.
Jurnal Matematika “L O G ! K @” ISSN 1978 – 8568
Volume 6, Nomor 1, Januari 2016
Terbit dua kali setahun pada bulan Januari dan Juli. Berisi tulisan yang diangkat dari hasil
pemikiran dan hasil penelitian di bidang matematika.
Penanggungjawab
Nina Fitriyati
Penelaah (Mitra Bestari)
Agus Salim (Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta), Hengki Tasman
(Universitas Indonesia), Subanar (Universitas Gajah Mada Yogyakarta), Nuning Nuraini
(Institut Teknologi Bandung), Hardi Suyitno (Universitas Negeri Semarang), Slamin
(Universitas Jember), Fatmawati (Universitas Airlangga), Adhitya Ronnie Effendi
(Universitas Gajah Mada Yogyakarta), Ardhasena Sopaheluwakan (BMKG), Pardomuan
Sitompul (Universitas Negeri Medan).
Penyunting
Nur Inayah
Desain Grafis
Irma Fauziah
Kesekretariatan
Yanne Irene
Alamat Penyunting dan Tata Usaha : Pusat Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi
Universitas Islam Negeri Jakarta Jl. Ir. H. Juanda No. 95 Ciputat Jakarta 15412, Telepon
0818269377 atau 082118429870, Fax. (021)7493315, Email: [email protected].
Website: math.fst.uinjkt.ac.id.
Jurnal Matematika Log!k@ diterbitkan sejak 1 Juli 2008 oleh Pusat Studi Matematika
Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta.
Penyunting menerima sumbangan tulisan yang belum pernah diterbitkan dalam media lain.
Naskah diketik diatas kertas A4 spasi satu sebanyak 13 halaman, dengan format tercantum
pada FORMAT PENULISAN NASKAH Jurnal Matematika “LOG!K@” di bagian belakang
jurnal ini. Naskah yang masuk dievaluasi dan disunting untuk keseragaman format, istilah,
dan penulisan lainnya.
.
Jurnal Matematika “L O G ! K @” ISSN 1978 – 8568
Volume 6, Nomor 1, Januari 2016
KATA PENGANTAR
Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh.
Alhamdulillahi Robbil ‘Alamin dengan pertolongan Ilahi Rabbi, Jurnal Matematika
LOG!K@ Volume 6 Nomor 1 dapat terbit pada Bulan Januari 2016. Sesuai dengan visi
Program Studi Matematika, yakni menjadi pusat keunggulan dan pengembangan matematika
maka jurnal ini hadir untuk menambah wawasan dan aplikasi dari berbagai bidang ilmu
matematika. Jurnal Log!k@ diharapkan dapat menjadi wadah aspirasi dan informasi dari
berbagai hasil penelitian dan hasil pemikiran dari seluruh civitas akademika UIN Syarif
Hidayatullah Jakarta pada khususnya dan matematikawan Indonesia pada umumnya.
Jurnal Matematika LOG!K@ menyajikan beberapa topik yang berkaitan dengan
Matematika Murni, Komputasi, Statistika, Matematika Keuangan dan Riset Operasi, dengan
tidak menutup kemungkinan munculnya beberapa penelitian di bidang matematika yang lain.
Beberapa bidang yang muncul dalam edisi ini antara lain dalam bidang statistika, aljabar,
graf, komputasi, dan lain-lain.
Akhirulkalam, penyunting memberikan apresiasi yang tinggi kepada para penulis
naskah, penyunting dan juga pelanggan yang terus berkarya dan turut menghidupkan jurnal.
Secara sangat khusus, kami menyampaikan penghargaan setinggi-tingginya dan terima kasih
sebesar-besarnya kepada para Penyunting Ahli atau Mitra Bestari yang kesetiaannya kepada
tugas-tugas kemitrabestarian sungguh sangat mengagumkan. Mudah-mudahan peran mereka
dapat semakin membesarkan Jurnal Matematika LOG!K@ di masa mendatang.
Wassalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh
Penyunting
.
Jurnal Matematika “L O G ! K @” ISSN 1978 – 8568
Volume 6, Nomor 1, Januari 2016
DAFTAR ISI
Pengenalan Lafal Hukum Nun Mati menggunakan Hidden Markov Model 1 – 10 Agus Jamaludin, Arief Fatchul Huda, dan Rini Cahyandari (Universitas Islam Negeri Sunan Gunung Djati Bandung)
Solusi Analitik Masalah Konduksi Panas pada Tabung 11 – 22 Afo Rakaiwa dan Suma’inna (Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah
Jakarta)
Pelabelan Total Sisi-Ajaib Super pada Graf P3 ∪ Pn 23 – 31 Yanne Irene (Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta)
Prediksi Pergerakan Nilai Tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika Serikat 32 – 41 Menggunakan Hidden Markov Model Mahmudi dan Ardi (Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta)
Pelabelan Total (a,d)-C3-Antiajaib Super pada Graf Ular Sn 42 – 52 Lasmanian Rezekina, Nur Inayah, dan Yanne Irene (Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta)
Optimasi Range dan Endurance saat Terbang Jelajah menggunakan Firefly 53 – 61 Algorithm Nurul Khikmah dan Muhaza Liebenlito (Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta)
Sifat Aditif Kategori Homotopi Kompleks-U 62 – 70 Gustina Elfiyanti (Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta)
Strategi Pengamanan Data pada Server Komputer sebagai Implementasi Aplikasi 71 – 82 Pelabelan Graf Anti Ajaib Nur Inayah dan Muhaza Liebenlito (Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta)
Jurnal “LOG!K@” , Jilid 6, No. 1, 2016, Hal. 1 - 10
ISSN 1978 – 8568
PENGENALAN LAFAL HUKUM NUN MATI
MENGGUNAKAN HIDDEN MARKOV MODEL
Agus Jamaludin, Arief Fatchul Huda, dan Rini Sahyandari
Program Studi Matematika UIN Sunan Gunung Djati Bandung
Email: [email protected]
Abstract: Reading the Qur'an obligatory for every Muslim, as the word of Allah
QS Al-Ankabut: 45. Additionally, the Qur'an has rules in reading. This rules
relating to the pronunciation of the letter and recitation. The world of technology is
growing so rapidly. One was the discovery of the speech recognition system in
which a machine can understand the information conveyed by the human voice.
Many methods are used in speech recognition systems: feature extraction or
recognition method. Feature extraction methods are often used is Mel Frequency
Cepstral Coeficient (MFCC). This method combines the linear and nonlinear
because of human auditory perception are not on a linear scale in the form of
frequency but measured in the form of mel-frequency scale. In the feature
extraction stage, the sound signal is formed into a characteristic vectors. Therefore,
in the next stage, it will be in the feature vector quantization or mapped into a
codeword and collected into a set of codebook. Codebook is then used in the
training process of the HMM models. In the HMM training process, the parameters
of transition opportunities (A), opportunities of initialization (π), and observation
opportunities (B) counted and selected the best parameters to form an optimum
model and then this model will be used in the classification process. In this study,
we apply the Hidden Markov Model (HMM) to recognize the nun mati law
pronounciation. The best model in our experiment is obtained when the codebook
are M = 128 and state S = 6 with 51,7% accuracy rate.
Keywords: Speech Recognition, Feature Extraction, MFCC, HMM, Vector
Quantization
Abstrak: Membaca Al-Qur’an wajib bagi setiap umat muslim sebagaimana firman
Allah SWT Q.S. Al-Ankabut ayat 45. Selain itu, Al-Qur’an mempunyai aturan
dalam membacanya. Aturan tersebut berhubungan dengan pelafalan huruf atau
makhrojul huruf dan hokum tajwid. Dunia teknologi berkembang begitu pesat.
Salah satunya penemuan sistem pengenalan suara dimana sebuah mesin dapat
memahami informasi yang disampaikan oleh manusia melalui suara. Banyak
metode yang digunakan pada sistem pengenalan suara baik itu metode ekstraksi ciri
ataupun metode pengenalannya. Metode ekstraksi ciri yang sering dipakai adalah
Mel Frequency Cepstral Coefficient (MFCC). Metode ini menggabungkan cara
linier dan non linier. Hal ini disebabkan oleh persepsi pendengaran manusia yang
tidak berada pada skala linier dalam bentuk frekuensi melainkan diukur dalam
bentuk skala frekuensi mel. Pada tahap ekstraksi ciri ini sinyal suara dibentuk
menjadi vektor-vektor ciri, kemudian pada tahap berikutnya vektor ciri ini akan
dikuantisasi atau dipetakan menjadi codeword dan dikumpulkan menjadi codebook.
Codebook ini kemudian digunakan pada proses pelatihan model Hidden Markov
Model (HMM). Pada proses pelatihan HMM, parameter peluang transisi (A),
peluang inisialisasi (), dan peluang observasi (B) dihitung dan di cari parameter
yang palik baik sehingga membentuk sebuah model yang optimum. Kemudian
model ini digunakan pada proses kualifikasi. Pada penelitian ini diterapkan metode
HMM pada pengenalan lafal hokum nun mati. Model terbaik didapat pada
Agus Jamaludin, Arief Fatchul Huda dan Rini Sahyandari
2
percobaan yang dilakukan adalah pada saat besar codebook M=128 dan banyak
state S=6 dengan tingkat akurasi 51,7%.
Kata Kunci: Pengenalan Suara, Ekstraksi Ciri, Mel Frequency Cepstral Coefficent
(MFCC), Hidden Markov Model, Kuantisasi Vektor
1. PENDAHULUAN
Al-Qur’an merupakan kitab umat islam dan wajib dibaca bagi setiap muslim. Sebagai
mana firman Allah SWT :
Artinya: “Bacalah apa yang telah diwahyukan kepadamu, yaitu Al-Kitab (Al-Qur’an) dan
dirikanlah shalat” (Q.S. Al-Ankabut :45).
Berbeda dengan bacaan lainnya, Al-Qur’an memiliki aturan dalam membacanya. Firman
Allah SWT :
Artinya: “Atau lebih dari seperdua itu, dan bacalah Al-Qur’an itu dengan tartil” (Q.S. Al-
Muzzammil:4).
Pada ayat di atas Allah SWT memerintahkan setiap muslim untuk membaca A-Qur’an
dengan tartil. Secara umum tartil dapat diartikan perlahan-lahan dan tidak tergesa-gesa. Ilmu
yang mempelajari aturan dalam membaca Al-Qur’an adalah tajwid. Banyak orang yang belum
menerapkan tajwid dalam membaca Al-qur’an padahal menurut Imam Ibnu al-Jazari
membaca Al-qur’an tidak dengan tajwidnya itu adalah dosa karena Allah SWT menurunkan
Al-Qur’an dengan tajwidnya.
Pada jaman sekarang ini teknologi berkembang dengan pesat. Teknologi banyak
membantu manusia dalam menyelesaikan masalah. Salah satu nya adalah teknologi
pengenalan suara yang sudah banyak digunakan orang untuk menggali informasi dari suara.
Untuk mendapatkan sistem pengenalan suara yang baik dibutuhkan metode ekstraksi ciri dan
klasifikasi yang baik. Suara merupakan sebuah data yang berorientasi pada waktu. Hidden
Markov Model (HMM) merupakan proses probabilistik yang juga berorientasi pada waktu
dan bisa digunakan untuk klasifikasi. HMM terdapat pada hampir semua sistem pengenalan
suara dan merupakan metode yang baik dalam klasifikasi sinyal suara [1]. Berhubungan
dengan kasus pada pembacaan Al-Qur’an teknologi pengenalan suara bisa digunakan untuk
mengenali pelafalan huruf hijaiyah dan hukum-hukum tajwid. Pada makalah ini HMM akan
digunakan sebagai metode untuk mengklasifikasi atau mengenali lafal hukum nun mati.
2. PENGENALAN SUARA
Pengenalan sinyal suara merupakan suatu proses dimana suara yang dihasilkan oleh
pembicara direkam oleh computer, kemudian sinyal suara yang berbentuk sinyal analog
dirubah menjadi sinyal digital agar bisa diproses kemudian di indentifikasi. Sinya suara
Pengenalan Lafal Hukum Nun Mati menggunakan Hidden Markov Model
3
biasanya di identifikasi apa yang diucakan yang biasa disebut speech recognition atau di
identifikasi siapa yang mengucapkan yang biasa disebut speaker recognition.
Pada penelitian ini penulis mencoba untuk mengidentifikasi apa yang diucapkan.
Ucapan yang dikenal adalah pelafalan hukum nun mati. Berikut adalah alur dari sistem yang
dibuat:
Gambar 1. Desain Sistem
Setiap data masukan diekstraksi ciri menggunakan ekstraksi ciri MFCC. Data penelitian
akan masuk ketahap pelatihan. Data dimodelkan dengan basis HMM yaitu data masukan
dikuantisasi bedasarkan codebook yang dibuat sebelumnya . Kemudan data pelatihan dilatih
menggunakan algoritma baum-welch. Hasil pelatihan dari HMM ini adalah model-model
HMM. Model-model ini disimpan sebagai dictionary pada proses pengenalan. Data yang
merupakan data pengujian akan masuk pada proses pengujian dan dikuantisasi berdasarkan
codebook. Kemudian masuk proses pengenalan suara menggunakan algoritma forward
berdasarkan model yang dihasilkan dari proses pelatihan. Hasil dari pengenalan ini adalah
tulisan berdasarkan kelas yang dikenali oleh sistem.
3. EKSTRAKSI FITUR
Ekstraksi fitur merupakan suatu proses untuk mengkstraksi informasi inti dari sebuah
sinyal suara. Ekstraksi fitur ini bertujuan agar sinyal mudah dikenali pada saat proses
pengenalan suara oleh sistem. Langkah-langkah utama dari ekstraksi fitur adalah
preprocessing, frame blocking and windowing, ekstraksi fitur, dan post processing [2].
Gambar 2. Bagan proses utama ekstraksi fitur.
Dari sampel sinyal suara menghasilkan vektor ciri , dengan
dan , artinya terdapat M vektor dengan ukuran masing-masing vektor
sebesar N.
3.1. PREPROCESSING
Preprocessing adalah langkah pertama untuk membuat vektor ciri. Tujuan dari
preprocessing adalah untuk memodifikasi sinyal suara, , sehingga akan lebih mudah
Agus Jamaludin, Arief Fatchul Huda dan Rini Sahyandari
4
untuk dianalisis. Hal yang biasanya dilakukan pada preprocessing diantaranya, noise
cancelling, preemphasis, Voice Activation Detection (VAD)
3.2. FRAME BLOCKING DAN WINDOWING
Selanjutnya adalah membagi sinyal suara ke dalam frame-frame suara dan dilakukan
windowing untuk setiap framenya. Setiap frame mempunyai panjang K sampel, dengan
frames yang berdekatan dipisahkan oleh P sampel [2].
Gambar 3. Frame Blocking
Biasanya nilai untuk K dan P adalah 320 sampel dan 100 sampel koresponden dengan
20 ms frame, dipisahkan oleh 6.25 ms dengan sampling rate dari suara 16 KHz [2].
Selanjutnya yang harus dilakukan adalah windowing setiap frame dengan tujuan agar
mengurangi diskontinuitas sinyal di kedua ujung blok. Windowing yang biasa digunakan
adalah Hamming Window yang dihitung sebagai berikut [2]:
Maka hasil dari windowing-nya adalah:
dengan adalah sinyal suara sebelum windowing, dengan adalah panjang frame dan
dalah frame ke-m.
3.3. MEL FILTER BANK
Bagian ini adalah satu bagian yang paling penting yaitu untuk mendapatkan informasi yang
relevan dari blok ucapan. Banyak metode yang digunakan pada tahap ini. Namun, pada
penelitian ini digunakan metode Mel Frequency Cepstral Coefficient (MFCC). Pada metode
MFCC sinyal yang telah melalui proses frame blocking dan windowing kemudian dihitung
koefisien mel cepstrum dari sinyal tersebut dengan menggunaan rumus sebagai berikut [2]:
(2)
(1)
Pengenalan Lafal Hukum Nun Mati menggunakan Hidden Markov Model
5
dengan N merupakan panjang frame, adalah koefisien mel cepstrum ke-k.
adalah sebuah filter triangular. Untuk mendapatkan filter triangular kita harus
mengubah suara dengan frekuensi Hz menjadi frekuensi mel (Fmel). Persepsi manusia untuk
sinyal suara tidak mengikuti skala linier. Jadi untuk suara dengan frekuensi yang sebenarnya
diukur dalam Hz. Skala frekuensi mel merupakan frekuensi linier dengan batas bawah 1000
Hz dan logaritmik dengan batas atas 1000 Hz. 1 Hz biasanya dikatakan juga 1000 mels.
Sebagai transformasi frekuensi nonlinier, rumus berikut digunakan [2];
Setelah frekuensi mel (Gambar 6) didapat kemudian dibagi menjadi K bagian. Setelah
membaginya menjadi K bagian sekarang kita bisa menemukan triangular filter dengan
menghitung sebagai berikut [2]:
(a)
(b)
Gambar 4. (a) Skala Mel, (b) Mel Scale filter bank.
Setelah koefisien spektrum mel dihitung tahap selanjutnya adalah Discrete Cosine Transform
(DCT). Pada tahap ini akan dikonversi spektrum mel ke dalam domain waktu. DCT ini sama
dengan IFFT atau invers dari FFT. Hasilnya adalah :
dengan
(3)
(4)
(5)
(6)
Agus Jamaludin, Arief Fatchul Huda dan Rini Sahyandari
6
3.4. POSTPROCESSING
Langkah terakhir dari proses ekstraksi fitur adalah postprocessing. Pada proses ini
biasanya suara dinormalisasi, yaitu dengan mengurangi sampel suara dengan rata-rata (
dari 2] seluruh sampel suara, atau bisa dirumuskan sebagai berikut [2]:
dengan M adalah banyak frame untuk cepstrum ke-n. Sampel suara dinormaslisasi dengan
cara [2]:
dengan adalah cepstrum sebelum normalisasi hasil dari DCT dan adalah
cepstrum hasil normalisasi.
4. HIDDEN MARKOV MODEL
Markov model adalah salah satu metode probabilistik yang digunakan untuk
memprediksi kejadian berikutnya berdasarkan kejadian sebelumnya atau yang biasa disebut
dengan rantai markov dimana kejadian sebelumnya teramati. Misalkan, terdapat N kejadian
(q) yang berbeda dengan setiap kejadiannya memiliki indeks waktu atau
kejadian kejadian-kejadian itu biasa dinotasikan dengan . Kejadian-kejadian tersebut
dihubungkan dengan peluang transisi. Rantai markov didefinisikan sebagai berikut :
Persamaan di atas biasa disebut juga dengan first order markov assumption. Peluang transisi
biasanya dinotasikan dengan , atau bisa ditulis juga sebagai berikut :
dimana memenuhi sifat peluang, yaitu :
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
Pengenalan Lafal Hukum Nun Mati menggunakan Hidden Markov Model
7
atau bisa dituliskan dalam sebuah matriks :
Selain itu, pada rantai markov terdapat kejadian awal yang disebut dengan initial state.
Kejadian awal ini biasa didefinisikan sebagai suatu vektor :
Contoh penerapan metode ini adalah pada kasus cuaca. Misalkan suatu hari terjadi cuaca yang
bisa kita amati seperti pada gambar 6.
Dengan model pada gambar 6 kita bisa memprediksi urutan cuaca yang terjadi. Misalkan,
terdapat urutan kejadian pada 6 hari berturut-turut sebagai berikut :
Maka peluang cuaca pada hari ke-7 sebagai berikut :
Hidden Markov Model (HMM) atau model markov tersembunyi adalah model markov
dengan asumsi bahwa kita tidak mengetahui kejadian yang terjadi tapi bisa memprediksi
dengan melihat fenomena yang terjadi. Contohnya adalah pada kasus cuaca sebelumnya,
ketika kita berada di dalam ruangan kita tidak bisa mengetahui cuaca diluar. Tetapi, kita bisa
mengetahuinya dengan melihat fenomena yang terjadi. Misalnya, dengan melihat orang yang
masuk ke ruangan apakah memakai paying atau tidak. Gambar 7 adalah arsitektur dari HMM.
Gambar 6. Model markov pada kejadian cuaca dengan state: 1: berawan, 2: cerah, 3: hujan
4: berangin [5].
(14)
(15)
Agus Jamaludin, Arief Fatchul Huda dan Rini Sahyandari
8
Gambar 7. Arsitektur HMM [8].
B merupakan peluang kemunculan peubah yang terobservasi pada suatu state. Sedangkan Y
merepresentasikan notasi untuk nilai teramati pada waktu t. Suatu HMM dapat dilambangkan
dengan :
HMM memiliki tiga masalah mendasar, yaitu [6]:
1. Mencari P(O|), peluang dari barisan observasi jika diberikan HMM;
. Peluang ini dapat ditentukan secara induksi dengan menggunakan algoritma
forward.
2. Mencari barisan state yang optimal jika diberikan barisan observasi
dan model . Barisan state terbaik yang akan ditentukan
yaitu berupa lintasan tunggal yang mungkin. Untuk menyelesaikan masalah ini digunakan
algoritma viterbi.
Mengatur parameter model agar P(O|) maksimum jika diberikan sebuah
HMM, , dan barisan obserbasi O. Untuk menyelesaikan masalah ini digunakan algoritma
Baum-Welch.
5. KUANTISASI VEKTOR
Kuantisasi adalah proses aproksimasi sinyal ampitudo kontinyu dengan simbol diskrit.
Kuantisasi dari nilai sinyal tunggal atau parameter disebut kuantisasi skalar. Sebaliknya,
kuantisasi gabungan beberapa nilai sinyal atau parameter disebut kuantisasi vector. Sebuah
quantizer vektor digambarkan oleh codebook, yang merupakan himpunan vektor prototipe
tetap atau vektor reproduksi. Masing-masing vector prototipe ini juga disebut sebagai
codeword. Untuk melakukan proses kuantisasi, vektor masukan adalah pencocokkan ulang
codeword di codebook menggunakan beberapa ukuran distorsi. Vektor masukan kemudian
digantikan oleh indeks dari codeword dengan distorsi terkecil. Oleh karena itu, deskripsi dari
proses kuantisasi vektor meliputi [10]:
a. Mengukur distorsi,
(16)
Pengenalan Lafal Hukum Nun Mati menggunakan Hidden Markov Model
9
b. Generasi setiap codeword di codebook.
Karena vektor diganti dengan indeks dari codeword dengan distorsi terkecil, data yang
dikirimkan dapat dipulihkan hanya dengan mengganti urutan indeks kode dengan urutan
codeword yang sesuai. Ini pasti menyebabkan distorsi antara data asli dan data yang
ditransmisikan. Bagaimana untuk meminimalkan distorsi demikian tujuan utama vektor
kuantisasi. Bagian ini menjelaskan beberapa tindakan distorsi yang paling umum. Ada
beberapa algoritma yang digunakan pada proses vektor kuantisasi, yaitu k-means dan LBG.
