Download - Kapitel 3 Matematik 3c
-
8/18/2019 Kapitel 3 Matematik 3c
1/29
Kapitel 3
3101
a) C och F , eftersom punkterna på grafen intill dessa
punkter är större än C och F .
b) C , eftersom den har det minsta y -värdet.
c) A och E , eftersom punkterna på grafen intill dessa
punkter är mindre än A och E .
d) A, eftersom den har det största y -värdet.
e) A, C, E och F utgör extrempunkterna.
3102
a) f (0) = 5
b)
3103
a) a och d eftersom punkterna på grafen intill dessa punkter
är större än a och d.
b) d eftersom vi ser att d är mindre än a. Dessutom vet vi att
grafen stiger utanför intervallet eftersom det endast finns
tre extrempunkter.
c) b, eftersom punkterna på grafen intill dessa punkter är
mindre än b.
d) Eftersom funktionen är definierad för alla reella tal så
kommer maxvärdet att gå mot oändligheten då talet x går
mot +/– oändligheten.
3104
a) (–2, –2) och (2, –1) eftersom punkterna på grafen intill
dessa punkter är större.
b) (–2, –2) minst y -värde.
c) (0, 1) och 3, 3) eftersom punkterna på grafen intill dessa
punkter är mindre.
d) (4, 3) ger störst y -värde.
e) (–2, –2), (0, 1), (2, –1) och (4, 3) d.v.s. samlingen av
lokala max- och minpunkter.
3107
a) För x = 1 då är grafen parallell med x -axeln och
derivatan är lika med noll.
b) Positiv eftersom grafen stiger.
c) För x < 1.
d) I intervallet 1 ≤ x .
3108
a) För x = 0 och x = 2.
b) Negativ, grafen lutar neråt.
c) Inom intervallet vi ser så är funktionen avtagande i
intervallet 0 ≤ x ≤2.
d) Inom intervallet vi ser så är funktionen växande i
intervallen x ≤0 och 2 ≤ x .
-
8/18/2019 Kapitel 3 Matematik 3c
2/29
3109
a) Först förenklar vi funktionen: y = 3 x 2 – 30 x = 3 x ( x – 10)
Eftersom funktionen är av grad två vet vi att det endast
kommer finnas en extrempunkt och att den kommer ligga
mitt emellan två punkter med samma y -värde. Vi väljer y -
värdet noll och ser att x måste vara noll eller tio dåeftersom: y = 3 ∙ 0 ∙ (0 – 10) = 0, y = 3 ∙ 10 ∙ (10 – 10) = 0.
Därför så måste extrempunkten ha x -värdet mitt emellan
d.v.s. 5.
b) Eftersom x 2 termen inte har något minus tecken framför
sig kommer grafen ha en minpunkt vilket gör att derivatan
kommer vara negativ till vänster om extrempunkten.
c) Här blir det tvärt om, d.v.s. positiv derivata.
d) För 5 ≤ x .
3110
a) För x ≤ 0 och 2 ≤ x .
b) Noll, det står i tabellen.
c) Negativ.
d) Två, står i tabellen.
3111
a) –3 och 1 (ungefär).
b) För –3 0.
c) Eftersom derivatan först stiger och sedan avtar.
3116
a)
b)
c) Negativt, eftersom det inte finns ett minustecken framför
x 2-termen.
d) Positivt, annars blir det inte en glad mun .
e) Minpunkt eftersom det är en glad mun.
3117
a) x = –2 och x = 3, från tabellen
b) (–2, 4) är en maxpunkt eftersom grafen först stiger sen
avtar. (3, –2) är en minpunkt eftersom funktionen först
avtar sen stiger.
c) Se figur i facit.
-
8/18/2019 Kapitel 3 Matematik 3c
3/29
3118
a) y ¢ = 3 x 2 – 12 = 0 x = ± (12 / 3) = ±2
b) –3 < –2 ⇒ y ¢ = 3 ∙ (–3)2 – 12 = 27 – 12 = 15
–2 < 0 < 0 ⇒ y ¢ = 3(0)2 – 12 = –12
2 < 3 ⇒ y ¢ = 3(3)2 – 12 = 27 – 12 = 15
x –2 2
f ¢ ( x ) + 0 – 0 +
c)
Extrempunkternas koordinater blir därför, (–2, 16) och
(2, 16).
d)
3119
a) Först hittar vi derivatans nollställen:
y ¢ = 227 3 0 (27 / 3) 3 x x − = ⇔ = = ±
Sen beräknar vi derivatans tecken på sidan om nollställen:
x = –4 < –3 ⇒ y ¢ = 27 – 3(–4)2 = 27 – 48 < 0
–3 0
3 0
0
-
8/18/2019 Kapitel 3 Matematik 3c
4/29
3120
a) Först beräknar vi derivatans nollställen:
y ¢ = 3 x 2 – 12 x = x ( x – 4) = 0 ⇔ x = 0, x = 4
Därefter bestämmer vi ifall de är max-/minpunkter
x = –1 < 0 ⇒ y ¢ = 3(–1)2 – 12(–1) = 15 > 0
0
-
8/18/2019 Kapitel 3 Matematik 3c
5/29
3123
a) Först beräknar vi derivatans nollställen:
y ¢ = 9 x 2 + 9 > 9 > 0
Här ser vi att derivatan aldrig är noll utan att den är som
minst 9, då x =0, och stiger då x stiger/avtar.
Istället räknar vi ut några punkter:
och med hjälp av dem skissar vi grafen:
b) Derivatans nollställen: y ¢ = 4 x 3 – 12 x 2 = 0 ⇔ x = 0,
eller y ¢ = x – 3 = 0 ⇔ x = 3.
Om x är mindre än noll blir derivatan negativ.
Är den mellan noll och tre, t.ex. 1, blir den även då negativ
vilket betyder att vid x = 0 har vi en terrasspunkt. Om x är
större än tre då blir istället derivatan positiv vilket betyder
att då x = 3 har vi en minpunkt. Grafen ser därför ut såhär:
3124
a) Grafens derivata är först negativ, sen 0 då x = 0, och
därefter positiv. Grafen av derivatan bör därför se ut såhär:
b) Här gäller det omvända, d.v.s. derivatan är först positiv,
sen 0 då x = a, och därefter negativ. Grafen blir därför
såhär:
3125
a) Om vi börjar med y = x 3 ser vi att derivatan blir y ¢ = 3 x 2,
hade det funnits en positiv konstant term också så hade
derivatan aldrig kunnat bli lika med noll. Vi lägger därför
till termen x och får då funktionen y = x 3 + x , vilken saknar
extremvärden.
b) Vi utgår ifrån y = x 3 igen dess derivata y ¢ = 3 x 2. Vi vet att
pq-formeln har två olika lösningar och vill därför ha en till
x -term i derivatan. Detta får vi genom att addera en x 2-term
till funktionen. En funktion skulle därför kunna vara
y = x 3 + x 2.
