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Introduction aux mathématiques discrètes
François SchwarzentruberUniversité de Rennes 1
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Pourquoi cette mise à niveau en mathématiques ?
Plus tard :I DéveloppeurI IngénieurI Chercheur
Pour avoir les idées claires :I communiquer ses idées dans un langage mathématique
propreI comprendre les autres,I raisonner (terminaison d’un programme, etc.)
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Introduction
Ce cours est un voyage au pays des mathématiques discrètes.
BibliographieI André Arnold, Irène Guessarian. Mathématiques pour
l’informatique.I Alfred Aho, Jeffrey Ullman. Concepts fondamentaux de
l’informatique.
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Plan
Démonstration
Ensembles
Deux techniques de démonstration
Relations
Logique
Cardinalité
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Plan
DémonstrationImplicationEquivalence
Ensembles
Deux techniques de démonstration
Relations
Logique
Cardinalité
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Syllogismes
On sait que :I Tous les hommes sont mortels;I Socrate est un homme.
On en déduit :I Socrate est mortel.
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Démonstration
On sait que :1. Tous les hommes sont des primates;2. Tous les mamifères sont mortels et sympas;3. Tous les primates sont des mamifères;
TheoremSocrate est un homme alors Socrate est mortel. (on noteSocrate est un homme⇒ Socrate est mortel)
Proof.Supposons que Socrate est un homme. Par 1. Socrate est uneprimate. Par 3. Socrate est un mamifère. Par 2. Socrate estmortel et sympa, donc en particulier il est mortel.
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Plan
DémonstrationImplicationEquivalence
Ensembles
Deux techniques de démonstration
Relations
Logique
Cardinalité
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Equivalence
On dit que A⇔ B si:I A⇒ BI B ⇒ A.
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Exercice
On sait que :1. Tous les hommes sont des primates;2. Tous les hommes sont intelligents;3. Tous les primates sont des mamifères;4. Tous les êtres intelligents sont conscients;5. Les mamifères conscients sont des hommes;
Montrer que Socrate est un homme ssi Socrate est unmamifère intelligent.
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Plan
Démonstration
Ensembles
Deux techniques de démonstration
Relations
Logique
Cardinalité
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Plan
Démonstration
EnsemblesBaseOpérationsProduits cartésiensPartiesStructure de données
Deux techniques de démonstration
Relations
Logique
Cardinalité12/104 François Schwarzentruber Université de Rennes 1 Introduction aux mathématiques discrètes 12
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Ensembles - Motivation
Manipulation d’ensembles dans un algorithme :I Ensemble de chansonsI Jeu vidéo : ensemble des ennemisI Trajet en train : parcours d’un graphe et ensemble des
sommets visitésI etc.
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Ensemble
Voici trois entiers, trois éléments...
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Ensemble
On crée un ensemble :
Notation : {1,2,3}
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Relation entre éléments et ensemble : appartenance
l’élément x appartient à l’ensemble E ou x est dans E
Notationx ∈ E
I 1 ∈ {1,2,3}1 appartient à l’ensemble {1,2,3}
I 4 6∈ {1,2,3}4 n’appartient pas à l’ensemble {1,2,3}
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Des ensembles... on peut en créer pleins !
I {1,2,3,5}I {3,6}I {1}I {1, . . . ,100}I N (ensemble des entiers naturels)
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L’ensemble vide
Notation∅
RemarquePour tout élément x, on a x 6∈ ∅!
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Ensemble : l’ordre n’a pas d’importance
{1,2,3} {1,3,2} {2,1,3} . . .
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Définition en intension
NotationEnsemble des éléments de A qui vérifient la propriété P :{x ∈ A | P(x)}{x ∈ N | x est pair}{x ∈ N | x est impair}
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Egalité de deux ensembles
DefinitionDeux ensembles sont égaux s’ils contiennent les mêmeéléments.
NotationA = B
I {1,2,3} = {2,1,3}I {1,2} = {1,2}I {1,2} 6= {1,2,3}
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Inclusion entre ensembles
DefinitionL’ensemble A est inclu dans l’ensemble B si tous les élémentsde A sont dans B.
NotationA ⊆ B
I {1,2} ⊆ {1,2,3}
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Héritage et inclusion
Si la classe Chat hérite de la classe Animal, alors l’ensembledes instances de Chat est inclus dans l’ensemble desinstances de Animal.
