DIVERGE.
2 Notacion:∫ b−
a f (x)dx = lımx→b−∫ x
a f (x)dx3 Analogamente, se define:∫ b
a+ f (x)dx = lımx→a+
∫ bx f (x)dx
y∫ b−a+ f (x)dx =
∫ ca+ f (x)dx +
∫ b−
c f (x)dx , para c ∈]a,b[.Esta ultima converge ssi las dos integrales de la derechaconvergen por separado.
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Notar que...
Proposicion ∫ 1
0+
dxxp converge ssi p < 1
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 16 / 26
Notar que...
Proposicion
∫ 1
0+
dxxp converge ssi p < 1
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 16 / 26
Notar que...
Proposicion
∫ 1
0+
dxxp converge ssi p < 1
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 16 / 26
Notar que...
Proposicion ∫ 1
0+
dxxp converge ssi p < 1
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 16 / 26
Demostracion:
p 6= 1
∫ 1
a
dxxp =
11− p
− a1−p
1− p
Cuando a −→ 0+∫ 10+
dxxp = 1
1−p solo si 0 < p < 1
p = 1 ∫ 1
a
dxxp = − ln(a)
Si a −→ 0+entonces la integral diverge.
Por tanto: ∫ 1
0+
dxxp =
11− p
ssi 0 < p < 1
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 17 / 26
Demostracion:
p 6= 1
∫ 1
a
dxxp =
11− p
− a1−p
1− p
Cuando a −→ 0+∫ 10+
dxxp = 1
1−p solo si 0 < p < 1
p = 1 ∫ 1
a
dxxp = − ln(a)
Si a −→ 0+entonces la integral diverge.
Por tanto: ∫ 1
0+
dxxp =
11− p
ssi 0 < p < 1
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 17 / 26
Demostracion:
p 6= 1 ∫ 1
a
dxxp =
11− p
− a1−p
1− p
Cuando a −→ 0+∫ 10+
dxxp = 1
1−p solo si 0 < p < 1
p = 1 ∫ 1
a
dxxp = − ln(a)
Si a −→ 0+entonces la integral diverge.
Por tanto: ∫ 1
0+
dxxp =
11− p
ssi 0 < p < 1
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 17 / 26
Demostracion:
p 6= 1 ∫ 1
a
dxxp =
11− p
− a1−p
1− p
Cuando a −→ 0+∫ 10+
dxxp = 1
1−p solo si 0 < p < 1
p = 1
∫ 1
a
dxxp = − ln(a)
Si a −→ 0+entonces la integral diverge.
Por tanto: ∫ 1
0+
dxxp =
11− p
ssi 0 < p < 1
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 17 / 26
Demostracion:
p 6= 1 ∫ 1
a
dxxp =
11− p
− a1−p
1− p
Cuando a −→ 0+∫ 10+
dxxp = 1
1−p solo si 0 < p < 1
p = 1
∫ 1
a
dxxp = − ln(a)
Si a −→ 0+entonces la integral diverge.
Por tanto: ∫ 1
0+
dxxp =
11− p
ssi 0 < p < 1
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 17 / 26
Demostracion:
p 6= 1 ∫ 1
a
dxxp =
11− p
− a1−p
1− p
Cuando a −→ 0+∫ 10+
dxxp = 1
1−p solo si 0 < p < 1
p = 1 ∫ 1
a
dxxp = − ln(a)
Si a −→ 0+entonces la integral diverge.
Por tanto: ∫ 1
0+
dxxp =
11− p
ssi 0 < p < 1
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 17 / 26
Notar que...
Se utilizan criterios similares a los ya vistos...
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 18 / 26
Notar que...
Se utilizan criterios similares a los ya vistos...
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 18 / 26
Notar que...Se utilizan criterios similares a los ya vistos...
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 18 / 26
Teoremas de Convergencia para Funciones Positivas
Lema: Si F : [a,b[−→ R es una funcion creciente entonces:lımx−→b− F (x) existe o lımx−→b− F (x) =∞El primer caso se da si y solo si F es acotada superiormente.
