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Le problème du chapitre
Intégrale d’une fonction continuesur un intervalle
Intégrale et primitive d’une fonctioncontinue
Calculs de primitives
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Calcul d’aires
Les savoir-faire
180. Calculer une intégrale à l’aide d’aires simples.
181. Montrer qu’une fonction est primitive d’une fonction donnée.
182. Déterminer les primitives d’une fonction donnée.
183. Calculer une intégrale à l’aide de primitives.
184. Déterminer une aire à l’aide du calcul intégral.
185. Encadrer une intégrale.
186. Calculer et utiliser la valeur moyenne d’une fonction.
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Calcul d’aires
L’intro de Nabolos
Soit f la fonction carré définie sur l’intervalle[0 ; 1]. On note Cf sa courbe.1. Donner un encadrement grossier de l’aire A
hachurée.2. On subdivise l’intervalle [0 ; 1] en 5 inter-valles de même amplitude ∆x = 0, 2.
1
1
OSur chacun des intervalles [xk ; xk+1]avec 0 6 k < 5, on détermine la valeurminimale et maximale de la fonctioncarrée.Compléter le tableau ci-dessous et dé-terminer l’aire A1 somme des aires desrectangles hachurés et A2 somme desaires des rectangles bleus. En déduire unencadrement de A .
1
1O
xk 0 0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1f (xk )
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L’intro de Nabolos
3. On subdivise l’intervalle [0 ; 1] en n intervalles. On obtient deuxséries de rectangles et on définit deux suites :La suite (Sn) des rectangles hachurés et la suite (Tn) des rectanglesbleus.
Montrer que Sn =1
3−
1
2n+
1
6n2et Tn =
1
3+
1
2n+
1
6n2.
En déduire la valeur de A .
On rappelle que
n∑k=1
k2 =
n(n + 1)(2n + 1)
6.
1
O 1
n
2
n
...... ......k
n
k + 1
n
n
n
f
Ä
k + 1
n
ä
f
Ä
k
n
ä
Suite Sn
Suite Tn
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Intégrale d’une fonction continue
Calcul d’aires
Unité d’aire
Définition
Soit (O ; I ; J) un repère orthogo-nal du plan et K le point de coor-données (1; 1).L’aire du rectangle OIKJ définitl’unité d’aire (noté u.a).Ainsi AOIKJ = 1 u.a. I
J K
O
1 u.a
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Intégrale d’une fonction continue
Calcul d’aires
Définition
Définition
Soit f une fonction continue et positive sur [a ; b].On appelle intégrale de a à b de f , l’aire A (D) (en u.a)de la partie D du plan limitée par la courbe Cf , l’axe desabscisses et les droites d’équations x = a et x = b.
Ainsi :
∫ b
a
f (x) dx = A (D) en u.a
I
J
O
Cf
a b
D
1 u.a
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Calcul d’aires
Définition
Définition
Soit f une fonction continue et positive sur [a ; b].On appelle intégrale de a à b de f , l’aire A (D) (en u.a)de la partie D du plan limitée par la courbe Cf , l’axe desabscisses et les droites d’équations x = a et x = b.
Ainsi :
∫ b
a
f (x) dx = A (D) en u.a
I
J
O
Cf
a b
D
1 u.a
Exemple
Calculer :
∫ 5
−1
1
2x + 3 dx Vidéo
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Intégrale d’une fonction continue
Calcul d’aires
Relation de Chasles
Propriété
Additivité des aires (relation de Chasles) :Pour tous a, b et c tels que b ∈ [a ; c] :
∫ c
a
f (x) dx =
I
J
O
Cf
a cb
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Relation de Chasles
Propriété
Additivité des aires (relation de Chasles) :Pour tous a, b et c tels que b ∈ [a ; c] :
∫ c
a
f (x) dx =
∫ b
a
f (x) dx +
∫ c
b
f (x) dx
I
J
O
Cf
a cb
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Calcul d’aires
Conservation de l’ordre
Propriété
On considère deux fonctions f et g définies et continues etpositives sur un intervalle [a ; b].Si pour tout nombre réel x ∈ [a ; b], on a f (x) 6 g(x),alors :
Cf
Cg
a b
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Calcul d’aires
Conservation de l’ordre
Propriété
On considère deux fonctions f et g définies et continues etpositives sur un intervalle [a ; b].Si pour tout nombre réel x ∈ [a ; b], on a f (x) 6 g(x),alors : ∫ b
a
f (x) dx 6
∫ b
a
g(x) dx
Cf
Cg
a b
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Calcul d’aires
Lien entre intégrale et dérivée
Théorème
Soit f une fonction continue et positive sur un intervalleI = [a ; b]. La fonction F définie sur I par :
F (x) =
∫ x
a
f (t) dt est dérivable sur I et a pour dérivée f .
