![Page 1: Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062408/56813e06550346895da7e4a2/html5/thumbnails/1.jpg)
Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében
PÉNZÜGYI MATEMATIKA ÉS KOCKÁZATANALÍZIS
III. Előadás
KAMATLÁBAK LEJÁRATI SZERKEZETE
Elektronikus kereskedelem
Az Európai Szociális Alap támogatásával
![Page 2: Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062408/56813e06550346895da7e4a2/html5/thumbnails/2.jpg)
2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 2
Tartalom
Spot kamatláb
Forward kamatláb
Kvalitatív meggondolások
A spot kamatláb előrejelzése
Short kamatlábak
A jelenérték rekurzív meghatározása
Változó kamatozású kötvények
Átlagidő
Immunizáció
![Page 3: Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062408/56813e06550346895da7e4a2/html5/thumbnails/3.jpg)
2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 3
A HOZAM GÖRBE (YIELD CURVE)
Tipikus hozamok: hosszú kötvények vs. rövid kötvények
![Page 4: Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062408/56813e06550346895da7e4a2/html5/thumbnails/4.jpg)
2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 4
KAMATLÁBAK LEJÁRATI SZERKEZETE
Fókuszban: a kamat és a lejárati idő összefüggése
Prompt, spot kamatláb (spot rates):
a jelen 0 időpont és a t időpont közötti éves kamat: st
Példa (kamat és hozam): t = 2
a kétéves hozam:
![Page 5: Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062408/56813e06550346895da7e4a2/html5/thumbnails/5.jpg)
2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 5
ANGOL TERMINOLÓGIA
kamatlábak lejárati szerkezete the term structure of interest rates
hosszú kötvények long bonds
rövid kötvények short bonds
![Page 6: Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062408/56813e06550346895da7e4a2/html5/thumbnails/6.jpg)
2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 6
KAMATOS KAMATSZÁMÍTÁS
A hozam, mint a kamat függvénye: (javítás: sx helyett st irandó )
t éves hozam :
t éves hozam, m periódus/ év :
folytonosan:
![Page 7: Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062408/56813e06550346895da7e4a2/html5/thumbnails/7.jpg)
2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 7
DISZKONT TÉNYEZŐ (DISCOUNT FACTOR)
Diszkont tényező (dk): a jövőbeli k időpontban kapott $1 készpénz ára most
k évre:
k évre, m periódus/év:
folytonosan, t évre:
![Page 8: Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062408/56813e06550346895da7e4a2/html5/thumbnails/8.jpg)
2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 8
JELENÉRTÉK (PRESENT VALUE) I.
Pénzáramlás:
Jelenérték:
Javitás: utolsó tagban d1 x1 helyett dn xn irandó
dk a k-ban kapott pénz jelenlegi ára
Példa: egy $ 100 névértékű 8%-os kötvény10 év futamidőreévi egyszeri (!) kamatjóváírással a 4.2 ábra szerint választott spot-rate alapján
![Page 9: Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062408/56813e06550346895da7e4a2/html5/thumbnails/9.jpg)
2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 9
JELENÉRTÉK II.
A táblázat alapján d1 = 1/(1 + 0,08973), s.í.t.
![Page 10: Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062408/56813e06550346895da7e4a2/html5/thumbnails/10.jpg)
2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 10
A SPOT RATE MEGHATÁROZÁSA I.
Probléma: a spot rate meghatározása hozamok alapján
egy nehézség: ritkaság a hosszú „zero-coupon bond”
Egy rekurzív eljárás, évi egyszeri kamatjóváírás mellett:
1. s1 meghatározása: a kincstárjegy kamata
2. végy egy 2 éves kötvényt: P áronC kamatkifizetéssel (összesen kétszer)F névértékkel
Ekkor
![Page 11: Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062408/56813e06550346895da7e4a2/html5/thumbnails/11.jpg)
2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 11
A SPOT RATE MEGHATÁROZÁSA II.
Azonos lejáratú kötvények alapján:
Példa:
A kötvény: 10 éves10% névleges kamatlábára: PA = 98.72
B kötvény: 10 éves8% coupon névleges kamatlábára: PB = 85.59
Névérték: $ 100 mindkettőre
![Page 12: Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062408/56813e06550346895da7e4a2/html5/thumbnails/12.jpg)
2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 12
A SPOT RATE MEGHATÁROZÁSA III.
