Download - Kap 2 – Trigonometri och grafer
![Page 1: Kap 2 – Trigonometri och grafer](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061505/56813e24550346895da80520/html5/thumbnails/1.jpg)
Matematik 4Kap. 2 Trigonometri och grafer
![Page 2: Kap 2 – Trigonometri och grafer](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061505/56813e24550346895da80520/html5/thumbnails/2.jpg)
Innehåll
2.1 Trigonometriska kurvor2.2 Radianbegreppet2.3 De trigonometriska funktionernas derivator2.4 Tillämningar och problemlösning
![Page 3: Kap 2 – Trigonometri och grafer](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061505/56813e24550346895da80520/html5/thumbnails/3.jpg)
2.1 Trigonometriska kurvor
3
![Page 4: Kap 2 – Trigonometri och grafer](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061505/56813e24550346895da80520/html5/thumbnails/4.jpg)
TRIGONOMETRI OCH DERIVATOR
4
![Page 5: Kap 2 – Trigonometri och grafer](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061505/56813e24550346895da80520/html5/thumbnails/5.jpg)
TRIGONOMETRISKA KURVOR
5
Vilken av dessa kurvor är y = sin x resp. y = cos x ?
y = sin x
y = cos x
![Page 6: Kap 2 – Trigonometri och grafer](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061505/56813e24550346895da80520/html5/thumbnails/6.jpg)
AMPLITUD
6
y = sin x
y = 2sin x
y = 3sin x
Vilken kurva är vilken?
![Page 7: Kap 2 – Trigonometri och grafer](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061505/56813e24550346895da80520/html5/thumbnails/7.jpg)
PERIOD
7
Vad händer med perioden när man ändrar enkurva från sin x till sin 2x?
Vad menas med period?Den blå kurvans period
Den röda kurvans periodsiny x sin 2y x
Vad tror du händer med perioden när man ändrar enkurva från sin x till sin 0,5x?
![Page 8: Kap 2 – Trigonometri och grafer](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061505/56813e24550346895da80520/html5/thumbnails/8.jpg)
PERIOD
8
Vilken av dessa kurvor är y = sin (x), y = sin (2x) resp. y = sin (x/2) ?
Hur ändras perioden om man ändrar kurvan y = sin (x) till y = sin (2x)?
Hur ändras perioden om man ändrar kurvan y = sin (x) till y = sin (x/2)?
siny x sin 2y x sin2
xy
![Page 9: Kap 2 – Trigonometri och grafer](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061505/56813e24550346895da80520/html5/thumbnails/9.jpg)
FÖRSKJUTNING AV KURVOR
9
y = sin (x)
y = sin(x - 40°) 40
°Kurvan y = sin (x) har förskjutits 40° åt höger.
![Page 10: Kap 2 – Trigonometri och grafer](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061505/56813e24550346895da80520/html5/thumbnails/10.jpg)
FÖRSKJUTNING AV KURVOR
10
y = sin (x)
y = sin(x + 50°)
Kurvan y = sin (x) har förskjutits 50° åt vänster.
50°
![Page 11: Kap 2 – Trigonometri och grafer](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061505/56813e24550346895da80520/html5/thumbnails/11.jpg)
EN KURVA AV TYPEN y = a sin bx
11
y = sin (x)
y = 2 sin(2x)
y = a sin (bx) y = 2 sin(2x) a = 2 & b = 2
(Perioden är halverad och amplituden är dubblerad)
![Page 12: Kap 2 – Trigonometri och grafer](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061505/56813e24550346895da80520/html5/thumbnails/12.jpg)
KURVTYPEN y = a sin b(x-v)
12
y = sin (x)
y = 2 sin3(x – 20°)
Kurvan y = sin (x) har förskjutits 20° åt höger. Den har perioden 120° (360/3) och amplituden 2.
