![Page 1: KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi ... & Kontinuitas ALZ DANNY WOWOR KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristan Satya Wacana Bagian 3 Monday,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021420/5ad665317f8b9a177c8e4228/html5/thumbnails/1.jpg)
Limit & Kontinuitas
ALZ DANNY WOWOR
KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristan Satya Wacana
Bagian 3
Monday, July 1, 2013
![Page 2: KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi ... & Kontinuitas ALZ DANNY WOWOR KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristan Satya Wacana Bagian 3 Monday,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021420/5ad665317f8b9a177c8e4228/html5/thumbnails/2.jpg)
Topik yang dibahas
A. Limit Fungsi
B. Perhitungan Limit (menggunakan hukum limit)
C. Kontinuitas
Monday, July 1, 2013
![Page 3: KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi ... & Kontinuitas ALZ DANNY WOWOR KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristan Satya Wacana Bagian 3 Monday,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021420/5ad665317f8b9a177c8e4228/html5/thumbnails/3.jpg)
A. Limit Fungsi
Monday, July 1, 2013
![Page 4: KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi ... & Kontinuitas ALZ DANNY WOWOR KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristan Satya Wacana Bagian 3 Monday,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021420/5ad665317f8b9a177c8e4228/html5/thumbnails/4.jpg)
1. Pengertian Limit
Limit suatu fungsi merupakan salah satu konsep mendasar dalam kalkulus dan analisis, yang melihat tentang perilaku suatu fungsi mendekati suatu titik tertentu.
Monday, July 1, 2013
![Page 5: KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi ... & Kontinuitas ALZ DANNY WOWOR KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristan Satya Wacana Bagian 3 Monday,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021420/5ad665317f8b9a177c8e4228/html5/thumbnails/5.jpg)
Contoh 1Selidikilah perilaku dari fungsi f(x) = x2 – x + 2 untuk x mendekati 2.
Monday, July 1, 2013
![Page 6: KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi ... & Kontinuitas ALZ DANNY WOWOR KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristan Satya Wacana Bagian 3 Monday,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021420/5ad665317f8b9a177c8e4228/html5/thumbnails/6.jpg)
Perhatikan Tabel berikut memberikan nilai-nilai f(x) untuk x mendekati 2, tetapi tidak sama degan 2.
Monday, July 1, 2013
![Page 7: KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi ... & Kontinuitas ALZ DANNY WOWOR KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristan Satya Wacana Bagian 3 Monday,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021420/5ad665317f8b9a177c8e4228/html5/thumbnails/7.jpg)
Proses ini, juga dapat dilakukan dengan mengambil nilai x sedekat mungkin dengan 2, hal ini diungkapkan dengan “limit fungsi f(x) = x2 – x + 2, jika x mendekati 2 sama dengan 4”,
Notasinya:
Monday, July 1, 2013
![Page 8: KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi ... & Kontinuitas ALZ DANNY WOWOR KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristan Satya Wacana Bagian 3 Monday,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021420/5ad665317f8b9a177c8e4228/html5/thumbnails/8.jpg)
Defenisi 1 (Limit fungsi)
Diberikan
merupakan “limit f(x) ketika x mendekati a sama dengan L”
Jika dapat dibuat nilai f(x) sembarang yang dekat dengan L (sedekat yang kita inginkan),
dengan cara mengambil nilai x yang sedekat dengan a, tetapi tidak sama dengan a.
Monday, July 1, 2013
![Page 9: KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi ... & Kontinuitas ALZ DANNY WOWOR KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristan Satya Wacana Bagian 3 Monday,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021420/5ad665317f8b9a177c8e4228/html5/thumbnails/9.jpg)
2. Hal penting dalam Limit
Perhatikan kalimat “tetapi x ≠ a” pada defenisi limit.
Hal ini menujukkan bahwa dalam menentukan limit f(x) ketika x mendekati a, tidak pernah dianggap x = a. Bahkan tidak harus terdefenisi pada x = a.
