Download - KALKMA1102BAG8
Koko Martono – FMIPA - ITB
001
Integral dengan Penggantian dan Integral Parsial Aturan Penggantian Integral tak Tentu Jika g terdiferensialkan dan F suatu anti-turunan dari f, maka ( ) ( )( ) ( ) ( )f g x g x dx F g x C= +¢Ú . Aturan Integral Parsial Jika u dan v terdiferensialkan pada selang I, maka u dv uv v du= -Ú Ú .
Rumus Teknis Integral Fungsi Elementer
1 , 1,
ln| | , 1
r
rur C r
u dr ru C r
+Ï + π -Ô= ŒÌÔ + = -Ó
Ú (untuk u > 0 dapat diperluas ke )rŒ
u ue du e C= +Ú
sin cosu du u C= - +Ú , cos sinu du u C= +Ú , tan ln | sec |u du u C= +Úcot ln | sin |u du u C= +Ú , 2sec tanu du u C= +Ú ,
2csc cotu du u C= - +Úsec tan secu u du u C= +Ú , csc cot cscu u du u C= - +Ú
2 2
1sindu uaa u
C-
-= +Ú , 2 2
11 tandu ua aa u
C-+
= +Ú , a > 0
2 21 11 | | 1
| |sec cosdu u aa a a uu u a
C C- -
-= + = +Ú , a > 0
sinh coshu du u C= +Ú , cosh sinhu du u C= +Ú
TEKINT 002
Aneka Ragam Contoh Aplikasi Integral dengan Penggantian
( 1) 1 ( 1)1 1 1 ln| 1| .x d xx dx
x x xdx dx x x C+ - ++ + += = - = - + +Ú Ú Ú Ú
( 1)( 1) 12 2ln 1 .( )d xdx dx
x x x x x x C++ + += = = + +Ú Ú Ú
(1 ) (1 )1 1 1
ln (1 ) .x x x
x x xxe e d edx
e e edx dx x e C+ - +
+ + += = - = - + +Ú Ú Ú Ú
Cara lain ( 1)1 1 1
ln ( 1) .xx
x x xxd edx e dx
e e ee C
--
- --+
+ + += = - = - + +Ú Ú Ú
2
4 2 21 2( )1 1
2 21 1 ( )tan .d xx dx
x xx C-
+ += = +Ú Ú
( )2 2 21( ) 1 1
2 24 2 ( )tan .
xx
x xxd ee dx
e ee C-
+ += = +Ú Ú
2 2 2 2
1( 2) ( 2) 224 4 ( 2) 2 ( 2)
sin .d x d xdx xx x x x
C-- - -- - - - -
= = = +Ú Ú Ú
2
2 2 2 2( 2 2) 2 ( 2 )1
22 2 2 2 2x d x xx dx dx
x x x x x x x xdx- - + - -
- - - - - - - -= - = - -Ú Ú Ú Ú
2
2 22 1( 2 ) ( 1)
2 2 1 ( 1)2 sin ( 1) .d x x d x
x x xx x x C-- - +
- - - += - - = - - - - + +Ú Ú
2 2 21( 1) 1 1
2 22 5 2 ( 1)tan .d xdx x
x x xC-+ +
+ + + += = +Ú Ú
2 2 2 2 2( 2) (2 4) (2 4 8) (2 4)1 1 1
2 2 24 5 4 5 4 5 4 5 4 54x dx x dx x dx x dx dx
x x x x x x x x x x+ + - + -- + - + - + - + - +
= = = +Ú Ú Ú Ú Ú 2
2 22 1( 4 5) ( 2)1 1
2 24 5 1 ( 2)4 ln ( 4 5) 4 tan ( 2) .d x x d x
x x xx x x C-- + -
- + + -= + = - + + - +Ú Ú
sec (sec tan ) (sec tan )sec tan sec tansec ln|sec tan | .x x x dx d x x
x x x xxdx x x C+ ++ += = = + +Ú Ú Ú
csc (csc cot ) (csc cot )csc cot csc cotcsc ln|csc cot | .x x x dx d x x
x x x xx dx x x C- -- -= = = + +Ú Ú Ú
2 21( )2
1 1 ( )sech 2 2 2tan .
xx
x x x xxd edx e dx
e e e ex dx e C-
-+ + +
= = = = +Ú Ú Ú Ú
TEKINT 003
Aneka Ragam Contoh Aplikasi Integral Parsial
Untuk menghitung ln x dxÚ , misalkan u = ln x dan dv = dx , maka dxxdu =
dan v = x, sehingga integralnya adalah
ln ln ln (ln 1) .x dx x x dx x x x C x x C= - = - + = - +Ú Ú
Untuk menghitung 2lnx x dxÚ , misalkan u = ln x dan 2dv x dx= , maka
dxxdu = dan 31
3 ,v x= sehingga integralnya adalah 2 3 3 3 2 3 21 1 1 1 1 1
3 3 3 3 3 9ln ln ln ln .dxxx xdx x x x x x x dx x x x C= - = - = - +Ú Ú Ú
Untuk menghitung 2ln (1 )x dx+Ú , misalkan 2ln (1 )u x= + dan dv = dx ,
maka 221
x dxx
du+
= dan dan v = x, sehingga integralnya adalah
22
2 2
2
2 2 2
2 2 1
(1 ) 11 1
1
ln (1 ) ln (1 ) 2 ln (1 ) 2
ln (1 ) 2 2 ln (1 ) 2 2 tan .
