![Page 1: ,,Învăţând matematică, înveţi să gândeşti’’. Grigore Moisil](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061415/568148d3550346895db5eeec/html5/thumbnails/1.jpg)
,,Învăţând matematică, înveţi să gândeşti’’.
Grigore Moisil
,,Geometria este cea mai bună şi mai simplă dintre toate logicile, cea mai potrivită să dea
inflexibilitate judecăţii şi raţiunii.’’
Denis Diderot
,,Învăţând matematică, înveţi să gândeşti’’.
Grigore Moisil
,,Geometria este cea mai bună şi mai simplă dintre toate logicile, cea mai potrivită să dea inflexibilitate
judecăţii şi raţiunii.’’
Denis Diderot
![Page 2: ,,Învăţând matematică, înveţi să gândeşti’’. Grigore Moisil](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061415/568148d3550346895db5eeec/html5/thumbnails/2.jpg)
Relatii metrice in Relatii metrice in triunghiul dreptunghictriunghiul dreptunghic
Din Istoria MatematiciiDin Istoria Matematicii
![Page 3: ,,Învăţând matematică, înveţi să gândeşti’’. Grigore Moisil](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061415/568148d3550346895db5eeec/html5/thumbnails/3.jpg)
Cap. II RELAŢII METRICE ÎN TRIUNGHIUL DREPTUNGHIC
Cap. II RELAŢII METRICE ÎN TRIUNGHIUL DREPTUNGHIC
2.3. Elemente de trigonometrie
2.4. Câteva proprietăţi ale funcţiilor trigonometrice
2.6. Aplicaţii practice
2.5. Aplicaţii teoretice
2.2. Relaţii metrice în
triunghiul dreptunghic
2.1. Proiecţii ortogonale pe o dreaptă
![Page 4: ,,Învăţând matematică, înveţi să gândeşti’’. Grigore Moisil](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061415/568148d3550346895db5eeec/html5/thumbnails/4.jpg)
GEOMETRIA
Thales
Pitagora
A privit figurile geometrice dezgolite de materie
A descoperit relaţii între elementele triunghiului
A stabilit adevăruri geometrice prin cerecetarea figurilor geometrice
A ridicat geometria la rang de disciplină independentă
Figuri formate din: - linii (imagini ale razelor de lumină)- cercuri (drumul descris de astre pe bolta cerească)
Prima încercare de ordonare a teoremelor astfel încât să se deducă logic unele din altele
“marea teoremă” – record de demonstraţii (2000, din care 8 aparţin unor profesori români)
Şcoala pitagorică
![Page 5: ,,Învăţând matematică, înveţi să gândeşti’’. Grigore Moisil](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061415/568148d3550346895db5eeec/html5/thumbnails/5.jpg)
Teorema lui Pitagora
,,În orice triunghi dreptunghic,
pătratul lungimii ipotenuzei
este egal cu suma pătratelor
lungimilor catetelor’’
![Page 6: ,,Învăţând matematică, înveţi să gândeşti’’. Grigore Moisil](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061415/568148d3550346895db5eeec/html5/thumbnails/6.jpg)
1. Demonstraţi1. Demonstraţiaa folosind teorema catetei folosind teorema catetei
A
CD
B
Δ ABC, m(∢A)=90º, AD BC conf. T.C =>
AB² = BC • BD
AC² = BC • CD , adunând membru cu membru obţinem:AB² + AC² = BC • ( BD + DC)
= BC • BC = BC²
Deci, BC² = AB² + AC² c.c.t.d.