Hal yang diperlukan adalah bagaimana f didefenisikan di dekat a
Monday, July 1, 2013
![Page 10: KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi ... & Kontinuitas ALZ DANNY WOWOR KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristan Satya Wacana Bagian 3 Monday,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021420/5ad665317f8b9a177c8e4228/html5/thumbnails/10.jpg)
Perhatikan ketiga grafik fungsi f(x) berikut:
Monday, July 1, 2013
![Page 11: KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi ... & Kontinuitas ALZ DANNY WOWOR KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristan Satya Wacana Bagian 3 Monday,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021420/5ad665317f8b9a177c8e4228/html5/thumbnails/11.jpg)
Bagian (a) f(x) terdefenisi disemua titikBagian (b) nilai f(a) ≠ LBagian (c), f(a) tidak terdefenisi
Dari ketiga grafik di atas
Pada ketiga kasus di atas, apa pun yang terjadi di titik a,
Monday, July 1, 2013
![Page 12: KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi ... & Kontinuitas ALZ DANNY WOWOR KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristan Satya Wacana Bagian 3 Monday,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021420/5ad665317f8b9a177c8e4228/html5/thumbnails/12.jpg)
Contoh 2
Carilah nilai
Diketahui fungsi f(x) tifdak terdefenisi pada saat x = 1.Tetepi dengan limit menjadi tidak masalah karena dicari nilai x yang mendekati a.
Pembahasan:
Monday, July 1, 2013
![Page 13: KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi ... & Kontinuitas ALZ DANNY WOWOR KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristan Satya Wacana Bagian 3 Monday,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021420/5ad665317f8b9a177c8e4228/html5/thumbnails/13.jpg)
Gambar f(x) dan tabel nilai,
Sehingga
Monday, July 1, 2013
![Page 14: KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi ... & Kontinuitas ALZ DANNY WOWOR KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristan Satya Wacana Bagian 3 Monday,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021420/5ad665317f8b9a177c8e4228/html5/thumbnails/14.jpg)
Contoh 3
Diberikan sebuah fungsi
Hitunglah
Monday, July 1, 2013
![Page 15: KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi ... & Kontinuitas ALZ DANNY WOWOR KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristan Satya Wacana Bagian 3 Monday,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021420/5ad665317f8b9a177c8e4228/html5/thumbnails/15.jpg)
Pembahasan Contoh 3
Gambar dari g(x) adalah
Sehingga diperoleh:
dan
Monday, July 1, 2013
![Page 16: KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi ... & Kontinuitas ALZ DANNY WOWOR KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristan Satya Wacana Bagian 3 Monday,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021420/5ad665317f8b9a177c8e4228/html5/thumbnails/16.jpg)
3. Limit Satu Sisi
Limit satu sisi merupakan teknik menentukan nilai limit dengan melihat satu sisi (sisi kiri dan kanan) dari fungsi terhadap titik yang didekati.
Monday, July 1, 2013
![Page 17: KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi ... & Kontinuitas ALZ DANNY WOWOR KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristan Satya Wacana Bagian 3 Monday,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021420/5ad665317f8b9a177c8e4228/html5/thumbnails/17.jpg)
Defenisi 2
maka limit f(x) ketika x mendakati a dari kiri
dan limit f(x) ketika x mendakati a dari kanan
Diberikan sebuah fungsi f(x)
Monday, July 1, 2013
![Page 18: KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi ... & Kontinuitas ALZ DANNY WOWOR KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristan Satya Wacana Bagian 3 Monday,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021420/5ad665317f8b9a177c8e4228/html5/thumbnails/18.jpg)
Defenisi 3
Nilai suatu limit f(x) ada, misalanya
jika dan hanya jika
Monday, July 1, 2013
![Page 19: KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi ... & Kontinuitas ALZ DANNY WOWOR KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristan Satya Wacana Bagian 3 Monday,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021420/5ad665317f8b9a177c8e4228/html5/thumbnails/19.jpg)
Contoh 4Gunakan grafik berikut untuk menyatakan nilai limit berikut (jika ada)
Monday, July 1, 2013
![Page 20: KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi ... & Kontinuitas ALZ DANNY WOWOR KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristan Satya Wacana Bagian 3 Monday,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021420/5ad665317f8b9a177c8e4228/html5/thumbnails/20.jpg)
Pembahasan Contoh 4
tidak ada
Monday, July 1, 2013
![Page 21: KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi ... & Kontinuitas ALZ DANNY WOWOR KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristan Satya Wacana Bagian 3 Monday,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021420/5ad665317f8b9a177c8e4228/html5/thumbnails/21.jpg)
Limit Takhingga
Untuk menerangkan limit takhingga, dijelaskan melalui contoh-contoh berikut.