xx dxx x
dxx
x dx x x x x dx
x x dx x x x x C-
+ -+ +
+
+ = + - = + -
= + - + = + - + +
Ú Ú ÚÚ Ú
Aturan Integral Parsial u dv + du v - vÚ diferensial integral
Hitunglah 1 20
xx e dxÚ . x2 e
x
2x e
x
2 e
x
e
x
( )11 2 20 0
2 2 2x x x xx e dx x e xe e e\ = - + = -Ú .
Untuk menghitung 1sin x dx-Ú , misalkan 1sinu x-= dan dv = dx , maka
21dx
xdu
-= dan v = x, sehingga integralnya adalah
2
2 21 1 1 1 2(1 )
1 2 1sin sin sin sin 1 .d xxdx
x xxdx x x x x x x x C- - - --
- -= - = + = + - +Ú Ú Ú
+ -
+
TEKINT 004
Aneka Ragam Contoh Integral Fungsi Trigonometri
3 2 2 313sin sin sin (1 cos ) (cos ) cos cos .x dx x x dx x d x x x C= =- - =- + +Ú Ú Ú
5 2 2 2 4cos (1 sin ) (cos ) (1 2sin sin ) (sin )x dx x x dx x x d x= - = - +Ú Ú Ú
3 52 13 5sin sin sin .x x x C= - + +
( )2 1 1 1 12 2 2 4cos cos2 sin 2 .x dx x dx x x C= + = + +Ú Ú
( ) ( )( )24 1 1 1 1 1 1 12 2 4 2 4 2 2sin cos2 cos2 cos4x dx x dx x x dx= - = - + +Ú Ú Ú
1 1 1 1 3 1 14 4 8 32 8 4 32sin2 sin4 sin2 sin4 .x x x x C x x x C= - + + + = - + +
3 2 2
4 4 4 3sin sin 1 cos 1 1
coscos cos cos 3cossin (cos ) .x x x
xx x x xdx x dx d x C-= = - = - +Ú Ú Ú
2 4 18sin cos (1 cos2 )(1 cos2 )(1 cos2 )x x dx x x x dx= - + +Ú Ú
( ) ( )( )( )
2 2
3
1 1 1 1 18 8 2 2 2
1 1 1 18 2 8 6
sin 2 (1 cos2 ) cos4 sin 2 sin2
sin 4 sin 2 .
x x dx x dx x d x
x x x C
= + = - +
= - + +
Ú Ú Ú
1 1 12 10 2sin3 cos2 (sin5 sin ) cos5 cos .x x dx x x dx x x C= + = - - +Ú Ú
3 2tan tan (sec 1) tan (tan ) tanx dx x x dx x d x x dx= - = -Ú Ú Ú Ú 21
2 tan ln|sec | .x x C= - +
4 2 2 2 2cot cot (csc 1) cot (cot ) (csc 1)x dx x x dx x d x x dx= - = - - -Ú Ú Ú Ú 31
3cot cot .x x x C= - + + +
2 2
3 33 (cos )sin cos
cos cossec sin secd xx x
x xx dx dx x x dx+= = - +Ú Ú Ú Ú
21 sin 1 12 2 cos 2cos
sec (sec tan ln|sec tan |) .x dxxx
x dx x x x x C= - + = + + +Ú Ú
TEKINT 005
Penggantian trigonometri digunakan jika integran memuat bentuk akar 2 2 ,a x- 2 2 ,a x+ dan 2 2 ,x a- dengan a > 0.
Metodenya dapat diperluas untuk fungsi rasional yang penyebutnya me-muat bentuk 2 2 2 2 2 2, , dan ,a x a x a x- + + dengan a > 0.
Teknik penggantian trigonometri untuk perhitungan integralnya:
bentuk akar penggantian batasan untuk t penggantian dx
2 2a x- x = a sin t 1 12 2tp p- £ £ dx = a cos t dt
2 2a x+ x = a tan t 1 12 2tp p- < < 2secdx a t dt=
2 2x a- x = a sec t 120 ,t tp p£ £ π dx = a sec t tan t dt
Perubahan bentuk akar akibat penggantian: 2 2 2 2 2 2 2sin cos cosa x a a t a t a t- = - = = , 1 1
2 2tp p- £ £
2 2 2 2 2 2 2tan sec seca x a a t a t a t+ = + = = , 1 12 2tp p- < <
2 2 2 2 2 2 2sec tan tanx a a t a a t a t- = - = = ± , 120 ,t tp p£ £ π
Fungsi trigonometri lainnya dalam t dapat dinyatakan dalam x.
Penggantian x = a sin t: sin xat = dan
2 2cos a x
at -= .
Penggantian x = a tan t: 2 2
tansecsin t x
t a xt
+= = dan
2 2cos a
a xt
+= .
