Introdução à Lógica Matemática
Lógica e Sistemas Difusos(Fuzzy)
João Marques Salomão
Curso de Engenharia Elétrica
Coordenadoria de Eletrotécnica
CEFET-ES
Introdução a Lógica Matemática - 2007/1 – p. 1/24
Histórico e Introdução à lógica Fuzzy
Loft A. Zadeh (Univ. Berkeley - Califórnia) em 1965 introduziu elementos de uma teoria chamado-os de “Conjuntos Fuzzy”.
Na década de 70 Zadeh iniciou a extensão de seus elementos teóricos para o que passou a chamar “lógica fuzzy”.
A “lógica fuzzy” apresentou um grande avanço nos anos 80, em especial no Japão.
É uma técnica baseada em graus de verdade:- os valores 0 (F) e 1(V) ficam nas extremidades.- inclui os vários niveis/estados de verdade entre 0 e 1.
A Teoria de conjuntos Fuzzy permite especificar quão bem um objeto satisfaz uma descrição vaga.
Características da Lógica Fuzzy 1/2Características da Lógica Fuzzy 1/2 Lógica convencional: sim ou não, verdadeiro ou
falso, tudo ou nada.
Lógica Fuzzy (difusa ou nebulosa): – Refletem o que as pessoas pensam– Tenta modelar o nosso senso de palavras, tomada de
decisão ou senso comum.
Trabalha com uma grande variedade de informações vagas e incertas, as quais podem ser traduzidas por expressões do tipo: a maioria, mais ou menos, talvez, etc.
Características da Lógica Fuzzy 2/2Características da Lógica Fuzzy 2/2 Antes do surgimento da lógica fuzzy informações vagas não
tinham como ser processadas
A lógica fuzzy contém como casos especiais não só os sistemas lógicos binários, como também os multi-valorados
A lógica fuzzy vem sendo aplicada em diversas áreas, tais como:– Análise de dados;– Construção de sistemas especialistas;– Controle e otimização de processos;– Reconhecimento de padrões, etc.
Ela á baseada em um conjunto de princípios matemáticos para a representação do conhecimento baseado no grau de pertinência dos termos
Conjuntos Fuzzy (1/4)Conjuntos Fuzzy (1/4)• Um conjunto fuzzy permite a representação de conceitos
qualitativos definidos por fronteiras difusas, como as que surgem
na linguagem natural.
• Conjuntos difusos (fuzzy) permitem a passagem da pertinência
de um elemento para a não-pertinência de forma gradual, em
contraposição à forma abrupta dos conjuntos usuais.
• Um conjunto fuzzy (Af) é entendido como uma função de
pertinência (fA) de domínio V (universo de discurso), no intervalo
de números reais [0,1].
• fA (x) associa a cada xV um número
real no intervalo [0,1] cujo valor indica
o grau de pertinência de x em V.
: [0,1]
( )A
A
f V
x f x
Conjuntos Fuzzy (2/4)Conjuntos Fuzzy (2/4)• Conceitos Iniciais: Um conjunto fuzzy (Af) é determinado por
uma função, então ele é representado por um conjunto de pares
ordenados onde o primeiro elemento pertence a V (universo de
discurso), e o segundo indica seu grau pertinência em Af:
Exemplo: Seja: V = {x | x são pessoas com idade entre 0 e 100 anos.
Af = conjunto das idades de pessoas jovens.
então o grau pertinência pode ser da forma:
( ){( , ) | [0,1]}A afA a onde a V ef
2 1( ) ((1 ( ) )30xx
Conjuntos Fuzzy (3/4)Conjuntos Fuzzy (3/4) Um conjunto fuzzy é totalmente caracterizado por sua função Um conjunto fuzzy é totalmente caracterizado por sua função
de pertinência (MF).de pertinência (MF).
A função de pertinênciaunção de pertinência: Reflete o conhecimento que se tem em relação a intensidade com que o objeto pertence ao conjunto fuzzy.
