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Sistemas Autônomos Inteligentes
Lógica Fuzzy
Profs. João Alberto FabroProfs. João Alberto FabroAndré Schneider de OliveiraAndré Schneider de Oliveira
Adaptado de material dos profs. Mauro Roisenberg e Luciana Rech - UFSC
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IntroduçãoIntrodução
● A Lógica Fuzzy é baseada na teoria dos conjuntos fuzzy.
● Tradicionalmente, uma proposição lógica tem dois extremos: ou é completamente verdadeiro ou é completamente falso.
● Entretanto, na lógica Fuzzy, uma premissa varia em grau de verdade de 0 a 1, o que leva a ser parcialmente verdadeira ou parcialmente falsa.
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● Surgiu com Lofti A. Zadeh, Berkeley (1965).– para tratar do aspecto vago da informação;– 1978 – desenvolveu a Teoria das Possibilidades
● menos restrita que a noção de probabilidade – ligar a linguística e a inteligência humana, pois muitos conceitos
são melhores definidos por palavras do que pela matemática.
● É uma técnica baseada em graus de pertinência (verdade).– os valores 0 e 1 ficam nas extremidades– inclui os vários estados de verdade entre 0 e 1– idéia: todas as inf. admitem graus (temperatura, altura,
velocidade, distância, etc...)
IntroduçãoIntrodução
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IntroduçãoIntrodução
● Considerando a seguinte sentença: Joãozinho é alto.
● A proposição é verdadeira para uma altura de Joãozinho 1.65m?
● O termo linguístico “alto” é vago, como interpretá-lo?
● A teoria de conjuntos Fuzzy (semântica para lógica fuzzy) permite especificar quão bem um objeto satisfaz uma descrição vaga (predicado vago)
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IntroduçãoIntrodução
● Lógica convencional: sim/não, verdadeiro/falso
● Lógica Fuzzy (difusa ou nebulosa): ● Refletem o que as pessoas pensam● Tenta modelar o nosso senso de palavras, tomada de
decisão ou senso comum ● Trabalha com uma grande variedade de informações vagas e
incertas, as quais podem ser traduzidas por expressões do tipo: a maioria, mais ou menos, talvez, etc.
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IntroduçãoIntrodução
● Sistemas baseados em lógica fuzzy podem ser usado para gerar estimativas, tomadas de decisão, sistemas de controle mecânico...
● Ar condicionado.● Controles de automóveis.● Casas inteligentes. ● Controladores de processo industrial.● etc...
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IntroduçãoIntrodução
● O Japão é um dos maiores utilizadores e difusores da lógica fuzzy.● O metrô da cidade de Sendai utiliza desde 1987 um sistema de controle
fuzzy.● Aspiradores de pó e máquinas de lavar da empresa Matsushita -
carrega e ajusta automaticamente à quantidade de detergente necessário, a temperatura da água e o tipo de lavagem.
● TVs da Sony utilizam lógica fuzzy para ajustar automaticamente o contraste, brilho, nitidez e cores.
● A Nissan utiliza lógica fuzzy em seus carros no sistema de transmissão automática e freios antitravamento.
● Mitsubishi tem um ar condicionado industrial que usa um controlador fuzzy. Economiza 24% no consumo de energia.
● Câmeras e gravadoras usam fuzzy para ajustar foco automático e cancelar os tremores causados pelas mãos trêmulas.
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Conjuntos FuzzyConjuntos Fuzzy
Conjuntos com limites imprecisos
Altura(m)
1.75
1.0
Conjunto Clássico
1.0
Função depertinência
Altura(m)
1.60 1.75
0.5
0.9
Conjunto Fuzzy
A = Conjunto de pessoas altas
0.8
1.70
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Conjuntos FuzzyConjuntos Fuzzy
● Um conjunto fuzzy A definido no universo X é caracterizado por uma função de pertinência uA, a qual mapeia os elementos de X para o intervalo [0,1].
uA:X [0,1]
● Desta forma, a função de pertinência associa a cada elemento y pertencente a X um número real no intervalo [0,1], que representa o grau de pertinência do elemento y ao conjunto A, isto é, o quanto é possível para o elemento y pertencer ao conjunto A.
● Uma sentença pode ser parcialmente verdadeira e parcialmente falsa.