Penggantian x = a sec t: 2 2tan
secsin xt at xt ± -= = dan cos a
xt = .
TEKINT 006
Aneka Ragam Contoh Integral dengan Penggantian Trigonometri
Hitunglah integral tak tentu (a) 2
24x dx
x-Ú dan (b) 2
24 x dx
x-Ú .
(a) Daerah asal integrannya adalah (-2,2).
Gunakan penggantian x = 2 sin t, 1 12 2 ,tp p- < < maka dx = 2 cos t dt
dan 2 2 24 4 4sin 4cos 2cosx t t t- = - = = .
Akibatnya 12sin t x= dan 21
2cos 4 .t x= -
Jadi integralnya adalah 2 2
2
1 2
1 2
4sin 2cos2cos4
1 1 12 2 2
1 12 2
2 (1 cos2 ) 2 sin 2
2 2sin cos 2sin 2 4
2sin 4 .
x dx t t dttx
t dt t t C
t t t C x x x C
x x x C
-
-
◊-
= = - = - +
= - + = - ◊ ◊ - +
= - - +
Ú Ú Ú
(b) Daerah asal integrannya adalah [-2,2] - {0}.
Gunakan penggantian x = 2 sin t, 1 12 2tp p- £ £ dan t π 0, maka
dx = 2 cos t dt dan 2 2 24 4 4sin 4cos 2cosx t t t- = - = = .
Akibatnya 12sin t x= dan 21
2cos 4 .t x= -
Jadi integralnya adalah 2
2 2
2
2 2
2 1
1
4 2cos 2cos4sin
1sin
2 1 12 2
4 12
cot (csc 1)
cot cos
4 sin
sin .
x dx t t dtx t
t
x
xx
t dt t dt
t t C t t C
x x C
x C
-
-
- ◊
-
= = = -
= - - + = - - +
= - ◊ - - +
= - - +
Ú Ú Ú Ú
TEKINT 007
Hitunglah integral tak tentu (a) 216 x dx+Ú dan (b) 2 2(1 )dx
x x+Ú .
(a) Daerah asal integrannya adalah .
Gunakan penggantian x = 4 tan t, 1 12 2 ,tp p- < < maka 24secdx t dt=
dan 2 2 216 16 16tan 16sec 4secx t t t+ = + = = .
Akibatnya 14tan t x= dan 21
4sec 16 .t x= +
Dengan menggunakan 3 12sec (sec tan ln|sec tan |)t dt t t t t C= + + +Ú di-
peroleh integralnya adalah 2 2 3
1
2 21
2 2
1 1 1 14 4 4 4
12
16 4sec 4sec 16 sec
8(sec tan ln|sec tan |)
8 16 8ln 16
16 8ln 16 .( )| |
x dx t t dt t dt
t t t t C
x x x x C
x x x x C
+ = ◊ =
= + + +
= ◊ + ◊ + + + +
= + + + + +
Ú Ú Ú
(b) Daerah asal integrannya adalah {0}- .
Gunakan penggantian x = tan t, 1 12 2 ,tp p- < < maka 2secdx t dt= dan
2 2 2 2 2 2 4(1 ) (1 tan ) (sec ) secx t t t+ = + = = , sehingga 2sec 1 .t x= +
Akibatnya 2
tansec 1
sin t xt x
t+
= = .
Jadi integralnya adalah 2 2
2
2
2 2 4 2
2
22
sin 1cos cos
2
sec cos cossin(1 ) tan sec tan sec
(1 sin ) (sin ) (sin )sin sin
1 | |2 2(1 )1
sin (sin )
ln|sin | sin ln .
tt t
dx t dt dt dt t t dttx x t t t t
t d t d tt t
x xxx
t d t
t t C C
+ ◊ ◊ ◊
-
++
= = = =
= = -
= - + = - +
Ú Ú Ú Ú Ú
Ú Ú Ú
TEKINT 008
Hitunglah integral (a) 24
2
4xx dx-Ú dan (b)
3
2 4
x
xe dxe -Ú .
(a) Daerah asal integrannya adalah 2x ≥ atau 2x £ - yang memuat [2,4].
Gunakan penggantian x = 2 sec t, 120 ,t p£ < maka 2sec tandx t t dt=
dan 2 2 24 4sec 4 4 tan 2 tanx t t t- = - = = . Akibat penggantian ini,
2 sec 1 0x t t= fi = fi = dan 4 sec 2 /3x t t p= fi = fi = Jadi integralnya adalah
( )
24 /3 /3 22 0 0
/3 /3200
4 2tan2sec
13
2sec tan 2 tan
2 (sec 1) 2 tan 2( 3 ).
x tx tdx t t dt t dt
t dt t t
p p
p p p
- = ◊ =
= - = - = -
Ú Ú ÚÚ
(b) Daerah asal integrannya adalah ln 2x > . Gunakan dahulu penggantian xu e= dengan xdu e dx= , sehingga in-tegralnya menjadi
3 2 2
2 2 24 4 4
x x x
x xe dx e e dx u due e u
◊
- - -= =Ú Ú Ú .
