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Introducao aos Metodos de Prova
Renata de Freitas e Petrucio VianaIME-UFF, Niteroi/RJ
II Coloquio de Matematica da Regiao SulUEL, Londrina/PR
24 a 28 de abril 2012
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Sumario
• Provas servem, principalmente, para convencer os outros.
I Enunciados.
I Metodos de prova.
I Metodo da Suposicao.
I Metodo da Contraposicao.
I Metodo da Reducao ao Absurdo.
I Metodo da Generalizacao.
I Propriedades das provas.
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Enunciados
Um enunciado e uma expressao da linguagem matematica quepode ser classificada como verdadeira ou falsa, de maneiraexclusiva, em um dado contexto.
(a) 2 e par.
(b) O conjunto dos numeros naturais e o conjunto dosquadrados de numeros naturais possuem a mesmaquantidade de elementos.
(c) Se n e par, entao n2 e par.
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Provas e metodos de prova
Uma prova e uma maneira de certificar (ou justificar oucompreender) a veracidade (ou a falsidade) de um enunciado.
Um metodo de prova e uma maneira de certificar um enunciado,fazendo outra coisa.
Esta outra coisa pode ser — e usualmente e — uma prova de umoutro enunciado.
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Metodo probabilıstico
Descoberto por T. Szele, em 1943, e desenvolvido e divulgado porP. Erdos e seus colaboradores.
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Metodo probabilıstico
Para provar um enunciado da forma
∃x ∈ U, tal que ϕ(x),
faca o seguinte:
– Defina uma distribuicao de probabilidades adequada noespaco U;
– Prove que a probabilidade de um objeto qualquer u ∈ Usatisfazer ϕ(x) e positiva.
– Conclua que ∃x ∈ U, tal que ϕ(x) foi provada.
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Exemplo
O oceano cobre mais que a metade da superfıcie da Terra.
Proposicao Existem dois pontos antipodais na superfıcie daTerra que sao cobertos pela agua.
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Prova pelo metodo probabilıstico:
Seja X um ponto aleatorio na superfıcie da Terra.
Considere os eventos:
A : X e coberto pela agua
B : O antipodal a X e coberto pela agua
Temos que P(A) > 12 e P(B) > 1
2 .
Assim, P(A ∩ B) = P(A) + P(B)︸ ︷︷ ︸>1
−P(A ∪ B)︸ ︷︷ ︸≤1
e nao negativa.
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Em resumo
O metodo probabilıstico nos diz que para provar que
∃x ∈ U, tal que ϕ(x)
e verdadeiro, basta provar que
P({x ∈ U : ϕ(x)}) 6= 0.
Um metodo de prova e uma “receita” que diz que, para provar umenunciado, basta provar um outro enunciado, possivelmente maissimples.
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Metodos de prova
Vamos, agora, discutir alguns dos principais metodos de provas.
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Metodo Direto ou Metodo da Suposicao
Para provar um enunciado da forma
se α, entao β
a partir dos enunciados ϕ1, ϕ2, . . . , ϕn, basta:
I Supor α.
I Provar β a partir de ϕ1, ϕ2, . . . , ϕn e α.
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Exemplo 1
Proposicao Se n e par, entao n2 e par.
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Prova (pelo metodo da suposicao):
Suponha que n e par.
Daı, n = 2k, onde k ∈ N.
Daı, n2 = (2k)2 = 22k2 = 2 · 2 · k2 = 2(2k2), onde 2k2 ∈ N.
Logo, n2 e par.
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Exemplo 2
Proposicao Se n2 e par, entao n e par.
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Prova (pelo metodo da suposicao):
Suponha que n2 e par.
Daı, n2 = 2k, onde k ∈ N.
Daı, 2 | n2.
(Se um numero primo divide um produto,ele divide algum dos fatores.)
Daı, 2 | n.
Logo, n2 e par.
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Observacao
Provas utilizam conhecimento previo!
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Exercıcios
Faca provas diretas.
(1) Se n e ımpar, entao n2 e ımpar.
(2) Se n2 e ımpar, entao n e ımpar.
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Em resumo
O Metodo da Suposicao:
I agrega conhecimento previo e
I troca o enunciado a ser prova por outro mais simples.
""FFFF
FFFF
FFF
��...
....
||xxxx
xxxx
xxx
ϕ1 ϕ2 · · · ϕn
se α entao βGF ED@A BC=⇒&&LLLLLLLLLLLLL
��<<<
<<<<
<<
������
����
�
yysssssssssssssϕ1 ϕ2 · · · ϕn α
β?> =<89 :;
Ele e um verdadeiro metodo de prova!!!
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Metodo da contraposicao
Para provar se α, entao β a partir de ϕ1, . . . , ϕn, basta:
I Supor nao β.