![Page 13: Kap 2 – Trigonometri och grafer](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061505/56813e24550346895da80520/html5/thumbnails/13.jpg)
KURVTYPEN y = a sin b(x-v)
13
2sin 3 – 2
2sin 3 60°
0y x
z x
Är dessa två funktioner samma sak?
f(x)=2sin(3(x-20))
-π/2 π/2
-3
-2
-1
1
2
3
x
y f(x)=2sin(3x-60)
-π/2 π/2
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
![Page 14: Kap 2 – Trigonometri och grafer](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061505/56813e24550346895da80520/html5/thumbnails/14.jpg)
KURVTYPEN y = a sin b(x-v)
14
![Page 15: Kap 2 – Trigonometri och grafer](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061505/56813e24550346895da80520/html5/thumbnails/15.jpg)
KURVAN y = sin x - 2
15
y = sin (x)
y = sin(x) - 2
-2
Kurvan y = sin (x) har förskjutits 2 enheter nedåt.
![Page 16: Kap 2 – Trigonometri och grafer](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061505/56813e24550346895da80520/html5/thumbnails/16.jpg)
KURVAN y = tan(x)
16
asymptot
90°
x
xx
cos
sintan
-90°
Tangens period = 180°
![Page 17: Kap 2 – Trigonometri och grafer](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061505/56813e24550346895da80520/html5/thumbnails/17.jpg)
Asymptot
17
![Page 18: Kap 2 – Trigonometri och grafer](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061505/56813e24550346895da80520/html5/thumbnails/18.jpg)
KURVAN y = a sin x + b cos x
18
Skriv om uttrycket på formenxxy cos8sin6 ).sin( vxmy
Uppgift 2162 a) (Sid. 89)
22 86 m 101006436
3
4
6
8tan v
542...53,1301023
3
4tan 1v
)1,53sin(10 xySvar:
![Page 19: Kap 2 – Trigonometri och grafer](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061505/56813e24550346895da80520/html5/thumbnails/19.jpg)
KURVAN y = a sin x + b cos x
19
6sin 8cos 10sin( 53,1 )y x x y x
f(x)=6sin(x)+8cos(x)
-270 -180 -90 90 180 270
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
y10?
+53,1°?
10
53,1°
![Page 20: Kap 2 – Trigonometri och grafer](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061505/56813e24550346895da80520/html5/thumbnails/20.jpg)
KURVAN y = a sin x + b cos x
20
![Page 21: Kap 2 – Trigonometri och grafer](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061505/56813e24550346895da80520/html5/thumbnails/21.jpg)
2.2 Radianbegreppet
21
![Page 22: Kap 2 – Trigonometri och grafer](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061505/56813e24550346895da80520/html5/thumbnails/22.jpg)
RADIANBEGREPPET
22
![Page 23: Kap 2 – Trigonometri och grafer](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061505/56813e24550346895da80520/html5/thumbnails/23.jpg)
RADIANBEGREPPET
23
Radianer är definierade som den sträcka utmed enhetscirkelns rand som spänns upp av vinkeln.
![Page 24: Kap 2 – Trigonometri och grafer](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061505/56813e24550346895da80520/html5/thumbnails/24.jpg)
RADIANBEGREPPET
24
Eftersom enhetscirkeln har radien 1 så blir dess omkrets 2π. Ett helt varv, 360 grader, motsvarar alltså 2π rad. Annorlunda uttryckt, 1 rad ≈ 57,295°.
[ Cirkelns omkrets = diameter × π I enhetscirkeln: 2 × π ]
![Page 25: Kap 2 – Trigonometri och grafer](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061505/56813e24550346895da80520/html5/thumbnails/25.jpg)
GRADER RADIANER
25
360 2
180
90 2
60 3
45 4
Bra att kunna
utantill.
