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methodes de
Schwarz
Veronique Martin
Introduction
Methodes de
Schwarz
Schwarz du point devue continu
Schwarz du point devue discret
Methode de
Schwarz comme
preconditionneur
Rappels sur lepreconditionnement
Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Introduction aux methodes de Schwarz
Veronique [email protected]
LAMFA, Universite de Picardie Jules Verne, France
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Schwarz comme
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Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Motivations
Contexte : Discretiser une EDP par FEM, FD, FV, etc. menea un systeme lineaire AX = b.
La decomposition de domaine est une methode qui permet deresoudre plus efficacement ce probleme algebrique en leparallelisant.
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Precond. parsous-structuration
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Alternatives
Conclusion
Motivations
Contexte : Discretiser une EDP par FEM, FD, FV, etc. menea un systeme lineaire AX = b.
La decomposition de domaine est une methode qui permet deresoudre plus efficacement ce probleme algebrique en leparallelisant.
Ω
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Motivations
Contexte : Discretiser une EDP par FEM, FD, FV, etc. menea un systeme lineaire AX = b.
La decomposition de domaine est une methode qui permet deresoudre plus efficacement ce probleme algebrique en leparallelisant.
Ω Ω1 Ω2
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Schwarz comme
preconditionneur
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Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
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Alternatives
Conclusion
Outline
Introduction
Methodes de SchwarzSchwarz du point de vue continuSchwarz du point de vue discret
Methode de Schwarz comme preconditionneurRappels sur le preconditionnementPreconditionnement par volumePrecond. par sous-structuration
Vers les methodes optimiseesLimitiations de la methode de Schwarz classiqueAlternatives
Conclusion
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Alternatives
Conclusion
References
B.F. Smith, P.E. Bjørstad, W.D. Gropp (1996): DomainDecomposition. Cambridge University Press, Cambridge.
A. Quarteroni and A. Valli (1999): Domain DecompositionMethods for Partial Differential Equations. Oxford SciencePublications, Oxford.
A. Toselli and O.B. Widlund (2005): Domain DecompositionMethods-Algorithms and Theory. Springer-Verlag, Berlin andHeidelberg.
M.J. Gander Schwarz Methods over the Course of Time,ETNA, Vol. 31, pp. 228-255, 2008.
M.J. Gander, L. Halpern. Methodes de decomposition dedomaines, Encyclopedie des Techniques de l’Ingenieur, 2012.
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Outline
Introduction
Methodes de SchwarzSchwarz du point de vue continuSchwarz du point de vue discret
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Vers les methodes optimiseesLimitiations de la methode de Schwarz classiqueAlternatives
Conclusion
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Outline
Introduction
Methodes de SchwarzSchwarz du point de vue continuSchwarz du point de vue discret
Methode de Schwarz comme preconditionneurRappels sur le preconditionnementPreconditionnement par volumePrecond. par sous-structuration
Vers les methodes optimiseesLimitiations de la methode de Schwarz classiqueAlternatives
Conclusion
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optimisees
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Conclusion
Hermann Amandus Schwarz 1843-1921
- 1857 Riemann:Theoreme de l’application conforme.
- 1869 Weierstrass: Contre-exemple au Principe deDirichlet.
- 1870 Schwarz: Methode alternee.
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Conclusion
Ce que l’on sait faire en 1870
Poisson (1815) Fourier (1807)
u = 0 u = 0
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Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
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Conclusion
Methode de Schwarz originale
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Conclusion
Methode de Schwarz originale
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Alternatives
Conclusion
Methode de Schwarz originale
u1 = 0
u1 = g
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Conclusion
Methode de Schwarz originale
u1 = 0
u1 = g
u1 = inf∂Ω
g
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Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
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Alternatives
Conclusion
Methode de Schwarz originale
u2 = 0
u2 = g
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Alternatives
Conclusion
Methode de Schwarz originale
u2 = 0
u2 = g
u2 = u1
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Conclusion
Schwarz en continu
Schwarz alterne (Schwarz 1870):
Lun+11 = f dans Ω1
un+11 = un2 sur Γ1
Lun+12 = f dans Ω2
un+12 = un+1
1 sur Γ2
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Precond. parsous-structuration
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optimisees
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Alternatives
Conclusion
Schwarz en continu
Schwarz alterne (Schwarz 1870):
Lun+11 = f dans Ω1
un+11 = un2 sur Γ1
Lun+12 = f dans Ω2
un+12 = un+1
1 sur Γ2
Methode etudiee par Sobolev, Courant, Hilbert,Browder...
Miller (1965) utilise Schwarz alterne pour une resolutionnumerique.
P.L. Lions (1988-1990) etudie l’algorithme de Schwarz: Principe du maximum repris. Arguments variationnels. Cas N sous-domaines. Proposition d’un algorithme parallele. Proposition d’un algorithme sans recouvrement.
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Alternatives
Conclusion
Schwarz en continu
Schwarz alterne (Schwarz 1870):
Lun+11 = f dans Ω1
un+11 = un2 sur Γ1
Lun+12 = f dans Ω2
un+12 = un+1
1 sur Γ2
Schwarz parallele (Lions 1988):
Lun+11 = f dans Ω1
un+11 = un2 sur Γ1
Lun+12 = f dans Ω2
un+12 = un1 sur Γ2
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Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
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Alternatives
Conclusion
Schwarz en continu
Schwarz alterne (Schwarz 1870):
Lun+11 = f dans Ω1
un+11 = un2 sur Γ1
Lun+12 = f dans Ω2
un+12 = un+1
1 sur Γ2
Schwarz parallele (Lions 1988):
Lun+11 = f dans Ω1
un+11 = un2 sur Γ1
Lun+12 = f dans Ω2
un+12 = un1 sur Γ2
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Schwarz
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Schwarz du point devue discret
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Schwarz comme
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Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
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Alternatives
Conclusion
Schwarz alterne
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
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Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Schwarz alterne
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
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0.07
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Conclusion
Schwarz alterne
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.01
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0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
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Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Schwarz alterne
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.01
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Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Schwarz alterne
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
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methodes de
Schwarz
Veronique Martin
Introduction
Methodes de
Schwarz
Schwarz du point devue continu
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Methode de
Schwarz comme
preconditionneur
Rappels sur lepreconditionnement
Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Schwarz alterne
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
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Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Schwarz alterne
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
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Alternatives
Conclusion
Schwarz alterne
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
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Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
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Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Schwarz alterne
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
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Alternatives
Conclusion
Schwarz alterne
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
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Conclusion
Schwarz alterne
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
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Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Schwarz alterne
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
![Page 33: Introduction aux m thodes de Schwarz - unice.frminjeaud/Donnees/... · Schwarz parall`ele (Lions 1988): (Lun+1 1 = f dans Ω1 un+1 1 = u n 2 sur Γ1 Lun+1 2 = f dans Ω2 un+1 2 =](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022063014/5fd061e475bc11674d3220c4/html5/thumbnails/33.jpg)
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Alternatives
Conclusion
Alterne versus Parallele
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
Alterne Parallele
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Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Schwarz Alterne peut etre aussi parallelise
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Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Demonstration de la convergence en 1D
Solution globale:
(−dxx + α)u = f sur R.