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Conjuntos FuzzyConjuntos Fuzzy
A função de pertinência A(X) indica o grau de compatibilidade entre x e o conceito expresso por A:
A(x) = 1 indica que x é completamente compatível com A;
A(x) = 0 indica que x é completamente incompatível com A;
0 < A(x) < 1 indica que x é parcialmente compatível com A, com grau A(x) .
crisp
pode ser visto como um conjunto nebuloso específico (teoria de conjuntos clássica)
A {0,1} pertinência do tipo “tudo ou nada”, “sim ou não” e não gradual como para os conjuntos nebulosos
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Conjuntos FuzzyConjuntos Fuzzy
Definição formal: Um conjunto fuzzy A em X é expresso como um conjunto de pares ordenados:
A={( x , uA( x ))|x∈X }
UniversoConjuntoFuzzy
Função dePertinência
Um conjunto fuzzy é totalmente caracterizado por sua função de pertinência.
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Função de PertinênciaFunção de Pertinência
● Reflete o conhecimento que se tem em relação a intensidade com que o objeto pertence ao conjunto fuzzy.
● Várias formas diferentes.
● Características das funções de pertinência:● Medidas subjetivas.● Funções não probabilísticas monotonicamente crescentes,
decrescentes ou subdividida em parte crescente e parte decrescente.
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Função de PertinênciaFunção de Pertinência
Altura (m)
“alto” no Brasil
1.75
0.5
0.8
0.1
“alto” nos Estados Unidos
“alto” na Itália
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Função de PertinênciaFunção de Pertinência
● Função Triangular:
● Função Trapezoidal:
● Função Gaussiana:
● Função Sino Generalizada:
gbellmf ( x ;a ,b , c )=1
1+|x−cb
|2 b
gaussmf ( x ;a , b , c )=e−
12 ( x−c
σ )2
trapmf ( x ;a ,b , c ,d )=max(min ( x−ab−a
,1,d−xd−c ) ,0)
trimf ( x ;a , b , c )=max(min( x−ab−a
,c−xc−b ) ,0)
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Função de PertinênciaFunção de Pertinência
0 20 40 60 80 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Gra
u de
Per
tinên
cia
(a) Triangular
0 20 40 60 80 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Gra
u de
Per
tinên
cia
(b) Trapezoidal
0 20 40 60 80 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Gra
u de
Per
tinên
cia
(c) Gaussiana
0 20 40 60 80 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1G
rau
de P
ertin
ênci
a
(d) Sino Gerneralizada
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Função de Pertinência: Universo DiscretoFunção de Pertinência: Universo Discreto
X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = “Número de filhos razoável”
A = {(0, 0.1), (1, 0.3), (2, 0.7), (3, 1), (4, 0.6), (5, 0.2), (6, 0.1)}
0 2 4 60
0.2
0.4
0.6
0.8
1
X = Número de filhos
Gra
u de
Per
tinên
cia
Universo Discreto
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Função de Pertinência: Universo ContínuoFunção de Pertinência: Universo Contínuo
0 50 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
X = Idade
Gra
u de
Per
tinên
cia
(b) Universo Contínuo
X = (Conjunto de números reais positivos)
B = “Pessoas com idade em torno de 50 anos”
B = {(x, B(x) )| x em X}
μB( x )=1
1+( x−5010 )
2
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Variável LinguísticaVariável Linguística
É uma partição do universo de discurso X representando “idade”, formada pelos conjuntos fuzzy “jovem”, “adulto” e “idoso”.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
X = Idade
Gra
u d
e Pe
rtin
ênci
a Jovem Adulto Idoso
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Variáveis LinguísticasVariáveis Linguísticas
● Uma variável linguística possui valores que não são números, mas sim palavras ou frases na linguagem natural.● Idade = idoso
● Um valor linguístico é um conjunto fuzzy.
● Todos os valores linguísticos formam um conjunto de termos:● T(idade) = {Jovem, velho, muito jovem,...
Adulto, não adulto,... Velho, não velho, muito velho, mais ou menos velho...}
● Permitem que a linguagem da modelagem fuzzy expresse a semântica usada por especialistas. Exemplo:
Se duração_do_projeto == não muito longo então risco = ligeiramente reduzido
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● Uma sentença modificada pela palavra “não” é dita “negação” da sentença original.
● NÃO-fuzzy(x) = 1 - x
● A palavra “e” é usada para juntar duas sentenças formando uma “conjunção” de duas sentenças.
● E-fuzzy(x,y) = Mínimo(x,y)
● De maneira similar a sentença formada ao conectarmos duas sentenças com a palavra “ou” é dita “disjunção” das duas sentenças.