Pada percobaan ini digunakan algoritma LBG.
6. HASIL DAN ANALISIS PERCOBAAN
Pada penelitian ini dilakukan percobaan pengenalan lafal hukum nun mati dengan
menggunakan data suara dari 5 orang pembicara. Setiap pembicara mengucapkan 28 lafazh
yang merupakan potongan ayat dalam Al-Qur’an yang mengandung hukum nun mati. 1 lafazh
diucapkan sebanyak 5 kali. Sample rate yang dipilih adalah 11025 Hz. Format data suara
yang hasil perekaman adalah wav.
Data penelitian dibagi menjadi dua bagian, yaitu data pelatihan dan data pengujian. Data
pelatihan digunakan untuk melatih sistem, sedangkan data pengujian digunakan untuk
menguji tingkat pengenalan sistem. Adapun persentase pembagian data pelatihan dan data
pengujian ditentukan berdasarkan hasil percobaan dengan hasil terbaik.
Gambar 8. (a) Alur proses pelatihan HMM, (b) alur proses pengujian HMM.
Agus Jamaludin, Arief Fatchul Huda dan Rini Sahyandari
10
Gambar 8 adalah alur proses pelatihan dan pengujian HMM dan hasil dari percobaan
ditunjukkan oleh Gambar 9.
Akurasi tertinggi didapat pada saat besar codebook M=64, terlihat jelas pada grafik
bahwa untuk setiap state yang diambil menghasilkan tingkat pengenalan yang baik. Namun,
kembali lagi pada hasil dari proses pelatihan bahwa untuk model dengan besar codebook
M=64 memiliki rata-rata tingkat akurasi 90% sehingga modelnya masih diragukan. Jika kita
perhatikan lagi akurasi pengenalan data pengujian yang paling tinggi dengan tingkat akurasi
pengenalan data training 100% terdapat pada saat besar codebook M=128 dengan jumlah state
S=6. Tingkat akurasi pada saat besar codebook M=128 dan jumlah state S=6 adalah 51,79%.
Gambar 9. Grafik rata-rata akurasi pengenalan data pengujian dan data pelatihan
7. KESIMPULAN
Hasil percobaan menunjukkan bahwa codebook untuk pelatihan HMM didapat saat
besar codebook M=128 dengan jumlah state S=6 karena memiliki tingkat akurasi pengenalan
data testing tertinggi dengan akurasi pengenalan data pelatihan 100%, yaitu 51,79%. Dengan
tingkat akurasi pengenalan data pengujian 51,79% ini, sistem yang dibuat bisa dikatakan
kurang baik atau sistem tidak bisa dengan tepat mengenali.
REFERENSI
[1] Gales, Mark dan Steve Young. (2007). The Aplication of Hidden Markov Models in
Speech Recognition. Hanover, USA: NOW.
[2] Nillson, Mikael, Ejnarrson, Marcus. 2002. Speech Recognition Using Hidden Markov
Model Performance evaluation in noisy environment. Blekinge Tekniska Hogskola,
Sweden.
[3] Firdaniza dkk. (2006). Hidden Markov Model.
[4] Huang, Xuedong dkk. (2000). Spoken Languange Processing, A Guide to Theory,
Algorithm, and System Development. Redmond, WA: Prentice Hall.
Jurnal “LOG!K@” , Jilid 6, No. 1, 2016, Hal. 11 - 22
ISSN 1978 – 8568
SOLUSI ANALITIK MASALAH KONDUKSI PANAS
PADA TABUNG
Afo Rakaiwa dan Suma’inna
Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi,
Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta
Email: [email protected]
Abstract: In this study, we discussed the application of integral method of heat
balance to solve the heat conduction problems on the cylinder analytically. In this
method, function of temperature is approached by polynomials. Degree of the
polynomial can be to be added but it required the additional boundary conditions that
found from the governing di§erential equation and the basic boundary conditions.
These boundary conditions are used to determine the coefficients of this polynomial.
Shortcoming of this method is only applicable to cylinder which has a constant initial
temperature.
Keywords: heat conduction, cylinder, integral method of heat balance, additional
boundary conditions.
Abstrak: Pada penelitian ini, dibahas mengenai penerapan metode integral dari
keseimbangan panas untuk memecahkan masalah konduksi panas pada silinder secara
analitik. Dalam metode ini, fungsi temperatur didekati oleh polinomial. Derajat
polinomial dapat ditambahkan namun diperlukan syarat batas tambahan yang didapat
dari pengaturan persamaan diferensial dan syarat batas dasar. Kondisi batas ini
digunakan untuk menentukan koefisien dari polinomial ini. Kelemahan dari metode ini
hanya berlaku untuk silinder yang memiliki suhu awal konstan.
Kata kunci: Konduksi Panas, Persamaan differential, Solusi Analitik.
PENDAHULUAN
Konduksi adalah cara perpindahan panas berlangsung pada benda padat atau pada
keseluruhan cairan dari daerah bersuhu tinggi ke daerah bersuhu rendah akibat adanya gradien
suhu pada benda tersebut tanpa disertai perpindahan bagian-bagian benda tersebut. Aliran
panas tidak dapat diukur secara langsung, tetapi konsep pengukuran panas mempunyai arti
fisik karena berhubungan dengan pengukuran kuantitas skalar yang disebut suhu. Oleh karena
itu, saat distribusi suhu di sebuah benda ditentukan sebagai fungsi posisi dan waktu, maka
aliran panas dapat dihitung dari hukum yang berhubungan dengan aliran panas sampai
gradien suhu.
Dalam persoalan perpindahan panas, khususnya konduksi panas, persamaan konduksi
panas dilinearkan dengan mengasumsikan bahwa sifat panas tidak ber-gantung pada suhu,
lebih jauh syarat batas juga diasumsikan linear. Tetapi tidak semua persoalan konduksi panas
dapat diselesaikan dengan pendekatan persamaan linear. Sebagai contoh jika suhu dalam
benda padat bervariasi di berbagai titik, dengan kata lain dengan adalah koordinat benda, maka sifat panas bergantung pada suhu dan persamaan panas menjadi nonlinear.
Goodman [4] memperkenalkan sebuah penyelesaian matematis, yang disebut metode
integral keseimbangan panas, dimana pendekatan solusi terhadap persamaan konduksi panas
Afo Rakaiwa dan Suma’inna
12
nonlinear dapat diselesaikan. Dengan metode ini, pemanasan (pendinginan) dari sebuah benda
dibagi menjadi 2 tahap [1]. Tahap pertama, suhu gangguan depan (temperature perturbation
front) secara bertahap meningkat dari permukaan ke pusat benda. Tahap kedua, suhu
menyebar ke seluruh volume benda sampai mencapai keadaan stabil. Metode ini
menggunakan asumsi polinomial untuk pendekatan fungsi suhu. Derajat polinomial dapat
ditambahkan namun diperlukan adanya syarat batas tambahan untuk menentukan koefisien
dari polinomial tersebut. Syarat batas tambahan ini didapat dari pengaturan persamaan
diferensial dan syarat batas dasar, termasuk yang terperinci pada suhu gangguan depan.
Kelemahan dari metode ini adalah tidak dapat diterapkan pada permasalahan dengan suhu
awal berbeda-beda di setiap titik tabung [1]. Sehingga diperlukan asumsi suhu awal konstan
di setiap titik. Penelitian ini bertujuan untuk menjelaskan solusi analitik masalah konduksi
panas untuk tabung dengan menggunakan metode integral keseimbangan panas yang telah
diperkenalkan oleh Goodman pada [4].
TINJAUAN PUSTAKA
Persamaan Diferensial Konduksi Panas untuk Tabung
Persamaan yang mengandung unsur derivatif disebut dengan persamaan diferensial [2].
Persamaan diferensial biasa orde satu mempunyai bentuk [2]:
Persamaan diferensial biasa orde dua mempunyai bentuk [2]:
(1)
Syarat awal untuk persamaan (1) adalah
dengan dan adalah konstanta.
Persamaan konduksi panas tidak tetap satu dimensi pada silinder tak terhingga seperti
diilustrasikan pada Gambar 1 adalah sebagai berikut [3]
dengan
adalah difusivitas panas, adalah jari-jari, adalah posisi terhadap jari-jari,
adalah suhu yang bergantung pada posisi dan waktu, dan adalah waktu.
Dengan menggunakan besaran tak berdimensi berikut [3],
menyatakan koordinat tak berdimensi untuk suhu;
menyatakan koordinat tak berdimensi jarak dari pusat tabung;
menyatakan koordinat tak berdimensi untuk waktu,
persamaan konduksi panas tidak tetap untuk silinder tak terhingga menjadi
Solusi Analitik Masalah Konduksi Panas pada Tabung
13
Gambar 1. Koordinat tabung tak terhingga
Integral Keseimbangan Panas
Goodman [4] memperkenalkan sebuah metode pendekatan pada masalah konduksi
panas yang disebut integral keseimbangan panas. Permasalahan konduksi panas tersebut tidak
harus linear karena metode ini juga mencakup masalah nonlinear. Metode integral ini
mengurangi masalah batas nilai nonlinear menjadi masalah nilai awal biasa yang solusinya
dapat dinyatakan dalam bentuk analitik tertutup (closed analytical). Metode ini juga dapat
digunakan untuk mendapatkan solusi pendekatan masalah linear dengan sifat panas rumit
yang bergantung secara spasial, dan masalah yang melibatkan konveksi.
Dalam metode ini, pemanasan (pendinginan) dari sebuah benda dibagi menjadi dua
tahap. Pertama, suhu gangguan depan maju dari permukaan ke pusat benda; kedua, suhu
tersebut berubah pada seluruh volume benda sampai mencapai keadaan setimbang. Metode ini
menggunakan asumsi polinomial untuk fungsi suhu. Koefisien dari suku banyak ditentukan
menggunakan syarat batas tambahan, yaitu pengaturan persamaan diferensial dan syarat batas
dasar, termasuk yang terperinci pada suhu gangguan depan. Kelemahan dari metode ini
adalah tidak dapat diterapkan pada permasalahan dengan suhu awal berbeda-beda di setiap
titik tabung. Sehingga diperlukan asumsi suhu awal konstan di setiap titik.
Langkah-langkah metode integral keseimbangan panas adalah sebagai berikut:
a. Persamaan konduksi panas diintegralkan terhadap , yang disebut kedalaman
penetrasi, sehingga didapat integral keseimbangan panas.
b. Representasi fungsi suhu dengan polinomial. Koefisien polinomial diperoleh dari syarat
batas dasar dan syarat batas tambahan.
c. Setelah fungsi suhu dikonstruksikan dan disubstitusi pada integral keseimbangan panas
diperoleh persamaan diferensial biasa untuk dan . solusinya berupa fungsi
yang bergantung pada
Afo Rakaiwa dan Suma’inna
14
d. Setelah diperoleh fungsi , dapat ditentukan juga distribusi suhu sebagai
fungsi posisi dan waktu.
PEMBAHASAN
Solusi Analitik Masalah Konduksi Panas pada Tabung
Misalkan sebuah tabung tak terhingga dengan suhu awal konstan dan suhu pada
permukaan tabung adalah konstan . Setiap titik pada tabung saat kondisi awal diasumsikan
konstan , sedangkan pada permukaan tabung diasumsikan . Tabung juga diasumsikan
simetri terhadap pusat tabung.
Gambar 2. Koordinat tak berdimensi pada tabung tak terhingga
Masalah konduksi panas yang tidak tetap pada tabung tak terhingga seperti pada Gambar 2
dimodelkan sebagai berikut:
(2)
(3)
(4)
(5)
dengan:
adalah koordinat tak berdimensi untuk suhu;
adalah suhu awal;
adalah suhu permukaan;
adalah koordinat tak berdimensi untuk posisi terhadap jari-jari;
adalah jari-jari tabung;
adalah koordinat tak berdimensi untuk waktu;
adalah difusivitas termal;
adalah waktu.
Solusi Analitik Masalah Konduksi Panas pada Tabung
15
Persamaan (3) menyatakan suhu awal setiap titik pada tabung adalah sehingga . Persamaan (4) menyatakan gradien suhu antara 2 titik yang simetri dengan pusat tabung adalah nol. Persamaan (5) menyatakan suhu pada permukaan tabung
adalah sehingga .
Proses pemanasan dibagi menjadi dua tahap: , yaitu waktu yang
diperlukan untuk pemanasan mencapai pusat lingkaran dan , yaitu waktu yang diperlukan untuk suhu mencapai keadaan setimbang di semua titik tabung. Untuk tujuan ini,
diperkenalkan batas waktu bervariasi yang membagi domain asli menjadi dua
subdomain dan , dengan adalah kedalaman
penetrasi terhadap waktu dan tidak ada aliran panas setelah titik . Tahap pertama dari pemanasan selesai saat batas bergerak mencapai pusat dari tabung. Para tahap kedua, suhu
berubah pada seluruh volume benda: .
Dengan mengganti variabel dari pusat lingkaran menjadi dari permukaan
tabung dan mengenalkan kedalaman lapisan panas sebagai koordinat umum, didapatkan persamaan untuk tahap pertama:
(6)
(7)
(8)
syarat batas (4) tidak diperlukan pada persamaan (6)-(8), karena tidak mempengaruhi
perpindahan panas pada tahap pertama.
Setelah memperkenalkan , diperlukan syarat berikut pada suhu gangguan depan:
(9)
Syarat pertama dari (9) berarti suhu dari benda pada batas bergerak sama dengan suhu awal,
sedangkan syarat kedua berarti tidak ada aliran panas di luar suhu gangguan depan.
Misalkan solusi yang diinginkan pada persamaan (6)-(7) tidak memenuhi persamaan
panas asli (6) melainkan persamaan tersebut diratakan berdasarkan kedalaman lapisan panas
. Integralkan persamaan (6) terhadap dari nol sampai dan
memperhatikan syarat kedua dari (9) menghasilkan integral (integral keseimbangan panas)
(10)
Representasi suhu asli dapat berbentuk polinomial berderajat :
Afo Rakaiwa dan Suma’inna
16
(11)
Menggunakan ,
(12)
Substitusi (12) ke persamaan (8) dan (9) didapatkan koefisien tak diketahui , yaitu
Dengan menggunakan koefisien yang didapat, persamaan (12) menjadi
(13)
Substitusi persamaan (13) ke persamaan (10), didapat
(14)
Penyelesaian dari (14) menghasilkan persamaan diferensial biasa dengan untuk
menentukan fungsi tak diketahui :
Dengan memisahkan variabel dan integralkan terhadap menghasilkan suku banyak dengan bentuk
Nilai dari yang memenuhi persamaan di atas untuk beberapa angka Fourier adalah
Untuk , didapatkan waktu penyelesaian proses tahap pertama: .
Akurasi dari solusi yang diinginkan dapat ditingkatkan dengan meningkatkan derajat
suku banyak pada persamaan (11). Saat terdapat lebih dari tiga koefisien , koefisien tersebut dapat ditentukan menggunakan syarat batas tambahan. Syarat batas tersebut didapat
menggunakan syarat batas (8) dan (9) dan persamaan (6). Untuk itu, persamaan (6)
diturunkan secara berurutan terhadap . Karena dan turunannya adalah fungsi
kontinu, maka orde diferensiasi dapat diubah untuk mendapatkan
(15)
Solusi Analitik Masalah Konduksi Panas pada Tabung
17
Untuk memperoleh syarat batas tambahan pertama, diferensiasikan persamaan (8)
terhadap dan persamaan (6) dituliskan untuk :
(16)
Untuk mendapatkan syarat batas tambahan kedua, diferensiasikan syarat pertama dari (9)
terhadap , persamaan (6) dituliskan untuk , dan menggunakan syarat kedua dari
(9):
(17)
Untuk memperoleh syarat batas tambahan ketiga, diferensiasikan syarat kedua dari (9)
terhadap , menggunakan relasi (15) pada , dan menggunakan syarat kedua dari (9):
(18)
Syarat batas awal (8) dan (9) dan syarat batas tambahan (16), (17), dan (18) dapat
digunakan untuk menentukan 6 koefisien dari suku banyak (11). Substitusi persamaan (11) ke
semua syarat batas menghasilkan sistem persamaan linear berikut untuk koefisien tak
diketahui , :
(19)
Penyelesaian sistem persamaan (19) adalah
0 1 1
3
2 1 3 1 1
4 5
4 1 1 5 1 1
1, 20 / ( ),
10 / ( ), 20 2 / ( ),
5 8 3 / ( ), 4 3 / ( ),
a a Aq
a Aq a q Aq
a q Aq a q Aq
dengan .
Koefisien ( ) yang didapat disubstitusikan ke persamaan (11) untuk
mendapatkan
(20)
Afo Rakaiwa dan Suma’inna
18
Substutusikan persamaan (20) ke persamaan (10) akan menghasilkan persamaan diferensial
biasa untuk fungsi tak diketahui :
(21)
Dengan memisahkan variabel pada persamaan (21) dan integralkan dengan syarat awal
didapatkan
(22)
Untuk beberapa angka Fourier, nilai dari didapat dari persamaan (22) adalah
Untuk , didapatkan waktu penyelesaian proses tahap pertama: .
Pada kasus tabung metode penambahan syarat batas berdasarkan integral keseimbangan
panas juga dapat diaplikasikan pada tahap kedua dari proses pemanasan (pendinginan). Pada
tahap kedua, dan suhu bervariasi pada seluruh penampang tabung sampai keadaan
setimbang didapat. Pada tahap ini, koordinat umum adalah suhu pada sumbu tabung.
Persamaan matematika untuk permasalahan pada tahap kedua adalah
(23)
(24)
(25)
dengan syarat awal (24) ditentukan dengan distribusi suhu di akhir tahap pertama (persamaan
(13) saat ).
Meratakan persamaan panas (23) terhadap seluruh volume benda menghasilkan integral
keseimbangan panas
(26)
Sebuah solusi yang memenuhi syarat integral (26) dicari dengan bentuk polinomial
(27)
Solusi Analitik Masalah Konduksi Panas pada Tabung
19
Menggunakan ,
(28)
Substitusi (28) ke syarat batas (25) didapat koefisien untuk polinomial (28), yaitu
sehingga
(29)
Substitusi persamaan (29) ke persamaan (26), diperoleh
(30)
Dengan memisahkan variabel dalam persamaan (30) dan integralkan dengan syarat awal
menghasilkan
(31)
Hubungan (29) dan (31) menentukan solusi untuk masalah (23)-(25) di pendekatan pertama.
Substitusi langsung memperlihatkan bahwa relasi (29), digabung dengan (31), sangat
memenuhi integral keseimbangan panas (26), syarat batas (25), dan syarat awal (24).
Akurasi dari solusi dapat ditingkatkan dengan menambah jumlah suku pada persamaan
(27). Untuk itu diperlukan syarat batas tambahan. Untuk memperoleh syarat batas tambahan,
syarat (25) diturunkan terhadap ,
(32)
Persamaan (23) diaplikasikan di titik dan menggunakan relasi pertama pada persamaan (32) menghasilkan syarat batas tambahan pertama
(33)
Persamaan (23) ditulis pada titik dan menggunakan relasi kedua pada (32) menghasilkan syarat batas tambahan kedua
(34)
Untuk mendapatkan syarat batas tambahan ketiga, persamaan (23) didiferensiasikan terhadap
dan ditulis pada titik dan menggunakan relasi ketiga pada (32) menghasilkan syarat batas tambahan ketiga
(35)
Afo Rakaiwa dan Suma’inna
20
Dengan menggunakan syarat batas (25), (33), (34), dan (35), enam koefisien dari suku banyak
(27) dapat ditentukan. Substitusi (27) ke syarat batas tersebut menghasilkan persamaan linear
untuk koefisien tak diketahui , :
(36)
Penyelesaian sistem persamaan (36) adalah
(37)
Substitusi koefisien ini ke persamaan (27) menghasilkan
(38)
Masukkan (38) ke (26), diperoleh persamaan diferensial biasa homogen orde dua untuk
fungsi tak diketahui :
(39)
Syarat awal untuk persamaan (39) mempunyai bentuk
(40)
Persamaan karakteristik untuk persamaan (40) adalah
Akar dari persamaan ini adalah dan . Oleh karena itu, solusi umum untuk persamaan (39) adalah
Solusi Analitik Masalah Konduksi Panas pada Tabung
21
(41)
dengan konstanta dan ditentukan dari syarat awal (40), yaitu
Masukkan dan ke (41) menghasilkan
Substitusi ke (38), didapatkan hasil akhir solusi untuk masalah (23)-(25) dengan pendekatan kedua pada tahap kedua dari proses pemanasan:
(42)
dengan adalah angka yang didapat dari pendekatan kedua pada tahap pertama: .
Misalkan pemanasan pada tabung tak terhingga dengan jari-jari m dan difusivitas
termal m2/s. Jika suhu dalam tabung adalah C dan suhu permukaan
tabung adalah C, maka dapat ditentukan suhu pada pemanasan tahap pertama dengan
waktu penyelesaian ( ) adalah
dan
Untuk
,
sehingga
dengan s dan
m. Selanjutnya akan dicari
suhu pada posisi m (
) pada waktu ke s ( ) dengan
menggunakan persamaan (42)
Afo Rakaiwa dan Suma’inna
22
Sehingga
Dapat disimpulkan waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan tahap pertama adalah
s dan pada waktu ke-40 s, suhu pada posisi tabung m dari pusat lingkaran
adalah sebesar C.
KESIMPULAN
Hasil dari penelitian berikut memberikan kesimpulan bahwa metode integral
keseimbangan panas digunakan untuk mendapatkan pendekatan solusi analitik untuk masalah
konduksi panas untuk pemasasan (pendinginan) pada tabung dengan langkah sebagai berikut:
a). Persamaan konduksi panas diintegralkan terhadap , yang disebut kedalaman
penetrasi, sehingga didapat integral keseimbangan panas.
b). Representasi fungsi suhu dengan polinomial. Koefisien polinomial diperoleh dari
syarat batas dasar dan syarat batas tambahan.
c). Setelah fungsi suhu dikonstruksikan dan disubstitusi pada integral keseimbangan
panas diperoleh persamaan diferensial biasa untuk dan . solusinya berupa
fungsi yang bergantung pada .
d). Setelah diperoleh fungsi , dapat ditentukan juga distribusi suhu
sebagai fungsi posisi dan waktu.
Kelebihan dari metode integral keseimbangan panas yaitu dapat diterapkan pada
permasalah konduksi panas nonlinear, sehingga asumsi yang digunakan dapat berupa
persamaan nonlinear. Sedangkan kelemahan dari metode ini adalah perlunya asumsi suhu
awal konstan di setiap titik pada tabung.
REFERENSI
[1] Antimonov, M. A., Kudinov, V. A., & Stefanyuk, E. V. (2008). Analytical Solutions to
the Heat Conduction Problems for a Cylinder and a Ball Based on Determining the
Temperature Perturbation Front. Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz. (hal. 681-692). Samara:
Pleiades Publishing, Ltd.