Schwarz parallele:
(−dxx + α)un+11 = f sur ]−∞, d [,
un+11 (d) = un2 (d)
(−dxx + α)un+12 = f sur ]0,+∞[,
un+12 (0) = un1 (0)
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Alternatives
Conclusion
Demonstration de la convergence en 1D
Solution globale:
(−dxx + α)u = f sur R.
Schwarz parallele: eni = u − uni
(−dxx + α)en+11 = 0 sur ]−∞, d [,
en+11 (d) = en2 (d)
(−dxx + α)en+12 = 0 sur ]0,+∞[,
en+12 (0) = en1 (0)
Taux de convergence
ρ =
∣
∣
∣
∣
∣
en+11 (x0)
en−11 (x0)
∣
∣
∣
∣
∣
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Precond. parsous-structuration
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Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Demonstration de la convergence en 2D
Solution globale:
(−+ α)u = f sur R2.
Schwarz alterne:
(−+ α)un+11 = f sur ]−∞, d [×R,
un+11 (d , ·) = un2 (d , ·)
(−+ α)un+12 = f sur ]0,+∞[×R,
un+12 (0, ·) = un1 (0, ·)
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Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Demonstration de la convergence en 2D
Solution globale:
(−+ α)u = f sur R2.
Schwarz alterne: eni = u − uni
(−+ α)en+11 = 0 sur ]−∞, d [×R,
en+11 (d , ·) = en2 (d , ·)
(−+ α)en+12 = 0 sur ]0,+∞[×R,
en+12 (0, ·) = en1 (0, ·)
Taux de convergence:
ρ(k) =
∣
∣
∣
∣
∣
en+11 (x0, k)
en−11 (x0, k)
∣
∣
∣
∣
∣
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Precond. parsous-structuration
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Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Taux de convergence
ρ(α, k , d) = e−2d√α+k2
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
=⇒ Convergence rapide pour les hautes frequences, lentepour les basses.
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Alternatives
Conclusion
Schwarz alterne en 2D
Ω1 Ω2
u = 2π2 sin(πx) sin(πy) dans Ωu = 0 sur ∂Ω.
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Alternatives
Conclusion
Schwarz alterne en 2D
00.10.20.30.40.50.60.70.80.91
0
0.5
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
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Schwarz alterne en 2D
00.10.20.30.40.50.60.70.80.91
0
0.5
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
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Schwarz alterne en 2D
00.10.20.30.40.50.60.70.80.91
0
0.5
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
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Schwarz alterne en 2D
00.10.20.30.40.50.60.70.80.91
0
0.5
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
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Schwarz alterne en 2D
00.10.20.30.40.50.60.70.80.91
0
0.5
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
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Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Schwarz alterne en 2D
00.10.20.30.40.50.60.70.80.91
0
0.5
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
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Introduction aux
methodes de
Schwarz
Veronique Martin
Introduction
Methodes de
Schwarz
Schwarz du point devue continu
Schwarz du point devue discret
Methode de
Schwarz comme
preconditionneur
Rappels sur lepreconditionnement
Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Outline
Introduction
Methodes de SchwarzSchwarz du point de vue continuSchwarz du point de vue discret
Methode de Schwarz comme preconditionneurRappels sur le preconditionnementPreconditionnement par volumePrecond. par sous-structuration
Vers les methodes optimiseesLimitiations de la methode de Schwarz classiqueAlternatives
Conclusion
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Introduction aux
methodes de
Schwarz
Veronique Martin
Introduction
Methodes de
Schwarz
Schwarz du point devue continu
Schwarz du point devue discret
Methode de
Schwarz comme
preconditionneur
Rappels sur lepreconditionnement
Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Au niveau discret
L’equation:
− u′′ = f sur ]0, 1[
u(0) = g1
u(1) = g2
Approximation de la derivee seconde pour h << 1:
−u′′(x) ≃ 1
h2(2u(x) − u(x + h)− u(x − h))
Differences finies:
u0 = g11
h2(2ui − ui+1 − ui−1) = f (xi ), 1 ≤ i ≤ n
un+1 = g2
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methodes de
Schwarz
Veronique Martin
Introduction
Methodes de
Schwarz
Schwarz du point devue continu
Schwarz du point devue discret
Methode de
Schwarz comme
preconditionneur
Rappels sur lepreconditionnement
Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Au niveau discret
Discretisation du Laplacien 1D par differences finies:
A =1
h2
2 −1
− 1 2. . .
. . .. . . −1−1 2 − 1
− 1 2 −1
− 1 2. . .
. . .. . . −1−1 2
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methodes de
Schwarz
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Introduction
Methodes de
Schwarz
Schwarz du point devue continu
Schwarz du point devue discret
Methode de
Schwarz comme
preconditionneur
Rappels sur lepreconditionnement
Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Au niveau discret
Discretisation du Laplacien 1D par differences finies:
A =1
h2
2 −1
− 1 2. . .
. . .. . . −1−1 2 − 1
− 1 2 −1
− 1 2. . .
. . .. . . −1−1 2
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methodes de
Schwarz
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Introduction
Methodes de
Schwarz
Schwarz du point devue continu
Schwarz du point devue discret
Methode de
Schwarz comme
preconditionneur
Rappels sur lepreconditionnement
Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Au niveau discret
Discretisation du Laplacien 1D par differences finies:
A =1
h2
A1 B1
B2 A2
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Schwarz
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Methodes de
Schwarz
Schwarz du point devue continu
Schwarz du point devue discret
Methode de
Schwarz comme
preconditionneur
Rappels sur lepreconditionnement
Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Methode iterative
Methode iterative de type point fixe:
AU = b avec A =
(
A1 B1
B2 A2
)
.
