Download - Kesalahan Dan Akar Persamaan-ES
![Page 1: Kesalahan Dan Akar Persamaan-ES](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/55cf8f13550346703b98acd3/html5/thumbnails/1.jpg)
Pendahuluan
Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia, ekonomi, atau pada persoalan rekayasa (engineering), seperti Teknik Sipil, Teknik Mesin, Elektro, dan sebagainya.
Model matematika yang rumit ini adakalanya tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik yang sudah umum untuk mendapatkan solusi sejatinya (exact solution).
![Page 2: Kesalahan Dan Akar Persamaan-ES](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/55cf8f13550346703b98acd3/html5/thumbnails/2.jpg)
Ilustrasi Persoalan Matematika
![Page 3: Kesalahan Dan Akar Persamaan-ES](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/55cf8f13550346703b98acd3/html5/thumbnails/3.jpg)
![Page 4: Kesalahan Dan Akar Persamaan-ES](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/55cf8f13550346703b98acd3/html5/thumbnails/4.jpg)
![Page 5: Kesalahan Dan Akar Persamaan-ES](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/55cf8f13550346703b98acd3/html5/thumbnails/5.jpg)
Metode Analitik
metode penyelesaian model matematika dengan rumus-rumus aljabar yang sudah baku (lazim).
Metode analitik : metode yang dapat memberikan solusi sebenarnya (exact solution), solusi yang memiliki galat/error = 0.
Metode analitik hanya unggul pada sejumlah persoalan matematika yang terbatas
![Page 6: Kesalahan Dan Akar Persamaan-ES](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/55cf8f13550346703b98acd3/html5/thumbnails/6.jpg)
Metode Numerik
Metode numerik = teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi hitungan / aritmatika biasa.
Solusi angka yang didapatkan dari metode numerik adalah solusi yang mendekati nilai sebenarnya / solusi pendekatan (approximation) dengan tingkat ketelitian yang kita inginkan.
Karena tidak tepat sama dengan solusi sebenarnya, ada selisih diantara keduanya yang kemudian disebut galat / error.
Metode numerik dapat menyelesaikan persoalan didunia nyata yang seringkali non linier, dalam bentuk dan proses yang sulit diselesaikan dengan metode analitik
![Page 7: Kesalahan Dan Akar Persamaan-ES](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/55cf8f13550346703b98acd3/html5/thumbnails/7.jpg)
Prinsip Metode Numerik
Metode numerik ini disajikan dalam bentuk algoritma – algoritma yang dapat dihitung secara cepat dan mudah.
Pendekatan yang digunakan dalam metode numerik merupakan pendekatan analisis matematis, dan teknik perhitungan yang mudah.
Algoritma pada metode numerik adalah algoritma pendekatan maka dalam algoritma tersebut akan muncul istilah iterasi/lelaran yaitu pengulangan proses perhitungan.
![Page 8: Kesalahan Dan Akar Persamaan-ES](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/55cf8f13550346703b98acd3/html5/thumbnails/8.jpg)
GALAT (KESALAHAN)
Penyelesaian secara numerik dari suatu persamaan matematis hanya memberikan nilai perkiraan yang mendekati nilai eksak (yang benar) dari penyelesaian analitis.
Penyelesaian numerik akan memberikan kesalahan terhadap nilai eksak
![Page 9: Kesalahan Dan Akar Persamaan-ES](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/55cf8f13550346703b98acd3/html5/thumbnails/9.jpg)
Galat
Galat (kesalahan) terdiri dari tiga bagian : Galat Mutlak
Kesalahan mutlak dari suatu angka, pengukuran atau perhitungan.