Karena ln 2x > , maka 2xu e= > , sehingga integral dalam peubah u terdefinisi untuk 2u > . Gunakan penggantian u = 2 sec t, 1
20 ,t p£ <
maka 2sec tandu t t dt= dan 2 2 24 4sec 4 4tan 2tan .u t t t- = - = =
Akibatnya 1 12 2sec xt u e= = dan 2 21 1
2 2tan 4 4xt u e= - = - .
Jadi integralnya adalah 3 2 2
2 23
1
2 2
4sec 2sec tan2tan4 4
12
4 sec
2(sec tan ln|sec tan |)
4 2ln 4 .( )
x
x
x x x x
e dx u du t t t dtte u
t dt
t t t t C
e e e e C
◊- -
= = =
= + + +
= - + + - +
Ú Ú Ú Ú
TEKINT 009
Hitunglah integral tak tentu (a) 24x x dx-Ú dan (b) 2 3/ 2(1 9 )x dx-+Ú .
(a) Daerah asal integrannya adalah 0 4x£ £ . Integralnya dapat ditulis dalam bentuk
2 24 4 ( 2)x x dx x dx- = - -Ú Ú
Gunakan penggantian x - 2 = 2 sin t, 1 12 2 ,tp p- £ £ maka 2cosdx t dt=
dan 2 2 2 24 4 ( 2) 4 4sin 4cos 2cosx x x t t t- = - - = - = = .
Akibatnya 212cos 4 ,t x x= - 1
2sin ( 2)t x= - , dan 1 12sin ( 2)t x-= - .
Jadi integralnya adalah 2 2 2
1 21 12 2
4 4 ( 2) 2cos 2cos 4 cos
(2 2cos ) 2 sin 2 2 2sin cos
2sin ( 2) ( 2) 4 .
x x dx x dx t t dt t dt
t dt t t C t t t C
x x x x C-
- = - - = ◊ =
= + = + + = + +
= - + - - +
Ú Ú Ú ÚÚ
(b) Daerah asal integrannya adalah .
Gunakan penggantian 1 1 13 2 2tan , ,x t tp p= - < < maka 21
3 secdx t dt= dan
2 3/ 2 2 3/ 2 2 3/ 2 3(1 9 ) (1 tan ) (sec ) cosx t t t- - -+ = + = = .
Akibatnya tan 3t x= dan 2 1/ 2cos (1 9 )t x -= + , sehingga
22 1/ 2 3
1 9sin tan cos 3 (1 9 ) x
xt t t x x -
+= ◊ = + =
Jadi integralnya adalah
2 2
2 3/ 2 3 21 1 13 3 3
1 33 1 9 1 9
(1 9 ) cos sec cos sin
.x xx x
x dx t t dt t dt t C
C C
-
+ +
+ = ◊ = = +
= ◊ + = +
Ú Ú Ú
TEKINT 010
Fungsi rasional adalah ( )( )( ) P x
Q xf x = dengan P dan Q sukubanyak, Jika
derajat P ≥ derajat Q, maka fungsi f dapat ditulis dalam bentuk ( )( )( ) ( ) S x
Q xf x H x= + , H dan S sukubanyak dengan der S < der Q.
Berdasarkan teorema dasar aljabar, setiap sukubanyak dengan koefisien real dapat diuraikan atas faktor linear dan/atau kuadrat definit positif. Ilustrasi Untuk sebarang konstanta a berlaku
2 2 2 2 ( ) ( ) ( )( )x a x ax ax a x x a a x a x a x a- = + - - = + - + = + - 3 3 3 2 2 2 2 3 2 2( )( )x a x ax ax a x a x a x a x ax a- = - + - + - = - + + 4 4 2 2 2 2 2 2( )( ) ( )( )( )x a x a x a x a x a x a- = + - = + + - 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( 2 ) ( 2 )( 2 )x a x a ax x a ax x a ax+ = + - = + + + -
Untuk menghitung ( )( )( ) ( ) S x
Q xf x dx H x dx dx= +Ú Ú Ú , uraikan sukubanyak
Q atas faktor linear dan/atau kuadrat definit positif dan buatlah dekom-posisi untuk ( )
( )S xQ x menjadi pecahan bagian dengan cara berikut.
Untuk setiap faktor linear ( )max b+ dari Q buatlah dekomposisi 1 2 3
2 3( ) ( ) ( )m
mA A A A
ax b ax b ax b ax b+ + + ++ + + + .
Ilustrasi (a) 2 1 1 1( 1) 1x
x x x x-- -= + (b)
2
2 23 2 1 1 1 2
1( 1)x x
x xx x x- +
--= - +
Untuk setiap faktor kuadrat definit positif 2( )npx qx r+ + dari Q buat-lah dekomposisi
1 1 2 22 2 2 2( ) ( )
n nn
B x CB x C B x Cpx qx r px qx r px qx r
++ ++ + + + + +
+ + + .