[2] Boyce, W. E., & DiPrima, R. C. (2000). Elementary Differential Equations and
Boundary Value Problem. New York: John Wiley & Sons, Inc.
[3] Cengel, Y. (2002). Heat Transfer: A Practical Approach. Columbus: Mcgraw-Hill.
[4] Goodman, T. R. (1964). Application of integral Methods to Transient Nonlinear Heat
Transfer. Advances in Heat Transfer (hal. 51-122). New York: Academic.
[5] Ozisik, M. N. (1993). Heat Conduction. United States of America: John Wiley & Sons,
inc.
Jurnal “LOG!K@” , Jilid 6, No. 1, 2016, Hal. 23 - 31
ISSN 1978 – 8568
PELABELAN TOTAL SISI-AJAIB SUPER PADA GRAF
Yanne Irene
Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi,
Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta
Email : [email protected]
Abstract: Let G be a graph with p vertices and q edges. An edge-magic total
labelling on graph G is one-to-one mapping from onto the set
such that there exists a constant k satisfying:
For each edge xy in G. If then λ called super edge-magic
total labeling. In thisarticle we show that disconnected graph is super edge-
magic, where is a path with n vertices.
Keywords: Edge-magic total labelling, super edge-magic total labelling,
disconnected graph, path.
Abstrak: Misalkan G adalah graf dengan p titik dan q sisi. Pelabelan total sisi-
ajaib pada graf G adalah pemetaan satu-satu dan pada dari pada
sedemikian sehingga himpunan untuk suatu konstanta k berlaku:
untuk setiap sisi xy di G. Jika maka
dinamakan pelabelan total sisi-ajaib super. Pada artikel ini akan ditunjukkan
pealbelan total sisi –ajaib super pada graf tidak terhubung , dimana
adalah graf lintasan dengan n titik
Kata kunci: Pelabelan total sisi-ajaib, pelabelan total sisi-ajaib super, graf tidak
terhubung, graf lintasan.
PENDAHULUAN
Pelabelan graf adalah suatu pemetaan satu-satu yang memetakan himpunan dari elemen-
elemen graf kepada himpunan bilangan bulat positif yang disebut label. Domain dari
pemetaan tersebut dapat berupa himpunan titik, atau himpunan sisi, atau gabungan himpunan
titik dan sisi. Berdasarkan domainnya, pelabelan tersebut berturut-turut disebut pelabelan
titik, pelabelan sisi, dan pelabelan total.
Salah satu macam pelabelan yang banyak mendapat perhatian adalah pelabelan ajaib.
Pelabalen ajaib adalah perumuman ide bujur sangkar ajaib. Pelabelan ini pertama kali
diperkenalkan oleh Sedlacek pada tahun 1963. Kemudian, Kotzig dan Rosa [1]
memperkenalkan pelabelan total sisi-ajaib sebagai pelabelan total yang labelnya adalah
integer dari 1 hingga , sedemikian hingga bobot sisi adalah sama untuk setiap sisi di G. Mereka juga mengemukan konjektur bahwa pohon Tn adalah total sisi-ajaib.
Dugaan ini diperkuat Enomoto yang telah menunjukkan bahwa pohon dengan titik kurang
dari 16 adalah total sisi-ajaib. K. Wijaya dan E.T. Baskoro [4] telah mengkaji pelabelan total
sisi-ajaib gabungan saling lepas n (n ganjil) buah graf, pada beberapa kelas graf. Pada tahun
1998, Enomoto dkk [3] memperkenalkan pelabelan total sisi-ajaib super. Mereka
Yanne Irene
24
mendefinisikan pelabelan total sisi-ajaib super sebgai pelabelan total sisi-ajaib, dimana
titiknya diberi label 1 hingga .
Beberapa paper yang mengkaji pelabelan total sisi-ajaib super pada beberapa graf telah
dipublikasikan. Figueroa-Centeni dkk [5] mengkaji pelabelan total sisi-ajaib super pada graf-
graf tidak terhubung. Kemudian E.T Baskoro dan A.A.G Ngurah [2] mengkaji pelabelan sisi-
ajaib super untuk gabungan saling lepas n (n genap) buah kopi graf P3.
LANDASAN TEORI
Notasi dan Definisi
Graf G adalah pasangan himpunan (V,E) dimana V adalah himpunan tak kosong dan E
(mungkin kosong) adalah himpunan pasangan tak terurutdari eleman-elemen di V. Elemen-
elemen dari V disebut titik dari G. Sedangkan elemen-elemen dari E disebut sisi dari G.
Himpunan titik dari G dinotasikan V(G), dan himpunan sisi dari G dinotasikan dengan E(G).
Order dari suatu graf G menyatakan banyaknya titik di graf G.
Misalkan u dan v dua titik di graf G. Titik u dikatak tetangga dari titik v jika ada sisi
yang menghubungkan u dan v. Sisi seperti itu dinotasikan dengan uv. Titik u dan v dikatakan
menempel pada sisi uv, dan sebaliknya sisi uv menempel pada titik u dan titik v. Sebagai contoh, dalam Gambar 1., titik v2 adalah tetangga titik v3; dan titik v2 menempel pada sisi v1v2,
v2v4, dan v2v3.
Gambar 1. Graf G
Derajat dari titik v, dinotasikan d(v), pada graf G adalah banyaknya titik yang bertetangga
dengan titik v. Dalam gambar 1, d(v2)=3 dan d(v5)=1.
Jalan dari titik u ke v dengan panjang n pada graf G adalah suatu barisan u=v0,v1,v2,…,vn
sedemikian hingga vi-1vi adalah sisi di G untuk setiap i=1,2,…,n. Jalan dikatakan tertutup jika
v0=vn, dan dikatakan terbuka jika v0≠vn. Lintasan adalah suatu jalan yang semua titiknya
berbeda. Dalam Gambar 2, v1v3v4v5v4v2 adalah jalan dengan panjang 5, tetapi bukan lintasan;
v1v3v4v5 adalah lintasan dengan panjang 3.
Gambar 2. Graf H
v1
v3
v2
v4
v5
Pelabelan Total Sisi-Ajaib Super pada Graf P3 Pn
25
Gabungan dua graf G1 dan G2 dinotasikan dengan G1 G2 adalah graf dengan himpunan titik
V1 V2 dan himpunan sisi E1 E2.
Graf G dikatakan terhubung jika untuk setiap dua titik di G ada lintasan yang
menghubungkan kedua titik tersebut. Jika tidak demikian, maka graf tersebut dikatakan graf
tidak terhubung. Sebagai contoh, graf dalam gambar 1 dan gambar 2 merupakan graf
terhubung.
Kelas-kelas Graf
Graf lintasan Pn adalah graf terhubung n titik yang terdiri dari tepat 2 titik berderajat 1 dan n-
1 titik berderajat 2.
Graf lingkaran Cn adalah graf terhubung n titik dengan derajat semua titiknya adalah 2.
Graf roda Wn garf yang diperoleh dari Cn dengan menambahkan satu titik baru x dan
menghubungkan titik x dengan semua titik di Cn . Titik x disebut pusat dari graf roda tersebut.
Graf lengkap Kn , adalah graf dengan n titik yang setiap dua titiknya saling bertetangga.
Graf bintang Sn adalah graf terhubung yang terdiri dari 1 titik berderajat n-1 dan n-1 titik yang
berderajat 1.
Graf pohon Tn adalah graf terhubung dengan n titik yang tidak memuat lingkaran
Graf kipas Fn , adalah graf yang didapatkan dengan menghubungkan semua titik dari graf
lintasan Pn dengan suatu titik yang disebut pudat. Jadi fn terdiri dari n+1 titik dan 2n-1 sisi.
Pelabelan Total Sisi-Ajaib
Pelabelan total sisi-ajaib pada graf G=G(V,E) dengan angka ajaib k adalah pemetaan
satu-satu dan pada : dimana dan sedemikian hingga berlaku:
untuk setiap .
Selanjutnya, pelabelan total sisi-ajaib super adalah pelabelan total sisi ajaib yang pelabelan
tititknya . Suatu graf dikatakan total sisi-ajaib (TSA) jika pelabelan total sisi-
ajaib dapat dikenakan padanya, dan disebut pelabelan total sisi-ajaib super (TSAS) jika pelabelan total
sisi-ajaib super dapat dikenakan padanya.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Kotzig [1] menunjukkan bahwa bila G suatu graf trikomatrik, terhubung dan total sisi-
ajaib maka graf H=mG, yakni gabungan lepas dari m buah graf G adalah total sisi ajaib jika m
ganjil. Namun hasil ini tidak terpublikasikan dengan baik, maka beberapa paper mengkaji
ulang ketotal sisi ajaib-an dari gabungan yang saling lepas m buah yang identikal, dengan m
ganjil,lihat diantaranya [4]
Namun ke-total sisi-ajaib-an dari graf mG, untuk suatu graf G sebarang dan m genap
masih open problem. Karena alas an paritas maka graf mP2 (m genap) adalah bukan TSA.
Sedangkan E.T Baskoro dan A.A.G Ngurah [2] menunjukkan bahwa graf nP3 adalah TSAS,
untuk n genap.
Teorema berikut menunjukkan gabungan graf lintasan P3 dan Pn mempunyai pelabelan
total sisi-ajaib super.
Yanne Irene
26
Misalkan himpunan titik dan himpunan sisi dari adalah
. .
Teorema 1: Graf adalah total sisi-ajaib super untuk setiap .
Bukti:
Untuk n genap dan , definisikan pelabelan total (a,2) total sisi antiajaib super pada
seperti berikut:
Untuk n ganjil dan didefinisikan pemetaan dimana:
,
13 10 14
1 9 2 12 3
32 31 28 27 24
16 4
23 22
8
30 29 26
11
6
25
15
21
7
20
5 17
19 18
11 8 13
15 2 7 3 9 5
28 27 25 23 20
18 16
10 1
22 26
12
24
4
5\4
21 19
14
6
17
10 7 11
1 9 2 6 3
22 21 24 23 18
15 14
12 4
17 16
8
20
5
19
13
8 5 10
11 3 9 2 7 1
15 16 18 19 13
14 12
6 4
20 17
7 4 8
9 1 5 2 6 3
16 15 14 13 12
11 10
12 9
2 4 5
6 1 7 3
11 10 8
Pelabelan Total Sisi-Ajaib Super pada Graf P3 Pn
27
,
,
: pelabelan total sisi-ajaib super untuk seperti pada Gambar 3.
Maka adalah pelabelan total sisi-ajaib super.
Teorema 2 Untuk graf adalah total sisi-ajaib super dengan
angka ajaib
.
Bukti:
Tulis dan beri label titik-titk dan sisi-sisi dengan cara sebagai berikut:
Untuk titik-titik dengan indeks gannjil, definisikan:
Sedangkan untuk titik-titik dengan indeks genap, definisikan:
Yanne Irene
28
Untuk sisi-sisi didefinisikan:
Pelabelan Total Sisi-Ajaib Super pada Graf P3 Pn
29
Catatan: , dihitung dalam modulo 3.
Dari pelabelan titik-titik dan sisi-sisi di atas dapat diperiksa bahwa graf total sisi-ajaib
super dengan angka ajaib
.
Teorema 3 Untuk graf adalah total sisi-ajaib super dengan
angka ajaib
.
Bukti:
Beri label titik-titk dan sisi-sisi dengan cara sebagai berikut:
,
+2,
Dari pelabelan titik-titik dan sisi-sisi di atas dapat diperiksa bahwa graf adalah total
sisi-ajaib super dengan angka ajaib
.
Teorema 4 Untuk graf adalah total sisi-ajaib super dengan
angka ajaib
.
Bukti:
Tulis dan beri label titik-titik dan sisi-sisi dengan cara sebagai berikut:
Yanne Irene
30
Label sisi-sisi didefinisikan:
Pelabelan Total Sisi-Ajaib Super pada Graf P3 Pn
31
Catatan: , dihitung dalam modulo 3.
Dari pelabelan titik-titik dan sisi-sisi di atas dapat diperiksa bahwa graf adalah total
sisi-ajaib super dengan angka ajaib
.
Teorema 5 Untuk graf adalah total sisi-ajaib super dengan
angka ajaib
.
Bukti:
Serupa dengan bukti teorema 3 dengan mengambil sebagai pelabelan pada teorema 4.
Dari pelabelan titik-titik dan sisi-sisi di atas dapat diperiksa bahwa graf adalah total
sisi-ajaib super dengan angka ajaib
.
REFERENSI
[1] A. Kotzig dan A. Rosa, Magic Valuations of Finite Graphs, 1970, Canad. Math. Bull. 13,
451-461.
[2] E.T Baskoro dan A.A.G Ngurah, 2003, On Super Edge Magic Total Labelling on nP3,
Bull Inst. Combin, Appl. 37, 82-87.
[3] H. Enomoto, A.S Llado, T. Nakagimawa and G. Ringel, 1998, Super Edge Magic
Graphs, SUT Journal of Mathematics, 34, 105-109.
[4] K. Wijaya, E.T Baskoro, 2000, Pelabelan Total Sisi-Ajaib , Tesis S2, Departemen
Matematika ITB.
[5] R. M Figueroa-Centeno, R. Ichisima, F.A. Muntaner-Batle, 2002, On Super-Edge Magic
Graph, Ars Combin. 64, 81-96.
Jurnal “LOG!K@” , Jilid 6, No. 1, 2016, Hal. 32 - 41
ISSN 1978 – 8568
PREDIKSI PERGERAKAN NILAI TUKAR RUPIAH
TERHADAP DOLAR AMERIKA SERIKAT MENGGUNAKAN
HIDDEN MARKOV MODEL (HMM)
Mahmudi dan Ardi
Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi,
Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta
Email: [email protected]
Abstract: This study discusses about prediction of movement of Rupiah against
US Dollar using Hidden Markov Model (HMM). The exchange rate of rupiah
which studied is exchange rate of purchasing and exchange rate of selling of US
Dollar to Rupiah. The exchange rate of purchasing and exchange rate of saling is
devided into four states, namely down large, down small, small rise, and large rise
are symbolized respectively S1, S2, S3, and S4. Probability of sequences of
observation for three days later are computed by Forward and Bacward Algorithm.
While the sequences of observation which optimized be obtained by Viterbi
Algorithm. The sequences of observation which optimized within exchange rate of
purchase is 3 2 3, ,X S S S and within exchange rate of sale is
2 3 2, ,X S S S . The last step is estimate of parameter which optimized using
Baum-Welch Algorithm.
Keywords: Hidden Markov Model, Forward Algorithm, Backward Algorithm,
Viterbi Algorithm, Baum-Welch Algorithm.
Abstrak: Penelitian ini membahas prediksi pergerakan nilai tukar Rupiah terhadap
Dolar Amerika Serikat menggunakan Hidden Markov Model (HMM). Nilai tukar
Rupiah yang dikaji adalah kurs beli dan kurs jual Dolar Amerika Serikat terhadap
Rupiah. Kurs beli maupun kurs jual dibagi menjadi empat keadaan yaitu turun
besar, turun kecil, naik kecil dan naik besar yang masing-masing disimbolkan
S1,S2, S3, dan S4. Peluang barisan observasi tiga hari ke depan dihitung dengan
algoritma Forward dan Backward. Sedangkan barisan observasi yang optimal
diperoleh menggunakan algoritma Viterbi. Barisan observasi yang optimal pada
kurs beli adalah 3 2 3, ,X S S S dan kurs jual adalah 2 3 2, ,X S S S . Tahap
terakhir yang dilakukan adalah penaksiran parameter yang optimal menggunakan
algoritma Baum-Welch.
Kata kunci: Hidden Markov Model, Algoritma Forward, Algoritma Backward,
Algoritma Viterbi, Algoritma Baum-Welch.
PENDAHULUAN
Salah satu indikator penting dalam menganalisis perekonomian Indonesia adalah nilai
tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika Serikat. Nilai tukar menjadi penting karena mempunyai
dampak yang luas terhadap perekonomian secara keseluruhan. Sebagai contoh, menurut [1]
nilai tukar rupah berpengaruh signifikan terhadap pergerakan Indeks Harga Saham Gabungan
(IHSG). Hal ini dapat dijelaskan bahwa terjadinya apresiasi kurs Rupiah terhadap Dolar akan
memberikan dampak terhadap perkembangan pemasaran produk Indonesia di luar negeri,
Pelabelan Total Sisi-Ajaib Super pada Graf P3 Pn
33
terutama dalam hal persaingan harga [1]. Oleh karena itu, nilai tukar Rupiah sangat
mempengeruhi stabilitas perekonomian di Indonesia.
Pergerakan nilai tukar rupiah terhadap Dolar Amerika Serikat bersifat fluktuatif, kadang
mengalami pelemahan kadang pula mengalami penguatan, sehingga memprediksinya sangat
menarik untuk dikaji. Prediksi besarnya nilai tukar Rupiah telah banyak dilakukan sebagai
contoh dengan menggunakan model Markov Switching Vector Autoregressive (MSVAR)[2]
dan model Volatilitas Asymmetric Power ARCH (APARCH)[3]. Selain besarnya nilai tukar
Rupiah, tingkat perubahan (kenaikan dan penurunan) nilai tukar Rupiah juga menarik untuk
dikaji. Salah satu caranya menggunakan Hidden Markov Model.
Penelitian ini menganalisis bagaimana pergerakan nilai tukar Rupiah dengan meninjau
tingkat penurunan dan kenaikannya. Selain itu, menentukan besarnya peluang terjadinya
barisan perubahan tingkat penurunan dan kenaikan nilai tukar Rupiah dalam satuan waktu
tertentu. Metode yang akan digunakan pada penelitian ini adalah Hidden Markov Models
(HMM). Hidden Markov Models (HMM) adalah perluasan dari rantai Markov dimana
distribusi hasil pengamatannya bergantung pada keadaan proses Markov yang tidak teramati
(unobserved).
LANDASAN TEORI
Pengertian Kurs
Kurs adalah harga satu satuan mata uang asing dalam uang dalam negeri [4]. Dengan
kata lain kurs adalah harga suatu mata uang jika ditukarkan dengan mata uang lainnya. Nilai
tukar yang sering digunakan adalah nilai tukar Rupiah terhadap Dolar. Karena Dolar adalah
mata uang yang relatif stabil dalam perekonomian. Jenis kurs valuta asing :
a. Kurs jual adalah harga yang diberikan oleh bank kepada kita untuk membeli mata uang
asing.
b. Kurs beli adalah harga yang diberikan oleh bank saat kita menukarkan mata uang asing.
Definisi HMM
HMM adalah sebuah proses stokastik ganda di mana salah satu prosesnya tidak dapat
diobservasi (hidden) [5]. Proses yang tidak diobservasi ini hanya dapat diobservasi melalui
proses yang dapat diketahui. Jika adalah sebuah proses Markov, dan
adalah sebuah fungsi dari , maka adalah sebuah HMM yang dapat
diobservasi melalui , atau dapat ditulis untuk suatu fungsi . Parameter
menyatakan state process yang tersembunyi (hidden), sementara parameter menyatakan
observation process yang dapat diobservasi. Untuk ilustrasi HMM dapat dilihat pada Gambar
1 [5]. HMM didefinisikan sebagai 5-tuple (5 pasangan di mana masing-masing anggota bisa
berupa himpunan atau ukuran) sebagai berikut:
1) Banyaknya elemen keadaan tersembunyi (hidden state) pada model yang dinotasikan
dengan .
2) Matriks peluang transisi dimana adalah elemen dari yang merupakan
peluang bersyarat dari keadaan pada saat , jika diketahui keadaan pada saat ,
atau di mana . Karena itu berukuran . Hal
yang perlu dijadikan catatan adalah bahwa untuk setiap dan
untuk setiap . Artinya jumlah elemen masing-masing baru
adalah .
Mahmudi dan Ardi
34
3) Banyaknya elemen keadaan yang terobservasi, . umumnya tetap, ditentukan oleh
pengamat, tetapi juga bisa dimisalkan sebagai variabel acak. Misalkan variabel acak
dari suatu keadaan terobservasi adalah , .
4) Distribusi peluang observasi pada saat , pada keadaan , yang biasa dikenal dengan
matriks emisi , dimana
.
adalah observasi pada waktu ke- bernilai , jadi adalah matriks berukuran ,
dan seperti pada matriks transisi , jumlah elemen setiap baris adalah .
5) Keadaan awal di mana
.
Gambar 1. Ilustrasi HMM
Istilah tuple di atas berkaitan dengan himpunan dan ukuran. Pada HMM himpunannya
diwakili oleh variabel acak. Dari definisi di atas, cukup jelas bahwa dari nilai 5-tuple
, terdapat tiga komponen yang merupakan ukuran (probabilitas), yaitu
. Akibatnya HMM lebih dikenal dengan notasi dengan berukuran
dan berukuran .
Masalah-Masalah Utama dalam HMM
1. Menghitung Peluang Observasi
Bila diketahui sebuah model dan sebuah barisan observasi , kemudian akan dihitung yang dapat ditulis sebagai berikut [6]:
Di mana adalah suatu barisan, adalah probabilitas barisan
observasi untuk suatu barisan state, , dan merupakan probabilitas dari bila diberikan sebuah model. Karena HMM barisan observasi diasumsikan independen, maka
Pelabelan Total Sisi-Ajaib Super pada Graf P3 Pn
35
Sehingga diperoleh,
Untuk menghitung diperlukan kali operasi perhitungan, dengan
adalah kemungkinan hidden state yang terjadi jika barisan observasi sepanjang dan hidden
state-nya sebanyak . Sehingga meskipun untuk dan yang bernilai kecil, jumlah operasi perhitungan yang dibutuhkan secara komputasional akan sangat banyak. Karena
itulah dibutuhkan algoritma yang lebih efisien untuk menyelesaikan masalah evaluation.
Algoritma yang banyak digunakan untuk penyelesaian masalah evaluation adalah algoritma
Forward dan algoritma Backward.
2. Menentukan Barisan Keadaan Tersembunyi
Permasalahan kedua pada HMM adalah decoding problem, yaitu menentukan barisan
state terbaik (optimal) yang berasosiasi dengan barisan observasi dari sebuah model yang juga telah diketahui. Barisan state yang optimal didefinisikan sebagai barisan state
yang mempunyai probabilitas tertinggi dalam menghasilkan barisan observasi yang telah
diketahui sebelumnya. Sehingga pada akhirnya diperoleh suatu barisan state yang akan
memaksimumkan . Namun, untuk suatu barisan observasi sepanjang dan
hidden states, akan dihasilkan sebanyak barisan yang mungkin untuk .
Misalkan didefinisikan di mana . Jika dijumlahkan
terhadap , karena merupakan partisi dari maka menurut aturan Bayes mengenai
partisi [7], hasilnya menjadi
Sehingga, bisa dinyatakan bahwa state yang paling optimal untuk masing-masing bisa
diperoleh dari :
.