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Cardinalité
DefinitionSoit A un ensemble fini. Le cardinal de A est le nombred’éléments dans A.
Exemple
I card({1,4,456}) = 3;I card({1,4,456,5,6}) = 5.
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Mise au point
I Pour tout ensemble A on a ∅ ⊆ AI A ⊆ B et B ⊆ A si, et seulement si A = B.
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Plan
Démonstration
EnsemblesBaseOpérationsProduits cartésiensPartiesStructure de données
Deux techniques de démonstration
Relations
Logique
Cardinalité26/104 François Schwarzentruber Université de Rennes 1 Introduction aux mathématiques discrètes 26
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Union et intersection
I Union : "on prend tout"{1,2} ∪ {2,3} = {1,2,3}
I Intersection : "on prend ce qui est commun"{1,2} ∩ {2,3} = {2}
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Complémentaire
DefinitionA privé de B est l’ensemble des éléments de A qui ne sont pasdans B.
NotationA \ B
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Complémentaire - exemples
I {1,2,3} \ {1,2} = {3}I N \ {1,2,3} : ensemble des entiers naturels qui ne sont ni
1, ni 2 et ni 3.
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Algèbre
I S ∪ T = T ∪ S;I S ∪ (T ∪ R) = (S ∪ T ) ∪ R;I S ∩ T = T ∩ S;I S ∩ (T ∩ R) = (S ∩ T ) ∩ R;I S ∩ (T ∪ R) = (S ∩ T ) ∪ (S ∩ R);I S ∪ (T ∩ R) = (S ∪ T ) ∩ (S ∪ R);I S \ (T ∪ R) = (S \ T ) \ R;I (S ∪ T ) \ R = (S \ R) ∪ (T \ R)
I S ∪ ∅ = S;I S ∪ S = S ∩ S = S
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Exercices
ExerciceMontrer que
A ⊆ B ⇔ A ∩ B = A⇔ A ∪ B = B
.
ExerciceMontrer que
A = B ⇔ A ∪ B = A ∩ B
.
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Plan
Démonstration
EnsemblesBaseOpérationsProduits cartésiensPartiesStructure de données
Deux techniques de démonstration
Relations
Logique
Cardinalité32/104 François Schwarzentruber Université de Rennes 1 Introduction aux mathématiques discrètes 32
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Couple
(3,5) est un couple composé :I d’une première coordonnée égale à 3 ;I d’une deuxième coordonnée égale à 5.
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Produit cartésien
Le produit cartésien de A et B est l’ensemble des couples(x , y) où x ∈ A et y ∈ B.
NotationA× BN× N est l’ensemble des couples d’entiers.{1,2} × {3,4,5} = ...
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Exercice
ExerciceRésoudre l’équation A× B = ∅.
ExerciceI A-t-on (A ∩ B)× (C ∩ D) =? (A× C) ∩ (B ∩ D)?I A-t-on (A ∪ B)× (C ∪ D) =? (A× C) ∪ (B ∩ D)?
(donner une démonstration ou un contre-exemple)
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Plan
Démonstration
EnsemblesBaseOpérationsProduits cartésiensPartiesStructure de données
Deux techniques de démonstration
Relations
Logique
Cardinalité36/104 François Schwarzentruber Université de Rennes 1 Introduction aux mathématiques discrètes 36
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Parties d’un ensemble
Quels sont les sous-ensembles de ça ?
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Parties d’un ensemble
Il y en a six :
∅ {1} {2} {3} {1,2} {2,3} {1,3} {1,2,3}
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Ensemble des parties d’un ensemble
{∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3}, {1,3}, {1,2,3}}
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Ensemble des parties d’un ensemble
DefinitionP(A) est l’ensemble des ensembles inclus dans A.
P({1,2,3}) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3}, {1,3}, {1,2,3}}
A ⊆ B ssi A ∈ P(B)
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A vous de jouer !
I P({1,2}) = ...
I P({1}) = ...
I P(∅) = ...
I P(P({1})) = ...
I P(P(P(∅))) = ...
I Expliquer x ∈ P(E), x ⊆ P(E) et x ⊆ E .