-
8/18/2019 Kapitel 3 Matematik 3c
6/29
3126
a) Först beräknar vi derivatan, utan att bry oss om
konstanten a: f ¢ = 3 x 2 – 2ax
Vi vet att då x = –2 blir derivatan noll för ett visst a:
f ¢ (–2)= 3(–2)2 – 2a(–2) = 3 ∙ 4 + 4a = 0
vilket vi ser är då a = –3.
För att ta reda på ifall punkten är max/minpunkt kan vi titta
på andra derivatan. Ifall den är positiv så ökar derivatan och
därför måste det vara en minpunkt och tvärt om ifall andra
derivatan är negativ. Andra derivatan är:
f ¢¢ ( x )= 3(2) x – 2a = 6 x + 6
f ¢¢ (–2) = –12 +6 < 0
Därför är det en maxpunkt.
3127
a) Vi undersöker detta genom att titta på derivatan och se
för vilka värden på a som derivatan inte kan anta värdet
noll.
y ¢ = 3 x 2 + 2ax + 1 = 0
x = 2 2(2 / 6) (2 / 6) (1 / 3) 1 / 3 ( 3) / 9a a a± − = ± −
Vi ser från detta att , d.v.s. att
absolutvärdet av a måste vara < 3 .
b) Om det bara finns en extrempunkt i grafen till ett
tredjegradspolynom, d.v.s. ett sådant vi har, måste
extrempunkten vara en terrasspunkt eftersom funktionen
ska gå mot plus oändligheten åt ena hållet och mot minus
oändligheten åt andra hållet. Vi ser av beräkningarna i
a-delen att derivatan endast har ett nollställe då
c) Sista fallet, då grafen har två extrempunkter får vi då a är
större än roten ur tre eller mindre än minus roten ur tre.
3128
a) Vi börjar med att derivera funktionen och hitta vilka a-
och b-termer som får derivatan att vara 0 då x = 1 med
y -värdet = 2
y ¢ = 3ax 2 + b = 3a + b = 0 ⇔ b = – 3a
2 = y = ax 3 + bx = a(1)3 – 3a(1) = –2a ⇔ a = –1, b = 3
För att ta reda på ifall extrempunkten är en max- eller
minpunkt tittar vi på andra derivatan som i uppgift 3126:
y ¢¢ = 2(3ax ) = –6 x
x = 1 ⇒ y ¢¢ = –6
vilket gör att derivatan vänder neråt och att vi har en
maxpunkt.
3129
Vi beräknar värdet för de olika potenserna och jämför dem. x x 2 x 3
200 200 40 000 8 000 000
0,1 0,1 0,01 0,001
0,5 0,5 0,25 0,125
3130
Då x går mot oändligheten kommer x 3-termen vara oändligt
mycket större än de andra termerna och vi kan därför
ignorera dem. x 3 kommer gå mot plus oändligheten ifall det
inte står något minustecken framför termen. Nu ser vi frångrafen att funktionen går mot minus oändligheten och
därför måste det stå ett minustecken framför x 3-termen.
3131
a) x 3-termen eftersom den har högst potens.
b) Konstant termen ifall x är mindre än en femtedel.
c) Grafen bör se ut som denna:
-
8/18/2019 Kapitel 3 Matematik 3c
7/29
3132
a) Utnyttja att x 3-termen dominerar för stora x tillsammans
med att beräkna funktionens extrempunkter för att skissa
grafen.
y ¢ = 3 x 2 – 2(2 x ) – 1 = 3 x 2 – 4 x – 1 = 0
x = 2(4 / 6) (4 / 6) (1 / 3) 2 / 3 (7 / 9)± + = ±
Eftersom x 3-termen inte har något minus tecken framför sig
måste den första extrempunkten vara en maxpunkt och den
andra en minpunkt. Från detta kan vi skissa:
3133
a) Inget minustecken framför x 3-termen betyder att den
börjar längst ner till vänster och slutar längst upp till höger i
ett koordinatsystem. För att få reda på vad som händer
däremellan beräknar vi extrempunkterna.
y ¢ = 3 x 2 + 2(3 x ) = 3 x ( x +2) = 0 ⇔ x =0, x = –2
Och som tidigare vet vi att den första är en maxpunkt och
att den andra är en minpunkt. Grafen kan vi därefter rita
och bör se ut som denna:
3134
Vi kan direkt räkna bort C och D eftersom de inte är
tredjegradsfunktioner. Ett trick som sedan kan användas är
att ifall x 2-termen har ett minustecken framför sig ”flyttar
sig” grafen åt höger. Eftersom vår graf är flyttad åt vänster
måste det vara ett plustecken framför x 2
-termen och därförstämmer A.
3135
Vi vet att grafen kommer starta längst ner till vänster och
stiga upp till det högra hörnet i ett koordinatsystem
eftersom det inte finns ett minus-tecken framför x 3-termen.
För att hitta extrempunkterna tittar vi på derivatan.
f ¢ ( x ) = 3 x 2 + 2 x – 8 = 0
x = ( 2 / 6) (1 / 9) (8 / 3) ( 1 / 3) (5 / 3)− ± + = − ±
Vi stoppar in dessa x -värden i funktionen för att hitta
y -värdena vid extrempunkterna.
Vilket ger grafen:
-
8/18/2019 Kapitel 3 Matematik 3c
8/29
3136
a) Den med högst potens, d.v.s. x 4-termen.
b) Konstanttermen, d.v.s. den med lägst potens.
c) Då x går mot plus och minus oändligheten går y motoändligheten eftersom minustecknet försvinner i x 4-termen.
Vi tittar på derivatan för att beräkna eventuella
extrempunkter.
y ¢ = 4 x 3 – 12 x = 4 x ( x 2 – 3) = 0 ⇒ x =0, x =± 3
Vi stoppar in dessa x -värden för att hitta extrempunkternas
y -värden.