Monday, July 1, 2013
![Page 22: KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi ... & Kontinuitas ALZ DANNY WOWOR KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristan Satya Wacana Bagian 3 Monday,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021420/5ad665317f8b9a177c8e4228/html5/thumbnails/22.jpg)
Contoh 5
Carilah
jika ada
jika ada
Monday, July 1, 2013
![Page 23: KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi ... & Kontinuitas ALZ DANNY WOWOR KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristan Satya Wacana Bagian 3 Monday,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021420/5ad665317f8b9a177c8e4228/html5/thumbnails/23.jpg)
Dari tabel, ketika x diambil mendekati 0, f(x) semakin besar. Dengan demikian nilai f(x) tidak mendekati suatu bilangan, sehingga
jika ada
Dibuat tabel
tidak ada
Monday, July 1, 2013
![Page 24: KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi ... & Kontinuitas ALZ DANNY WOWOR KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristan Satya Wacana Bagian 3 Monday,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021420/5ad665317f8b9a177c8e4228/html5/thumbnails/24.jpg)
Contoh 6Diberikan fungsi f(x),
jika ada
maka tentukanlah
Monday, July 1, 2013
![Page 25: KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi ... & Kontinuitas ALZ DANNY WOWOR KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristan Satya Wacana Bagian 3 Monday,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021420/5ad665317f8b9a177c8e4228/html5/thumbnails/25.jpg)
Dari grafik f(x)
diperoleh
tidak ada
Monday, July 1, 2013
![Page 26: KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi ... & Kontinuitas ALZ DANNY WOWOR KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristan Satya Wacana Bagian 3 Monday,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021420/5ad665317f8b9a177c8e4228/html5/thumbnails/26.jpg)
2. Perhitungan Limit (menggunakan hukum limit)
Monday, July 1, 2013
![Page 27: KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi ... & Kontinuitas ALZ DANNY WOWOR KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristan Satya Wacana Bagian 3 Monday,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021420/5ad665317f8b9a177c8e4228/html5/thumbnails/27.jpg)
1. Hukum Limit
Andaikan bahwa c adalah konstanta dan
ada, maka
dan
Monday, July 1, 2013
![Page 28: KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi ... & Kontinuitas ALZ DANNY WOWOR KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristan Satya Wacana Bagian 3 Monday,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021420/5ad665317f8b9a177c8e4228/html5/thumbnails/28.jpg)
Hukum Limit (tambahan)
jika
dengan n bilangan bulat positif
Monday, July 1, 2013
![Page 29: KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi ... & Kontinuitas ALZ DANNY WOWOR KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristan Satya Wacana Bagian 3 Monday,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021420/5ad665317f8b9a177c8e4228/html5/thumbnails/29.jpg)
dengan n bilangan bulat positif
dengan n bilangan bulat positif
(Jika n genap, diasumsikan bahwa a > 0)
dengan n bilangan bulat positif
(Jika n genap, diasumsikan bahwa )
Hukum Limit (tambahan)
Monday, July 1, 2013
![Page 30: KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi ... & Kontinuitas ALZ DANNY WOWOR KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristan Satya Wacana Bagian 3 Monday,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021420/5ad665317f8b9a177c8e4228/html5/thumbnails/30.jpg)
Contoh 7Hitunglah
jika ada
Pembahasan
Monday, July 1, 2013
![Page 31: KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi ... & Kontinuitas ALZ DANNY WOWOR KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristan Satya Wacana Bagian 3 Monday,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021420/5ad665317f8b9a177c8e4228/html5/thumbnails/31.jpg)
Contoh 8
Hitunglah
jika ada
Pembahasan
Monday, July 1, 2013
![Page 32: KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi ... & Kontinuitas ALZ DANNY WOWOR KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristan Satya Wacana Bagian 3 Monday,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021420/5ad665317f8b9a177c8e4228/html5/thumbnails/32.jpg)
Defenisi 3