Cf
a bxF (x)
O
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Lien entre intégrale et dérivée
Théorème
Soit f une fonction continue et positive sur un intervalleI = [a ; b]. La fonction F définie sur I par :
F (x) =
∫ x
a
f (t) dt est dérivable sur I et a pour dérivée f .
Cf
a bxF (x)
O
Exemple
Soit F la fonction définie sur [0 ; 10] par F (x) =
∫ x
0
t
2dt. Etudier la
fonction F puis tracer sa courbe représentative. Vidéo
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Intégrale d’une fonction continue
Calcul d’aires
Primitives d’une fonction f
Théorème
Soit f une fonction continue sur un intervalle [a ; b].On appelle primitive de f sur [a ; b] toute fonction F déri-vable sur [a ; b] telle que pour tout réel x ∈ [a ; b] :
F ′(x) = f (x)
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Primitives d’une fonction f
Théorème
Soit f une fonction continue sur un intervalle [a ; b].On appelle primitive de f sur [a ; b] toute fonction F déri-vable sur [a ; b] telle que pour tout réel x ∈ [a ; b] :
F ′(x) = f (x)
Théorème
Toute fonction f continue sur un intervalle I admet des pri-mitives sur I.
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Primitives d’une fonction f
Théorème
Soit f une fonction continue sur un intervalle [a ; b].On appelle primitive de f sur [a ; b] toute fonction F déri-vable sur [a ; b] telle que pour tout réel x ∈ [a ; b] :
F ′(x) = f (x)
Théorème
Toute fonction f continue sur un intervalle I admet des pri-mitives sur I.
Théorème
Soit f une fonction continue et sur un intervalle I et F uneprimitive de f sur I.f admet une infinité de primitives Fk sur I de la forme :
Fk : x 7−→ F (x) + k avec k ∈ R
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Calcul d’aires
Tableau de primitives (1)
f (x) = F(x) = I =
m (constante) R
x R
xn
(n ∈ Z∗r {−1})
Si n 6 −2,
] − ∞; 0[ ou ]0; +∞[.
1
x2
] − ∞ ; 0[ ou]0 ; +∞[
1
2√
x]0 ; +∞[
Exemples
Dans chaque cas, déterminer une primitive F de f .
a. f (x) = 5x4 b. f (x) = 5x − 3 c. f (x) = x3− 2x Vidéo
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Tableau de primitives (1)
f (x) = F(x) = I =
m (constante) mx + k R
x R
xn
(n ∈ Z∗r {−1})
Si n 6 −2,
] − ∞; 0[ ou ]0; +∞[.
1
x2
] − ∞ ; 0[ ou]0 ; +∞[
1
2√
x]0 ; +∞[
Exemples
Dans chaque cas, déterminer une primitive F de f .
a. f (x) = 5x4 b. f (x) = 5x − 3 c. f (x) = x3− 2x Vidéo
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Tableau de primitives (1)
f (x) = F(x) = I =
m (constante) mx + k R
x1
2x2 + k R
xn
(n ∈ Z∗r {−1})
Si n 6 −2,
] − ∞; 0[ ou ]0; +∞[.
1
x2
] − ∞ ; 0[ ou]0 ; +∞[
1
2√
x]0 ; +∞[
Exemples
Dans chaque cas, déterminer une primitive F de f .
a. f (x) = 5x4 b. f (x) = 5x − 3 c. f (x) = x3− 2x Vidéo
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Tableau de primitives (1)
f (x) = F(x) = I =
m (constante) mx + k R
x1
2x2 + k R
xn
(n ∈ Z∗r {−1})
xn+1
n + 1+ k
Si n 6 −2,
] − ∞; 0[ ou ]0; +∞[.
1
x2
] − ∞ ; 0[ ou]0 ; +∞[
1
2√
x]0 ; +∞[
Exemples
Dans chaque cas, déterminer une primitive F de f .
a. f (x) = 5x4 b. f (x) = 5x − 3 c. f (x) = x3− 2x Vidéo
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Tableau de primitives (1)
f (x) = F(x) = I =
m (constante) mx + k R
x1
2x2 + k R
xn
(n ∈ Z∗r {−1})
xn+1
n + 1+ k
Si n 6 −2,
] − ∞; 0[ ou ]0; +∞[.