![Page 26: Kap 2 – Trigonometri och grafer](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061505/56813e24550346895da80520/html5/thumbnails/26.jpg)
GRADER RADIANER
26
DEGRAD 2
360
RADDEG 360
2
DEG = Degrees (grader)RAD = Radianer
ETT HELT VARV
360
2
Grader:
Radianer:
Gon (tidigare benämnd nygrad)Ett vinkelmått avpassat efter decimal systemet är nygrader (gon, grade). Systemet kallas centesimalsystemet.1 rätt vinkel (90º) indelas i 100 nygrader (100g, grade)1g indelas i 100 nyminuter (100c, centesimal minute)1c indelas i 100 nysekunder (100cc, centesimal secunde) I lantmäteri anges vinkel i gon.På miniräknare beteckningen ”DEG" för grader och ”GRA" eller ”GON" för nygrader. Källa: http://matmin.kevius.com/vinkel.php
![Page 27: Kap 2 – Trigonometri och grafer](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061505/56813e24550346895da80520/html5/thumbnails/27.jpg)
GRADER RADIANER
27
Ett exempel:
![Page 28: Kap 2 – Trigonometri och grafer](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061505/56813e24550346895da80520/html5/thumbnails/28.jpg)
Deriveringsregler för potens- och exponentialfunktioner
28
jämför
ln 1eOBS!
![Page 29: Kap 2 – Trigonometri och grafer](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061505/56813e24550346895da80520/html5/thumbnails/29.jpg)
CIRKELSEKTORN - BÅGE OCH AREA
29
2360
vb r
Cirkelbågens längdVinkeln mäts i grader
Vinkeln mäts i radianer
Cirkelsektorns areaVinkeln mäts i
graderVinkeln mäts i radianer
rvrv
b
22
2 2360 360 2
v v rA r r
22
22 rvr
vA
22 2360
vrr b r
A
222
2 rbrrvrvA
![Page 30: Kap 2 – Trigonometri och grafer](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061505/56813e24550346895da80520/html5/thumbnails/30.jpg)
2.3 De trigonometriska funktionernas derivator
30
Hur kan man se detta i DESMOS?
![Page 31: Kap 2 – Trigonometri och grafer](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061505/56813e24550346895da80520/html5/thumbnails/31.jpg)
Derivatan av trigonometriska funktioner
Hur kan man visa att regler för derivering av trigonometriskafunktioner endast gäller om vinklarna anges i radianer?
Genom att utföra samma beräkning med en räknare som först ställts in på radianer och sedan på grader (degree).
OBS! 1 RAD 57,2957795130823°
![Page 32: Kap 2 – Trigonometri och grafer](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061505/56813e24550346895da80520/html5/thumbnails/32.jpg)
Derivatan av trigonometriska funktioner
Hur kan man visa att regler för derivering av trigonometriskafunktioner endast gäller om vinklarna anges i radianer?
OBS! /4 RAD = 45°
![Page 33: Kap 2 – Trigonometri och grafer](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061505/56813e24550346895da80520/html5/thumbnails/33.jpg)
Derivatan av trigonometriska funktioner
En liten film som visar varför man skall använda radianernär man använder derivatan till trigonometriska formler.
http://wikiskola.se/index.php?title=Derivatan_av_trigonometriska_funktioner
![Page 34: Kap 2 – Trigonometri och grafer](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061505/56813e24550346895da80520/html5/thumbnails/34.jpg)
Derivatan av sammansatta funktioner
![Page 35: Kap 2 – Trigonometri och grafer](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061505/56813e24550346895da80520/html5/thumbnails/35.jpg)
Kedjeregeln
![Page 36: Kap 2 – Trigonometri och grafer](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061505/56813e24550346895da80520/html5/thumbnails/36.jpg)
Kedjeregeln
4
43
5
3
53
2 3 4
2
2
'
4
'
4
3
3' 15 ( )
5
5 4 4
p x
p
z x
z
y x
y
x
x x x
x
x
![Page 37: Kap 2 – Trigonometri och grafer](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061505/56813e24550346895da80520/html5/thumbnails/37.jpg)
Jag har matat in en funktion på Y1 och en på Y2 i minräknare. Sedan slog jag följande:
Vad kan man säga om relationerna mellan funktionerna Y1 och en på Y2 ?
Y2 är derivatan till Y1. Varför ger beräkningarna inte exakt samma resultat?