Dengan demikian akan dihasilkan barisan states yang paling optimal yaitu,
untuk suatu observasi yang diberikan. Sayangnya, pencarian barisan states yang paling optimal dengan cara tersebut, berpeluang menghasilkan
barisan yang tidak valid, karena tidak mempertimbangkan probabilitas transisi state [6].
Karena itu, untuk menghindari masalah tersebut, perlu digunakan suatu metode yang
mempertimbangkan probabilitas transisi state pada proses pencarian barisan state yang
paling optimal. Metode yang banyak digunakan untuk penyelesaian masalah ini antara lain
algoritma Viterbi.
3. Menaksir Parameter-parameter HMM
Mahmudi dan Ardi
36
Permasalahan ketiga berkaitan dengan bagaimana menentukan estimasi 3 parameter
HMM dan sehingga terbentuk model baru di mana [7].
Dengan kata lain, permasalahan ketiga adalah masalah optimasi, dan permasalahan yang
harus dipecahkan adalah mengestimasi model terbaik yang dapat menjelaskan suatu barisan
observasi.Untuk menyelesaikan permasalahan terakhir pada HMM ini, biasanya digunakan
algoritma Baum-Welch yang merupakan kasus khusus dari algoritma EM (Ekspektasi
Maksimum) [6].
METODOLOGI PENELITIAN
Sumber data
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data kurs jual dan beli Dolar
Amerika Serikat terhadap Rupiah. Periode harian dari tanggal 23 Juni 2014 sampai 31 Juli
2015 dengan jumlah observasi 273. Data yang diambil berupa nilai tukar rupiah terhadap
dollar US.
Metode Kerja
1) Tahap Penentuan Parameter Input
Berikut ini adalah tahap-tahap penentuan parameter input :
1. Kurs jual dan beli diurutkan dari hari pertama sampai hari terakhir pengamatan.
2. Mencari selisih antara kurs jual dan beli pada saat hari ke- dengan hari ke- .
3. Nilai selisih tersebut diberi label. Jika nilainya maka beri label I, artinya naik
(increasing) sedangkan jika nilainya maka beri label D, artinya turun (decreasing). 4. Menentukan banyak state yang akan digunakan.
5. Mencari dan membagi interval antar state dengan menggunakan nilai rata-rata pada
masing-masing nilai naik dan turun.
6. Nilai selisih diberi label S1,S2,S3,S4 sesuai dengan interval masing-masing state.
7. Mencari matriks transisi dan matriks emisi dari data tersebut.
8. Mencari vektor peluang awal atau biasa disebut π.
2) Tahap Menyelesaikan Masalah-Masalah Pada HMM
A. Menghitung peluang observasi menggunakan Algoritma Forward dan Algoritma
Langkah-langkah Algoritma Forward
a) Tahap Inisialisasi
Mencari nilai .
b) Tahap Induksi
Mencari nilai
c) Tahap Terminasi
Mencari nilai .
Langkah-langkah Algoritma Backward
a) Tahap Inisialisasi
Menetapkan nilai .
b) Tahap Induksi
Mencari nilai
c) Tahap Terminasi
Mencari nilai .
Pelabelan Total Sisi-Ajaib Super pada Graf P3 Pn
37
B. Menentukan barisan keadaan tersembunyi menggunakan Algoritma Viterbi
Langkah-langkah Algoritma Viterbi
a) Tahap Inisialisasi
Mencari nilai saat t=1. Pada tahap ini, nilai .
b) Tahap Rekursi
Mencari barisan maksimum dari nilai maksimum saat waktu t.
c) Tahap Terminasi
.
d) Tahap Backtracking
Mencari barisan optimal dari hasil tahap rekursi.
C. Menaksir parameter-parameter HMM
Langkah-langkah Algoritma Baum-Welch
a) Mencari probabilitas proses berada pada state-i pada waktu t dan berada pada state-j
pada waktu j:
b) Mencari peluang proses berada pada state i pada waktu t:
.
c) Mencaripenaksir parameter
. d) Mencari penaksir
e) Mencari penaksir
HASIL DAN PEMBAHASAN
1. Prediksi Pergerakan Kurs Beli Dolar Amerika tehadap Rupiah
Berdasarkan data yang diolah, diperoleh nilai rata-rata untuk kategori turun adalah
(-45,09) dan nilai terkecilnya adalah (-180). Sedangkan untuk kategori naik adalah (40,42)
dan nilai terbesarnya adalah (292). Selanjutnya menentukan interval dimasing-masing
kategori. Untuk kategori turun dibagi menjadi dua state, yaitu state1 dan state2. Interval
untuk state1 adalah -180 sampai -45,09 dan untuk state2 adalah -45,08 sampai 0. Sedangkan
untuk kategori naik dibagi menjadi dua state, yaitu state3 dan state4. Interval untuk state3
adalah 0,001 sampai 40,42 dan untuk state4 adalah 40,43 sampai 299.
Matriks transisi yang diperoleh disajikan pada Gambar 2, matriks emisi yang diperoleh
disajikan pada Gambar 3 serta didapat vektor peluang keadaan awal
.
Pada penelitian ini, peneliti memilih tiga hari untuk diprediksi. Misalkan jika ternyata
dari tiga hari prediksi hanya dua hari yang benar menurut hasil di kehidupan nyata, maka
prediksi ini dapat digunakan. Permasalahan pertama diselesaikan dengan menggunakan
Mahmudi dan Ardi
38
algoritma Forward dan algoritma Backward. Karena peneliti memilih T=3 maka terdapat 8
kemungkinan barisan observasi, yaitu O=(naik, naik, naik); O=(naik, naik, turun); O=(naik,
turun, naik); O=(naik, turun, turun); O=(turun, naik, naik); O=(turun, naik, turun);
O=(turun, turun, naik); O=(turun, turun, turun). Dari hasil algoritma Forward dan
Backward, barisan observasi yang memiliki nilai peluang terbesar adalah O=(turun, turun,
turun) dengan peluang 0.18.Karena nilai peluang barisan observasi masih di bawah 0,5 yang
berarti barisan observasi tersebut belum optimal.
Gambar 2. Matriks Transisi Pergerakan Kurs Beli Dolar Amerika Serikat terhadap Rupiah
1
1 2
3
4
0.49 0.51
0.67 0.33
0.58 0.42
0.48 0.52
I D
S
B S
S
S
Gambar 3. Matriks Emisi Pergerakan Kurs Beli Dolar Amerika Serikat terhadap Rupiah
Permasalahan kedua pada HMM adalah bagaimana menentukan barisan hidden states
yang paling optimal, dalam hal ini tingkat kurs beli Dolar yang paling mungkin menyebabkan
investor memilih pergerakan kurs beli Dolar sesuai dengan barisan observasi yang ingin
ditinjau. Permasalahan tersebut akan diselesaikan dengan menggunakan Algoritma Viterbi
dengan barisan observasi yang digunakan adalah hasil algoritma Forward dan Backward
yaitu O=(turun, turun, turun). Jadi, kurs beli Dolar dengan barisan observasi yang paling
optimal adalah: 3 2 3, ,X S S S .
Dari hasil tersebut, dapat dibandingkan nilai prediksi dengan nilai asli kurs beli Dolar,
yang disajikan pada Tabel 1.
Tabel 1 Perbandingan Nilai Prediksi dengan Nilai Asli Kurs Beli Dolar terhadap Rupiah
Waktu Nilai Prediksi Nilai Asli
Hari Terakhir Pengamatan 13.414,00 13.414,00
Prediksi Hari Pertama [13.414,001 ; 13.454,42] 13.425,00
Prediksi Hari Kedua [13.368,921 ; 13.454,42] 13.449,00
Prediksi Hari Ketiga [13.368,922 ; 13.494,84] 13.461,00
Pada hari terakhir pengamatan, kurs beli Dolar berada pada nilai 13.414,00. Berdasarkan
barisan keadaan tersembunyi yang paling optimal di atas maka pada prediksi hari pertama
kurs beli Dolar akan mengalami kenaikan sebesar [0,001 ; 40,42]. Jadi kurs beli Dolar di hari
pertama akan berada di range [13.414,001 ; 13.454,42]. Kemudian pada prediksi hari kedua
Pelabelan Total Sisi-Ajaib Super pada Graf P3 Pn
39
kurs beli Dolar akan mengalami penurunan sebesar [-45,08 ; 0]. Jadi kurs beli Dolar di hari
kedua akan berada di range [13.368,921 ; 13.454,42]. Dan prediksi hari ketiga kurs beli Dolar
akan mengalami kenaikan sebesar [0,001 ; 40,42]. Jadi kurs beli Dolar di hari ketiga akan
berada di range [13.368,922 ; 13.494,84]. Karena nilai asli kurs beli Dolar ada pada interval
selang nilai prediksi yang diperoleh maka prediksi dari ketiga hari sudah sesuai. Oleh karena
itu, nilai kurs beli Dolar pada penelitian ini cocok jika dimodelkan dengan HMM.
Selanjutnya, agar model HMM ini dapat digunakan untuk waktu yang akan datang tanpa
menentukan ulang parameter input maka dilakukan penaksiran parameter-parameter HMM
yang optimal dari data yang diolah dengan menggunakan algoritma Baum-Welch.
Dari hasil pengolahan menggunakan algoritma Baum-Welch diperoleh:
a. Nilai taksiran peluang keadaan awal untuk , yaitu :
1 1 1 1[ (1) (2) (3) (4)] [0.2 0.3 0.3 0.2]A
Nilai diatas adalah taksiran peluang awal. Artinya agar nilai terpenuhi, maka probabilitas proses berada pada state1 adalah sebesar 0,2 ; untuk state2 adalah
sebesar 0,3 ; untuk state3 adalah sebesar 0,3 ; untuk state4 adalah sebesar 0,2.
b. Taksiran matriks transisi, yaitu
Matriks tersebut menggambarkan bahwa untuk mencapai nilai maka
probabilitas transisi dari kurs beli Dolar pada state1 ke state1 sebesar 0,37 , dari kurs beli
Dollar pada state1 ke state2 sebesar 0,15 dan seterusnya bisa dilihat pada matriks .
c. Taksiran matriks emisi, yaitu
1
1 2
3
4
0.45 0.55
0.61 0.39
0.50 0.50
0.40 0.60
I D
S
B S
S
S
Matriks tersebut menggambarkan bahwa untuk mencapai maka
probabilitas kurs beli Dolar pada state1 saat besok kurs beli Dolar naik adalah sebesar
0,45. Probabilitas kurs beli Dolar pada state2 saat besok kurs beli Dolar naik adalah
sebesar 0,61 dan seterusnya bisa dilihat pada matriks .
2. Prediksi Pergerakan Kurs Jual Dolar Amerika tehadap Rupiah
Berdasarkan data yang diolah, diperoleh nilai rata-rata untuk kategori turun adalah
(-45,56) dan nilai terkecilnya adalah (-182). Sedangkan untuk kategori naik adalah (40,83)
dan nilai terbesarnya adalah (303). Selanjutnya menentukan interval dimasing-masing
kategori. Untuk kategori turun dibagi menjadi dua state, yaitu state1 dan state2. Interval
untuk state1 adalah -182 sampai -45,56 dan untuk state2 adalah -45,55 sampai 0. Sedangkan
untuk kategori naik dibagi menjadi dua state, yaitu state3 dan state4. Interval untuk state3
adalah 0,001 sampai 40,83 dan untuk state4 adalah 40,84 sampai 303. Matriks transisi yang
diperoleh disajikan pada Gambar 4 dan matriks emisi yang diperoleh disajikan pada Gambar
5 dengan vektor peluang keadaan awal adalah .
Mahmudi dan Ardi
40
Selanjutnya, dengan cara yang sama pada kurs beli (T=3) diperoleh penyelesaian
permasalahan pertama pada kurs jual Dolar yaitu barisan observasi yang memiliki nilai
peluang terbesar adalah O=(turun, turun, turun) dengan peluang 0.18. Nilai peluang barisan
observasi masih di bawah 0,5 yang berarti barisan observasi tersebut belum optimal. Dengan
menggunakan algoritma Viterbi, diperoleh kurs jual Dolar barisan observasi yang paling
optimal adalah 2 3 2, ,X S S S . Dari hasil tersebut, dapat dibandingkan nilai prediksi
dengan nilai asli kurs jual Dolar, yang disajikan pada Tabel 2. Nilai asli pada hari kedua dan
ketiga ada diselang nilai prediksi sehingga prediksi hari kedua dan ketiga sudah tepat.
Sedangkan pada hari pertama selang prediksinya tidak memuat nilai asli sehingga prediksinya
tidak tepat.Walaupun demikian, karena terdapat dua hari yang menghasilkan prediksi tepat
dari 3 hari ke depan yang diprediksi maka kurs jual Dolar dapat dimodelkan dengan HMM.
Gambar 4. Matriks Transisi Pergerakan Kurs Jual Dolar Amerika Serikat terhadap Rupiah
1
2 2
3
4
0.51 0.49
0.34 0.66
0.42 0.58
0.52 0.48
I D
S
B S
S
S
Gambar 5. Matriks Emisi Pergerakan Kurs Jual Dolar Amerika Serikat terhadap Rupiah
Tabel 2 Perbandingan Nilai Prediksi dengan Nilai Asli Kurs Jual Dolar terhadap Rupiah
Waktu Nilai Prediksi Nilai Asli
Hari Terakhir Pengamatan 13.548,00 13.548,00
Prediksi Hari Pertama [13.502,45 ; 13.548,00] 13.559,00
Prediksi Hari Kedua [13.502,451 ; 13.588,83] 13.562,00
Prediksi Hari Ketiga [13.456,901 ; 13.588,83] 13.585,00
Hasil penaksiran parameter-parameter model HMM yang optimal dari data kurs jual
Dolar sebagai berikut
a. Nilai taksiran peluang keadaan awal saat t=1, yaitu
2 2 2 2[ (1) (2) (3) (4)] [0.13 0.31 0.36 0.20]B
b. Taksiran matriks transisi:
Pelabelan Total Sisi-Ajaib Super pada Graf P3 Pn
41
c. Taksiran matriks emisi:
1
2 2
3
4
0.55 0.45
0.39 0.61
0.51 0.49
0.60 0.40
I D
S
B S
S
S
.
KESIMPULAN
Berdasarkan hasil dan pembahasan yang telah diuraikan sebelumnya, dapat disimpulkan
sebagai berikut :
1. Pengelompokan state yang diperoleh pada kurs beli adalah penurunan kurs beli sangat
kecil (S1) dengan range [-180 ; -45.09], penurunan kurs beli kecil (S2) dengan range [-
45.08 ; 0], kenaikan kurs beli besar (S3) dengan range [0.001 ; 40.42] dan kenaikan kurs beli sangat besar (S4) dengan range [40.43 ; 299].
2. Pengelompokan state yang diperoleh pada kurs jual adalah penurunan kurs jual sangat
kecil (S1) dengan range [-182 ; -45.56], penurunan kurs jual kecil (S2) dengan range [-
45,55 ; 0], kenaikan kurs jual besar (S3) dengan range [0.001 ; 40.83] dan kenaikan kurs
jual sangat besar (S4) dengan range [40,84 ; 303].
3. Barisan observasi yang paling optimal pada kurs beli Dolar adalah 3 2 3, ,X S S S dan
barisan observasi yang paling optimal pada kurs jual Dolar adalah 2 3 2, ,X S S S .
4. Kurs beli dan kurs jual Dolar Amerika Serikat terhadap Rupiah dapat dimodelkan dengan
Hidden Markov Model (HMM). Prediksi kurs beli dari tiga hari ke depan semuanya sudah
tepat, sedangkan kurs jual dari tiga hari prediksi hanya prediksi hari pertama yang masih
kurang tepat.
REFERENSI
[1] Pratikno, Dedy. 2006. Analisis Pengaruh Nilai Tukar Rupiah, Inflasi, SBI, dan Indeks
Dow Jones Terhadap Pergerakan Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG) di Bursa
Efek Indonesia (BEI). Jurnal Riset Ekonomi dan Manajemen
[2] Permatasari, Hayuk, Budi Warsito,dan Sugito. 2014. Pemodelan Markov Switching
Vektor Autoregressive (MSVAR). Jurnal Gaussian, Volume 3, Nomor 3, Hal 421-430.
[3] Elvitra, C.W., Budi Warsito, dan Abdul Hoyyi. 2013. Metode Peramalan dengan
Menggunakan Model Volatilitas Asymmetric Power ARCH (APARCH). Jurnal Gaussian,
Volume 2, Nomor 4, Hal 289-300.
[4] Triyono. 2008. Analisis Perubahan Kurs Rupiah terhadap Dollar Amerika. Jurnal
Ekonomi Pembangunan. 9(II).
[5] Rabiner, LR. 1989.“A Tutorial in Hidden Markov Models and Selected Applications in
Speech Recognition”. Jurnal IEEE.
[6] Wijayakusuma, Intan. 2012. Model Nilai Tukar Dollar Singapura terhadap Rupiah
Menggunakan Markov Switching ARCH. Prosiding Seminar Nasional Matematika.
[7] Aditya Gupta and Bhuwan Dhingra, Non-Student members. 2012. “Stock Market
Prediction Using Hidden Markov Models”. Jurnal IEEE.
Jurnal “LOG!K@” , Jilid 6, No. 1, 2016, Hal. 42 - 52
ISSN 1978 – 8568
PELABELAN TOTAL (a,d)- -ANTIAJAIB SUPER
PADA GRAF ULAR
Lasmanian Rezekina, Nur Inayah, dan Yanne Irene
Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi,
Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta
Email : [email protected]
Abstract: An - -antimagic total labeling is a bijective function which is
mapping set of vertex and edge in graph to positive integer that constitute an arithmetic progression for two certain positive integers and , and is the amount
of subgraph in . This research discusses about super - -antimagic total
labeling of snake graph for . This research produced theorems that declare
super - -antimagic total labeling of snake graph , super - -antimagic total labeling of snake graph , and super - -
antimagic total labeling of snake graph .
Keywords: - -Antimagic Total Labeling, -covering, Super Antimagic,
Snake Graph.
Abstrak: Suatu pelabelan - -antiajaib adalah suatu fungsi bijektif yang
memetakan himpunan titik dan sisi pada graf ke bilangan positif yang memenuhi suatu barisan aritmetika
untuk dua bilangan bulat positif dan tertentu
serta adalah banyaknya subgraf di Penelitian ini membahas tentang
pelabelan total - -antiajaib super pada graf ular untuk . Penelitian
ini menghasilkan teorema-teorema yang menyatakan pelabelan total - -antiajaib super pada graf ular , pelabelan total - -antiajaib super
pada graf ular dan pelabelan total - -antiajaib super pada graf ular
.
Kata kunci: Pelabelan Total - -Antiajaib, Selimut- , Antiajaib Super, Graf
Ular.
PENDAHULUAN
Teori Graf pertama kali diperkenalkan pada tahun 1736 oleh seorang matematikawan
Swiss bernama Leonard Euler dalam menyelesaikan masalah jembatan Könisbergh di Jerman.
Masalah jembatan Könisbergh muncul ketika Euler dihadapkan pada suatu kasus dimana
terdapat tujuh buah jembatan yang menghubungkan daratan yang dibelah oleh sungai. Lalu
muncul pertanyaan apakah mungkin melalui ketujuh buah jembatan masing-masing tepat satu
kali dan kembali lagi ke tempat semula. Kemudian Euler memodelkan masalah ini ke dalam
graf dengan membuktikan bahwa hal tersebut tidaklah mungkin. Pembuktian dari kejadian
inilah yang dijadikan sebagai permulaan dari Teori Graf. Sejak saat itu, bidang penelitian
dalam teori graf terus berkembang, salah satunya adalah pelabelan graf.
Pelabelan pada graf merupakan pemberian label pada elemen-elemen tertentu dari graf
tersebut dengan menggunakan bilangan bulat positif. Secara umum objek kajiannya berupa
Pelabelan Total (a,d)-C3-Antiajaib Super pada Graf Ular Sn
43
graf yang direpresentasikan oleh titik, sisi dan himpunan bilangan asli yang disebut label.
Pelabelan pertama kali diperkenalkan oleh Sadlàčk (1964), Stewart (1966), Kotzig dan Rosa
(1970). Berdasarkan elemen-elemen yang dilabeli, pelabelan dibagi menjadi 3 jenis, yaitu
pelabelan titik, pelabelan sisi, dan pelabelan total.
Sejalan dengan era perkembangan pelabelan graf, pelabelan ajaib dan pelabelan
antiajaib merupakan jenis pelabelan graf yang sedang banyak diteliti saat ini. Pelabelan ajaib
pertama kali diperkenalkan oleh Kotzig dan Rosa pada tahun 1970 yang selanjutnya disebut
sebagai pelabelan total sisi ajaib [6]. Kemudian pada tahun 2000, Simanjutak dkk.
memperkenalkan pelabelan total -sisi antiajaib. Pelabelan antiajaib dipelopori oleh
Hartsfield dan Ringel pada tahun 1990. Suatu graf dengan sisi dikatakan antiajaib jika
setiap sisinya dapat dilabeli dengan sedemikian sehingga didapatkan jumlah label yang berbeda dari setiap sisi yang saling bersisian ke setiap titik dari graf tersebut [4].
Kemudian tahun 2009, Inayah dkk. memperkenalkan pelabelan selimut - -antiajaib.
Pelabelan selimut - -antiajaib merupakan pengembangan dari pelabelan total -sisi-antiajaib dan pelabelan selimut.
Dalam teori graf, banyak terdapat jenis-jenis graf salah satunya adalah graf ular. Graf
ular merupakan graf yang disusun dengan aturan pengubinan dari graf segitiga dengan
panjang . Salah satu masalah utama dalam teori graf adalah bagaimana cara memberikan label atau menandai suatu titik dan sisi, sedemikian sehingga setiap titik dan sisi yang saling
bertetangga memiliki tanda yang berbeda. Permasalahan dalam paper ini adalah bagaimana
mengkonstruksi pelabelan total - -antiajaib super pada graf ular .
LANDASAN TEORI
Definisi dan Notasi pada Graf
Graf didefinisikan sebagai pasangan himpunan , ditulis dengan notasi , yang dalam hal ini adalah himpunan tidak-kosong dari titik-titik dan adalah himpunan sisi yang menghubungkan sepasang titik [9]. Definisi tersebut menyatakan
bahwa tidak boleh kosong, sedangkan boleh kosong. Sehingga sebuah graf dimungkinkan
tidak mempunyai sisi satu buah pun, tetapi titiknya harus ada minimal satu. Graf yang hanya
mempunyai satu buah titik tanpa sebuah sisi dinamakan graf trivial, sedangkan graf yang
hanya mempunyai himpunan titik dan tidak memiliki sebuah sisipun dinamakan graf kosong.
Titik adalah titik pada graf yang biasanya dinotasikan dengan huruf, seperti .