On ecrit A = M − N:
MU = NU + b
![Page 53: Introduction aux m thodes de Schwarz - unice.frminjeaud/Donnees/... · Schwarz parall`ele (Lions 1988): (Lun+1 1 = f dans Ω1 un+1 1 = u n 2 sur Γ1 Lun+1 2 = f dans Ω2 un+1 2 =](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022063014/5fd061e475bc11674d3220c4/html5/thumbnails/53.jpg)
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Methodes de
Schwarz
Schwarz du point devue continu
Schwarz du point devue discret
Methode de
Schwarz comme
preconditionneur
Rappels sur lepreconditionnement
Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Methode iterative
Methode iterative de type point fixe:
AU = b avec A =
(
A1 B1
B2 A2
)
.
On ecrit A = M − N:
MUn+1 = NUn + b
![Page 54: Introduction aux m thodes de Schwarz - unice.frminjeaud/Donnees/... · Schwarz parall`ele (Lions 1988): (Lun+1 1 = f dans Ω1 un+1 1 = u n 2 sur Γ1 Lun+1 2 = f dans Ω2 un+1 2 =](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022063014/5fd061e475bc11674d3220c4/html5/thumbnails/54.jpg)
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Schwarz
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Methodes de
Schwarz
Schwarz du point devue continu
Schwarz du point devue discret
Methode de
Schwarz comme
preconditionneur
Rappels sur lepreconditionnement
Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Methode iterative
Methode iterative de type point fixe:
AU = b avec A =
(
A1 B1
B2 A2
)
.
On ecrit A = M − N:
MUn+1 = NUn + b
Choix de la matrice M:
M =
(
A1 00 A2
)
Jacobi
M =
(
A1 0B2 A2
)
Gauss Seidel
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methodes de
Schwarz
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Introduction
Methodes de
Schwarz
Schwarz du point devue continu
Schwarz du point devue discret
Methode de
Schwarz comme
preconditionneur
Rappels sur lepreconditionnement
Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Methode de Gauss-Seidel par bloc
Gauss-Seidel par bloc:
(
A1 0
B2 A2
)
Un+1 =
(
0 −B1
0 0
)
Un + b
que l’on peut reecrire:
Un+11 = Un
1 + A−11 (b1 − A1U
n1 − B1U
n2 )
Un+12 = Un
2 + A−12 (b2 − B2U
n+11 − A2U
n2 )
ou encore
Un+1/2 = Un +
(
A−11 00 0
)
(b − AUn)
Un+1 = Un+1/2 +
(
0 0
0 A−12
)
(b − AUn+1/2)
![Page 56: Introduction aux m thodes de Schwarz - unice.frminjeaud/Donnees/... · Schwarz parall`ele (Lions 1988): (Lun+1 1 = f dans Ω1 un+1 1 = u n 2 sur Γ1 Lun+1 2 = f dans Ω2 un+1 2 =](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022063014/5fd061e475bc11674d3220c4/html5/thumbnails/56.jpg)
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methodes de
Schwarz
Veronique Martin
Introduction
Methodes de
Schwarz
Schwarz du point devue continu
Schwarz du point devue discret
Methode de
Schwarz comme
preconditionneur
Rappels sur lepreconditionnement
Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Methode de Gauss-Seidel par bloc
Gauss-Seidel par bloc:
(
A1 0
B2 A2
)
Un+1 =
(
0 −B1
0 0
)
Un + b
que l’on peut reecrire:
Un+11 = Un
1 + A−11 (b1 − A1U
n1 − B1U
n2 )
Un+12 = Un
2 + A−12 (b2 − B2U
n+11 − A2U
n2 )
ou encore
Un+1/2 = Un +
(
A−11 00 0
)
(b − AUn)
Un+1 = Un+1/2 +
(
0 0
0 A−12
)
(b − AUn+1/2)
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methodes de
Schwarz
Veronique Martin
Introduction
Methodes de
Schwarz
Schwarz du point devue continu
Schwarz du point devue discret
Methode de
Schwarz comme
preconditionneur
Rappels sur lepreconditionnement
Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Operateurs de restriction
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methodes de
Schwarz
Veronique Martin
Introduction
Methodes de
Schwarz
Schwarz du point devue continu
Schwarz du point devue discret
Methode de
Schwarz comme
preconditionneur
Rappels sur lepreconditionnement
Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Operateurs de restrictionR1U
R2U
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methodes de
Schwarz
Veronique Martin
Introduction
Methodes de
Schwarz
Schwarz du point devue continu
Schwarz du point devue discret
Methode de
Schwarz comme
preconditionneur
Rappels sur lepreconditionnement
Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Operateurs de restrictionR1U
R2U
R1U =
1 0 · · · 0
1...
...1 0 · · · 0
u1
· · ·ua−1
ua
ua+1
· · ·un
=
u1
· · ·· · ·ua
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Schwarz
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Methodes de
Schwarz
Schwarz du point devue continu
Schwarz du point devue discret
Methode de
Schwarz comme
preconditionneur
Rappels sur lepreconditionnement
Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Operateurs de restrictionR1U
R2U
R2U =
0 · · · 0 1...