1
x2− 1
x+ k
] − ∞ ; 0[ ou]0 ; +∞[
1
2√
x]0 ; +∞[
Exemples
Dans chaque cas, déterminer une primitive F de f .
a. f (x) = 5x4 b. f (x) = 5x − 3 c. f (x) = x3− 2x Vidéo
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f (x) = F(x) = I =
m (constante) mx + k R
x1
2x2 + k R
xn
(n ∈ Z∗r {−1})
xn+1
n + 1+ k
Si n 6 −2,
] − ∞; 0[ ou ]0; +∞[.
1
x2− 1
x+ k
] − ∞ ; 0[ ou]0 ; +∞[
1
2√
x
√x + k ]0 ; +∞[
Exemples
Dans chaque cas, déterminer une primitive F de f .
a. f (x) = 5x4 b. f (x) = 5x − 3 c. f (x) = x3− 2x Vidéo
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Tableau de primitives (2)
cos(x) R
sin(x) R
ex
R
1
x]0 ; +∞[
Exemples
Dans chaque cas, déterminer une primitive F de f .
a. f (x) = −
2
xb. f (x) =
3
x+
1
x2c. f (x) = 4ex Vidéo
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Intégrale et primitive d’une fonctioncontinue
Calculs de primitives
Intégrale d’une fonction continue
Calcul d’aires
Tableau de primitives (2)
cos(x) sin(x) + k R
sin(x) R
ex
R
1
x]0 ; +∞[
Exemples
Dans chaque cas, déterminer une primitive F de f .
a. f (x) = −
2
xb. f (x) =
3
x+
1
x2c. f (x) = 4ex Vidéo
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cos(x) sin(x) + k R
sin(x) − cos(x) + k R
ex
R
1
x]0 ; +∞[
Exemples
Dans chaque cas, déterminer une primitive F de f .
a. f (x) = −
2
xb. f (x) =
3
x+
1
x2c. f (x) = 4ex Vidéo
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cos(x) sin(x) + k R
sin(x) − cos(x) + k R
ex
ex + k R
1
x]0 ; +∞[
Exemples
Dans chaque cas, déterminer une primitive F de f .
a. f (x) = −
2
xb. f (x) =
3
x+
1
x2c. f (x) = 4ex Vidéo
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cos(x) sin(x) + k R
sin(x) − cos(x) + k R
ex
ex + k R
1
xln(x) + k ]0 ; +∞[
Exemples
Dans chaque cas, déterminer une primitive F de f .
a. f (x) = −
2
xb. f (x) =
3
x+
1
x2c. f (x) = 4ex Vidéo
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u est une fonction dérivable sur un intervalle I.
f (x) = F(x) = Conditions
u′ un avecn ∈ Z
∗r {−1}
Si n 6 −2,u(x) 6= 0.
u′
2√
uu(x) > 0 sur I
u′
u2u(x) 6= 0 sur I
u′e
u Aucune
u′
uu(x) > 0 sur I
Exemples
Dans chaque cas, déterminer une primitive F de f .
a. f (x) = xex2
b. f (x) = e4x+1 Vidéo
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u est une fonction dérivable sur un intervalle I.
f (x) = F(x) = Conditions
u′ un avecn ∈ Z
∗r {−1}
un+1
n + 1+ k
Si n 6 −2,u(x) 6= 0.
u′
2√
uu(x) > 0 sur I
u′
u2u(x) 6= 0 sur I
u′e
u Aucune
u′
uu(x) > 0 sur I
Exemples
Dans chaque cas, déterminer une primitive F de f .
a. f (x) = xex2
b. f (x) = e4x+1 Vidéo
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u est une fonction dérivable sur un intervalle I.
f (x) = F(x) = Conditions
u′ un avecn ∈ Z
∗r {−1}
un+1
n + 1+ k
Si n 6 −2,u(x) 6= 0.
u′
2√
u
√u + k u(x) > 0 sur I
u′
u2u(x) 6= 0 sur I
u′e
u Aucune
u′
uu(x) > 0 sur I
Exemples
Dans chaque cas, déterminer une primitive F de f .
a. f (x) = xex2
b. f (x) = e4x+1 Vidéo
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u est une fonction dérivable sur un intervalle I.
f (x) = F(x) = Conditions
u′ un avecn ∈ Z
∗r {−1}
un+1
n + 1+ k
Si n 6 −2,u(x) 6= 0.