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Plan
Démonstration
EnsemblesBaseOpérationsProduits cartésiensPartiesStructure de données
Deux techniques de démonstration
Relations
Logique
Cardinalité42/104 François Schwarzentruber Université de Rennes 1 Introduction aux mathématiques discrètes 42
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Interface
Ensemble EI Ajouter un élément : E := E ∪ {x}I Supprimer un élément : E := E \ {x}I Tester l’appartenance : x ∈ E
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Implémentations
I TableauI Tableau triéI ListesI Listes triéesI Arbres binaires de recherche (équilibrés)I Vecteurs caractéristiquesI Tables de hâchage
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Plan
Démonstration
Ensembles
Deux techniques de démonstration
Relations
Logique
Cardinalité
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Plan
Démonstration
Ensembles
Deux techniques de démonstrationRaisonnement par l’absurdeRécurrence - induction
Relations
Logique
Cardinalité
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Raisonnement par l’absurde
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Plan
Démonstration
Ensembles
Deux techniques de démonstrationRaisonnement par l’absurdeRécurrence - induction
Relations
Logique
Cardinalité
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Récurrence - induction. Motivation
En informatique, on manipule des structures inductives :I ListesI Arbres (rouges et noirs, arbres syntaxiques, etc.)I Programmes LISP, JAVA etc.I Squelette animé
On veut :I Définir un objet inductifI Démontrer des propriétés
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Exemple : arbres binaires d’entiers
DefinitionSoit V un ensemble. On définit l’ensemble A des arbrescomme le plus petit ensemble tel que :
I V ⊆ A;I Si a1,a2 ∈ A et v ∈ V , alors noeud(v ,a1,a2) ∈ A.
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Récurrence - Induction
I Cas de base : Je montre P(0)...I Cas récursif : Soit k ∈ N. Supposons P(k). Je montre
P(k + 1)...I Par récurrence, j’ai montré que pour tout k ∈ N, P(k) est
vraie.
–
I Cas de base : Je montre P(v) pour v ∈ V .I Cas inductif : Soit a1,a2 ∈ A pour lesquels je suppose
P(a1) et P(a2). Soit v ∈ V Je montre P(noeud(v ,a1,a2))...I Par induction, j’ai montré que pour tout a ∈ A, P(a) est
vraie.
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A vous de jouer !
Soit f (x) = 13x3 + ax2 + bx .
I Trouver a et b tels que ∀x ∈ R, f (x + 1)− f (x) = x2. Dansla suite, cette propriété est vérifiée.
I Montrer que ∀n ∈ N, f (n) est un entier.I Montrer que pour tout n ∈ N,
Σnk=0k2 = f (n + 1) = n(n+1)(2n+1)
6 .
Soit a un arbre binaire. Donner une inégalité entre le nombrede noeud dans a et la hauteur de a.
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Plan
Démonstration
Ensembles
Deux techniques de démonstration
Relations
Logique
Cardinalité
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Plan
Démonstration
Ensembles
Deux techniques de démonstration
RelationsGénéralitésOrdresRelation d’équivalence
Logique
Cardinalité
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Relations
DefinitionUne relation entre A et B est un sous-ensemble de A× B.
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Relations
DefinitionUne relation sur A est un sous-ensemble de A× A.
I Relation d’amitié dans un réseau socialI Lien entre pages webI Graphe sémantique d’un motI Etat d’une machine s →x :=x+1 s′
I Etats mentaux en psychologie/philosophie (sémantique deKripke)
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Graphe
Une relation sur A est un sous-ensemble de A× A... c’est ungraphe !
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Plan
Démonstration
Ensembles
Deux techniques de démonstration
RelationsGénéralitésOrdresRelation d’équivalence
Logique
Cardinalité
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Ordre (partiel)
DefinitionUn ordre sur E est une relation ≤ sur E :
I réflexive : pour tout x ∈ E , x ≤ x ;I antisymétrique : pour tout x , y ∈ E , x ≤ y et y ≤ x
implique x = y ;I transitive : pour tout x , y , z ∈ E , x ≤ y et y ≤ z implique
x ≤ z.