Eftersom grafen börjar längst upp till vänster måste den
första extrempunkten vara en minpunkt, den andra en
maxpunkt och den sista en minpunkt också vilket stämmer
överens med våra y -värden. Grafen blir därför som denna:
3137
Direkt kan vi säga att den troligen inte kommer ha det
eftersom en fjärdegradsfunktion som har tre nollställen ska
ha sin mellersta (andra) extrempunkt precis på x -axeln
vilket är ovanligt. Men eftersom det ändå kan hända tittar vi
på y -värdena av extrempunkterna.
y ¢
= –4 x 3
+ 56 x = 4 x ( x 2
– 16) = 0 ⇒ x =0, x
=±4
Eftersom alla extrempunkter har y -värden som är större än
noll har funktionen två nollställen.
3138
a) Vi ser direkt att då x är noll, sex eller tio kommer en av de
3 termerna i funktionen bli noll och funktionen som helhet
också.
b) Fram till x = 0 är alla termer negativa vilket gör attgrafen som helhet är det också. Mellan noll och sex är en
term positiv och de två andra negativa, vilket gör att
funktionen som helhet blir positiv. Mellan sex och tio är två
termer positiva vilket gör att funktionen blir negativ. Då x är
större än tio är alla termer positiva vilket gör att funktionen
som helhet blir det också. Med hjälp av detta kan vi skissa:
c) Från texten ovan vet vi att funktionen är positiv mellan
noll och sex samt även efter tio.
3139
Eftersom koefficienten framför x 3-termen är negativ startar
grafen längst upp till vänster och stiger därefter. Därför är
grafen positiv innan –2 och mellan 1 och 4. Grafen ser ut
som denna:
-
8/18/2019 Kapitel 3 Matematik 3c
9/29
3140
a) Först drar vi ut den största gemensamma potensen och
därefter fortsätter vi:
b) Vi ser direkt från den faktoriserade funktionen att
ekvationens nollställen är x = 0, x = –2 och x = 4.
c) Eftersom x 4 har ett minustecken framför sig kommer den
börja längst ner till vänster. Vid x = –2 kommer den gå över
till positiva y -värden. Vid x = 0 har vad som kallas en
dubbelrot eftersom x 2 =0. Vad detta betyder är att grafen
bara nuddar x -axeln innan den börjar stiga igen. Först vid x
lika med fyra vänder funktionen ner och blir negativ. Därför
är funktionen positiv mellan –2 och 4.
3141
Genom att veta tre nollställen kan vi skapa en funktion via
faktorisering: där c är en
konstant som vi bestämmer med hjälp med den sista
punkten i tabellen.
Vi ser nu att konstanten framför x 3-termen är negativ vilket
gör att funktionen är positiv för x mindre än –3 samt mellan
x = –1 x = 4. Vilket ger grafen:
Vilket är grafen av
3142
Genom att titta först skissa en graf som liknar – x 4 grafen och
därefter sudda ut delen för små x och istället rita in x 3
grafen får vi en graf som liknar:
b) f ¢ ( x ) = 12 x 2 – 12 x 3 = 12 x 2(1 – x ) = 0 ⇒ x =0, x
=1
Extrempunkterna blir maxpunkten (1, 1).
3145
Minsta värdet hittar vi vid x = 3, då är y = –27.Största värdet hittar vi vid x = –1, då är y = 37.
3146
Eftersom en andragradsfunktion har maximalt ett lokalt
extremvärde räcker det att jämföra det lokala extremvärdet
(då x = 3) med randvärdena ( x = 1 och x = 6).
3147
a) y ¢ = 20 – 10 x = 0 ⇔ x = 2
b)
c)
d) Funktionens största hittas vid x = 2( y (2) =20) emedan
det minsta hittas vid randpunkterna ( y (0) = 0).
-
8/18/2019 Kapitel 3 Matematik 3c
10/29
3148
a) Vi ser att grafen är parallell med x -axel då x = 5 och 9.
b) y -värdet är som störst 11.
c) Nej, f (2) = 5 medan f (9) = 2.
3149
Först vi beräknar vi nollstället för derivatan:
y ¢ = 2 x – 2 = 0 ⇔ x = 1. Nu testar vi randpunkterna och
det lokala extremvärdet för att se vilka y -värden de ger.
Vi ser att största funktionsvärdet är 3 medan det minsta
är –1.
3150
Först vi beräknar vi nollstället för derivatan:
y ¢ = 6 x 2 – 24 = 0 ⇔ x =± 4 . Nu testar vi randpunkterna
och lokala extremvärdet för att se vilka y -värden de ger.
Vi ser att största funktionsvärdet är 138 medan det minsta
är –24.
3151
Se facit.
3152
Först vi beräknar vi nollstället för derivatan:
f ¢ ( x ) = 3 x 2 – 2 x – 1 = 0 ⇔
Nu testar vi randpunkterna och det lokala extremvärdet för
att se vilka y -värden de ger.
a)
Vi ser att största funktionsvärdet är 4 då x = 2.
b) Här ser vi att y är minst (=1) då x = 1.
3153
Först vi beräknar vi nollstället för derivatan,
y ¢ = 12 x 2 – 780 x + 12000 = 0
⇔
Nu testar vi randpunkterna och det lokala extremvärdet för
att se vilka y -värden de ger.
Vi ser att största funktionsvärdet är 125 000 då x = 50
medan det minsta är 112 000 då x = 40.
3154
Eftersom derivatan är två, konstant, vet vi att funktionen är
en rät linje som har k-värdet 2.
x = 0 ⇒ y = 3
x = 1 ⇒ y = 3 + 2
x = 2 ⇒ y = 3 + 2 + 2
x = 3 ⇒ y = 3 + 2 + 2
x = 4 ⇒ y = 3 + 2 + 2 + 2 + 2 = 11
-
8/18/2019 Kapitel 3 Matematik 3c
11/29
3155
Ifall funktionens minsta värde ligger i en av ändpunkterna
men ändpunkten tillhör inte intervallet. Ett exempel är
funktionen har inget minsta värde
eftersom –1 inte tillhör intervallet.
3156
Först vi beräknar vi nollstället för derivatan:
f ¢ ( x )= 24 x – 12 x 2 – 12 x 3 = 0 ⇔ x 0 = 0
Nu testar vi randpunkterna och det lokala extremvärdet för
att se vilka y -värden dem ger.
Vi ser att största funktionsvärdet är 13 vid x = –1 och att det
minsta värdet infaller då x = 2, men den punkten tillhör
inte intervallet så en minsta punkt finns inte.