Ilustrasi (a) 2
2 23 2 2 3
( 1) 1x x x
xx x x+ + -
+ += - (b) 2 2 2 2 2
1( 1) 1 ( 1)
1 x xx x x x+ + +
= - -
TEKINT 011
Hitunglah integral tak tentu (a) 22 1xx x
dx--Ú dan (b)
2
3 23 2 1x x
x xdx- +
-Ú
(a) Daerah asal integrannya adalah 0x π dan 1x π . Penyebut dari integrannya adalah 2 ( 1)x x x x- = - , yang mempunyai dua faktor linear.
Tulislah 22 1 2 1
( 1) 1x x A B
x x x xx x- -
- --= = + kemudian tentukan konstanta A
dan B. Kalikan setiap ruasnya dengan ( 1),x x- diperoleh 2 1 ( 1)x A x Bx- = - +
Karena berlaku x" Œ , maka untuk x = 0: -1 = -A fi A = 1 dan untuk x = 1: 1 = A fi B = 1
Jadi 22 1 2 1 1 1
( 1) 1x x
x x x xx x- -
- --= = + , sehingga integralnya adalah
22 1 1 1
1 ln| | ln| 1| ln| ( 1)| .xx xx x
dx dx dx x x C x x C---
= + = + - + = - +Ú Ú Ú
(b) Daerah asal integrannya adalah 0x π dan 1x π . Penyebut dari integrannya adalah 3 2 2( 1)x x x x- = - , yang mempunyai dua faktor linear dengan faktor x terulang dua kali.
Tulislah 2 2
3 2 2 23 2 1 3 2 1
1( 1)x x x x A B C
x xx x x x x- + - +
-- -= = + + kemudian tentukan kon-
stanta A, B, dan C. Kalikan setiap ruasnya dengan 2( 1),x x- diperoleh 2 23 2 1 ( 1) ( 1)x x Ax x B x Cx- + = - + - +
Karena berlaku x" Œ , maka untuk x = 0: 1 = -B fi B = -1; untuk x = 1: 2 = C fi C = 2; untuk x = -1: 6 = 2A - 2B + C fi A = 1.
Jadi 2 2
3 2 2 23 2 1 3 2 1 1 1 2
1( 1)x x x x
x xx x x x x- + - +
-- -= = - + , sehingga integralnya adalah
2
3 2 2
2
3 2 1 1 1 2 11
1
ln| | 2ln| 1| .
ln | |( 1) .
x xx x xx x x
x
dx dx dx dx x x C
x x C
- +--
= - + = + + - +
= + - +
Ú Ú Ú Ú
TEKINT 012
Hitunglah integral tentu 2
3
3
13 2x x
x xdx+ +
+Ú .
Daerah asal integrannya adalah 0,x π yang memuat selang 1, 3[ ].
Hitung dahulu integral tak tentu 2
33 2x x
x xdx+ +
+Ú .
Penyebut dari integrannya adalah 3 2( 1)x x x x+ = + , yang mempunyai satu faktor linear dan satu faktor kuadrat definit positif.
Tulislah 2 2
3 2 23 2 3 2
( 1) 1x x x x A Bx C
xx x x x x+ + + + ++ + +
= = + kemudian tentukan konstanta
A, B, dan C. Kalikan setiap ruasnya dengan 2( 1)x x + , diperoleh 2 23 2 ( 1) ( )x x A x x Bx C+ + = + + +
Karena berlaku x" Œ , maka untuk x = 0: 2 = A fi A = 2 untuk x = 1: 6 = 2A + B + C fi B + C = 2 untuk x = -1: 0 = 2A + B - C fi B - C = -4
Jadi 2 2
3 2 2 23 2 3 2 2 3 2 3
( 1) 1 1x x x x x x
x xx x x x x x+ + + + - + -+ + + +
= = + = - ,
sehingga integral tak tentunya adalah 2
3 2 2
2
2 2
2
2
2 1
1
3 2 2 3 2 1 2 621 1
( 1)1 12 21 1
1
2 3 2ln| | ln ( 1) 3tan
ln 3tan .
x x x xx xx x x x
d xdx dxx x x
xx
dx dx dx dx dx
x x x C
x C
-
-
+ + - -+ + +
++ +
+
= - = -
= - + = - + + +
= + +
Ú Ú Ú Ú Ú
Ú Ú Ú
Karena itu integral tentunya adalah 2 2
3 2
33 1
11
3 2 3 1 1 12 3 421
3 12 4
ln 3tan ln 3 ln 3
ln 2 .
x x xx x x
dx x p p
p
-+ ++ +
Ê ˆ= + = + ◊ - - ◊Á ˜Ë ¯
= +
Ú
fi B = -1 dan C = 3
TEKINT 013
Hitunglah integral tak tentu 2 2( 1)dx
x x +Ú .
Daerah asal integrannya adalah 0.x π Penyebut dari integrannya mempunyai satu faktor linear dan satu faktor kuadrat definit positif yang terulang dua kali.
Tulislah 2 2 2 2 21
( 1) 1 ( 1)A Bx C Dx Exx x x x
+ ++ + +
= + + kemudian tentukan konstanta A,
B, C, D, dan E. Kalikan setiap ruasnya dengan 2 2( 1)x x + , diperoleh 2 2 21 ( 1) ( )( 1) ( )A x x Bx C x x Dx E= + + + + + + ,
atau 4 2 2 2 21 ( 2 1) ( )( 1) ( )A x x Bx Cx x Dx Ex= + + + + + + + .