![Page 7: ,,Învăţând matematică, înveţi să gândeşti’’. Grigore Moisil](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061415/568148d3550346895db5eeec/html5/thumbnails/7.jpg)
2. Demonstraţi2. Demonstraţiaa pe baza triunghiurilor pe baza triunghiurilor asemeneaasemenea
A
BC Dxa-x
b c
a
ΔABC ~ ΔDBA (conf. caz UU) =>
1
1
x / c = c / a => c² = ax (1)
ΔABC ~ΔDAC (conf. caz UU) =>
(a-x) / b = b / a => b²= a(a-x)=a²- ax (2)Adunând membru cu mebru (1) + (2) obţinem:
b²+c² = a²+ax – ax
Deci, a² = b² + c² c.c.t.d
TFP
![Page 8: ,,Învăţând matematică, înveţi să gândeşti’’. Grigore Moisil](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061415/568148d3550346895db5eeec/html5/thumbnails/8.jpg)
3. Demonstraţi3. Demonstraţiaa pe baza de arii ale pe baza de arii ale ppăătratelor tratelor
A
BC
ab
c
DE
F
JK
LAria pătratului ABFJ = c² = 3²u.a. = 9 u.a.Aria pătratului ACLK = b² = 4²u.a. = 16 u.a.
Aria pătratului BCDE = a² = 5² u.a. = 25 u.a.
Observăm ca: 5²= 4² + 3², deci
Aria BCDE = Aria ACLK + Aria ABFJ
În concluzie: a² = b² + c² c.c.t.d.
a
b
c
![Page 9: ,,Învăţând matematică, înveţi să gândeşti’’. Grigore Moisil](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061415/568148d3550346895db5eeec/html5/thumbnails/9.jpg)
Numai dreptunghic daca esteNumai dreptunghic daca este
Un biet triunghi, nu e poveste,Un biet triunghi, nu e poveste,
Ci-n totdeauna este adevarat:Ci-n totdeauna este adevarat:
Ipotenuza la patratIpotenuza la patrat
Egala este, neaparat,Egala este, neaparat,
Cu o cateta la patratCu o cateta la patrat
Ce adunata trebuie-ndatCe adunata trebuie-ndat
Cu cealalta la patratCu cealalta la patrat
![Page 10: ,,Învăţând matematică, înveţi să gândeşti’’. Grigore Moisil](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061415/568148d3550346895db5eeec/html5/thumbnails/10.jpg)
Stiati ca:Stiati ca:
Egiptenii realizau unghiuri drepte Egiptenii realizau unghiuri drepte cu ajutorul funiei cu 12 noduri! cu ajutorul funiei cu 12 noduri! Echidistant dispuse pe o funie, Echidistant dispuse pe o funie, cele 12 noduri permiteau cele 12 noduri permiteau transformarea funiei cu ajutorul transformarea funiei cu ajutorul unor tarusi intr-un triunghi unor tarusi intr-un triunghi dreptunghic cu laturile de 3,4,5.dreptunghic cu laturile de 3,4,5.
Se utiliza astfel reciproca Se utiliza astfel reciproca Teoremei lui PitagoraTeoremei lui Pitagora
![Page 11: ,,Învăţând matematică, înveţi să gândeşti’’. Grigore Moisil](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061415/568148d3550346895db5eeec/html5/thumbnails/11.jpg)
11
TEOREMA LUI PITAGORATEOREMA LUI PITAGORA ESTE PARTE ESTE PARTE COMPONENTCOMPONENTĂ A UNITĂŢII DE ÎNVĂŢARE Ă A UNITĂŢII DE ÎNVĂŢARE RELAŢII RELAŢII METRICE ÎN TRIUNGHI DREPTUNGHICMETRICE ÎN TRIUNGHI DREPTUNGHIC. EA COMPLETEAZĂ CUNOŞTINŢELE NECESARE. EA COMPLETEAZĂ CUNOŞTINŢELE NECESAREPENTRU REZOLVAREA TRIUNGHIULUI DREPTUNGHIC ŞI ARE LA BAZĂ PENTRU REZOLVAREA TRIUNGHIULUI DREPTUNGHIC ŞI ARE LA BAZĂ TEOREMA CATETEITEOREMA CATETEI ŞI ŞI TEOREMA ÎNĂLŢIMIITEOREMA ÎNĂLŢIMII ÎNVĂŢATE ÎN LECŢIILE PRECEDENTE. ÎNVĂŢATE ÎN LECŢIILE PRECEDENTE. ACEASTĂ TEOREMĂ SE ATRIBUIE FILOZOFULUI ŞI MATEMATICIANULUI GRECACEASTĂ TEOREMĂ SE ATRIBUIE FILOZOFULUI ŞI MATEMATICIANULUI GREC PITAGORA PITAGORA..
