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IV- MOUVEMENT CIRCULAIRE UNIFORME: MCUIV- MOUVEMENT CIRCULAIRE UNIFORME: MCU
- La trajectoire du point du solide est un cercle (an =V2/R= R.2= R.’ 2)
-Son accélération angulaire est nulle (’=0) donc sa vitesse angulaire est constante au cours du temps ( = constante).
2.1. Définition :
CONDITIONS INITIALES CONDITIONS PARTICULIERES
t0 = 0 s : instant initial t : instant particulier du mouvement
0 : la position angulaire initiale
: la position angulaire à l’instant t
= ’ = constante : la vitesse angulaire
’ = ’ ’ = 0 rd/s2 : l’ accélération angulaire
2.2 Conditions aux limites du mouvement :
M1
M2
x
1
2
Instant t1
Instant t2
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Nota : Pour écrire ces équations, il suffit de remplacer et 0 par les valeurs trouvées.
2.3. 2.3. Équations du mouvement ou horaires:Équations du mouvement ou horaires:
’ = 0
= constante
= 0.t + 0
2.4. 2.4. Graphes du mouvement:Graphes du mouvement:
Graphe desGraphe des accélérations angulairesaccélérations angulaires
Graphe des vitesses Graphe des vitesses angulairesangulaires
Graphe des Graphe des abscisses angulairesabscisses angulaires
= .t + 0
0 t
0
= constante
0 t
0
’ = 0 0 t
’
= 2. N / 60
Formule utile :Formule utile :
Vitesse en rd/sVitesse en tours/mn
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V- MOUVEMENT CIRCULAIRE UNIFORMEMENT VARIE : V- MOUVEMENT CIRCULAIRE UNIFORMEMENT VARIE : (M.C.U.V.)(M.C.U.V.)
- La trajectoire du point du solide est un cercle (an=V2/R= R.2= R.’ 2)- L’ accélération totale du point est a= (an
2 + at2)1/2 avec at=R.’ =R.’ ‘
- L’accélération angulaire du solide est constante (’=constante) .
2.1. Définition
CONDITIONS INITIALES CONDITIONS PARTICULIERES
t0 = 0 s : instant initial t : instant particulier du mouvement
0 : la position angulaire initiale : la position angulaire à l’instant t
= 0’ : la vitesse angulaire initiale
= ’ : la vitesse angulaire à l’instant t
’ = ’ ’ = constante : l’ accélération angulaire
2.2 Conditions aux limites du mouvement :
M1
M2
x
1
2
Instant t1
Instant t2
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Nota : Pour écrire ces équations, il suffit de remplacer ’ , 0 et 0 par les valeurs trouvées.
2.3. 2.3. Équations du mouvement ou horaires:Équations du mouvement ou horaires:
’ = constante
= ’.t + 0
= ½. ’.t2 + 0.t + 0
’ = 2 – 02 / [2( – 0 )]
Formule utile :Formule utile :
2.4. 2.4. Graphes du mouvement:Graphes du mouvement:
Graphe desGraphe des accélérations angulairesaccélérations angulaires
Graphe des vitesses Graphe des vitesses angulairesangulaires
Graphe des abscisses Graphe des abscisses angulairesangulaires
= ’.t + 0
0 t
0
= ½.’.t2 + 0.t + 0
0 t
0
’ = constante
0 t
’
’
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Relation entre l’abscisse curviligne s et Relation entre l’abscisse curviligne s et l’abscisse angulaire l’abscisse angulaire : :
M1
M2
x
s
Instant t1
Instant t2
R
s = R . (m) = (m) . (rd)
Exemple du périmètre du cercle : P = R . 2
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Relation entre la vitesse linéaire V Relation entre la vitesse linéaire V et la vitesse angulaire et la vitesse angulaire = = ’’ : :
v = R . R . ’(m/s) = (m) . (rd/s)
D’après Thalès : =VN/ON = VP/OP = VM/OM
M
x
TM
_VM
r
O
_VN _VP
N P
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Relation entre l’accélération linéaire a et Relation entre l’accélération linéaire a et l’accélération angulaire l’accélération angulaire ’’==’’’’ : :
at = R . ’ = R . ’’ (m/s2) = (m) . (rd/s2)
an = R . 2 = R . ’2 (m/s2) = (m) . (rd/s) 2
D’après Pythagore : a = ( at2 + an
2 ) 1/2
M
x
TM _at OM=R
O _an
'
aa
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y
xG
broche/carter
12
0
M
VM = 0.06m . (2.3000/60)rd/s
VM = 18,84 m/s
formule littérale :
Exercice 1:Exercice 1: touret à meuler touret à meuler
1.1/ Calculez la vitesse de déplacement d'un point M situé à la périphérie de la meule.