3157
Vi kommer lösa den här uppgiften algebraiskt.
a får därför minst vara noll och max vara 1,5.
3202
a) y ¢ = 9,6t + 9,6 = 0 ⇔ t = 1
b)
3203
a) Vi söker derivatans nollställe:
y ¢ = 1000 – 10 x = 0 ⇔ x = 100 kr.
b) kr.
3204
Likformighet ger:
a) Vi söker nollställen och tar medelvärdet av dem för att
hitta x -
koordinaten. cm
cm/dygn
b) y ¢ = 0,00035 ∙ 260 – 0,0007 x = 0 ⇔ x = 130
c) Först ritas kurvan därefter letar du efter dy /dx -funktion
som ofta ligger under GRAPH på miniräknaren.
3205
y ¢ = 2,1 – 0,82 x = 0 ⇔ x = 2,6
3206
a)
b)
c) Vi letar efter derivatans nollställe och beräknar y -värdet
där: y ¢ = 0,5t – 2 = 0 ⇔ t = 4 ⇒ 0,25(4)2 – 2(4) +2 = –2°
Så det är kallast klockan 4 då det är –2°. Vi vet även att
ändpunkten t = 12 ger det största värdet 14°.
3207
a)
b) Se uppgift a).
c) Arean > 0 vilket ger att 0
-
8/18/2019 Kapitel 3 Matematik 3c
12/29
3208
a)
b) Vi vet att arean inte kan bli därför får tre gånger x inte
vara större än 420, vilket leder till att x max får vara 140 m.
Samtidigt får x inte vara negativ eftersom bredden får inte
vara negativ heller.
c) A¢ ( x )= 420 – 6 x = 0 ⇔ x = 70
A(70) = 70(420 – (3 ∙ 70)) = 14 700 m2
3209
Vi kan avläsa att tangenten lutar neråt med k-värde –1. Det
betyder att temperaturen minskas med 1 grad per timme.
3210
a) Dagens intäkter är en funktion av volym och pris. Därför
blir I ( x ) = 28 x
b) tkr
c) V ¢ ( x )= 15 + 12 x – 3 x 2 = x 2 – 4 x – 5 = 0 ⇔
3211
a)
b)
c) A¢ ( x )= 36 – 4 x = 0 ⇔ x = 9
3212
a) Arean för triangeln längst ner till höger kan beskrivas
av:
För triangeln längst ner till vänster blir arean:
Och För den övre triangeln blir arean:
Totalt blir arean för de tre trianglarna:
12 x +8 x – x 2 + 96 – 8 x = 96 + 12 x – x 2
b) A = Rektangelns area – Trianglarnas area =
c) För att figuren fortfarande ska vara en rektangel måste
0 ≤ 2 x ≤ 16 och 0 ≤ x ≤12, vilket ger att 0 ≤ x ≤8.
d) A¢ ( x )= Vilket ger minimivärdet
3213
a)
b)
c) Eftersom h + r = 12 och radien måste vara positiv så är
definitionsmängden 0 < r < 12.
d) V ¢ (r)=
e) V ¢ (r)= = 8r – r2 ⇔ r(8 – r) ⇒ r = 0, r = 8
Men eftersom r inte får vara noll blir måtten blir radien
åtta cm och höjden 12 – 8 = 4 cm.
3214
Se facit.
-
8/18/2019 Kapitel 3 Matematik 3c
13/29
3215
För att besvara denna fråga deriverar vi funktionen och
försöker sätta den till 4.
y ¢ =
Vilket inte går i den här uppgiften eftersom vi inte kan taroten ur ett negativ tal.
3216
a)
b)
c) Vi beräknar minimipunkten med hjälp av derivata.
S¢ ( x )=
Vilket gör att x också blir 30m.
3217
Antag att kvadrater som skärs ut har sidan x . Då skulle
volymen förklaras av: y ¢ = 3 x 2 + 2 x – 2 = 8 ⇔
V ¢ ( x ) = 8000 – 520 x + 6 x 2 = 0 ⇔
Om x hade varit 66,7 cm hade bredden varit större än
största möjliga (50=100/2). Därför måste kvadrantens
sidor vara 20 cm vilket ger den maximala volymen:
3218
Om vi mäter skillnaden som en funktion d( x ) blir den:
för att hitta största skillnaden beräknar vi
derivatans nollställe, d¢ ( x ) = 1 – 2 x = 0 ⇒ x = 0,5
3219
Jag tänker använda Pythagoras sats här för att först räkna ut
den sista sidans längd i triangeln.
m
Vidare kan vi utnyttja likformighet för att relatera
bottenytans bredd och längd. Låt tomtens horisontella
sträcka vara B = 42 – x , där x är den stora triangelns bas,
och dess vertikala sträcka vara y . Likformighet ger då:
Vi kan därför beskriva bottenarean:
Arean = A( x ) = (42 – x ) y = (42 – x ) ∙ (40/42) x =
= 40 x – 40/42 x 2 ⇒
⇒ A¢ ( x ) = 40 – (40/21) x = 0 ⇔ x = 21 ⇒ B = 21, y = 20
⇒ A(21) = 420 m2
3221
Triangelarean beskrivs av:
Vi letar efter derivatans nollställen:
A¢ ( x )=
Men eftersom arean är lika med noll då x är noll så beräknar
vi istället: cm2
3222
a) y = 3 – 0,5 x , eftersom y är lika med tre då x är noll och y
är lika med noll då x är sex.
b) Låt B vara rektangelns bredd och H vara rektangelns
höjd. Vi skaparen relation mellan B och H via likformighet:
Vi deriverar nu R med avseende på B:
R = H ∙ B = 0,5(6 – B) ∙ B = 3 B – B2 /2 ⇒ R = 3 – B ⇒ B = 3
Vilket ger arean: R = 0,5(6 – 3) ∙ 3 = 4,5
3223
Area = Bredden ∙ Höjden = 2 x ∙ ( 12 – x 2)
A¢ ( x )=
Men x kan inte vara negativt, vilket gör att max-värdet blir
-
8/18/2019 Kapitel 3 Matematik 3c
14/29
⇔
3224
a) Funktionen har ett lokalt maximum.
b) Funktionen har ett lokalt minimum.
c) Funktionen har en terasspunkt på väg uppåt.
3225
a) Vi söker värdet då derivatan har samma lutning som
sekanten. Sekantens lutning är och
derivatan är:
y ¢
b) Ja för den här funktionen stämmer det, eftersom den är
ett polynom och därför kontinuerlig samt deriverbar i varjepunkt.