PitagoraPitagora (c. 580 î.Hr. - c.500 î.Hr.) (c. 580 î.Hr. - c.500 î.Hr.) a a fost fost originar originar din insula Samos, întemeietorul pitagorismului,din insula Samos, întemeietorul pitagorismului, care care punea la baza punea la baza întregii întregii realităţirealităţi obiective obiective şi şi subiective teoria numerelor şi a armoniei. Tradiţia îi subiective teoria numerelor şi a armoniei. Tradiţia îi atribuie atribuie descoperirea descoperirea teoremei geometrice şi a teoremei geometrice şi a tablei tablei de înmulţire, care îi poartă de înmulţire, care îi poartă numele.numele. Din studiul Din studiul numerelor, pitagorieniinumerelor, pitagorienii au au conceput conceput numerele numerele figurative, numerelefigurative, numerele perfecte, perfecte, numerelenumerele amiabile, amiabile, au definit numere au definit numere pare şi impare, pare şi impare, au studiat au studiat media media aritmetică, geometrică şi armonică, aritmetică, geometrică şi armonică, au au descoperit descoperit iraţionalitatea – utilizând teorema iraţionalitatea – utilizând teorema ce-i poartă ce-i poartă numele, numele, cunoşteaucunoşteau cele cinci poliedre regulate, tabla cele cinci poliedre regulate, tabla înmulţirii, sistemul zecimal.înmulţirii, sistemul zecimal.
Vechii constructori egipteni foloseau pentru construcţia unghiului drept o funie cu 12 noduri echidistante, legată sub formă de inel şi fixată cu 3 ţăruşi şi obţineau un triunghi dreptunghic cu laturile de (3; 4; 5), utilizând astfel reciproca teoremei lui Pitagora.
Teorema fac parte din categoria teoremelor la care s-au înregistrat în decursul timpului recordul demonstraţiilor (se presupune peste 400).Pentru mai multe detalii despre PitagoraPentru mai multe detalii despre Pitagora: : http://ro.wikipedia.org/wiki/Pitagora
![Page 12: ,,Învăţând matematică, înveţi să gândeşti’’. Grigore Moisil](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061415/568148d3550346895db5eeec/html5/thumbnails/12.jpg)
1212
NUMERE PITAGORICENUMERE PITAGORICE
![Page 13: ,,Învăţând matematică, înveţi să gândeşti’’. Grigore Moisil](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061415/568148d3550346895db5eeec/html5/thumbnails/13.jpg)
Lampas MisteriNu de puţine ori - matematica
este misterioasă şi provocatoare
Lampas Decoris (lampa frumuseţii)
Predarea matematicii este posibilă numai atunci cănd
pe lângă utilitate, îi vedem frumuseţea
Lampas ImaginationisAceastă candelă răspunde
la întrebarea: “Ce ar fi matematica fără
imaginaţia devotaţilor ei?”
Lampas Poesis (candela poeziei)
Ne îndeamnă să simţim poezia matematicii
pentru a putea profesapoezia=frumuseţe
Lampas UtilitasNu putem împărtăţi matematica
decât oprindu-ne asupra utilităţii ei, imaginându-ne ce s-ar
întâmpla omenirii fără ştiinţa matematică
![Page 14: ,,Învăţând matematică, înveţi să gândeşti’’. Grigore Moisil](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061415/568148d3550346895db5eeec/html5/thumbnails/14.jpg)
“Nu ce spun zeii, regii e adevăr curat, Ci doar ceea ce poate să fie demonstrat, Când scoatem adevărul, ce nu-i un simplu joc, Demagogie, mituri, nu-şi au aicea loc.
Cu-aceste-nvăţăminte, ce stau ca ideal Valabil peste secoli, rămâi universal,Sporit-ai patrimoniul întregii omeniri, Asigurându-ţi nimbul supremei Nemuriri” Ion Grigore
![Page 15: ,,Învăţând matematică, înveţi să gândeşti’’. Grigore Moisil](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061415/568148d3550346895db5eeec/html5/thumbnails/15.jpg)
Maths
2
I