Kapitel 5: Skalarprodukt • 5.1Jürgen Roth • Didaktik der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie
Didaktik der Linearen Algebra
und Analytischen Geometrie
Modul 12a: Fachdidaktische Bereiche
Jürgen Roth
juergen-roth.de/lehre/did_linalg_anageo/
Kapitel 5: Skalarprodukt • 5.2Jürgen Roth • Didaktik der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie
Inhalte
Didaktik der Linearen Algebra
und Analytischen Geometrie
0 Organisatorisches
1 Ziele und Inhalte
2 Algebraisieren des Anschauungsraums
3 Modellieren und Angewandte Mathematik
4 Kegelschnitte
5 Skalarprodukt – Längen und Winkel messen
Kapitel 5: Skalarprodukt • 5.3Jürgen Roth • Didaktik der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie
Kapitel 5: Skalarprodukt – Längen
und Winkel messen
Didaktik der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie
Kapitel 5: Skalarprodukt • 5.4Jürgen Roth • Didaktik der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie
Inhalte
Kapitel 5: Skalarprodukt
5.1 Aspekte des Skalarprodukts im MU
5.2 Skalarprodukt und Messen
5.3 Arithmetischer Zugang zum Skalarprodukt
5.4 Geometrische Deutung des Skalarprodukts
5.5 Produktive Übungen und systematische Variation
5.6 Geometrische Eigenschaften des Skalarprodukts
5.7 Skalarprodukt im Kontext
Kapitel 5: Skalarprodukt • 5.5Jürgen Roth • Didaktik der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie
Inhalte
Kapitel 5: Skalarprodukt
5.1 Aspekte des Skalarprodukts im MU
5.2 Skalarprodukt und Messen
5.3 Arithmetischer Zugang zum Skalarprodukt
5.4 Geometrische Deutung des Skalarprodukts
5.5 Produktive Übungen und systematische Variation
5.6 Geometrische Eigenschaften des Skalarprodukts
5.7 Skalarprodukt im Kontext
Kapitel 5: Skalarprodukt • 5.6Jürgen Roth • Didaktik der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie
Aspekte des Skalarprodukts
im Mathematikunterricht
Skalar-produkt
Arithmetischer Zugang
Geometrische Deutung
Idee:Längen und
Winkel messen
Zahlen und Vektoren
vermessen
Kontext und produktive Übungen
Schacht, F. (2014): Ganz schön verMESSEN! – Das Skalarprodukt aus der Perspektive des Messens. Praxis der Mathematik in der
Schule 56(55), S. 32-38
Kapitel 5: Skalarprodukt • 5.7Jürgen Roth • Didaktik der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie
Skalarprodukt
Skalarprodukt: Weitere Struktur in einem Vektorraum
Um in einem Vektorraum Längen und Winkel messen zu können,
muss eine weitere Struktur, das Skalarprodukt, hinzugefügt werde.
⇒ Euklidischer Vektorraum
Anwendungen des Skalarprodukts
AbstandsbestimmungPunkt ↔ Gerade, Ebene ↔ Gerade
paralleler Geraden (z. B. zur Flächenberechnung)
Windschiefer Geraden
Berechnung von Schnittwinkeln Gerade ↔ Gerade, Ebene ↔ Ebene
Prüfen auf OrthogonalitätGerade ↔ Gerade, Ebene ↔ Ebene
BestimmungNormalenvektor, Normalengleichung einer Ebene
Kapitel 5: Skalarprodukt • 5.8Jürgen Roth • Didaktik der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie
Inhalte
Kapitel 5: Skalarprodukt
5.1 Aspekte des Skalarprodukts im MU
5.2 Skalarprodukt und Messen
5.3 Arithmetischer Zugang zum Skalarprodukt
5.4 Geometrische Deutung des Skalarprodukts
5.5 Produktive Übungen und systematische Variation
5.6 Geometrische Eigenschaften des Skalarprodukts
5.7 Skalarprodukt im Kontext
Kapitel 5: Skalarprodukt • 5.9Jürgen Roth • Didaktik der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie
Skalarprodukt und Messen
Schmidt et al. (2010). Mathematik Neue Wege. Arbeitsbuch für Gymnasien – Lineare Algebra – Analytische Geometrie.