Jika f adalah fungsi polinom atau rasional dan a dalam daerah asal f, maka
Catatan:
Apabila hasil limit berbentuk,
maka limit tersebut harus dirasionalkan untuk dihitung kembali.atau yang lainnya
Monday, July 1, 2013
![Page 33: KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi ... & Kontinuitas ALZ DANNY WOWOR KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristan Satya Wacana Bagian 3 Monday,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021420/5ad665317f8b9a177c8e4228/html5/thumbnails/33.jpg)
Contoh 9
Hitunglah
jika adaPembahasan
Monday, July 1, 2013
![Page 34: KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi ... & Kontinuitas ALZ DANNY WOWOR KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristan Satya Wacana Bagian 3 Monday,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021420/5ad665317f8b9a177c8e4228/html5/thumbnails/34.jpg)
Contoh 10
Hitunglah jika ada
Pembahasan
Monday, July 1, 2013
![Page 35: KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi ... & Kontinuitas ALZ DANNY WOWOR KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristan Satya Wacana Bagian 3 Monday,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021420/5ad665317f8b9a177c8e4228/html5/thumbnails/35.jpg)
2. Limit menuju ∞ dan −∞
Pada fungsi polinomial:
Untuk tiap p(x) dan q(x) membagi variabel berderajat paling tinggi.
Pada fungsi rasional:
Monday, July 1, 2013
![Page 36: KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi ... & Kontinuitas ALZ DANNY WOWOR KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristan Satya Wacana Bagian 3 Monday,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021420/5ad665317f8b9a177c8e4228/html5/thumbnails/36.jpg)
Contoh 11
Hitunglah
jika adaPembahasan:
Monday, July 1, 2013
![Page 37: KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi ... & Kontinuitas ALZ DANNY WOWOR KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristan Satya Wacana Bagian 3 Monday,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021420/5ad665317f8b9a177c8e4228/html5/thumbnails/37.jpg)
Contoh 12
Hitunglah
jika ada
Pembahasan:
Monday, July 1, 2013
![Page 38: KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi ... & Kontinuitas ALZ DANNY WOWOR KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristan Satya Wacana Bagian 3 Monday,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021420/5ad665317f8b9a177c8e4228/html5/thumbnails/38.jpg)
3. Kontinuitas
Monday, July 1, 2013
![Page 39: KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi ... & Kontinuitas ALZ DANNY WOWOR KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristan Satya Wacana Bagian 3 Monday,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021420/5ad665317f8b9a177c8e4228/html5/thumbnails/39.jpg)
Defenisi 4 (kontinuitas)
Sebuah fungsi f kontinu pada sebuah bilangan a jika
Jika f tidak kontinu di a, maka f disebut diskontinu.
Monday, July 1, 2013
![Page 40: KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi ... & Kontinuitas ALZ DANNY WOWOR KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristan Satya Wacana Bagian 3 Monday,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021420/5ad665317f8b9a177c8e4228/html5/thumbnails/40.jpg)
Secara eksplisit, defenisi kontinuitas mensyaratkan:
1. f(a) terdefenisi (yaitu a berada di daerah asal f)
2. ada (sehingga f harus terdefenisi pada selang terbuka yang memuat a)3. f(a).
Monday, July 1, 2013
![Page 41: KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi ... & Kontinuitas ALZ DANNY WOWOR KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristan Satya Wacana Bagian 3 Monday,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021420/5ad665317f8b9a177c8e4228/html5/thumbnails/41.jpg)
Contoh 13
Dimanakah masing-masing fungsi berikut diskontinu?
jika ada
Monday, July 1, 2013
![Page 42: KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi ... & Kontinuitas ALZ DANNY WOWOR KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristan Satya Wacana Bagian 3 Monday,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021420/5ad665317f8b9a177c8e4228/html5/thumbnails/42.jpg)
Pembahasan (contoh 13)
a) Perhatikan bahwa f(2) tidak terdefenisi, maka f diskontinu pada x = 2.
b) Disini f(0) = 1, terdefenisi. Tetapi
tidak ada, maka f diskontinu di x = 0.
Monday, July 1, 2013