I Provar nao α a partir de ϕ1, . . . , ϕn e nao β.
Ou seja, para provar se α, entao β, bastaaplicar o metodo direto em se nao β, entao nao α.
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Exemplo 1
Voltemos ao exercıcio (2).
Proposicao Se n2 e ımpar, entao n e ımpar.
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Segundo o Metodo da Contraposicao, para provar
se n2 e ımpar, entao n e ımpar,
basta usar o Metodo da Suposicao para provar
se n nao e ımpar, entao n2 nao e ımpar.
Mas este enunciado e equivalente a
se n e par, entao n2 e par,
que ja foi provado.
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Exemplo 2
Proposicao Se a e irracional, entao√
a e irracional.
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Segundo o Metodo da Contraposicao, para provar
se a e irracional, entao√
a e irracional,
basta usar o Metodo da Suposicao para provar
se√
a e racional, entao a e racional.
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Prova (pelo metodo da contraposicao):
Suponha que√
a e racional.
Daı,√
a =m
n, onde m, n ∈ N e n 6= 0.
Daı, a = (√
a)2 =(m
n
)2=
m2
n2, onde m2, n2 ∈ N e n2 6= 0.
Logo, a e racional.
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Para usar este metodo, e preciso saber negar um enunciado.
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Exemplo
Proposicao Se x + y = 10, entao x 6= 3 e y 6= 8.
Prova:
Suponha que x = 3 e y = 8.
Daı, x + y = 11.
Logo, x + y 6= 10.
Qual e o erro nesta prova?
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Em resumo
O Metodo da Contraposicao:
I agrega conhecimento previo e
I troca o enunciado a ser provado por outro mais simples.
""FFFF
FFFF
FFF
��...
....
||xxxx
xxxx
xxx
ϕ1 ϕ2 · · · ϕn
se α entao βGF ED@A BC=⇒
&&LLLLLLLLLLLLL
��<<<
<<<<
<<
������
����
�
yysssssssssssssϕ1 ϕ2 · · · ϕn nao β
nao α?> =<89 :;
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Metodo da Reducao ao Absurdo
Para provar um enunciado αa partir dos enunciados ϕ1, ϕ2, . . . , ϕn, basta:
I Supor nao α.
I Provar uma contradicao a partir de ϕ1, . . . , ϕn e nao α.
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Exemplo 1
Proposicao Se n2 e par, entao n e par.
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Prova (pelos metodos da suposicao e da reducao ao absurdo):
Suponha que n2 e par.(para provar que n e par).
Suponha que n nao e par(para provar uma contradicao, a partir de n2 e par).
Daı, n e ımpar, ou seja, n = 2k + 1, onde k ∈ N.
Daı, n2 = 4k2 +4k +1 = 2(2k2 +2k)+1, ou seja, n2 e ımpar,uma contradicao com n2 e par.
Logo, n e par.
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Exemplo 2
Proposicao√
2 e um numero irracional.
![Page 32: Introduç˜ao aos Métodos de Prova](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022000/587221491a28ab79438bfe46/html5/thumbnails/32.jpg)
Prova (pelo metodo da reducao ao absurdo):
Suponha que√
2 e racional.
Daı,√
2 =a
b, onde a, b ∈ N, b 6= 0 e mdc(a, b) = 1.
Daı, 2b2 = a2.
Daı, a e par.
![Page 33: Introduç˜ao aos Métodos de Prova](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022000/587221491a28ab79438bfe46/html5/thumbnails/33.jpg)
Ou seja, a = 2k, onde k ∈ N.
Daı, 2b2 = 22k2 = 2(2k2) e, assim, b2 = 2k2.
Daı, b e par.
Logo, mdc(a, b) ≥ 2, uma contradicaocom mdc(a, b) = 1.
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Em resumo
O Metodo da Reducao ao Absurdo:
I agrega conhecimento previo, mas
I nao direciona a prova.
""FFFF
FFFF
FFF
��...
....
||xxxx
xxxx
xxx
ϕ1 ϕ2 · · · ϕn
α?> =<89 :;=⇒&&LLLLLLLLLLLLL
��<<<
<<<<
<<
������
����
�
yysssssssssssssϕ1 ϕ2 · · · ϕn nao α
contradicaoGF ED@A BC
E facil se perder usando este metodo!!!
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Exemplo
Proposicao Existe uma quantidade infinita denumeros primos.
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Prova (pelo metodo da reducao ao absurdo):
Suponha que existe uma quantidade finita de numeros primos.
Sejam p1, p2, . . . , pn todos os numeros primos.
Considere m = p1 · p2 · · · · · pn + 1.
Temos que p1 6 |m, p2 6 |m, . . . , pn 6 |m.
Mas, pelo Teorema Fundamental da Aritmetica,m tem um fator primo.