Kesalahan = Nilai eksak – Nilai perkiraan
Contoh : x = 3,141592 dan x*=3,14, maka galat mutlaknya adalah, E = 3,141592 – 3,14 = 0,001592
![Page 10: Kesalahan Dan Akar Persamaan-ES](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/55cf8f13550346703b98acd3/html5/thumbnails/10.jpg)
Galat Galat relatif e dari a
Sehingga galat relatifnya adalah
Prosentase Galat Prosentase galat adalah 100 kali galat relatif
e * 100%
NilaiEksak
Galat
a
Ee
000507,0141592,3
001592,0
a
Ee
![Page 11: Kesalahan Dan Akar Persamaan-ES](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/55cf8f13550346703b98acd3/html5/thumbnails/11.jpg)
Sumber Kesalahan Kesalahan pemodelan contoh: penggunaan hukum Newton asumsi benda adalah partikel Kesalahan bawaan contoh: kekeliruan dlm menyalin data salah membaca skala Ketidaktepatan data
![Page 12: Kesalahan Dan Akar Persamaan-ES](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/55cf8f13550346703b98acd3/html5/thumbnails/12.jpg)
Kesalahan pemotongan (truncation error) - Berhubungan dg cara pelaksanaan prosedur
numerik
Contoh pada deret Taylor tak berhingga :
- Dapat dipakai untuk menghitung sinus sebarang sudut
x dalam radian
- Jelas kita tdk dapat memakai semua suku dalam
deret, karena deretnya tak berhingga
- Kita berhenti pada suku tertentu misal x9
- Suku yg dihilangkan menghasilkan suatu galat
........!9!7!5!3
sin9753
xxxx
xx
![Page 13: Kesalahan Dan Akar Persamaan-ES](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/55cf8f13550346703b98acd3/html5/thumbnails/13.jpg)
Kesalahan pembulatan (round-off error) - Akibat pembulatan angka
- Terjadi pada komputer yg disediakan beberapa angka
tertentu misal; 5 angka :
- Penjumlahan 9,2654 + 7,1625
hasilnya 16,4279
Ini terdiri 6 angka sehingga tidak dapat disimpan dalam komputer kita dan akan dibulatkan menjadi 16,428
![Page 14: Kesalahan Dan Akar Persamaan-ES](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/55cf8f13550346703b98acd3/html5/thumbnails/14.jpg)
Sampai berapa besar kesalahan itu dapat ditolerir … ????????
![Page 15: Kesalahan Dan Akar Persamaan-ES](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/55cf8f13550346703b98acd3/html5/thumbnails/15.jpg)
Akar Persamaan Non Linier
Pada umumnya persamaan nonlinier f(x) = 0 tidak dapat mempunyai solusi eksakJika r suatu bilangan real sehingga f(r) = 0 maka r disebut sebagai akar dari persamaan nonlinier f(x)Akar persamaan f(x) adalah titik potong antara kurva f(x) dan sumbu X.Solusi dari persamaan nonlinier dapat ditentukan dengan menggunakan metode iterasi
![Page 16: Kesalahan Dan Akar Persamaan-ES](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/55cf8f13550346703b98acd3/html5/thumbnails/16.jpg)
Persamaan Non Linier
![Page 17: Kesalahan Dan Akar Persamaan-ES](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/55cf8f13550346703b98acd3/html5/thumbnails/17.jpg)
Persamaan Non Linier
Penyelesaian persamaan linier mx + c = 0 dimana m dan c adalah konstanta, dapat dihitung dengan :
mx + c = 0x = -
Penyelesaian persamaan kuadrat ax2 + bx +
c =0 dapat dihitung dengan menggunakan rumus ABC.
m
c
a
acbbx
2
42
12
![Page 18: Kesalahan Dan Akar Persamaan-ES](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/55cf8f13550346703b98acd3/html5/thumbnails/18.jpg)
Penyelesaian Persamaan Non Linier
Metode Tertutup Mencari akar pada range [a,b] tertentu Dalam range [a,b] dipastikan terdapat satu
akar Hasil selalu konvergen, tetapi relatif lambat
dalam mencari akar.
Metode ini ada 2 :1. Metode Biseksi ( bagi dua )2. Metode Regula Falsi
![Page 19: Kesalahan Dan Akar Persamaan-ES](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/55cf8f13550346703b98acd3/html5/thumbnails/19.jpg)
Teorema
Suatu range x=[a,b] mempunyai akar bila f(a) dan f(b) berlawanan tanda atau memenuhi f(a).f(b)<0
Theorema di atas dapat dijelaskan dengan grafik-grafik sebagai berikut:
Karena f(a).f(b)<0 maka pada range x=[a,b] terdapat akar.