– Métodos para adquirir esse conhecimento do especialista– Ex: Perguntar ao especialista se vários elementos pertencem a um
conjunto Conjuntos com limites imprecisos
– Exemplo: A = Conjunto de pessoas altas
Altura(m)
1.75
1.0
Conjunto Clássico
1.0
Função depertinência
Altura(m)
1.60 1.75
.5
.9
Conjunto Fuzzy
.8
1.70
Conjuntos Fuzzy (4/4)Conjuntos Fuzzy (4/4) Conceitos Básicos (pag. 193):
Sejam dois conjuntos fuzzy Af e Bf em V, então:1. Eles são iguais (Af =f Bf) se: (x V) fA (x) = fB (x).2. Bf é um subconjunto de Af (Bf está contido em Af ou
Bf f Af ) se: (x V) fB (x) ≤ fA (x).
3. O conjunto fuzzy vazio (ou zero) é dado pela função constante zero: f = 0f =def f(x) = 0, (x V).
4. O conjunto fuzzy universo (ou unidade) é dado pela função constante um: 1f = V =def fV(x) = 1, (x V) .
Gra
u d
e P
erti
nên
cia
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
B está contido em A
A
B
Operações com Conjuntos Fuzzy (1/5)Operações com Conjuntos Fuzzy (1/5) União (pag. 194): a união entre dois conjuntos fuzzy A e B é
um outro conjunto fuzzy A f B, tal que, para cada x V, o seu grau de pertinência no conjunto união é o valor máximo (supremo) entre fA (x) e fB (x). Isto é:
Exemplo: Sejam
- V = um conjunto de pontos (conjunto universo)
- A e B conjuntos contidos em V
fA
( ) ( ,max( ( ), ( )) | )f f f A BA B x x f x f x x V
fB
A f B
Operações com Conjuntos Fuzzy (2/5)Operações com Conjuntos Fuzzy (2/5)A Intersecção entre dois conjuntos fuzzy A e B é um outro conjunto fuzzy A f B, tal que, para cada x V, o seu grau de pertinência é o valor mínimo (ínfimo) entre fA (x) e fB (x). Isto é:
Exemplo: Sejam - V = um conjunto de pontos (conjunto universo)- A e B conjuntos contidos em V
fAfB
( ) ( ,min( ( ), ( )) | )f A BA B x x f x f x x V
A f B
Operações com Conjuntos Fuzzy (3/5)Operações com Conjuntos Fuzzy (3/5) Exemplos (União/Interseção, pag. 194):
1 -Sejam V = {x1, x2, x3, x4}
A = { (x1, 0.1); (x2, 1); (x3, 0.8); (x4, 0)}
B = { (x1, 0.7); (x2, 0.4); (x3, 0.9); (x4, 0.1)}
União Fuzzy: A f B = { (x1, 0.7); (x2, 1); (x3, 0.9); (x4, 0.1)}
Interseção Fuzzy: A f B = { (x1, 0.1); (x2, 0.4), (x3, 0.8), (x4, 0)}
2 –Outra forma de representar: Sejam V = {a, b, c, d, e}
A = {1/a, 0.7/b, 0.3/c, 0/d, 0.9/e}
B = {0.2/a, 0.9/b, 0.4/c, 1/d, 0.4/e}
União Fuzzy: A f B = {1/a, 0.9/b, 0.4/c, 1/d, 0.9/e}
Interseção Fuzzy: A f B = {0.2/a, 0.7/b, 0.3/c, 0/d, 0.4/e}
Operações com Conjuntos FuzzyOperações com Conjuntos Fuzzy (4/5)(4/5)O complemento (pag. 195/196): de um
conjunto fuzzy A (~A) no domínio V é determinado por: ( ) 1 ( ), ( )A Af x f x x V
A diferença entre dois conjuntos fuzzy A e B (A –f B) no domínio V é definida por:
0, ( ) ( )
( )
( ) ( ), ( ) ( )
A B
A B
A B A B
se f x f x
f x
f x f x se f x f x
fA
~A
Exemplo: Sejam V = {x1, x2, x3, x4}; A = { (x1, 0.1); (x2, 1), (x3, 0.8), (x4, 0)} eB = { (x1, 0.7); (x2, 0.4), (x3, 0.9), (x4, 0.1)}
Complemento:~A = { (x1, 0.9); (x2, 0), (x3, 0.2), (x4, 1)}; ~B = { (x1, 0.3); (x2, 0.6), (x3, 0.1), (x4, 0.9)}
Diferença:A -f B = { (x1, 0); (x2, 0.6), (x3, 0), (x4, 0)}
Operações com Conjuntos Fuzzy (5/5)Operações com Conjuntos Fuzzy (5/5) Resumo das operações:
(a) Conjuntos Fuzzy A e B (b) Conjunto Fuzzy ~A (não “A”)
0
0.2
0.4
0.60.8
1A B
0
0.2
0.4
0.60.8
1
0
0.2
0.40.6
0.8
1
(c) Conjunto Fuzzy A f B ("A ou B“)
0
0.2
0.40.6
0.8
1
(d) Conjunto Fuzzy A f B ("A e B“)
Álgebra dos conjuntos Fuzzy (1/4)Álgebra dos conjuntos Fuzzy (1/4)
As propriedades padrões Reflexiva, Comutativa, Idempotência Associativa, Distributiva, etc. são também válidas para os conjuntos fuzzy (ver demonstrações na pag. 197):
Reflexiva: A f A, pois fAf A = fA fA = fA
Anti-simétrica: se A f B e B f A fA= fB
Transitiva: se A f B e B f C A f C
Princípio da dualidade: “todo resultado obtido dos axiomas anteriores são válidos se trocarmos f por f e os elementos f por V e vice-versa”.
Idempotência: A f A = A e A f A = A
Comutativa: A f B = B f A e A f B = B f A
Álgebra dos conjuntos Fuzzy (2/4)Álgebra dos conjuntos Fuzzy (2/4)
Associativa: A f (B f C) = (A f B) f C = A f B f C A f (B f C) = (A f B) f C = A f B f C
Absorção: A f (A f B) = A eA f (A f C)=A
Distributiva: A f (B f C) = (A f B) f (A f C) A f (B f C) = (A f B) f (A
f C)
Exceção: ~A f A f e~A f A X
(ver demonstrações na pag. 198).
Álgebra dos conjuntos Fuzzy (3/4)Álgebra dos conjuntos Fuzzy (3/4)
Leis de De Morgan: 1) (A f B)’ = A’ f B’.
(pág. 200) 2) (A f B)’ = A’ f B’ . O produto algébrico de dois conjuntos fuzzy A e B (A.B) é
definido pelas funçoes de pertinências de ambos como: fAB = fA .fB
A soma algébrica fuzzy (A+B) é definida pelas funçoes de pertinências de ambos como: fA+B = fA + fB- fAB
A diferença absoluta fuzzy |A-B| é definida pelas funçoes de pertinências de ambos como: f|A-B| = |fB- fA |
Ex: Dados: A = { (x1, 0.9); (x2, 0.3); (x3, 0.1)} e
B = { (x1, 1); (x2, 0.5); (x3, 0.8)}, determine A.B, A+B e |A-B|
(ver demonstrações na pag. 200/2001).
Relações com conjuntos Fuzzy 1/2Relações com conjuntos Fuzzy 1/2
• O produto cartesiano fuzzy entre o conjunto A com domínio U e o conjunto B com domínio V é definido por:
{(( , ), ( ) ( )) | , }f A BXA B u v f u f v u U v V
Ex: Sejam U = {a, b} e V = {1, 2, 3} os domínios dos conjuntos fuzzy A = { (a, 0.5); (b, 0.8))} e B = { (1, 0.2); (2, 1); (3, 0.6)}, determine A Xf B.