Sedangkan biasanya dinotasikan dengan sisi yang menghubungkan titik dengan titik ,
maka dapat ditulis sebagai .
Gambar 1. Graf
Lasmanian Rezekina, Nur Inayah, dan Yanne Irene
44
Misalkan diberikan graf sesuai Gambar 1. Dua titik di graf dikatakan bertetangga
bila keduanya terhubung langsung dengan sebuah sisi. Dengan kata lain, bertetangga
dengan jika adalah sebuah sisi pada graf . Pada Gambar 1, titik bertetangga
dengan titik dan tetapi titik tidak bertetangga dengan titik . Untuk sembarang sisi
, sisi dikatakan bersisian dengan titik dan titik . Pada Gambar 1, sisi bersisian dengan titik dan , sisi bersisian dengan titik dan , tetapi sisi
tidak bersisian dengan titik . Dua titik dan di suatu graf dikatakan terhubung jika terdapat lintasan di graf . Jika tidak terdapat lintasan maka graf tersebut disebut graf tidak terhubung [2]. Derajat suatu titik pada graf tak-berarah adalah
banyak sisi yang bersisian dengan titik tersebut. Derajat dinotasikan dengan Pada
Gambar 1, titik mempunyai derajat atau dapat ditulis dengan .
Beberapa Graf Sederhana Khusus
Ada beberapa jenis graf sederhana khusus, beberapa di antaranya adalah graf lengkap,
graf lintasan dan graf lingkaran. Graf Lengkap yang tertera pada Gambar 2 merupakan graf
sederhana yang setiap titiknya mempunyai sisi ke semua titik lainnya. Graf lengkap dengan
buah titik dilambangkan dengan . Setiap titik pada berderajat .
Gambar 2. Graf Lengkap
Gambar 3 adalah graf lintasan dengan titik dinotasikan dengan , yaitu graf yang
terdiri dari path tunggal. memiliki sisi. Gambar 4 mengilustrasikan graf lingkaran
merupakan graf sederhana yang setiap titiknya berderajat dua. Graf lingkaran dengan titik
dilambangkan dengan dimana . adalah graf dengan titik yaitu
dan sisi-sisi .
Graf Ular
Sebuah pengubinan mosaik adalah pengubinan dari sebuah bidang menggunakan
poligon. Jika mosaik terdiri dari poligon yang kongruen, maka disebut mosaik regular. Hanya
terdapat 3 mosaik regular yaitu segitiga beraturan, segiempat beraturan dan segienam
beraturan. Misalkan terdapat suatu pengubinan pada bidang menggunakan segitiga. Dua
segitiga dikatakan terhubung jika salah satu sisinya saling beririsan. Jika adalah kumpulan
segitiga-segitiga yang terhubung, maka adalah graf planar terhubung yang terdiri dari
Pelabelan Total (a,d)-C3-Antiajaib Super pada Graf Ular Sn
45
kumpulan , dimana setiap segitiga saling terhubung sisinya paling tidak satu sisi. Kumpulan
segitiga terhubung disebut triomino. Jadi disebut -triomino jika adalah pengubinan dari segitiga-segitiga yang terhubung. Graf ular merupakan graf yang disusun dengan aturan
pengubinan dari graf segitiga dengan panjang . Graf ular dengan panjang adalah 1-triomino, dengan menempatkan segitiga dengan cara yang tertera pada Gambar 2 [7].
Gambar 3. Graf Lintasan
Gambar 4. Graf Lingkaran
Gambar 5. Graf Ular
Definisi Subgraf
Suatu graf adalah subgraf dari graf dinotasikan dengan , jika dan
. Subgraf spans dan adalah spanning subgraf dari jika setiap titik dari
terdapat di atau [3].
Lasmanian Rezekina, Nur Inayah, dan Yanne Irene
46
Isomorfisma Graf
Dua graf dan dengan titik disebut isomorfik jika titik dari dan dapat
dilabeli dengan bilangan dari 1 sampai sehingga bila titik bertetangga dengan titik di ,
maka titik bertetangga dengan titik di dan sebaliknya [4]. Dua buah graf dikatakan isomorfik bila memenuhi syarat-syarat: mempunyai jumlah titik yang sama, mempunyai
jumlah sisi yang sama, dan mempunyai jumlah derajat yang sama.
Pelabelan Graf
Pelabelan pada suatu graf adalah suatu pemetaan (fungsi) bijektif yang memasangkan
unsur-unsur graf (titik atau sisi) dengan bilangan bulat positif [1]. Jika domain dari fungsi
adalah titik, maka disebut pelabelan titik (vertex labeling). Jika domainnya adalah sisi, maka
disebut pelabelan sisi (edge labeling). Dan jika domainnya adalah titik dan sisi, maka disebut
pelabelan total (total labeling) [8].
Pelabelan Graf
Pelabelan pada suatu graf adalah suatu pemetaan (fungsi) bijektif yang memasangkan
unsur-unsur graf (titik atau sisi) dengan bilangan bulat positif [1]. Jika domain dari fungsi
adalah titik, maka disebut pelabelan titik (vertex labeling). Jika domainnya adalah sisi, maka
disebut pelabelan sisi (edge labeling). Dan jika domainnya adalah titik dan sisi, maka disebut
pelabelan total (total labeling) [8].
a. Pelabelan Graf Ajaib
Misalkan dengan . Kita katakan ajaib jika sisi-sisi di
dapat dilabeli dengan bilangan sehingga jumlah dari label semua insiden sisi-sisi dengan sembarang titik adalah sama [4].
b. Pelabelan Graf Antiajaib
Pelabelan antiajaib pada graf didefinisikan sebagai fungsi yang bersifat bijektif
(satu-satu pada) dari kepada himpunan dimana dan mempunyai karakteristik bahwa tidak sama atau
bobot yang berbeda untuk setiap dengan adalah bobot dari penjumlahan dua titik diantara satu sisi [1].
i. Pelabelan Sisi -Titik-Antiajaib
Pelabelan sisi -titik-antiajaib pada graf adalah sebuah fungsi bijektif yang
memetakan himpunan sisi ke bilangan positif sedemikian sehingga
himpunan bobot titik dari semua titik di adalah , dimana , dan [1].
ii. Pelabelan Titik -Sisi-Antiajaib
Pelabelan titik -sisi-antiajaib pada graf adalah sebuah fungsi bijektif yang
memetakan himpunan titik ke bilangan bulat positif sedemikian
sehingga himpunan bobot sisi dari semua sisi di adalah , dimana , dan [1].
iii. Pelabelan Total -Titik-Antiajaib
Pelabelan total -titik-antiajaib pada graf adalah sebuah fungsi bijektif yang
memetakan himpunan titik dan sisi ke bilangan bulat positif
Pelabelan Total (a,d)-C3-Antiajaib Super pada Graf Ular Sn
47
sedemikian sehingga himpunan bobot titik dari semua titik di adalah
, dimana , dan [1].
iv. Pelabelan Total -Sisi-Antiajaib
Pelabelan total -sisi-antiajaib pada graf adalah sebuah fungsi bijektif yang
memetakannhimpunan titik dan sisi ke bilangan bulat positif sedemikian sehingga himpunan bobot sisi dari semua sisi di adalah
, dimana , dan [1].
v. Pelabelan Total - -Antiajaib
Misalkan dan graf. Suatu pelabelan total - -antiajaib dari adalah fungsi
bijektif sedemikian sehingga untuk setiap subgraf
isomorfik untuk . Himpunan dari bobot-
merupakan barisan aritmatika dengan jarak , yaitu dengan dan
bilangan bulat positif dan adalah suatu bilangan subgraf isomorfik . Dalam hal ini kita
katakana bahwa adalah - -antiajaib. Sementara untuk , kita
katakan bahwa adalah pelabelan total - -antiajaib super dan adalah - -
antiajaib super. Catatan jika , maka pelabelan tersebut menjadi pelabelan -ajaib [5].
HASIL DAN PEMBAHASAN
Graf ular dinotasikan sebagai dengan (Gambar 6) dimana adalah banyaknya
segitiga pada graf ular.
Gambar 6. Graf Ular dengan .
Graf ular mempunyai himpunan titik dan himpunan sisi sebagai berikut, dimana adalah
himpunan titik atas dan adalah himpunan titik bawah pada graf ular .
,
dan
Lasmanian Rezekina, Nur Inayah, dan Yanne Irene
48
,
.
Konstruksi Pelabelan Total - -Antiajaib Super pada Graf Ular
Mengkonstruksi pelabelan dari suatu graf yaitu membangun atau membentuk fungsi
bijektif yang memasangkan suatu himpunan unsur-unsur graf yaitu titik dan sisi dengan
bilangan bulat.
TEOREMA 1
Untuk , graf ular mempunyai pelabelan total - -antiajaib super.
Bukti:
Misalkan adalah suatu pelabelan - -antiajaib super. Didefinisikan terhadap titik dan sisinya sebagai berikut.
Dapat dilihat bahwa adalah suatu fungsi bijektif dari
Bobot
didefinisikan sebagai bobot total selimut dari pelabelan total
Pelabelan Total (a,d)-C3-Antiajaib Super pada Graf Ular Sn
49
pada graf ular. Bilangan dan pada
dan
bukan pangkat, melainkan bilangan tersebut
hanya merupakan kode pembeda bobot total selimut untuk tiap selimut yang berlainan
dengan syarat batas yang berbeda. Sehingga dapat dirumuskan sebagai berikut:
,
.
Karena
dan . Berdasarkan hasil diatas, dapat diperhatikan bahwa
himpunan bobot total selimut untuk , mempunyai pelabelan total - -antiajaib super.
TEOREMA 2
Untuk , graf ular mempunyai pelabelan total - -antiajaib super.
Bukti:
Misalkan adalah suatu pelabelan - -antiajaib super. Didefinisikan terhadap titik dan sisinya sebagai berikut:
Lasmanian Rezekina, Nur Inayah, dan Yanne Irene
50
Dapat dilihat bahwa adalah suatu fungsi bijektif dari
Bobot didefinisikan sebagai bobot total selimut
dari pelabelan total pada graf ular. Bilangan dan pada
dan
bukan pangkat,
melainkan bilangan tersebut hanya merupakan kode pembeda bobot total selimut untuk
tiap selimut yang berlainan dengan syarat batas yang berbeda. Sehingga dapat dirumuskan sebagai berikut:
,
.
Karena
dan . Berdasarkan hasil diatas, dapat diperhatikan bahwa
himpunan bobot total selimut untuk , mempunyai pelabelan total - -antiajaib super.
TEOREMA 3
Untuk , graf ular mempunyai pelabelan total - -antiajaib super.
Bukti:
Misalkan adalah suatu pelabelan - -antiajaib super. Didefinisikan terhadap titik
dan sisinya sebagai berikut:
Pelabelan Total (a,d)-C3-Antiajaib Super pada Graf Ular Sn
51
Dapat dilihat bahwa adalah suatu fungsi bijektif
dari Bobot
didefinisikan sebagai bobot total
selimut dari pelabelan total pada graf ular. Bobot
didefinisikan sebagai bobot total
selimut dari pelabelan total pada graf ular. Bilangan dan pada
dan
bukan
pangkat, melainkan bilangan tersebut hanya merupakan kode pembeda bobot total selimut
untuk tiap selimut yang berlainan dengan syarat batas yang berbeda. Sehingga dapat
dirumuskan sebagai berikut:
,
.
Karena
dan . Berdasarkan hasil diatas, dapat diperhatikan bahwa
himpunan bobot total selimut untuk , mempunyai pelabelan total - -
antiajaib super.
Dilihat dari ketiga teorema yang telah dibahas diatas, didapat bobot dengan masing-
masing nilai yang diperoleh. Berikut ini adalah tabel eksistensi pelabelan total - -antiajaib super pada graf ular .
Lasmanian Rezekina, Nur Inayah, dan Yanne Irene
52
Tabel 1. Eksistensi Pelabelan Total - -Antiajaib Super pada Graf Ular
KESIMPULAN
Berdasarkan hasil dan pembahasan, diperoleh kesimpulan bahwa graf ular memuat
pelabelan total - -antiajaib super, dan penelitian ini menghasilkan tiga teorema dengan
yang berbeda pada masing-masing teorema. Pada Teorema 1, untuk graf ular
mempunyai pelabelan total - -antiajaib super. Pada Teorema 2, untuk graf ular mempunyai pelabelan total - -antiajaib super. Dan pada Teorema
3, untuk graf ular mempunyai pelabelan total - -antiajaib super.
Berikut adalah tabel pelabelan total - -antiajaib super pada graf ular .
REFERENSI
[1] Baca, Martin dan Mirka Miller. 2008. Super Edge-Antimagic Graph: A Wealth of
Problems and Solution. Florida: Brown Walker Press.
[2] Bondy, J. A, dan U. S. R Murty. 1976. Graph Theory With Applications. The
Macmillan Press.
[3] Harju, Tero. 1994. Lecture Notes on Graph Theory. Department of Mathematics
University of Turku, Finland.
[4] Hartsfield, N. dan Gherald Ringel. 1990. Pearls in Graph Theory. San Diego:
Academic Press.
[5] Inayah, N., A. N. M. Salman, dan R. Simanjuntak. 2009. On ( , )-H-Antimagic
Covering of Graph, The Journal of Combinatorial Mathematics and Combinatorial
Computing 71, 273-281.
[6] Kotzig, A. dan Rosa, A. 1970. Magic Valuations of Finite Graph. Canada
Mathematics Bulletin 13, 451-461.
[7] Low, Richard M dan Sin-Min Lee. 2004. On the Integer-magic Spectra of
Tessellation Graphs.
[8] Miller, Mirka. 2000. Open Problems in Graph Theory: Labeling Extremal Graph.
Prosiding Konferensi Nasional Himpunan Matematika Indonesia X di Institut
Teknologi Bandung, 17-20 Juli.
[9] Munir, Rinaldi. 2009. Matematika Diskrit, Edisi Ketiga. Bandung: Informatika.
…
…
…
…
Jurnal “LOG!K@” , Jilid 6, No. 1, 2016, Hal. 53 - 61
ISSN 1978 – 8568
OPTIMISASI RANGE DAN ENDURANCE SAAT TERBANG JELAJAH
MENGGUNAKAN FIREFLY ALGORITHM
Nurul Khikmah dan Muhaza Liebenlito
Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi,
Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta
Email: [email protected]
Abstract: Fly cruising (Cruise) is a phase of flight in which the aircraft at a certain
altitude and speed. Fly cruising has two aspects i.e. Range (mileage) and
Endurance (travel time). The maximum Range and Endurance are the maximum
distance when the aircraft can take off and landing with limited fuel. Cruise phase
fuel consumption can be influenced by the speed and weight of the aircraft.LSU-05
is an unmanned aircraft designed to developed researchers in LAPAN to help
human kind,for example in humanitarian missions and missions to fly away in the
record MURI. Therefore UAV is expected to generate maximum range and
endurance. This research used Firefly Algorithm (FA) as a method for finding the
solution of an optimization problem for Range and Endurance. By applying this
method, the LSU-05 should be operated at a cruising speed of 110 km/hour in order
to obtain the maximum range of 300.44 km. LSU-05 can also be operated with a
cruising speed of 60.12 km/s with a maximum endurance is 1.3 hours and the a fuel
consumption maximum is 16 kg or about 20.78 liters.
Keywords: UAV, Cruise, Range, Endurance, Firefly Algorithm.
Abstrak: Terbang jelajah (Cruise) merupakan fase penerbangan dimana pesawat
berada pada ketinggian dan kecepatan tertentu. Pada fase terbang jelajah terdapat
dua hal yang berkaitan yaitu Range (jarak tempuh) dan Endurance (waktu tempuh).
Range dan Endurance yang maksimal merupakan jarak dimana pesawat dapat
terbang take off dan landing dengan bahan bakar yang terbatas. Keterbatasan bahan
bakar saat cruise sangat dipengaruhi oleh kecepatan dan bobot pesawat itu sendiri.
LAPAN Survillance UAV (LSU-05) merupakan pesawat tanpa awak yang
dirancang peneliti LAPAN agar dapat membantu pekerjaan manusia, misalnya
dalam misi kemanusiaan dan misi terbang jauh pada rekor MURI. Oleh karena itu,
UAV diharapkan mampu menghasilkan range dan endurance yang maksimal saat
melakukan misinya. Penelitian ini menggunakan Firefly Algorithm (FA) sebagai
metode untuk mencari solusi dari masalah optimisasi jarak tempuh maksimum.
Hasil dari penerapan metode FA pada LSU-05 diperoleh range maksimum 300.44
km dengan kecepatan jelajah 110 km/h. LSU-05 juga dapat dioperasikan dengan
kecepatan jelajah 60.12 km/s dan diperoleh endurance maksimum 1.3 jam, dengan
masing-masing maksimum fuel consumption 16 kg atau bekisar 20.78 liter.
Kata kunci: UAV, Terbang Jelajah, Jarak, Waktu Tempuh, Firefly Algorithm.
PENDAHULUAN
Kebutuhan terhadap pesawat ringan tanpa awak atau Unmanned Aerial Vehicle (UAV)
meningkatkan minat berbagai pihak untuk mengembangkan UAV. Lembaga Penerbangan dan
Antariksa Nasional merupakan salah satu lembaga yang mengembangkan UAV dengan
produknya yang diberi nama LAPAN Surveilance UAV jenis ke-05 (LSU-05). Terbang
Nurul Khikmah dan Muhaza Liebenlito
54
Jelajah (Cruise) merupakan fase dalam sebuah penerbangan dimana pesawat berada pada
ketinggian tertentu. Pada fase ini sering dilakukan analisis terhadap jarak dan waktu tempuh
yang diperlukan untuk terbang jelajah. Jarak dan waktu tempuh saat terbang jelajah
dipengaruhi oleh kecepatan dan bobot pesawat itu sendiri [1].
Dalam melakukan misi bencana alam dan misi terbang jauh dalam pencatatan rekor
MURI maka LSU-05 diharapkan mampu menghasilkan jarak dan waktu tempuh maksimal
dengan keterbatasan kecepatan dan bobot pesawat yang dikarenakan karakteristik pesawat
seperti aerodinamis (drag polar), propulsi (thrust) dan data struktur (weight). Dimana data
tersebut akan dimasukkan dalam persamaan range dan endurance. Persamaan tersebut yang
akan dijadikan sebagai fungsi objektif dengan variable keputusan yaitu keterbatasan
kecepatan saat cruise dan bobot awal pesawat LSU-05. Metode yang akan digunakan pada
fungsi objektif range dan endurance adalah Firefly Algorithm (FA) yang merupakan metode
optimisasi metaheuristik, dimana akan memberikan pencarian global.
TINJAUAN PUSTAKA
Firefly Algorithm (FA)
Firefly Algorithm (FA) merupakan salah satu algoritma metaheuristik yang terbaru.
Oleh karena itu telah ditulis beberapa artikel yang berkaitan dengan FA. FA mengacu pada
beberapa karakteristik dari perilaku kunang-kunang. Pada algoritma ini mengacu pada tiga
acuan dasar, yaitu:
1. Semua kunang-kunang adalah unisex jadi satu kunang-kunang tertarik dengan kunang-
kunang lain terlepas dari jenis kelamin mereka.
2. Daya tarik sebanding dengan kecerahan, maka kunang-kunang dengan kecerahan lebih
redup akan bergerak ke arah kunang-kunang dengan kecerahan lebih terang dan kecerahan
berkurang seiring dengan bertambah jarak. Apabila tidak ada kunang-kunang yang
memiliki kecerahan paling cerah maka kunang-kunang akan bergerak secara acak
(random).
3. Kecerahan atau intensitas cahaya kunang-kunang ditentukan oleh nilai fungsi tujuan dari
masalah yang diberikan.
Ada dua hal yang berkaitan sangat penting pada FA yaitu intensitas cahaya dan fungsi
ketertarikan. Tingkat intensitas cahaya pada sebuah kunang-kunang dapat dilihat sebagai:
Dengan nilai yang merupakan intensitas cahaya yang sebanding dengan fungsi tujuan yang
akan dicari solusinya . Ketertarikan yang bernilai relatif, karena intensitas cahaya yang harus dilihat dan dinilai oleh kunang-kunang lain. Dengan demikian, hasil penilaian akan
berbeda tergantung dari jarak antara kunang-kunang dengan kunang-kunang ( ). Selain
itu, itensitas cahaya akan menurun dilihat dari sumbernya dikarenakan terserap oleh media
seperti udara . Nilai keatraktifan dapat dirumuskan sebagai berikut
(1)
dengan : keatraktifan pada jarak ,
: keatraktifan pada jarak 0 , : koefisien penyerapan udara .
Optimisasi Range dan Endurance saat Terbang Jelajah Menggunakan Firefly Algorithm
55
Jarak antara kunang-kunang i dan j pada lokasi x, dan dapat ditentukan ketika
dilakukanya peletakan titik dimana kunang-kunang tersebut disebar secara random dalam
diagram kartesius dengan rumus [10].
, (2)
Pergerakan kunang-kunang i yang menuju intensitas cahaya yang terbaik dapat dinyatakan
dalam
, (3)
Dimana istilah 1 merupakan variabel awal yang menunjukan posisi awal kunang-kunang
yang berada pada lokasi , kemudian istilah 2 variabel ini merupakan nilai keaktratifan yang
terdapat pada persamaan (2) dan variabel selisih jarak awal antara kunang-kunang dan . Variabel adalah pembangkit bilangan acak berdistribusi seragam yang bisa
diperluas berdistribusi normal atau disrtibusi lainnya [2]. Untuk banyak kasus
implementasi nilai dan .
Pseudocode FA diilustrasikan pada Gambar 1. Pseudocode dimulai dengan menginput
parameter yaitu Max Generation, dan jumlah populasi kunang-kunang. Definisikan nilai
yang merupakan intensitas cahaya yang sebanding dengan . Jika akan
memaksimumkan fungsi tujuan maka kunang-kunang akan bergerak menuju kawanan yang
lebih terang . Selisih dari koordinat lokasi kunang-kunang i terhadap j
merupakan jarak diantara keduanya . Apabila belum ditemukan cahaya terbaik maka
kunang-kunang tetap mencari kunang-kunang yang memiliki cahaya lebih baik. Keatraktifan
yang bernilai relatif, karena intensitas cahaya yang dilihat oleh kunang-kunang lain akan
berbeda tergantung dari dan intensitas cahaya dipengaruhi oleh penyerapan udara pada
lingkungan (media). Jika kunang-kunang telah mendapatkan posisi terbaik dimana
keatraktifan pada jarak 0 maka kriteria untuk berhenti telah terpenuhi sampai batas
iterasi dan selesai. Jika tidak maka lakukan iterasi sampai mendapatkan posisi terbaik
.