Teorema de Comparacion: Sean f ,g : [a,b[−→ R funcionescontinuas en [a,b[ tales que: 0 ≤ f (x) ≤ g(x),∀x ∈ [a,b[.Entonces:
1∫ b−
a g(x)dx converge⇒∫ b−
a f (x)dx converge.2
∫ b−
a f (x)dx diverge⇒∫ b−
a g(x)dx diverge.
Teorema Criterio del Cuociente: Sean f ,g : [a,b[−→ R funcionescontinuas en [a,b[ y no negativas tales que:lımx−→b−
f (x)g(x) = L > 0. Entonces:∫ b−
a f (x)dx converge ssi∫ b−
a g(x)dx converge.
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 19 / 26
Teoremas de Convergencia para Funciones Positivas
Lema: Si F : [a,b[−→ R es una funcion creciente entonces:lımx−→b− F (x) existe o lımx−→b− F (x) =∞El primer caso se da si y solo si F es acotada superiormente.Teorema de Comparacion: Sean f ,g : [a,b[−→ R funcionescontinuas en [a,b[ tales que: 0 ≤ f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a,b[.Entonces:
1∫ b−
a g(x)dx converge⇒∫ b−
a f (x)dx converge.2
∫ b−
a f (x)dx diverge⇒∫ b−
a g(x)dx diverge.
Teorema Criterio del Cuociente: Sean f ,g : [a,b[−→ R funcionescontinuas en [a,b[ y no negativas tales que:lımx−→b−
f (x)g(x) = L > 0. Entonces:∫ b−
a f (x)dx converge ssi∫ b−
a g(x)dx converge.
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 19 / 26
Teoremas de Convergencia para Funciones Positivas
Lema: Si F : [a,b[−→ R es una funcion creciente entonces:lımx−→b− F (x) existe o lımx−→b− F (x) =∞El primer caso se da si y solo si F es acotada superiormente.Teorema de Comparacion: Sean f ,g : [a,b[−→ R funcionescontinuas en [a,b[ tales que: 0 ≤ f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a,b[.Entonces:
1∫ b−
a g(x)dx converge⇒∫ b−
a f (x)dx converge.
2∫ b−
a f (x)dx diverge⇒∫ b−
a g(x)dx diverge.
Teorema Criterio del Cuociente: Sean f ,g : [a,b[−→ R funcionescontinuas en [a,b[ y no negativas tales que:lımx−→b−
f (x)g(x) = L > 0. Entonces:∫ b−
a f (x)dx converge ssi∫ b−
a g(x)dx converge.
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 19 / 26
Teoremas de Convergencia para Funciones Positivas
Lema: Si F : [a,b[−→ R es una funcion creciente entonces:lımx−→b− F (x) existe o lımx−→b− F (x) =∞El primer caso se da si y solo si F es acotada superiormente.Teorema de Comparacion: Sean f ,g : [a,b[−→ R funcionescontinuas en [a,b[ tales que: 0 ≤ f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a,b[.Entonces:
1∫ b−
a g(x)dx converge⇒∫ b−
a f (x)dx converge.2
∫ b−
a f (x)dx diverge⇒∫ b−
a g(x)dx diverge.
Teorema Criterio del Cuociente: Sean f ,g : [a,b[−→ R funcionescontinuas en [a,b[ y no negativas tales que:lımx−→b−
f (x)g(x) = L > 0. Entonces:∫ b−
a f (x)dx converge ssi∫ b−
a g(x)dx converge.
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 19 / 26
Teoremas de Convergencia para Funciones Positivas
Lema: Si F : [a,b[−→ R es una funcion creciente entonces:lımx−→b− F (x) existe o lımx−→b− F (x) =∞El primer caso se da si y solo si F es acotada superiormente.Teorema de Comparacion: Sean f ,g : [a,b[−→ R funcionescontinuas en [a,b[ tales que: 0 ≤ f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a,b[.Entonces:
1∫ b−
a g(x)dx converge⇒∫ b−
a f (x)dx converge.2
∫ b−
a f (x)dx diverge⇒∫ b−
a g(x)dx diverge.