3226
a) Vi tittar på derivatan: f ¢ ( x ) = 3 x 2 – a > 0 för alla x
eftersom x 2 > 0 och –a > 0.
b) Vi hittar först derivatans nollställen,
f ¢ och runt dessa beräknar vi
derivatan.
f ¢ ( a− ) = 3a – a = 2a > 0
f ¢ (0) = 3(0) – a = –a < 0
f ¢ ( a ) = 3a – a = 2a > 0
Här ser vi att derivatan stiger till en maximipunkt för att sen
vända ner till en minimipunkt innan den vänder upp igen.
3227
Här utnyttjar vi derivatans definition men bortser från att h
ska gå mot noll och låter det istället vara 0,1, vilket gerfunktionen:
( f (1,1) – f (1))/0,1 = f ¢ (1) ⇔
3228
a) Priset bestäms av och vi vill
hitta derivatans nollställe.
b) P¢ ( x )
Biljettpriset som ger maximal intäkt är därför 65 kr.
3229
Här kan vi utnyttja likformighet. Om vi förkortar sträckan
mellan cylinderns topp och konens topp med h*, vet vi att
Vilket ger cylinderns höjd: så om viantar att cylinderns radie är r kan vi uttrycka cylinderns
volym med formeln:
Nu använder vi derivata: V ¢ (r)
Om radien hade varit noll
kommer volymen bli det också, men om radien är åtta blir
volymen:
3230
Från uppgiften får vi en formel med 3 okända och 3 villkorsom vi kan utnyttja för att hitta de okända konstanterna.
y = ax 2 + bx + c, y ¢ = 2ax + b
1) 0 = a(0)2 + b(0) + c ⇒ c = 0
2) y ¢ = 2a(0) + b = 1 ⇒ b = 1
3) 4 = a(1)2 + 1(1) = a + ⇒ a = 3
3231
Först beräknar vi derivatan och därefter kollar vi ifall
funktionen håller för den givna punkten.
y ¢ = –2 x , y ¢ (0) = –2(0) = 0 ≠2
3232
Den ledsna munnen kan beskrivas av och
den positiva munnen som är förskjuten till höger beskrivs av
eftersom både derivatan och funktionen
har ett nollställe för samma x . f ( x ) är definierad över
intervallet 0 ≤ x ≤ 10 medan g( x ) är definierad för x större
eller lika med 10. Vi vet även att , f (10) = g(10)
samt att f ¢ (10)= g¢ (10), vilket ger sambanden:
f (0) = a = 25
f (10) = 25 – 100b = 10 b = (25 – 10)/100 = 0,15
f ¢ (10)= –2(0,15)10 = –3
g¢ (10) = 2c(10 – d)
f ¢ (10)= g¢ (10) ⇔ –3 = 2c(10 – d) ⇔ c = –3/(20 – 2d)
g(10) = c(10 – d)2 = –3/(2(10 – d) ∙ (10 – d)2 =
= –3/2 ∙ (10 – d) = 10 ⇔
⇔ d = 10 + 20/3 = 50/3 ⇒ c = –3/(2(10 – 50/3))= 9/40
-
8/18/2019 Kapitel 3 Matematik 3c
15/29
⇒
3235
a) y = x ⇒ y ¢ = 0,5 x –1/2
b) y = 1/ x + 5/ x 2 = x –1 + 5 x –2 ⇒ y ¢ = – x –2 – 10 x –3
3236
f ( x ) = 2 x 0,5 f ¢ ( x ) = x –1/2 = 1/ x ⇒ f ¢ (1) = 1/ 1 = 1
3237
y ¢ ( x ) = 2(–2) ∙ (1/ x 3) ⇒ y ¢ (2)= –4 ∙ 1/23 = –0,5
3238
a) y ¢
b) y ¢
3239
Först beräknar vi tangentens ekvation:
f ¢
3240
a)
b) ) y ¢ ( x )= 15/(2 x ) ⇒ y ¢ (100)= 15/20 = 3/4
Vilket betyder att när bilens bromssträcka är hundra m ökar
hastigheten med 3/4 kilometer per timme per meter.
3241
g¢
3242
a) Derivatan är y ¢ = 1 – (1/ x 2), vilket säger oss att
funktionen minskar i värde så länge –1
-
8/18/2019 Kapitel 3 Matematik 3c
16/29
3244
Från funktionen ser vi att x > 0 eftersom vi inte kan ta roten
ur ett negativt tal. Med hjälp av derivatan,
f ¢ , ser vi att funktionen
först sjunker men vänder uppåt vid .
3245
a) Vi tittar på derivatan och ser ifall den går mot ett
asymptotiskt värde. lim x →±∞
y ¢2
5lim 4 4,
x x →±∞= − − = − vilket
betyder att asymptoten är y = 4 x .
b) Vi tittar på derivatan och ser ifall den går mot ett
asymptotiskt värde. lim x →±∞
y ¢2
10lim 0
( 1) x x →±∞= =
−, vilket
betyder att asymptoten ges av y = 4. Då x går mot 1 blirderivatan oändlig vilket betyder att det är en asymptot vid
x = 1 också.
3246
För att kunna göra detta skapar vi en funktion av uttrycket
och visar att funktionens minimivärde är 2 för x > 0.
y ( x ) = x + 1/ x ⇒ y ¢ ( x ) = 1 – 1/ x 2 – 1 = 0 ⇔ x = 1
och
3247
a) V (r) = πr2 ∙ h = π42 ∙ h = 1000 ⇔ h = 1000/16π ≈ 20 cm
b) Y (r) = 2 ∙ botten + mantelytan = 2 ∙ πr2 + 2πr ∙ h
Y (4) = 2 ∙ π42 + 2 ∙ π4 ∙ 1000/16π = 32π + 500 ≈ 600 cm2
c) Y(6) = 2 ∙ π62 + 2∙ π6 ∙ 1000/36π= 72π + 333 ≈ 559 cm2
d)Y (r) = 2πr2 + 2πr ∙ 1000/r2π = 2πr2 + 2000/r
Y ¢ (r) = 4πr – 2000/r2 = 4πr2 – 2000 = 0 ⇔
r = (2000/4π)1/3 = (500/π)1/3
3249
a) f ¢ ( x ) = 5 x 4 – 24 x 2, f ¢¢ ( x ) = 20 x 3 – 48 x
b) f ¢ ( x ) = 16 x + 8e
2 x
, f ¢¢ ( x ) = 16 + 16e
2 x
c) f ¢ ( x ) =(6 x 2 – 12)/3 , f ¢¢ ( x ) = 12 x /3
3250
a) y ¢ = –(3/ x 4), y ¢¢ = 12/ x 5
b) y ¢ = 2e2 x + 4e4 x , y ¢¢ = 4e2 x + 16e4 x
c) y ¢ = –(6/ x 3), y ¢¢ = 18/ x 4
d) y ¢ = –1/ x 2 + 1/(2 x ), y ¢¢ = 2/ x 3 – 1/4 x 3/2
3251
a) f ¢ ( x ) = x 2 – 12 x ⇒ f ¢¢ ( x ) = 2 x – 12 ⇒ f ¢¢ (0) = –12
b) f ¢¢ ( x ) = 2 x – 12= 0 ⇔ x = 12/2 = 6
3252
Först beräknar vi derivatorna sen summerar vi termerna.
