Download - KOLMOGOROV-SMİRNOV UYUM İYİLİĞİ TESTİ
-
8/2/2019 KOLMOGOROV-SMRNOV UYUM YL TEST
1/130
1
GR
ada bilimi belirleyen niteliklerden birisi artan uzmanlamadr. Bu nitelik
sayesinde farkl bilimsel alanlarda yer alan benzer kavramlar gelimi ve bu kavramlar
ieren yeni bilim dallar ortaya kmtr. Bu gelien benzer kavramlar iindeki en genel
kavram sistem kavramdr. Sistem, belirli bir hedefe ynelmi ve aralarnda ilikiler
bulunan eler topluluudur. Sistem zerinde gerekletirilecek almalar, gerek
sistem veya sistemin bir modeli yardm ile yaplabilir. Bununla birlikte, sistem
yaklam yneticilerin en nemli yardmclarndan biridir. Sistem yaklamnn
karmak sistemlerin analizinde ve tasarmnda yararland en nemli yntemlerden
biride simlasyon (benzetim) olarak adlandrlr.
Simlasyon ynteminin ilk aamas olan problemin tanmlanmas ve
amalarn belirlenmesinden sonra, modelin kurulmas, verilerin toplanmas ve daha
sonra da modelin bilgisayar ortamna aktarlmas gerekletirilmelidir. Modeli
bilgisayar ortamna aktarmak iin simlasyon uygulamalarnda kullanlan zel amal
dillerden (GPSS, GASP, SIMSCRIPT,vb.) ve ayrca genel amal diller olarak kabuledilen ( Fortran, Pascal, Basic,...vb.) yararlanlabilir. Sz edilen aamalardan sonra
modelin gerek sistemi doru bir ekilde yanstp yanstmadn test etmek
gerekir. Bu amala istatistiksel testlerden faydalanlr. Bu dorulama ileminden sonra
sistemin bilgisayar ortamnda altrmlar yaplabilir. Simlasyon srecindeki son
aama sz konusu altrmlardan elde edilen sonularn deerlendirilmesidir.
almamzn birinci blmnn ilk ksmnda, simlasyon ynteminin model
ve sistem kavramlar ile olan ilikisinin tanmlanmas yaplmtr. Daha sonra yntemin
tarihi geliimi, genel kullanm amalar ve uygulama alanlar, ortaya kabilecek
glkler ve kullanm stnlkleri, sahip olunan avantaj ve dezavantajlar ele alnmtr.
Son ksmda ise, simlasyon trleri ile simlasyon uygulama yntemleri genel bir
erevede ele alnarak aklanmaya allmtr.
-
8/2/2019 KOLMOGOROV-SMRNOV UYUM YL TEST
2/130
2
kinci blmde ise, simlasyon uygulama srecinde ilk aama olan problemin
tanmlanmas ile uygulamaya ilikin verilerin toplanarak derlenmesi, modelin
bilgisayar programna uygulanmas ve test edilmesi, modelin geerliliinin
salanarak yaplan deney sonularna ilikin sonularn elde edilmesi ve modelin
bilgisayar programna uygulanmas ilevini gerekletiren bilgisayar program ve dilleri
zerinde durulmutur.
nc blmde, simlasyon altrmlarnn yaplabilmesi iin gerekli olan
rasgele say reteleri ve retelerden elde edilen rassal saylarn rasgeleliinin test
edilmesi zerinde durulmutur.
Uygulama blmn ieren drdnc blmde, problemimizin tanm yaplarak,
problemin zm srecine kesikli - olay sistem simlasyonunun nasl uyguland
aklanmtr.
-
8/2/2019 KOLMOGOROV-SMRNOV UYUM YL TEST
3/130
3
BLM 1
SMLASYON YNTEM
1.1. Simlasyonun Temel Kavramlar
Simlasyon, zellikle problemin boyutunun ve karmaklnn analitik
tekniklerin kullanmn zorlatrd yada imkanszlatrd durumlarda bavurulan
analitik bir yaklamdr.1
Sistem; belirli girdileri alan ve bunlar uygun olarak ileyerek, bunlarla ktlararasndaki ilikiyi gsteren bir fonksiyonu en iyilemeyi amalayan varlklar ve
eler topluluudur. Model ise dnce srecinin dnda varolan gerek olayn soyut
bir gsterimi, temsilidir. Sistemin bir esi zerinde deiiklik yapmak, sistemin
tmnde deiimlere neden olacaktr. Bu durum sistem yaklamnn domasn ve
gelimesini salamtr.
Sistem yaklam, yneticilerin kulland en nemli aralardan biridir. Sistem
yaklamnn karmak sistemlerin analizinde ve zmlenmesinde yararland en
nemli yntemlerden biride simlasyon olarak bilinmektedir.
Simlasyon, gerek sistemin temsili iin bir model kurma, bu model yardm ile
gerek sistemin davrann kestirebilme ve deiik stratejileri deerlendirebilmek
amacyla deneylerin yrtlme srecidir.2
Simlasyon, ayrca her bir rasgele deikenin sahip olduu frekanslardan elde
edilen rasgele deikenlerin olaslk dalmlarnn kullanm ile amaca ynelik
sonularn bulunabildii bir yntemdir.3
1 CHASE B.R.., AQUILANO N. J.,Production and Operations Management; A Life Cycle ApproachRichard D. Irwin Inc.,USA,1981, Sayfa 3692 ERKUT Haluk, Analiz, Tasarm ve Uygulamal Sistem Ynetimi , rfan Yaymclk, 2. Bask,Ynetim Bilimleri Dizisi=4, stanbul, 1996, Sayfa 32 - 189 - 2983 LAPIN L.,Quantative Methods For Business Decisions With Cases, Harcourt B.Inc.,1988, Sayfa 494
-
8/2/2019 KOLMOGOROV-SMRNOV UYUM YL TEST
4/130
4
1.2. Simlasyon Ynteminin Kullanld Durumlar
Simlasyon, stokastik yada deterministik sistemlerin tasarmlarnn yaplmas
yada gelitirmesi amacna ynelik olarak kullanlabilir. Burada ifade edilen stokastik
sistemler Markov zincirlerinin ve kuyruk sistemlerinin rneklerine benzerdir.
Byle durumlarda sistem iinde gerekleen eitli olaylar ansa bal olarak retilerek,
bunlarn olaslk dalmlarnn kullanmyla gerek sistemin performans
rneklendirilmi olur.4
Simlasyon, geleneksel istatistiksel tekniklerle de kullanlabilir. Ayrca,
simlasyon alanlarn eitimi ve sistemi nasl idare edecekleri, matematiksel ve
rgtsel ilikiler ile ilgili yeni teorilerin gelitirilmesinde de yararldr.5
Simlasyon ynteminin etkin olarak kullanlmas, bilgisayar kullanm ile daha
da artmtr. Bu nedenle ou kez simlasyon terimi yerine bilgisayarla simlasyon
terimi kullanlr olmutur. Bilgisayarla yaplan simlasyonun en nemli drt zellii ise
unlardr;6
Simlasyon uygulamas firma, endstri, ekonomi ve/veya bunlarnoluturduu birimler zerinde yaplabilir.
Deneyler (veya denemeler) mantksal veya matematiksel modeller zerindeyaplr.
Simlasyon denemeleri saysal ve karma bilgisayarlar ile yaplr. Denemeler uzun bir zaman periyodunda stokastik veya dinamik koullar
altndadr.
1.3. Simlasyonun Tarihi Geliimi
Yzylmzn son yarsnda, eitimden elenceye, tamacla ve
animasyona kadar, modelleme ve simlasyon ok hzl bir ekilde
ilerlemitir. Son 40 ylda simlasyon dillerinin ve paket programlarnn geliimi ve
4 HILLER S. FREDERICKH., LIEBERMAN GERALD J., Introduction to Operations Research ,Mc Graw Hill Publishing Company ,USA, 1990, Sayfa 8575 CHASE B.R., AQUILANO N. J.,a.g.e., Sayfa 3696YAR Yksel, Ekonometrik Modeller, Ceren Basm Yayn, Bursa, 1999, Sayfa 621
-
8/2/2019 KOLMOGOROV-SMRNOV UYUM YL TEST
5/130
5
saysnn artmas, simlasyonun kullanlma ekilleri ile kullanm alanlar da arpc
bir ekilde arttrmtr.
Simlasyon, 1950 ve 1960l yllarn sonlarna doru, genellikle byk
sermaye yatrmlar gerektiren irketlerin kulland, ok pahal ve zel alanlarda
kullanlan bir ara idi. Bu irketler, Fortran gibi programlama dilleri ile byk ve
karmak simlasyon modellerini gelitirmek iin uzman kiilerden oluan alma
gruplar kurmulard. Gelitirilen modeller daha sonra byk bilgi ilem
merkezlerinde altrlyordu. O yllarda bu makinelerin kullanm maliyeti, ok
yksekti. Gnmzdeki kiisel bilgisayarlar, bu makinelerden ok daha gl vehzldr.
Simlasyonun asl geliimi 1970li yllarn sonlarnda olmutur. lem hz
yksek bilgisayarlarn maliyeti olduka dm ve simlasyon ok farkl alanlarda
kullanlmaya balanmt. Ayn zamanda, bu sre ierisinde simlasyon (benzetim)
niversitelerde endstri mhendislii, yneylem aratrmas ve iletme derslerinin
standartlaan bir blm haline gelmiti.
Simlasyonun endstri alanndaki hzl ilerleyii, niversiteleri simlasyonu
daha kapsaml bir ekilde ele almaya zorlamtr. Gelien taleple beraber bu
konuda alan aratrmac ve rencilerin says da artmtr. Son zamanlarda modern
ynetim biliminde nemli bir ara olarak simlasyonun kullanld gzlenmektedir.
