Kalkulus Multivariabel IIntegral Lipat-Dua
dalam Koordinat Kutub
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Statistika FMIPAUniversitas Islam Indonesia
2014
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 1
/ 20
Integral Lipat-Dua dalam Koordinat Kutub
Terdapat beberapa kurva tertentu pada suatu bidang yang lebih mudahdijelaskan dengan menggunakan koordinat Kutub. Misalkan z = f (x , y)menentukan sebuah permukaan atas R (lihat gambar) dan andaikan fkontinu dan tak negatif.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 2
/ 20
Maka volume V benda padat di bawah permukaan tersebut dan di atas Rdapat dinyatakan
V =
∫∫R
f (x , y)dA
Di dalam koordinat kutub, persegi panjang kutub R mempunyai bentuk
R = {(r , θ) : a ≤ r ≤ b, α ≤ θ ≤ β}
di mana a ≥ 0 dan β − α ≤ 2π. Demikian pula, persamaan permukaandapat ditulis sebagai
z = f (x , y) = f (r cos θ, r sin θ) = F (r , θ)
Kita akan menghitung volume V dengan cara baru yaitu denganmenggunakan koordinat kutub.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 3
/ 20
Bagi R menjadi partisi-partisi yang lebih kecil berbentuk persegi panjangkutub R1,R2, . . . ,Rn dengan menggunakan kisi kutub, dan misalkan ∆rkdan ∆θk menyatakan dimensi potongan Rk . Luas A(Rk) dinyatakandengan
A(Rk) = r̄k∆rk∆θk
di mana r̄k adalah jari-jari rata-rata Rk .
V ≈n∑
k=1
F (r̄k , θ̄k)r̄k∆rk∆θk
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 4
/ 20
Gunakan limit sebagai aturan pembagian partisi yang mendekati nol, makaakan diperoleh volume yang sebenarnya. Limit ini adalah sebuah integrallipat-dua.
V =
∫∫R
F (r , θ)r dr dθ =
∫∫R
f (r cos θ, r sin θ)r dr dθ
Dari uraian di atas, kita mempunyai dua rumus untuk V yaitu∫∫R
f (x , y)dA =
∫∫R
f (r cos θ, r sin θ)r dr dθ
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 5
/ 20
Contoh:Tentukan volume V dari benda padat di atas persegi panjang kutub (lihatgambar)
R ={
(r , θ) : 1 ≤ r ≤ 3, 0 ≤ θ ≤ π
4
}dan di bawah permukaan z = ex
2+y2.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 6
/ 20
Penyelesaian:Karena x2 + y2 = r2, maka
V =
∫∫R
ex2+y2
dA
=
π/4∫0
3∫1
er2r dr
dθ =
π/4∫0
[1
2er
2
]31
dθ
=
π/4∫0
1
2(e9 − e)dθ =
π
8(e9 − e) ≈ 3181 �
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 7
/ 20
Daerah Umum
1. Himpunan Sederhana-rHimpunan S dikatakan himpunan sederhana-r jika himpunan tersebutberbentuk
S = {(r , θ) : φ1(θ) ≤ r ≤ φ2(θ), α ≤ θ ≤ β}
V =
θ=β∫θ=α
r=φ2(θ)∫r=φ1(θ)
f (r , θ)r dr dθ
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 8
/ 20
2. Himpunan Sederhana-θHimpunan S dikatakan himpunan sederhana-θ jika himpunan tersebutberbentuk
S = {(r , θ) : a ≤ r ≤ b, ψ1(r) ≤ θ ≤ ψ2(r)}
V =
r=b∫r=a
θ=ψ2(r)∫θ=ψ1(r)
f (r , θ)r dθ dr
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 9
/ 20
Contoh:Hitunglah
∫∫S
ydA di mana S adalah daerah di kuadran pertama yang
berada di luar lingkaran r = 2, serta di dalam kardioid r = 2(1 + cosθ)
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 10
/ 20
Penyelesaian:Karena S adalah himpunan sederhana-r , kita dapat menuliskan integral diatas sebagai integral kutub berulang dengan r sebagai peubahpengintegralan sebelah dalam. Di dalam pengintegralan sebelah dalam ini,θ dibuat tetap; pengintegralan dilakukan di sepanjang garis tebal (padagambar) dari r = 2 sampai r = 2(1 + cosθ).
∫∫S
ydA =
π/2∫0
2(1+cosθ)∫2
(rsinθ)r dr dθ =
π/2∫0
[r3
3sinθ
]2(1+cosθ)
2
dθ
=8
3
π/2∫0
[(1 + cosθ)3sinθ − sinθ]dθ
=8
3
[−1
4(1 + cosθ)4 + cosθ
]π/20
=22
3�
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 11
/ 20
Integral Probabilitas
Pada materi ini, kita dapat membuktikan bahwa integral dari fungsikepadatan peluang normal standar bernilai satu yaitu
∞∫−∞
f (x)dx = 1
dengan
f (x) =1√2π
e−x2/2
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 12
/ 20
Pertama, kita akan menunjukkan bahwa I =∞∫0
e−x2dx =
√π2 .