Prestasi Range dan Endurance saat Terbang Jelajah
Terbang jelajah (Cruising Flight) atau terbang datar (Level Flight) adalah terbang
dengan lintas terbang berupa garis lurus dimana sayap sejajar dengan bidang horisontal lokal
dan sudut lintas terbang nol . Sama halnya dengan analisis prestasi terbang yang lain, analisis terbang jelajah juga menganggap bahwa pesawat terbang stasioner. Pada kondisi
terbang stasioner, persamaan kesetimbangan gaya pada pesawat diacukan pada tata acuan
koordinat angin.
Pada kondisi terbang stasioner, gaya angkat yang timbul disamakan dengan berat
pesawat dan kondisi daya yang tersedia sama dengan daya yang diperlukan, sehingga secara
ideal tidak ada kelebihan daya (excess power):
,
Nurul Khikmah dan Muhaza Liebenlito
56
Gambar 1. Pseudocode FA
dan berlaku
.
Dalam melakukan analisis prestasi terbang jelajah pesawat LSU-05 ada dua parameter
yang akan dihitung yaitu jangkauan terbang (Range) dan lama terbang (Endurance). Untuk
menghitung parameter tersebut diasumsikan bahwa terbang jelajah dilakukan pada sudut
serang yang konstan, mesin di atur pada power tertentu dan konstant serta efisiensi propeller juga dianggap konstan. Perubahan yang terjadi ada pada perubahan berat pesawat
karena berkurangnya bahan bakar (fuel). Dengan anggapan tersebut maka faktor sistem
propulsi
dan faktor efisiensi aerodinamika
bernilai konstan, sehingga diperoleh
Persamaan Breguet (Breguet Formula)
(1)
INPUT : Fungsi Objektif dan adalah banyaknya variabel keputusan;
Banyaknya populasi ; Parameter firefly algorithm: ; Banyaknya iterasi maksimum
;
OUTPUT : solusi fungsi objektif
Bangkitkan inisial populasi
;
while ( ) do
Evaluasi fungsi objektif pada tiap kunang-kunang ;
for do
for j=1:n do
Hitung jarak antar kunang-kunang dengan menggunakan persamaan (2);
Hitung fungsi keatraktifan dengan menggunakan persamaan (3);
if then
Gerakan kunang-kunang i menuju j denhan menggunakan persamaan (3);
end
end
end
Urutkan kunang-kunang berdasarkan tingkat intensitas cahaya yang terbesar;
End
Optimisasi Range dan Endurance saat Terbang Jelajah Menggunakan Firefly Algorithm
57
Sementara itu dalam menghitung parameter lama terbang jelajah (Endurance) digunakan
persamaan
dimana
sehingga dengan menggunakan asumsi yang sama dengan perhitungan parameter jangkauan
terbang (Range) diperoleh persamaan lama terbang (Endurance) adalah
Persamaan tersebut digunakan karena sistem propulsi pesawat LSU-05 menggunakan
propeller, sementara itu untuk propulsi jet mempunyai persamaan yang sedikit berbeda
dimana tidak ada efisiensi dari propeller. Efisiensi propeller yang digunakan dalam analisis
ini menggunakan persamaan yang diambil dari daya yang tersedia atau digunakan untuk
terbang jelajah. Persamaan yang digunakan adalah
Nilai efisiensi yang diperoleh dari persamaan diatas merupakan nilai batas tertinggi
efisiensi teoritik (theoritical upper limit of propeller efficiency). Selain perhitungan efisiensi
propeller, dalam menghitung prestasi terbang jelajah pesawat diperlukan data daya yang
digunakan, dalam hal ini daya yang digunakan adalah sebesar 11.5 HP [3]. Daya tersebut
adalah yang paling memungkinkan optimum digunakan untuk fasa cruise. Dengan demikian
fungsi objektif yang digunakan untuk mencari titik optimum global Endurance menjadi
(2)
Karena dalam persamaan diatas tidak terdapat variabel kecepatan. Oleh karena itu menurut
[4] kecepatan saat terbang jelajah adalah
(3)
Kemudian subtitusikan persamaan (3) ke persamaan (2) menjadi
Nurul Khikmah dan Muhaza Liebenlito
58
(4)
dimana adalah berat kerangka pesawat, adalah berat
muatan maksimum, adalah berat sebelum memasuki terbang jelajah, adalah berat setelah selesai melewati fase
terbang jelajah, adalah kecepatan saat terbang jelajah, adalah koefisien lift, adalah
koefisien drag, adalah efisiensi propeller.
Data yang digunakan dalam percobaan ini adalah data spesifikasi LSU-05 yang terdapat
pada Tabel 1. Pada pengoperasian terbang jelajah terdapat dua hal yang berkaitan yakni
seberapa jauh atau dekat jarak dan seberapa lama atau cepat waktu yang dihasilkan. Jarak
maksimal merupakan jarak dimana pesawat dapat terbang Take Off dan Landing dengan
bahan bakar yang terbatas. LSU-05 memiliki kendala saat terbang jelajah yakni kecepatan
yang bekisar antara 60 km/h sampai 110 km/h dan berat pesawat awal bekisar 61 kgf sampai
77 kgf.
Tabel 1 Karakteristik LSU-05 yang digunakan dalam perhitungan [5].
VCr : 60 : 0.85 atau 85%
Cp(Range) : 1,1765 CL : 0,532
CD : 0.038 W1 : Kg
W2 : 61 kg CP (Endurance) :
HASIL DAN PEMBAHASAN
Optimisasi Jarak (Range) Saat Terbang Jelajah Menggunakan FA.
Berikut ini adalah fungsi objektif range yang akan dijadikan acuan sebagai intensitas
cahaya pada FA. Pada kasus ini kunang-kunang akan bergerak menuju kunang-kunang lain
yang memiliki intensitas cahaya yang lebih baik.
(6)
7.
Parameter yang digunakan dalam percobaan FA yaitu dan .
Berdasarkan hasil percobaan dengan menentukan jumlah populasi 25 kunang-kunang dan 100
MaxGeneration maka diperoleh solusi global dapat dijelaskan bahwa dengan kecepatan 110 km/h dan bobot awal pesawat 77 kg maka range
maksimum yang diperoleh LSU-05 adalah 300,44 km. Gambar 2 merupakan visualisasi dari
fungsi objektif range. Jumlah 25 populasi kunang-kunang kemudian disebar secara random
dengan posisi awal yang diperlihatkan dalam Gambar 3 kemudian bergerak sebanyak 100
Optimisasi Range dan Endurance saat Terbang Jelajah Menggunakan Firefly Algorithm
59
MaxGeneration sehingga posisi akhir dapat diperlIhatkan dalam Gambar 4. Dapat dilihat
bahwa kunang-kunang bergerak berkumpul menuju garis kontur yang lebih terang warnanya.
Gambar 2. Grafik 2D Fungsi Range
Gambar 3. Posisi awal 25 kunang-kunang
Optimisasi Waktu Tempuh (Endurance) Saat Terbang Jelajah Menggunakan FA
Berikut ini adalah fungsi objektif dari optimisasi endurance.
(7)
7
Gambar 4. Posisi akhir 25 kunang-kunang setelah 100 iterasi.
Nurul Khikmah dan Muhaza Liebenlito
60
Parameter yang digunakan dalam percobaan FA yaitu dan .
Berdasarkan hasil percobaan dengan menentukan jumlah populasi 25 kunang-kunang dan 100
Max Generation maka diperoleh solusi global dapat dijelaskan bahwa dengan kecepatan 60.12 km/h dan bobot awal pesawat 77 kg maka
endurance maksimum yang diperoleh LSU-05 adalah km. Gambar 5 merupakan visualisasi dari fungsi objektif endurance. Jumlah 25 populasi kunang-kunang kemudian
disebar secara random dengan posisi awal yang diperlihatkan dalam Gambar 6 kemudian
bergerak sebanyak 100 Max Gen sehingga posisi akhir dapat diperlihatkan dalam Gambar 7.
Posisi akhir kunang-kunang menunjukkan bahwa kunang-kunang bergerak kemudian
berkumpul menuju garis kontur yang lebih terang warnanya.
Gambar 5. Grafik 2D Fungsi Endurance.
Gambar 6. Posisi awal 25 kunang-kunang untuk Fungsi Endurance.
Optimisasi Range dan Endurance saat Terbang Jelajah Menggunakan Firefly Algorithm
61
Gambar 7. Posisi akhir 25 kunang-kunang setelah 100 iterasi Fungsi Endurance
KESIMPULAN
Berdasarkan hasil percobaan menggunakan FA yang telah dilakukan pada fungsi uji
optimasi, fungsi range dan fungsi endurance maka diperoleh kesimpulan sebagai berikut:
1. Setelah dilakukan percobaan FA dengan 25 kunang-kunang dan 100 iterasi terhadap
fungsi range solusi yang diperoleh yaitu LSU-05 mampu terbang maksimal sejauh
300.44 km dan kecepatan jelajah maksimal 30.55 m/s atau 110 km/h dengan bobot awal
(W1) sebesar 77 kgf.
2. Setelah dilakukan percobaan FA dengan 25 kunang-kunang dan 100 iterasi terhadap
fungsi Endurance solusi yang diperoleh yaitu LSU-05 mampu terbang selama 1.3 jam dan
kecepatan jelajah maksimal 60.12 km/h dengan bobot awal (W1) sebesar 77 kg.
REFERENSI
[1] Pinindriya, Sinung Tirtha. 2013. Karakteristik Aerodinamika Sayap PTA LSU-05 Dengan
Simulasi CFD. LAPAN Rumpin. Bogor.
[2] Yang, X.S. 2009. Firefly Algorithm for Multimodal Optimization. Stochastic Algorithms:
Foundations and Applications, SAGA 2009, Lecture Notes in Computer Sciences, Vol.
5792, pp. 169-178.
[3] Soemaryanto, Arifin Rasyadi. 2015. Analisis Prestasi Terbang Pesawat LSU-05 B01
dengan metode Point Performance. Technical Report LAPAN.
[4] Rujgok, G.J.J. 1990. Elements of Airplane Performance. Netherlands: Delft University
Press.
[5] Pratomo, Bangga, Hendrix Novianto & M Ardi Cahyono. 2013. Perancangan dan
Pembuatan Platform UAV Radio Control Kolibri-08v2 dengan Mesin Thunder Tiger 46
Pro. Sekolah Tinggi Teknologi Penerbangan. Yogyakarta. Volume V.
Jurnal “LOG!K@” , Jilid 6, No. 1, 2016, Hal. 62 - 70
ISSN 1978 – 8568
SIFAT ADITIF KATEGORI HOMOTOPI KOMPLEKS-U
Gustina Elfiyanti
Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi,
Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta
Email: [email protected]
Abstract: Davvaz and Shabbani-Solt introduced a notion of chain U-complex as a
generalization of chain complex by replacing kernels with submodules U . They
used the definitions to generalize some results in homological algebra. In this
paper we propose a generalization of homotopy category of complexes called
homotopy category of U-complexes by replacing the objects with chain U-
complexes, morphisms with U-homotopy equivalent classes of morphisms of U-
complexes. We prove that this category is an additive category.
Keywords: chain U-complex, morphisms of U-complexes, U-homotopy homotopy
category of U-complexes, additive category.
Abstrak: Davvaz dan Shabbani-Solt mengenalkan rantai rantai kompleks-U
sebagai perumuman rantai kompleks dengan mengganti kernel dengan submodul
U. Mereka menggunakan definisi tersebut untuk memperumum beberapa hasil
dalam aljabar homologi. Tulisan ini bertujuan untuk membuat perumuman kategori
homotopi kompleks yang disebut kategori homotopi kompleks-U dengan
mengganti objek dengan rantai kompleks-U dan morfisma dengan kelas ekivalen
homotopi-U dari morfisma kompleks-U. Diperoleh bahwa kategori ini merupakan
kategori aditif.
Kata kunci: rantai kompleks-U, morfisma kompleks-U, homotopi-U, kategori
homotopi kompleks-U, kategori aditif.
PENDAHULUAN
Dalam kehidupan manusia biasanya mengklasifikasikan objek-objek berdasarkan
kemiripan sifat yang dimiliki. Pengklasifikasian tersebut bertujuan untuk mempermudah
mempelajari/mengkaji objek yang diminati. Karena objek-objek yang berada dalam kelompok
yang sama memiliki sifat yang sama maka untuk mengkaji kelompok tersebut kita tidak perlu
mempelajari semua anggotanya tapi cukup perwakilannya saja.
Hal yang sama juga berlaku dalam aljabar, objek yang dibahas adalah himpunan atau
koleksi himpunan yang dilengkapi dengan suatu struktur. Metode pengklasifikasian dilakukan
dengan pemetaan, khususnya isomorfisma. Jika terdapat suatu isomorfisma antara dua objek
maka kedua objek tersebut memiliki sifat yang sama. Sehingga kajian mengenai suatu
struktur aljabar dapat dilakukan melalui kelas-kelas isomorfisma dari objeknya. Pendekatan
yang mengoptimalkan kajian sifat-sifat pemetaan ini adalah pendekatan kategori.
Kategori adalah suatu struktur aljabar yang terdiri dari koleksi objek, koleksi
homomorfisma antar objek dan sebuah operasi komposisi. Jika objek dari kategori berupa
rantai kompleks, yaitu rantai modul-R dan homomorfisma modul-R dengan sifat komposisi
setiap homomorfisma yang bertetanggaan adalah nol, maka kategori tersebut kategori
kompleks.
Sifat Aditif Kategori Homotopi Kompleks-U
63
Suatu rantai kompleks 1 1
1 1 2
n n nd d d
n n n nX XX X
™ dikatakan barisan eksak
jika 1
1Im 0n nd d
. Suatu pertanyaan natural adalah bagaimana jika 0 diganti dengan
1nU sebuah submodul dari
1nX . Dalam [1], Davvaz dan Parnian-Garmaleky mengenalkan
perumuman dari konsep ini yang disebut barisan eksak-U , yang merupakan modifikasi dari
notasi barisan eksak biasa dan menjawab permasalahan di atas. Mereka kemudian
memperumuman beberapa hasil untuk barisan eksak biasa pada barisan eksak-U . Dalam [2],
Anvariyeh dan Davvaz melanjutkan penelitian dalam topik ini dan fokus dalam aplikasi
barisan eksak-U dan mempelajari barisan terpisah-U . Kemudian dalam [3] Davvaz dan
Shabani-Solt membuat perumuman beberapa topik dalam aljabar homologi. Mereka
mengenalkan konsep rantai kompleks-U , morfisma kompleks-U, homologi-U dan fungtor-
. Mereka menggunakan konsep tersebut untuk mencari perumuman dari Lema Lambek,
Lema Ular, Homomorfisma Penghubung dan Segitiga Eksak.
Elfiyanti dkk. [4] menggunakan penelitian Davvaz dan Shabani-Solt untuk membuat
perumuman kategori kompleks yang disebut kategori kompleks-U. Tulisan ini bertujuan
untuk melanjutkan penelitian [3] dan [4] dengan membuat perumuman kategori homotopi
kompleks, yang disebut kategori homotopi kompleks-U , diperoleh bahwa kategori ini adalah
kategori aditif.
KATEGORI KOMPLEKS
Pada bagian ini dipaparkan beberapa teori dasar yang bersumber dari [5], [6] , [7], [8]
dan [9] dengan notasi penulisan disesuaikan dengan [6].
Suatu kategori terdiri dari: kelas objek Ob yang elemennya disebut objek dari ,
koleksi himpunan Hom ,X Y satu untuk setiap pasangan terurut objek-objek dari ,X Y
dan koleksi pemetaan
: Hom , Hom , Hom ,
,
X Y Y Z X Z
f g gf
untuk setiap triple terurut , ,X Y Z . Ketiga data ini harus memenuhi:
1. Setiap morfisma f secara tunggal menentukan ,X Y sehingga , .f Hom X Y
Dengan kata lain jika , ,X Y X Y maka Hom , Hom , .X Y X Y
2. Untuk setiap X terdapat morfisma 1 Hom ,X X X dinamakan identitas pada X
sehingga jika Hom ,f X Y dan Hom ,g W X maka 1Xf f dan 1 .X g g
3. Komposisi morfisma bersifat asosiatif, yaitu jika Hom , , Hom ,f X Y g Y Z dan
Hom ,h Z W maka .h gf hg f
Jika X objek di maka 1X tunggal. Dengan demikian terdapat korespondensi satu-satu
antara kelas objek di dan kelas morfisma identitas, oleh karena itu dalam mendefinisikan
sifat-sifat pada kategori cukup melihat morfisma dan komposisi (bukan objek). Pernyataan
yang sederhana dalam kategori adalah suatu komposisi morfisma sama dengan suatu
Gustina Elfiyanti
64
komposisi lainnya, misalkan .gf g f Dalam hal ini kita katakan diagram berikut komutatif
jika .
f
gf
g
X Y
X Y
Suatu kategori dikatakan kategori aditif jika berlaku:
A1 Untuk setiap pasang objek ,X Y di maka himpunan Hom ,0X merupakan grup abel
dan komposisi Hom , Hom , Hom ,X Y Y Z X Z bilinier atas .
A2 Kategori memuat objek 0 (yaitu untuk setiap objek di maka himpunan
Hom ,0X dan Hom 0, X memuat tepat satu unsur.
A3 Untuk setiap pasang objek ,X Y di terdapat koproduk .X Y
Kategori aditif dikatakan kategori abel jika setiap morfismanya punya kernel dan
kokernel serta untuk setiap morfisma :f X Y di maka morfisma natural
koIm Im .f f
Rantai kompleks atas kategori aditif adalah barisan tak hingga ,n n nX X d
,
dengan X Ob dan nd (disebut differensial) adalah morfisma di 1Hom ,n nX X yang
memenuhi 1 0X X
n nd d untuk setiap n . Rantai kompleks dapat ditulis sebagai barisan
objek dan morfisma berikut.
1 1 1
1 1 2, :
X X Xn n nd d d
X
n n n n n nX X d X X X X
™
Morfisma antara rantai kompleks , X
n n nX X d
dan , Y
n n nY Y d
adalah barisan
morfisma n nf f
sehingga diagram di bawah komutatif, yaitu 1
X Y
n n n nf d d f untuk setiap
n .
1
1 1
1
1 1
1 1
n n
n n n
Y Yn
X X
n
d d
n n n
f f f
d d
n n n
X X X
Y Y Y
™ ™ ™ ™
™ ™ ™ ™
Koleksi semua rantai kompleks atas bersama morfisma kompleks dan operasi komposisi
membentuk kategori kompleks, dinotasikan dengan .C Jika kategori abel, yaitu
kategori aditif yang setiap morfismanya punya kernel dan kokernel serta untuk setiap
Sifat Aditif Kategori Homotopi Kompleks-U
65
morfisma kompleks :f X Y maka morfisma natural koIm Imf f merupakan
isomorfisma, maka C juga kategori abel.
PERUMUMAN RANTAI KOMPLEKS
Pada bagian ini dipaparkan hasil penelitian Davvaz dan Shabani-Solt. Untuk selanjutnya
menyatakan kategori abel RMod , yaitu kategori modul atas gelanggang komutatif
dengan kesatuan .R
Definisi 1.
Rantai kompleks- XU atas kategori adalah keluarga , ,X XX X U d , ,X X
n n n nX U d
dengan X
n nU X objek di dan setiap 1: dan X
n n n nX d X X adalah homomorfisma
modul-R, sehingga untuk setiap n berlaku:
1. 1 1 1
X X X
n n n nd d X U
2. 1Im X X
n nd U
Rantai kompleks- XU dapat ditulis sebagai barisan objek dan morfisma berikut.
1 1
1 1 2, , :
X X Xn n nd d d
X X
n n n nX U d X X X X
™ ™ ™ ™
Dari definisi di atas maka jelas bahwa rantai kompleks adalah rantai kompleks-0, dengan 0
barisan submodul 0. Begitu juga dengan rantai , ,X XX U d dengan sifat 1 1 1
X X X
n n n nd d X U
juga rantai kompleks- .XU Jika , ,X XX U d rantai kompleks- XU maka 1Im X
nd
1
1 .X X
n nd U
Contoh 2
1. Pandang rantai modul-R dan rantai homomorfisma berikut
2 2
32 32 32 x x
™ ™ ™ ™
Maka 32 , 4 ,2X x
adalah rantai kompleks- 4 dan 32 , 2 ,2Y y adalah
rantai kompleks- 2 .
2. Untuk rantai modul-R dan rantai homomorfisma berikut 4 4
32 32 32 x x
™ ™ ™ ™
maka 32 , 8 ,4Z x adalah rantai kompleks 8 .
Definisi 3 (Morfisma kompleks-U)
Misalkan , ,X XX U d dan , ,Y YY U d masing-masing adalah rantai kompleks- XU dan
kompleks- YU . Morfisma kompleks-U atas adalah morfisma rantai kompleks
Gustina Elfiyanti
66
:n n n nf f X Y
dengan X Y
n n nf U U . Morfisma ini disebut juga rantai pemetaan-
, .X YU U
Contoh 4
Misalkan 32 , 4 ,2X x dan 32 , 2 ,2Y y . Definisikan 32 32:nf sebagai
: 4nf x x maka diagram berikut komutatif
2 2
32 32 32
4 4 4
2 2
32 32 32
:
:
x x
f x x x
y y
X
Y
™ ™ ™ ™
™ ™ ™ ™
karena 4 4 16 2 maka f adalah rantai pemetaan 4 , 2
Proposisi 5
Misalkan , ,X XX U d adalah rantai kompleks- XU sehingga 1 1 1
X X X
n n n nd d X U dan
, ,X YY U d rantai kompleks- YU . Jika :n n n nf f X Y
pemetaan rantai kompleks, maka
f juga rantai pemetaan- ,X YU U
Definisi 6 (Homotopi )
Misalkan , ,X XX U d dan , ,X YY U d masing-masing adalah rantai kompleks- XU dan
rantai kompleks- YU . Misalkan pula ,f g adalah dua rantai pemetaan- ,X YU U . Pemetaan
dan f g dikatakan homotop- , ,X YU U dinotasikan dengan f g jika terdapat barisan
morfisma 1:n n n nh h X Y
1
1 11
1
1 1
1 1
:
:
X Xn n
n n n
Yn
n
Y
n
n
d d
n n n
f f f
d d
n n
f h h
n
X X X X
Y Y Y Y
™ ™ ™ ™
™ ™ ™ ™
sehingga untuk setiap n berlaku:
1. 1 1
Y X
n n n n n nf g d h h d
2. 1
X Y
n n nh U U
Barisan n nh h
disebut rantai homotopi- ,X YU U . Jika 0g maka f dikatakan
homotop- ,X YU U ke 0.
Sifat Aditif Kategori Homotopi Kompleks-U
67
Lema 7
Relasi homotop- ,X YU U , , adalah relasi ekivalen.
Bukti:
1. Akan dibuktikan " " bersifat reflektif.
Misalkan 0nr untuk setiap n maka 1 1 0Y X
n n n n n nd r r d f f
dan jelas 1 1( ) 0
n
X Y
n n C nr U U maka f f .