Exemple :I l’inclusion ;I ‘être un préfixe de’ (utilisée dans les algorithmes de
recherche dans une chaîne de caractères)I ‘divise’
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Ordre total
DefinitionUn ordre total sur E est un ordre ≤ sur E tel que pour toutx , y ∈ E , x ≤ y ou y ≤ x .Exemple :
I ≤ sur les entiers, réels etc.I ordre lexicographique sur les mots
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Application : tableur
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Application : tableur
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Application : compilation, liaison
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Application : compilation, liaison
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Majorant, borne supérieure, maximum
Soit (E ,≤) un ensemble ordonné et A ⊆ E .
I M est un majorant de A ssi ∀x ∈ A, x ≤ M.I M est le maximum de A ssi M est un majorant de A et
M ∈ A. (unicité du maximum s’il existe).
(définition analogue pour minorant et minimum)La borne supérieure de A est le minimum de l’ensemble desmajorants (s’il existe). (définition analogue pour borneinférieure)
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Plan
Démonstration
Ensembles
Deux techniques de démonstration
RelationsGénéralitésOrdresRelation d’équivalence
Logique
Cardinalité
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Motivation : relation d’équivalence
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Motivation : relation d’équivalence
C’est un peu une "égalité faible".I la méthode equals en JAVAI ‘Avoir la même image par une fonction de hâchage’I les nombres rationnels
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Relation d’équivalence
‘Avoir la même couleur’ sur cet ensemble de crayons
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Relation d’équivalence
‘Avoir la même couleur’ sur cet ensemble de crayons
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Relation d’équivalence
C’est un peu une "égalité faible".
DefinitionLa relation R sur E est une relation d’équivalence ssi
I R est réflexive : ∀x ∈ E , xRxI R est transitive : ∀x , y , z ∈ E , (xRy et yRz) implique xRzI R est symétrique : ∀x , y ∈ E , xRy implique yRx
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Ensemble quotient
E/R
I Classe d’équivalence = ensemble d’éléments qui sontéquivalents.
I Un représentant d’une classe est un élément de cetteclasse.
I Les classes d’équivalence forment une partition.
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Exemple : construction des nombres rationnels
Z× Z∗
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Exemple : les nombres rationnels
Z× Z∗
(a,b)R(x , y) ssi ay = bx .
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Exemple : les nombres rationnels
Q = Z× Z∗/R
(a,b)R(x , y) ssi ay = bx .
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Exemple : les nombres rationnels
public class Rat ionne l{
public i n t getNum ( ) { . . . }public i n t getDenom ( ) { . . . }
@Overridepublic boolean equals ( Object ob j ) {
i f ( ob j instanceof Rat ionne l )return getNum ( ) ∗ ob j . getDenom ( )
== getDenom ( ) ∗ obj . getNum ( ) ;else
return fa lse ;}
}
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Exemple : les nombres rationnels... à vous de jouer !
Montrer que la relation R définie sur Z× Z∗ par (a,b)R(x , y)ssi ay = bx est une relation d’équivalence.
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Structure de données pour une relation d’équivalence
Interface :
I Tester si x est équivalent à y (find) ;I Fusionner deux classes d’équivalence (union).
Implémentation :I Tableaux avec des numéros de classes d’équivalence ;I Arbre binaire (structure Union-Find).
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Plan
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Ensembles
Deux techniques de démonstration
Relations
Logique
Cardinalité
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Motivation de la logique
I ArchitectureI Résoudre une classe de problèmes (Sudoku, planification,
etc.)I Vérification de programmes / de circuitsI Vérification de démonstration
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Plan
Démonstration
Ensembles
Deux techniques de démonstration
Relations
LogiqueLogique des propositionsThéorie des ensemblesLogique du premier ordreLiens avec les ensembles
Cardinalité81/104 François Schwarzentruber Université de Rennes 1 Introduction aux mathématiques discrètes 81
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Résolution de problèmes avec la logique despropositions
I Propositions... ‘la case (2,3) du sudoku contient un 8’ ;I ϕ1 ∧ ϕ2 : ET ;I ϕ1 ∨ ϕ2 : OU ;I ¬ϕ : NEGATION.
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Résolution de problèmes avec la logique despropositions
→ Démonstration avec SAToulouse
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Plan
Démonstration
Ensembles
Deux techniques de démonstration
Relations
LogiqueLogique des propositionsThéorie des ensemblesLogique du premier ordreLiens avec les ensembles
Cardinalité84/104 François Schwarzentruber Université de Rennes 1 Introduction aux mathématiques discrètes 84
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Théorie des ensembles
Applications :I Vérification de démonstrations par ordinateurhttp://us.metamath.org/
De la lecture :I Cori, Lascar. Logique mathématique.I BD Logicomix.
