Download - Iteracyjne wyrównywanie sieci geodezyjnych
Iteracyjne wyrównywanie sieci geodezyjnych
Współrzędne przybliżone
Obliczenie dokładnych współrzędnych opiera się na następujących założeniach:
-Musi być zdefiniowany układ współrzędnych:
w sieciach niwelacyjnych – co najmniej 1 reperw sieciach płaskich - co najmniej 2 punkty znanew sieciach przestrzennych – co najmniej 3 punkty.przy pomiarach GPS – określone odwzorowanie.
-Pomiary terenowe muszą być przetworzone:
należy uwzględnić wszystkie niezbędne poprawki (temperatura, ciśnienie, odwzorowanie, stałe reflektora, przejście z 3D na 2D, itd.)
Zależnie od rodzaju sieci, stosuje się różne sposoby obliczenia współrzędnych przybliżonych szukanych punktów:
x
Rp
h
hHH Rpx 0
Niwelacja
Sieci kątowe:
Wcięcie w przód
Wcięcie wstecz
Sieci kątowo-liniowe:
Wcięcie kątowo-liniowe
Wcięcie liniowe
Sieci liniowe:
4
3
2
1
B
A
Wcięcia liniowe i transformacja współrzędnych
Problem wyrównania iteracyjnego może pojawić się w zadaniu, w którym funkcja wiążąca spostrzeżenia i niewiadome nie jest liniowa, a przybliżone wartości niewiadomych wyznaczono z niewystarczającą dokładnością.
Nie dotyczy to sieci niwelacyjnych ponieważ tam funkcje w równaniach obserwacyjnych są zawsze liniowe.
Dla wyrównania metodą najmniejszych kwadratów konieczne są liniowe funkcje niewiadomych w równaniach poprawek:
L+v = f(x)
W celu doprowadzenia funkcji do postaci liniowej rozwija się ją w szereg Taylora:
22
2
00
0021
)( xXf
xXf
XfxXfXXXX
Y = f(X)
X
f(X)
f(X0+x)
xXf
XfXX
0
)( 0
X0X0 + x
x
0XXXf
Rysunek pokazuje różnicę między funkcją f(X) i jej rozwinięciem w szereg Taylora z pominięciem wyrazów wyższych stopni.
Rysunek pokazuje różnice między funkcją f(X) i jej rozwinięciem w szereg Taylora z pominięciem wyrazów wyższych stopni. W celu zmniejszenia tych różnic postępowanie iteracyjne polega na zmianie wartości przybliżonej niewiadomych, w taki sposób, że wynik poprzedniego wyrównania jest traktowany jako wartość przybliżona dla nowej iteracji:
1. Iteracja: X0 → X1 = X0 + x1
2. Iteracja: X01= X1 → X2 = X1 + x2
itd..
Kryterium przerwania:
Opisana procedura w postaci programu komputerowego wymaga zastosowania jakiegoś kryterium przerwania obliczeń – w przeciwnym wypadku będzie działać w nieskończoność.