2. Akan dibuktikan " "bersifat simetris. Misalkan f g maka terdapat rantai homotopi-
, ,X YU U 1: ,n n n nr r X Y ™ sehingga
1 1
Y X
n n n n n nd r r d f g dan 1( ) .X Y
n n nr U U
Misalkan n ns s
adalah rantai homotopi ,X YU U dengan n ns r , sehingga
1 1 1 1 1 1
1 1
( ) ( ) ( ) ( )Y X Y X Y X
n n n n n n n n n n n n n n n n
Y X
n n n n n n n n
d r r d f g d r r d f g d r r d
g f d s s d g f
Karena 1( )X Y
n n nr U U tertutup maka 1( ) ( )X X Y
n n n n nr U s U U . Jadi ,g f maka
terbukti " " bersifat simetris.
3. Akan dibuktikan" " bersifat transitif. Misalkan f g dan g h , maka terdapat rantai
homotopi ,X YU U , 1:n n n nr r X Y ™ dan 1:n n n n
s s X Y ™ sehingga
1 1 ,Y X
n n n n n nd r r d f g 1 1 Y X
n n n n n nd s s d g h dan 1 1( ) , ( )X Y X Y
n n n n n nr U U s U U .
Perhatikan.
1 1 1 1 1 1 1( ) ( )Y X Y X Y X
n n n n n n n n n n n n n n n n n nf g g h d r r d d s s d d r s r s d
Definisikan n nt t
dengan n n nt r s untuk setiap n , maka n n n nf g g h
1 1 1 1 1( ) ( )Y X Y X
n n n n n n n n n n n nd r s r s d d t t d f h . Karena 1( )X Y
n n nr U U dan
1( )X Y
n n ns U U maka jelas 1( )X Y
n n nt U U . Terbukti ,f h dan " " bersifat transitif.
Lema 8 Himpunan kelas ekivalen relasi homotopi membentuk grup abel.
Bukti:
Misalkan ,Hom , ,
Uf X Y
C karena ,
, | U
f g Hom X Y f g C
subhimpunan dari
,,
UHom X Y
Ccukup dibuktikan f subgrup dari ,
, .U
Hom X YC
Misalkan ,g h f maka
terdapat 1:n n n nr r X Y dan 1:n n n n
s s X Y sehingga 1 1
Y X
n n n n n nf g d r r d
dan 1 1 .Y X
n n n n n nf h d s s d Perhatikan
Gustina Elfiyanti
68
1 1 1 1 1 1 1
Y X Y X Y X
n n n n n n n n n n n n n n n ng h d r r d d s s d d r s r s d
Definisikan 1: ,n n n n n nt t r s X Y
karena 1
X Y
n n nr U U dan 1
X Y
n n ns U U maka
1.X Y
n n nt U U Dengan demikian nt adalah rantai homotopi- , ,X YU U oleh karena itu
.g h f Terbukti f subrup dari ,
, .U
Hom X YC
Karena operasi penjumlahan fungsi
bersifat komutatif maka f grup abel.
Lema 9
Misalkan , , ,X XX U d , ,X YY U d dan , ,Z ZZ U d masing-masing adalah rantai kompleks-
XU , rantai kompleks- YU dan rantai kompleks- ZU . Jika :f g X Y dan : ,f g Y Z
maka : .f f g g X Z
Bukti:
Misalkan 1 1 ,Y X
n n n n n nf g d h h d 1 1 1,Z Y X Y
n n n n n n n n nf g d h h d h U U
dan Y
n nh U
1.Z
nU Pandang diagram komutatif berikut:
1
1 1
1
1 1 1 1 1
1
1
1 1
1 1
1 1
1 1
:
:
:
n n n
X Xn n
n n n
Y Yn n
n n n n n n n n
Z Z
n n
n n
d d
n n n
f f f
d d
n n n
f g f g h f
f g g h g h g
g h f g
d d
n n n
X X X X
Y Y Y Y
Z Z Z Z
™ ™ ™ ™
™ ™ ™ ™
™ ™ ™ ™
Akan dibuktikan terdapat 1:n n ns X Z sehingga 1 1
Z X
n n n n n n n nd s s d f f g g
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
n n n n n n n n n n
Y X Z Y
n n n n n n n n n n
Y X Z Y
n n n n n n n n n n n n
Z X Z X
n n n n n n n n n n n n
Z
n n n n n n n n n n
f f g g f f g f g g
f d h h d d h h d g
f d h f h d d h g h d g
d f h f h d d h g h g d
d f h h g f h h g d
X
pilih 1n n n n ns f h h g
maka 1:n n ns X Z dan berlaku 1 1 .Z X
n n n n n n n nf f g g d s s d
Dengan demikian kondisi 1 pada Definisi homotopi- , ZXU U dipenuhi. Selanjutnya akan
dibuktikan .X Z
n n ns U U Karena g adalah rantai pemetaan- ,X YU U maka ,X Y
n n ng U U
Sifat Aditif Kategori Homotopi Kompleks-U
69
maka 1.X Y Y
n n n n n nh g U h U U
Kemudian karena f adalah rantai pemetaan- ,X YU U
maka 1 1 1 1.X Y Z
n n n n n nf h U f U U
Jadi diperoleh .X Z
n n ns U U
PERUMUMAN KATEGORI HOMOTOPI KOMPLEKS
Dalam (4) kategori kompleks-U atas didefinisikan analog dengan kategori
kompleks yaitu kategori yang objeknya berupa rantai kompleks-U atas , morfismanya
adalah morfisma kompleks-U atas , dan operasinya adalah komposisi pemetaan biasa.
Kategori ini merupakan kategori abelian. Selanjutnya pada bagian ini akan dipaparkan
tentang kategori homotopi kompleks-U atas .
Dari Lema 7 diketahui bahwa relasi homotop- , , ,X YU U adalah relasi ekivalen.
Kemudian berdasarkan Lema 9, komposisi dua morfisma kompleks-U yang homotop- , ,U
juga homotop- ,U maka kita dapat mendefinisikan kategori homotopi kompleks sebagai
berikut.
Definisi 10 (Kategori Homotopi Kompleks )
Kategori homotopi kompleks-U atas , dinotasikan dengan ,UK , adalah kategori yang
objeknya berupa rantai kompleks-U atas , morfismanya adalah morfisma kompleks-U atas
modulo homotopi, dan operasi komposisinya adalah komposisi pemetaan biasa
Teorema 11
Kategori homotopi ,UK merupakan kategori aditif.
Bukti
Misalkan , , ,X XX U d , ,X YY U d dan
A1. Akan dibuktikan ,,
UHom X Y
K grup abel dan komposisi
, , ,, , ,
U U UHom X Y Hom Y Z Hom X Z
K K K™ bilinier atas .
Penjumlahan f g didefinisikan sebagai f g dengan ,f g masing-masing adalah
unsur di f dan .g Karena K kategori aditif maka f g memenuhi syarat
pertama homotopi- .U Karena 1
Y
nU submodul maka f g memenuhi syarat kedua
homotopi- .U Oleh karena itu ,, .
Uf g Hom X Y
KPersyaratan lainnya dari
kategori abel dapat dibuktikan dengan mudah, begitu juga dengan pembuktian sifat
bilinier.
A2. Objek nol di ,UK adalah sama dengan objek nol di ,UC yaitu kompleks-0,
0 ,0 ,0 dengan 0 adalah objek nol pada kategori .
A3. Dari (4) diketahui koproduk dari X dan Y sebagai
, ,X Y X Y
n n n n nX Y X Y U d
Gustina Elfiyanti
70
dengan X Y X Y
n n nU U U dan , ,X Y X Y
n n nd x y d x d y bersama morfisma
1 :X n n nX X Y dan 1 :Y n n nY X Y dan memenuhi sifat universal: setiap objek
Z di ,UC dan morfisma kompleks-U : ,Xf X Z :Yf Y Z adalah terdapat
tunggal : ,f X Y Z terdapat tunggal morfisma kompleks-U , yang memenuhi
1X Xf f dan 1Y Yf f sehingga diagram berikut komutatif:
1 1
X Yn n
n
X Yn n
n
f f
f
n n n n
Z
X X Y Y
™
Karena relasi homotopi-U adalah relasi ekivalen dan tertutup terhadap operasi
komposisi maka diagram dari kelas eivalen 1 ,1X Y dan f berikut komutatif.
1 1
Yn n
Yn n
X
n
X
n
n n n n
f f
f
Z
X X Y Y
™
Dan jika terdapat :g X Y Z sehingga 1X Xg f dan 1Y Yg f maka maka .f g
Terbukti bahwa kategori homotopi kompleks-U adalah kategori aditif.
REFERENSI
[1] B.Davvaz dan Y.A Parnian – Gramaleky, 1999, A Note on Exact Sequence, Bull.
Malaysian Math. Soc. (2) 22, 53-56.
[2] S.M. Anvariyeh dan B.Davvaz, 2002, U-Split Exact Sequence, Far East J. Math. Sci.
(FJMS) 4 (2), 209-219.
[3] B.Davvaz dan H.Shabani-Solt, 2002, A generalization of Homological Algebra, J.Korean
Math. Soc, 39 (6), 881-898.
[4] G. Elfiyanti, I. Muchtadi-Alamsyah, D. Nasution dan U.Amartiwi, 2015, Abelian
Property of the Category of U-Complexes, Journal of Applied Mathematical Sciences,
Hikari, submitted.
[5] C.A Weibel, 1994, An Introduction to Homological Algebra, Cambridge University
Press, United Kingdom.
[6] T. Holm, P. Jørgensen dan R.Rouquier, 2010, Trianglated Categories, London Math.Soc.
Lecture Note Series 375, Cambridge University Press.
[7] S. König dan Zimmermann, 1998, A. Derived Equivalences for Group Rings, Lecture
Note In Mathematics 1685. Springer.
[8] D. Nasution, 2008, The Geometri of Chain Complexes, Master Thesis, ITB, Bandung.
[9] S.I. Gelfand dan Y.U.I. Manin, 1997, Methods of Homological Algebra, 2nd Editio,
Heidelberg: Springer-Verlag.
Jurnal “LOG!K@” , Jilid 6, No. 1, 2016, Hal. 71 - 82
ISSN 1978 – 8568
STRATEGI PENGAMANAN DATA PADA SERVER KOMPUTER
SEBAGAI IMPLEMENTASI APLIKASI
PELABELAN GRAF ANTI AJAIB
Nur Inayah dan Muhaza Liebenlito
Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi,
Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta
Email: [email protected], [email protected]
Abstract: A covering of G is a family of subgraphs with
the property that each edge of G is contained in at least one graph .
Let H be a subgraph of G, if every is isomorphic to H, such a covering is
called an H-covering of G. Then we say that G admits an H-covering. Let be a finite simple graph admits an H-covering with , and k the number of subgrahs of G isomorphic to H. Then, the graph
G is said (a,d)-H-antimagic if there exist a total labeling such that for all subgraphs isomorphic to H, the H-weight
constitute an arithmetic progression
where a and d are two positive integers. The
labeling is called a super (a,d)-H-antimagic labeling, if .
In this research we construct (a,d)-H-antimagic for H is edge, then the graph G is
said super edge-antimagic total (SEAMT) labeling for t-joint copies of wheel.
Then, we derive Affine cipher is one of the methods used for data encryption and it
can be modified using structure graph labeling SEAMT. Through this method any
data transferred more secure, so it is safe from unauthorized parties. The results
showed an FTP program as a file transfer between the server and the client is able
to perform system security by implementing the above algorithm.
Keywords: Affine, Decryption, Encryption, Graph, Labeling, SEAMT, Wheel.
Abstrak: Selimut dari G adalah keluarga subgraf dari G
dengan sifat setiap sisi di G termuat pada sekurang-kurangnya satu graf . Jika untuk setiap , is isomorfik dengan suatu subgraf H,
maka dikatakan selimut-H dari G. Diberikan graf sederhana
dan berhingga yang memuat selimut-H dengan , dan
banyak subgraf dari G yang isomorfik dengan H adalah k. Kemudian, graf G adalah
(a,d)-H-anti ajaib, jika ada asuatu pelabelan total yang memenuhi untuk dua bilangan bulat
positif a dan d tertentu. Dalam hal ini dikatakan bobot dari dan
didefinisikan sebagai . Kemudian,
dikatakan (a,d)-H-anti ajaib super jika . Pada penelitian
ini kami berhasil mengkonstruksi (a,d)-H-anti ajaib untuk H adalah suatu sisi,
sehingga graf G dikatakan edge-antimagic super total (SEAMT) labeling untuk t-
joint copies dari graf roda. Dalam penelitian ini juga diperoleh sandi Affine
menggunakan pelabelan total sisi anti ajaib super (TSAAS) dari t-rangkap graf
roda. Sandi Affine merupakan salah satu metode yang digunakan untuk enkripsi
data dan dapat dimodifikasi menggunakan struktur pelabelan TSAAS graf roda.
Melalui metode ini setiap data yang ditransfer lebih terjamin keamanannya
sehingga aman dari pihak yang tidak bertanggungjawab. Hasil penelitian
Nur Inayah dan Muhaza Liebenlito
72
menunjukkan program FTP sebagai tempat transfer file antara Server dan Client
dapat melakukan system keamanan dengan menerapkan algoritma diatas.
Kata kunci: Dekripsi, Enkripsi, Graf Roda, Kriptografi, Pelabelan Graf, TSAAS
PENDAHULUAN
File Transfer Protocol (FTP) adalah protokol yang berfungsi untuk tukar menukar
informasi melalui suatu jaringan yang didukung oleh Transmission Control Protocol (TCP),
biasa disebut juga dengan TCP/IP protocol. Dua hal yang sangat penting dalam FTP adalah
FTP server dan FTP client. FTP server menjalankan software yang digunakan untuk tukar
menukar informasi data atau file yang selalu siap memberikan layanan FTP apabila mendapat
permintaan dari FTP client. FTP client adalah computer yang meminta koneksi ke server FTP
untuk tujuan tukar menukar data (mengunduh atau menggugah data). Menurut Oh, dkk
(2007), pengiriman data melalui server FTP adalah cara yang tidak aman karena informasi
tersebut disalurkan dengan terbuka (tanpa enkripsi terlebih dahulu tetapi dalam bentuk
informasi yang jelas, data sebenarnya). Oleh karena itu, username, password, data atau
informasi penting lainnya yang ditransfer maupun perintah yang dikirim dapat dicegat
(sniffing) dengan menggunakan Protocol Analyzer (Sniffer) sehingga informasi penting atau
rahasia tersebut akan mudah diketahui (terbaca).
Salah satu cara untuk mempertahankan kerahasiaan informasi yang akan dikirimkan
adalah dengan melakukan penyandian pada informasi tersebut dahulu menjadi kode yang
tidak terbaca (dipahami). Dengan demikian, bila ada pihak ketiga yang mencuri informasi
tersebut akan kesulitan dalam menterjemahkan isi dari informasi tersebut yang sebenarnya
karena yang diperoleh adalah informasi tidak terbaca. Tehnik tersebut secara umum disebut kriptografi. Salah satu teknik kriptografi klasik yang dikenal adalah sandi Affine. Sandi Affine
merupakan perluasan dari sandi geser (Caesar). Namun, menurut Rosen (2005) kunci sandi
Affine sangat mudah dipecahkan menggunakan analisis frekwensi.
Berdasarkan konsep diatas, peneliti terinspirasi memodifikasi sandi Affinemenggunakan
struktur label pelabelan anti ajaib graf yg selanjutnya akan disebut Sistem Kriptografi
Pelabelan Graf-Affine (SK-PGA). Kemudian sandi SK-PGA akan diimplementasikan dalam
pembuatan program (software) untuk mengamankan proses pengiriman informasi (data atau
file) melalui server FTP.
LANDASAN TEORI
Definisi Pelabelan Graf Total
Graf didefinisikan sebagai suatu sistem yang terdiri atas dua
himpunan, yaitu himpunan tak kosong dan berhingga yang elemennya disebut titik dan
himpunan (mungkin kosong) . Setiap elemen di
disebut sisi. Untuk menyederhanakan penulisan, sisi ditulis .
Pelabelan total sisi anti ajaib super (TSAAS) pada graf dengan banyak titik dan banyak
sisi adalah fungsi bijektif dari himpunan titik dan sisi pada graf ke himpunan bilangan
asli , di mana semua bobot sisi , , membentuk himpunan bobot sisi berupa barisan
aritmatika dengan suku terkecil dan beda , selanjutnya
dinotasikan dengan .
Strategi Pengamanan Data pada Server Komputer sebagai Implementasi Aplikasi Pelabelan…
73
Graf roda adalah graf yang dibentuk dari graf siklus dengan titik dan menambahkan
satu titik baru yang dihubungkan ke semua titik dalam siklus tersebut, dinotasikan dengan
. Notasi menyatakan graf roda dengan titik dan sebagai pusat serta sebagai
siklus luar yang mengelilingi pusat yaitu . Graf -rangkap graf roda,
dilambangkan dengan , adalah graf yang graf yang diperoleh dengan mengambil t-
rangkap dari graf roda dan menghubungkan setiap pusat roda sedemikian sehingga
semua titik pusatnya membentuk lintasan . Berikut adalah gambar untuk contoh graf .
Struktur pelabelan dari graf secara umum akan digunakan untuk memodifikasi kunci
sandi Affine.
Sandi Affine
Sandi Affine merupakan sandi yang bekerja secara substitusi. Pada sandi Affine terdapat
karakter (huruf, angka dan notasi lainnya) sebanyak m positifdan karakter tersebut
diasosiasikan dalam angkadengan rentang ; yang umumnya dalam
implementasi pemrograman komputer berkorespondensi dengan banyaknya kode ASCII.
Adapun formula enkripsi sandi Affine berupa . Kemudian
dekripsinya menggunakan formula , dimana konstanta
sebarang yang diambil dalam rentang demikian juga untuk konstanta .
Namun dengan tambahan sifat coprime terhadap sehingga dijamin memiliki invers
perkalian, dengan notasi . Namun kunci sandi Affine sangat mudah dipecahkan
menggunakan analisis frekuensi Rosen (2005). Oleh karena itu, kunci sandi Affine akan
dimodifikasi menggunakan struktur label dari pelabelan total sisi anti ajaib super (TSAAS) -rangkap graf roda.
METODOLOGI PENELITIAN
Mengkonstruksi Graf
a. Menentukan graf apa saja yang akan dikonstruksi pelabelannya.
b. Melabeli graf yang sudah ditentukan dengan banyak titik dan banyak sisi memenuhi
fungsi bijektif dari himpunan titik dan sisi pada graf ke himpunan bilangan asli , di mana semua bobot sisi , = + + , membentuk himpunan bobot sisi
berupa barisan aritmatika dengan suku terkecil dan beda , selanjutnya dinotasikan dengan – TSAAS.
Memodifikasi Sandi Affine
Kunci sandi Affine dapat dimodfikasi pada konstanta , variasi kunci diambil dari
struktur label titik dan sisi dari pelabelan -TSAAS pada lintasan yang menghubungkan
semua titik pusat roda dalam graf . Dengan demikian, formula enkripsi dalam sandi
Affine menjadi . Sedangkan formula dekripsinya
menggunakan persamaan , dimana : karakter hasil
enkripsi dari x, : karakter yang akan dienkripsi, label titik atau sisi pada lintasan
graf , : bilangan bulat, biasanya banyaknya kode ASCII, dan : invers perkalian
dari dalam modulus .
Nur Inayah dan Muhaza Liebenlito
74
Selanjutnya hasil modifikasi ini disebut Sistem Kriptografi Pelabelan Graf-Affine dan
dinotasikan dengan SK-PGA.
Implementasi Aplikasi Pelabelan Anti Ajaib dengan Memodifikasi Sandi Affine
Pada tahap pembuatan aplikasi (software) FTP dengan menerapkan algoritma SK PGA,
kode ASCII yang digunakan adalah 8-bit, yaitu “m = 256” karakter. Adapun proses
pengerjaannya mengikuti diagram alir dan pseudocode berikut ini.
A. Algoritma Enkripsi-Deskripsi SK-PGA
Langkah-langkah enkripsi dan dekripsi merupakan elemen penting dalam arsitektur
perangkat lunak yang akan dibuat. Dengan kata lain, mesin utama dalam program (sofware)
ini adalah teknik penyandian SK-PGA. Adapun langkah – langkah proses enkripsi-dekripsi
SK-PGA sebagai berikut:
Langkah-langkah proses enkripsi sebagai berikut:
1. Mulai
2. Hitung banyaknya karakter (panjang teks) pada plainteks dalam suatu file yang akan di
enkripsi, misalkan . 3. Pilih bilangan asli genap sebarang.
4. Buat graf yang bersesuaian dengan panjang teks. Apabila banyaknya karakter genap
maka bentuk graf
, sebaliknya jika ganjil maka digunakan
.
5. Buat label titik dan sisi pada lintasan dalam graf menggunakan persamaan
dan
,
untuk t genap.
dan
,
untuk t ganjil.
6. Ubah plainteks sesuai dengan decimal ASCII dalam 256 karakter
7. Enkripsikan secara berurutan setiap karakter dalam plainteks menggunakan rumus
8. Tulis hasil enkripsi dalam karakter berupa cipherteks, yaitu 9. Selesai.
Proses dekripsi adalah komponen yang berfungsi mengembalikan cipherteks menjadi
plainteks. Langkah-langkah dekripsi SK-PGA sebagai berikut:
1. Mulai
2. Hitung panjang cipherteks (file terenkripsi), misalkan 3. Ambil bilangan asli genap sebarang yang sesuai dalam proses enkripsi.
4. Buat graf yang bersesuaian dengan panjang cipherteks. Apabila banyaknya karakter
genap maka bentuk graf
, sebaliknya jika ganjil maka digunakan
5. Buat label titik dan sisi pada lintasan graf menggunakan persamaan
dan
,
untuk t genap.
Strategi Pengamanan Data pada Server Komputer sebagai Implementasi Aplikasi Pelabelan…
75
Selanjutnya,
dan
,
untuk ganjil.
6. Hitung hasil dekripsi menggunakan rumus , dan
tulis hasil hitungan dalam decimal ASCII 256 karakter yang bersesuaian.
7. Ubah decimal ASCII yang diperoleh dalam langkah 5 menjadi karakter biasa, yaitu
plainteks . 8. Selesai.