... 10 · · · 0 1
u1
· · ·ua−1
ua
ua+1
· · ·un
=
ua+1
· · ·· · ·un
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methodes de
Schwarz
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Introduction
Methodes de
Schwarz
Schwarz du point devue continu
Schwarz du point devue discret
Methode de
Schwarz comme
preconditionneur
Rappels sur lepreconditionnement
Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Methode de Gauss-Seidel par bloc
Gauss-Seidel par bloc:
(
A1 0
B2 A2
)
Un+1 =
(
0 −B1
0 0
)
Un + b
que l’on peut reecrire:
Un+11 = Un
1 + A−11 (b1 − A1U
n1 − B1U
n2 )
Un+12 = Un
2 + A−12 (b2 − B2U
n+11 − A2U
n2 )
ou encore
Un+1/2 = Un +
(
A−11 00 0
)
(b − AUn)
Un+1 = Un+1/2 +
(
0 0
0 A−12
)
(b − AUn+1/2)
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Schwarz
Veronique Martin
Introduction
Methodes de
Schwarz
Schwarz du point devue continu
Schwarz du point devue discret
Methode de
Schwarz comme
preconditionneur
Rappels sur lepreconditionnement
Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Methode de Gauss-Seidel par bloc
Gauss-Seidel par bloc:
(
A1 0
B2 A2
)
Un+1 =
(
0 −B1
0 0
)
Un + b
que l’on peut reecrire:
Un+11 = Un
1 + A−11 (b1 − A1U
n1 − B1U
n2 )
Un+12 = Un
2 + A−12 (b2 − B2U
n+11 − A2U
n2 )
ou encore
Un+1/2 = Un + R t1A
−11 R1 (b − AUn)
Un+1 = Un+1/2 + R t2A
−12 R2(b − AUn+1/2)
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Introduction aux
methodes de
Schwarz
Veronique Martin
Introduction
Methodes de
Schwarz
Schwarz du point devue continu
Schwarz du point devue discret
Methode de
Schwarz comme
preconditionneur
Rappels sur lepreconditionnement
Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Schwarz multiplicatif
Idee de Schwarz multiplicatif: memes iterations mais avecrecouvrement algebrique:
Sans recouvrement
A1
A2
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methodes de
Schwarz
Veronique Martin
Introduction
Methodes de
Schwarz
Schwarz du point devue continu
Schwarz du point devue discret
Methode de
Schwarz comme
preconditionneur
Rappels sur lepreconditionnement
Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Schwarz multiplicatif
Idee de Schwarz multiplicatif: memes iterations mais avecrecouvrement algebrique:
Avec recouvrement
A1
A2
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methodes de
Schwarz
Veronique Martin
Introduction
Methodes de
Schwarz
Schwarz du point devue continu
Schwarz du point devue discret
Methode de
Schwarz comme
preconditionneur
Rappels sur lepreconditionnement
Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Schwarz multiplicatif (MS)
Operateurs de restriction avec recouvrement
R1U
R2U
Schwarz multiplicatif:
Un+1/2 = Un + R t1A
−11 R1(b − AUn)
Un+1 = Un+1/2 + R t2A
−12 R2(b − AUn+1/2)
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methodes de
Schwarz
Veronique Martin
Introduction
Methodes de
Schwarz
Schwarz du point devue continu
Schwarz du point devue discret
Methode de
Schwarz comme
preconditionneur
Rappels sur lepreconditionnement
Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Schwarz multiplicatif
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
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Schwarz
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Introduction
Methodes de
Schwarz
Schwarz du point devue continu
Schwarz du point devue discret
Methode de
Schwarz comme
preconditionneur
Rappels sur lepreconditionnement
Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Schwarz multiplicatif en 2D
00.10.20.30.40.50.60.70.80.91
0
0.5
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
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methodes de
Schwarz
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Introduction
Methodes de
Schwarz
Schwarz du point devue continu
Schwarz du point devue discret
Methode de
Schwarz comme
preconditionneur
Rappels sur lepreconditionnement
Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Schwarz multiplicatif en 2D
00.10.20.30.40.50.60.70.80.91
0
0.5
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
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Schwarz
Schwarz du point devue continu
Schwarz du point devue discret
Methode de
Schwarz comme
preconditionneur
Rappels sur lepreconditionnement
Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Schwarz multiplicatif en 2D
00.10.20.30.40.50.60.70.80.91
0
0.5
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
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Schwarz
Veronique Martin
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Schwarz
Schwarz du point devue continu
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Methode de
Schwarz comme
preconditionneur
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Preconditionnementpar volume
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optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Schwarz multiplicatif en 2D
00.10.20.30.40.50.60.70.80.91
0
0.5
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
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Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Jacobi par blocProbleme discret:
AU = b avec A =
(
A1 B1
B2 A2
)
.
On ecrit A = M − N:
MU = NU + b
![Page 72: Introduction aux m thodes de Schwarz - unice.frminjeaud/Donnees/... · Schwarz parall`ele (Lions 1988): (Lun+1 1 = f dans Ω1 un+1 1 = u n 2 sur Γ1 Lun+1 2 = f dans Ω2 un+1 2 =](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022063014/5fd061e475bc11674d3220c4/html5/thumbnails/72.jpg)
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Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Jacobi par blocProbleme discret:
AU = b avec A =
(
A1 B1
B2 A2
)
.
On ecrit A = M − N:
MUn+1 = NUn + b
![Page 73: Introduction aux m thodes de Schwarz - unice.frminjeaud/Donnees/... · Schwarz parall`ele (Lions 1988): (Lun+1 1 = f dans Ω1 un+1 1 = u n 2 sur Γ1 Lun+1 2 = f dans Ω2 un+1 2 =](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022063014/5fd061e475bc11674d3220c4/html5/thumbnails/73.jpg)
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Alternatives
Conclusion
Jacobi par blocProbleme discret:
AU = b avec A =
(
A1 B1
B2 A2
)
.
On ecrit A = M − N:
MUn+1 = NUn + b
Jacobi par bloc:
(
A1 0
0 A2
)
Un+1 =
(
0 −B1
−B2 0
)
Un + b
que l’on peut reecrire:
Un+11 = Un
1 + A−11 (b − AUn)1
Un+12 = Un
2 + A−12 (b − AUn)2
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Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Schwarz additif
Jacobi par bloc:
Un+1 = Un +
(
A−11 0
0 A−12
)
(b − AUn)
Reecriture avec ou sans recouvrement:
Un+1 = Un + (R t1A
−11 R1 + R t
2A−12 R2)(b − AUn)
Probleme: ca ne converge pas!
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Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Schwarz additif
Jacobi par bloc:
Un+1 = Un +
(
A−11 0
0 A−12
)
(b − AUn)
Reecriture avec ou sans recouvrement:
Un+1 = Un + (R t1A
−11 R1 + R t
2A−12 R2)(b − AUn)
Probleme: ca ne converge pas!
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Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Schwarz additif
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
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Conclusion
Schwarz additif en 2D
00.10.20.30.40.50.60.70.80.91
0
0.5
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
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Conclusion
Schwarz additif en 2D
00.10.20.30.40.50.60.70.80.91
0
0.5
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
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Schwarz additif en 2D
00.10.20.30.40.50.60.70.80.91
0
0.5
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
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Schwarz additif en 2D
00.10.20.30.40.50.60.70.80.91
0
0.5
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
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Schwarz additif en 2D
00.10.20.30.40.50.60.70.80.91
0
0.5
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
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Alternatives
Conclusion
Schwarz additif en 2D
00.10.20.30.40.50.60.70.80.91
0
0.5
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
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Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Schwarz additif en 2D
00.10.20.30.40.50.60.70.80.91
0
0.5
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
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Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Schwarz additif ne converge pas
Schwarz Additif:
Un+1 = Un + (R t1A
−11 R1 + R t
2A−12 R2)(b − AUn)
Decomposition selon le premier sous-domaine:
A =
(
A1 B1
X1 Y1
)
U =
(
U1
U2
)
Decomposition selon le deuxieme sous-domaine:
A =
(
X2 Y2
B2 A2
)
U =
(
U1
U2
)
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Schwarz
Schwarz du point devue continu
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Schwarz comme
preconditionneur
Rappels sur lepreconditionnement
Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Restricted Additive Schwarz
Cai et Sarkis (1998):
”While working on a AS/GMRES algorithmin an Euler simulation, we removed part ofthe communication routine and surprisingly the”then AS” method converged faster in bothterms of iteration counts and CPU time.”
