Download - Io Ganymède Europe Callisto
2009/10/18 La course des satellites galiléens de Jupiter II 2
Les satellites de Jupiter représentent une très bonne illustration d’un système képlérien simple si l’on ne prend pas en compte les faibles perturbations des orbites :
- orbites circulaires (ellipse e=0)- orbites planes (dans le plan équatorial de Jupiter)- périodes suivant la 3ème loi de Kepler
Dans le TD 1 avec le support de Géogébra il a été construit un modèle animé temporellement :
- avec vue au-dessus de pôle de Jupiter- vue dans le plan équatorial dans une direction
perpendiculaire à la direction du point vernal- animation temporelle dans cette dernière vue pour le
repérage temporel
Dans ce deuxième TD, on va se placer sur la Terre pour voir plus réellement ce que l’on observe. Fichier de départ : plajosat_syssol0.ggb
2009/10/18 La course des satellites galiléens de Jupiter II 3
Les satellites vus de la Terre
orbi
teTe
rre
T
H
SJ
• On part de l’animation précédente avec sa direction de visée.
• Jupiter tourne sur son orbite entrainant ses satellites
• Centre de l’orbite : le Soleil
• On est sur le Terre qui est aussi en orbite
• Jupiter est donc vu dans la direction TJ
• La direction de projection sera perpendiculaire à TJ
1 - Jupiter tournant autour du Soleil et la Terre aussi la direction de projection tourne aussi.
2 – La distance TJ varie avec les deux rotations.Vu de la terre les distances angulaires Jupiter-satellites varieront avec la distance Terre-Jupiter.
Premier travail : tracer à l’échelle un modèle simplifié Soleil Terre Jupiter.
2009/10/18 La course des satellites galiléens de Jupiter II 4
Les satellites vus de la Terre
Simplifications :
• Les orbites, Jupiter, Terre, satellites sont circulaires
• Jupiter et son plan équatorial sont dans l’écliptique.
PT = 365.25 jPJ = 4332.59 j
Données à rentrer dans la partie tableur de la feuille.
aT = 1 u.a.aJ = 5.2 u.a.
Données supplémentaires :
Longitudes origines des planètes en fonction de la date origine : l0T et l0J
Attention le "°" est important pour l’homogénéité des calculs ultérieurs
2009/10/18 La course des satellites galiléens de Jupiter II 5
Les satellites vus de la Terre
Créer sur la feuille Géogébra du système de Jupiter, un système Soleil-Terre-Jupiter qui soit fonction du temps.
Centre xH = 5000 ; yH = 0 cellule B17 et B18
• Echelle du graphique : pour rester compatible avec les dimensions du graphique des satellites.
Unité en u.a. (unités astronomiques) échelle distance = x 400
• Décalage
gdist=400 cellule B16
Le décalage peut être choisi tout autre, à la convenance de chacun.
2009/10/18 La course des satellites galiléens de Jupiter II 6
Les satellites vus de la Terre
Orbites des planètes.
cercle de centre H et rayon 1 x 400
Mettre dans le graphique :
• le point Soleil
• l’orbite de la Terre
cercle de centre H et rayon 5.2 x 400 • l’orbite de Jupiter
ct=cercle[H,D7*gdist]cj=cercle[(H,H),D6*gdist]
H=(x_H,y_H)
x_H = B17 y_H=B18
Cacher les étiquettes
2009/10/18 La course des satellites galiléens de Jupiter II 7
Les satellites vus de la Terre
Positions des planètes
Long. planètes = vitesse angulaire x temps + longitude 0
Vitesse angulaire = 360 / période
Calculer les longitudes des deux planètes en fonction du temps
lt=(360/B7)*tps+E7lj=(360/B6)*tps+E6
Placer les planètes en coordonnées polaires et translations
T=translation[(D7*gdist;lt),vecteur[O,(x_H,y_H)]]
J=translation[(D6*gdist;lj),vecteur[O,(x_H,y_H)]]
Tracer les segments Soleil-planètes et Terre-Jupiter :sht=segment[H,T]shj=segment[H,J]stj=segment[T,J]
Enlever les étiquettes des segments.
Soit le point O=(0,0)
2009/10/18 La course des satellites galiléens de Jupiter II 8
Graphiques système de Jupiter et Système Soleil-Terre-Jupiter
2009/10/18 La course des satellites galiléens de Jupiter II 9
Positions de Jupiter
Le graphique permet de savoir où se trouve Jupiter dans le ciel à une date donnée.
Orientons le graphique pour un observateur à midi. Ouest
Est
Déterminer la position relative de Jupiter par rapport au Soleil
- même direction : conjonction, non visible
- à 180° : opposition, visible toute la nuit
- à l’Ouest : visible plutôt le matin
- à l’Est : visible plutôt le soir
- Est et Ouest suivant rotation de la Terre
- horizon et Soleil au plus haut
On peut faire afficher l’élongation de Jupiter : angle HTJ. elong=Angle[H, T, J].
Elongation : distance angulaire Soleil-planète.