Karena f(a).f(b)>0 maka pada range x=[a,b] tidak dapat dikatakan terdapat akar.
![Page 20: Kesalahan Dan Akar Persamaan-ES](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/55cf8f13550346703b98acd3/html5/thumbnails/20.jpg)
Metode Terbuka Diperlukan tebakan awal xn dipakai untuk menghitung xn+1
Hasil dapat konvergen atau divergen Cepat dalam mencari akar Tidak Selalu Konvergen ( bisa divergen )
artinya akarnya belum tentu dapat
![Page 21: Kesalahan Dan Akar Persamaan-ES](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/55cf8f13550346703b98acd3/html5/thumbnails/21.jpg)
Bisection (METODE BAGI DUA)
Prinsip: Ide awal metode ini adalah metode table,
dimana area dibagi menjadi N bagian. Hanya saja metode biseksi ini membagi range menjadi 2 bagian, dari dua bagian ini dipilih bagian mana yang mengandung akar sedangkan bagian yang tidak mengandung akar dibuang. Hal ini dilakukan berulang-ulang hingga diperoleh akar persamaan.
![Page 22: Kesalahan Dan Akar Persamaan-ES](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/55cf8f13550346703b98acd3/html5/thumbnails/22.jpg)
Langkah – Langkah Biseksi
![Page 23: Kesalahan Dan Akar Persamaan-ES](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/55cf8f13550346703b98acd3/html5/thumbnails/23.jpg)
Algoritma Biseksi
![Page 24: Kesalahan Dan Akar Persamaan-ES](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/55cf8f13550346703b98acd3/html5/thumbnails/24.jpg)
Algoritma Biseksi
Jika f(x) kontinu pada interval [a,b] dan f(a).f(b) < 0 maka terdapat minimal satu akar.
Algoritma sederhana metode biseksi :1. Mulai dengan interval [a,b] dan toleransi 2. Hitung f(a) dan f(b)3. Hitung c = (a + b)/2 dan f(c)4. Jika f(a).f(c) < 0 maka b = c dan f(b) = f(c)
jika tidak a = c dan f(a) = f(c) 5. Jika │a-b│< maka proses dihentikan dan
di dapat akar x = c6. Ulangi langkah 3
![Page 25: Kesalahan Dan Akar Persamaan-ES](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/55cf8f13550346703b98acd3/html5/thumbnails/25.jpg)
![Page 26: Kesalahan Dan Akar Persamaan-ES](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/55cf8f13550346703b98acd3/html5/thumbnails/26.jpg)
![Page 27: Kesalahan Dan Akar Persamaan-ES](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/55cf8f13550346703b98acd3/html5/thumbnails/27.jpg)
![Page 28: Kesalahan Dan Akar Persamaan-ES](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/55cf8f13550346703b98acd3/html5/thumbnails/28.jpg)
Ilustrasi Regula Falsi
![Page 29: Kesalahan Dan Akar Persamaan-ES](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/55cf8f13550346703b98acd3/html5/thumbnails/29.jpg)
PROSEDUR METODE REGULAFASI 1. Pilih [ a , b ] yang memuat akar f(x) ; 2. 3. Tinjau f(a). f(c) Jika f(a). f(c) > 0 maka c mengantikan a Jika f(a). f(c) = 0 maka STOP c akar Jika f(a). f(c) < 0 maka c mengantikan b
4. STOP , jika atau
a
ac
b
bc
![Page 30: Kesalahan Dan Akar Persamaan-ES](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/55cf8f13550346703b98acd3/html5/thumbnails/30.jpg)
![Page 31: Kesalahan Dan Akar Persamaan-ES](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/55cf8f13550346703b98acd3/html5/thumbnails/31.jpg)
![Page 32: Kesalahan Dan Akar Persamaan-ES](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/55cf8f13550346703b98acd3/html5/thumbnails/32.jpg)