Simlasyon kullanm 1980li yllarn sonuna gelindiinde kiisel
bilgisayarlarn kapasitelerinin de artmasyla i dnyasna yerlemiti. Simlasyon
gnmzde, hem var olan sistemlerin analizinde bir analiz arac hem de tasar halindeki
sistemlerin analizinde bir tasarm arac olarak yaygn ekilde kullanlmaktadr. .
ok iyi bir animasyon yeteneine sahip olmas, kullanm kolayl,
bilgisayarlarn kapasitelerindeki gelime, dier paket programlaryla kolay uyumu
ve simlatrlerin gelimesi, simlasyonu birok firma iin standart bir ara haline
getirmitir. Ayrca simlasyonu uygulama ekli de deiebilmektedir; sistemlerin
tasarm aamasnda kullanlan simlasyon programlar, yaplan herhangi bir deiiklikle
-
8/2/2019 KOLMOGOROV-SMRNOV UYUM YL TEST
6/130
6
sistemin farkl alanlarnda kullanlabilmektedir. Bylelikle yaayan bir simlasyon
kullanm salanabilmektedir.7
1.4. Simlasyon Ynteminin Kullanm Amalar
zel-amaca ilikin simlasyon dillerinin kullanlmaya balanmas ve simlasyon
yntembiliminde salanan ilerlemeler, bu yntemi yaygn biimde kullanlan ve
kabul edilen bir ara haline getirmitir.
Bu anlamda simlasyon izleyen amalara ynelik olarak kullanlabilir;
1. Simlasyon, karmak sistemlerin yada bir karmak sistem iindeki alt sistemlerini etkileimlerini deneysel olarak ele almak amacyla kullanlabilir.
2. Bilgisel, rgtsel ve evresel deiimlerin benzetimi yaplabilecei gibi budeiimlerin modelin davranlar zerindeki etkileri incelenebilir.
3. Belirli bir aratrma altnda bir simlasyon modelinin tasarmndan elde edilen bilgisistem iinde bir gelimenin olduunu iaret edebilir.
4. Simlasyon girdilerinin deitirilmesi ve sonulanan ktlarn incelenmesiyle,hangi deikenlerin daha ok nemli olduu ve deikenler arasnda nasl bir
etkileimin olduunu belirlemek olduka yararl olacaktr.
5. Simlasyon, analitik zm yntembilimlerinin glendirilmesi iin kullanlabilir.6. Simlasyon, analitik zmlerin doruluunu kantlamak iin kullanlabilir.87. Benzetim ile gerekletirilecek sistem gznnde canlandrlabilir.8. Modern sistemler (Fabrika, servis rgt, imalat birimleri,...vb,) olduka
karmak bir yapda olduundan, bunlarn etkileimleri dorudan simlasyon
ynteminin kullanmyla elde edilebilir.9
7 KU Pelin Simlasyon Uygulamalar, Yaymlanan Makalesi, Ankara, 2004, Sayfa 53 -54.8 BANKS J., CARSON II J.S., NELSON B.L., Discrete - Event System Simulation, 2.Bask, PrenticeHall International, Inc, New Jersey - USA, 1996, Sayfa 49 LIEBERMAN GERALD J., Introduction to Simulation Articles, www. Jstor.com.tr., 1995 Sayfa 3-4
-
8/2/2019 KOLMOGOROV-SMRNOV UYUM YL TEST
7/130
7
1.5. Simlasyon Ynteminin Uyguland Alanlar ve Kullanm Koullar
Amerikann nde gelen ou irketi 1980lerin banda simlasyon yntemini
daha etkin bir biimde kullanmaya balamtr. Bu yntemi zellikle irketlerin
fonksiyonel alanlarnn tanmlanmasnda kullanmlardr. Daha sonra ise, genel
yzdelik dilimler kullanarak; irket planlamas, mhendislik, finans, aratrma ve
gelitirme (ar-ge) vb., blmlerde simlasyon yntemini kullanmlardr.10
Tablo 1-5. Belirli Fonksiyonel Alanlarda Simlasyonun Kullanm Yzdeleri
Faaliyet Alan Yzdelik Dilim (%)
retim % 59
irket Planlamas % 53
Mhendislik % 46
Finans % 41
Ar-Ge % 37
Pazarlama % 24
Bilgi lem % 16
Personel % 10
Simlasyonun ayrca genel anlamda uyguland birtakm uygulama alanlar da
mevcuttur. Bu alanlar izleyen ekilde listelenmitir.11
malat sistemleri
Yar iletken imalat iin malzeme ynetim sistemi tasarmnda, Envanter sistemi planlamasnda, Yolcu ua harekatlarnn planlanmasnda,10 HILLER S. FREDERICKH., LIEBERMAN GERALD J., a.g.e. , Sayfa 863 - 86411 BANKS J., CARSON II J.S., NELSON B.L., a.g.e., Sayfa 6 - 7 - 8
-
8/2/2019 KOLMOGOROV-SMRNOV UYUM YL TEST
8/130
8
Bilgisayarla btnlemi bir imalat sistemi iin datm modelinin tasarmnda, malat sistemi iinde alet paylamnn etkin olarak yaplmasnda, Tam zamanl retim iin envanter maliyet modeli tasarlanmasnda.Kamusal sistemler
Salk Sektr
Ecza maliyet ve giderlerini nceden haber vermede, Acilde bekleme sresinin drlmesinde.Askeri
Operasyonel test ve deerlendirme konularnda, Kolordu sava simlasyonu tasarmnda, Hava komuta ve kontrol alanlarnda.Doal Kaynaklar
Atk ynetim sisteminin tasarlanmasnda, Depo atklarn iyiletirme sistemi tasarmnda, evresel tanzim faaliyetlerinin gerekletirilmesinde.Ulatrma Sistemleri
Kargo nakliyatlarnn tam zamanl yaplmasnda, Konteyner liman harekatlarnn dzenlenmesinde.
-
8/2/2019 KOLMOGOROV-SMRNOV UYUM YL TEST
9/130
9
Kurulum Sistemleri
Madencilik uygulamalarnda, Tasarmlar glendirme / Ara yzlerin kurulumunda, leri dzey proje planlamasnda.Gda Sreleri
Balk endstrisinde balk gemisi harekatlarnn dzenlenmesinde, Kkba hayvan retiminde uluslar aras rekabetin deerlendirilmesinde.Bilgisayar Sistemi Performanslar
st dzey bilgisayar sistemi performanslarnn deerlendirilmesinde, Mteri / hizmeti (client /server) sistemi tasarmnda.
Bunlarla birlikte, havaliman tasarm, yolcu ua bakm programlamas,
haberleme sistemi tasarm, finansal tahminler, personel planlamas, su kaynaklarnn
gelitirilmesi, tketici davranlarnn tahmini, demiryolu trafii planlamas,..vb, daha
birok alanda da uygulanabilir.12
Bir bilim dal olarak simlasyon ynteminin baz stokastik sistemler iin tercih
edilebilmesi, uygulanmas ve uygulamann baarl olabilmesi iin belirli bir takm
koullarnda olumu olmas gerekmektedir. Bu koullar da u ekilde sralayabiliriz:
Belirsizlikevre koullarnda ve i olaylarda yer alan belirsizlik ve ynetsel kararlarn
byk lde belirsizlik altnda alnma zorunluluunun bulunmas.
12 CHASE B.R., AQUILANO N. J., a.g.e., Sayfa 370
-
8/2/2019 KOLMOGOROV-SMRNOV UYUM YL TEST
10/130
10
Rassallkevresel deiimlerin belirli bir kurala ve dzene bal olamadan rassal olarak
olumas.
Deneysellikevre koullar ile sistemi oluturan deikenler, parametreler ve sistemi
kstlandran kst ve varsaymlarda deiiklikler yaparak, alternatif plan, karar ve yn
oluturma gereksiniminin bulunmas. Simlasyonu bir ynetim laboratuar olarak
kullanarak, Byle olursa ne yapmalyz ?, yle olsayd ne yapardk ? (What if ?)
trnden durumlarn deneylerle incelenme gereksiniminin bulunmas.
Davran AnaliziYnetim ve karar sistemlerinin, belli gelecekteki belirli bir noktada ierdikleri
zm deerlerinin tahmini yerine, gelecekte ortaya kabilecek davranlarnn
ynlendirilme gereksiniminin olmas.
Sistem GrYap, sistem ve olaylarn bir btn olarak ok ynl ve geni bir adan
incelenme gereksiniminin bulunmas. Ayrca, evrimsellik gr bakmndan da,
sistem ve olaylarn zaman iindeki deiimlerinin incelenme zorunluluunun
olmasdr.13
1.6. Simlasyonu Kullanmann Salad Avantaj ve stnlkler
Simlasyon birtakm dezavantajlara sahip olduu gibi belirli avantajlara da
sahip bir yntemdir. Bunlardan ilk deinilecek olan, yntemin salam olduu
yarar ve stnlkler olup, Pedgen, Shannon ve Sadowski tarafndan 1995 ylnda
dzenlenmi ve izleyen ekilde sralanmtr.14
1. Yeni politikalar, ilemsel prosedrler, karar kurallar, bilgi aklar, rgtselprosedrler, yeni donanmsal tasarmlar, fiziksel yerlerin planlamas, ulatrma
13 ERKUT Haluk, a.g.e., Sayfa 299 - 30014 BANKS J., CARSON II J.S., NELSON B.L., a.g.e., Sayfa 4 - 5
-
8/2/2019 KOLMOGOROV-SMRNOV UYUM YL TEST
11/130
11
sistemleri ve daha birou gerek sistemin devam eden ilevsellii aksatlmadan
incelenebilir ve test edilebilir.
2. Olayn nasl yada niin meydana geldii ile ilgili hipotezler uygunluk iin testedilebilir.
3. Ekonomik inceleme altndaki olayn hzlandrlmas yada yavalatlmas iinzaman daraltlabilir veya uzatlabilir.
4. Deikenler aras etkileimlerin ortaya karlmasnda kullanlabilir.5. Sistemin performans zerinde deikenlerin nemleri ile ilgili bilgi elde
edilebilir.
6. Bir simlasyon almas bireylerin sistemi nasl yneteceklerini dnmelerindenziyade sistemi nasl yneteceklerini anlamalarnda yardmc olabilir.
7. Ne olursa - ne olur sorular cevaplanabilir. Bu durum zellikle yenisistemlerin tasarmnda yararldr.
Simlasyon, yukarda belirtilen durumlarda yararl olmasnn yannda;
1. Simlasyon esnek bir zm yntemidir.2. Deney koullar zerinde analist tam bir kontrole sahiptir. Simlasyonu istenen
zamanda durdurup yeniden balatabilir.15
3. Simlasyon, sistem verilerinin detayl olmad durumlarda da kullanlabilir.161.7. Simlasyon Kullanmnn Ortaya kard Glk ve Dezavantajlar
Simlasyonun kullanm avantajlarnn yan sra ortaya kabilecek
glk ve dezavantajlarn da gz nnde bulundurmak gerekir;
1. Simlasyon kesin olmayabilir. Bu bakmdan bazen deiik iletim koullarnasistemin tepkilerinden oluan bir set ortaya koyar.