B. Program Pengamanan FTP Menggunakan SK-PGA
Algoritma SK-PGA di atas, selanjutnya diimplementasikan dalam program (software)
untuk mengamankan data dalam proses transfer melalui FTP server. Program ini
menggunakan referensi kode ASCII dalam 8-bit, yaitu 256 karakter. Program ini bekerja
masih terbatas pada file yang berektensi txt. Alur kerja program yang dihasilkan dijelaskan
dalam sub-sub berikut:
a. Konektivitas Client dengan Server
Pada proses awal, program akan meminta proses handshacking antara client dan
server. Pada langkah ini FTP server dijalankan dengan membuat username, password dan
file direktori pada server yang akan diaktifkan dan digunakan untuk berhubungan dengan
server dan client.
b. Proses Enkripsi, Unggah dan Unduh
Proses enkripsi dijalankan dengan mengambil file (sebagai plainteks) yang berekstensi
txt. File-file yang sudah terenkripsi selanjutnya disimpan. Pada proses enkripsi ini
dilakukan oleh pihak server sekaligus mengunggahnya ke folder untuk dibagikan agar
bisa diunduh oleh pihak client.
c. Proses Deskripsi
Pada dasarnya proses ini sama dengan proses enkripsi. Semua data terenkripsi yang
sudah diunduh dapat diperbaiki langsung oleh client. Cara memperbaikinya adalah dengan
membuka dan mendekripsi file tersebut. Setelah itu, file yang sudah diperbaiki tersebut
dapat disimpan kembali dalam komputer client.
d. Pengujian Program
Pengujian hasil penelitian ini menggunakan program Sniffer yang sudah sangat
dikenal, yaitu Wireshark. Pihak penyerang masuk ke dalam jaringan, kemudian membuka
toolswireshark untuk melihat lalu-lintas (traffic) yang sedang berjalan. Setelah itu
penyerang menentukan target mana yang akan di poisoning dengan memilih ip address.
Traffic yang sedang berjalan tersebut difiltering sehingga dapat dilihat, dibaca dan diambil
oleh penyerang (Sniffer). Karena semua file tersebut dienkripsi dengan teknik SK-PGA
maka walaupun file dapat ambil oleh Sniffer tetapi semuanya sudah tidak terbaca. File
yang didapatkan sudah rusuk seperti yang diperlihatkan dalam gambar berikut.
Nur Inayah dan Muhaza Liebenlito
76
HASIL DAN PEMBAHASAN
Modifikasi Sandi Affine
Sandi Affine dapat dimodifikasi pada konstanta b, variasi b dapat diambil dari struktur
label titik dan sisi pada pelabelan TSAAS dari lintasan yang menghubungkan graf roda dalam
graf . Dengan demikian, formula enkripsi dalam sandi Affine menjadi:
.
Sedangkan formula dekripsinya menjadi:
dimana : karakter hasil enkripsi dari , : karakter yang akan dienkripsi, :
struktur label titik dan sisi pada lintasan graf , : bilangan bulat, biasanya banyaknya
kode ASCII, : invers perkalian dari a dalam modulus m.
Contoh Cara Kerja SK-PGA:
Misalkan suatu file berisi kata “KRIPTOGRAFI” akan di enkripsi menggunakan
modifikasi SK-PGA. Langkah yang perlu dilakukan yaitu dengan menghitung panjang
karakter. Karena kata KRIPTOGRAFI memiliki 11 karakter, maka jumlah roda dalam
struktur pelabelan dibuat sebanyak 6 rangkap. Selanjutnya dari struktur pelabelan graf pada
Gambar 2, masing-masing label titik dan label sisi dari lintasan pada 6 rangkap graf
mewakili nilai pada setiap entri karakter kata KRIPTOGRAFI. Adapun proses enkripsi
untuk KRIPTOGRAFI menjadi ciphertext dengan mengambil contoh spasi bernilai 0, awal
abjad yaitu huruf “A” bernilai 1, huruf kedua “B” bernilai 2, dan seterusnya hingga huruf
terakhir dalam abjad yaitu huruf “Z” bernilai 26. Selanjutnya, ambil nilai yang coprime
dengan m, dimana m merupakan banyak karakter (termasuk spasi) yaitu 27 sehingga invers
dari adalah . Kemudian dari Gambar 2 untuk nilai label titik pusat dari lintasan graf
secara berurutan adalah
dan nilai label sisi lintasan yang menghubungkan graf
masing-masing yaitu
.
Proses diatas dilakukan secara berulang untuk menghitung ciphertext dari tiap-tiap huruf pada
kata KRIPTOGRAFI adalah NT...
Selanjutnya untuk proses dekripsi atau disebut juga proses pengembalian ciphertext
menjadi plaintext semula adalah sebagai berikut:
.
Strategi Pengamanan Data pada Server Komputer sebagai Implementasi Aplikasi Pelabelan…
77
.
Proses dekripsi diatas dilakukan secara berulang menggunakan formula yang sama pada
setiap entri karakter enkripsi dengan menggunakan nilai yang merupakan invers
dari nilai a. Perhitungan tersebut di atas jika diteruskan memberikan hasil plaintext semula
yaitu KRIPTOGRAFI.
Rangkaian Performansi GUI Program
Pada bagian ini algoritma SK-PGdiimplementasikan dalam program (software) untuk
koneksi FTP. Dalam program tersebut, digunakan referensi banyaknya karakter adalah kode
ASCII dalam 8-bit, yaitu 256. Alur kerja program yang dihasilkan mengacu pada deskripsi
berikut.
Konektivitas Client dengan Server
Langkah awal yang dilakukan yaitu file server dijalankan dengan membuat username,
password dan file direktori server yang akan diaktifkan dan digunakan untuk dihubungkan
dengan client. Setelah FTP server telah di aktifkan, selanjutnya tiba saatnya bagi FTP client
untuk melakukan koneksi dengan FTP server menggunakan alamat ip/host, username,
password dan port yang sebelumnya telah di buat oleh FTP server untuk client. Untuk lebih
jelasnya dapat dilihat pada Gambar dibawah ini.
Gambar 6: Koneksi Server dan Client Telah Dijalankan
Untuk penerimaan koneksi dari client oleh server dapat dilihat pada status bar koneksi to FTP
server.
Nur Inayah dan Muhaza Liebenlito
78
Proses Enkripsi File
Langkah pertama yang harus dilakukan untuk menjalankan proses enkripsi yaitu dengan
mengambil file plaintext berekstensi .txt.
Gambar 7. File Plaintext
Setelah file plaintext terbuka pada aplikasi, selanjutnya dilakukan proses enkripsi file
dengan menekan tombol encrypt yang telah menggunakan aplikasi keamanan Affine dan
pelabelan TSAAS dari t-rangkap graf roda, maka dapat dihasilkan sebuah file ciphertext.
Hasil dari enkripsi adalah sebagai berikut:
Gambar 8. File Ciphertext
File ciphertext pada Gambar 8 selanjutnya disimpan dengan menekan tombol save file
encrypt. Pada proses enkripsi ini pihak server sebagai penyedian file-file yang akan di
Strategi Pengamanan Data pada Server Komputer sebagai Implementasi Aplikasi Pelabelan…
79
download oleh client maupun pihak client sebagai pengguna untuk melakukan proses upload
pada direktori server telah melakukan pengamanan sebelumnya dengan melakukan enkripsi
pada file-file tersebut.
Proses Upload File
Sebelum proses ini berjalan, terlebih dahulu melakukan handshacking antara client dan
server. Setelah client dan server terhubung maka proses selanjutnya adalah pemilihan file
yang sebelumnya telah dilakukan proses enkripsi dan kemudian file tersebut akan di upload
pada direktori server. Berikut adalah proses upload file.
Gambar 9: Proses File yang telah di upload
Setelah proses pemilihan file selesai, maka selanjunya file dengan nama coba Enk.txt
tersebut di upload oleh client ke dalam direktori server. Terlihat pada Gambar 9 muncul
message box menunjukkan bahwa proses upload telah sukses dilakukan oleh pihak client dan
file tersebut secara otomatis akan tersimpan pada direktori server.
Proses Download File
Proses download pada tahap ini adalah proses pengambilan file oleh client dari direktori
server yang sebelumnya file-file tersebut telah disediakan dan sudah terenkripsi. Setelah
aplikasi menampilkan file direktori FTP server yang berisi kumpulan file, client dapat
langsung memilih file-file mana saja yang akan di download. Untuk prosesnya, client dapat
meng-klik kanan pada file yang di inginkan, file tersebut secara otomatis akan ter-download.
Apabila proses tersebut berhasil aplikasi akan menampikan pesan pada status bar koneksi to
FTP server bahwa proses download file telah sukses dilakukan.
Proses Dekripsi File
Pada proses ini, langkah – langkahnya sama seperti pada proses enkripsi. Pengembalian
file ciphertext dilakukan pada tahap ini. Setelah client mendownload file dari server, tiba
saatnya client membuka file tersebut dan melakukan proses dekripsi. Setelah file ciphertext
Nur Inayah dan Muhaza Liebenlito
80
telah terbuka, selanjutnya dengan menekan tombol decrypt, file tersebut akan dikembalikan
ke file plaintext semula.
Proses Pengujian Program
Pengujian dilakukan dalam dua tahap, yaitu tahap pertama menguji program yang tidak
menggunakan aplikasi pengamanan dengan sandi pelabelan graf roda dan tahap kedua
menguji program yang menggunakan aplikasi keamanan.
1. Pengujian Tanpa Aplikasi Keamanan
Pihak penyerang masuk kedalam jaringan, kemudian membuka tools wireshark untuk
melihat traffic yang sedang berjalan. Setelah itu penyerang menentukan target mana yang
akan di poisoning dengan memilih ip address. Trafik yang sedang berjalan tersebut di
filtering dan kita lihat apakah paket yang lewat dapat terbaca oleh penyerang (Sniffer).
Hasil dari seluruh aktivitas TCP (Transfer control protocol) dimana file asli tanpa
menggunakan aplikasi keamanan dapat dibuka dan diambil oleh penyerang pada saat
terjadi proses upload maupun download antar client dan server.
2. Pengujian Dengan Menggunakan Aplikasi Keamanan sandi pelabelan graf roda
Untuk menguji program menggunakan aplikasi keamanan, langkah-langkah yang
dilakukan sama seperti menguji program tanpa aplikasi kemanan. Pada saat penyerang
membuka tools wireshark, penyerang akan men-filtering trafik yang sedang berjalan.
Setelah penyerang melihat paket TCP, maka penyerang akan meng-klik kanan pada salah
satu paket TCP, lalu memilih menu follow TCP stream. Hasil dari seluruh aktivitas TCP
yang telah dipoisoning dapat dilihat pada Gambar 10.
Dari Gambar 10 terlihat bahwa penyerang mendapatkan file pada saat terjadi proses
upload maupun download, namun file tersebut telah aman karena sebelumnya sudah
dilakukan proses enkripsi file. Dengan demikian penyerang tidak dapat membaca isi asli
dari file transfer.
Analisis Performansi Program
Kecepatan enkripsi dan dekripsi menggunakan aplikasi ini cukup baik, dengan file
enkripsi yang dapat dijamin keamanannya. Aplikasi ini juga tidak terbatas peggunaannya
pada satu client namun telah di uji bahwa aplikasi ini dapat digunakan oleh beberapa client
saat melakukakan proses upload maupun download. Adapun proses download dan upload file
pada program ini dapat di lakukan juga oleh pihak server sebagai pusat penyimpanan data.
Konektivitas yang digunakan untuk melakukan login maupun proses transfer file pada
aplikasi ini yaitu menggunakan jaringan WIFI (Wireless Fidenity).
Strategi Pengamanan Data pada Server Komputer sebagai Implementasi Aplikasi Pelabelan…
81
Gambar 10: Aktivitas TCP Dengan Aplikasi Keamanan
KESIMPULAN DAN SARAN
Kesimpulan
Berdasarkan hasil penelitian yang telah dilakukan, maka dapat disimpulkan bahwa:
1. Didapat teknik SK-PG menggunakan rumus berikut ini:
Rumus Enkripsi
Rumus Dekripsi
2. Teknik SK-PG dapat di implementasikan untuk pengamanan data pada saat transfer file
dalam server FTP.
Saran
Untuk penelitian selanjutnya dapat dikembangkan dengan menambah objek enkripsi
berextensi lain untuk memperoleh teknik enkripsi file yang lebih, misalkan dengan
menambahkan file berextensi doc, pdf, mp3 dan jpg.
REFERENSI
Buku
[1] Ba a, M. dan Holl nder, I. (1998), ‘On (a,d)-antimagic prisms’, Ars Combin 48, 297–306.
Nur Inayah dan Muhaza Liebenlito
82
[2] Ba a, M., Y Lin, M. M. dan Simanjuntak, R. (2001), ‘New constructions of magic and
antimagic graph labelings’, Utilitas Math 60, 229–239.
[3] Bodendiek, R. dan Walther, G. (1995), ‘On number theoretical methods in graph
labelings’, Res. Exp. Math. 21, 3–25.
[4] Chartrand, G. dan Lesniak, L. (2004), Graphs and Digraphs, Boca Raton, Florida
33431.
[5] Hartsfield, N. dan Ringel, G. (1990), Pearls in Graph Teory, Academic Press, San
Diego.
[6] Kotzig, A. dan Rosa, A. (1970), ‘Magic valuations of finite graph’, Canada Mathe-
matics Bulletin 13, 451–461.
[7] Liang, Z. (2012), ‘Cycle-supemagic decompositions of complete multipartite graphs’,
Discrete Mathematics 312, 3342–3348.
[8] Llad , A., Inayah, N. dan Moragas, J. (2012), ‘Magic and antimagic H-decompositions’, Discrete Mathematics 312, 1367–1371.
[9] Llad , A. dan Moragas, J. (2007), ‘Cycle-magic graphs’, Discrete Mathematics 13, 2925–2933.
[10] MacDougall, J., Miller, M., Slamin dan Wallis, W. D. (2002), ‘Vertex-magic total
labeling’, Utilitas Mathematics 61, 3–21.
[11] Maryati, T., Salman, A. dan Baskoro, E. (2013), ‘Supermagic coverings of the union
graphs and amalgamations’, Discrete Mathematics313, 397–405.
[12] Maryati, T., Salman, A., Baskoro, E., Ryan, J. dan Miller, M. (2010), ‘On H-supermagic
labelings for certain shackles and amalgamations of a connected graph’, Utilitas
Mathematica 83, 333–342.
[13] Ngurah, A., Baskoro, E. dan Simanjuntak, R. (2007), ‘On the new families of (super)
edge-magic graphs’, Utilitas Mathematics 74, 111–120.
[14] Ngurah, A., Salman, A. dan Susilowati, L. (2010), ‘H-supermagic labelings of graphs’,
Discrete Mathematics 310(8), 1293–1300.
[15] Salman, A., Ngurah, A. dan Izzati, N. (2010), ‘On (super)-edge-magic total labelings of
subdivision of stars ’, Utilitas Mathematics 81, 275–284.
[16] Sedl k, J. (1963), ‘Problem 27 in theory of graphs and its applications’, Proceeding
of the Symposium held in Smolenice Praha 163, 163–167.
[17] Simanjuntak, R., Miller, M. dan Bertault, F. (2000), ‘Two new (a; d)-antimagic graph
labelings’, Proceeding of the Eleventh Australasian Workshop of Combinatorial
Algorithm (AWOCA) 179–189.
[18] Stewart, B. M. (1967), ‘Super complete graph’, Canadian J. Math 19, 427–438.
Jurnal
[19] Guti rrez, A. dan Llad , A. (2005), ‘Magic coverings’, The Journal of Combina-torial Mathematics and Combinatorial Computing 55, 43–56.
[20] Maryati, T., Baskoro, E. T. dan Salman, A. (2008), ‘ -super magic labelings of some trees’, The Journal of Combinatorial Mathematics andCombinatorial Computing 65,
197–204.
[21] Ngurah, A., Salman, A. dan Sudarsana, I. (2010), ‘On supermagic coverings of fans and
ladders’, SUT Journal of Mathematics 46(1), 67–78.
.
Jurnal Matematika “L O G ! K @” ISSN 1978 – 8568
Volume 6, Nomor 1, Januari 2016
FORMAT PENULISAN NASKAH
JUDUL Huruf kapital Time New Roman 14 untuk semua kata
Untuk tulisan bahasa Indonesia maksimal 14 kata. Untuk tulisan bahasa Inggris maksimal 10 kata
Nama Penulis Tanpa Gelar
Awal kata huruf kapital dan tebal Afiliasi penulis dilengkapi dengan alamat Instansi dan email ketik di catatan kaki
Jika penulis terdiri dari 2 orang atau lebih, yang dicantumkan di bawah judul artikel adalah, nama penulis utama; nama penulis-penulis lainnya
Contoh : Bulan Oktrima1 dan Nur Inayah2
Abstract: Dalam Bahasa Inggris, maksimum 100 kata, berisi tujuan, metode, hasil pemikiran atau penelitian. Key Word: Dalam Bahasa Inggris, minimal 3 kata kunci, maksimal 5 kata kunci, istilah huruf miring dan huruf awal kata kapital. Contoh: Point Space, Edge Space, Complex Field, Basis, Dimension. SISTEMATIKA 1. Hasil Pemikiran
PENDAHULUAN (10%)
Berisi latar belakang dan tujuan atau ruang lingkup tulisan
BAHASAN UTAMA (80%) Dapat dibagi ke dalam beberapa sub-bagian Judul bagian (huruf kapital setiap kata, tebal dan font 12 ) Judul sub-bagian (huruf awal kapital setiap kata, tebal dan font 12) Judul bagian dan judul sub-bagian jenis huruf yang berbeda KESIMPULAN DAN SARAN (10%) REFERENSI
.
2. Hasil Penelitian
PENDAHULUAN (10%)
Berisi latar belakang dan tujuan atau ruang lingkup tulisan
LANDASAN TEORI (25%) Dapat dibagi ke dalam beberapa sub-bagian
Judul bagian (huruf kapital setiap kata, tebal dan font 12)
Judul sub-bagian (huruf awal kapital setiap kata, tebal dan font 12)
Judul bagian dan judul sub-bagian jenis huruf yang berbeda
METODOLOGI (10%)
HASIL DAN PEMBAHASAN (45%)
KESIMPULAN DAN SARAN (10%)
REFERENSI
FORMAT UMUM
Hal terpenting mengenai format penulisan adalah konsistensi dari elemen dalam setiap
jurnal matematika. LOGIK@ menetapkan aturan penulisan paper ditulis berkolom tunggal
dengan MS Word pada format kertas A4 dengan margin atas 4 cm, margin kiri 3 cm, kanan 2
cm, dan bawah 3 cm. Font yang digunakan adalah Times New Roman untuk semua bagian
paper, termasuk variabel pada persamaan (kecuali simbol).
REFERENSI
a. Perujukan dan pengutipan menggunakan aturan IEEE.
b. Referensi diberi nomer dengan urutan sesuai dengan munculnya rujukan pada paper dan
bukannya urutan abjad nama pengarang.
c. Setiap nomer diawali dan akhiri oleh kurung siku, dengan sebelumnya dipisahkan dengan
spasi: “…akhir dari kalimat [12].”
d. Menyebutkan nama pengarang tidak diperlukan, kecuali hal tersebut relevan dengan
teks/kalimat. Tidak perlu menyebutkan tanggal referensi dalam teks.
e. Tidak perlu untuk mengatakan “…dalam referensi [27]”, tapi cukup “…dalam [27]”.
f. Referensi ganda dituliskan dalam bentuk [1] [3] [5] dan bukannya [1, 3, 5].
g. Seluruh nama pengarang harus disebutkan dalam daftar referensi, kecuali saat nama
pengarang lebih dari enam (dituliskan dengan et al. setelah nama pertama).
h. Setiap kata (penting) dalam judul buku diawali dengan huruf capital.
i. Setiap kata (penting) dalam judul jurnal atau conference diawali dengan huruf capital.
j. Nama jurnal tidak disingkat kecuali merupakan singkatan yang memang sudah umum.
k. Untuk mengindikasikan range halaman: pp. 111-222, namun jika hanya satu halaman
dituliskan p:p.111.
l. Untuk memperjelas, berikut adalah berbagai contoh pereferensian IEEE.
.
Buku [1] S. M. Hemmingsen, Soft Science. Saskatoon: University of Saskatchewan Press, 1997.
[2] A. Rezi and M. Allam, "Techniques in array processing by means of trans-formations," in
Control and Dynamic Systems, Vol. 69, Multidimensional Systems, C. T. Leondes, Ed.
San Diego: Academic Press, 1995, pp. 133-180.
[3] D. Sarunyagate, Ed., Lasers. New York: McGraw-Hill, 1996.
Periodicals
[4] G. Liu, K. Y. Lee, and H. F. Jordan, "TDM and TWDM de Bruijn networks and hufflenets
for optical communications," IEEE Transactions on Computers, vol. 46, pp. 695-701,
June 1997.
[5] J. R. Beveridge and E. M. Riseman, "How easy is matching 2D line models using local
search?" IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, vol. 19,
pp. 564-579, June 1997.
Artikel dari konferensi terpublikasi (prosiding)
[6] N. Osifchin and G. Vau, "Power considerations for the modernization of ecommunications
in Central and Eastern European and former Soviet Union (CEE/FSU) countries," in
Second International Telecommunications Energy Special Conference, 1997, pp. 9-16.
[7] S. Al Kuran, "The prospects for GaAs MESFET technology in dc-ac voltage conversion,"
in Proceedings of the Fourth Annual Portable Design Conference, 1997, pp. 137-142.
Skripsi atau Desertasi
[8] H. Zhang, "Delay-insensitive networks," M.S. thesis, University of Waterloo, Waterloo,
ON, Canada, 1997.
Manual
[9] Bell Telephone Laboratories Technical Staff, Transmission System for Communications,
Bell Telephone Laboratories, 1995.
Catatan Kuliah
[10] "Signal integrity and interconnects for high-speed applications," class notes for ECE
497-JS, Department of Electrical and Computer Engineering, University of Illinois at
Urbana-Champaign, Winter 1997.
Hasil Wawancara
[11] T. I. Wein (private communication), 1997.
Internet
[12] Computational, Optical, and Discharge Physics Group, University of Illinois at Urbana-
Champaign, "Hybrid plasma equipment model: Inductively coupled plasma reactive
on ching reactors," December 1995, http://uigelz.ece.uiuc.edu/Projects/HPEM-
ICP/index.html.
[13] D. Poelman ([email protected]), "Re: Question on transformerless power
supply," Usenet post to sci.electronics.design, July 4, 1997.
Untuk informasi lebih lengkap, penulis dapat mengacu pada halaman website berikut:
http://standards.ieee.org/guides/style/
.
ADMINISTRASI
Sebagai prasyarat bagi pemrosesan artikel, para penyumbang artikel wajib menjadi pelanggan
minimal selama satu tahun.
Penulis yang artikelnya dimuat wajib membayar kontribusi biaya cetak sebesar Rp150.000,00
(tiga ratus ribu rupiah) perjudul.
Sebagai imbalannya, penulis menerima nomor bukti pemuatan sebanyak 2 (dua) eksemplar
dan cetak lepas sebanyak 2 (dua) eksemplar.
Artikel yang tidak dimuat tidak akan dikembalikan, kecuali atas permintaan penulis.