Introducción al Análisis de Fourier
Conceptos básicos
Dr. Wilfrido Gómez Flores
Funciones periódicas
Una función periódica satisface
f(t) = f(t+ T ) (1)
para todo valor de t, donde T es el periodo de la función.
2 3 4
-1
-0.5
0.5
1
2 3 4
-1
-0.5
0.5
1
Funciones trigonométricas seno y coseno, ambas con periodo T = 2π, talque sin(t+ 2π) = sin t y cos(t+ 2π) = cos t.
1/22 Conceptos básicos FIC-01
Funciones periódicas
Para una función periódica f(t) con periodo T , la función f(kt) tiene periodoTk. Por ejemplo, el periodo de sin(2t) es 2π
2= π. Ú
2/22 Conceptos básicos FIC-01
Funciones periódicas
El periodo fundamental T0 de f(t) es el valor positivo más pequeño
de T para el cual se satisface (1); de modo que
f(t) = f(t+ nT0), n = 0,±1,±2, · · · . (2)
Función periódica de�nida por sin3(t) + cos(t).
3/22 Conceptos básicos FIC-01
Funciones periódicas
Ejemplo 1: encontrar el periodo
de la función f(t) = (10 cos t)2:
f(t) = (10 cos t)2,
= 100 cos2 t,
= 1001
2(1 + cos 2t), a
= 50 + 50 cos 2t.
-2 - 0 2
20
40
60
80
100
Una constante es una función periódica para cualquier valor de T , y
el periodo de cos 2t es π; por tanto, el periodo de f(t) es π.
acos2A = 12(1 + cos 2A)
4/22 Conceptos básicos FIC-01
Funciones periódicas
Ejemplo 2: encontrar el periodo de la función f(t) = cos t3 +cos t
4 :
cost
3+ cos
t
4= cos
1
3(t+ T ) + cos
1
4(t+ T ) .
Dado que cos(t+ 2πm) = cos t:
T
3= 2πm y
T
4= 2πn, m, n ∈ Z.
Entonces, T = 6πm = 8πn. Por
tanto, cuando m = 4 y n = 3a se
tiene el mínimo valor de T , de mo-
do que T0 = 24π.
-24 -18 -12 -6 0 6 12 18 24
-2
-1
1
2
aSolución de la ecuación lineal diofántica homogénea 6m− 8n = 0.
5/22 Conceptos básicos FIC-01
Frecuencia
Frecuencia es el número de oscilaciones de una función periódica por
unidad de tiempo:
f =1
T. (3)
1 Hz
2 Hz
3 Hz
Función senoidal con diferentes frecuencias en un intervalo de 1 s. Launidad de medida es el hertz (Hz).
6/22 Conceptos básicos FIC-01
Frecuencia
La frecuencia angular ω es la razón de cambio del desplazamiento
angular θ durante la oscilación (o rotación):
dθ
dt= ω = 2πf =
2π
T. (4)
Onda senoidal en función de la frecuencia angular ω. La frecuencia angular semide comúnmente en radianes por segundo (rad/s). Ú
7/22 Conceptos básicos FIC-01
Paridad de una función
Funciones (a) par, f(t) = f(−t), y (b) impar, f(−t) = −f(t).
8/22 Conceptos básicos FIC-01
Paridad de una función
Funciones pares típicas.
9/22 Conceptos básicos FIC-01
Paridad de una función
Funciones impares típicas.
10/22 Conceptos básicos FIC-01
Paridad de una función
la función f(t) = t2 + 1 es par:
f(−t) = (−t)2 + 1,
= (−1 · t)2 + 1,
= (−1)2 · t2 + 1,
= 1 · t2 + 1,
= t2 + 1,
= f(t).
La función f(t) = t3 es impar:
f(−t) = (−t)3,
= (−1 · t)3,
= (−1)3 · t3,
= −1 · t3,
= −1 · f(t),
= −f(t).
11/22 Conceptos básicos FIC-01
Paridad de una función
12/22 Conceptos básicos FIC-01
Funciones ortogonales
Dos vectores x,y ∈ Rn son orto-
gonales o perpendiculares si
x · y = ‖x‖ ‖y‖ cos π2= 0,
donde ‖·‖ es la norma del vector.Ú
Una función se considera la generalización de un vector; por tanto,
dos funciones f1(t) y f2(t) son ortogonales en el intervalo a < t < b
si
〈f1, f2〉 =∫ b
af1(t)f2(t) dt = 0. (5)
13/22 Conceptos básicos FIC-01
Funciones ortogonales
f1(t) = t2 y f2(t) = t3 son
ortogonales entre −1 y 1:
〈f1, f2〉 =∫ 1
−1f1(t)f2(t) dt,
=
∫ 1
−1t2 · t3 dt,
=t6
6
∣∣∣∣1−1
,
=1
6
[16 − (−1)6
],
=1
6(1− 1) ,
= 0.