15 TTEK H. Hlya, GMOLU evkinaz, Saysal yntemler - Ynetsel Yaklam Beta basmyaym A.., stanbul, 2000, Sayfa 378 - 37916 KU Pelin, a.g.e. , 2004.
-
8/2/2019 KOLMOGOROV-SMRNOV UYUM YL TEST
12/130
12
2. yi bir simlasyon modeli yksek maliyetli olabilir. ounlukla kullanlabileceknitelikte bir irket planlamas modelini gelitirmek ok uzun sre alabilir.
3. Her durum simlasyon kullanlarak deerlendirilemez; yalnzca belirsizlik ierendurumlar simlasyon kullanmna adaydr ve rassal olarak deer alan bir sre
olmadan simlasyonun tm deneyleri ayn sonucu verir.
4. Simlasyon, zmlerin kendilerini deil, bir zm deerlendirme yolu gelitirir.175. Simlasyon sonularnn yorumlanmas analitik tekniklerin sonularna
benzemedii iin zor olabilmektedir.
6. Simlasyon, analitik zmn olas yada tercih edilebilir olmas durumunda dakullanlabilmektedir. Ancak bu durum zellikle baz bekleme hatt sistemi
modellerinin simlasyonunda olasdr.18
1.8. Simlasyon Trleri
Simlasyon kelimesinin modern anlamda kullanl 1940 yl sonlarnda JohnVon Neumann ve Stanislaw Ulamn almalarna Monte - Carlo Simlasyonu
adn vermeleri ile balar. Bu teknik sayesinde analitik ilemleri ok kark ve
deneysel ilemleri de ok pahal olan nkleer savunma problemleri baaryla
zlmtr. 1950 yl balarnda saysal bilgisayarlarn geliimi ile simlasyon
kelimesi baka anlamlarda kazanmtr. Bu sayede sosyal bilimciler de fizik ve
kimyaclar gibi laboratuar deneylerine benzer deneyleri bilgisayarda gerekletirme
olana bulmutur.19
Ekonominin ve sanayiinin ou problemleri ok karmak olup, deneysel
olarak incelemek yada matematiksel olarak kesin bir zm bulabilmek olduka
zordur. Bu gibi durumlarda yaklak zme gtren tekniklere, sezgisel yaklamlara,
daha dorusu sistematik denemeye, modele uygun saysal denemeye dayanan metotlara
bavurulmaktadr.20
17 TTEK H. Hlya, GMOLU evkinaz, a.g.e., Sayfa 37918 BANKS J., CARSON II J.S., NELSON B.L., a.g.e., Sayfa 519 HALA Osman, Kantitatif Karar Verme Teknikleri, Evrim Datm, 3. Bask, stanbul, 1991,Sayfa 33520 YILMAZ Zekai, Saysal Yntemler, Uluda niversitesi Basmevi, Bursa, 1988, Sayfa 203 - 204
-
8/2/2019 KOLMOGOROV-SMRNOV UYUM YL TEST
13/130
13
Yukarda ifade edilen bu metotlar belli ana balklar halinde sralanacak
olursa, bunlarla ilgili drt simlasyon eidi mevcut olup; unlardr:21
1. Monte - Carlo Simlasyonu2. Srekli - Sistem Simlasyonu3. Kesikli - Olay Sistem Simlasyonu4. Birletirilmi Kesikli Srekli Sistem Simlasyonu
1.8.1. Monte Carlo Simlasyonu
Bir niform dalmdan yani rassal saylar U(0,1) rassal deikeni kullanan
monte carlo simlasyonu ayn zamanda zaman unsurundan bamsz bir yap ile statik
modellere ilikin olarak kullanlmaktadr. Monte Carlo Simlasyon yntemi aadaki
be temel aamadan meydana gelmektedir.
1. Deikenler iin ihtimal (olaslk) dalmnn bulunmas,
2. lk aamadaki her deiken iin olaslk dalmnn kmlatif toplamnn
bulunmas,
3. Her deiken iin rasgele say aralnn bulunmas,
4. Rasgele saylarn retilmesi,
5. Simlasyon ileminin tamamlanarak, geek olayn benzetiminin yaplmas.22
Monte Carlo Simlasyon yntemi, iki farkl snftaki problemlerin
zmnde kullanlabilir. lk problem tipi iin Monte Carlo metodu, olaslk
dalmlarndan veri taban simle etmek iin gelitirilebilir. kinci snf
problemlerde ise, kmlatif dalm fonksiyonunun fonksiyonel ilikilerini ve
21 HALA Osman, Kantitatif Karar Verme Teknikleri, stanbul niversitesi Yayn Arpaz MatbaaclkLtd., stanbul, 1978, Sayfa 44422 TEKN Mahmut, Kantitatif Karar Verme Teknikleri Aka Ofset Basmevi, 2. Bask, Konya, 1992,Sayfa 260 -261
-
8/2/2019 KOLMOGOROV-SMRNOV UYUM YL TEST
14/130
14
deterministik bir problemin zm gereksinimlerini karlayan bir stokastik sre
simlasyonu ile yaklak zmler olas olabilir.23
1.8.2. Srekli Sistem Simlasyonu
Srekli sistem simlasyonu, bir sistemin modellenmesi ile ilgili durum
deikenlerinin zamana bal olarak srekli deiim iinde olduu temsili bir
modeldir.24
Bir baka ifade ile de, davranlar zamanla birlikte srekli deiim gsteren
sistemlerle ilgilenmektedir. Srekli sistemlerin simlasyonu genelde, sistemin farkl
elemanlar arasndaki etkileimin birtakm diferansiyel denklemlerle ifade
edildii modellerdir. Dnya nfusundaki hareketliliin aratrlmas buna tipik bir
rnek olarak verilebilir.25
Sistem simlasyonu gncel verilerin karmak problemlerde yararl olduu ve bir
model dorultusunda ilevsel evrenin bir kopyas ile ilerleme salayan bir sretir.
Buna gre srekli sistem simlasyonu, durum deikenlerinin deeri zamana gre
srekli deien bir sistemin modellenmesine ilikindir. Yani burada zaman unsuru sz
konusudur. Bu simlasyon tr, sistem analizlerinin alternatif ynetim faaliyetlerine
yant vermesine ve kararlar iin salam bir temel salanmasna olanak vermektedir.26
Bu anlamda sz konusu bir iletmenin toplam maliyetini bulabilmek iin
deiik iletme koullarnda sistemin performansnn lm gerekmektedir. Bunun
iinde sistemin modelini kurmaya gerek vardr. Model kurulduktan sonra, sra
sistemin davrann incelemeye gelmitir. Bunun iinde simlasyon yaplr.
Bu amaca ilikin olarak;
Sisteme gerekte karlaaca dnlen girdiler verilir.
23 THIERAUF J.R., KLEKAMP C.R., Decision Making Throught Operations Research John Willeyand Sons, Inc., New York, 1975, Sayfa 454
24 LAW Averil M., KELTON W. David, Simulation Modeling and Analysis , Mc Graw Inc., Singapore,1991, Sayfa 10925 TAHA Hamdy A., Yneylem aratrmas, Literatr Yaynclk,Datm, Pazarlama San Tic. Ltd. ti.,Beyolu - stanbul, 2000, Sayfa 67126 THIERAUF J.R., KLEKAMP C.R.,a.g.e. , Sayfa 455
-
8/2/2019 KOLMOGOROV-SMRNOV UYUM YL TEST
15/130
15
Sistemde dalgalanmalar oluturacak olan gereki bozucu etkiler sisteme dahiledilir.27
1.8.3. Kesikli Olay Sistem SimlasyonuKesikli olay sistem simlasyonu, dinamik, kesikli ve olaslkl veya
deterministik yapdaki sistemlere ilikin durum deikenlerinin zamann belirli
noktalarnda deiim gsterdii durumlardaki simlasyon modellemesi ile ilgilidir.
Dier bir ifadeyle durum deikenlerinin zaman iindeki belirli noktalarda
sadece kesikli yada saylabilir olarak deitii durumlardr.28 Kesikli simlasyon
modelleri, sistemlerin davranlarndaki deiimleri sadece verilmi olan bir anda
izleyen modellerdir. Buna tipik bir rnek olarak, bekleme - hatlarnda ortalama
kuyrukta bekleme sresinin ve bekleme hatt uzunluunun tahmini gsterilebilir.
Sistemin durumu sadece bir mterinin sisteme girdii yada
sistemden kt anda deiir. Sitemde zaman iinde meydana gelen deiimler
modelde olay unsurunu oraya karr. Bu olaylar kesikli noktalarda meydana geldii
iin kesikli olay simlasyonu yntemi ortaya kmtr. 29
Kesikli olay sistem simlasyonu birok yardmc unsurla ilgili olup, bu
unsurlar mantksal bir rgtlenme ile simlasyon modelinin bilgisayar programnn
kodlanmasna, hataszlatrlmasna ve gelecekteki deiimlerin gelitirilmesine
yardmc olmutur. zellikle, sz konusu bu unsurlarn ou kesikli - olay
simlasyon modelinde bulunmakta ve sonraki - olaylarn planlanmas
yaklamnda kullanlmaktadr. Balca nemli unsurlar aadaki ekilde ifadeedilebilir.
Sistem durumu : Belirli bir zamanda sistemin aklanmas iin sistem durumdeikenlerinin toplanmasyla belirlenir.
27 ERKUT Haluk, Sistem Analizi Sistem Bilimleri Dizisi 2, rfan Yaymclk ve Tantm Ltd. ti.,stanbul,1995, Sayfa 3828 WINSTON WAYNE L., a.g.e., Sayfa 111529 TAHA Hamdy A., a.g.e., Sayfa 671
-
8/2/2019 KOLMOGOROV-SMRNOV UYUM YL TEST
16/130
16
Simlasyon saati : Simle edilen zamann geerli deerini veren deikendir. Olay listesi : Her bir olayn meydana gelecei zaman dilimini ieren listedir. statistiksel saya : Sistem performans ile ilgili istatistiksel bilgileri saklamak
iin kullanlan deikenlerdir.
Balang unsuru : Simlasyon modelini sfrdan balatmak iin bir alt programdr. Olay unsuru : zel trde bir olay meydana geldiinde sistemi gncelletirir. Ktphane unsuru : Simlasyon modelinin bir blm gibi tanmlanan ve olaslk
dalmlarndan rasgele gzlemler retmek iin kullanlan bir alt program
grubudur.