Teorema Criterio del Cuociente: Sean f ,g : [a,b[−→ R funcionescontinuas en [a,b[ y no negativas tales que:lımx−→b−
f (x)g(x) = L > 0. Entonces:∫ b−
a f (x)dx converge ssi∫ b−
a g(x)dx converge.
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 19 / 26
Observacion
Notar que...
Estos criterios son validos para∫ b
a+ y∫ b−
a g(x)dx , esto es , para losotros tipos de integrales impropias de segunda especie.
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 20 / 26
Observacion
Notar que...
Estos criterios son validos para∫ b
a+ y∫ b−
a g(x)dx , esto es , para losotros tipos de integrales impropias de segunda especie.
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 20 / 26
Observacion
Notar que...
Estos criterios son validos para∫ b
a+ y∫ b−
a g(x)dx , esto es , para losotros tipos de integrales impropias de segunda especie.
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 20 / 26
Observacion
Notar que...
Estos criterios son validos para∫ b
a+ y∫ b−
a g(x)dx , esto es , para losotros tipos de integrales impropias de segunda especie.
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 20 / 26
Ejemplos
Son convergente o divergentes???∫ 10
dx√x+x4
∫ 1/20
dx(1−x)x2∫ 2
02√
x+3x3dx∫ 1
0sen 1
x√x dx∫ 1
0 ln(x)dx∫ 10
dx3√x∫ 1
04√6−x
dx∫ 21
dx√−(x−2)(x−1)∫ π
0x
sen x dx
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 21 / 26
Ejemplos
Son convergente o divergentes???∫ 10
dx√x+x4∫ 1/2
0dx
(1−x)x2
∫ 20
2√x+3x3
dx∫ 10
sen 1x√
x dx∫ 10 ln(x)dx∫ 10
dx3√x∫ 1
04√6−x
dx∫ 21
dx√−(x−2)(x−1)∫ π
0x
sen x dx
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 21 / 26
Ejemplos
Son convergente o divergentes???∫ 10
dx√x+x4∫ 1/2
0dx
(1−x)x2∫ 20
2√x+3x3
dx
∫ 10
sen 1x√
x dx∫ 10 ln(x)dx∫ 10
dx3√x∫ 1
04√6−x
dx∫ 21
dx√−(x−2)(x−1)∫ π
0x
sen x dx
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 21 / 26
Ejemplos
Son convergente o divergentes???∫ 10
dx√x+x4∫ 1/2
0dx
(1−x)x2∫ 20
2√x+3x3
dx∫ 10
sen 1x√
x dx
∫ 10 ln(x)dx∫ 10
dx3√x∫ 1
04√6−x
dx∫ 21
dx√−(x−2)(x−1)∫ π
0x
sen x dx
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 21 / 26
Ejemplos
Son convergente o divergentes???∫ 10
dx√x+x4∫ 1/2
0dx
(1−x)x2∫ 20
2√x+3x3
dx∫ 10
sen 1x√
x dx∫ 10 ln(x)dx
∫ 10
dx3√x∫ 1
04√6−x
dx∫ 21
dx√−(x−2)(x−1)∫ π
0x
sen x dx
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 21 / 26
Ejemplos
Son convergente o divergentes???∫ 10
dx√x+x4∫ 1/2
0dx
(1−x)x2∫ 20
2√x+3x3
dx∫ 10
sen 1x√
x dx∫ 10 ln(x)dx∫ 10
dx3√x
∫ 10
4√6−x
dx∫ 21
dx√−(x−2)(x−1)∫ π
0x
sen x dx
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 21 / 26
Ejemplos
Son convergente o divergentes???∫ 10
dx√x+x4∫ 1/2
0dx
(1−x)x2∫ 20
2√x+3x3
dx∫ 10
sen 1x√
x dx∫ 10 ln(x)dx∫ 10
dx3√x∫ 1
04√6−x
dx
∫ 21
dx√−(x−2)(x−1)∫ π
0x
sen x dx
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 21 / 26
Ejemplos
Son convergente o divergentes???∫ 10
dx√x+x4∫ 1/2
0dx
(1−x)x2∫ 20
2√x+3x3
dx∫ 10
sen 1x√
x dx∫ 10 ln(x)dx∫ 10
dx3√x∫ 1
04√6−x
dx∫ 21
dx√−(x−2)(x−1)
∫ π0
xsen x dx
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 21 / 26
Ejemplos
Son convergente o divergentes???∫ 10
dx√x+x4∫ 1/2
0dx
(1−x)x2∫ 20
2√x+3x3
dx∫ 10
sen 1x√
x dx∫ 10 ln(x)dx∫ 10
dx3√x∫ 1
04√6−x
dx∫ 21
dx√−(x−2)(x−1)∫ π
0x
sen x dx