![Page 86: Introduction aux m thodes de Schwarz - unice.frminjeaud/Donnees/... · Schwarz parall`ele (Lions 1988): (Lun+1 1 = f dans Ω1 un+1 1 = u n 2 sur Γ1 Lun+1 2 = f dans Ω2 un+1 2 =](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022063014/5fd061e475bc11674d3220c4/html5/thumbnails/86.jpg)
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Schwarz du point devue continu
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Schwarz comme
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Rappels sur lepreconditionnement
Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Restricted Additive Schwarz
Cai et Sarkis (1998):
”While working on a AS/GMRES algorithmin an Euler simulation, we removed part ofthe communication routine and surprisingly the”then AS” method converged faster in bothterms of iteration counts and CPU time.”
R1U R2U
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Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
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Alternatives
Conclusion
Restricted Additive Schwarz
Cai et Sarkis (1998):
”While working on a AS/GMRES algorithmin an Euler simulation, we removed part ofthe communication routine and surprisingly the”then AS” method converged faster in bothterms of iteration counts and CPU time.”
R1U R2U
R1U R2U
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Schwarz du point devue continu
Schwarz du point devue discret
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Schwarz comme
preconditionneur
Rappels sur lepreconditionnement
Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Restricted Additive SchwarzSchwarz Additif
Un+1 = Un + (R t1A
−11 R1 + R t
2A−12 R2)(b − AUn)
Restricted Additive Schwarz
Un+1 = Un + (R t1A
−11 R1 + R t
2A−12 R2)(b − AUn)
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Methodes de
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Schwarz du point devue discret
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Schwarz comme
preconditionneur
Rappels sur lepreconditionnement
Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Restricted Additive SchwarzSchwarz Additif
Un+1 = Un + (R t1A
−11 R1 + R t
2A−12 R2)(b − AUn)
Restricted Additive Schwarz
Un+1 = Un + (R t1A
−11 R1 + R t
2A−12 R2)(b − AUn)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
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Schwarz du point devue continu
Schwarz du point devue discret
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Schwarz comme
preconditionneur
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Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Schwarz RAS en 2D
00.10.20.30.40.50.60.70.80.91
0
0.5
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
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Schwarz du point devue continu
Schwarz du point devue discret
Methode de
Schwarz comme
preconditionneur
Rappels sur lepreconditionnement
Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Schwarz RAS en 2D
00.10.20.30.40.50.60.70.80.91
0
0.5
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
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Introduction aux
methodes de
Schwarz
Veronique Martin
Introduction
Methodes de
Schwarz
Schwarz du point devue continu
Schwarz du point devue discret
Methode de
Schwarz comme
preconditionneur
Rappels sur lepreconditionnement
Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Schwarz RAS en 2D
00.10.20.30.40.50.60.70.80.91
0
0.5
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
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Introduction aux
methodes de
Schwarz
Veronique Martin
Introduction
Methodes de
Schwarz
Schwarz du point devue continu
Schwarz du point devue discret
Methode de
Schwarz comme
preconditionneur
Rappels sur lepreconditionnement
Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Schwarz RAS en 2D
00.10.20.30.40.50.60.70.80.91
0
0.5
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
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Schwarz
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Schwarz
Schwarz du point devue continu
Schwarz du point devue discret
Methode de
Schwarz comme
preconditionneur
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Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Schwarz RAS en 2D
00.10.20.30.40.50.60.70.80.91
0
0.5
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
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Schwarz
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Schwarz
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Schwarz comme
preconditionneur
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Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Lien continu/discret
ContinuSchwarz Alterne(Schwarz 1870)
Schwarz parallele(Lions 1988)
Discret MS AS RAS
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Schwarz comme
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Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Lien continu/discret
ContinuSchwarz Alterne(Schwarz 1870)
Schwarz parallele(Lions 1988)
Discret MS AS RAS
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Schwarz
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Schwarz comme
preconditionneur
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Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Lien continu/discret
ContinuSchwarz Alterne(Schwarz 1870)
Schwarz parallele(Lions 1988)
Discret MS AS RAS
Reference: Why Restricted Additive Schwarz Converges Faster thanAdditive Schwarz, E. Efstathiou and M.J. Gander, BIT NumericalMathematics. 2002.
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Schwarz comme
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Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Schwarz alterne
0 1 β − 1 β
α N + 1
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Schwarz
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Schwarz comme
preconditionneur
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Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Schwarz alterne
0 1 β − 1 β
α N + 1
A1
v1· · ·vβ−1
n+1
=
b1· · ·
bβ−1 +1
h2wnβ
A2
wα+1
· · ·wN
n+1
=
bα+1 +1
h2vn+1α
· · ·bN
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Schwarz
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Schwarz comme
preconditionneur
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Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Matrice Laplacien
A =1
h2
2 −1
− 1 2. . .
. . .. . . −1−1 2 − 1
− 1 2 −1
− 1 2. . .
. . .. . . −1−1 2
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Schwarz
Schwarz du point devue continu
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Schwarz comme
preconditionneur
Rappels sur lepreconditionnement
Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Outline
Introduction
Methodes de SchwarzSchwarz du point de vue continuSchwarz du point de vue discret
Methode de Schwarz comme preconditionneurRappels sur le preconditionnementPreconditionnement par volumePrecond. par sous-structuration
Vers les methodes optimiseesLimitiations de la methode de Schwarz classiqueAlternatives
Conclusion
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Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
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optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Outline
Introduction
Methodes de SchwarzSchwarz du point de vue continuSchwarz du point de vue discret
Methode de Schwarz comme preconditionneurRappels sur le preconditionnementPreconditionnement par volumePrecond. par sous-structuration
Vers les methodes optimiseesLimitiations de la methode de Schwarz classiqueAlternatives
Conclusion
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Schwarz
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Schwarz comme
preconditionneur
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Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Conditionnement de la matrice du Laplacien
Definition du conditionnement de A:
κ2(A) = ‖A‖2‖A−1‖2.
Si A est symetrique, definie positive:
κ2(A) =λmax(A)
λmin(A)
Valeurs propres du Laplacien:
λj =4
h2sin2(
jπh
2), 1 ≤ j ≤ N.
Conditionnement du Laplacien:
κ2(A) =sin2(Nπh
2)
sin2(πh2)
≃ 4
π2
1
h2.
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Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Conditionnement de la matrice du Laplacien
Definition du conditionnement de A:
κ2(A) = ‖A‖2‖A−1‖2.
Si A est symetrique, definie positive:
κ2(A) =λmax(A)
λmin(A)
Valeurs propres du Laplacien:
λj =4
h2sin2(
jπh
2), 1 ≤ j ≤ N.
Conditionnement du Laplacien:
κ2(A) =sin2(Nπh
2)
sin2(πh2)
≃ 4
π2
1
h2.
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Schwarz comme
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Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Vitesse de convergence et conditionnement
Vitesse de convergence du point fixe :Un+1 = Un + λ(b − AUn):
K2(A)− 1
K2(A) + 1= 1−O(h2).
Vitesse de convergence du gradient conjugue:
√
K2(A)− 1√
K2(A) + 1= 1−O(h).
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Preconditionnementpar volume
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Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Vitesse de convergence et conditionnement
Vitesse de convergence du point fixe :Un+1 = Un + λ(b − AUn):
K2(A)− 1
K2(A) + 1= 1−O(h2).
Vitesse de convergence du gradient conjugue:
√
K2(A)− 1√
K2(A) + 1= 1−O(h).
Idee: preconditionner le systeme:
M−1AX = M−1b,
avec κ2(M−1A) << κ2(A).
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Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Outline
Introduction
Methodes de SchwarzSchwarz du point de vue continuSchwarz du point de vue discret
Methode de Schwarz comme preconditionneurRappels sur le preconditionnementPreconditionnement par volumePrecond. par sous-structuration
Vers les methodes optimiseesLimitiations de la methode de Schwarz classiqueAlternatives
Conclusion
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Methodes de
Schwarz
Schwarz du point devue continu
Schwarz du point devue discret
Methode de
Schwarz comme
preconditionneur
Rappels sur lepreconditionnement
Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Methode de point fixe
Methode du point fixe:
Un+1 = Un +M−1(b − AUn)
Methodes de decomposition de domaine
AS : Un+1 = Un + (R t1A
−11 R1 + R t
2A−12 R2)(b − AUn)
RAS : Un+1 = Un + (R t1A
−11 R1 + R t
2A−12 R2)(b − AUn)
Ce sont des methodes de point fixe sur le systemepreconditionne.Idee:Utiliser une methode de Krylov sur ce meme systemepreconditionne.
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Schwarz
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Methodes de
Schwarz
Schwarz du point devue continu
Schwarz du point devue discret
Methode de
Schwarz comme
preconditionneur
Rappels sur lepreconditionnement
Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Methode de point fixe
Methode du point fixe:
Un+1 = Un +M−1(b − AUn)
Methodes de decomposition de domaine
AS : Un+1 = Un + (R t1A
−11 R1 + R t
2A−12 R2)(b − AUn)
RAS : Un+1 = Un + (R t1A
−11 R1 + R t
2A−12 R2)(b − AUn)
Ce sont des methodes de point fixe sur le systemepreconditionne.Idee:Utiliser une methode de Krylov sur ce meme systemepreconditionne.
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Methodes de
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Methode de
Schwarz comme
preconditionneur
Rappels sur lepreconditionnement
Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Methode de point fixe
Methode du point fixe:
Un+1 = Un +M−1(b − AUn)
Methodes de decomposition de domaine
AS : Un+1 = Un + (R t1A
−11 R1 + R t
2A−12 R2)(b − AUn)
RAS : Un+1 = Un + (R t1A
−11 R1 + R t
2A−12 R2)(b − AUn)
Ce sont des methodes de point fixe sur le systemepreconditionne.Idee:Utiliser une methode de Krylov sur ce meme systemepreconditionne.
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Methode de
Schwarz comme
preconditionneur
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Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Methode de gradient conjugue
X 0 donne.r0 = b − AX 0
d0 = r0
TQ Non convergenceγk = ‖rk‖2/(Adk , rk)X k+1 = X k + γkdk
rk+1 = rk − γkAdk
ζk = −(rk+1,Adk)/(dk ,Adk)dk+1 = rk+1 + ζkdk
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Schwarz comme
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Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
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optimisees
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Alternatives
Conclusion
Methode de gradient conjugue preconditionne
X 0 donne.r0 = b − AX 0
Mz0 = r0
d0 = z0
TQ Non convergenceγk = (zk , rk)/(Adk , dk)X k+1 = X k + γkdk
rk+1 = rk − γkAdk
Mzk+1 = rk+1
ζk = −(zk+1,Adk)/(dk ,Adk)dk+1 = zk+1 + ζkdk
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Schwarz
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Schwarz
Schwarz du point devue continu
Schwarz du point devue discret
Methode de
Schwarz comme
preconditionneur
Rappels sur lepreconditionnement
Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
AS comme preconditionneur
Preconditionneur:
M−1AS = R t
1A−11 R1 + R t
2A−12 R2.
C’est un preconditionneur symetrique.
En Octave:
P=@(x) R1’*(A1\(R1*x))+R2’*(A2\(R2*x));
[u, f, res, it, resccg, eig] ...
= pcg (A,F,[],[],P,[]);
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Introduction aux
methodes de
Schwarz
Veronique Martin
Introduction
Methodes de
Schwarz
Schwarz du point devue continu
Schwarz du point devue discret
Methode de
Schwarz comme
preconditionneur
Rappels sur lepreconditionnement
Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
AS comme preconditionneur
0 5 10 15 2010
−15
10−10
10−5
100
105
AS
IteratifGradient conjugue
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Introduction aux
methodes de
Schwarz
Veronique Martin
Introduction
Methodes de
Schwarz
Schwarz du point devue continu
Schwarz du point devue discret
Methode de
Schwarz comme
preconditionneur
Rappels sur lepreconditionnement
Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
RAS comme preconditionneur
Preconditionneur:
M−1RAS = R t
1A−11 R1 + R t
2A−12 R2.
Ce n’est pas un preconditionneur symetrique.