● OU-fuzzy(x,y) = Máximo(x,y)
Operações sobre conjuntos fuzzy
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Operadores Fuzzy
● Suponha que desejássemos representar de forma fuzzy a altura de Alice (1,65 m), Bob (1,75 m), Carlos(2,0m) e Denise(1,45 m). Nossas proposições serão da forma "X é alto", e serão:– A = Alice é alta, μ(A)=0,55 – B = Bob é alto, μ(B)=0,75 – C = Carlos é alto, μ(C) = 1,0 – D = Denise é alta, μ(D) = 0,0
● Usando os operadores fuzzy, podemos escrever sentenças como:– Carlos não é alto, NÃO(C), μ(NÃO(C))= 1,0 - μ(C) = 0,0 – Bob não é alto, NÃO(B), μ(NÃO(B))= 1,0 - μ(B) = 0,25 – Denise é alta e Alice é Alta, D e A, μ(D e A)= mínimo (μ(D), μ(A)) =0,0
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● A lógica está claramente associada a teoria dos conjuntos. Cada afirmação (do tipo "Carlos é alto") representa na verdade o grau de pertinência de Carlos ao conjunto de pessoas altas.
● Isso permite que conjuntos como "alto" e "baixo" sejam tratados de forma separadas e afirmações como "Carlos é alto 0,75" e "Carlos é baixo 0,5" sejam válidas simultaneamente, ao contrário do que seria esperado em um modelo crisp.
● Esse tipo de afirmação é facilmente encontrada na descrição, por humanos, na forma como entendem certo conceito, e a lógica difusa é uma ótima forma de tratar essa forma de incerteza.
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23
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Controle Fuzzy
● Sistema de controle fuzzy baseado no modelo de Mamdani.
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Componentes de um sistema de controle fuzzy
Definição das variáveis fuzzy de entrada e de saída: forma e valores das variáveis
Regras fuzzy Técnica de defuzzificação
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26
Definição das variáveis
● Etapa na qual as variáveis linguísticas são definidas de forma subjetiva, bem como as funções membro (funções de pertinência)
● Engloba– Análise do Problema – Definição das Variáveis – Definição das Funções de pertinência – Criação das Regiões
● Na definição das funções de pertinência para cada variável, diversos tipos de espaço podem ser gerados:– Triangular, Trapezoidal, Gaussiana, ...
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27
Temperatura (oC)
Frio Normal Quente
Velocidade(m/s)
Lento Rápido
Exemplos de variáveis fuzzy
1 1
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Regras Fuzzy
SE condição ENTÃO conclusão , mas com variáveis linguísticas (fuzzy)
Exemplo:
Se a fruta é verde então o gosto é azedo
Se a fruta é amarela então o gosto é pouco-doce
Se a fruta é vermelha então o gosto é doce
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29
Regras Fuzzy
● E o raciocínio?– Avaliar o antecedente– Aplicar o resultado ao consequente– As regras são ativadas parcialmente, dependendo
do antecedente● Ex: Se a altura é alta, o peso é pesado (altura =1.85, peso = ?)
1.85
.5
.75
.1
Alto
90
.5
.75
.1
Pesado
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Operações BásicasOperações Básicas
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
A está contido em B
Gra
u de
Per
tinên
cia
B
A
(a) Conjuntos Fuzzy A e B (b) Conjunto Fuzzy não “A”
0
0.2
0.4
0.60.8
1A B
0
0.2
0.4
0.60.8
1
0
0.2
0.40.6
0.8
1
(c) Conjunto Fuzzy "A ou B"
0
0.2
0.40.6
0.8
1
(d) Conjunto Fuzzy "A e B"
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Exemplo: União e InterseçãoExemplo: União e Interseção
● X = {a, b, c, d, e}● A = {1/a, 0.7/b, 0.3/c, 0/d, 0.9/e}● B = {0.2/a, 0.9/b, 0.4/c, 1/d, 0.4/e}
● União● C = {1/a, 0.9/b, 0.4/c, 1/d, 0.9/e}
● Interseção● D = {0.2/a, 0.7/b, 0.3/c, 0/d, 0.4/e}
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Regras - ExemplosRegras - Exemplos
Regras CRISP(Não Fuzzy):1.Se velocidade > 100 Então
DPP é 30 metros2.Se velocidade < 40 Então
DPP é 10 metros
Regras Fuzzy:1.Se velocidade é alta Então
DPP é longa2. Se velocidade é baixa
Então DPP é curta
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Etapas do Raciocínio FuzzyEtapas do Raciocínio Fuzzy
1ª Fuzzificação
2ª Inferência
Agregação
3ª Defuzzificação
Composição
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Etapas do Raciocínio FuzzyEtapas do Raciocínio Fuzzy
Linguístico
NuméricoNível
Variáveis Calculadas
Variáveis Calculadas
(Valores Numéricos)
(Valores Linguísticos)Inferência
Variáveis de Comando
DefuzzificaçãoFuzzificação
(Valores Linguísticos)
Variáveis de Comando(Valores Numéricos)
Nível
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FuzzificaçãoFuzzificação
● Etapa na qual as variáveis linguísticas e as funções de pertinência são definidas de forma subjetiva.