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 21 / 26
Ejercicio:
Para que valores de α ∈ R, es convergente la integral impropia.∫ 1
0
xα√x5(1− x)
dx
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 22 / 26
Integrales Impropias de Tercera Especie o Mixtas
Combinan las integrales impropias de primera y segunda especie.Ejemplo: ∫ ∞
0
1√x + x4 dx
ObservacionLa convergencia de las integrales impropias de tercera especiedependera de la convergencia de las integrales impropias de primeray segunda especie, que de ella se desprende.En el ejemplo: ∫ 1
0+
1√x + x4 dx y
∫ ∞1
1√x + x4 dx
se utilizan estos mismos criterios para los otros tipos de integralesimpropias de segunda especie.
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 23 / 26
Integrales Impropias de Tercera Especie o Mixtas
Combinan las integrales impropias de primera y segunda especie.Ejemplo: ∫ ∞
0
1√x + x4 dx
Observacion
La convergencia de las integrales impropias de tercera especiedependera de la convergencia de las integrales impropias de primeray segunda especie, que de ella se desprende.En el ejemplo: ∫ 1
0+
1√x + x4 dx y
∫ ∞1
1√x + x4 dx
se utilizan estos mismos criterios para los otros tipos de integralesimpropias de segunda especie.
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 23 / 26
Integrales Impropias de Tercera Especie o Mixtas
Combinan las integrales impropias de primera y segunda especie.Ejemplo: ∫ ∞
0
1√x + x4 dx
Observacion
La convergencia de las integrales impropias de tercera especiedependera de la convergencia de las integrales impropias de primeray segunda especie, que de ella se desprende.En el ejemplo: ∫ 1
0+
1√x + x4 dx y
∫ ∞1
1√x + x4 dx
se utilizan estos mismos criterios para los otros tipos de integralesimpropias de segunda especie.
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 23 / 26
Integrales Impropias de Tercera Especie o Mixtas
Combinan las integrales impropias de primera y segunda especie.Ejemplo: ∫ ∞
0
1√x + x4 dx
ObservacionLa convergencia de las integrales impropias de tercera especiedependera de la convergencia de las integrales impropias de primeray segunda especie, que de ella se desprende.En el ejemplo: ∫ 1
0+
1√x + x4 dx y
∫ ∞1
1√x + x4 dx
se utilizan estos mismos criterios para los otros tipos de integralesimpropias de segunda especie.
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 23 / 26
Ejemplos
Son convergente o divergentes???∫ +∞0
x+5x3+x dx
∫ +∞0
sen xx4 dx∫ +∞
0ln xx2 dx∫ +∞
0 e−x ln(1 + ex)dx
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 24 / 26
Ejemplos
Son convergente o divergentes???∫ +∞0
x+5x3+x dx∫ +∞
0sen x
x4 dx
∫ +∞0
ln xx2 dx∫ +∞
0 e−x ln(1 + ex)dx
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 24 / 26
Ejemplos
Son convergente o divergentes???∫ +∞0
x+5x3+x dx∫ +∞
0sen x
x4 dx∫ +∞0
ln xx2 dx
∫ +∞0 e−x ln(1 + ex)dx
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 24 / 26
Ejemplos
Son convergente o divergentes???∫ +∞0
x+5x3+x dx∫ +∞
0sen x
x4 dx∫ +∞0
ln xx2 dx∫ +∞
0 e−x ln(1 + ex)dx
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 24 / 26
Ejercicios Propuestos:
Para que valores de α y β son convergentes:a)
∫ +∞1 xαeβxdx
b)∫ +∞
0dx
xα(1+xβ)
c)∫ 1
0 xα(1− x)βdx
Convergen o divergen???