Egy portfolió:
Ennek névértéke: $ 20
ára:
Kupon: 0% ! Így az s10 spot rate az
egyenletből számolható. Az eredmény: s10 =11,2%.
![Page 13: Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062408/56813e06550346895da7e4a2/html5/thumbnails/13.jpg)
2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 13
FORWARD KAMATLÁBAK (FORWARD RATES)
A forward rate: a kamat két jövőbeni időpont között
Példa: egy éves lejáratra letétbe helyezek $ 1-t
egy év után kapok $ (1+s1)-t
megállapodás ma: újra befektetem egy évre f kamattal
A no-arbitrage feltétel alapján:
Rejtett feltétel: 0 tranzakciós költség
![Page 14: Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062408/56813e06550346895da7e4a2/html5/thumbnails/14.jpg)
2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 14
FORWARD KAMATLÁBAK II.
A forward rate: a 0 < t1 < t2 időpontok között
a t1 -ben kölcsönzött és
t2 -ben visszafizetett pénz kamatja
jele: ft1,t2
Belső (implied) forward kamatlábak vs. piaci forward kamatlábak
Általános definiáló egyenlet: i < j -re
![Page 15: Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062408/56813e06550346895da7e4a2/html5/thumbnails/15.jpg)
2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 15
A KAMATOS KAMATSZÁMÍTÁS HATÁSA
Forward rates – éves, m periódus, folytonos. Legyen i < j
Éves forward :
m periódus / év, i,j periódusok:
Folytonos, t1 < t2:
Tehát:
![Page 16: Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062408/56813e06550346895da7e4a2/html5/thumbnails/16.jpg)
2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 16
KVALITATÍV MEGGONDOLÁSOK
Miért nő a spot rate ?
Tiszta várakozási elmélet : az egy éves kamatláb szint nő, vagyis
s1’ > s1, de f1,2 = s1’ így
s2 > s1 !
Ld. a forward rate definiáló egyenletét.
Terminológia:
tiszta várakozási elmélet expectation theory
![Page 17: Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062408/56813e06550346895da7e4a2/html5/thumbnails/17.jpg)
2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 17
KVALITATÍV MEGGONDOLÁSOK II.
Likviditáspreferencia-elmélet :
a rövid-távú befektetéseket könnyebb eladni
Piacszegmentációs elmélet : lejárati idők vs. befektetési csoportok
gyenge korreláció szomszédos piaci szegmensek között
Terminológia:
likviditáspreferencia-elmélet liquidity preference
piacszegmentációs elmélet market segmentation
![Page 18: Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062408/56813e06550346895da7e4a2/html5/thumbnails/18.jpg)
2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 18
A SPOT RATE ELŐREJELZÉSE
Pillanatnyi spot rate görbe:
Egy év múlva:
Ez a transzfromáció az ún. expectation dynamics.
![Page 19: Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062408/56813e06550346895da7e4a2/html5/thumbnails/19.jpg)
2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 19
A SPOT RATE ELŐREJELZÉSE II.
![Page 20: Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062408/56813e06550346895da7e4a2/html5/thumbnails/20.jpg)
2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 20
DISZKONTTÉNYEZŐ
Jelenidő 0, jövőbeni idők j < k:
Összetett diszkontálás: i < j < k –ra:
![Page 21: Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062408/56813e06550346895da7e4a2/html5/thumbnails/21.jpg)
2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 21
SHORT RATES
Short rate: egy forward rate egyetlen periódusra:
Spot rate vs. short rate:
Forward rate vs. short rate:
Invarianca elv: a hozam az újrabefektetési stratégiától független.
![Page 22: Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062408/56813e06550346895da7e4a2/html5/thumbnails/22.jpg)
2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 22
FOLYÓ JELENÉRTÉK I.
Pénzáramlás:
Jelenérték a k időben :
Felújítási képlet (visszafelé haladó rekurzió):
Terminológia:
folyó jelenérték running present value
![Page 23: Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062408/56813e06550346895da7e4a2/html5/thumbnails/23.jpg)
2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 23
FOLYÓ JELENÉRTÉK II.