u′
2√
u
√u + k u(x) > 0 sur I
u′
u2− 1
uu(x) 6= 0 sur I
u′e
u Aucune
u′
uu(x) > 0 sur I
Exemples
Dans chaque cas, déterminer une primitive F de f .
a. f (x) = xex2
b. f (x) = e4x+1 Vidéo
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f (x) = F(x) = Conditions
u′ un avecn ∈ Z
∗r {−1}
un+1
n + 1+ k
Si n 6 −2,u(x) 6= 0.
u′
2√
u
√u + k u(x) > 0 sur I
u′
u2− 1
uu(x) 6= 0 sur I
u′e
ue
u + k Aucune
u′
uu(x) > 0 sur I
Exemples
Dans chaque cas, déterminer une primitive F de f .
a. f (x) = xex2
b. f (x) = e4x+1 Vidéo
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Fonctions composées
u est une fonction dérivable sur un intervalle I.
f (x) = F(x) = Conditions
u′ un avecn ∈ Z
∗r {−1}
un+1
n + 1+ k
Si n 6 −2,u(x) 6= 0.
u′
2√
u
√u + k u(x) > 0 sur I
u′
u2− 1
uu(x) 6= 0 sur I
u′e
ue
u + k Aucune
u′
uln(u) + k u(x) > 0 sur I
Exemples
Dans chaque cas, déterminer une primitive F de f .
a. f (x) = xex2
b. f (x) = e4x+1 Vidéo
![Page 34: Intégration - Freemathgm.free.fr/.../TS/cours_exercices/chap12_integration.pdfOn subdivise l’intervalle [0 ; 1] en 5 inter-valles de même amplitude ∆x = 0,2. 1 1 O Sur chacun](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081406/5f16c9f169fe5d28383b5075/html5/thumbnails/34.jpg)
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Propriété
Primitive sous condition initiale
Soit f une fonction continue et définie sur un intervalle I.Pour tout réel x0 de I et tout y0 ∈ R, il existe une uniqueprimitive G de f vérifiant la condition initiale :
G(x0) = y0
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Primitive sous condition initiale
Soit f une fonction continue et définie sur un intervalle I.Pour tout réel x0 de I et tout y0 ∈ R, il existe une uniqueprimitive G de f vérifiant la condition initiale :
G(x0) = y0
Exemples
Soit la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par : f (x) = 2ex +
3
x− 5x .
Déterminer la primitive de f qui prend la valeur 2e en 1. Vidéo
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Théorème
Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle[a ; b] et F une primitive de f sur [a ; b]. Alors :
∫ b
a
f (x) dx = F (b) − F (a)
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Définition
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et F uneprimitive de f sur I. Pour tous réels a et b de I, on définitl’intégrale de a à b de la fonction f par :
∫ b
a
f (x) dx = F (b) − F (a)
Remarques :• Une intégrale n’est pas forcément positive : elle ne corres-pond plus à l’aire d’un domaine.
• Lorsque f est une fonction continue et positive sur un inter-
valle [a ; b], le nombre∫ b
af (x) dx est positif et correspond à
l’aire du domaine délimité par sa courbe représentative, l’axedes abscisses et les droites d’équations x = a et x = b.• Une intégrale ne dépend pas de la primitive choisie pourla calculer.
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Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle et a, b
et c trois réels de I.
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Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle et a, b
et c trois réels de I.∫ a
b
f (x) dx =
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Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle et a, b
et c trois réels de I.∫ a
b
f (x) dx = −∫ b
a
f (x) dx
Relation de Chasles :∫ c
a
f (x) dx =
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Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle et a, b
et c trois réels de I.∫ a
b
f (x) dx = −∫ b
a
f (x) dx
Relation de Chasles :∫ c
a
f (x) dx =
∫ b
a
f (x) dx +
∫ c
b
f (x) dx
Linéarité :∫ b
a
(f (x) + g(x)) dx =
Pour tout λ ∈ R :
∫ b
a
λf (x) dx =
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Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle et a, b
et c trois réels de I.∫ a
b
f (x) dx = −∫ b
a
f (x) dx
Relation de Chasles :∫ c
a
f (x) dx =
∫ b
a
f (x) dx +
∫ c
b
f (x) dx
Linéarité :∫ b
a
(f (x) + g(x)) dx =
∫ b
a
f (x) dx +
∫ b
a
g(x) dx
Pour tout λ ∈ R :
∫ b
a
λf (x) dx =
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Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle et a, b
et c trois réels de I.∫ a
b
f (x) dx = −∫ b
a
f (x) dx
Relation de Chasles :∫ c
a
f (x) dx =
∫ b
a
f (x) dx +
∫ c
b
f (x) dx
Linéarité :∫ b
a
(f (x) + g(x)) dx =
∫ b
a
f (x) dx +
∫ b
a
g(x) dx
Pour tout λ ∈ R :
∫ b
a
λf (x) dx = λ
∫ b
a
f (x) dx
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Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b].
