Download - Introdução à Lógica de Predicados
LÓGICA MATEMÁTICA
CURSO: Sistemas de Informação
1º PERÍODO
CENTRO UNIVERSITÁRIO – CESMAC FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS - FACET
Objetivo da Aula
• A aula de hoje tem como objetivo uma introdução sobre a Lógica de Predicados
• Assim, uma introdução sobre a linguagem da Lógica de Predicados
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Sumário
• Introdução
• Conceito
• Alfabeto
• Fórmulas
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Conteúdo Programático
• Lógica Proposicional: – Sintaxe
– Semântica
– Propriedades Semânticas
– Método para determinação da validade de fórmulas
• Lógica de Predicados: – Sintaxe
– Semântica
– Propriedades Semânticas
– Resolução.
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Introdução
• O que lhe lembram Predicado?
–Uma regra da nossa gramática
–Análise Sintática
– Sujeito, Verbo, Predicado...
• Ao iniciar uma análise simples do sujeito e o verbo.
– Ex.: João trabalha
Pedro estuda
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Introdução
• Sujeito - Elemento da oração a respeito do qual damos alguma informação. Seu núcleo (palavra mais importante) pode ser um substantivo, pronome ou palavra substantivada.
• Tipos de sujeitos:
– Simples
– Composto
– Oculto, elíptico ou desinencial
– Indeterminado
– Inexistente ou oração sem sujeito
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Introdução
• Verbo - é a palavra que exprime um fato (geralmente uma ação, estado ou fenômeno da natureza) e localiza-o no tempo, usados também para ligar o sujeito ao predicado.
• Predicado - É tudo aquilo que se informa sobre o sujeito, e é estruturado em torno de um verbo. Ele sempre concorda em número e pessoa com o sujeito.
• Há também tipos de predicados, mas não são relevantes para nós.
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Introdução
• Exemplos:
– João é pardo.
Sujeito + predicado
– Mário e Mauro são irmãos.
Sujeito + Conjunção + Sujeito + Predicado
– Eu estou feliz.
Sujeito + Predicado
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Conceito
• É mais rica do que a Lógica Proposicional
• Além de conter objetos da Proposicional, mais quantificadores, símbolos funcionais e de predicados fazem parte
• Comentam ser uma extensão da Lógica Proposicional
• Mas, afinal, por que?
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Conceito
• Também denominada Lógica de Primeira Ordem
• Há uma analogia e semelhança mais próxima à realidade da computação
• Ainda, na Lógica Proposicional são limitados os quantificadores e objetos
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Conceito
“Todo aluno de Análise de Sistema é nerd. João é aluno de Análise de Sistema. Logo, João é nerd.”
“Qualquer um para a lateral direita.”
• Existe quantificadores para “todo” e “qualquer”?
• São consideradas também funções, predicados e variáveis, de forma análoga ao Cálculo diferencial
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Alfabeto
• Símbolos de pontuação: ,
• Símbolo de verdade: true ou false
• Conjunto enumerável de símbolos para variáveis: x, y, z...
• Conjunto enumerável de símbolos para funções: f, g, h
• Conjunto enumerável de símbolos para predicados: p, q, r, p2, q2, r2....
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Fórmulas
• Muitos dos elementos da Lógica proposicional foram incorporados
• Existem infinitos símbolos
• As fórmulas são formadas por:
a) variáveis
b) Funções e predicados
c) constantes
d) conectivos
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Fórmulas
a) Variáveis • Sintaticamente iguais às constantes • Análogo a linguagens de programação
Exemplo: x, y, z b) Funções Semelhante a função em programação, recebe um ou mais argumentos e produz uma resposta, um elemento do domínio como um número ou um objeto. Exemplo: soma(x,y)
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Fórmulas
Ex.: +(3,4)
pai_de(João)
Predicados
Semelhante a uma função em programação com resposta booleana, a resposta será sempre verdadeiro ou falo. Utilizado para representar relações
• Exemplo: irmao(x, y), pai(x,y), vizinho(x,y)
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Fórmulas
c) Constantes
• Dão nomes as coisas particulares
• Exemplo: Rubens, Brasília, Arapiraca
d) Conectivos
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Fórmulas
• Como na lógica proposicional, liga-se as sentenças atômicas com os conectivos : e, ou, se...então, não, se e somente.
• Com os quantificadores e variáveis se aplica o mesmo princípio
• Na tradução:
João gosta de Maria e ela o adora.
gosta(João, Maria) ^ adora(Maria, João).
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Fórmulas
• O tratamento de pronomes é muito relevante na formação das fórmulas
• “algo”, “todo mundo”, “nada”, “ele”, “ela”...
• Se os pronomes estão ligados por um conectivo trate-os antes do conectivo.
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Fórmulas
• Simbolização – x, y, z, ...
Minúsculas para os sujeitos
– P, Q, R, ...
Maiúsculas para os predicados
– Ex.: João é professor
a = João
P = professor
Pa
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Fórmulas
– Ex. 2:
– Existem sábios
∃x .sábios(x)
- Todos os homens são sábios
∀x = Todos os
∀x.homens(x). Sx.sábios(x)
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Fórmulas
∀ - “para qualquer”, “qualquer um”, “para cada”, “cada objeto”, “tudo”, “qualquer coisa”,...
∃ - “para algum”, “alguns”, “há pelo menos um”, “algum objeto”, “alguma coisa”....
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Fórmulas
– Ex.:
Há pelo menos um objeto humano e sábio
∃x.(humano(x) ^ sábio(x))
*Como regra geral, pode-se dizer que
∀ se faz acompanhado de ->
∃ se faz acompanhado de .
• Por que isso?
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Fórmulas
• Todos os homens são sábios
• Consequência:
– Dado um objeto qualquer, se é humano, é sábio
– Dado um x qualquer do universo, se x é homem, x é sábio
– Dado um x qualquer do universo, x homem -> x sábio
∀x(Hx -> Sx)
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Fórmulas
• Exemplos – Os astronautas são bem treinados.
∀x(Ax -> Tx)
– Alguns senhores são ingênuos ou mal assessorados
∀x(Ix v Mx)
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Exercícios
• Traduza as frases para a fórmula de lógica de predicados.
a) Todo professor é funcionário
b) Alguns alunos são funcionários
c) Se alguém matou Maria, este alguém também matou João
d) Todo número primo maior do que 2 é ímpar
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E na próxima aula...
• Continuaremos os conceitos básicos de lógica...
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E por hoje...
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• Obrigado!
• Até a próxima aula!
• Não esqueçam de assinar a lista de presença!