14/22 Conceptos básicos FIC-01
Funciones ortogonales
• En general, un conjunto de funciones de valor real
{φ0(t), φ1(t), φ2(t), . . .} es ortogonal en el intervalo [a, b] si
satisface
〈φm, φn〉 =∫ b
aφm(t)φn(t) dt =
{0 m 6= n
rn m = n(6)
• En particular, las funciones {1, cosω0t, cos 2ω0t, . . . , cosnω0t,
. . . , sinω0t, sin 2ω0t, . . . , sinnω0t, . . .} forman un conjunto de
funciones ortogonales en el intervalo −T/2 < t < T/2, donde
ω0t|t=±T/2 =2π
T
(±T2
)= ±π. (7)
15/22 Conceptos básicos FIC-01
Funciones ortogonales∫ T/2
−T/2cos(mω0t) dt = 0, para m 6= 0 (8)
∫ T/2
−T/2sin(mω0t) dt = 0, para todo valor de m (9)
∫ T/2
−T/2cos(mω0t) cos(nω0t) dt =
{0 m 6= n
T/2 m = n 6= 0(10)
∫ T/2
−T/2sin(mω0t) sin(nω0t) dt =
{0 m 6= n
T/2 m = n 6= 0(11)
∫ T/2
−T/2sin(mω0t) cos(nω0t) dt = 0, para todo valor de m y n (12)
16/22 Conceptos básicos FIC-01
Funciones ortogonales
Veri�car que el conjunto {1, cosω0t, cos 2ω0t, . . . , cosnω0t, . . .} es
ortogonal en el intervalo [−T/2, T/2] para (8) con m 6= 0:
〈φ0, φm〉 =∫ T/2
−T/2φ0(t)φm(t) dt,
=
∫ T/2
−T/2cos(0) cos(mω0t) dt,
=
∫ T/2
−T/2cos(mω0t) dt,
=1
mω0sin(mω0t)|T/2−T/2 ,
=1
mω0[sin(πm)− sin(−πm)] ,
= 0.
17/22 Conceptos básicos FIC-01
Funciones ortogonales
Veri�car que el conjunto {1, cosω0t, cos 2ω0t, . . . , cosnω0t, . . .} es
ortogonal en el intervalo [−T/2, T/2] para (10) con m 6= n:
〈φm, φn〉 =∫ T/2
−T/2φm(t)φn(t) dt =
∫ T/2
−T/2cos(mω0t) cos(nω0t) dt,
=1
2
∫ T/2
−T/2{cos[(m+ n)ω0t] + cos[(m− n)ω0t]}dt,
=1
2
sin[(m+ n)ω0t]
(m+ n)ω0
∣∣∣∣T/2−T/2
+1
2
sin[(m− n)ω0t]
(m− n)ω0
∣∣∣∣T/2−T/2
,
=1
2
1
(m+ n)ω0{sin[π(m+ n)]− sin[−π(m+ n)]}+
+1
2
1
(m− n)ω0{sin[π(m− n)]− sin[−π(m− n)]},
= 0.
18/22 Conceptos básicos FIC-01
Funciones ortogonales
Veri�car que el conjunto {1, cosω0t, cos 2ω0t, . . . , cosnω0t, . . .} no
es ortogonal en el intervalo [−T/2, T/2] para (10) con m = n 6= 0:
〈φm, φm〉 =∫ T/2
−T/2φ2m(t)dt,
=
∫ T/2
−T/2cos2(mω0t) dt,
=1
2
∫ T/2
−T/2[1 + cos(2mω0t)] dt,
=1
2t|T/2−T/2 +
1
4mω0sin(2mω0t)|T/2−T/2 ,
=T
2+
1
4mω0[sin(2πm)− sin(−2πm)] ,
=T
2.
19/22 Conceptos básicos FIC-01
Funciones ortogonales
Veri�car que el conjunto {1, cosω0t, cos 2ω0t, . . . , cosnω0t, . . . ,
sinω0t, sin 2ω0t, . . . , sinnω0t, . . .} es ortogonal en el intervalo
[−T/2, T/2] para (12) con m 6= n:
〈φm, φn〉 =∫ T/2
−T/2φm(t)φn(t) dt =
∫ T/2
−T/2sin(mω0t) cos(nω0t) dt,
=1
2
∫ T/2
−T/2{sin[(m+ n)ω0t] + sin[(m− n)ω0t]} dt,
= −1
2
cos[(m+ n)ω0t]
(m+ n)ω0
∣∣∣∣T/2−T/2
− 1
2
cos[(m− n)ω0t]
(m− n)ω0
∣∣∣∣T/2−T/2
,
= −1
2
1
(m+ n)ω0{cos[π(m+ n)]− cos[−π(m+ n)]}+
−1
2
1
(m− n)ω0{cos[π(m− n)]− cos(−π(m− n))} = 0.
20/22 Conceptos básicos FIC-01
Funciones ortogonales
Veri�car que el conjunto {1, cosω0t, cos 2ω0t, . . . , cosnω0t, . . . ,
sinω0t, sin 2ω0t, . . . , sinnω0t, . . .} es ortogonal en el intervalo
[−T/2, T/2] para (12) con m = n 6= 0:
〈φm, φm〉 =∫ T/2
−T/2φm(t)φm(t) dt,
=
∫ T/2
−T/2sin(mω0t) cos(mω0t) dt,
=1
2
∫ T/2
−T/2sin(2mω0t) dt,
= − 1
4mω0cos(2mω0t)|T/2−T/2 ,
= − 1
4mω0[cos(2πm)− cos(−2πm)] = 0.
21/22 Conceptos básicos FIC-01
Funciones ortogonales
(a) Funciones ortogonales seno y coseno con m 6= n y (b) área resultantedel producto de ambas funciones.
22/22 Conceptos básicos FIC-01