2. sor: egyperiódusú diszkont tényezők, ld. 4.2. táblázat első oszlopa
![Page 24: Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062408/56813e06550346895da7e4a2/html5/thumbnails/24.jpg)
2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 24
FOLYÓ JELENÉRTÉK III.
Példa: konstans spot rate görbe
sk = r, k=1,…n.
Ekkor a felújítási képlet:
![Page 25: Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062408/56813e06550346895da7e4a2/html5/thumbnails/25.jpg)
2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 25
VÁLTOZÓ KAMATOZÁSÚ KÖTVÉNYEK
Kamatfizetés: az aktuális short rate szerint
Állítás: egy változó kamatozású kötvény értéke minden kifizetés után egyenlő a névértékkel.
Bizonyítás: visszafelé haladó indukcióval.
az utolsó kifizetés t -ben: névérték (1 + utolsó spot rate)
ennek jelenértéke (t-1) -ben: névérték
Terminológia: változó vagy lebegő kamatozású kötvények floating rate bonds
![Page 26: Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062408/56813e06550346895da7e4a2/html5/thumbnails/26.jpg)
2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 26
ÁTLAGIDŐ (DURATION) I.
Pénzáramlás + spot rate curve → jelenérték (ár)
spot rate curve:
párhuzamos eltoltja:
Kérdés: hogyan változik az ár?
![Page 27: Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062408/56813e06550346895da7e4a2/html5/thumbnails/27.jpg)
2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 27
ÁTLAGIDŐ II.
A Fisher-Weil átlagidő: folytonos kamatszámítással
Pénzáramlás :
Jelenérték:
mértékű párhuzamos eltolás:
![Page 28: Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062408/56813e06550346895da7e4a2/html5/thumbnails/28.jpg)
2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 28
ÁTLAGIDŐ III.
Az ár relatív érzékenysége : (javítás: az első = előtt egy – áll, a [] előtt =)
Ez a Fisher-Weil duration !
Észrevétel: DFW a ti értékek konvex kombinációja, így t0 ≤ DFW ≤ tn
![Page 29: Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062408/56813e06550346895da7e4a2/html5/thumbnails/29.jpg)
2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 29
DISZKRÉT IDEJŰ KAMATSZÁMÍTÁS
Spot rate k -ban sk, évenként m compounding, k a periódus indexe. Ekkor
A kvázi módosított duration:
![Page 30: Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062408/56813e06550346895da7e4a2/html5/thumbnails/30.jpg)
2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 30
IMMUNIZÁCIÓ (IMMUNIZATION) I.
Példa: kötelezettség: $ 1 millió 5 év múlva
Feladat: kamatváltozásokra nem érzékeny befektetés meghatározása
Kamatszámítás: éves
Két kötvény: B1, 12 éves, 6%
B2, 5 éves, 10%
Spot rate curve: ld. 4.4 Táblázat (94. old.) d oszlop
![Page 31: Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062408/56813e06550346895da7e4a2/html5/thumbnails/31.jpg)
2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 31
IMMUNIZÁCIÓ II.
A 4.4 Táblázat összefoglalása:
A kötvények jelenértéke:
P1 = 65,95
P2 = 101,66
Kvázi-módosított (kvm) átlagidő:
D1 = 7,07
D2 = 3,80
![Page 32: Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062408/56813e06550346895da7e4a2/html5/thumbnails/32.jpg)
2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 32
IMMUNIZÁCIÓ III.
A kötelezettség jelenértéke: P = $ 627.903,01
A kötelezettség kvm. átlagideje (egyetlen kifizetéssel): D = 5/(1+s5) = 4,56
Egy új cél: a portfólió érzékenysége (PD) = a követelés érzékenysége !
A portfolió egyenlet ($ 100 névértékkel):
![Page 33: Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062408/56813e06550346895da7e4a2/html5/thumbnails/33.jpg)
2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 33
IMMUNIZÁCIÓ IV.Az immunizáció hatása : spot rate ±1%
![Page 34: Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062408/56813e06550346895da7e4a2/html5/thumbnails/34.jpg)
2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 34
FELADATOK OTTHONI KIDOLGOZÁSRA
• 4. fejezet
• 1.2.3.6.7.
• Bónusz feladat: 8.