Rapor retici : Simlasyon bittiinde istenilen performans lmlerini tahminederek hesaplayan ( istatistiksel sayalardan ) ve rapor reten bir alt
programdr.
Ana program : Zamanlama unsuru ile bir sonraki olay tanmlar ve daha sonrasistemi buna uygun bir biimde gncelletirir.30
1.8.4. Birletirilmi Kesikli Srekli Sistem Simlasyonu
Bir sistemde, baz durum deikenleri srekli ve dierleri de kesikli
olarak deiiyorsa bu sistem birletirilmi sistem olarak snflandrlr. Baz fiziksel
sistemler olan ( sre endstrileri, rafineri ieren endstriler, kimyasal fabrikalar ..vb.)
birletirilmi sistem simlasyonu uygulama alanlar olarak snflandrlmaktadrlar.
Bu durumu ekil yardm ile de aklamak mmkndr.31
30 LAW Averil M., KELTON W. David, ,a.g.e., Sayfa 1031KHOSHNEVIS B. ,a.g.e., Sayfa 13-14-15
-
8/2/2019 KOLMOGOROV-SMRNOV UYUM YL TEST
17/130
17
ekil 1.9 4.3 Birletirilmi Sistemdeki Durum Deikeni
t - zamannda srekli ak zerinde kesikli deiimlerin etkisiSuyunAk SrekliOran Srekli Kesikli
Srekli
Srekli
Kesikli
t (Zaman)Yukarda ifade edilen ekil 4.3. birletirilmi (kesiklisrekli) sistem durum
deikeninin bir rnek yardm ile gsterimidir.
1.9. Simlasyon Modellerinin Genel Olarak Snflandrlmas
Modeller, somut ve soyut olmak zere genel itibariyle snflandrlabilir.
Simlasyon modeli ise somut bir model olarak bilinir ve bir sistemi sembolik
notasyonlar ve matematiksel eitlikler kullanarak temsil eder. Bylece simlasyon
modeli, sz konusu sistemin matematiksel bir modeli olmaktadr.32
Bu modellerin snflandrlmas izleyen ekilde ifade edilebilir;
1. Statik ve dinamik simlasyon modelleri,2. Deterministik ve stokastik (rassallk zellii tayan) simlasyon modelleri,3. Srekli ve kesikli simlasyon modelleri.33
32 BANKS J., CARSON II J.S., NELSON B.L., a.g.e., Sayfa 1233 KHOSHNEVIS B., Discrete Systems Simulation Mc Graw Hill Inc., Singapore,1994, Sayfa 15
-
8/2/2019 KOLMOGOROV-SMRNOV UYUM YL TEST
18/130
18
Bu durumla ilgili olarak ekil 1.9.1 simlasyon modellerinin nasl
snflandrlabilecei hakknda bilgi vermektedir.
ekil 1.9.1 Simlasyon Modellerinin Snflandrlmas ve likilendirilmesi
1.9.1. Statik ve Dinamik Simlasyon Modelleri
1.9.1.1. Statik Simlasyon Modelleri
Statik simlasyon modeli, zamann belirli bir noktasnda bir sistemin temsil
edilmesidir. Genellikle statik bir simlasyon Monte - Carlo simlasyonu olarak
adlandrlr.34
Bir baka ifadeyle, statik simlasyon modelleri ekonomik ilikileri zamandan
soyutlayarak veya zamann bir noktasnda ele alarak inceleyen modeller olarak
tanmlanrlar.35
1.9.1.2. Dinamik Simlasyon Modelleri
Dinamik simlasyon modeli ise, zamann her noktasnda deien bir sistemin
temsil edildii modeldir. Ayrca zaman kavramn veya zaman aka ieren
34 WINSTON WAYNE L., Operations Research Applications and Algorithms , PWS - KENTPublishing Company, Boston, 1991, Sayfa 111535YAR Yksel, a.g.e., Sayfa 9
SSTEM
KESKLSREKL
DNAMKSTATK
BLEK
DETERMNSTK STOKASTK
-
8/2/2019 KOLMOGOROV-SMRNOV UYUM YL TEST
19/130
19
modellerdir. Bununla birlikte, dinamik modellerde deikenlerin fonksiyonel ilikiye
girdii zaman aka belirtilmektedir. Dinamik sre, model veya sistemdeki tm
deikenlerin zaman srecindeki davrann belirleyen bir teoridir. Dinamik modellerde
deikenlerin gemi ve gelecee ait deerleri arasnda simlasyon ile balant
kurulabilir.36
1.9.2. Deterministik ve Stokastik Simlasyon Modelleri
1.9.2.1. Deterministik Simlasyon Modelleri
Deterministik simlasyon modelleri, kullanlacak tm verilerin kesin olduu
problemlerin analizi ve zm iin uygundur. rnein; deterministik yapya sahip
stok problemleri, seyahat ve vardiya planlarnn simlasyon modelleri vb.., bir ou
saylabilir. Deterministik simlasyon modeli, ematik bir biimde ekildeki gibi girdi
ve kt ilikisine sahip bir kara kutu olarak tasvir edilebilir.
ekil 1-9.2 Kara Kutu Olarak Deterministik Simlasyon Modeli
Bu kara kutunun daha doru karakterize edilebilmesi iin aadaki
ayrmlardan yararlanlabilir.
Elemanlar : Sistem teorisi erevesinde bir sistemi oluturan eler eleman
olarak nitelendirilmektedir. rnein; trenler, istasyonlar, retim siparileri,
makineler eleman olabilir.
Eleman zellikleri : Eleman zelliklerinin tanmlanabilmesi iin belirli deiken
tipleri kullanlmaktadr. deiken grubu arasnda ayrm yapmak mmkndr.
Bunlar ;
Deterministik simlasyon modellerinde kullanlan (bamsz) girdideikenleri.
36YAR Yksel, a.g.e., Sayfa 9 - 11
Girdi Deterministik Model kt
-
8/2/2019 KOLMOGOROV-SMRNOV UYUM YL TEST
20/130
20
Belirli bir zaman srecinde modelin gncel statsn aklayan statdeikenleri; rnek olarak bir seyahat simlasyonun da trenlerin var ve hareket
zamanlar verilebilir.
Girdi ve stat deikenlerinin balants sonucunda elde edilen veistenilen simlasyon sonularn tekil eden (baml) kt deikenlerine;
bir seyahat simlasyonun da belirli iki istasyon arasndaki trenlerin seyir srelerini
rnek vermek mmkndr.
likiler : likiler, modelin elemanlar veya daha akas yukarda aklanandeiken tipleri arasndaki ilikileri tasvir etmektedir. Bunlara, balang artlarnn
tanm iin gerekli tehis ve snrlama ilikileri de dahil edilmektedir.
1.9.2.2. Stokastik simlasyon Modelleri
Baz simlasyon modellerinde ele alnan olaylar byk lde tesadfi
olaylara bal olduundan stokastik problemlerin analizi ve zm iin
stokastik simlasyon modellerinden yararlanlabilir. Stokastik simlasyon modelini
izleyen kara kutu sistemi ile ifade edebiliriz.
ekil 1-9.3 Kara Kutu Olarak Stokastik Simlasyon Modeli
Deterministik simlasyon modellerinden farkl olarak stokastik simlasyon
modellerinde rassallk sz konusudur. Bu tipteki bir simlasyonun zellikleri bir
tesadfi deneyin sonularndan elde edilebilmektedir. 37
37 WINSTON WAYNE L., a.g.e., Sayfa 1154
Girdi Stokastik Model kt
TesadfiDeiken
-
8/2/2019 KOLMOGOROV-SMRNOV UYUM YL TEST
21/130
21
BLM 2
SMLASYON UYGULANMA SREC VE AAMALARI
Bu ksmda ele alnacak olan simlasyonun aamalar, bir simlasyonun
almasnn nasl yaplaca ile ilgilidir. Herhangi bir simlasyon almas birka
farkl ana aamadan oluabilmektedir.
Bununla birlikte, yaplan yada yaplacak baz simlasyon almalar, bu
aamalarn tamamndan olumayabilecei gibi burada ifade edilecek olan sra ile de
meydana gelmeyebilir.38
Bununla birlikte, simlasyon almas basit saylabilecek bir sre deildir.
Bu bakmdan, almann yrtlebilmesi ve sistem ile ilgili unsurlarn daha
iyi anlalmasn salayabilmek iin sklkla nceki admlara geri dnlmek
istenir. rnein, alma devam ederken sisteme yeni bilgi girilerinin olmas,
problemin zmlenebilmesinde problemin yeniden formlasyonunu gerektirebilir.39
Ayrca sistemde bulunan ve dinamik nitelik gsteren unsurlar alg veya sezgi
yoluyla incelenebilir.40
Simlasyon yntemi kullanm uygulamalarda,
1. Sistemlerin davranlarn inceleme ve tanmlama,
2. Gzlenen sistem davrann aklayan teori yada hipotezleri deneme ve
uygulama,
3. Bu teorileri kullanarak, sistemdeki deiimlerin etkilerini belirleme ve
bylece sistemin gelecekteki davrann tahmin etmeyi amalayan deneysel
bir zellik salar.41
38 WINSTON WAYNE L., a.g.e., Sayfa 115539 LAW Averil M., KELTON W. David,, a.g.e. , Sayfa 10640EN Salim., letme Ynetimine Modeller Yoluyla Yaklam; letme Ynetim Srecinde ModelKullanma zerinde Bir Aratrma, Emel Matbaaclk San. Ltd. ti., Ankara, 1973, Sayfa 2341 SARIASLAN Halil, a.g.e, Sayfa 44
-
8/2/2019 KOLMOGOROV-SMRNOV UYUM YL TEST
22/130
22
Yukarda ifade edilenlerin nda, bir simlasyon almasna rehberlik edebilecek
aamalar uygulama blmnde izleyen ekille gsterilebilir.42 Ayrca aadaki ak
diyagramndan uygulama blmnde yararlanlmtr.