En Octave:
P=@(x) Rt1’*(A1\(R1*x))+Rt2’*(A2\(R2*x));
[u, f, res, it, res] = gmres(A,F,[],[],[],P);
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Methodes de
Schwarz
Schwarz du point devue continu
Schwarz du point devue discret
Methode de
Schwarz comme
preconditionneur
Rappels sur lepreconditionnement
Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
RAS comme preconditionneur
0 5 10 15 2010
−15
10−10
10−5
100
105
RAS
IteratifGMRES
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Schwarz
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Schwarz
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Schwarz comme
preconditionneur
Rappels sur lepreconditionnement
Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Outline
Introduction
Methodes de SchwarzSchwarz du point de vue continuSchwarz du point de vue discret
Methode de Schwarz comme preconditionneurRappels sur le preconditionnementPreconditionnement par volumePrecond. par sous-structuration
Vers les methodes optimiseesLimitiations de la methode de Schwarz classiqueAlternatives
Conclusion
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methodes de
Schwarz
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Methodes de
Schwarz
Schwarz du point devue continu
Schwarz du point devue discret
Methode de
Schwarz comme
preconditionneur
Rappels sur lepreconditionnement
Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Preconditionnement par sous-structuration
Notations:
G1 : (z , f ) → u1(b) ou
− u′′1 + αu1 = f sur ]0, a[
u1(0) = 0
u1(a) = z
G2 : (z , f ) → u2(a) ou
− u′′2 + αu2 = f sur ]b, 1[
u2(b) = z
u2(1) = 0
Algorithme de Schwarz parallele:
− (un+11 )′′ + αun+1
1 = f sur ]0, a[
un+11 (0) = 0
un+11 (a) = un2(a)
− (un+12 )′′ + αun+1
2 = f sur ]b, 1[
un+12 (b) = un1(b)
un+12 (1) = 0
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Schwarz
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Schwarz comme
preconditionneur
Rappels sur lepreconditionnement
Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Preconditionnement par sous-structuration
Notations:
G1 : (z , f ) → u1(b) ou
− u′′1 + αu1 = f sur ]0, a[
u1(0) = 0
u1(a) = z
G2 : (z , f ) → u2(a) ou
− u′′2 + αu2 = f sur ]b, 1[
u2(b) = z
u2(1) = 0
Algorithme de Schwarz parallele:
− (un+11 )′′ + αun+1
1 = f sur ]0, a[
un+11 (0) = 0
un+11 (a) = un2(a)
− (un+12 )′′ + αun+1
2 = f sur ]b, 1[
un+12 (b) = un1(b)
un+12 (1) = 0
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Schwarz
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Schwarz comme
preconditionneur
Rappels sur lepreconditionnement
Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Preconditionnement par sous-structuration
Algorithme de Schwarz parallele:
un+11 (b) = G1(u
n2 (a), f ) = G1(u
n2 (a), 0) + G1(0, f )
un+12 (a) = G2(u
n1 (b), f ) = G2(u
n1(b), 0) + G2(0, f ).
ou
(
u1(b)
u2(a)
)n+1
=
(
0 G1(·, 0)G2(·, 0) 0
)
(
u1(b)
u2(a)
)n
+
(
G1(0, f )
G2(0, f )
)
Ceci est un algorithme de Jacobi pour le systeme:
(
Id −G1(·, 0)−G2(·, 0) Id
)
(
g1
g2
)
=
(
G1(0, f )
G2(0, f )
)
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Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Preconditionnement par sous-structuration
Algorithme de Schwarz parallele:
un+11 (b) = G1(u
n2 (a), f ) = G1(u
n2 (a), 0) + G1(0, f )
un+12 (a) = G2(u
n1 (b), f ) = G2(u
n1(b), 0) + G2(0, f ).
ou
(
u1(b)
u2(a)
)n+1
=
(
0 G1(·, 0)G2(·, 0) 0
)
(
u1(b)
u2(a)
)n
+
(
G1(0, f )
G2(0, f )
)
Ceci est un algorithme de Jacobi pour le systeme:
(
Id −G1(·, 0)−G2(·, 0) Id
)
(
g1
g2
)
=
(
G1(0, f )
G2(0, f )
)
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Schwarz comme
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Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Preconditionnement par sous-structuration
Algorithme de Schwarz parallele:
un+11 (b) = G1(u
n2 (a), f ) = G1(u
n2 (a), 0) + G1(0, f )
un+12 (a) = G2(u
n1 (b), f ) = G2(u
n1(b), 0) + G2(0, f ).
ou
(
u1(b)
u2(a)
)n+1
=
(
0 G1(·, 0)G2(·, 0) 0
)
(
u1(b)
u2(a)
)n
+
(
G1(0, f )
G2(0, f )
)
Ceci est un algorithme de Jacobi pour le systeme:
(
Id −G1(·, 0)−G2(·, 0) Id
)
(
g1
g2
)
=
(
G1(0, f )
G2(0, f )
)
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Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Preconditionnement par sous-structuration
Algorithme de Schwarz parallele:
un+11 (b) = G1(u
n2 (a), f ) = G1(u
n2 (a), 0) + G1(0, f )
un+12 (a) = G2(u
n1 (b), f ) = G2(u
n1(b), 0) + G2(0, f ).
ou
(
u1(b)
u2(a)
)n+1
=
(
0 G1(·, 0)G2(·, 0) 0
)
(
u1(b)
u2(a)
)n
+
(
G1(0, f )
G2(0, f )
)
Ceci est un algorithme de Jacobi pour le systeme:
(
Id −G1(·, 0)−G2(·, 0) Id
)
(
g1
g2
)
=
(
G1(0, f )
G2(0, f )
)
Idee: Resoudre ce systeme par une methode de Krylov.
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Schwarz comme
preconditionneur
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Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Programme Octave
T= @(g) [g(1)-R1*lap1d(zz,alpha,x1,0,g(2));
g(2)-R2*lap1d(zz,alpha,x2,g(1),0)];
bb=zeros(2,1);
bb(1)=R1*lap1d(f,alpha,x1,g0,0);
bb(2)=R2*lap1d(f,alpha,x2,0,g1);
[G, fl, res, it, res] = gmres(T,bb);
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Schwarz
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Schwarz
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Methode de
Schwarz comme
preconditionneur
Rappels sur lepreconditionnement
Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Resultats Numeriques 1D
2 4 6 8 10 12 14 16 18
10−15
10−10
10−5
Iteratif
GMRES
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Schwarz
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Methodes de
Schwarz
Schwarz du point devue continu
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Methode de
Schwarz comme
preconditionneur
Rappels sur lepreconditionnement
Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Outline
Introduction
Methodes de SchwarzSchwarz du point de vue continuSchwarz du point de vue discret
Methode de Schwarz comme preconditionneurRappels sur le preconditionnementPreconditionnement par volumePrecond. par sous-structuration
Vers les methodes optimiseesLimitiations de la methode de Schwarz classiqueAlternatives
Conclusion
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methodes de
Schwarz
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Introduction
Methodes de
Schwarz
Schwarz du point devue continu
Schwarz du point devue discret
Methode de
Schwarz comme
preconditionneur
Rappels sur lepreconditionnement
Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Outline
Introduction
Methodes de SchwarzSchwarz du point de vue continuSchwarz du point de vue discret
Methode de Schwarz comme preconditionneurRappels sur le preconditionnementPreconditionnement par volumePrecond. par sous-structuration
Vers les methodes optimiseesLimitiations de la methode de Schwarz classiqueAlternatives
Conclusion
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Schwarz
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Methodes de
Schwarz
Schwarz du point devue continu
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Methode de
Schwarz comme
preconditionneur
Rappels sur lepreconditionnement
Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Limitations de la methode de Schwarz classique
P.L. Lions 1990:
”However, the Schwarz method requires that the sub-domains overlap, and this may be a severe restriction- without speaking of the obvious or intuitive wasteof efforts in the region shared by the subdomains.”
Lun+11 = f dans Ω1
(∂n1 + p1)un+11 = (∂n1 + p1)u
n2 sur Γ1
Lun+12 = f dans Ω2
(∂n2 + p2)un+12 = (∂n2 + p2)u
n1 sur Γ2
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Schwarz du point devue continu
Schwarz du point devue discret
Methode de
Schwarz comme
preconditionneur
Rappels sur lepreconditionnement
Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Limitations de la methode de Schwarz alterneeLa methode de Schwarz alternee ne converge pas surl’equation de Helmholtz:
u + ω2u = f dans R2.
Schwarz alterne:
(+ ω2)un+11 = f sur ]−∞, d [×R,
un+11 (d , ·) = un2 (d , ·)
(+ ω2)un+12 = f sur ]0,+∞[×R,
un+12 (0, ·) = un1 (0, ·)
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Methodes de
Schwarz
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Schwarz du point devue discret
Methode de
Schwarz comme
preconditionneur
Rappels sur lepreconditionnement
Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Limitations de la methode de Schwarz alterneeLa methode de Schwarz alternee ne converge pas surl’equation de Helmholtz:
u + ω2u = f dans R2.
Schwarz alterne: eni = u − uni
(+ ω2)en+11 = 0 sur ]−∞, d [×R,
en+11 (d , ·) = en2 (d , ·)
(+ ω2)en+12 = 0 sur ]0,+∞[×R,
en+12 (0, ·) = en1 (0, ·)
Taux de convergence:
ρ(k) = e−2d√k2−ω2
.
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Schwarz
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Methodes de
Schwarz
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Methode de
Schwarz comme
preconditionneur
Rappels sur lepreconditionnement
Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Outline
Introduction
Methodes de SchwarzSchwarz du point de vue continuSchwarz du point de vue discret
Methode de Schwarz comme preconditionneurRappels sur le preconditionnementPreconditionnement par volumePrecond. par sous-structuration
Vers les methodes optimiseesLimitiations de la methode de Schwarz classiqueAlternatives
Conclusion
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methodes de
Schwarz
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Introduction
Methodes de
Schwarz
Schwarz du point devue continu
Schwarz du point devue discret
Methode de
Schwarz comme
preconditionneur
Rappels sur lepreconditionnement
Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Methode de Schur
Resoudre −u = f sur Ω est equivalent a resoudre:
−u1 = f dans Ω1 −u2 = f dans Ω2
u1 = u2 sur Γ∂u1∂n1
=∂u2∂n2
sur Γ
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Schwarz
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Methodes de
Schwarz
Schwarz du point devue continu
Schwarz du point devue discret
Methode de
Schwarz comme
preconditionneur
Rappels sur lepreconditionnement
Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Methode de Schur
Resoudre −u = f sur Ω est equivalent a resoudre:
−u1 = f dans Ω1 −u2 = f dans Ω2
u1 = u2 sur Γ∂u1∂n1
=∂u2∂n2
sur Γ
Idee:
−un+11 = f dans Ω1,
un+11 = λ sur Γ
−un+12 = f dans Ω2,
un+12 = λ sur Γ
Chercher λ tel que∂u1∂n1
− ∂u2∂n2
= 0.
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Introduction aux
methodes de
Schwarz
Veronique Martin
Introduction
Methodes de
Schwarz
Schwarz du point devue continu
Schwarz du point devue discret
Methode de
Schwarz comme
preconditionneur
Rappels sur lepreconditionnement
Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Methode Dirichlet-Neumann
Algorithme:
− (un+11 )′′ = f dans ]a, γ[
un+11 (a) = 0
un+11 (γ) = un2(γ)
− (un+12 )′′ = f dans ]γ, b[
un+12 (b) = 0
(un+12 )′(γ) = (un1)
′(γ)
Condition de convergence pour f = 0:
γ > (a + b)/2.
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Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Methode Dirichlet-Neumann
Algorithme relaxe:
− (un+11 )′′ = f dans ]a, γ[
u1(a) = 0
un+11 (γ) = λn
− (un+12 )′′ = f dans ]γ, b[
u2(b) = 0
(un+12 )′(γ) = (un1 )
′(γ)
λn+1 := θun+12 (γ) + (1− θ)λn.
C’est un algorithme de Richardson preconditionne pour leprobleme de Schur.
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Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Methode de Schwarz optimisee
Algorithme avec conditions de Robin:
(− + α)un+11 = f dans R2
(∂n + p)un+11 = (∂n + p)un2 sur 0 × R,
(− + α)un+12 = f dans R2
(∂n − p)un+12 = (∂n − p)un1 sur 0 × R.
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Schwarz comme
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Rappels sur lepreconditionnement
Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Methode de Schwarz optimisee
Algorithme avec conditions de Robin:
(− + α)un+11 = f dans R2
(∂n + p)un+11 = (∂n + p)un2 sur 0 × R,
(− + α)un+12 = f dans R2
(∂n − p)un+12 = (∂n − p)un1 sur 0 × R.
Taux de convergence:
en1 (x , k) = Ane√α+k2x , en2 (x , k) = Bne−
√α+k2x
ρ(k) =
(
p −√α+ k2
p +√α+ k2
)2
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Schwarz
Schwarz du point devue continu
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Methode de
Schwarz comme
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Rappels sur lepreconditionnement
Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Outline
Introduction
Methodes de SchwarzSchwarz du point de vue continuSchwarz du point de vue discret
Methode de Schwarz comme preconditionneurRappels sur le preconditionnementPreconditionnement par volumePrecond. par sous-structuration
Vers les methodes optimiseesLimitiations de la methode de Schwarz classiqueAlternatives
Conclusion
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methodes de
Schwarz
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Introduction
Methodes de
Schwarz
Schwarz du point devue continu
Schwarz du point devue discret
Methode de
Schwarz comme
preconditionneur
Rappels sur lepreconditionnement
Preconditionnementpar volume
Precond. parsous-structuration
Vers les methodes
optimisees
Limitiations de lamethode de Schwarzclassique
Alternatives
Conclusion
Conclusion
Methode de Schwarz Necessite d’un recouvrement pour Schwarz classique Cas N sous-domaines: necessite d’un preconditionneur
grille grossiere Lien discret/continu
Methode de Schwarz comme preconditionneur