Metode Terbuka Diperlukan tebakan awal xn dipakai untuk menghitung xn+1
Hasil dapat konvergen atau divergen YangTermasuk Metode Terbuka
1. Metode Iterasi Titik Tetap
2. Metode Newton-Raphson
3. Metode Secant.
![Page 33: Kesalahan Dan Akar Persamaan-ES](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/55cf8f13550346703b98acd3/html5/thumbnails/33.jpg)
Metode Iterasi Titik Tetap Metode iterasi titik tetap adalah metode yg memisahkan x
dengan sebagian x yang lain sehingga diperoleh : x = g(x).
Cari akar dgn pertidaksamaan :
Xk+1 = g(Xk); untuk k = 0, 1, 2, 3, …
dgn X0 asumsi awalnya, sehingga diperoleh barisan :
X0, X1, X2, X3, … yang diharapkan konvergen ke akarnya.
Jika g’(x) ε [a, b] dan -1< g’(x) ≤ 1 untuk setiap x ε [a, b],
maka titik tetap tersebut tunggal dan iterasinya akan
konvergen menuju akar
![Page 34: Kesalahan Dan Akar Persamaan-ES](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/55cf8f13550346703b98acd3/html5/thumbnails/34.jpg)
Intepretasi grafis Metode Iterasi Titik Tetap
f(x) = e-x - x
akar
y1(x) = x
y2(x) = e-x
akar
![Page 35: Kesalahan Dan Akar Persamaan-ES](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/55cf8f13550346703b98acd3/html5/thumbnails/35.jpg)
Contoh : f(x) = x – ex = 0 ubah menjadi : x = ex atau g(x) = ex
f(x) = x2 - 2x + 3 = 0 ubah menjadi : x = (x2 + 3) / 2 atau g(x) = (x2 + 3) / 2
g(x) inilah yang menjadi dasar iterasi pada metode iterasi sederhana ini
![Page 36: Kesalahan Dan Akar Persamaan-ES](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/55cf8f13550346703b98acd3/html5/thumbnails/36.jpg)
Proses Metode Iterasi Titik Tetap
![Page 37: Kesalahan Dan Akar Persamaan-ES](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/55cf8f13550346703b98acd3/html5/thumbnails/37.jpg)
Kriteria Konvergensi37
Teorema : Misalkan g(x) dan g’(x) kontinu dalam selang [a,b] = [s-h, s+h] yang mengandung titik tetap s dan nilai awal x0 dipilih dalam selang tersebut.
Jika |g’(x)|<1 untuk semua x elemen [a,b] maka iterasi xr+1 = g(xr) akan konvergen ke s. Pada kasus ini s disebut juga titik atraktif
Jika |g’(x)|>1 untuk semua x elemen [a,b] maka iterasi xr+1 = g(xr) akan divergen dari s
![Page 38: Kesalahan Dan Akar Persamaan-ES](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/55cf8f13550346703b98acd3/html5/thumbnails/38.jpg)
Konvergenitas Iterasi Titik Tetap
![Page 39: Kesalahan Dan Akar Persamaan-ES](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/55cf8f13550346703b98acd3/html5/thumbnails/39.jpg)
![Page 40: Kesalahan Dan Akar Persamaan-ES](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/55cf8f13550346703b98acd3/html5/thumbnails/40.jpg)
Tabel iterasinya
![Page 41: Kesalahan Dan Akar Persamaan-ES](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/55cf8f13550346703b98acd3/html5/thumbnails/41.jpg)
41
![Page 42: Kesalahan Dan Akar Persamaan-ES](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/55cf8f13550346703b98acd3/html5/thumbnails/42.jpg)
42
Hitung akar f(x) = ex-5x2 dengan epsilon 0.00001
![Page 43: Kesalahan Dan Akar Persamaan-ES](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/55cf8f13550346703b98acd3/html5/thumbnails/43.jpg)
Metode Newton Raphson
metode pendekatan yang menggunakan satu titik awal dan mendekatinya dengan memperhatikan slope atau gradien pada titik tersebut.Titik pendekatan ke n+1 dituliskan dengan :
Xn+1 = xn - nn
xF
xF1
![Page 44: Kesalahan Dan Akar Persamaan-ES](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/55cf8f13550346703b98acd3/html5/thumbnails/44.jpg)
Metode Newton Raphson
![Page 45: Kesalahan Dan Akar Persamaan-ES](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/55cf8f13550346703b98acd3/html5/thumbnails/45.jpg)
Algoritma Metode Newton Raphson
1. Definisikan fungsi f(x) dan f1(x)2. Tentukan toleransi error (e) dan iterasi maksimum
(n)3. Tentukan nilai pendekatan awal x0
4. Hitung f(x0) dan f’(x0)5. Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |f(xi)|> e
Hitung f(xi) dan f1(xi)