Karena berlaku x" Œ , maka ambillah x = 0 dan buatlah sama koefisien dari x yang berpangkat sama di ruas kiri dan ruas kanan, diperoleh • untuk x = 0: 1 = A fi A = 1; • untuk koefisien x4
: 0 = A + B fi B = -A = -1; • untuk koefisien x3
: 0 = C fi C = 0; • untuk koefisien x2
: 0 = 2A + B + D fi D = -2A - B = -2 + 1 = -1; • untuk koefisien x : 0 = E fi E = 0. Akibatnya A = 1, B = -1, C = 0, D = -1, dan E = 0.
Jadi 2 2 2 2 21 1
( 1) 1 ( 1)x x
xx x x x+ + += - - , sehingga integralnya adalah
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 222
( 1) ( 1)1 12 2( 1) 1 ( 1) 1 ( 1)
1 1 | | 12 2( 1) 2( 1)1
ln| | ln ( 1) ln .
d x d xdx dx dx xdx dxx xx x x x x x
xx xx
x x C C
+ ++ + + + +
+ ++
= - - = - -
= - + + + = + +
Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú
Catatan Pada halaman 7 soal ini diselesaikan dengan penggantian x = tan t, 1 12 2 .tp p- < < Hasilnya adalah
2
2 2 22| |
(1 ) 2(1 )1ln .dx x x
x x xxC
+ ++= - +Ú
Kedua hasil ini berbeda konstanta karena 2 2
2 2 2 21 1 1 1 1 1
2 22(1 ) 2(1 ) 2(1 ) 2(1 )x x
x x x x+ -
+ + + +- = - = - + = -
TEKINT 014
Integral Fungsi Rasional dalam Sinus dan Cosinus
Integral fungsi rasional dalam sin x dan cos x dapat dinyatakan sebagai integral fungsi rasional biasa dengan penggantian
12tan ,t x xp p= - < < .
Akibat penggantian ini,
22 2 21 1 1 1 1 2
2 2 2 2 2 1sec 1 tan 1( )( ) dt
tdt x dx x dx t dx dx
+= = + = + fi = ,
2 2 2
1 1 12 2 21 1 12 2 2
2sin tan 2tan1 1 1 22 2 2cos sec 1 tan 1
sin 2sin cos 2 cos 2x x x tx x x t
x x x x+ +
= = ◊ = = = , 2 2
2 2 2 2 21 12 2
2 1 2 2 2 2 1 12 sec 1 tan 1 1 1
cos 2cos 1 1 1 1 t tx x t t t
x x - - -+ + + +
= - = - = - = - = = .
Penggantian dapat dimodifikasi sesuai dengan keperluan perhitungan.
Hitunglah integral tak tentu 1 sin cosdxx x+ -Ú .
Daerah asal integrannya adalah cos sin 1,x x- π atau 122 ,( )x n npπ - Œ .
Dengan penggantian 12tan ,t x xp p= - < < integralnya menjadi
2
2
2 2
2 2 2
212 1
1 1
21 sin cos ( 1)1 2 11
dtt
t tt t
dx dt dt dtx x t tt t t t t
+-
+ +
+ - ++ + - + ++ -= = = =Ú Ú Ú Ú Ú
Untuk menghitung ( 1)dt
t t+Ú , tulislah 1( 1) 1
A Bt t t t+ += + kemudian tentukan
konstanta A dan B. Dengan proses seperti contoh sebelumnya diperoleh A = 1 dan B = -1, sehingga
1 1 1( 1) 1t t t t+ += - .
Jadi integralnya adalah
12
12
1 sin cos ( 1) 1
tan1 1 tan
ln| | ln| 1|
ln ln .
dx dt dt dtx x t t t t
xtt x
t t C
C C
+ - + +
+ +
= = - = - + +
= + = +
Ú Ú Ú Ú
TEKINT 015
Persamaan Diferensial Logistik
Persamaan diferensial logistik terkait model matematika dengan asumsi laju pertumbuhan suatu populasi sebanding dengan perkalian antara po-pulasinya dengan selisih antara besaran tertentu dan populasinya. Aplikasi persamaan diferensial logistik Pertumbuhan populasi jangka panjang, epidemi, penjualan suatu produk baru, penyebaran rumor (go-sip), pertumbuhan perusahaan, dan sebagainya. Jika populasi pada setiap saat t adalah y = y(t), maka persamaan diferensial logistiknya
1( ); , 0, dan (0) .dy Mdt cky M y k t y += - > =
Solusi persamaan ini adalah
1 kM tM
cey -+= .
y M 0 t
Persamaan ini diselesaikan dengan metode pemisahan peubah dan inte-gral fungsi rasional, prosesnya sebagai berikut.