ATTENTION ! La réciproque de chacun de ces trois pointsest fausse !
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Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b].
Si f est positive sur [a ; b], alors
ATTENTION ! La réciproque de chacun de ces trois pointsest fausse !
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Si f est positive sur [a ; b], alors
∫ b
a
f (x) dx > 0.
ATTENTION ! La réciproque de chacun de ces trois pointsest fausse !
![Page 47: Intégration - Freemathgm.free.fr/.../TS/cours_exercices/chap12_integration.pdfOn subdivise l’intervalle [0 ; 1] en 5 inter-valles de même amplitude ∆x = 0,2. 1 1 O Sur chacun](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081406/5f16c9f169fe5d28383b5075/html5/thumbnails/47.jpg)
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Le problème du chapitre
Intégrale d’une fonction continuesur un intervalle
Intégrale et primitive d’une fonctioncontinue
Calculs de primitives
Intégrale d’une fonction continue
Calcul d’aires
Intégrales et primitives
Propriétés
Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b].
Si f est positive sur [a ; b], alors
∫ b
a
f (x) dx > 0.
Si f est négative sur [a ; b], alors
ATTENTION ! La réciproque de chacun de ces trois pointsest fausse !
![Page 48: Intégration - Freemathgm.free.fr/.../TS/cours_exercices/chap12_integration.pdfOn subdivise l’intervalle [0 ; 1] en 5 inter-valles de même amplitude ∆x = 0,2. 1 1 O Sur chacun](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081406/5f16c9f169fe5d28383b5075/html5/thumbnails/48.jpg)
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Intégrale et primitive d’une fonctioncontinue
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Intégrale d’une fonction continue
Calcul d’aires
Intégrales et primitives
Propriétés
Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b].
Si f est positive sur [a ; b], alors
∫ b
a
f (x) dx > 0.
Si f est négative sur [a ; b], alors
∫ b
a
f (x) dx 6 0.
ATTENTION ! La réciproque de chacun de ces trois pointsest fausse !
![Page 49: Intégration - Freemathgm.free.fr/.../TS/cours_exercices/chap12_integration.pdfOn subdivise l’intervalle [0 ; 1] en 5 inter-valles de même amplitude ∆x = 0,2. 1 1 O Sur chacun](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081406/5f16c9f169fe5d28383b5075/html5/thumbnails/49.jpg)
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Intégrale d’une fonction continuesur un intervalle
Intégrale et primitive d’une fonctioncontinue
Calculs de primitives
Intégrale d’une fonction continue
Calcul d’aires
Intégrales et primitives
Propriétés
Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b].
Si f est positive sur [a ; b], alors
∫ b
a
f (x) dx > 0.
Si f est négative sur [a ; b], alors
∫ b
a
f (x) dx 6 0.
Si f 6 g sur [a ; b], alors
ATTENTION ! La réciproque de chacun de ces trois pointsest fausse !
![Page 50: Intégration - Freemathgm.free.fr/.../TS/cours_exercices/chap12_integration.pdfOn subdivise l’intervalle [0 ; 1] en 5 inter-valles de même amplitude ∆x = 0,2. 1 1 O Sur chacun](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081406/5f16c9f169fe5d28383b5075/html5/thumbnails/50.jpg)
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Intégrale et primitive d’une fonctioncontinue
Calculs de primitives
Intégrale d’une fonction continue
Calcul d’aires
Intégrales et primitives
Propriétés
Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b].
Si f est positive sur [a ; b], alors
∫ b
a
f (x) dx > 0.
Si f est négative sur [a ; b], alors
∫ b
a
f (x) dx 6 0.
Si f 6 g sur [a ; b], alors
∫ b
a
f (x) dx 6
∫ b
a
g(x) dx .
ATTENTION ! La réciproque de chacun de ces trois pointsest fausse !