y ¢ = 2e2 x , y ¢¢ = 4e2 x ⇒ y ¢¢ + y ¢ + y = 4e2 x + 2e2 x + e2 x = 7e2 x
3253
a) dy /dx + d2 y /dx 2 = 6e3 x + 18e3 x
b) dy /dx + d2 y /dx 2 = –6e–3 x + 18e–3 x
3254
a) y ¢ = 3 x 2 – 30 x ⇒ y ¢¢ = 6 x – 30 = 0 ⇔ x = 5
b) y ¢ = 12 x + e– x ⇒ y ¢¢ = 12 – e– x = 0 ⇔ x = – ln(12)
-
8/18/2019 Kapitel 3 Matematik 3c
17/29
3255
a) Vi deriverar och letar efter x -värden som gör att
derivatan blir negativ. ) f ¢ ( x ) = 4 x 2 0
y ¢¢ (1) = –60 ∙ 13 + 30 = –30 < 0
För extrempunkten i (0, 0) får vi ingen ytterligare
information av att titta på andra derivatan men vi ser att
extrempunkten vid x = –1 är en minimipunkt och för x = 1
så är det en maximipunkt.
c) Testet misslyckades eftersom andra derivatan var noll.
När det händer måste vi göra ett teckenstudium.
y ¢ (–0,5) = –15(– 0,5)4 + 15(–0,5)2 = 2,8125 > 0
y ¢ (0,5) = –15(–0,5)4 + 15(0,5)2 = 2,8125 > 0
Vilket visar att derivatan är positiv på båda sidorna, alltså ärpunkten en terrasspunkt.
-
8/18/2019 Kapitel 3 Matematik 3c
18/29
3262
a) >, eftersom f (e) är större än f (a).
b)
-
8/18/2019 Kapitel 3 Matematik 3c
19/29
3269
a)
b)
y ( x ) x
0 0
26 10
50 20
70 30
86 40
96 50
100 60
95 70
80 80
50 90
0 0
c) y ( x ) = (5 x 2 – 500 x )( x – 180)–1
y ¢ ( x )= (10 x – 500)( x – 180)–1 – (5 x 2 – 500 x )( x – 180)–2 = 0
vilket gör att x är 60 eftersom x < 100.
3270
a) Först deriverar vi funktionen sen så beräknar vi
funktionsvärdet.
a) Från grafen ser vi att det maximala värdet antas då x = 2
och är 144 mikrogram.
b) Funktionsvärdet är 75 då x är 0,5 och 5,1 vilket betyder
att skillnaden, 4,6 h, är hur länge grafen antar värden över
75 mikrogram.
3271
a) Bågens höjd är m och bredden
densamma.
b) f ¢ ( x )= –10,5(0,03133e0,03133 x – 0,03133e–0,03133 x )
⇒ f ¢ (10)= –0,21
vilket betyder att bågen lutar neråt med –0,21 meter per
meter tio meter från bågens högsta punkt.
-
8/18/2019 Kapitel 3 Matematik 3c
20/29
3272
a)
Först är det ganska få som dör sen runt vecka sex tar
epidemin fart och efter tolv veckor är det inte så många fler
som dör.
b) Från miniräknaren kan vi avläsa:
X y ¢ ( x )
5 4 600
6 12 300
7 23 900
8 26 200
9 15 500
10 6 200
3273
Från grafen ser vi att det tar drygt 10 sekunder för person A
att springa 100
meter.
I den andra grafen ser vi att person B springer snabbare.
Han springer på ungefär 9,8 sek.
b) Vi skapar en funktion, f (t), som beskriver skillnaden
mellan person A och B vid tiden t.
vilket ger
plotten:
Vi ser att den största skillnaden är strax efter en sekund.
-
8/18/2019 Kapitel 3 Matematik 3c
21/29
3275
a ) y ¢ = (1 ∙ x 1 – 1)/2 = 1/2
b) y ¢ = (2 ∙ –1 ∙ x 1 – 1) = –2/ x 2
c) y ¢ = 2e2 x
3276
y ¢ = (5/5)e0,2 x = e0,2 x
a) y ¢ =e0,2 ∙ – 5 = e–1 ≈ 0,37
b) y ¢ =e0,2 ∙ 5 = e1 ≈ 2,72
c) Nej, eftersom är en strängt växande funktion.
3277
a) f ¢ ( x )= 3 ∙ x 1 – 1 – e x = 3 – e x
b) f ¢ ( x )= 3 – e x = 0 ⇔ x = ln 3
c) Vi kollar på andra derivatan utvärderat i extrempunkten:
f ¢¢ (ln(3)) = –eln 3 = –3 < 0 vilket betyder att vi har en
maxpunkt.
e)
3278
a) Den beskriver funktionens lutning.
b) Den beskriver hur funktionens lutning förändras.
3279
a) Mellan b och c samt mellan d och e.
b) Det är negativt eftersom kurvans lutning minskar.
3280
a) För en 15-åring får vi:
Och för en 45-åring blir det:
b)
Enligt modellen har en 20-åring bäst lungkapacitet.
3281
Vi letar efter värden på x då derivatan är negativ.
a) f ¢ ( x )=
b) f ¢ ( x )=
3282
a) En konstant funktion har alltid derivatan lika med noll.
Ett exempel är därför
b) Här blir det lite jobbigare men här är en funktion:
3283
Vi hittar extrempunkternas x -värden genom derivata.
f ¢ ( x ) =
Vi utvärderar nu x -värdet för att få y -värdet:
3284
a)
y ¢ = 6 ∙ ln(1,2)e0,6 ∙ ln (1,2) ∙ x = 1,1e0,11 x
b) Eftersom e x är en strängt växande funktion är derivatan
växande.