Sol:
A Xf B = { ((a, 1), 0.2); ((a, 2), 0.5); ((a, 3), 0.5); ((b, 1), 0.2); ((b, 2), 0.8); ((b,3), 0.6)}.
(ver pag. 202).
Relações com conjuntos Fuzzy 2/2Relações com conjuntos Fuzzy 2/2
• Relação Fuzzy Rf de A em B é um subconjunto de A Xf B onde um fR associa a cada par (x,y) o seu grau de pertinência fR(x,y) em Rf. Assim, fR(x,y) ≤ fA (x) fB (x).
• Suporte de A é o conjunto dado por:
• Domínio da relação Rf :
• Imagem da relação Rf :
• Exemplo da pag. 203.
( ) ( ) ( , )Dom x x Rf x Sup f x y
( ) { / ( ) 0}ASup A x x V e f x
( ) ( ) ( , )Im R y Rf y Sup f x y
Variáveis Lingüísticas (1/2)Variáveis Lingüísticas (1/2) Uma variável lingüística possui valores que não são números,
mas sim palavras ou frases na linguagem natural. Ela é caracterizada por uma quíntupla (N, Gr, V, T(N), S(N)), onde:– N é o nome da variável; – Gr é uma regra sintática que permite gerar valores
lingüísticos; – U é o universo de discurso; – T(N) é o conjunto dos termos em N;– S(N) é uma regra semântica que associa a cada termo x de
N gerado por V o seu significado S(x) dentro do intervalo [0, 1].
Exemplo:T(idade) = {muito jovem, jovem, meia idade, velho,
muito velho...} e V = [0, 100] em anos.
Variáveis Lingüísticas (2/2)Variáveis Lingüísticas (2/2)
( 5) / 25 5 30( )
(50 ) / 20 30 50j
x para xf x
x para x
1 0 5( )
(30 ) / 25 5 30mj
para xf x
x para x
No exemplo anterior, as funções de pertinência (ver gráfico da página 208) poderiam ser:
( 30) / 20 30 50( )
(70 ) / 20 50 70mi
x para xf x
x para x
( 50) / 20 50 70( )
(95 ) / 25 70 95v
x para xf x
x para x
( 70) / 25 70 95( )
1 95 100mv
x para xf x
para x
Modificadores (Hedges)Modificadores (Hedges)• Termos que são usados
para modificar a forma dos conjuntos fuzzy– Muito, algo mais ou
menos, um pouco• São universais• Compostos de nome e
fórmula• Muito:
• Extremamente
2)()( xx AMA
3)()( xx AMA
Muito muito
Um pouco
Mais ou menos
Indeed (exatamente)
4)()( xx AMA
3,1)()( xx AMA
)()( xx AMA
15,0,)(121)(
5,00,)(*2)(2
2
xx
xx
AMA
AMA
Regras Fuzzy (1/2)Regras Fuzzy (1/2) As variáveis ligüísticas permitem que a linguagem da
modelagem fuzzy expresse a semântica usada por especialistas. Exemplo:
If projeto.duração is não muito LONGOthen risco is ligeiramente reduzido.
Consistem de:– Um conjunto de condições IF
(usando conectivos and, or ou not)– uma conclusão THEN– uma conclusão opcional ELSE
Exemplo: Velocidade [0,220] Baixa, Média e alta
1. Se velocidade > 100 Então DPP é 30 metros
2. Se velocidade < 40 Então DPP é 10 metros
1. Se velocidade é alta Então DPP é longa
2. Se velocidade é baixa Então DPP é curta
Regras Fuzzy (2/2)Regras Fuzzy (2/2) E o raciocínio como deve ser encadeado?
– Avaliar o(s) antecedente(s)– Aplicar o resultado ao conseqüente– As regras são ativadas parcialmente, dependendo do
antecedente– Exemplo: Se a altura é alta, o peso é pesado (altura =1.85, peso = ?)
1.85
.5
.75
.1
Alto
90
.5
.75
.1
Pesado
FIM