ekil 2.1. Simlasyon Srecindeki Aamalara likin Ak Diyagram
HayrEvet
Evet Hayr
42 EMSHOFF James R., SISSON Roger L., Design and Use of Computer Simulation Models,The Macmillan Company, USA, 1970, Sayfa 50
ProbleminTanmlanmas
Gerekli Verilerin ve MevcutKaynaklarla lgili Bilgilerin
Analizi
Alt SistemlerinModellerininFormlasyonu
Alt Sistem ModelleriniSimlasyon Modeliinde Birletirme
Veri toplama veSimlasyon
Parametreleri Tahmini
Programn Belirlenmesi veSimlatr Hataszla
trma
Simlasyon Modelini Dorulama
Sreteki
ncekiAdmlar
Simlasyon Deneylerinin Tasarlanmas( Alternatiflerin Tanmlanmas )
Simlatr Koturma
Sonularn Analizi veYnetime Verilmesi
SonularnYrtlmesi
-
8/2/2019 KOLMOGOROV-SMRNOV UYUM YL TEST
23/130
23
ekil 2.2 Genel Hatlar ile Simlasyon Srecine likinAk Diyagram
Yukarda ifade edilmi olan simlasyon srecine ilikin ak diyagram genel
aamalar halinde ele alnm olup, 4. blm olan uygulama blm ile ilikilidir.43
43EN Salim., a.g.e. , Sayfa 22
-
8/2/2019 KOLMOGOROV-SMRNOV UYUM YL TEST
24/130
24
2.1. Problemin Tanmlanmas ve Formlasyonu
Yaplan tm bilimsel almalar belirgin bir durumda ve ortamda ilgili
hedeflerin btnyle ortaya konarak, amaca ynelik etkin sonular bulmak amacyla
yaplmaktadr.44
Simlasyon denemesi planlamadan nce, sz konusu problem ak bir
ekilde tanmlanmaldr. Bu aama simlasyon denemesi boyunca problemin yeniden
ifade edilmesini gerektirebilir. Pek ok aratrmada olduu gibi simlasyon denemesi de
sorunlara zm bulma, hipotez testi, parametre etkilerinin gzlenmesi gibi daha basite
indirgenerek ele alnabilir.
Simlasyon sreci balatlrken aratrmann amac ve deerlendirme kriterleri
mutlaka belirlenmelidir. Bu temel unsurlar belirlendikten sonra bilgisayarla simlasyon
yapmann maliyeti, simlasyonun karmak dzeyi ve hedeflenen amac karlama
dzeyi gibi simlasyona devam edip etmeme kararna etki edebilecek faktrler gz
nne alnmaldr.45
Ayrca, aratrma ekibi tarafndan belirlenen problemler ve bunlarn
giderilmesine ynelik zmlerin gerekletirilmesini salayacak ve incelenen
sistemi temsil edecek bir model formle edilmelidir. Model belli bir ama iin
gelitirileceinden ilgili amaca ynelik olarak formle edilmelidir. Dolaysyla,
model hedeflenen ilgili amaca ynelik olarak toplam sistemin yalnzca belli bir alt
sisteminin ya da alt sistemlerinin ileyiini temsil edecek bir biimde de formle
edilebilir.
yi bir benzetim modelinde gerein temsil edilebilmesi, anlalabilir ve
kullanmnn kolay olmas aranan temel zellikler olduundan, sistemin ileyiini
belli bir ya da birka alt sistemi kapsayan bir model gelitirerek temsil etmek daha
uygun olacaktr.
Daha ncede ifade edildii gibi bir simlasyon modeli, karmaklk dzeyi ve
model zerinde yaplacak deneylerin okluu sebebiyle bir akemas biiminde ifade
44 LAW Averil M., KELTON W. David, a.g.e. , Sayfa 10745 HALA Osman, letmelerde Simlasyon Teknii, stanbul Matbaas, stanbul, 1982, Sayfa 3-4
-
8/2/2019 KOLMOGOROV-SMRNOV UYUM YL TEST
25/130
25
edilebilir. Daha sonra ise, bu akemas yardm ile simlasyon bilgisayar ortamnda
gerekletirilebilir.46
Bununla birlikte, ele alnan problemin tehisinin iyi yaplmas ve anlalmas,
sistemi temsil edecek olan modelin gelitirilmesi bakmndan ok kritik bir
aamadr. Bu aamann nemi zellikle, simlasyon srecinin tekrarl ileyiinde ortaya
kmaktadr.47
2.2. Verilerin Toplanmas
Veri toplama, gerektiinde ilenebilir zellikteki verilerin elde edilerekkullanld bir sretir. Veriler toplanmaya, kaydedilmeye, etkin bir araca
dntrlmeye baland zaman verileri elle ileme ilemi ve son kt hazrlklar
da balam olur. Elle ileme aamalar; ilem performanslar iin snflandrma,
sralama, birletirme vb., aritmetik ve mantksal ilemlerdeki gibi adlandrlr. Bu
ilemler, elle ilenecek veri miktarna bal olarak bilgisayar kullanarak yada
kullanmakszn ortaya konabilir.48
Bir problem tanmlanmadan nce verilerin derlenmesi ve ilenmesi gerekir. Bu
amala bilgisayarla yaplacak olan bir simlasyon almasnda baarl olabilmek iin
birtakm n hazrlklar yaplmaldr. Bunlar ;
1. Kantitatif veriler nceden hazrlanmaldr.
2. Anlaml bir dzeye indirgenen verilerin, sistemin davranlarn aratrmak iin
matematik bir model kurmaya uygun olup olmad aratrlmaldr.
3. Veriler, simle edilmekte olan sistemin matematik modelini iyiletirmeye imkan
verebilir.
4. Veriler, sistemin durum deikenlerinin alma karakteristiklerinin parametrelerini
tahmin etmek iin kullanlr.
5. Veriler olmakszn simlasyon modellerinin geerliliini aratrmak olas deildir.
46 SARIASLAN Halil, a.g.e. , Sayfa 4547 EMSHOFF James R., SISSON Roger L., a.g.e. , Sayfa 5148 NAYLOR Thomas H.,BALINTFY Joseph L.,CHU Kong, BURDICK Donalds, Computer SimulationTechniques, John Wiley and Sons, Inc., USA, 1966, Sayfa 28 - 29
-
8/2/2019 KOLMOGOROV-SMRNOV UYUM YL TEST
26/130
26
zellikle stokastik sistemlerin tasarmnda, tecrbelere dayal verilerin yada
teorik olaslk dalmlarnn kullanm nem tamaktadr. Bu durum nemli bir
aamadr ve izleyen nedenlerden dolay aratrmann temelini oluturur.
lem grmemi ham verilere gre sistemin altrlmas.
Modelin ilenmesi iin gerekli olan rasgele deikenler retilirken tablolarn
kullanlmas yerine teorik dalmlarn, bilgisayar ve bellein etkin bir biimde
kullanlmas.
halde, kullanlan veriler, geerlilik, verilerin dalm, teorik dalmlar gibi
unsurlar simlasyon almasnn baarsn nemli lde etkileyen faktrlerdir.49
2.3. Modelin Bilgisayara Aktarlmas
Model kurulduktan sonra bu modeli bilgisayarda analiz etmek iin modeli
bilgisayar ortamna aktarmak gerekir. Bu genellikle sz konusu model iin bir
bilgisayar program gelitirmeyi kapsamaktadr. Buradaki nemli kararlardan biri
dilin seimidir. Bununla birlikte, burada gz nnde tutacamz nemli kriter ise,
zel - amaca ilikin simlasyon dillerin, genel-amaca ilikin dillere gre daha az
programlama gerektirmesinin yannda daha az esnek olmas ve bilgisayarda ilem
yapabilme performansnn daha uzun olmasdr.50
Simlasyon modelinin bilgisayar ortamna aktarlmasnda belirli admlar sz konusudur.
Bunlar;
Ak diyagramnn izilmesi,
Kodlama,
- Genel - amal simlasyon dilleri , zel amal simlasyon dilleri,
Hatalarn ayklanmas,
49 HALA Osman, a.g.e., Sayfa 450 WINSTON WAYNE L., a.g.e., Sayfa 1156
-
8/2/2019 KOLMOGOROV-SMRNOV UYUM YL TEST
27/130
27
Toplanan verilerin kullanlmas ve balama koullar,
Toplanan verilerden yeni verilerin retilmesi,
kt raporunun hazrlanmas.
Birbirinden farkl zelliklere sahip olan simlasyon dilleri arasndaki belirgin
farklar ksm 2.10da ayrntl olarak ele alnacaktr.51
Simle edilen model ok basit bir yapya sahipse, standart programlama dilleri
( Fortran, Basc, PL/1, Algol ..vb.) kullanlarak model bilgisayar ortamna aktarlr.Ancak daha karmak modellemeler iin zel-amal simlasyon dilleri olan GPSS,
GASP, SLAM, SIMAN, SIMSCRIPT, MODSIM, SIMNET ..vb., simlasyon dilleri
kullanlmaktadr.52
2.4. Modelin Test Edilmesi
Bilgisayara kodlanarak aktarlan modelin doru bir ekilde ileyip ilemedii
yada gelitirilen modelin gerek sistemi iyi temsil edip etmedii yani geerlilii
test edilmelidir.53 Modelin test edilerek dorulanmasndaki ama, kurulan modelin tam
olarak bilgisayara aktarlm temsilinde yanstldn anlamaktr. Bununla birlikte,
dorulama srecinin kullanmna yaygn olarak kabul grm birok neri verilebilir.
Bunlar;
1. Aratrma ekibine modele ilikin tm kodlarn anlatlmas.
2. Olaylar meydana geldiinde sistemde oluabilecek olas faaliyetleri ieren ve
modeli her bir olay tipindeki her faaliyet iin izleyen bir ak diyagram yapmak.
3. Girdilerin doru bir biimde yerletirilebilmeleri iin model ktlarnn dikkatlice
gzden geirilmesi ve bilgisayardan elde edilen temsili ktnn istatistiksel testlerle
tamamen dorulanmas.
51 HALA Osman, a.g.e., Sayfa 552 WAGNER Harvey M., Principles Of Operations Research With Applications To ManagerialDecisions , Prentice Hall International Inc., London, 1972, Sayfa 89353 SARIASLAN Halil, a.g.e., Sayfa 46
-
8/2/2019 KOLMOGOROV-SMRNOV UYUM YL TEST
28/130
28
4. Bilgisayar ortamna aktarlan temsili modelin sahip olduu girdilerin
simlasyon bitiminde ktsn alrken, bunlarn parametre deerlerinin sehven
deitirilmediinden emin olmak.
5. Modelde kullanlan her deikene ilikin tam bir tanmlama vermek.54
2.5. Modelin Geerliliinin Salanmas
Genel olarak bir simlasyon modeli ok sayda e ve mantksal
balantdan meydana gelir. Bu bakmdan, bireysel unsurlar dikkatlice test edildiinde,
tm modelin ktlar iindeki byk deiimlerin pek ok kk deiimler sonucu
meydana geldii anlalabilir. Dolaysyla, bilgisayar programnn yazlmas ve
hataszlatrlmasndan sonra benzetilen sistemin davrannn uygun bir biimde tahmin
edilerek modelin geerli klnmasn salamak olduka nemlidir.
Ele alnan model gerek verilerin bulunmad bir sistem iin alternatif
tasarm biimlerinin benzetimini yada politikalarnn incelenmesini amalyorsa
modelin ktlar ile toplanan birtakm gerek verilerin karlatrlmasnda Alan Testleri
kullanm yararl olabilmektedir. Buradaki dier bir olaslk ise, var olan sistemin
nerilenlerden birini karlamas iin geici ve amaca uygun bir biimde bozulmasdr.55
Bir simlasyon modelinin geerliliini aratrmak iin yntem
kullanlabilir.
1. Modelin geerli olmas : Parametrelere snr deerler verildiinde modelden olumlu
cevaplar alnabilir.
2. Varsaymlarn testi.
3. Girdi kt dnmnn testi.
Buradaki son iki yntem ortalama testi, varyans testi, regresyon analizi, faktr
analizi, spektral analiz, oto - korelasyon, ki - kare, parametrik olmayan testlerle
ilgilidir.56
54 BANKS J.,CARSON II J.S., NELSON B.L., a.g.e., Sayfa 401 - 40255 HILLER S. FREDERICKH., LIEBERMAN GERALD J., a.g.e., Sayfa 87356 HALA Osman, a.g.e., Sayfa 5 - 6
-
8/2/2019 KOLMOGOROV-SMRNOV UYUM YL TEST
29/130
29
2.6. Deneyin Gerekletirilmesi ve ktlarn Alnmas
Bu aamaya kadar gelinmi olunan simlasyon modelinin performansndan
memnun kalnd takdirde, sz konusu model eldeki problemin zm iin
kullanlabilir. Bu aamay takiben de modelden elde edilen sonularn istatistiksel
gvenirlilik ve geerliliklerinin analizi yaplmaldr.57
Gelinen bu aamada modelin geerlilii salanmsa model ile amalanan karar
deikenlerinin deerlendirilmesi ve gerek sistemi temsil eden bu model zerindeki
uygulama sonular gzden geirilmelidir. Ancak burada dikkat edilmesi gereken
husus, deneysel nitelikteki simlasyon modellerinin istatistiksel deney hatalarna
ak bir yapda olmasdr. Buna neden olarak, her deneyin ana ktleden alnan bir
rneklemi temsil etmesi ve bunun sonucunda da istatistiksel rneklem hatalarnn
oluabilmesi gsterilebilir. Bu bakmdan, simlasyon altrmlar kullanlarak ana
ktle parametreleri hakknda belli bir olaslkla belli bir gven aralnda
tahminde bulunabilmek ve istatistiksel deney hatalarn kabul edilebilir bir dzeyde
tutabilmek iin simlasyon deneylerini ok iyi planlamak gerekir.58
Yaplan bir simlasyon almas ele alnan problemle ilgili kabul edilebilir,
anlalr ve kullanlabilir bir sonu salamaldr. Simlasyon sonularnn alnmas
nemli bir sre sonunda olumaktadr. Yaplan bir aratrmaya gre, simlasyon
projelerine harcanan zamann aamalara gre pay izleyen ekliyle; %25i problemin
tanmlanmasna, %20si veri derleme ve analizine, %30u modelin gelitirilmesine,
%25i uygulama ve ktlarn alnarak deerlendirilmesine ayrlmtr.59
Simlasyondan elde edilen ktlarn alnmasna ilikin dikkat edilmesi gereken
hususlar u ekilde sralanabilir;60
ktlar iin uygun bir kelime haznesinin seilmesi,
ktlarn uzunluunun ve biiminin ksa ve zl olarak yazlmas,
57 WINSTON WAYNE L., a.g.e. , Sayfa 1156
58 SARIASLAN Halil, a.g.e., Sayfa 4659 HALA Osman, a.g.e. , Sayfa 760 SHANNON E. Robert, Introduction to the Art and Science of Simulation In Proceeding of the 1998Winter Simulation Conference, MEDEIROS D.J., WATSON E.F., CARSON J.F., MANIVANNANM.S.,Eds.,USA,1998, Sayfa 13
-
8/2/2019 KOLMOGOROV-SMRNOV UYUM YL TEST
30/130
30
ktlarn tam vaktinde ve uygun olarak elde edilmesi,
Kullancnn amacna uygun olarak dzenlenmesi nemlidir.
2.7. Sonularn Deerlendirilmesi
Gelitirilen modelin altrm sonucu elde edilen bilgi ve veriler balangta
belirlenen amalar gz nnde bulundurularak zmlenir ve deerlendirilir daha
sonra ise karar seeneklerine ilikin olarak yorumlanr ve gerek sistemin ileyii
konusunda bir karara varlr. Bununla birlikte, elde edilen sonulara ilikin olarak
modelin istenilen amaca hizmet edip etmediinin aratrlmas gereklidir. Model
istenilen amaca hizmet etmiyorsa, yani iyi bir temsili model olduu konusunda pheler
olumu ise bu phelerin giderilmesi iin gerekli dzenlemeler yaplmaldr. Modelin
gerek sitemin iyi bir temsili olduu konusunda karara varldktan sonra model eitli
uygulamalar iin kullanlmaldr.61
lgili sistem modelinin yardm ile bilgisayar kullanlarak elde edilen veriler
iin sonularn deerlendirilmesi admna bavurulur. Simle edilen verilerin analizi
ise izleyen admdan meydana gelmektedir;
( 1 ) Simle edilen verilerin toplanmas ve ilenmesi,
( 2 ) Test istatistiklerinin hesaplanmas,
( 3 ) Sonularn yorumlanmas.
Simle edilen verilerin analizi ile gerek dnya verilerinin analizi birbirineok benzer bir yapda olmasna ramen baz nemli fakllklarda mevcut
olabilmektedir.
Bilgisayar simlasyonunun istatistiksel tekniklerle analizinde nemli bir
zorlukta rnekleme dalmndan yararlanmadr. rnekleme dalmnda rasgeleliin
oluabilmesinin yolu bu unsurun iyi anlalmas ve aka belirtilmesinden gemektedir.
Ancak, simlasyon deneylerinde ise rasgelelik kavram genelde stokastik srelerle
ilgili olup, zellikle saysal deerleri hesaplanabilen algoritmalardan farkl
61 SARIASLAN Halil, a.g.e., Sayfa 47
-
8/2/2019 KOLMOGOROV-SMRNOV UYUM YL TEST
31/130
31
olarak, ilikiler ak deildir. Bunun yannda dier bir zorlukta, rnekleme
dalmnn genellikle statik modellerle ilikili olabilmesine karn, simlasyonun
doas gerei genelde dinamik modellerle ilikili olabilmesidir.62
2.8. Simlasyon Deneyinin Tasarm
Simlasyon, gerek bir sistem hakknda bilgi elde etmek iin bir model
aracl ile deneme yaparak, istenilen bilgileri salamay amalar. Bu bakmdan,
deneme yapmak iin istenilen bilgileri salayacak deneyin iyi bir ekilde
tasarlanmas gerekmektedir. Deney tasarm konusu biyoloji, fen bilimleri ve
simlasyon alanlarnda geni uygulama bulmutur.
Deney tasarmnn iki kullanm amac vardr;
Gerekli deneme saysn azaltmak,.
Aratrmacnn renme srecini hzlandrmak.
Deney tasarmyla incelenen sistem hakknda yeterli bilgi elde edilmeyeallr. Tasarm, zme nclk eden bilgiyi salayan gzlem ve analiz srecidir. yi
bir deney tasarm, amaca ilikin olarak yaplacak sentez ve konjonktr iin faydal
delilleri derleme stratejisi salar. Deney tasarm ile yrtlen her bir testin
bilgisayarda nasl yrtlecei ile ilgili olarak ; (1) Balama koullar, (2) rneklem
hacmini drrken ayn zamanda varyans da azaltma unsurlar nem tamaktadr.63
statistiksel olarak kk bir varyansa sahip ve yansz olan bir tahminci iin
aratrma ekibinin her bir deney tasarmnda izleyen unsurlarn uygunluunu aka
belirtmesi gerekmektedir :
Her bir simlasyon altrmnn uzunluu,
Bamsz simlasyon altrmlarnn says,
62 NAYLOR Thomas H.,BALINTFY Joseph L.,CHU Kong, BURDICK Donalds, a.g.e., Sayfa 4163 HALA Osman, a.g.e. , Sayfa 6
-
8/2/2019 KOLMOGOROV-SMRNOV UYUM YL TEST
32/130
32
Simlasyonu koturma sresinin kesin olarak belirtilmesi ve en uygun zaman
diliminin bu ama iin belirlenmesi.64
Bir deney tasarmnn gerekletirilebilmesi iin sistemin gzlemlenmesi ve
ilgili deikenlerin amaca ynelik olarak ynlendirilmesi gerekir. Bir simlasyon
modeli, kontrol edilebilir deikenler ve performans lm arasndaki ilikinin ortaya
koyduu kontrol koullar ve sonular altnda incelenir. Bununla birlikte, deney
tasarmna ilikin olarak karar almaya etki eden birka etmen arasnda; kontrol
edilebilir deikenler iin performans tahmini yapmada gereken bilgisayar kullanm
sresi ve maliyeti, spesifik deikenlerin performans lmlerinin duyarll ve
kontrol deikenleri arasndaki bamlln derecesi unsurlar saylabilir.65 Bununla
birlikte, meydana getirilen simlasyon modelinin geerliliinin yaplan testler
sonucunda tatmin edici bir dzeyde olduu belirlenmi ise, o zaman model asl
simlasyon deneylerinin yrtlmesi iin kullanlabilir.66 .
zellikle, simlasyon analistleri bu amala, karar deikenlerinin yant
deikenleri zerindeki etkilerini lmeyi ve verilen bir karar deikeni yant deikeni
zerinde kayda deer bir etkiye sahipse, bunu tanmlamay isteyebilirler.
statistiksel literatrde, sistemin girdi deikenleri olan karar deikenleri, yapsal
tahminler ve rasgele deikenlerin parametreleri faktrler olarak adlandrlrlar. Faktr
ile ilgili her bir olas deer ise, faktr dzeyi olarak bilinmektedir. Faktr bileimlerinin
zel bir dzeyde ele alnmas ise davran olarak ifade edilir.
Faktrler ayrca nitel ve nicel olarak snflandrlrlar. Nitel faktrlere rnek
olarak kuyruk disiplini verilebilir. Nicel bir faktr ise, saysal bir deer almak kaydylaoluan ; ( rnein ; var oran, paralel servis verenlerin says vb.. ) durumlar ile
rneklendirilebilir.
Buna ilave olarak, deterministik faktrlerin yneticinin kontrol altnda
olduu ve istenilen ekilde amaca ynelik olarak deitirilebilecei sylenebilir.
Bu faktrler karar deikenleri yada politika deikenleri olarak isimlendirilir.
64 LAW Averil M., COMAS Michael G. Mc., Simulation of Manufacturing Systems In Proceeding ofthe 1998 Winter Simulation Conference, MEDEIROS D .J., WATSON E .F., CARSON J .F.,MANIVANNAN M. S., Eds. ,USA, 1998, Sayfa 5165 EMSHOFF James R., SISSON Roger L., a.g.e., Sayfa 5766 NAYLOR Thomas H., BALINTFY Joseph L.,CHU Kong, BURDICK Donalds, a.g.e., Sayfa 40
-
8/2/2019 KOLMOGOROV-SMRNOV UYUM YL TEST
33/130
33
Dier faktrler ise, yneticiler tarafndan kontrol edilemeyen ancak ve
sadece analist tarafndan simlasyon altrmlar srasnda mdahale edilebilen
faktrler olarak bilinir. Buna rnek olarak; rasgele var yapan mteriler iin
var oran yada talep oran verilebilir.
Sonu itibariyle, bu aamadan sonra model (What if) ne olursa ne olur
eklindeki sorular cevaplandrmak amac ile kullanlabilir. Ayrca, deney yapan
aratrmaclara, eitli girdi parametrelerinin performans lmleri zerindeki etkilerini
deerlendirmeleri iin olanak salanmaktadr.67
2.9. Simlasyon Deneme Saysnn Belirlenmesi
Simlasyonu bilgisayar ortamna aktarmadan nce verilecek en nemli
kararlardan biri rneklem hacminin belirlenmesidir. Fakat simlasyon altrlncaya
kadar rnek hacminin ( deneme says ) kesin olarak bilinememesi gerekli bilginin
yeterli dzeyde olmamasndan kaynaklanmaktadr. Bu nedenle baz varsaymlarn
yaplmas gereklidir. Simlasyon ynteminde zellikle, ortalama ve standart sapma
gibi iki parametre bulunmaktadr. Dolaysyla, bu parametreler yardmyla denemesays hesaplanabilir.
2.9.1. Ortalama ile Deneme Saysnn Belirlenmesi
Yeterince byk bir rnek hacmi seildiini ve rnekleme ortalamalarnn
normal daldn varsayalm. (n) rnek hacmini, Zx/2 ile 1- /2 arasnda olan ve gven
dzeyi 1 olan normal sapmay, (d) anaktle ortalamas ile rneklem ortalamas
arasndaki fark gstermek zere, rnek hacmi ( deneme says ) ;
2
2
2/ )(
d
Zn x= (2.9)
forml ile hesaplanr.
Yukarda verilen formln kullanlabilmesi iin standart sapmann bilinmesi
gereklidir. Eer standart sapma bilinmiyorsa ;
67 BANKS J.,CARSON II J.S., NELSON B.L., a.g.e., Sayfa 500
-
8/2/2019 KOLMOGOROV-SMRNOV UYUM YL TEST
34/130
34
1
)( 2
=
n
xx
S
n
i ; forml yardmyla hesaplanabilir. (2.10)
2.9.2. Standart Sapma ile Deneme Saysnn Belirlenmesi
rneklem hacmi, ana ktlenin varyans duyarll ve gven dzeyi ile
bulunabilir. Genel yaklam )1( n serbestlik derecesi ve normallii varsayarak,
2 dalmolan ;
Burada 2s rneklem varyansn, 2 anaktle varyansn, n gzlem saysn
gstermektedir.
2
22 )1(
sn = (2.11)
bantsndan rnek hacminin belirlenmesidir.
Bununla beraber, byk rnek hacimlerinin normal dalma sahip olduu
gerekesiyle rnek hacmi iin;
)1(
)1(22/
=
n
ndZ bants yazlr ve buradan, (2.12)
1)(
)(22
22/
2/ +
=d
ZZ
a
; haline dntrlebilir. (2.13)
Buradaki, drnek varyans ile gerek varyans arasndaki fark ifade etmektedir.
Ayrca, simlasyon sonular kullanlarak gvenlik snr saptanabilir. Bunun
iin her bir denemeden sonra ortalama deer hesaplanarak aadaki ekilde ifade
-
8/2/2019 KOLMOGOROV-SMRNOV UYUM YL TEST
35/130
35
edilecei zere bir limite doru gidilir. En yksek ve en dk noktalar aras
mesafe, bir deere eit veya ondan kk olduu zaman simlasyon durdurulur.68
ekil 2.9 Stokastik Limit
OrtalamaDeer
Deneme Says
2.10. Simlasyon Dilleri
Bilgisayar kodunun karmak bir simlasyon modeli iin yazlmas genellikle
zor ve ok aba isteyen bir itir. Bu nedenle, bir takm zel amaca ilikinsimlasyon dilleri programlamay kolaylatrmak amac ile gelitirilmitir.
Ayrca, ou simlasyon dili, iki tr modelle yaklamndan birinin uygulanmasnda
kullanlr. Bunlar; olay programlama ve sre etkileimidir.69
Bununla birlikte, simlasyon dillerinin neden faydal olduuna ilikin olarak iki
ana sebep sz konusudur. Bunlardan ilki, simlasyonun kurulma srecinde, kesin
olan ilerin bir araya getirilerek gruplandrlmasdr.
kincisi ise, simlasyonlarn yaps iindeki yaygn kesin zelliklerdir. Bu
anlamda, temel tipteki bir yapya uygunluk salanmas asndan diller,
formlasyonu olduka kolaylatrmakta ve simlasyonu hataszlatrmaktadr.70
Sz konusu simlasyon dilleri, ana balklar halinde srekli ve kesikli
olarak izleyen ekilde snflandrlabilir.
68 HALA Osman, a.g.e., Sayfa 354 - 355 - 35669 WINSTON WAYNE L., a.g.e. , Sayfa 115370 MITCHEL G.H., Operational Research Techniques and Examples , The English Universities PressLtd., London, 1972, Sayfa 215
-
8/2/2019 KOLMOGOROV-SMRNOV UYUM YL TEST
36/130
36
Srekli simlasyon dilleri Kesikli simlasyon dilleri
* DYNAMO Srece Ynelik * GASP Olay Sralamal
* SLAM Olay Sralamal * GPSS Srece Ynelik
* SIMSCRIPT II .5 Olay Sralamal
* SIMAN Srece Ynelik.
ekil 2.10 Amerikadaki Belirli Simlasyon Paketlerinin Tarihsel Geliimi
Q -GERT GASP
GASP IV
SLAM
SIMAN SLAM II
SIMAN &CINEMA
SLAMPC
TESS MAP/1
SIMSCRIPT
SIMSCRIPT II SIMSCRIPT II. 5
PCSIMSCRIPT II. 5
SIMFACTORY
PC
SIMSCRIPT II.5 +SIMANIMATION
ARENA
-
8/2/2019 KOLMOGOROV-SMRNOV UYUM YL TEST
37/130
37
Yukardaki ekilde, simlasyon dillerine ilikin paket programlarn geliim
evreleri ana hatlaryla ifade edilmektedir.71
Simlasyon paket programlarnn kullanlmas baz avantajlarda
salamaktadr. Bunlar izleyen ekilde ifade edilebilir.
Programlama ilerinin azaltlmas,
Kavramsal yardm salama,
Model deitirilirken esneklii arttrma,
Daha az programlama hatas,
Otomatik olarak veri toplama.
Bununla birlikte, herhangi bir simlasyon paket programnn temel amacnn,
kurulan yapsal model ile uygulama iin oluturulan model arasndaki an
kapatlmas olduu sylenebilir.72
2.10.1 GPSS
Srece ynelik en eski dil GPSS olarak bilinmektedir. Bu dil, ilk olarak
1960 larn banda gelitirilmi olup, yllar boyu yava yava karmak modellerin
kurulmasna ilikin gereksinimleri de karlayacak ekilde gelitirilmitir.73
Genel amal sistemler simlatr ( General purpose systems simulator ) olarak
bilinen GPSS, simlasyonu otomatik olarak ortaya koymak iin deimez bir grupprosedr belirlerken, sistemlerin geni bir snf zerinde uygulanabilir.
GPSS in model kurmak iin kullanlmasnda, analist ilk olarak dilin
temelinden gelen drt unsurla ilgilenmelidir. Bunlar ; ilemler, frsatlar, depolamalar ve
bloklardr.
71 CARRIE Allan, Simulation of Manufacturing Systems , John Wiley and Sons Ltd., Great Britain,
1988, Sayfa 9972 SHANNON E. Robert, Introduction to the Art and Science of Simulation In Proceeding of the 1998Winter Simulation Conference, MEDEIROS D.J., WATSON E.F., CARSON J.F., MANIVANNANM.S.,Eds.,USA,1998, Sayfa 1173 TAHA Hamdy A., a.g.e.,Sayfa 699
-
8/2/2019 KOLMOGOROV-SMRNOV UYUM YL TEST
38/130
38
GPSS, GASP simlasyon diline tezat bir yapda ve zel amaca ilikin
bir dil olarak da yaplandrlabilir. IBM tarafndan gelitirilen GPSS, ayrca
allm anlamda herhangi bir program yazmay gerektirmeyen bir yap arz eder.
Bunlarla birlikte nemli bir hususta, simlasyon motorunun seimidir.
Simlasyon motorunun seiminde belirleyici olarak ifade edilen birka zellik vardr.