-
8/18/2019 Kapitel 3 Matematik 3c
22/29
3285
s¢ (t)= 2,6t och s¢¢ (t) = 2,6
s¢ (t) beskriver hur snabbt bilen kör och s¢¢ (t) beskriver
accelerationen.
3286
a) Vid tiden noll fanns det 80 mg och var 25 år halveras det.
Med denna information blir
b) y ¢ (t) = (80/(2t /25) = (80 ∙ (–(ln (2)/25))/(2t /25) ⇒
y ¢ (50) = (80 ∙ (–(ln (2)/25))/(250/25) = –0,55
Vilket betyder att ämnet sönderfaller med 0,6 mg per år.
3287
a)
b) Det givna:
c) Vi byter ut y mot den givna funktionen:
d) För att höjden ska vara positiv måste x vara större än noll
(kan inte vara negativ) och mindre än 2.
e) Vi deriverar funktionen och hittar det maximala värdet:
V = (4πx 2 – π x 4)/3 ⇒ V ¢ = (8πx – 4π x 3)/3 = 0 ⇔
x = 0,
Det maximala värdet antas då
f)
3288
Vi deriverar funktionen och matchar a så att derivatan blir
noll då x = 2:
y ¢ = 2 x – a / x 2 ⇒ y ¢ (2) = 4 – a /4 = 0 ⇔ a = 16
3289
a) Vi deriverar funktionen och utvärderar den för t = 15:
v¢ (t) = –55 ∙ ln 0,9 ∙ 0,9t ⇒ v¢ (15) = –55 ∙ ln 0,9 ∙ 0,915 =
= 1,2 m/s
Bilen accelererar med 1,2m/s efter 15 sekunder.
b) Bilens hastighet kommer hela tiden att öka men då tiden
går mot oändligheten kommer 0,9t-termen gå mot noll,
vilket gör att maxfarten blir 55m/s.
3290
f ¢ ( x ) = a / 2 x ⇒ f ¢¢ ( x ) = –a /4 x 3/2 ⇒
f ¢¢ (4) = –a /4(4)3/2 = 2 ⇔ a = –2 ∙ 32 = –64
3291
Från det första villkoret vet vi att funktionen måste ha
strukturen: där c är en konstant.
Det andra villkoret bestämmer konstanten:
3292
Vi skapar en funktion som beskriver hur nära en punkt är Q.
f ( x ) = 2 2( 1,5) x x − + ⇒
f ¢ ( x ) = 0,5 ∙ (2( x – 1,5) + 1)/ 2( 1,5) x x − + = 0 ⇔
⇔ 2( x – 1,5) + 1 = 0 ⇔ x = –0,5 + 1,5 = 1
När x är ett så är y det med.
-
8/18/2019 Kapitel 3 Matematik 3c
23/29
3293
V ¢ (h) = (3π – 3πh2 /3) = 0 ⇔ h = 1 ⇒ r = 3 1−
3294
Vi deriverar funktionen:
f ¢ ( x ) = 4 x 3 – 12 x + 12 x – 4 = 0
Eftersom funktionen fortfarande är komplicerad får vi prova
oss fram för att hitta ett nollställe:
f ¢ ( x ) = 4 x 3 – 12 x + 12 x – 4 = 0
f ¢ (0) = – x ≠ 0
f ¢ (–1) = –4 – 12 + 12 – 4 = –8 ≠ 0
f ¢ (1) = 4 – 12 + 12 – 4 = 0 OK !
Vilket ger funktionsvärdet:
3295
a) Vid x = 0, x =2, och x = 4 eftersom derivatans ändras på
ett sätt som inte är kontinuerligt.
3296
a)
b)
c) Derivatan kan vi inte hitta då x =0 eftersom den är både
–1 och 1. När x = 1 däremot visar derivatan rätt däremot.
3297
a) Grafen till vänster om y -axeln är helt plan medan den ser
ut som en x 2-funktion till höger. Eftersom den vänstra delen
är en konstant blir den derivatan noll. Vi undersöker därför
om även den högra delen blir noll.
f ( x ) = x 2 ⇒ f ¢ (0) = 2 ∙ 0 = 0
Funktion är därför deriverbar.
b) Vi gör samma sak här, deriverar funktionerna och avläser
derivata för att se ifall dem är l ikadana.
f 1( x ) = x 2 ⇒ f 1¢ (1) = 2 ∙ 1 = 2
f 2( x ) = 3 x – 2 ⇒ f 2¢ (1) = 3
f 1¢ (1) ≠ f 2¢ (1)
3298
a) Se facit för en bra skiss.
b) Derivatan existerar vid noll eftersom både tal som är lite
större och lite mindre än noll får funktionsvärdet noll och
därför blir derivatan noll. Vid x = 1 är dock derivatan
odefinierad, eftersom grafen gör ett hopp.
3299
Vi har två villkor som måste hålla dels måste
funktionsvärdena vara desamma vid x = 2 men ävenderivatornas värden måste vara lika. Vi får därför:
f 1( x ) = ax + b ⇒ f 1¢ (2) = a
f 2( x ) = x 2 ⇒ f 2¢ (2) = 2 ∙ 2 = 4
a = 4
f 1(2) = 4 ∙ 2 + b = 8 + b
f 2(2) = 22
b = 4
3303
Eftersom derivatan av den primitiva funktionen är
funktionen.
I kommande uppgifter kommer c representera en
konstant term.
-
8/18/2019 Kapitel 3 Matematik 3c
24/29
3304
a)
b)
c)
d)
3305
a)
b)
c)
d)
3306
a)
b)
c)
d)
3307
A = B= C= D=
3308
a) Eftersom derivatan resulterar i en faktor två måste a vara
en halv.
b) Här blir det tvärtom, därför måste a vara två.
3309
a)
b)
c)
d)
3310
Vi ser att grafen representerar därför måste den
primitiva funktionen ges av:
3311
B är den primitiva funktionen eftersom när dess lutning är
positiv är A:s kurva det.
3312
a)
b)
c)
d)
3313
Av det vi får se av grafen verkar det som att f ( x ) = 1– x 2
vilket skulle ge den primitiva funktionen:
3314
Först förenklar vi funktionen:
Vilket ger den primitiva funktionen:
3317
a) Först bestämmer vi den generella primitiva funktionen
med konstanten c och därefter bestämmer vi c.
b)
3318
Eftersom konstanttermen som Per har lagt till inte beror av
x och kommer därför
försvinna:
3319
Per eftersom Mias funktion inte håller för villkoret
F (0) = 4.