Kedjeregeln
![Page 38: Kap 2 – Trigonometri och grafer](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061505/56813e24550346895da80520/html5/thumbnails/38.jpg)
Kedjeregeln
4cos ' 4sin
3 '2 2
4cos 32
' 4sin 3 4 sin 3 2 sin 32 2 2 2 2
p x p x
z x z
y x
y x x x
![Page 39: Kap 2 – Trigonometri och grafer](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061505/56813e24550346895da80520/html5/thumbnails/39.jpg)
Kedjeregeln4
1Bestäm derivatan av ( )f x
x x
4
1
1
2
1( )
1( )
( )
f xx x
g x x xx x
h x x x x x
Origo 4, uppg. 3141, sid 84
![Page 40: Kap 2 – Trigonometri och grafer](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061505/56813e24550346895da80520/html5/thumbnails/40.jpg)
Kedjeregeln4
1Bestäm derivatan av ( )f x
x x
4 3
1 2
1 1
2 2
1 1( ) '( ) 4 '( )
1( ) '( ) '( )
1( ) '( ) 1
2
f x f x g xx x x x
g x x x g x x x h xx x
h x x x x x h x x
Origo 4, uppg. 3141, sid 84
![Page 41: Kap 2 – Trigonometri och grafer](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061505/56813e24550346895da80520/html5/thumbnails/41.jpg)
Kedjeregeln4
1Bestäm derivatan av ( )f x
x x
4 3
1 2
1 1
2 2
32
3 122
1 1( ) '( ) 4 '( )
1( ) '( ) '( )
1( ) '( ) 1
2
1'( ) 4 '( )
1 1'( ) 4 1
2
f x f x g xx x x x
g x x x g x x x h xx x
h x x x x x h x x
f x x x h xx x
f x x x xx x
Origo 4, uppg. 3141, sid 84
![Page 42: Kap 2 – Trigonometri och grafer](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061505/56813e24550346895da80520/html5/thumbnails/42.jpg)
Kedjeregeln4
1Bestäm derivatan av ( )f x
x x
4 3 12
21 1 1
( ) '( ) 4 12
f x f x x x xx x x x
TEST!
Inmatat i räknaren:
Origo 4, uppg. 3141, sid 84
Hur skall vi tolka resultatet?
![Page 43: Kap 2 – Trigonometri och grafer](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061505/56813e24550346895da80520/html5/thumbnails/43.jpg)
Kedjeregeln4
1Bestäm derivatan av ( )f x
x x
3 12
21 1
'( ) 4 12
f x x x xx x
Origo 4, uppg. 3141, sid 84
I facit står det:
5
2 4'( )
xf x
x x x
Är det samma sak? Hur kan man kolla det?
![Page 44: Kap 2 – Trigonometri och grafer](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061505/56813e24550346895da80520/html5/thumbnails/44.jpg)
Kedjeregeln
3 122
5
1 1 2 4'( ) 4 1 '( )
2
xf x x x x f x
x x x x x
Origo 4, uppg. 3141, sid 84
Är dessa båda samma sak?
![Page 45: Kap 2 – Trigonometri och grafer](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061505/56813e24550346895da80520/html5/thumbnails/45.jpg)
Omvandling
3 1
25
2 2 4'( ) '( )1
1 1
24 x
xf x f x
x x xx x
x x
Origo 4, uppg. 3141, sid 84
Att omvandla VL till HL.
Skriver om blå
31 1 1 1
4 4x x x x x x x x
Skriver om röd
2
2 1 1 11 1x x
x x x x x x
Multiplicerar blå med röd
5 5
5 5
1 1 1 1 41 4 4
1 1 14
x x x x x x x x x xx x x x x x
![Page 46: Kap 2 – Trigonometri och grafer](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061505/56813e24550346895da80520/html5/thumbnails/46.jpg)
Omvandling
3 1
25
2 2 4'( ) '( )1
1 1
24 x
xf x f x
x x xx x
x x
Origo 4, uppg. 3141, sid 84
Att omvandla VL till HL.
Multiplicerar produkten med grön
5
1
5
5 5
25 5
5
1 1 1 1 2 1 21 1
2 2
4 4 4 4
2 2 44 8 2 4
2 2
2 2 2x x x x x x x x
xx x
x x x
x xx
x x x
x x xx x x
x
Q.E.D.