Sa vitesse de rotation est de 3000 tr/mn.
VM = R . =R . 2.N/60
Application numérique :
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1.2/ Calculez l'accélération de ce même point.
y
xG
broche/carter
Fig. 1
120
M
formule littérale :
Exercice 1: Exercice 1: touret à meuler touret à meuler
aM = 18,842 / 0,06
aM = 5 916 m/s2
Application numérique :
aM = (at2 + an
2) 1/2= an =V2/R
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L‘extrémité de l’hélice d’un avion ne doit pas dépasser la vitesse de 340m/s afin d’éviter sa détérioration
2.1/ Tracer la trajectoire des points A et E appartenant à l'hélice 1 par rapport à l'avion 0. On donne OE=1,2m et OA=0,6m.
E
x
y
A
T A,1/0 : cercle (O,OA)
T E,1/0 : cercle (O,OE)
Exercice 2:Exercice 2: hélice d’avion hélice d’avion (trajectoires)(trajectoires)
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Données : OE=1,20 m
E
x
y
A
1/0 = 340 (m/s) / 1.2 (m) = 283 rd/s
V A,1/0 = 170 m/s VE,1/0
VA,1/0
Exercice 2:Exercice 2: hélice d’avion hélice d’avion (vitesses)(vitesses)
Échelle des vitesses :1 cm => 100m/s
2.3/ Tracer VE,1/0 . En déduire graphiquement V A,1/0.
2.2/ Calculer la vitesse de l’hélice si VE,1/0 =340m/s.
formule littérale : V E,1/0 = R . = OE . 1/0
=> 1/0 = V E,1/0 / OE
A.N.:
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2.4/ Calculer l'accélération du point E appartenant à l'hélice 1 dans son mouvement par rapport à l'avion 0, notée a (E,1/0).Sa vitesse critique de 340m/s est constante.
E
x
y
A
a E,1/0 = (at2 + an
2) 1/2= an =V2/R
Exercice 2:Exercice 2: hélice d’avion hélice d’avion (accélération)(accélération)
a E,1/0
a E,1/0 = 3402 / 1,2 = 96 333 m/s2
formule littérale :
A.N.:
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La vitesse de cette hélice est de 283 rd/s. Lorsque le moteur est coupé, l'hélice tourne encore pendant 3 secondes jusqu'à l'arrêt.
2.5/ Calculer le nombre de tours effectués pendant ces 3s .Pour cela, écrire les équations horaires (t),’(t) et ’’(t).
E
x
y
A
Exercice 2:Exercice 2: Arrêt de l’hélice Arrêt de l’hélice d’aviond’avion
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L’hélice s’arrête => MCUV
CI CF
t=0s t=3s
0=0rd =
’0=283rd/s ’=0rd/s
’’ =
’ = ’’.t + ’0
= ’’.3 + 283
’’ = - 94 rd/s2
’= - 94.t + 283 rd/s
= - 47.t2 + 283t rd
Calcul du nombre de tours n :
n = 426/2 =68 trs
426 rd
RéponseRéponses :s :
Équations du mouvement :
’’ = - 94 rd/s2
- 94 rd/s2
Résolution :
= 426 rd
= ½. ’’.t2 + ’0.t + 0
= [- 47 .32 + 2833]
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Lorsque le moteur entraînant l'hélice est arrêté, l'hélice tourne encore pendant 3 secondes jusqu'à l'arrêt.
2.6/ Calculer a (E,1/0) à l'instant t = 2s.