3320
Vi bestämmer den primitiva funktionen till A¢ ( x ).
-
8/18/2019 Kapitel 3 Matematik 3c
25/29
-
8/18/2019 Kapitel 3 Matematik 3c
26/29
3407
a)
b)
c)
d)
3408
Vi hittar den primitiva funktionen till integranden och
utvärderar de vid intervallets ändpunkter.
och
3411
a)
b)
3412
a)
b)
3413
a)
b)
c)
d)
3415
3416
a)
b)
c)
3417
Den givna funktionen fungerar som en integrand:
3418
a)
b)
3421
3422
a)
b)
c)
-
8/18/2019 Kapitel 3 Matematik 3c
27/29
3423
a)
b)
c)
d) 40 m/s eftersom då t ökar går e-termen mot noll.
3424
a) Tillväxthastigheten bestäms av f ( x ) = 50 + 5 x . Därför
blir: f (2016 – 2012) = f (4) = 50 + 20 = 70 och
f (2022 – 2012) = f (10) = 50 + 50 = 100
b) Nu vill vi titta på integralen, med avseende på
tillväxthastigheten som integrand.
F (4) = 1050 +4
42
00
50 5 1050 50 (5 / 2) xdx x x + = + + ∫ =
= 1050 + 200 + 80/2 – 0 = 1290
Och för 2022 blir det:
F (10) = 1050 +10
102
00
50 5 1050 50 (5 / 2) xdx x x + = + + ∫ =
= 1050 + 500 + 500/2 - 0 = 1800
3425
a) Först måste vi hitta vart linjen skär x -axeln:
y = 6 – 2 x = 0 ⇒ x = 3 så integralen fram till 3 är den
intressanta,3
0
6 2 xdx −∫ .
b) Först måste vi hitta vart linjen skär x -axeln:
y = 1 – x 2 = 0 ⇒ x = 1 så integralen fram till 1 är den
intressanta,1
2
0
1 x dx −∫
3426
a) Vi kommer vilja integrera F ( s) från 0,1 till 0,2 vilket
skrivs:0,2
0
120 sds∫
b)0,2
0,22 2 2
0,10
120 60 60 0,2 60 0,1 2,4 0,6 1,8 sds s J = = ⋅ − ⋅ = − = ∫
3427
a) Vi söker värdet på t för att v(t) = 0:
b) Nu måste vi titta på integralen fram till 30:e sekunden:
c) v¢ (t) = –2,4 + 0,08t ⇒ v¢ (10) = –2,4 + 0,08(10) =–1,6
är hur mycket som bromsas.
-
8/18/2019 Kapitel 3 Matematik 3c
28/29
3428
a) Vi deriverar uttrycken och beräknar minpunkten.
f ¢ ( x ) = –0,942 x 2 + 17,52 x – 29,4 = 0 ⇔
Vi tar minus eftersom det inte är rimligt att storstaden
använder som minst energi runt klockan fem på
eftermiddagen istället är det ca 2 på morgonen.
b) 9,3 + 7,4 = 16,7, d.v.s. strax innan kvart i fem.
c) Här kan vi utnyttja integraler:
13
3 2
12
0,314 8,76 29,4 400 x x x dx − + − + =∫13
4 3 2
12( 0,1314 / 4 ) ( 8,76 / 3) (29, 4 / 2) 400 x x x x = − + − + =
= F (13) – F (12) = 6889 – 6101 = 788 MW
d)
24
3 2
0
0,314 8,76 29,4 400 x x x dx − + − + =∫24
4 3 2
0( 0,1314 / 4 ) ( 8,76 / 3) ( 29,4 / 2) 400 x x x x = − + − + =
= F (24) – F (0) = 15 454 MW
3429
Integralen av acceleration är hastighet.
3430
a) Efter fem minuter pumpas det in 100 liter/minut.
b) Under den första halvtimmen pumpas det in 3 500 liter.
c) Det pumpas in dubbelt så mycket vatten under den första
halvtimmen jämfört med de första tio minuterna.
3431
a) Först hittar vi rötterna till kurvan.
Vilket ger integralen:
3432
3433
Vi skapar en funktion P som bestämmer priset om man
producerar x tidningar.
[Facit har tolkat frågan på ett annat sätt, här betalar vi för
de första 25 exemplaren]
3434
Vi vet att integralen av accelerationen över tid ger
hastigheten. Därför kan vi skriva hastigheten som:
3435
Ett enkelt exempel är den konstanta funktionen, d.v.s. den
där k =0 och m = 3
3436
a) Vi mäter antalet liter olja med funktionen,
I detta fall t tre.
b)
3437
-
8/18/2019 Kapitel 3 Matematik 3c
29/29
3438
Först räknar vi ut hur lång tid det tar innan personen äruppe i 40m/s därefter utnyttjar vi den tiden för att sträckan
personen har färdats under den tiden.
Nu integrerar vi upp till den tiden:
3439
Vi börjar med att plotta grafen för att få en känsla av vad vi
jobbar med:
För att ta reda på den mindre arean kan vi integrera
skillnaden mellan de två kurvorna d.v.s. använda
som integrand.
Den större ytan räknas ut genom att subtrahera den mindre
ytan från hela den stora:
Vi ser därför att ration är 1:7.
3440
Vi har blivit givna ett antal villkor. Det första är att vi detlägra integrationsgränsen är då y =0. Det andra är att då
integralen från den punkten till en annan okänd punkt är 18
a.e. då har vi hittat a. Vi börjar med det första villkoret:
När vi kommer hit inser vi att det finns ett till viktigt villkor
och det är att a > 0, vilket betyder att x 3-termen kommer ha
en negativ faktor framför sig. Det i sin tur betyder att grafen
kommer gå från kvadrant två till kvadrant fyra, istället för
från tre till ett och därför kommer våra integrationsgränser
vara 0 och 6.
Vilket ger grafen:
Från vilken vi kan läsa av att minpunkten är (0, 0) och
maxpunkten är (4; 5,3).
3441
Här är det två saker man måste komma ihåg, den första är
att ifall den undre och övre integrationsgränsen är
densamma kommer integralen vara noll och det andra är att
ln(1) = 0. Med hjälp av dessa måste a vara 1.