Tehnička fizika 1 – 2020/2021, doc. dr Miloš Petrović 1
Kinematika (2)
Tehnička fizika 1 – 2020/2021, doc. dr Miloš Petrović 2
• Kretanje je u vertikalnoj i horizontalnoj ravni. Ako je ugao početne
brzine 0 sa horizontalnom osom , tada:
• Jednačina putanje:
• Domet ( y = 0 ):
Kosi hitac
tgy
x
sin
cos
0
0
22
0
2
2
0
0
cos2tg
2
1sin
cos
xgxy
tgty
tx
gDxD
2sin2
0
Tehnička fizika 1 – 2020/2021, doc. dr Miloš Petrović 3
• Ako je ugaoni pomeraj tada je trenutna ugaona brzina:
• Trenutno ugaono ubrzanje:
• Ravnomerno kružno kretanje:
• Ravnomerno ubrzano kružno kretanje:
Rotaciono kretanje
tt
dd
d
ttt
dd
d
d
d2
2
t ,const,0
2
002
1t,,const tt
Tehnička fizika 1 – 2020/2021, doc. dr Miloš Petrović 4
• Tangencijalna brzina, kada je R poluprečnik kružnice:
• Radijalno ubrzanje:
• Tangencijalno ubrzanje:
• Ukupno ubrzanje:
Rotaciono kretanje (2)
t
d d
d d
sR R
t t
22
ra RR
tt
d
da R
t
2 2
t ra a a
Tehnička fizika 1 – 2020/2021, doc. dr Miloš Petrović 5
• Z1. Sa površine Zemlje lansira se projektil pod uglom = 30° prema
horizontu. Domet projektila je D = 2000 m, a ubrzanje slobodnog
padanja iznosi g = 9,81 m/s2. Odrediti:
a) početnu brzinu projektila,
b) jednačinu putanje i maksimalnu visinu koju projektil dostiže,
c) poluprečnik krivine putanje u njenoj najnižoj i najvišoj tački.
Rešenje:
a)
b)
Zadaci
m/s52,1502sin
0
2
0
gD
0 max max 0
2 22 0
max 0 max max
sin 0 sin /
1 sinsin 288,69m
2 2
y g t t g
h t g tg
22
0
2
cos2tg
xgxy
Tehnička fizika 1 – 2020/2021, doc. dr Miloš Petrović 6
c) u najvišoj tački
u najnižoj tački:
Zadaci
2 2 2 2 20 0
r min
min min
cos cos1732,13mxa g R
R R g
2 20 0
r max
max
cos 2666,8mcos
a g RR g
Tehnička fizika 1 – 2020/2021, doc. dr Miloš Petrović 7
• Z2. Pod kojim uglom je potrebno baciti telo da bi:
a) najveća visina koju dostiže pri kretanju bila jednaka dometu,
b) domet bio jednak visini koju telo dostiže pri izbacivanju vertikalno
uvis istom početnom brzinom.
Rešenje:
a)
b)
Zadaci
96,754arctg
2sin
2
sin2
0
22
0max
gD
gh
152
1arcsin
2
12sin
2
2
0
2
0max,
gD
gh v
Tehnička fizika 1 – 2020/2021, doc. dr Miloš Petrović 8
• Z3. Točak se obrće oko nepokretne ose tako da njegov ugaoni pomeraj
zavisi od vremena po zakonu: , gde je k konstanta. Odrediti
intenzitet ukupnog ubrzanja tačke na obodu točka posle vremena od
početka kretanja kada je tangencijalna brzina te tačke .
Rešenje:
Zadaci
2
r
t
2 2 2 4
t r
d2
d
( ) 2 /(2 )
2
d2
d
2
1 4
k tt
t R k R R k
a kR
kt
a Rk
a a a k
2)( tkt
Tehnička fizika 1 – 2020/2021, doc. dr Miloš Petrović 9
• Z4. Kruto telo počinje da rotira oko nepokretne ose ugaonim
ubrzanjem ( k = 0,02 rad/s3). Posle koliko vremena od početka
rotacije vektor ukupnog ubrzanja proizvoljne tačke tela zaklapa ugao
= 60 sa njenom brzinom.
Rešenje:
Zadaci
21d d , 0 0 0
2t k t t k t C C
k t
2
2 42
t r
3r 1 3
1
t
2
,4
4 3tg 3 7s
4
k t RR
k t Ra R k t R a R
a k tt
a k
Tehnička fizika 1 – 2020/2021, doc. dr Miloš Petrović 10
• D1. Sa horizontalnog tla izbaci se telo kao kos hitac. Maksimalna visina
do koje se telo popne na svojoj putanji je ym = 3 m. Poluprečnik krivine u
najvišoj tački putanje je R = 6 m. Koliki je domet kosog hica? Ubrzanje
slobodnog padanja iznosi g = 9,81 m/s2.