Braunschweig: Schroedel, S. 140-142
Kapitel 5: Skalarprodukt • 5.10Jürgen Roth • Didaktik der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie
Skalarprodukt und Messen
Schmidt et al. (2010). Mathematik Neue Wege. Arbeitsbuch für Gymnasien – Lineare Algebra – Analytische Geometrie.
Braunschweig: Schroedel, S. 140-142
Kapitel 5: Skalarprodukt • 5.11Jürgen Roth • Didaktik der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie
Skalarprodukt und Messen
Schmidt et al. (2010). Mathematik Neue Wege. Arbeitsbuch für Gymnasien – Lineare Algebra – Analytische Geometrie.
Braunschweig: Schroedel, S. 140-142
Kapitel 5: Skalarprodukt • 5.12Jürgen Roth • Didaktik der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie
Skalarprodukt und Messen
Schmidt et al. (2010). Mathematik Neue Wege. Arbeitsbuch für Gymnasien – Lineare Algebra – Analytische Geometrie.
Braunschweig: Schroedel, S. 140-142
Kapitel 5: Skalarprodukt • 5.13Jürgen Roth • Didaktik der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie
Skalarprodukt und Messen
Schmidt et al. (2010). Mathematik Neue Wege. Arbeitsbuch für Gymnasien – Lineare Algebra – Analytische Geometrie.
Braunschweig: Schroedel, S. 140-142
Kapitel 5: Skalarprodukt • 5.14Jürgen Roth • Didaktik der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie
Skalarprodukt und Messen
Schmidt et al. (2010). Mathematik Neue Wege. Arbeitsbuch für Gymnasien – Lineare Algebra – Analytische Geometrie.
Braunschweig: Schroedel, S. 140-142
Kapitel 5: Skalarprodukt • 5.15Jürgen Roth • Didaktik der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie
Inhalte
Kapitel 5: Skalarprodukt
5.1 Aspekte des Skalarprodukts im MU
5.2 Skalarprodukt und Messen
5.3 Arithmetischer Zugang zum Skalarprodukt
5.4 Geometrische Deutung des Skalarprodukts
5.5 Produktive Übungen und systematische Variation
5.6 Geometrische Eigenschaften des Skalarprodukts
5.7 Skalarprodukt im Kontext
Kapitel 5: Skalarprodukt • 5.16Jürgen Roth • Didaktik der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie
Arithmetischer Zugang:
Bsp. ModelleisenbahnbauFiller, A. (2011). Elementare Lineare Algebra. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag, S. 100
Preis
2,40 €
2,70 €
6,29 €
17,98 €
17,98 €
12,98 €
Kapitel 5: Skalarprodukt • 5.17Jürgen Roth • Didaktik der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie
Arithmetischer Zugang:
Bsp. ModelleisenbahnbauFiller, A. (2011). Elementare Lineare Algebra. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag, S. 100/122
Preis
2,40 €
2,70 €
6,29 €
17,98 €
17,98 €
12,98 €
TeilevektorStückliste Erg.-
sortiment 2:
𝑒2 =
1581224
Preisvektor
Ԧ𝑝 =
2,402,706,2917,9817,9812,98
Gesamtpreis eines SortimentsSumme der Produkte einander entspre-
chender Komponenten des Teile- und
des Preisvektors
15 ⋅ 2,40 + 8 ⋅ 2,40 + 1 ⋅ 6,29+ 2 ⋅ 17,98 + 2 ⋅ 17,98 + 5 ⋅ 12,98= 187,73 (in €)
Die Produktsumme, die den Gesamtpreis ergibt,
nennen wir Skalarprodukt der Vektoren 𝒆𝟐 und 𝒑.