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Intégrale d’une fonction continuesur un intervalle
Intégrale et primitive d’une fonctioncontinue
Calculs de primitives
Intégrale d’une fonction continue
Calcul d’aires
Exemples
Exemples
1. Calculer
∫ 4
1
3
x2dx Vidéo
2. Calculer
∫ 5
2
(3x2 + 4x − 5)dx Vidéo
3. Calculer
∫ 1
0
ex
ex + 3dx Vidéo
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Intégrale d’une fonction continuesur un intervalle
Intégrale et primitive d’une fonctioncontinue
Calculs de primitives
Intégrale d’une fonction continue
Calcul d’aires
Avec une fonction négative
Propriété
Soit f une fonction continue et négative sur un intervalle[a ; b]. L’aire A (D) (en u.a) du domaine D du plan délimitépar la courbe Cf , l’axe des abscisses et les droites d’équationsx = a et x = b est égale à :
A (D) =
∫ b
a
−f (x) dx = −∫ b
a
f (x) dx en u.a
I
J
Oa b
D
y = −f (x)
Cf : y = f (x)
1 u.a1 u.a
A (D) =∫ b
a−f (x) dx
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Intégrale d’une fonction continuesur un intervalle
Intégrale et primitive d’une fonctioncontinue
Calculs de primitives
Intégrale d’une fonction continue
Calcul d’aires
Aire entre deux courbes
Propriété
Soit f et g deux fonctions continues sur [a ; b] telles quef > g sur [a ; b].L’aire (en unités d’aire) du domaine compris entre lescourbes Cf et Cg et les droites d’équations x = a et x = b
est égale à
A (D) =
I
J
O
Cf
Cg
a b
D
1 u.a1 u.a
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Intégrale d’une fonction continuesur un intervalle
Intégrale et primitive d’une fonctioncontinue
Calculs de primitives
Intégrale d’une fonction continue
Calcul d’aires
Aire entre deux courbes
Propriété
Soit f et g deux fonctions continues sur [a ; b] telles quef > g sur [a ; b].L’aire (en unités d’aire) du domaine compris entre lescourbes Cf et Cg et les droites d’équations x = a et x = b
est égale à
A (D) =
∫ b
a
(f (x) − g(x)) dx
I
J
O
Cf
Cg
a b
D
1 u.a1 u.a
![Page 55: Intégration - Freemathgm.free.fr/.../TS/cours_exercices/chap12_integration.pdfOn subdivise l’intervalle [0 ; 1] en 5 inter-valles de même amplitude ∆x = 0,2. 1 1 O Sur chacun](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022081406/5f16c9f169fe5d28383b5075/html5/thumbnails/55.jpg)
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Intégrale d’une fonction continuesur un intervalle
Intégrale et primitive d’une fonctioncontinue
Calculs de primitives
Intégrale d’une fonction continue
Calcul d’aires
Valeur moyenne
Définition
On considère une fonction f définie et continue sur un inter-valle [a ; b]. On appelle valeur moyenne de f entre a et b lenombre µ tel que :
µ =1
b − a
∫ b
a
f (x) dx
O
Cf
a b
µ
Remarque : Dans le cas où f est strictement positive sur[a ; b], la valeur moyenne de f correspond à la hauteur durectangle de largeur (b−a) ayant la même aire que le domainesous la courbe Cf .
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Le problème du chapitre
Intégrale d’une fonction continuesur un intervalle
Intégrale et primitive d’une fonctioncontinue
Calculs de primitives
Intégrale d’une fonction continue
Calcul d’aires
Exemples
Aires
On considère les fonctions f et g définies par :f (x) = x2 + 1 et g(x) = −x2 + 2x + 5. Déterminer
l’aire délimitée par les courbes de f et g sur [−1 ; 2]. Vidéo
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Intégrale d’une fonction continuesur un intervalle
Intégrale et primitive d’une fonctioncontinue
Calculs de primitives
Intégrale d’une fonction continue
Calcul d’aires
Exemples
Aires
On considère les fonctions f et g définies par :f (x) = x2 + 1 et g(x) = −x2 + 2x + 5. Déterminer
l’aire délimitée par les courbes de f et g sur [−1 ; 2]. Vidéo
Valeur moyenne
On modélise à l’aide d’une fonction le nombre de malades lorsd’une épidémie. Au x -ième jour, le nombre de malades est égal à :f (x) = 16x2
− x3.Déterminer le nombre moyen de malades sur la période 16 jours. Donner
une interprétation graphique du résultat. Vidéo
0
100
200
300
400
500
0 2 4 6 8 10 12 14 16Jours
Mala
des
Cf