( )dydt ky M y= -
( )M
y M y dy kM dt- =
Tulislah ( )M A B
y M y y M y- -= + ,
maka ( ) ,M A M y By y= - + Œ y = 0 : M = AM fi A = 1 y = M : M = BM fi B = 1
Akibatnya 1 1( )
My M y y M y- -= + ,
sehingga
( )1 1y M y dy kM dt-+ =
( )1 1y M y dy kM dt-+ =Ú Ú
1ln yM y kMt c- = +
12
kM t c kM tyM y e c e+
- = =
23
1kM t
kM tM yy c e
c e-- = =
3kM tM y yc e-- =
3(1 )kM ty c e M-+ =
31 kM tM
c ey -+=
Dari 1(0) Mcy += diperoleh
31 1M M
c c+ += ,
sehingga c3 = c. Jadi solusi persama-an diferensial adalah
1 kM tM
cey -+= .
1M
c+ 1 kM t
Mce
y -+=
TEKINT 016
Perkembangan populasi sejenis hewan di suatu hutan lindung memenuhi persamaan diferensial logistik 0,0003 (2000 ).y y y= -¢ Jika saat diamati populasi awalnya 800 hewan, tentukan (a) besarnya populasi saat t = 2, (b) saat t di mana populasinya 1500, (c) populasi untuk jangka panjang.
(a) Berdasarkan sifat persamaan diferensial logistik, populasi saat t adalah
1( ) kM t
Mce
y y t -+= = dengan M = 2000, k = 0,0003, dan y(0) = 800; yaitu
0,62000
1( ) .tce
y t -+= Dari y(0) = 800 diperoleh 2000
1 800,c+ = sehingga 1 + c = 2,5
dan c = 1,5. Jadi populasi hewan pada saat t adalah 0,62000
1 1,5( ) te
y y t -+= = ,
sehingga populasinya saat t = 2 adalah y(2) ª 1378. (kalkulator)
(b) Carilah t sehingga 0,62000
1 1,51500 te-+
= . Dari sini diperoleh 0,6 431 1,5 te-+ = .
Akibatnya 0,6 29
te- = , atau 290,6 ln 1,504t- = = - , sehingga t = 2,51.
(c) Populasi jangka panjang adalah 0,62000
1 1,5lim ( ) lim 2000.tt t e
y t -Æ Æ• • += =
Andaikan bumi kita dapat mendukung paling banyak 16 milyar pendu-duk, yang perkembangan populasinya memenuhi persamaan diferensial logistik (16 ).y ky y= -¢ Jika saat t = 0 tahun 1925 penduduk bumi 2 mil-yar, tahun 1975 naik menjadi 4 milyar, tentukan (a) penduduk bumi pada tahun 2015 dan (b) tahun pada saat penduduk bumi mencapai 9 milyar.
(a) Seperti jawaban di atas, 1616
1( ) ktce
y t -+= . Dari y(0) = 2 diperoleh 16
1 2,c+ =
sehingga 1 + c = 8 dan c = 7. Jadi 1616
1 7( ) kte
y t -+= dengan y(50) = 4. Dari
sini diperoleh 80016
1 74,ke-+
= sehingga 1 7800 3lnk = . Jadi ( )71 ln50 3
16
1 7( )
te
y t-
+=
dan penduduk bumi tahun 2015 adalah y(90) ª 6,34 milyar.
(b) Carilah t sehingga y(t) = 9. Dari ( )71 ln50 3
16
1 79
te-
+= diperoleh 7
3
50ln9ln 130,t = ª
sehingga penduduk bumi mencapai 9 milyar pada tahun 2055.
SOAL LATIHAN MA 1201 – KALKULUS 2A – 2010/2011 Pokok Bahasan: Teknik Pengintegralan
Soal uji konsep dengan benar – salah, berikan argumentasi atas jawaban Anda.
No. Pernyataan Jawab
1. Untuk menghitung 49xx
dx+Ú dapat digunakan penggantian 2.u x= B − S
2. Untuk menghitung 233 5x x
dx- +Ú tulislah ( )21 32
2 43 5 1 2x x x- + = - + . B − S
3. Integral 1sin x dx-Ú dapat dihitung tanpa menggunakan rumus integral parsial. B − S
4. Untuk menghitung 224
xx x
dx+- -Ú gantilah x dengan suatu fungsi trigonometri. B − S
5. Untuk menghitung 2 5sin cosx x dxÚ tulislah 2 5 2 2 2sin cos sin (1 sin ) cosx x x x x= - B − S
6. Integral 2ln x dxÚ dapat dihitung dengan penggantian lnu x= dan integral parsial. B − S
7. Untuk menghitung 2
2 1x
xdx
-Ú tulislah 2
2 1 11x A B
x xx - +-= + serta carilah A dan B. B − S
8. Setiap sukubanyak berkoefisien real dapat difaktorkan sehingga menjadi hasilkali sukubanyak linear yang berkoefisien real. B − S
9. Untuk menghitung 2
21
( 1)x
x xdx+
-Ú tulislah 2
2 21
1( 1)x A B
xx x x+
--= + serta carilah A dan B. B − S
10. Untuk menghitung 1sin cosx x dx-Ú dapat digunakan penggantian 1
2tant x= . B − S
Hitunglah setiap integral berikut.
