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Introduction à la relativité générale
Richard TailletJuillet 2015
Université Savoie Mont BlancLAPTh (Laboratoire d’Annecy-le-Vieux de Physique Théorique)
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Plan
Principes et formalismeTests expérimentauxDifficultés
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Nécessité d’une théorie relativiste de la gravitation
L’interaction gravitationnelle ne peut pas être instantanéeElle doit prendre en compte la relativité restreinte
Programme mené à bien par Albert Einstein en 1915
P!ncipes
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Universalité de la chute libre :
« Les objets lancés ou lâchés de la même façontombent de la même façon
indépendamment de leur masse »
P!ncipes
égalité de la masse grave et de la masse inertielle
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Universalité de la chute libre :
« Les objets lancés ou lâchés de la même façontombent de la même façon
indépendamment de leur masse »
P!ncipes
égalité de la masse grave et de la masse inertielle
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Principe d’équivalence :
« Les lois de la physique, pour un observateur en chute libre dans un champ gravitationnel, sont localement identiques à celles en l’absence de gravitation »
P!ncipesRéférentiel en chute libre
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Dans un référentiel inertiel
Dans le référentiel qui nous intéresse (le laboratoire)
P!ncipes
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Dans un référentiel inertiel
Dans le référentiel qui nous intéresse (le laboratoire)
P!ncipes
Remarque : oublier la notion de référentiel galiléen !
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P!ncipesDans un référentiel inertiel
Dans le référentiel qui nous intéresse (le laboratoire)
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forces d’inertie = forces gravitationnelles !
P!ncipes
où
c’est la connexion affine
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P!ncipes
c’est l’équation des géodésiques
Elle donne l’équation des lignes droites dans n’importe quel système de coordonnées
Elle donne l’équation des chemins les plus courts sur des surfaces courbées
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P!ncipesla gravitation est due à la courbure de l’espace-temps
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Dans l’espace-temps usuel (plat) de la RR
P!ncipes
cette relation définit la géométrie de l’espace-temps
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tenseur métrique
P!ncipesDans l’espace-temps usuel (plat) de la RR
réécriturepédante
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Dans un espace-temps courbe
P!ncipes
détermine la relation entre coordonnées et « distances » (géométrie)
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Dans un espace-temps courbe
détermine la relation entre coordonnées et « distances » (géométrie)
P!ncipes
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Dans un espace-temps courbe
c’est aussi un potentiel gravitationnel
P!ncipes
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est la quantité fondamentale en relativité générale
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Remarque #1 sur le potentiel gravitationnel
La présence d’un champ gravitationnel affecte les distances et les durées
P!ncipes
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Remarque #2 sur le potentiel gravitationnel
a la dimension physique de v2
a la dimension physique d’une longueur
P!ncipes
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Métrique de Schwarzschild
dans le videpas de charge électriquedistribution de masse à symétrie sphériqueisotropieconditions aux limites platescoordonnées sphériquesconstante cosmologique nulle
P!ncipes
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Métrique de Schwarzschild
P!ncipes
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Rayon de Schwarzschild
environ 3 km pour le Soleil,environ 1 cm pour la Terre,quelques millions de km pour un trou noir supermassif
P!ncipes
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P!ncipes
à la surface de la Terre
à la surface du Soleil
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P!ncipesremarque sur la géométrie
circonférence d’un cercle de rayon-coordonnée r
distance radiale entre deux points
temps fixé plan équatorial
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P!ncipesremarque sur la géométrie
sur une sphère
sur un plan
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P!ncipesremarque sur la géométrie
pour la métrique de Schwarzschild, dans le plan équatorial :
paraboloïde de Flamm
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P!ncipes
ARGHHHH !
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La courbure détermine le mouvement
Qu’est-ce qui détermine la courbure ? (la métrique ?)