2009/10/18 La course des satellites galiléens de Jupiter II 10
La vision projetée de la Terre n’est pas celle du TD1, suivant un axe perpendiculaire à la direction du point vernal.
La vision terrestre est la projection sur une droite perpendiculaire à la direction Terre-Jupiter.
Les satellites vus de la Terre
La direction de visée est TJ.
Construire le vecteur Terre-Jupiter
vtj=vecteur[T, J]
Regardons ce qui se passe à la hauteur de Jupiter.
Cette droite donnera la direction de la vision de Jupiter et des satellites vus de la Terre.
2009/10/18 La course des satellites galiléens de Jupiter II 11
Terre
Vision suivant convention du TD1
Vision suivant position demandée
Constatation ?
Supposons la Terre dans une direction orthogonale à celle de visée.
Droite de projection
Direction Terre
Projection
Comparaison des visions
Vision jovicentrique et vision terrestre
L’effet de perspective est différent.
2009/10/18 La course des satellites galiléens de Jupiter II 12
la longitude héliocentrique de la Terre lTerre
Connaissant à une date t
la longitude héliocentrique de Jupiter lJup
les rayons des orbites aTerre et aJup
la position du satellites par rapport à Jupiter lSat
Les satellites vus de la Terre
On peut construire la droite de projection perpendiculaire à TJ en J
orbite Jupiter
orbi
te T
erre
H
T
S
lJup
lTerre
lSatJS’
Et trouver les positions des projections (S’).
aT
aJ
dproj=Perpendiculaire[O, stj]
S’ = Intersection[dproj, Perpendiculaire[S, dproj]]
dproj
Soit S un satellite
2009/10/18 La course des satellites galiléens de Jupiter II 13
Les satellites vus de la Terreorbite Jupiter
orbi
te T
erre
H
T
S
lJup
lTerre
lSatJS’
aT
aJ
dproj
Remarque : par simplicité, on projette orthogonalement (SS’), mais réellement il faudrait trouver l’intersection de TS avec la droite de projection.
La distance Terre Jupiter est au minimum de 4.2 u.a. soit plus de 600 000 000 de km et la distance la plus grande d’un satellite est de 1 883 000 km.
La différence est négligeable (voir diapositive du calcul de l’erreur).
2009/10/18 La course des satellites galiléens de Jupiter II 14
Les satellites vus de la Terre
p
yp
p’
S
J
Terre
Soleil
S’’
S’’’
Le satellite se projette en S’
Pour la lisibilité, les projections seront tournées et translatées sur pp’.
Quelles opérations faire ?
1 – Rotation pour amener JT verticalement
Angle du vecteur JT : 0
Donc tourner de angle du vecteur JT :
= 270°-0
S’ vient en S’’
2 – Translation de yp en ordonnées
S’’ vient en S’’’
Terre
0
S’
2009/10/18 La course des satellites galiléens de Jupiter II 15
Les satellites vus de la Terre
2 - Rotation
S’’’=Translation[ Rotation[
Intersection[dproj, Perpendiculaire[S3J, dproj]], θ, O], Vecteur[O, (0, y0 + B20)]]
= 270°-Angle[Vecteur[O, (100, 0)], vtj]
3 – Translation de yp en ordonnées
Résumons
1 – Projection - intersection
dproj=Perpendiculaire[O, stj]
S’=Intersection[dproj, Perpendiculaire[S, dproj]]
Le point de projection sera :
0 = Angle[Vecteur[O, (100, 0)], Vecteur[J, T]]
pyp
p’
S
J
Terre
Soleil
S’’
S’’’Terre
0S’
S’=Rotation[S’,,O]
2009/10/18 La course des satellites galiléens de Jupiter II 16
Effet de la distance
Les angles sous lesquels on voit Jupiter et ses satellites est aussi fonction de la distance Terre Jupiter.
Variation : de 4.2 à 6.2 u.a.
• Plage de variation en u.a. et en % ?
Soit +/-19.2 %
C’est l’ensemble Jupiter et satellites qui paraîtra plus ou moins grand.
Représenter sur une troisième projection, d’ordonnée yp’, l’aspect relatif suivant la distance.
On prendra la projection déjà construite comme projection moyenne, celle où Jupiter est à 5.2 u.a. de la Terre.
Dernier étape
2009/10/18 La course des satellites galiléens de Jupiter II 17
Effet de la distance
L’abscisse du point de projection du satellite variera comme l’inverse de la distance TJ.
L’abscisse du point de projection sera multiplié par le facteur 5.2/TJ
P3SD=(x(P3S) 5.2 / (Longueur[vtj]/ gdist),y0 + B20 + B21)
Remarque : si l’on trace un cercle représentant Jupiter, il faudra aussi tenir compte des variations de son rayon avec la distance.
2009/10/18 La course des satellites galiléens de Jupiter II 18
Eclipses
Il est possible de simuler les éclipses des satellites par Jupiter.
Conditions ?