Assim, existe um primo p diferente de p1, p2, . . . , pn, umacontradicao.
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Exercıcios
Faca uma prova direta.
Para todo n ∈ N,se p1, p2, . . . , pn sao numeros primos,entao existe p que e primo e e diferente de p1, p2, . . . , pn.
![Page 38: Introduç˜ao aos Métodos de Prova](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022000/587221491a28ab79438bfe46/html5/thumbnails/38.jpg)
Metodo de Generalizacao
Para provar um enunciado da forma
para todo x ∈ A, α(x)
a partir dos enunciados ϕ1, ϕ2, . . . , ϕn, basta:
I Considerar x como um elemento qualquer de A.
I Provar α(x) a partir de ϕ1, . . . , ϕn usandoapenas propriedades de x que x compartilha com todos oselementos de A.
![Page 39: Introduç˜ao aos Métodos de Prova](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022000/587221491a28ab79438bfe46/html5/thumbnails/39.jpg)
Exemplo
Proposicao Para todo x ∈ N, se n e par, entao nx e par.
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Ja fizemos uma prova para o caso em que x = 2 ∈ N:
Seja 2 ∈ N.
Suponha que n e par.
Daı, n = 2k, onde k ∈ N.
Daı, n2 = (2k)2 = 22k2 = 2(2k2), onde 2k2 ∈ N.
Logo, n2 e par.
![Page 41: Introduç˜ao aos Métodos de Prova](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022000/587221491a28ab79438bfe46/html5/thumbnails/41.jpg)
Mas as propriedades do 2 que usamos e compartilhada pelo 2 comtodos os numeros naturais.
Seja x ∈ N.
Suponha que n e par.
Daı, n = 2k, onde k ∈ N.
Daı, nx = (2k)x = 2xkx = 2(2x−1kx), onde 2x−1kx ∈ N.
Logo, nx e par.
![Page 42: Introduç˜ao aos Métodos de Prova](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022000/587221491a28ab79438bfe46/html5/thumbnails/42.jpg)
Exemplo
Proposicao Se x e primo, entao√
x e um numero irracional.
![Page 43: Introduç˜ao aos Métodos de Prova](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022000/587221491a28ab79438bfe46/html5/thumbnails/43.jpg)
Ja fizemos uma prova para o caso em que x = 2 ∈ N:
Suponha que√
2 e racional.
Daı,√
2 =a
b, onde a, b ∈ N, b 6= 0 e mdc(a, b) = 1.
Daı, 2b2 = a2.
Daı, 2 | a2 e, assim, 2 | a.
![Page 44: Introduç˜ao aos Métodos de Prova](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022000/587221491a28ab79438bfe46/html5/thumbnails/44.jpg)
Ou seja, a = 2k, onde k ∈ N.
Daı, 2b2 = 2(2k2) e, assim, b2 = 2k2.
Daı, 2 | b2 e, assim, 2 | b.
Logo, mdc(a, b) ≥ 2, uma contradicao.
![Page 45: Introduç˜ao aos Métodos de Prova](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022000/587221491a28ab79438bfe46/html5/thumbnails/45.jpg)
Mas as propriedades do 2 que usamos e compartilhada pelo 2 comtodos os numeros primos.
Seja x um numero primo.
Suponha que√
x e racional.
Daı,√
x =a
b, onde a, b ∈ N, b 6= 0 e mdc(a, b) = 1.
Daı, xb2 = a2.
Daı, x | a2 e, assim, x | a.
![Page 46: Introduç˜ao aos Métodos de Prova](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022000/587221491a28ab79438bfe46/html5/thumbnails/46.jpg)
Ou seja, a = xk, onde k ∈ N.
Daı, xb2 = x(xk2) e, assim, b2 = xk2.
Daı, x | b2 e, assim, x | b.
Logo, mdc(a, b) ≥ x , uma contradicao.
![Page 47: Introduç˜ao aos Métodos de Prova](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022000/587221491a28ab79438bfe46/html5/thumbnails/47.jpg)
Em resumo
O Metodo de Generalizacao:
I especifica o tipo de conhecimento previo que pode ser usadona prova: somente propriedades que sao genericas em A, ouseja, que valem para todos os elementos de A.
I troca o enunciado a ser provado por outro mais simples.
((QQQQQQQQQ
��:::
::
vvmmmmmmmmmϕ1 ϕ2 · · · ϕn
Para todo x ∈ A, α(x)GF ED@A BC=⇒((QQQQQQQQQ
��:::
::
vvmmmmmmmmmϕ1 ϕ2 · · · ϕn
α(x)GF ED@A BC
genericas em A
Nao e facil usar este metodo!!!
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Ate amanha!
http://www.uff.br/grupodelogica