Rešenje:
Zadaci
m12D
Tehnička fizika 1 – 2020/2021, doc. dr Miloš Petrović 11
• D2. Odrediti:
a) početnu brzinu projektila koji se ispaljuje sa površine Zemlje pod
uglom od 45° tako da pogodi cilj koji se nalazi na rastojanju D = 90 m,
b) maksimalnu visinu koju projektil tada dostigne,
c) vreme leta projektila do najviše tačke putanje,
d) maksimalnu visinu projektila, ako se ispali sa visine H = 10 m od
površine Zemlje.
Ubrzanje slobodnog padanja iznosi g = 10 m/s2.
Rešenje:
a) b)
c) d)
Zadaci
m/s300 m5,22max h
s1,2max t m5,32max' h
Tehnička fizika 1 – 2020/2021, doc. dr Miloš Petrović 12
• D3. Sa ravne površine dva čoveka istovremeno šutnu po jednu
identičnu loptu pod istim elevacionim uglom saopštavajući im različite
brzine. Ako je vreme leta do pada jedne lopte dva puta duže od
vremena leta do pada druge lopte odrediti:
a) odnos maksimalnih visina koje dosegnu lopte,
b) odnos dometa lopti.
Rešenje:
a) 4 b) 4
Zadaci
Tehnička fizika 1 – 2020/2021, doc. dr Miloš Petrović 13
• D4. Telo se kreće po kružnici poluprečnika R = 1 m, brzinom ,
gde je k = 2 m/s2. Odrediti:
a) intenzitet normalnog, tangencijalnog i ukupnog ubrzanja u zavisnosti
od vremena,
b) pređeni put u intervalu t1 = 0 do t2 = 1 s,
c) srednju vrednost intenziteta vektora brzine u intervalu t1 do t3 = 2 s.
Rešenje:
a)
b)
c)
Zadaci
2
42
t
22
r 1,,R
tkkaka
R
tka
tk
m1s
m/s2sr
Tehnička fizika 1 – 2020/2021, doc. dr Miloš Petrović 14
• D5. Materijalna tačka vrši rotaciono kretanje po kružnici poluprečnika
R = 0,1 m, pri čemu je zavisnost pređenog ugla od vremena data
jednačinom:
gde je B = 2 rad/s i C = 1 rad/s3. U trenutku = 0,2 s odrediti:
a) ugaonu brzinu,
b) ugaono ubrzanje,
c) ugao između vektora brzine i ubrzanja,
d) pređeni put.
Rešenje:
a) b)
c) d)
Zadaci
rad/s1,2)(
3)( tCtBAt
2rad/s2,1)(
8,74 mm8,40)( s
Tehnička fizika 1 – 2020/2021, doc. dr Miloš Petrović 15
• D6. Točak poluprečnika R = 10 cm vrši rotaciono kretanje, tako da je
zavisnost translatorne brzine tačaka koje leže na obodu točka u funkciji
vremena proteklog od početka kretanja dato relacijom:
gde je A = 3 cm/s2 i B = 1 cm/s3. Odrediti ugao koji zaklapa vektor
ukupnog ubrzanja sa poluprečnikom točka = 3 s od početka kretanja.
Rešenje:
Zadaci
52,15
2)( tBtAt
Tehnička fizika 1 – 2020/2021, doc. dr Miloš Petrović 16
• D7. Telo se kreće po putu poluprečnika krivine R = .
Tangencijalno ubrzanje tela iznosi 3 m/s2. U trenutku kada brzina tela
iznosi 36 km/h odrediti:
a) radijalno ubrzanje tela,
b) ukupno ubrzanje tela,
c) ugao koji zaklapaju vektor brzine i vektor ukupnog ubrzanja.
Rešenje:
a)
b)
c)
Zadaci
22
r m/s3 m/s,10 R
a
m3/100
22
r
2
t m/s32 aaa
30tgt
r a
a
Tehnička fizika 1 – 2020/2021, doc. dr Miloš Petrović 17
• D8. Parametarske jednačine kretanja materijalne tačke u ravni su:
Odrediti poluprečnik krivine trajektorije u trenutku .
Rešenje:
Zadaci
traj 2 2R R
sin , 1 cosx R t t y R t
1 / 2t