● Engloba ● Análise do Problema ● Definição das Variáveis ● Definição das Funções de pertinência ● Criação das Regiões
● Na definição das funções de pertinência para cada variável, diversos tipos de espaço podem ser gerados:● Triangular, Trapezoidal, ...
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FuzzificaçãoFuzzificação
Triangular
Frio Normal Quente
Trapezoidal
Lento Rápido
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Inferência FuzzyInferência Fuzzy
● Etapa na qual as proposições (regras) são definidas e depois são examinadas paralelamente
● Engloba:● Definição das proposições● Análise das Regras● Criação da região resultante
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Inferência FuzzyInferência Fuzzy
● O mecanismo chave do modelo Fuzzy é a proposição.
● A proposição é o relacionamento entre as variáveis do modelo e regiões Fuzzy.
● Na definição das proposições, deve-se trabalhar com:● Proposições Condicionais:
Se W == Z então X = Y
● Proposições Não-Condicionais:X = Y
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Inferência FuzzyInferência Fuzzy
Agregação: Calcula a importância de uma determinada regra para a situação corrente
Composição: Calcula a influência de cada regra nas variáveis de saída.
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DefuzzificaçãoDefuzzificação
● Etapa no qual as regiões resultantes são convertidas em valores para a variável de saída do sistema.
● Esta etapa corresponde a ligação funcional entre as regiões Fuzzy e o valor esperado.
● Dentre os diversos tipos de técnicas de defuzzificação destaca-se:● Centróide● First-of-Maxima● Middle-of-Maxima ● Critério Máximo
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DefuzzificaçãoDefuzzificação
Exemplos:
z0 z0 z0
Centróide First-of-Maxima Critério Máximo
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Exemplo Inferência FuzzyExemplo Inferência Fuzzy
● Exemplo: ● Um analista de projetos de uma empresa quer determinar o
risco de um determinado projeto.● Variáveis: Quantidade de dinheiro e de pessoas envolvidas
no projeto.● Base de conhecimento:
● Se dinheiro é adequado ou o número de pessoas é pequeno então risco é pequeno.
● Se dinheiro é médio e o numero de pessoas é alto, então risco é normal.
● Se dinheiro é inadequado, então risco é alto.
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Exemplo Inferência FuzzyExemplo Inferência Fuzzy
Passo 1: Fuzzificar
μi( d )=0,25∧μm(d )=0,75
Dinheiro
Inadequado Médio Adequado35
0.25
0.75
Número de Pessoas
60
Baixo Alto
0.2
0.8
μb ( p)=0,2∧μa ( p )=0,8
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Exemplo Inferência FuzzyExemplo Inferência Fuzzy
Passo 2: Avaliação das regrasOu máximo e mínimo
Adequado
Regra 1:
Baixo0,0 ou
0,2
Risco
médio
Regra 2:
Alto0,25
e
0,8
Risco
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Exemplo Inferência FuzzyExemplo Inferência Fuzzy
Risco
Inadequado
Regra 3:
0,75
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Exemplo Inferência FuzzyExemplo Inferência Fuzzy
Passo 3: Defuzzificação
Cálculo do Centróide
Risco
0.75
0.25
C=(10+20+30+40 )∗0,2+(50+60+70 )∗0, 25+(80+90+100)∗0,75
0,2+0,2+0,2+0,2+0, 25+0,25+0,25+0,75+0,75+0,75=
267 ,53,8
=70 ,4
10 20 30 40 706050 1009080
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Outro Exemplo Outro Exemplo
● O sistema tem como objetivo determinar a gorjeta que um cliente deve dar.
● Esse sistema possui três variáveis (serviço, comida e gorjeta).
● As variáveis comida e serviço são variáveis de entrada e gorjeta é a variável de saída.
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Outro Exemplo Outro Exemplo
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Bibliotecas Fuzzy Bibliotecas Fuzzy
● Softwares para auxílio a projeto e implementação de Sistemas Fuzzy:– Fuzzy Toolbox do Matlab– SciFLT for Scilab (free)– X-Fuzzy (free) – FuzzyClips (free, API para Java)– FLIE (Fuzzy Logic Inference Engine) do Fabro...
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Exemplos
Softwares para auxílio a projeto e implementação de Sistemas Fuzzy: InFuzzy (desenvolvido na UNISC) Fuzzy Toolbox do Matlab NEFCON, NEFCLASS e NEFPROX... (desenvolvidos pela
Universidade de Magdeburg) disponível para download em http://fuzzy.cs.uni-magdeburg.de/ http://fuzzy.cs.uni-magdeburg.de/wiki/pmwiki.php?n=Forschung.Software
SciFLT for Scilab (free) UnFuzzy (free) FuzzyTech FuzzyClips (free, API para Java)