Interacadémiques de Bordeaux Novembre 2009 1
Atelier A1
La partie analyse en entrant par la résolution
de problèmes
Interacadémiques de Bordeaux Novembre 2009 2
Déroulement de l’atelier
Présentation Étude de deux exemples Autres exemples, échanges et
synthèse
Interacadémiques de Bordeaux Novembre 2009 3
Dans l’ancien programme (partie Calcul et fonctions)
la résolution de problèmes n’est mentionnée que dans les commentaires et apparaît davantage qu’un cadre de travail qu’un objectif de formation
d'autres fonctions telles que (…) pourront être découvertes à l'occasion de problèmes
pour un même problème, on combinera les apports des modes de résolution graphique et algébrique
on ne s'interdira pas de donner un ou deux exemples de problèmes conduisant à une équation qu'on ne sait pas résoudre ).
Interacadémiques de Bordeaux Novembre 2009 4
Dans le programme 2009, partie Fonctions, dans la colonne Capacités attendues :
Associer à un problème une expression algébrique
Identifier la forme la plus adéquate d'une expression en vue de la résolution du problème donné
Mettre un problème en équation Modéliser un problème par une inéquation Résoudre algébriquement les inéquations
nécessaires à la résolution d'un problème
Interacadémiques de Bordeaux Novembre 2009 5
La résolution de problèmes au cœur du programme
Donner du sens aux notions étudiées
Donner aux élèves l’occasion de mobiliser leurs acquis pour construire de nouvelles connaissances
Mettre tous les élèves en activité
Interacadémiques de Bordeaux Novembre 2009 6
La place des exercices techniques
L’acquisition de techniques est indispensable mais doit être au service de la pratique du raisonnement
Interacadémiques de Bordeaux Novembre 2009 7
Mais… Appliquer une technique non comprise
n’est pas une activité mathématique. La répétition d’exercices non compris
est illusoire et néfaste. Une recette n’est pas le moyen de
comprendre plus vite mais le moyen d’aller plus vite lorsque l’on a compris.
Interacadémiques de Bordeaux Novembre 2009 8
Des questions
Comment mettre en œuvre ces principes ?
Quelle incidence sur les pratiques en classe ?
Quelle progression, quels apprentissages ?
Quels outils ?
Interacadémiques de Bordeaux Novembre 2009 9
De nouvelles pratiques
Progression spiralée, décloisonnement entre les chapitres
Prise en compte de la diversité et de l’hétérogénéité des aptitudes des élèves
Favoriser la mise en place de stratégies personnelles
Interacadémiques de Bordeaux Novembre 2009 10
De nouvelles pratiques
Gestion de l’écrit, partage du temps dans l’activité de la classe
Utilisation des logiciels de calcul formel
Liens avec l’algorithmique Évaluation par compétences
Premier exemple :
Interacadémiques de Bordeaux Novembre 2009 11
Peut-on déterminer deux nombres x et y tels que : x² + y² = (x+y)² ?
Même question avec x3 + y3 = (x+y)3
Quelles sont les connaissances requises pour résoudre cet exercice?
A quel moment de l'année peut-il être proposé ?
Quels objectifs peut-on poursuivre en donnant cet exercice ? A quels points du programme peut-il être relié?
Interacadémiques de Bordeaux Novembre 2009 12
Ecrits d’élèves
Interacadémiques de Bordeaux Novembre 2009 13
Utilisation d’outils Logiciel de calcul formel Tableur Geoplanw Algorithmique
Interacadémiques de Bordeaux Novembre 2009 14
Exemple 2
ABC est un triangle isocèle de sommet A tel que AB=AC=6 cm.
Parmi les différents triangles que l'on peut construire en existe-t-il un d'aire maximale ?
Est-il possible que l'aire du triangle soit égale à 10 cm² ? à 50 cm² ?
Interacadémiques de Bordeaux Novembre 2009 15
Quelles sont les connaissances requises pour résoudre cet exercice?
A quel moment de l'année peut-il être proposé ?
Quels objectifs peut-on poursuivre en donnant cet exercice ? A quels points du programme peut-il être relié?
Peut-il donner lieu à expérimentation ? Avec quels outils ?
Interacadémiques de Bordeaux Novembre 2009 16
Exercice 3 : les cars de supporters
Une entreprise de transport possède 4 cars de 50 places chacun et se propose d'assurer le transport des supporters d’une équipe de rugby. Chaque car se loue 800 € tout compris.
1) Représenter graphiquement le prix par supporter en fonction du nombre de supporters se rendant au stade.
2) Combien l'organisateur peut-il accepter de supporters, s'il s'est engagé à ce que le prix d'une place ne dépasse pas 20€ ?
Interacadémiques de Bordeaux Novembre 2009 17
Résolutions observées utilisant l’algorithmique:
4 blocs « si…alors » Des « si..alors..sinon emboités » Utilisation de la division euclidienne
du nombre de supporters par 50 Une astuce: Utilisation de la division
euclidienne du nombre de supporters ôté de 1 par 50
Interacadémiques de Bordeaux Novembre 2009 18
Graphique sous algobox
Interacadémiques de Bordeaux Novembre 2009 19
Dernière Question
Interacadémiques de Bordeaux Novembre 2009 21
Exercice 4
ABC est un triangle isocèle de sommet A tel que AB=6 et BC=8. M est un point du segment [BC], P et Q sont les projetés orthogonaux de M sur (AB) et (AC) respectivement. Étudier comment varie la somme PM+MQ quand M se déplace sur [BC].
Interacadémiques de Bordeaux Novembre 2009 22