1∫ 2−1
dxx3
2∫ 1
0dx√
x3
∫∞0
1−cos xx2 dx
4∫∞
0x
(x2+4)2 dx
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 25 / 26
Ejercicios Propuestos:
Para que valores de α y β son convergentes:a)
∫ +∞1 xαeβxdx
b)∫ +∞
0dx
xα(1+xβ)
c)∫ 1
0 xα(1− x)βdxConvergen o divergen???
1∫ 2−1
dxx3
2∫ 1
0dx√
x3
∫∞0
1−cos xx2 dx
4∫∞
0x
(x2+4)2 dx
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 25 / 26
Ejercicios Propuestos:
Para que valores de α y β son convergentes:a)
∫ +∞1 xαeβxdx
b)∫ +∞
0dx
xα(1+xβ)
c)∫ 1
0 xα(1− x)βdxConvergen o divergen???
1∫ 2−1
dxx3
2∫ 1
0dx√
x3
∫∞0
1−cos xx2 dx
4∫∞
0x
(x2+4)2 dx
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 25 / 26
Ejercicios Propuestos:
Para que valores de α y β son convergentes:a)
∫ +∞1 xαeβxdx
b)∫ +∞
0dx
xα(1+xβ)
c)∫ 1
0 xα(1− x)βdxConvergen o divergen???
1∫ 2−1
dxx3
2∫ 1
0dx√
x
3∫∞
01−cos x
x2 dx4
∫∞0
x(x2+4)2 dx
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 25 / 26
Ejercicios Propuestos:
Para que valores de α y β son convergentes:a)
∫ +∞1 xαeβxdx
b)∫ +∞
0dx
xα(1+xβ)
c)∫ 1
0 xα(1− x)βdxConvergen o divergen???
1∫ 2−1
dxx3
2∫ 1
0dx√
x3
∫∞0
1−cos xx2 dx
4∫∞
0x
(x2+4)2 dx
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 25 / 26
Ejercicios Propuestos:
Para que valores de α y β son convergentes:a)
∫ +∞1 xαeβxdx
b)∫ +∞
0dx
xα(1+xβ)
c)∫ 1
0 xα(1− x)βdxConvergen o divergen???
1∫ 2−1
dxx3
2∫ 1
0dx√
x3
∫∞0
1−cos xx2 dx
4∫∞
0x
(x2+4)2 dx
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 25 / 26
Ejercicios Propuestos:
Muestre que si α > 1 entonces la integral impropia∫ ∞0
1√x + xα
dx
es convergente.
Sea f [0,∞[−→ R una funcion continua.Determine la validez de la siguiente afrmacion (en caso de serverdad, dar una argumentacion; y en caso de ser falso, dar uncontra-ejemplo).Si la integral impropia
∫∞0 f (x)dx converge, entonce la integral
impropia∫∞
0 (1 + f (x))dxconverge.
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 26 / 26
Ejercicios Propuestos:
Muestre que si α > 1 entonces la integral impropia∫ ∞0
1√x + xα
dx
es convergente.Sea f [0,∞[−→ R una funcion continua.Determine la validez de la siguiente afrmacion (en caso de serverdad, dar una argumentacion; y en caso de ser falso, dar uncontra-ejemplo).Si la integral impropia
∫∞0 f (x)dx converge, entonce la integral
impropia∫∞
0 (1 + f (x))dxconverge.
Veronica Briceno V. () Integrales Impropias noviembre 2013 26 / 26