- dans la projection le satellite doit passer derrière
- être à moins d’un rayon de Jupiter
On connaît la longitude jovicentrique du satellite JS = lS
= β0-Si 00 le satellite est en arrière de Jupiter.
p
yp
p’
S
J
S’
Terre
Soleil
S’’
S’’’
0
x S( ’’’)
Soit l’angle SJT
Critère de distance Satellite-Jupiter : valeur de x(S’’’).
2009/10/18 La course des satellites galiléens de Jupiter II 19
Eclipses
• Test sous Géogébra pour savoir si le satellite est derrière et près de Jupiter :
p
yp
p’
S
J
S’
Terre
Soleil
S’’
S’’’
0
x S( ’’’)
>90 ∧ >270
Si le test vrai, il est derrière, s’il est faux devant.
• Test distance à Jupiter
Le satellite sera à l’intérieur du cercle de Jupiter si :
abs(x(S’’’)) < C6 / 1000
•Test complet (valeur logique) pour le non l’affichage du satellite :
fecl = α > 90 ° α < 270 ° abs(x(PS)) < C6 / 1000∧ ∧
2009/10/18 La course des satellites galiléens de Jupiter II 20
Comme dans le TD1, on peut tracer les configurations temporelles en faisant croître les ordonnée des satellites en fonction de la variable tps.
IV - Tracé des configurations temporelles
Il faudra alors activer la trace des points PxSD
2009/10/18 La course des satellites galiléens de Jupiter II 21
Cette erreur peut être calculée à partir du schéma suivant :
Projection réelle P’ intersection de ST avec la droite de projection
Projection utilisée P intersection de la ligne passant pas S et parallèle à la droite de projection
Erreur : e = PP’
S
J
T
PP’droite de
projectionY
R
d
V - Erreur due à l’effet de projection
En projetant suivant une direction parallèle à l’axe Terre-Jupiter et non la direction terre Satellite on fait une approximation donc une erreur.
2009/10/18 La course des satellites galiléens de Jupiter II 22
Erreur due à l’effet de projection suivant une direction parallèle à l’axe Terre-Jupiter et non la direction terre Satellite.
Calcul
Similitude des triangles SPP’ et SYT
S
J
T
PP’droite de
projectionY
R
d
Le satellite est repéré par le rayon R de son orbite et l’angle de JS avec la droite de projection.
PP
SP
YS
YJ JTe
R
R
R d
'
s in
co s
sin
Construction et calculs dans Géogébra en faisant varier l’angle , c’est-à-dire le temps.
L’erreur pour Callipso ne dépasse pas 3 km et l’erreur sur l’angle, Jupiter au plus près, vaut atan(3/((5.2-1)*150000000) 5/1000ème de sec d’arc.
Faire tracer la variation de e en fonction de tps avec une échelle appropriée.
2009/10/18 La course des satellites galiléens de Jupiter II 23
. . . . . FIN
2009/10/18 La course des satellites galiléens de Jupiter II 24
la longitude héliocentrique de la Terre lJup
Connaissant à une date t
la longitude héliocentrique de Jupiter lTerre
les rayons des orbites aTerre et aJup
la position du satellites par rapport à Jupiter lSat
Il faut calculer l’orientation de GJ pour projeter S sur la perpendiculaire à GJ
orb ite Jup iter
orbi
te T
erre
O
G
S
lJup
lTerre
lSatJ
S ’
Les satellites vus de la Terre
GJ O J OG O J OG l lJup Terre2 2 2 2 co s( )GJ a a a a l lJ T J T Jup Terre
2 2 2 2 co s( )
Triangle OGJ :
a a G J a G JT J J2 2 2 2 cos
cos
a G J a
a G JJ T
J
2 2 2
2
Méthode analytique
2009/10/18 La course des satellites galiléens de Jupiter II 25
Quand la vision de la Terre est-elle semblable (à une homothétie près) À la convention d’observation TD partie I ?
La Terre doit voir Jupiter dans la direction de longitude géocentrique = +90°
Quand cela se produit-il ?
Vision géocentrique
2009/10/18 La course des satellites galiléens de Jupiter II 26
Quand cela se produit-il ?
Jupiter doit être entre les deux traits verticaux bleus. Longitudes héliocentriques des points J1J2
J1J2
Mesurer par Géogébra les longitudes de J1 et J2 et l’angle J1HJ2.
Construire les demi-droites limites et trouver les points d’intersection avec l’orbite de Jupiter : J1et J2.
2009/10/18 La course des satellites galiléens de Jupiter II 27
Longitudes de Jupiter
yv1=demidroite[(-gdist+B16,0),(-gdist+B16,100)]yv2=demidroite[(gdist+B16,0),(gdist+B16,100)]P1J=intersection[yv1,cj]P2J=intersection[yv2,cj]
J1J2
HJ2 = 101.1°HJ1 = 78.9°
Durée du passage ?
267 jours
Période sidérale de Jupiter : 360° en 4333j
2009/10/18 La course des satellites galiléens de Jupiter II 28
►