6. Akar persamaan adalah nilai xi yang terakhir diperoleh.
ii
ii xf
xfxx
11
![Page 46: Kesalahan Dan Akar Persamaan-ES](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/55cf8f13550346703b98acd3/html5/thumbnails/46.jpg)
Contoh Soal
Selesaikan persamaan x - e-x = 0 dengan titik pendekatan awal x0 =0
f(x) = x - e-x f’(x)=1+e-x
f(x0) = 0 - e-0 = -1
f’(x0) = 1 + e-0 = 2 5,0
2
10
01
001
xf
xfxx
![Page 47: Kesalahan Dan Akar Persamaan-ES](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/55cf8f13550346703b98acd3/html5/thumbnails/47.jpg)
Contoh Soal
f(x1) = -0,106631 dan f1(x1) = 1,60653
x2 =
f(x2) = -0,00130451 dan f1(x2) = 1,56762
x3 =
f(x3) = -1,96.10-7. Suatu bilangan yang sangat kecil.
Sehingga akar persamaan x = 0,567143.
566311,060653,1
106531,05,0
11
11
xf
xfx
567143,0
56762,1
00130451,0566311,0
2
1
2
2
xf
xfx
![Page 48: Kesalahan Dan Akar Persamaan-ES](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/55cf8f13550346703b98acd3/html5/thumbnails/48.jpg)
Contoh
x - e-x = 0 x0 =0, e = 0.00001
![Page 49: Kesalahan Dan Akar Persamaan-ES](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/55cf8f13550346703b98acd3/html5/thumbnails/49.jpg)
Contoh :
x + e-x cos x -2 = 0 x0=1 f(x) = x + e-x cos x - 2 f’(x) = 1 – e-x cos x – e-x sin x
![Page 50: Kesalahan Dan Akar Persamaan-ES](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/55cf8f13550346703b98acd3/html5/thumbnails/50.jpg)
Kelemahan Newton -Raphson Harus menentukan turunan dari f(x) Karena kita menentukan titik awal hanya
1, maka sering didapatkan/ditemukan akar yang divergen. Hal ini disebabkan karena Dalam menentukan xi yang sembarang
ternyata dekat dengan titik belok sehingga f(xi) dekat dengan 0, akibatnya
menjadi tidak terhingga/tak tentu sehingga xi+1 semakin menjauhi akar yang sebenarnya
i
iii xf
xfxx
1
![Page 51: Kesalahan Dan Akar Persamaan-ES](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/55cf8f13550346703b98acd3/html5/thumbnails/51.jpg)
Kelemahan Newton -Raphson
Kalau xi dekat dengan titik ekstrim/puncak maka turunannya dekat dengan 0, akibatnya xi+1 akan semakin menjauhi akar sebenarnya
Kadangkadang fungsi tersebut tidak punya akar tetapi ada penentuan harga awal, sehingga sampai kapanpun tidak akan pernah ditemukan akarnya.
![Page 52: Kesalahan Dan Akar Persamaan-ES](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/55cf8f13550346703b98acd3/html5/thumbnails/52.jpg)
Metode Secant
Kelemahan dari metode Newton Raphson adalah evaluasi nilai turunan dari f(x), karena tidak semua f(x) mudah dicari turunannya. Suatu saat mungkin saja ditemukan suatu fungsi yang sukar dicari turunannya. Untuk menghindari hal tersebut diperkenalkan metode Secant.