Ingat kembali bahwa
I =
∞∫0
e−x2dx = lim
b→∞
b∫0
e−x2dx
Misalkan Vb merupakan volume benda padat yang terletak di bawahpermukaan z = e−x
2−y2dan di atas bujursangkar dengan titik potong
(±b,±b), lihat gambar, maka
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 13
/ 20
Vb =
b∫−b
b∫−b
e−x2−y2
dy dx =
b∫−b
e−x2
b∫−b
e−y2dy
dx
=
b∫−b
e−x2dx
b∫−b
e−y2dy =
b∫−b
e−x2dx
2
= 4
b∫0
e−x2dx
2
Ternyata volume daerah di bawah z = e−x2−y2
dan di atas seluruh bidangxy adalah
V = limb→∞
Vb = limb→∞
4
b∫0
e−x2dx
2
= 4
∞∫0
e−x2dx
2
= 4I 2
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 14
/ 20
Di sisi lain, kita juga dapat menghitung V dengan menggunakan koordinatkutub. Di sini, V adalah limit ketika a→∞ dari Va, volume benda padattersebut di bawah permukaan z = e−x
2−y2= e−r
2, di atas daerah
melingkar berjari-jari a yang berpusat di titik asal (lihat gambar), maka
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 15
/ 20
V = lima→∞
Va = lima→∞
2π∫0
a∫0
e−r2r dr dθ
= lima→∞
2π∫0
[−1
2e−r
2
]a0
dθ
= lima→∞
1
2
2π∫0
[1− e−a
2]dθ
= lima→∞
π[1− e−a
2]
= π
Dengan memasukkan kedua nilai yang diperoleh untuk V denganmenggunakan integral biasa dan integral dalam koordinat kutub di atas,akan dihasilkan 4I 2 = π atau I = 1
2
√π. �
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 16
/ 20
Selanjutnya, setelah diperoleh I =∞∫0
e−x2dx =
√π2 , akan ditunjukkan
bahwa∞∫−∞
1√2π
e−x2/2dx = 1
Berdasarkan sifat simetri,
∞∫−∞
1√2π
e−x2/2dx = 2
∞∫0
1√2π
e−x2/2dx
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 17
/ 20
Lakukan substitusi u = x√2
sehingga dx =√
2du. Batas-batas pada
integral tetap sama sehingga kita memperoleh
∞∫−∞
1√2π
e−x2/2dx = 2
∞∫0
1√2π
e−u2√
2du
=2√
2√2π
∞∫0
e−u2du
=2√
2√2π
√π
2= 1
Jadi terbukti bahwa integral dari fungsi kepadatan peluang normal standarbernilai satu. �
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 18
/ 20
Latihan
1. Hitung integral-integral berulang berikut
a.π/2∫0
cos θ∫0
r2 sin θ dr dθ
b.π∫0
1−cos θ∫0
r sin θ dr dθ
2. Tentukan luas daerah S dengan menghitung∫∫S
r dr dθ dan sketsa
daerah tersebut terlebih dahulu
a. S adalah daerah di dalam lingkaran r = 4 cos θ dan di luar lingkaranr = 2
b. S adalah daerah di luar lingkaran r = 2 dan di dalam lemniskatr2 = 9 cos 2θ
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 19
/ 20
3. Hitung integral berikut dengan menggunakan koordinat kutub dansketsa daerah pengintegralannya terlebih dahulu
a.∫∫S
ex2+y2
dA, di mana S adalah daerah yang dibatasi oleh x2 + y2 = 4
b.∫∫S
√4− x2 − y2dA, di mana S adalah sektor kuadran pertama dari
lingkaran x2 + y2 = 4 di antara y = 0 dan y = x
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 20
/ 20
Pustaka
Purcell, E. J & D. Vanberg, 1999. Terjemahan, Kalkulus danGeometri Analitis, Jilid 1 dan 2. Jakarta : Erlangga.
Spiegel. M. & Wrede R.C. 2002. Theory and Problem of AdvancedCalculus. Schaum Outline Series. New York: Mc Graw-Hill.
Purcell, E. J & D. Vanberg, 2003. Terjemahan, Kalkulus , Jilid 2.Jakarta : Erlangga.
Mendelson, Elliot, 1988. Schaum’s Outlines, 3000 Solved Problems inCalculus. New York: Mc Graw-Hill.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 21
/ 20