11. 2
2x
xe
e dx-Ú 12. tanln |cos |
xx dxÚ 13. 49
xx
dx+Ú
14. 2cotx x dxÚ 15. xe dxÚ 16. cos sin2xe x dxÚ
17. 21
8x xdx
-Ú 18. 2(sec tan )x x dx-Ú 19. 3sec x dxÚ
20. lnx x dxÚ 21. 2ln x dxÚ 22. 2ln (1 )x dx+Ú
23. 1x x dx-Ú 24. 2 1x dx+Ú 25. 2
21x
xdx
-Ú
26. 21
9xdx
-Ú 27. 2 1xx dx-Ú 28. 2
24x
xdx+
-Ú
29. 2 3 2x
x xdx
- +Ú 30. 21
( 1)x xdx
+Ú 31. 334
xx x
dx+-Ú
32. 2
2 2( 1)( 1)
xx
dx++Ú 33. cosxe x dxÚ 34. sin (ln )x dxÚ
Soal Aneka Ragam
35. Buktikan kesamaan sin coscos 1 sinsec x x
x xx += + dan gunakan untuk menghitung sec x dxÚ .
36. Gunakan penggantian u x p= - dan sifat simetri membuktikan 22 20
|sin |1 cos
.x xx
dxp
p+
=Ú
37. Buktikan ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b b bb b
a aa a af x dx x f x x f x dx x a f x x a f x dx= - = - - -¢ ¢Ú Ú Ú kemudian guna-
kan hasil ini dengan mengganti f oleh f ¢ untuk membuktikan
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) .b b b
a a af b f a f x dx f b b a x a f x dx f a b a x b f x dx- = = - - - = - - -¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢¢Ú Ú Ú
38. Buktikan untuk sebarang bilangan bulat m dan n dengan m π n berlaku cos cos 0.mx nx dxp
p-=Ú
39. Daerah diwarnai gelap pada gambar di kanan dibatasi kurva y = sin x, 0 £ x £ p dan garis y = k, 0 £ k £ 1. Daerah ini diputar terhadap garis y = k sehingga membenbuk benda putar B. Tentukan k agar benda B mempunyai volum (a) minimum (b) maksimum.
y
y = sin x k y = k 0 p x
40. Pertumbuhan suatu populasi memenenuhi persamaan diferensial logistik (1 ), (0) 0,5y y y y= - =¢ . Gunakan solusi persamaannya untuk memperkirakan besarnya populasi pada saat t = 3.
41. Andaikan bumi kita dapat mendukung paling banyak 16 milyar penduduk, yang perkembangan populasinya memenuhi persamaan diferensial logistik (16 ).y ky y= -¢ Jika saat t = 0 tahun 1925 penduduk bumi 2 milyar, tahun 1975 naik menjadi 4 milyar, tentukan (a) solusi persamaannya, (b) penduduk bumi pada tahun 2015, dan (c) tahun saat penduduk bumi mencapai 9 milyar.
42. Daerah D terletak di kuadran pertama, dibatasi kurva 24/( 4)y x= + , garis x = 2, sumbu x, dan sumbu y. Jika daerah D diputar terhadap sumbu x, hitunglah volum benda putar yang terjadi.
43. Daerah D terletak di kuadran pertama, dibatasi kurva 1 1/y x= + dan garis x = 3, sumbu x, dan sumbu y. Tentukan pusat daerah D.
Kunci Jawaban
1. B 2. B 3. S 4. S 5. B 6. B 7. S 8. S 9. S 10. B 11. 2ln | 2|x xe e C+ - + 12. ln ln |cos || |x C- +
13. 1 11 26 3
tan ( )x C- + 14. 1 22
cot ln|sin |x x x x C- - + + 15. 2 2x xx e e C- + 16. cos cos2cos 2x xxe e C- + +
17. 114
sin ( 4)x C- - + 18. 2tan 2secx x x C- - + 19. 12
(sec tan ln|sec tan |)x x x x C+ + + 20. 1 12 22 4
lnx x x C- +
21. 2ln 2 ln 2x x x x x C- + + 22. 2 1ln (1 ) 2 2 tanx x x x C-+ - + + 23. 2 25/2 3/25 3
(1 ) (1 )x x C- - - +
24. ( )1 12 22 2
1 ln 1x x x x C+ + + + + 25. 1 11 22 2
sin 1x x x C- - - + 26. 2ln 9| |x x C+ - +
27. 2 11 secx x C-- - + 28. 12 12
4 2sinx x C-- - + + 29. 2( 2)
| 1|ln xx C-- + 30. 1
1 1ln| |xx x C+ ++ +
31. 18
5
6( 2) ( 2)ln| |x x
xC- + + 32. 1
21
1tan
xx C-
+- + 33. 1
2(cos sin )xe x x C+ + 34. ( )1
2sin (ln ) cos(ln )x x x C- +
39. (a) 2k p= , (b) k = 1 40. 1( ) , (3) 0,953t
te
ey t y+= ª 41. (a) ( )71 ln50 3
16
1 7( )
tey t
-+= , (b) (90) 6,34 milyary ª ,
41. (c) tahun 2055. 42. ( )1 14 2p p+ 43. pusat D ∫ 4 1
3 2( , ), , ln2x y x y= = .