P!ncipes
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Une théorie satisfaisante doit être formulée de façon covariante
P!ncipes
[tenseur] = [tenseur]
[quadrivecteur] = [quadrivecteur]
En relativité restreinte
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Les tenseurs sont des grandeurs qui se transforment d’une façonbien définie par changement de coordonnées
P!ncipes
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Exemple : position, quadri-vitesse
tenseur de Ricci
scalaire de Ricci
P!ncipes
tenseur de courbure
gradient
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Contre-exemples :
P!ncipes
La combinaison suivante est un tenseur
c’est la dérivée covariante
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On s’impose d’écrire des égalités entre tenseurs
P!ncipes
(ça indique notamment comment les forces se transforment)
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La courbure détermine le mouvement
La courbure est déterminée par le contenu de l’espace-temps
P!ncipes
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équations d’Einstein
Ce sont 16 équations différentielles portant sur le tenseur métrique. Elles sont hautement non linéaires
P!ncipes
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Surprise : ça se résoud ! Solution de Schwarzschild
dans le vide, pas de charge électrique, symétrie sphérique, isotropie, conditions aux limites plates, coordonnées sphériques, constante cosmologique nulle
P!ncipes
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Remarque : faire de la physique en espace-temps courbe
P!ncipes
Remplacer partout
par
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Tests expé"mentaux
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Tests expé!mentaux
Succès théorique :
on peut formuler une théorie relativiste de la gravitation !
#0
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Tests expé!mentauxAvance du périhélie de Mercure (1915)
#1
aphélie
périhélie
foyer
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Tests expé!mentauxAvance du périhélie de Mercure (1915)
43 secondes d’arc par siècle pour Mercure,3,8 pour la Terre.
#1
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Tests expé!mentauxDéviation gravitationnelle des rayons lumineux (1919)
1,75 seconde d’arc pour le bord du Soleil
#2
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Tests expé!mentaux
1,75 seconde d’arc pour le bord du Soleil
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Tests expé!mentauxLentilles gravitationnelles
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Tests expé!mentaux
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Tests expé!mentauxExpérience de Pound et Rebka (1959)
#3
Expérience de Hafele & Keating (1971)
GPS (Global Positioning System)
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Tests expé!mentauxRetard de l’écho radar : effet Shapiro (prédit 1964 - mesuré 1968)
#4
Vénus
Terre
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Tests expé!mentaux#4
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Tests expé!mentauxRetard de l’écho radar : effet Shapiro (prédit 1964 - mesuré 1968)
Quelques centaines de microsecondes pour Vénus et Mercure.
On utilise aussi les sondes du Système solaire.
#4
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Tests expé!mentaux#4
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Tests expé!mentauxEffet Einstein-de Sitter ou précession géodétique (1916/1988)
#5
vérifié par Gravity Probe B
quelques arcsec/siècle
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Tests expé!mentauxEntraînement des référentiels : effet Lense-Thirring (1918/2004)
gravitomagnétisme
#6
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sourcedu champ
trajectoire dela particule
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Tests expé!mentauxEntraînement des référentiels : effet Lense-Thirring (1918/2004)
#6
vérifié par LAGEOS
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Tests expé!mentauxOndes gravitationnelles
#7
En fait, c’est subtil. La notion d’énergie gravitationnelle est très délicate à définir en relativité générale.
Longue controverse historique sur la réalité de ces ondes
dit rapidement : ondes dans la structure de l’espace-temps
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ondes gravitationnellesbarres de Weber(années 1960)
#7
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ondes gravitationnellesDétection indirecte dans le pulsar binaire PSR 1913+16
Hulse et Taylor (1974)
#7
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ondes gravitationnellesVirgo, Ligo, e-Lisa
#7
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Tests expé!mentaux
la cosmologie
#8
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CosmologiePrincipe cosmologique
« À grande échelle, l’Univers est homogène et isotrope »
Métrique de Robertson-Walker
#8
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Cosmologie
Expansion de l’UniversHistoire thermiqueNucléosynthèse primordialeFormation des grandes structuresRayonnement de fond cosmologique
#8
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Difficultés
Manipuler des tenseursSingularitésInterprétation des coordonnées
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Singula!tés
quantités singulières pour deux valeurs de r :
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Singula!tés
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Singula!tés
équateursingularité de coordonnées
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Singula!tés
rS
r
r=0
ct
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Singula!téscoordonnées d’Eddington-Finkelstein
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Singula!tés
rS
r
r=0
ct
�
���
����� �����
�
���
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Coordonnées
on a le droit de faire ça ?!?
oui, les coordonnées n’ont pas de sens physique a priori
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Références
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Références
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Références
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Références
http://relativity.livingreviews.org/Articles/lrr-2006-3/
« The Confrontation between General Relativity and Experiment »
Clifford M. Will
Living Reviews in relativity
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http://podcast.grenet.fr/podcast/cours-dintroduction-a-la-relativite-generale/
26 épisodes de 25 à 45 minutes (HD 720)