![Page 53: Kesalahan Dan Akar Persamaan-ES](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/55cf8f13550346703b98acd3/html5/thumbnails/53.jpg)
Metode Secant
Metode Secant memerlukan 2 tebakan awal yang tidak harus mengurung/ mengapit akar
Yang membedakan antara metode Secant dan Newton-Raphson dalam menentukan sebuah akar dari suatu fungsi adalah dalam menentukan besarnya xi+1.
ii
iiiii xfxf
xxxfxx
1
11
![Page 54: Kesalahan Dan Akar Persamaan-ES](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/55cf8f13550346703b98acd3/html5/thumbnails/54.jpg)
Metode Secant
![Page 55: Kesalahan Dan Akar Persamaan-ES](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/55cf8f13550346703b98acd3/html5/thumbnails/55.jpg)
Algoritma Metode Secant : Definisikan fungsi F(x) Definisikan torelansi error (e) dan iterasi maksimum (n) Masukkan dua nilai pendekatan awal yang di antaranya
terdapat akar yaitu x0 dan x1, sebaiknya gunakan metode tabel atau grafis untuk menjamin titik pendakatannya adalah titik pendekatan yang konvergensinya pada akar persamaan yang diharapkan.
Hitung F(x0) dan F(x1) sebagai y0 dan y1 Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |F(xi)|
hitung yi+1 = F(xi+1)
Akar persamaan adalah nilai x yang terakhir.
1
11
ii
iiiii yy
xxyxx
![Page 56: Kesalahan Dan Akar Persamaan-ES](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/55cf8f13550346703b98acd3/html5/thumbnails/56.jpg)
Metode Secant (Ex.)
Hitung salah satu akar dari f(x) = ex – 2 – x2 dengan tebakan awal 1.4 dan 1.5 ; s = 1 %
![Page 57: Kesalahan Dan Akar Persamaan-ES](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/55cf8f13550346703b98acd3/html5/thumbnails/57.jpg)
Metode Secant (Ex.)
Langkah 11. xi-1 = 1,5 f(xi-1) = 0,2317
xi = 1.5 ; f(xi) = 0,2317
2.
f(xi+1) = 0,0125
3.
3303,1
2317,00952,05,14,12317,0
5,11
ix
%24,5%1003303,1
4,13303,1
a
![Page 58: Kesalahan Dan Akar Persamaan-ES](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/55cf8f13550346703b98acd3/html5/thumbnails/58.jpg)
Metode Secant (Ex.)
Langkah 11. xi-1 = 1.4 f(xi-1) = 0,0952
xi = 1,3303 f(xi) = 0,0125
2.
3.
3206,1
0125,02317,03303,15,10125,0
3303,11
ix
%7,0%1003206,1
3303,13206,1
a
![Page 59: Kesalahan Dan Akar Persamaan-ES](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/55cf8f13550346703b98acd3/html5/thumbnails/59.jpg)
Metode Secant (Ex.)
Iterasi xi+1 a %
1 1.3303 5.24
2 1.3206 0.7
Jika dibandingkan dengan Newton Raphson dengan akar = 1,3191 dan a = 0,03%, maka metode Secant lebih cepat, tapi tingkat kesalahannya lebih besar
![Page 60: Kesalahan Dan Akar Persamaan-ES](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061616/55cf8f13550346703b98acd3/html5/thumbnails/60.jpg)
Kriteria Konvergensi (Cont.)60
Resume :Dalam selang I = [s-h, s+h] dengan s titik
tetap
Jika 0<g’(x)<1 untuk setiap x elemen I Iterasi konvergen monoton
Jika -1<g’(x)<0 untuk setiap x elemen I Iterasi konvergen berosilasi
Jika g’(x)>1 untuk setiap x elemen I Iterasi divergen monoton
Jika g’(x)<-1 untuk setiap x elemen I Iterasi divergen berosilasi