Kapitel 5: Skalarprodukt • 5.18Jürgen Roth • Didaktik der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie
Arithmetischer Zugang:
Definition Skalarprodukt
Definition
Als Skalarprodukt zweier Vektoren 𝑢, Ԧ𝑣 ∈ ℝ𝑛 mit
𝑢 =
𝑢1𝑢2⋮𝑢𝑛
und Ԧ𝑣 =
𝑣1𝑣2⋮𝑣𝑛
wird die Summe der Produkte der einander entsprechenden
Komponenten von 𝑢 und Ԧ𝑣 bezeichnet:
𝑢 ⋅ Ԧ𝑣 = 𝑢1 ⋅ 𝑣1 + 𝑢2 ⋅ 𝑣2 +⋯+ 𝑢𝑛 ⋅ 𝑣𝑛 =
𝑖=1
𝑛
𝑢𝑖 ⋅ 𝑣𝑖
Filler, A. (2011). Elementare Lineare Algebra. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag, S. 122
Kapitel 5: Skalarprodukt • 5.19Jürgen Roth • Didaktik der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie
Arithmetischer Zugang:
Definition Skalarprodukt
Bemerkungen
Der Name Skalarprodukt kommt daher, dass zwei Vektoren
ein Skalar, d. h. eine reelle Zahl zugeordnet wird.
Beim Rechnen mit Vektoren treten damit nun drei Arten von
Produkten auf, für die jeweils das Zeichen „⋅“ verwendet wird:
das Produkt zweier reeller Zahlen,
das Produkt eines Vektors mit einer reellen Zahl,
das Skalarprodukt zweier Vektoren.
Was das Zeichen „⋅“ jeweils bedeutet, ergibt sich aus der Art von
Objekten (Vektoren oder reelle Zahlen), zwischen denen es steht.
Filler, A. (2011). Elementare Lineare Algebra. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag, S. 122
Kapitel 5: Skalarprodukt • 5.20Jürgen Roth • Didaktik der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie
Inhalte
Kapitel 5: Skalarprodukt
5.1 Aspekte des Skalarprodukts im MU
5.2 Skalarprodukt und Messen
5.3 Arithmetischer Zugang zum Skalarprodukt
5.4 Geometrische Deutung des Skalarprodukts
5.5 Produktive Übungen und systematische Variation
5.6 Geometrische Eigenschaften des Skalarprodukts
5.7 Skalarprodukt im Kontext
Kapitel 5: Skalarprodukt • 5.21Jürgen Roth • Didaktik der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie
Geometrische Deutung
des Skalarprodukts
Abstand zweier Punkte der Ebene
Für den Abstand zweier Punkte
𝑃1 𝑥1; 𝑦1 und 𝑃2 𝑥2; 𝑦2 der Ebene
ergibt sich mit dem Satz des
Pythagoras:
𝑃1𝑃2 = 𝑥2 − 𝑥12 + 𝑦2 − 𝑦1
2
Filler, A. (2011). Elementare Lineare Algebra. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag, S. 55
Kapitel 5: Skalarprodukt • 5.22Jürgen Roth • Didaktik der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie
Geometrische Deutung
des Skalarprodukts
Abstand zweier
Punkte des Raums
Für den Abstand zweier
Punkte 𝑃1 𝑥1; 𝑦1; 𝑧1 und
𝑃2 𝑥2; 𝑦2; 𝑧2 des Raums
ergibt sich
(zweimaliges Anwenden
des Satzes des Pythagoras):
𝑃1𝑃2 = 𝑥2 − 𝑥12 + 𝑦2 − 𝑦1
2 + 𝑧2 − 𝑧12
Filler, A. (2011). Elementare Lineare Algebra. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag, S. 55
Kapitel 5: Skalarprodukt • 5.23Jürgen Roth • Didaktik der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie
Geometrische Deutung
des Skalarprodukts
Darstellung von Vektoren
Der Abstand zweier
Punkte 𝑃1 𝑥1; 𝑦1; 𝑧1 und
𝑃2 𝑥2; 𝑦2; 𝑧2 des Raums
entspricht der Länge des
Pfeils 𝑃1𝑃2.
Wird ein Vektor Ԧ𝑝 durch
den Pfeil 𝑃1𝑃2 repräsentiert,
dann kann man diesen
Vektor auch so darstellen:
Ԧ𝑝 = 𝑃1𝑃2 =
𝑥𝑝𝑦𝑝𝑧𝑝
=
𝑥2 − 𝑥1𝑦2 − 𝑦1𝑧2 − 𝑧1
Filler, A. (2011). Elementare Lineare Algebra. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag, S. 124
Kapitel 5: Skalarprodukt • 5.24Jürgen Roth • Didaktik der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie
Geometrische Deutung
des Skalarprodukts
Betrag (Länge) eines Vektors
Bildet man das Skalarprodukt
eines Vektors
Ԧ𝑝 = 𝑃1𝑃2 =
𝑥𝑝𝑦𝑝𝑧𝑝
=
𝑥2 − 𝑥1𝑦2 − 𝑦1𝑧2 − 𝑧1
mit sich selbst, so erhält man
Ԧ𝑝 ⋅ Ԧ𝑝 = 𝑥𝑝 ⋅ 𝑥𝑝 + 𝑦𝑝 ⋅ 𝑦𝑝 + 𝑧𝑝 ⋅ 𝑧𝑝
= 𝑥2 − 𝑥12 + 𝑦2 − 𝑦1
2 + 𝑧2 − 𝑧12
= 𝑥2 − 𝑥12 + 𝑦2 − 𝑦1
2 + 𝑧2 − 𝑧12
2= 𝑃1𝑃2
2
Definition
Als Betrag eines Vektors Ԧ𝑣 bezeichnet man die Wurzel aus
dem Skalarprodukt dieses Vektors mit sich selbst:
Ԧ𝑣 = Ԧ𝑣 ⋅ Ԧ𝑣 = Ԧ𝑣2
Filler, A. (2011). Elementare Lineare Algebra. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag, S. 124
Kapitel 5: Skalarprodukt • 5.25Jürgen Roth • Didaktik der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie
Inhalte
Kapitel 5: Skalarprodukt
5.1 Aspekte des Skalarprodukts im MU
5.2 Skalarprodukt und Messen
5.3 Arithmetischer Zugang zum Skalarprodukt
5.4 Geometrische Deutung des Skalarprodukts
5.5 Produktive Übungen und systematische Variation
5.6 Geometrische Eigenschaften des Skalarprodukts
5.7 Skalarprodukt im Kontext
Kapitel 5: Skalarprodukt • 5.26Jürgen Roth • Didaktik der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie
Produktive Übungen nutzen
die systematische VariationSchacht, F. (2014): Ganz schön verMESSEN! – Das Skalarprodukt aus der Perspektive des Messens. In: Praxis der Mathematik in
der Schule, Heft 55, 56. Jahrgang, S. 32-38
Kapitel 5: Skalarprodukt • 5.27Jürgen Roth • Didaktik der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie
Produktive Übungen nutzen
die systematische VariationSchacht, F. (2014): Ganz schön verMESSEN! – Das Skalarprodukt aus der Perspektive des Messens. Praxis der Mathematik in der
Schule 56(55), S. 32-38
Kapitel 5: Skalarprodukt • 5.28Jürgen Roth • Didaktik der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie
Inhalte
Kapitel 5: Skalarprodukt
5.1 Aspekte des Skalarprodukts im MU
5.2 Skalarprodukt und Messen
5.3 Arithmetischer Zugang zum Skalarprodukt
5.4 Geometrische Deutung des Skalarprodukts
5.5 Produktive Übungen und systematische Variation
5.6 Geometrische Eigenschaften des Skalarprodukts
5.7 Skalarprodukt im Kontext
Kapitel 5: Skalarprodukt • 5.29Jürgen Roth • Didaktik der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie
Geometrische Eigenschaften
des Skalarprodukts
Satz über die Orthogonalität von Vektoren
Zwei Vektoren 𝑢 und Ԧ𝑣 sind genau dann
orthogonal, wenn 𝑢 ⋅ Ԧ𝑣 = 0 gilt.
Beweis
Von zwei Vektoren
𝑢 =
𝑥𝑢𝑦𝑢𝑧𝑢
und Ԧ𝑣 =
𝑥𝑣𝑦𝑣𝑧𝑣
ist keiner der Nullvektor.
(Wenn 𝑢 = Ԧ𝑜 oder Ԧ𝑣 = Ԧ𝑜, dann folgt 𝑢 ⋅ Ԧ𝑣 = 0 direkt
aus der Definition des Skalarprodukts.)
Betrachte die Pfeile 𝑂𝑈 und 𝑂𝑉 die Repräsentanten von 𝑢 bzw. Ԧ𝑣sind und deren Anfangspunkt der Koordinatenursprung ist.
Die Vektoren 𝑢 und Ԧ𝑣 sind genau dann orthogonal, wenn das
Dreieck ∆𝑈𝑉𝑂 bei 𝑂 rechtwinklig ist.
Nach dem Satz des Pythagoras und seiner Umkehrung ist das
genau dann der Fall, wenn 𝑂𝑈 2 + 𝑂𝑉 2 = 𝑈𝑉 2 gilt.
Filler, A. (2011). Elementare Lineare Algebra. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag, S. 126f
Kapitel 5: Skalarprodukt • 5.30Jürgen Roth • Didaktik der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie
Geometrische Eigenschaften
des Skalarprodukts
Satz über die Orthogonalität von Vektoren
Zwei Vektoren 𝑢 und Ԧ𝑣 sind genau dann
orthogonal, wenn 𝑢 ⋅ Ԧ𝑣 = 0 gilt.
Beweis (Fortsetzung)
Zu zeigen: 𝑂𝑈 2 + 𝑂𝑉 2 = 𝑈𝑉 2
𝑂𝑈 2 = 𝑢 2
𝑂𝑉 2 = Ԧ𝑣 2
𝑈𝑉 2 = Ԧ𝑣 − 𝑢 2 = 𝑥𝑣 − 𝑥𝑢2 + 𝑦𝑣 − 𝑦𝑢
2 + 𝑧𝑣 − 𝑧𝑢2
= 𝑥𝑣2 − 2𝑥𝑢𝑥𝑣 + 𝑥𝑢
2 + 𝑦𝑣2 − 2𝑦𝑢𝑦𝑣 + 𝑦𝑢
2 + 𝑧𝑣2 − 2𝑧𝑢𝑧𝑣 + 𝑧𝑢
2
= 𝑥𝑢2 + 𝑦𝑢
2 + 𝑧𝑢2 + 𝑥𝑣
2 + 𝑦𝑣2 + 𝑧𝑣
2 − 2 ⋅ (𝑥𝑢𝑥𝑣 + 𝑦𝑢𝑦𝑣 + 𝑧𝑢𝑧𝑣)
= 𝑢 2 + Ԧ𝑣 2 − 2 ⋅ 𝑢 ⋅ Ԧ𝑣 = 𝑂𝑈 2 + 𝑂𝑉 2 − 2 ⋅ 𝑢 ⋅ Ԧ𝑣
Damit gilt 𝑂𝑈 2 + 𝑂𝑉 2 = 𝑈𝑉 2 genau dann, wenn 𝑢 ⋅ Ԧ𝑣 = 0.
Genau in diesem Fall sind die Vektoren 𝑢 und Ԧ𝑣 orthogonal.
Filler, A. (2011). Elementare Lineare Algebra. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag, S. 127
Kapitel 5: Skalarprodukt • 5.31Jürgen Roth • Didaktik der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie
Geometrische Eigenschaften
des Skalarprodukts
Cauchy-Schwarzsche Ungleichung
Für beliebige Vektoren 𝑢 und Ԧ𝑣 gilt:
𝑢 ⋅ Ԧ𝑣 ≤ 𝑢 ⋅ Ԧ𝑣
Satz über das Skalarprodukt kollinearer Vektoren
Für zwei kollineare und gleichorientierte Vektoren 𝑢 und Ԧ𝑣 gilt:
𝑢 ⋅ Ԧ𝑣 = 𝑢 ⋅ Ԧ𝑣
Für zwei kollineare und entgegengesetzt orientierte Vektoren
𝑢 und Ԧ𝑣 gilt:
𝑢 ⋅ Ԧ𝑣 = − 𝑢 ⋅ Ԧ𝑣
Filler, A. (2011). Elementare Lineare Algebra. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag, S. 124ff
Kapitel 5: Skalarprodukt • 5.32Jürgen Roth • Didaktik der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie
Geometrische Eigenschaften
des Skalarprodukts
Skalarprodukt und Winkel zwischen Vektoren
Der Betrag des Skalarprodukts zweier Vektoren ist also
maximal, wenn die Vektoren kollinear und
minimal (nämlich Null), wenn die Vektoren orthogonal sind.
Damit liegt nahe, dass das Skalarprodukt von den Beträgen
und dem Zwischenwinkel der Vektoren anhängt.
Der Winkel zwischen zwei Vektoren 𝑢 und Ԧ𝑣 ist der Winkel
zwischen zwei repräsentierenden Pfeilen 𝑃𝑈 und 𝑃𝑉 mit
demselben Anfangspunkt 𝑃.
Filler, A. (2011). Elementare Lineare Algebra. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag, S. 128
Kapitel 5: Skalarprodukt • 5.33Jürgen Roth • Didaktik der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie
Geometrische Eigenschaften
des Skalarprodukts
Skalarprodukt und Winkel zwischen Vektoren
Lot von 𝑉 auf die Gerade 𝑈𝑃 fällen. 𝑉1 ist der Lotfußpunkt.
Ԧ𝑣 = Ԧ𝑣1 + Ԧ𝑣2 (vgl. Abbildungen)
𝑢 ⋅ Ԧ𝑣 = 𝑢 ⋅ Ԧ𝑣1 + Ԧ𝑣2 = 𝑢 ⋅ Ԧ𝑣1 + 𝑢 ⋅ Ԧ𝑣2=0
wegen 𝑢⊥𝑣2
= 𝑢 ⋅ Ԧ𝑣1 #
𝑢 und Ԧ𝑣1 können abhängig von ihrem Zwischenwinkel 𝜑 (mit 0 ≤𝜑 ≤ 180°) gleich (𝜑 < 90°) oder entgegengesetzt (90° < 𝜑 < 180°) orientiert sein.
Filler, A. (2011). Elementare Lineare Algebra. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag, S. 128
Kapitel 5: Skalarprodukt • 5.34Jürgen Roth • Didaktik der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie
Geometrische Eigenschaften
des Skalarprodukts
Skalarprodukt und Winkel zwischen Vektoren
Seien 𝑢 und Ԧ𝑣1 gleichorientiert, dann gilt nach dem Satz über
das Skalarprodukt gleichorientierter, kollinearer Vektoren:
𝑢 ⋅ Ԧ𝑣1 = 𝑢 ⋅ Ԧ𝑣1 ∗
Im rechtwinkligen Dreieck Δ𝑃𝑉1𝑉 gilt
cos 𝜑 =|𝑣1|
𝑣bzw. Ԧ𝑣1 = Ԧ𝑣 ⋅ cos 𝜑 ∗∗
Damit folgt: 𝑢 ⋅ Ԧ𝑣 ฎ=#
𝑢 ⋅ Ԧ𝑣1 ฎ=∗
𝑢 ⋅ Ԧ𝑣1 ฎ=∗∗
𝑢 ⋅ Ԧ𝑣 ⋅ cos 𝜑
Filler, A. (2011). Elementare Lineare Algebra. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag, S. 128
Kapitel 5: Skalarprodukt • 5.35Jürgen Roth • Didaktik der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie
Geometrische Eigenschaften
des Skalarprodukts
Satz
Für das Skalarprodukt zweier Vektoren 𝑢 und Ԧ𝑣, ihre Beträge
𝑢 , Ԧ𝑣 und den Winkel 𝜑 = ∠ 𝑢, Ԧ𝑣 gilt:
𝑢 ⋅ Ԧ𝑣 = 𝑢 ⋅ Ԧ𝑣 ⋅ cos 𝜑 ∗
Filler, A. (2011). Elementare Lineare Algebra. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag, S. 128
Kapitel 5: Skalarprodukt • 5.36Jürgen Roth • Didaktik der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie
Geometrische Eigenschaften
des Skalarprodukts
Winkel zwischen zwei Vektoren
Wenn 𝑢 =
𝑥𝑢𝑦𝑢𝑧𝑢
und Ԧ𝑣 =
𝑥𝑣𝑦𝑣𝑧𝑣
zwei Vektoren des Raumes sind,
dann ergibt sich:
cos ∠ 𝑢, Ԧ𝑣 =𝑢 ⋅ Ԧ𝑣
𝑢 ⋅ Ԧ𝑣=
𝑥𝑢 ⋅ 𝑥𝑣 + 𝑦𝑢 ⋅ 𝑦𝑣 + 𝑧𝑢 ⋅ 𝑧𝑣
𝑥𝑢2 + 𝑦𝑢
2 + 𝑧𝑢2 ⋅ 𝑥𝑢
2 + 𝑦𝑢2 + 𝑧𝑢
2
Filler, A. (2011). Elementare Lineare Algebra. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag, S. 128
Kapitel 5: Skalarprodukt • 5.37Jürgen Roth • Didaktik der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie
Präsenzübung
Winkelbestimmung
Bestimmen Sie den Winkel
zwischen der Seite 𝐴𝐵und der Raumdiagonalen
[𝐴𝐺].
Lösungshinweis
𝐴𝐵 =400
, 𝐴𝐵 =432
cos ∠ 𝐴𝐵, 𝐴𝐺 =𝐴𝐵 ⋅ 𝐴𝐺
𝐴𝐵 ⋅ 𝐴𝐺=
4 ⋅ 4 + 0 ⋅ 3 + 0 ⋅ 2
42 + 02 + 02 ⋅ 42 + 32 + 22=
16
4 ⋅ 29
⇒ ∠ 𝐴𝐵, 𝐴𝐺 ≈ 42°
Kapitel 5: Skalarprodukt • 5.38Jürgen Roth • Didaktik der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie
Inhalte
Kapitel 5: Skalarprodukt
5.1 Aspekte des Skalarprodukts im MU
5.2 Skalarprodukt und Messen
5.3 Arithmetischer Zugang zum Skalarprodukt
5.4 Geometrische Deutung des Skalarprodukts
5.5 Produktive Übungen und systematische Variation
5.6 Geometrische Eigenschaften des Skalarprodukts
5.7 Skalarprodukt im Kontext
Kapitel 5: Skalarprodukt • 5.39Jürgen Roth • Didaktik der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie
Skalarprodukt im Kontext
Nägel und Schrauben
Eine Firma produziert Nägel und Schrauben, die im Verkauf jeweils
1 € (Nägel) bzw. 2 € (Schrauben) kosten. Du kaufst 10 Nägel und 10Schrauben – es entsteht ein Gesamtbetrag von 30 €. Solche
Rechnungen lassen sich mit Kostenvektoren und Stückzahlvektoren
darstellen, die sich miteinander verknüpfen lassen:
10
10⋅1
2= 10 ⋅ 1 + 10 ⋅ 2 = 30
a) Angenommen, du möchtest für 30 € Schrauben & Nägel kaufen.
Welche Möglichkeiten hast du jeweils, Schrauben für 2 € und
Nägel für 1 € zu kaufen? Stelle unterschiedliche Stückzahl-
vektoren auf und zeichne sie in der Ebene ein.
b) Begründe inwiefern die verschiedenen Stückzahlvektoren
zusammenhängen. Was fällt dir auf?
c) Zeichne den Kostenvektor 12
im Koordinatensystem ein.
Wie hängt dieser mit den Stückzahlvektoren zusammen?
Schacht, F. (2014): Ganz schön verMESSEN! – Das Skalarprodukt aus der Perspektive des Messens. Praxis der Mathematik in der
Schule 56(55), S. 32-38
Kapitel 5: Skalarprodukt • 5.40Jürgen Roth • Didaktik der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie
Skalarprodukt im Kontext