E
x
y
A
Exercice 2:Exercice 2: arrêt de l’hélice arrêt de l’hélice d’avion d’avion
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a E,1/0 = (an2 + at
2)1/2
Donc aE1/0 = [ 10 8302 + (-113)2 ]1/2
aE1/0 = 10 830 m/s2
Calcul de ’ à t=2s :
*an = R. ’2
* at =R. ’’
=> an = R. ’2 = 1,2 . 952 = 10 830 m/s2
=> at =1,2 . -94 = -113 m/s2
’’ = - 94’= - 94.t + 283
= - 47.t2 + 283t
Équations horaires: 0<t<3sÉquations horaires: 0<t<3sRéponses Réponses ::
’= - 94 .2 + 283 = 95 rd/s
formule littérale :
Application numérique :
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moteur
volant
récepteur
I
1r3=40
r4=160
3
4
O2 0
Étude du démarrage à vide :
3.1/ Déterminer les équations du mouvement et le nombre de tours effectués par l’arbre 2 pendant le démarrage .
Exercice 3 :Exercice 3 : transmissiontransmission
Soit la chaîne cinématique d’une transmission de puissance.Le moteur atteint sa vitesse de régime 3000 tr/min en 2s. Le rapport de réduction des roues dentées 3 et 4 est de 1/4.
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CI CF
t=0s t=2s
0=0rd =
’0 =0rd/s ’=
’’ =
MCUV
= ’’.2 + 0
’= ’’= 12,5 rd/s2
= ’= 12,5 .t rd/s
= 6,25 .t2 rd
Calcul du nombre de tours à t=2s :
Calcul de la vitesse de l’arbre 2 :
r = Ns/Ne => Ns = r . Ne
Ns. = (1/4) .3000 =750 tr/mn
’s =(2/60).Ns = 25 rd/s
25rd/s
Réponses Réponses : : démarragedémarrage
12,5 rd/s2
25 rd
n= = 25 / 2 n = 12.5 tours
* ’ = ’’.t + ’0
’’ = 12,5rd/s2
* = ½. ’’.t2 + ’0.t + 0
= 6,25 .22
= 25 rd
Équations du mouvement :
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Calcul de VI2/0 maxi:
moteur
volant
récepteur
I
1r3=40
r4=160
3
4
O2 0
Formule littérale : V = R .
A.N.: VI2/0 = 0.16m . 25rd/s = 4 m/s
Calcul de aI2/0 maxi:
Formule littérale : a =(at2 + an
2)1/2 =[ (R ’)2+ (V2/R)2 ]1/2
A.N.: aI2/0 = [(0,16.12,52 + (162 / 0,16)2]1/2
aI2/0 = [(22 + (1002)2]1/2 = 987 m/s2
3.2/ Déterminer la vitesse VI2/0 et l’accélération AI2/0
max.
CI CF
t=0s t=2s
0=0rd =25 rd
’0 =0rd/s ’=25rd/s
’ =12,5 rd/s2
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moteur
volant
récepteur
I
1r3=40
r4=160
3
4
O2 0
3.3/ l’arrêt s’effectue en 2,5 tours. Le constructeur signale un arrêt sécurisé de la machine en moins de 1 s. Vérifier ses propos.
Exercice 3 Exercice 3 :: Étude du Étude du freinagefreinage
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CI CF
t=0s t=
0=0rd =2,5.(2rd
’0 =25rd/s ’=0rd/s
’’ =
MCUV
=> ’’ = -(25)2 / 2.(5)
’= -62.5.t +25 rd/s
= -31,25.t2 +25t rd
Réponses Réponses : : freinagefreinage
-62,5rd/s2
0,4 s
’’= -62,5 rd/s2
formule utile :
’’ = [’2- ’] / 2(-0)
’’ = -62,5rd/s2
* ’ = ’’.t + ’0
0= -62.5.t +25
t= -25 /-62.5
t = 0,4 s < 1 s CQFV
Équations du mouvement :
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3.4/ Tracer le graphe de vitesses3.4/ Tracer le graphe de vitesses
’ ’ (rd/s)(rd/s)
t (s)t (s)
00
2525
9,69,6 101022
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10 tours 45 tours 63 tours
La position angulaire d’un pignon animé d’un mouvement de rotation est définie en radians, en fonction du temps en secondes, par la relation = 6.t2
+ 3 tCombien de tours aura-t-il effectués, 3
secondes après son démarrage ?
Exercice QCM 4:Exercice QCM 4:
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s = 10 ms = 6,3 ms = 3,15 m
Un pignon, dont la position angulaire est définie par la relation = 6.t2 + 3 t, a un diamètre primitif de 100 mm.
Calculer la longueur parcourue sur ce cercle primitif, après 3 secondes du départ.
Exercice QCM 5:Exercice QCM 5:
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’ = 12 rd/s2
’ = 9 rd/s2’ = 6 rd/s2
La position angulaire d’un solide animé d’un mouvement de rotation est définie par la relation = 6.t2 + 3 t .
Quelle est son accélération angulaire ?
Exercice QCM 6:Exercice QCM 6:
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= 3 rd/s
= 6 rd/s
= 12 rd/s
La position angulaire d’un solide animé d’un mouvement de rotation est définie par la relation = 6.t2 + 3 t .
Quelle est sa vitesse angulaire initiale ?
Exercice QCM 7:Exercice QCM 7:
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= 6 t + 3 rd/s = 3.(4t + 1) rd/s = 12 t + 1 rd/s
La position angulaire d’un solide animé d’un mouvement de rotation est définie par la relation = 6.t2 + 3 t .
Quelle est l’équation de sa vitesse angulaire ?
Exercice QCM 8:Exercice QCM 8:
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= 120 rd/s = 7200 rd/s = 10943 rd/s
Un arbre moteur tourne à la vitesse de 1146 tours/minute.
Exprimer cette vitesse en rd/s
Exercice QCM 9:Exercice QCM 9:
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’ = 10 rd/s2
’ = 30 rd/s2
’ = 90 rd/s2
Un arbre moteur tourne à la vitesse de 120 rd/s et passe à la vitesse de 150 rd/s en 3 secondes.
Calculer l’accélération de l’arbre moteur durant cette période ?
Exercice QCM 10:Exercice QCM 10:
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t = 12 st = 3 st = 1 s
La vitesse d’un solide est définie en fonction du temps par l’équation = -3t + 9.
Quel est le temps mis pour obtenir l’arrêt du solide ?
Exercice QCM 11:Exercice QCM 11:
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= -3.t2 + 9 t = -6.t2 + 9 t = -1.5.t2 + 9 t
La vitesse d’un solide est définie en fonction du temps par l’équation = -3t + 9
Quelle est l’équation définissant la position du solide ? On commence à mesurer l’angle balayé au début du mouvement : 0 = 0 rd
Exercice QCM 12:Exercice QCM 12:
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’ = - 50 rd/s2
’ = - 100 rd/s2’ = - 200 rd/s2
Un arbre moteur tourne à la vitesse de 1500 tr/mn. son arrêt s’effectue en 12,5 tours.
Quelle est la valeur de son accélération ?
Exercice QCM 13:Exercice QCM 13:
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10 tours 45 tours 63 tours
La position angulaire d’un pignon animé d’un mouvement de rotation est définie en radians, en fonction du temps en secondes, par la relation = 6t2 + 3t
Combien de tours aura-t-il effectués, 3 secondes après son démarrage ?
Corrigé Exercice QCM 4:Corrigé Exercice QCM 4:
= 6 t2 + 3 t
n = = 10 tours
= 6x32 + 3x3 = 63 rd
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s = 10 ms = 6,3 ms = 3,15 m
Un pignon, dont la position angulaire est définie par la relation = 6t2 + 3t , a un diamètre primitif de 100 mm.
Calculer la longueur parcourue sur ce cercle primitif, après 3 secondes du départ.
Corrigé Exercice QCM 5:Corrigé Exercice QCM 5:
s = R s = 0,05m x rd = 3,15 m
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’ = 12 rd/s2
’ = 9 rd/s2
’ = 6 rd/s2
La position angulaire d’un solide animé d’un mouvement de rotation est définie par la relation = 6t2 + 3t
Quelle est son accélération angulaire ?
Corrigé Exercice QCM Corrigé Exercice QCM 6:6:
= ½ ’t2 + 0 t + 0
= 6 t2 + 3 t
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= 3 rd/s
= 6 rd/s
= 12 rd/s
La position angulaire d’un solide animé d’un mouvement de rotation est définie par la relation = 6t2 + 3t
Quelle est sa vitesse angulaire initiale ?
Corrigé Exercice QCM 7:Corrigé Exercice QCM 7:
= ½ ’t2 + 0t + 0
= 6 t2 + 3 t
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= 6 t + 3 rd/s = 3(4t + 1) rd/s = 12 t + 1 rd/s
La position angulaire d’un solide animé d’un mouvement de rotation est définie par la relation : = 6t2 + 3t
Quelle est l’équation de sa vitesse angulaire ?
Corrigé Exercice QCM Corrigé Exercice QCM 8:8:
= ’ = 12t + 3 = 3(4t + 1) rd/s
![Page 38: IV- MOUVEMENT CIRCULAIRE UNIFORME: MCU - La trajectoire du point du solide est un cercle (a n =V 2 /R= R. 2 = R. 2 ) -Son accélération angulaire est nulle](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062417/551d9da7497959293b8d7de1/html5/thumbnails/38.jpg)
= 120 rd/s = 7200 rd/s = 10943 rd/s
Un arbre moteur tourne à la vitesse de 1146 tours/minute.
Exprimer cette vitesse en rd/s
Corrigé Exercice QCM 9:Corrigé Exercice QCM 9:
N = 1146 tours/minute
= 2 N / 60 = 120 rd/s
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’ = 10 rd/s2
’ = 30 rd/s2
’ = 90 rd/s2
Un arbre moteur tourne à la vitesse de 120 rd/s et passe à la vitesse de 150 rd/s en 3 secondes.
Calculer l’accélération de l’arbre moteur durant cette période ?
Corrigé Exercice QCM 10:Corrigé Exercice QCM 10:
= ’ t + 0
= ’ 3 + 120
’ = 30 / 3
![Page 40: IV- MOUVEMENT CIRCULAIRE UNIFORME: MCU - La trajectoire du point du solide est un cercle (a n =V 2 /R= R. 2 = R. 2 ) -Son accélération angulaire est nulle](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062417/551d9da7497959293b8d7de1/html5/thumbnails/40.jpg)
t = 12 st = 3 st = 1 s
La vitesse d’un solide est définie en fonction du temps par l’équation = -3t + 9.
Quel est le temps mis pour obtenir l’arrêt du solide ?
Corrigé Exercice QCM 11:Corrigé Exercice QCM 11:
= -3t + 9 = -3t + 9 t = - 9 / - 3 = 3 s
![Page 41: IV- MOUVEMENT CIRCULAIRE UNIFORME: MCU - La trajectoire du point du solide est un cercle (a n =V 2 /R= R. 2 = R. 2 ) -Son accélération angulaire est nulle](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062417/551d9da7497959293b8d7de1/html5/thumbnails/41.jpg)
= -3.t2 + 9 t = -6.t2 + 9 t = -1.5.t2 + 9 t
La vitesse d’un solide est définie en fonction du temps par l’équation = - 3t + 9
Quelle est l’équation définissant la position du solide ? On commence à mesurer l’angle balayé au début du mouvement : 0 = 0 rd
Corrigé Exercice QCM Corrigé Exercice QCM 12:12:
= - 3 t + 9 = ’ t + ’ = - 3 rd/s2 = 9 rd/s
![Page 42: IV- MOUVEMENT CIRCULAIRE UNIFORME: MCU - La trajectoire du point du solide est un cercle (a n =V 2 /R= R. 2 = R. 2 ) -Son accélération angulaire est nulle](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062417/551d9da7497959293b8d7de1/html5/thumbnails/42.jpg)
’ = - 50 rd/s2
’ = - 100 rd/s2’ = - 200 rd/s2
Un arbre moteur tourne à la vitesse de 1500 tr/mn. son arrêt s’effectue en 12,5 tours.
Quelle est la valeur de son accélération ?
Corrigé Exercice QCM 13:Corrigé Exercice QCM 13:
Données : N=1500 tr/mn = 2 N / 60 = 50 rd/s
n=12,5 tours = 2n = 25 rd
Application num. : ’ = - (50)2 / 2()
Formule littérale : ’ = (2-02) / 2(-0)