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Paradoxe de Russell
Gottlob Frege - Bertrand Russell. Correspondance. Juin1902-décembre 1904 - mars-juin 1912.
TheoremIl n’existe pas d’ensemble E qui contient tous les ensembles.
Proof.Supposons qu’il existe un ensemble E qui contient tous lesensembles.Soit A = {X ∈ E | X 6∈ X}On a (A ∈ A ssi A 6∈ A).
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Ensembles
Deux techniques de démonstration
Relations
LogiqueLogique des propositionsThéorie des ensemblesLogique du premier ordreLiens avec les ensembles
Cardinalité87/104 François Schwarzentruber Université de Rennes 1 Introduction aux mathématiques discrètes 87
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Logique du premier ordre
I ∀x .ϕ(x). Pour tout x , ϕ(x) est vraie.I ∃x .ϕ(x). Il existe un x tel que ϕ(x) est vraie.
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Plan
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Ensembles
Deux techniques de démonstration
Relations
LogiqueLogique des propositionsThéorie des ensemblesLogique du premier ordreLiens avec les ensembles
Cardinalité89/104 François Schwarzentruber Université de Rennes 1 Introduction aux mathématiques discrètes 89
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Liens avec les ensembles
I Intersection, et, pour tout...{x ∈ A | P(x)} ∩ {x ∈ A | Q(x)} = {x ∈ A | P(x) ∧Q(x)}
⋂i∈I {x ∈ A | Pi(x)} = {x ∈ A | ∀i ∈ I,Pi(x)}
I Union, ou, il existe...{x ∈ A | P(x)} ∪ {x ∈ A | Q(x)} = {x ∈ A | P(x) ∨Q(x)}
⋃i∈I {x ∈ A | Pi(x)} = {x ∈ A | ∃i ∈ I,Pi(x)}
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Deux techniques de démonstration
Relations
Logique
Cardinalité
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Motivation
Informatique : art de représenter des objets infinis avec unestructure finie...
I Expression régulière ∗.txt dans grep ;I Fonction JAVA int → boolean.
QuestionEst-ce qu’on est capable de tout représenter ?
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Motivation
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Plan
Démonstration
Ensembles
Deux techniques de démonstration
Relations
Logique
CardinalitéL’hôtel de HilbertFonctionDénombrabilitéIndénombrabilité
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L’hôtel de Hilbert
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Plan
Démonstration
Ensembles
Deux techniques de démonstration
Relations
Logique
CardinalitéL’hôtel de HilbertFonctionDénombrabilitéIndénombrabilité
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Fonction
Soit A et B deux ensembles.f : A→ B associe à tout élément de A un élément de B.
Examplef : N → N
x 7→ x + 1
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Fonction surjective
Tous les éléments de B sont atteints.∀b ∈ B,∃a ∈ A | b = f (a)
‘A a plus d’éléments que B’.
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Fonction injective
Une image n’a au plus qu’un antécédent.∀a1,a2 ∈ A, f (a1) = f (a2)⇒ a1 = a2
‘A a moins d’éléments que B’
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Fonction bijective
Tout élément de B a un unique antécédent.∀b ∈ B, !∃a ∈ A | b = f (a)
‘A a ‘autant’ d’éléments que B’
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Plan
Démonstration
Ensembles
Deux techniques de démonstration
Relations
Logique
CardinalitéL’hôtel de HilbertFonctionDénombrabilitéIndénombrabilité
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Dénombrabilité
DefinitionUn ensemble E est dénombrable si il existe une bijectionf : N→ E .
Exemple :I N est dénombrable.I N× N est dénombrable.I L’ensemble des mots finis sur {a,b, . . . , z} est
dénombrable.I L’ensemble des fonctions Java int → boolean est
dénombrable.I L’ensemble des mots finis sur N est dénombrable.
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Plan
Démonstration
Ensembles
Deux techniques de démonstration
Relations
Logique
CardinalitéL’hôtel de HilbertFonctionDénombrabilitéIndénombrabilité
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A vous de jouer !
TheoremDémontrer que l’ensemble P(N) n’est pas dénombrable.
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