Jedną z możliwości jest że norma wektora parametrów x ma być mniejsza od zadanej wartości granicznej εx np. εx =10-3
Drugie kryterium można zbudować w oparciu o wzór:
ε vvll TT
Przykład:
Współrzędne przybliżone:
P0 150.00 150.00
Funkcja zależności azymutu od współrzędnych
AB
ABAB XX
YYarctg
A
B
AB
x
Funkcja po rozwinięciu w szereg Taylora
BBBBAAAAABAB ybxaybxa 0
00
00
0
AB
ABAB XX
YYarctg
AB aa
AB bb
"206265"
*
)()(
)(22
0000
00
ABAB
AB
AA YYXX
YY
Xa
*
)()(
)(22
0000
00
ABAB
AB
AA YYXX
XX
Yb
cccc 636620
Równanie kąta
S
L
P
x
P
L
LP
Równanie błędów dla kąta
iiii lybxav
)()()(2
LoPoPLPL
SS
LL
LL
PP
PP
bbaa
yx
ba
yx
ba
yxv
lbbaa
yx
ba
yx
ba
yxv
PLPL
SS
LL
LL
PP
PP
2)()(
lybbxaaybxaybxav SPLSPLLLLLPPPP )()(
Przykład
L
S
P
(1000,1000)
(1400,1500)
(600,1600)
= 80,3892
4334,1370447,57 PL 3887,800
09,62137,776 LL ba
71,48956,734 PP ba
580,111080,4109,62137,77671,48956,734 SSLLPP yxyxyxv
580,111080,41 SS yxv
Wcięcie wsteczA
B
C
D
P
1111 lybxav PP
2222 lybxav PP
3333 lybxav PP
Zapis macierzowy zadania:
LAxV
3
2
1
33
32
31
3
2
1
;;;
l
l
l
ba
ba
ba
y
x
v
v
v
LAAAx
LxAvT1T
kąt obl. a b l
147.2563
0 572.46 124.7638302.0
234.7456
3 -185.73 456.92 9895.7
359.0109
1 49.30 744.0533015.9
364636.6 23238.02 x2171611
8
23238.02 777951.3 y3386558
1
N X ATL
Współczynniki równań błędów:
Równania normalne: LAxA)(A TT
Obliczenie poprawek niewiadomych i spostrzeżeń:
Rozwiązanie:
X V
56.9 -51641.8 -13484986.373 914
2918320
Kryteria przerwania:
1 71
2 2652099415
xx T
vvll TT
L)(AA)(Ax T1T
LxAv
P 206.89 191.83
Druga iteracja.
kąt obl. a b l
151.35616 669.94 152.15-2696.6
235.50365-255.07 500.72 2315.5
362.11001 -59.56 747.88 2024.9
517427.7 -70331 x
-2517778
-70331833194.
6 y 2263512N X ATL
LAxA)(A TT Równania normalne:
Rozwiązanie:
X V-4.5 4.02.3 12.826.1 -9.4
268.7Kryteria przerwania:
1 5
2 16733143.2
Obliczenie poprawek niewiadomych i spostrzeżeń:
xx T
vvll TT
L)(AA)(Ax T1T
LxAv
512315.6
-72257.7 x 2136.16
-72257.7845440.
7 y3822.22
5N X ATL
Trzecia iteracja:
Kat obl. a b l
151.08629 668.44 144.10 2.1
235.73567-
249.62 504.39 -4.7
362.31172 -56.51 755.16 7.8
X Y
P202.34
1194.16
5
Równania normalne: LAxA)(A TT
Rozwiązanie:
X V0.0049 1.90.0049 6.00.00004
8 -4.358.1
Kryteria przerwania:
1 0.0069
2 29.3
Obliczenie poprawek niewiadomych i spostrzeżeń:
xx T
vvll TT
L)(AA)(Ax T1T
LxAv
Czwarta iteracja:
Równania normalne: LAxA)(A TT
X Y
P202.34
6194.17
0
kąt obl. a b l
1 51.08669 668.45 144.10 -1.9
2 35.73580 -249.63 504.40 -6.0
3 62.31206 -56.52 755.17 4.4
512335-
72271.9 x -20.963-
72271.9845465.
9 y 22.558N X ATL
Obliczenie poprawek niewiadomych i spostrzeżeń:
xx T
vvll TT
L)(AA)(Ax T1T
LxAv Rozwiązanie:
X V-0.000038 1.90.000023 6.01.965E-
09 -4.458.97
Kryteria przerwania:
1 0.000044
2 0.0013
P1 202.35 194.17
V
1 1.9
2 6.0
3 -4.3
L + v Kąt obl.
1 51.08669 51.08669
2 35.73580 35.73580
3 62.31207 62.31206
Wyrównane współrzędne:
[vv]=58.08
m0=7.6 cc
mx=0.011 mmy=0.008 m
Ocena dokładności: