PROBABILIDADES
Juan Carlos Colonia P.
EXPERIMENTO ALEATORIO
Se conocen todos los resultados posibles antes de
realizar el experimento.
Antes de realizar el experimento no se puede conocer
el resultado del mismo.
Se puede repetir indefinidamente de forma
independiente bajo las mismas condiciones.
En una larga sucesión de observaciones
independientes del experimento, a medida que las
repeticiones aumentan, los resultados tienden a
variar cada vez menos. (Regularidad Estadística).
EXPERIMENTO ALEATORIO
Evolución de la frecuencia relativa del número de caras obtenido en 100 lanzamientos de una
moneda (simulado por Excel). Los resultados individuales parecen ocurrir de forma caprichosa
pero a medida que el aumenta el número de lanzamientos la frecuencia relativa del número de
caras tiende a lo que se entiende por probabilidad de cara.
EXPERIMENTO ALEATORIO
Ejemplos:
En una central telefónica: Número de llamadas entrantes
Tiempo de duración de llamadas
En un servidor de archivos: Número de solicitudes de envío de archivos
Tiempo de duración de la descarga de los archivos.
Servicio de Internet: Tiempo empleado para establecer una conexión a
internet
ESPACIO MUESTRAL
El espacio muestral asociado a un experimento
aleatorio es el conjunto formado por todos los
posibles resultados del experimento. Es denotado por
S.
A los elementos del espacio muestral se les denomina
Eventos Elementales y son denotados por s.
1 2 3S s , s , s , ......
ESPACIO MUESTRAL
Experimento aleatorio: Lanzamiento de un dado.
Espacio muestral:
Experimento aleatorio: Número de caras al lanzar dos
monedas.
Espacio muestral:
S 1, 2, 3, 4, 5, 6
S cc, cs, sc, ss
EVENTO
Es un subconjunto del espacio muestral S. Si A es un
evento entonces .
Los eventos se denotan con letras mayúsculas A, B,C
etc.
El evento que solo consta de un solo elemento de se
llama evento elemental. El conjunto vacío y son de
por si eventos.
El conjunto vacío se denomina EVENTO IMPOSIBLE
y el conjunto es EVENTO SEGURO.
A S
S
S
EVENTOS
Experimento aleatorio: Lanzamiento de dos dados.
Espacio muestral:
Posibles eventos:
A: La suma debe ser igual a 5
1,1 , 1,2 , 1,3 , 1,4 , 1,5 , 1,6
2,1 , 2,2 , 2,3 , 2,4 , 2,5 , 2,6
3,1 , 3,2 , 3,3 , 3,4 , 3,5 , 3,6S
4,1 , 4,2 , 4,3 , 4,4 , 4,5 , 4,6
5,1 , 5,2 , 5,3 , 5,4 , 5,5 , 5,6
6,1 , 6,2 , 6,3 , 6,4 , 6,5 , 6,6
S 1,4 , 2,3 , 3,2 , 4,1
EVENTOS
Experimento aleatorio: Selección de dos empaques de una caja con 5 empaques.
Espacio muestral:
Posibles eventos: suponga que las cajas 1,2 y 3 están defectuosos.
A: Ningún empaque defectuoso
B: Dos empaques defectuosos
C: Un empaque defectuoso
A 4, 5
C 1,4 , 1,5 , 2,4 , 2,5 , 3,4 , 3,5
B 1,2 , 1,3 , 2,3
1,2 , 1,3 , 1,4 , 1,5 , 2,3S
2,4 , 2,5 , 3,4 , 3,5 , 4,5
PROBABILIDADES: ENFOQUE CLÁSICO
La probabilidad de un evento A es el cociente entre el número de resultados favorables al suceso y el número de resultados posibles.
En notación de conjuntos
Donde y es el cardinal de S y A respectivamente.
Número de resultados favorables al evento A
P ANúmero de resultados posibles
N AP A
N S
N S N A
PROBABILIDAD: ENFOQUE AXIOMÁTICO
Una probabilidad P es una función que asigna a cada evento E de S un número real P(E) llamado PROBABILIDAD DEL EVENTO E tal que cumple los siguientes axiomas:
1. Axioma 1:
2. Axioma 2:
3. Axioma 3: Si es una sucesión de eventos disjuntos
entonces
P E 0
P S 1
iE
i i
i 1i 1
P E P E
E S
PROBABILIDAD
Ejemplo 1:
Se lanzan dos dados ¿Cuál es la probabilidad de que la suma
sea igual a 5?
A: La suma debe ser igual a 5
Ejemplo 2:
Se seleccionan dos empaques de una caja de cinco
empaques, los empaques 1, 2 y 3 están defectuosos.
A: Ningún empaque defectuoso
B: Dos empaques defectuosos
C: Un empaque defectuoso
4P A 0.1136
1P A 0.110
3P B 0.310
6P C 0.610
PROBABILIDAD
Ejemplo 3:
Se dispone de 7 hombres y 10 mujeres para seleccionar
un comité de 5 personas. La selección se realiza al azar.
¿Cuál es la probabilidad de que el comité esté formado
por dos hombres y tres mujeres?.
Solución:
Sea el evento A: Comité esté formado por dos hombres y
tres mujeres.
Se requiere conocer el número de resultados totales, es
decir el número de elementos del espacio muestral y el
número de resultados a favor del evento A.
PROBABILIDAD: EJEMPLOS
Ejemplo 3: Solución
Para calcular el número de elementos del espacio muestral se
debe tomar en cuenta que se quiere seleccionar cinco personas
de un universo de diecisiete.
Para calcular el número de elementos para el evento A se debe
tomar en cuenta que se quiere seleccionar dos hombres de un
total de siete y tres mujeres de un total de 10.
La probabilidad de A:
17 17!6,188
5 5!x2!
2,520
P A 0.40726,188
7 10 7! 10!x 2,520
2 3 2!x5! 3!x7!
PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD
Para todo evento A:
Sea el complemento de A, entonces:
La probabilidad del evento imposible:
Para dos eventos A y B cualquiera, se tiene:
Si son N eventos incompatibles, entonces:
A P A 1 P A
P A B P A P B P A B
0 P A 1
1 2 NA , A , ... A
N N
i i
i 1i 1
P A P A
P 0
PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD: EJEMPLO
Un sistema contiene dos componentes A y B y se conecta de
manera que funciona si cualquiera de las dos componentes
funciona. Se sabe que la probabilidad de que A funcione es
0.9 y la de B es 0.8 y la probabilidad de que ambos
funcionen es 0.72. Determinar la probabilidad de que el
sistema funcione.
La probabilidad de que el sistema funcione es igual a la
probabilidad de la unión de A y B, por tanto
P A B 0.9 0.8 0.72 0.98