Bunlar ; motor iin kullanlacak olan dilin, bilgisayar yazlm zerinde genelletirilen
modelin taleplerini kontrol altna alabilecek bir esneklikte olmas ve uygulanma hznn
iyi olmas eklinde belirlenmitir. Bu bakmdan, GPSS in hz ve esneklik iinde
yaplandrlm olmas, onu zel - amaca ilikin simlatrler arasnda nemli klar.74
2.10.2 GASP
Kesikli olay simlasyonunda, bir sisteme ilikin alt sistemler belirli bir
zaman dilimi ierisinde kesikli noktalar eklinde gz nnde tutulur ve bu noktalar
olaylar olarak adlandrlr. Olaylar sistem durumunun nedenini oluturur ve zaman
iinde kesikli noktalarda deiir. Sistem davrannn kopya edilmesi, sistemin olay
srecinde incelenmesi ile gerekleir. Bir simlasyon almas sistem performansnailikin bir sonu karmak iin sistemin davrannn bir kopyasn karma kabiliyetini
kullanr. GASP, bu anlamda analiste etkin bir modelleme yaps ve bir grup
programlama dili kullanm salayarak, analistin ilerini hem abuklatrr hem de
geliim iin destek olur.
Bununla birlikte, sistem faaliyet olaylarna ek olarak kontrol olaylarnn da
tanmlanmas ile simlasyon esneklii arttrlm olunur. Sz konusu bu olaylar zamana
ynelik bir ierie sahip olmakla birlikte, mantk temelinde olduu gibi belirli bir
zamanda modun deimesine izin vermektedir. Bir olayn bu anlamda kt moduna
git eklinde programland dnlrse, bunun anlam talepler yz birimi atnda
simlasyon saatinin de bin saatlik bir yol almas gerektii rnei ile tasvir edilebilir.75
74 CRAIN Robert C., HENRIKSEN James O., Simulation Using GPSS/ H, Proceedings of the 1999Winter Simulation Conference, FARRINGTON P.A., NEMBHARD H.B., STURROCK D.T., EVANSG.W., Eds., Wolverine Software Corporation, USA, 1999, Sayfa 182 -184 -185 -18675 PRITSKER D. Alan. B., KIVIAT P. J., Simlation With Gasp II A Fortran Based SimulationLanguage , Prentice Hall Inc., Engle Wood Cliffs, New Jersey, 1969, Sayfa 6, 8, 16
-
8/2/2019 KOLMOGOROV-SMRNOV UYUM YL TEST
39/130
39
2.10.3 SIMAN
SIMAN, ( SIMulation Analysis ) simlasyon analizi olarak tanmlanan bir
kavramdan ismini almtr. SIMAN simlasyon dili 1982 ylnda Dennis Pedgen
tarafndan gelitirilmitir. Bu gelime sonucunda mikro bilgisayarlar iin ilk bata
gelen bir simlasyon dili olmas ve imalatta salad zel bir takm yararlar
sebebiyle, alma istasyonlarndan, nakliyatlardan, tamaclardan ve otomatik
rehberletirilmi aralardan kullanm bakmndan abuk bir ekilde kabul
grmtr. Bu dil iinde temsil edilen nemli birka sre sz konusudur.
Bu sreler imalatta olduu gibi uygulamalarda da dilin faydasn
arttrmaktadr. Ayrca, sahne animasyon yazlm olarak bilinen ve Cinema olarak
adlandrlan modl ayrca SIMAN iinde mevcuttur.
SIMANn kt ilemcisi ise farkl yada ayn sistem biimleriyle yaplan
simlasyon koturmalar tarafndan retilen kt verilerini analiz etme, gven
aral tahminleri ve hipotez testleri gibi baz istatistiksel teknikleri kullanabilme
yeteneine sahiptir. Buna ek olarak, histogramlar ve farkl trde grafiksel gsterimleride kullanlabilir.76
Bununla birlikte, SIMAN n hataszlatrclar yada sre ilerleme kontrolleri
ok etkin bir alet salamaktadr. Modelin fonksiyonel yetenekliliinin test edilmesi iin
SIMAN hataszlatrclar yada kontrollerinden yararlanlmas gerekir.77
2.10.4 SIMSCRIPT II.5
SIMSCRIPT bilgisayar simlasyonu iin yaplandrlan ilk programlama
dilleri arasndadr. Rand irketi SIMSCRIPT i 1962de gelitirmi ve bunu takip eden
gelime 1968de SIMSCRIPT IInin amerika hava kuvvetleri iin tasarlanmas
olmutur. SIMSCRIPT II.5 ise, ticari bir versiyon olarak CACI kuruluu tarafndan
76 LAW Averil M., KELTON W. David, a.g.e., Sayfa 248 - 24977 GURU A., SAVORY S., WILLIMAS R., A Web Based Interface For Storing and ExecutingSimulation Models , Proceedings Of The 2000 Winter Simulation Conference, JOINES J .A.,BARTON R.R., KANG K. and Fishwick P.A.Eds ,University of Nebraska,Lincoln,USA,Sayfa 1810-1811
-
8/2/2019 KOLMOGOROV-SMRNOV UYUM YL TEST
40/130
40
1970lerde pazarlanm ve gelitirilmitir. 1979da ise, Harry Markowitz bir
makalesinde SIMSCRIPT IInin fonksiyonelliinin aamalarn sralamtr.78
Simlasyonun deerli bir ara olduu kantlanmasna ramen, temel
simlasyon modelinin formlasyonu iin bir bilgisayar programnn gelitirilmesi ok
zaman almtr. Neyse ki deneyimlerle, mantksal formlasyon ve asl programlamaya
ilikin ilemler zerinde daha fazla zaman harcanmas gerektii anlalm ve bu durum
bir simlasyon probleminden dierine benzer olarak sk sk yinelenmitir.
Dolaysyla, programlanan bir sistemin problemlere uyarlanmasnda
simlasyon programnn yazlmas nemli bir ihtiya haline gelmitir. te
SIMSCRIPT bu ihtiyaca cevap vermek iin tasarlanmtr. Buna ek olarak,
SIMSCRIPT, simlasyon problemlerinin zm iin gelitirilmi zel amaca ynelik
bir dil olmasnn yannda benzetimi yaplamayan problemlerinde
deerlendirilebilmesine olanak salayan bir dildir.79
SLAM ( Simulation Language For Alternative Modeling )
SLAM Dennis Pedgen ve Alan Pritsker tarafndan 1979 ylnda gelitirilen ayn
zamanda da Alan Prtisker tarafndan tantlan bir simlasyon dilidir. SLAM
(Simulation Language for Alternative Modeling) srece ynelik, olaya ynelik
veya bunlarn bileimine ynelik bir model iin yaplandrlabilen zel amaca
ynelik bir simlasyon dilidir.
Tipik uygulamalarda ou simlasyon modeli sre uyarlamas kullanlarak
gelitirilmektedir. Sre yaklam iin imkansz yada uygunsuz olan karmakkarar mant olay rutini iinde kodlanr ve daha sonra sre modeli olarak arlr.
Sre modelinin oluturulmas sklkla analistin sistem iin grafiksel bir a
diyagram oluturmas ile balar. Bu diyagram belirli sembollerin bir setini ierir ve
bu semboller dmler ve dallar olarak tanmlanr.80
78 RICE Stephen V., Database Access In Simscrript II.5, Proceedings of the 15th IASTED InternationalConference on Modeling And Simulation, The University of Mississippi,USA, 2004, Sayfa 179 MARKOWITZ H.M.,HAUSNER B.,HEWSNER H.,Simscript/A simulation Programming LanguagePrentice Hall Inc., Englewood Cliffs N.J.,California,1963, Sayfa 280 LAW Averil M., KELTON W. David,a.g.e. , Sayfa 258 - 259
-
8/2/2019 KOLMOGOROV-SMRNOV UYUM YL TEST
41/130
41
2.10.5 MODSIM III
MODSIM III, belirli bir amaca ynelik olan bir genel - amal simlasyon
programlama dilidir. Derlenebilir bir dildir. MODSIM III yap itibariyle nesneleri
dinamik olarak balayc, bilgi saklayc ve veri soyutlayc bir zellik tar.81
Bir MODSIM simlasyon modeli, tek bir simlasyon saatine sahiptir. Bu
saat, tm simlasyon modeli ilemlerini ardk olarak sraya koymaktadr. Sz
konusu saat - 0.0 - itibariyle balayp simlasyon sreci iinde ilerlemektedir.
Ayrca MODSIM III simlasyon dilinin etkin olarak kullanlmas kayda
deer bir zaman kazanm ve risk azaltm salamaktadr.82
81 BANKS J.,CARSON II J.S., NELSON B.L,a.g.e., Sayfa 12882 JOHNSON Glen D., Network Simulation With HLA And Modsim III , Proceedings of the 1999Winter Simulation Conference, FARRINGTON P.A., NEMBHARD H.B., STURROCK D.T., EVANSG.W., Eds., CACI Products Company, USA, 1999, Sayfa 1067 - 1070
-
8/2/2019 KOLMOGOROV-SMRNOV UYUM YL TEST
42/130
42
BLM 3
RASTSAL SAYILARIN RETLMES VE RASTSAL SAYI RETELERNN
TEST
3.1. Rastsal Saylarn retilmesi
Uygulama blmnde ele alnan kesikli olay sistem simlasyonunun
kullanlabilmesi iin, olaslk dalmlarndan rassal deiken deerlerinin elde
edilmesi ve bunun gereklemesi iin de rassal saylarn retilmesi gereklidir..
Rassal saylar; (1) el ilemleri, (2) tablolar, (3) eitli bilgisayar yntemleri
kullanlarak elde edilir. El ilemleri yntemi yorucu olmas nedeni ile pratik
deildir. Rassal say tablolarndan elde edilen saylarn gerekten rasgele saylar
olduklar dnlr. Ayrca bu iin bilgisayar sreci iinde ok yava ilerledii
sylenebilir. Rasgele saylarn retilmesinde bir dier durumsa szde rasgele saylarn
retmektir. Bu ilem genellikle bir rassal say generatr ile olur. Ancak szde rasgele
saylar dizisi tamamen matematik srelerle elde edildiinden, gerekte tam
rasgele deildirler. Buna bal olarak bu yolla retilen rassal saylarn rasgele olup
olmadklarnn anlalmas iin, bu saylar reten generatrlere istatistiksel uyum
iyilii testlerinin uygulanmas gerekir.
Rassal saylarn retilmesinde birtakm pratik yntemler kullanlabilir. Bu
yntemlerden kare ortas ynteminde saynn karesi alnarak ortadaki basamak rasgele
say olarak kullanlr, )(n deeri ilk saydaki basamak saysdr. Onu izleyen sayda
ise, bir nceki bulunan rasgele say, ilk say olarak ele alnr ve ilemlere devamedilir. Uygunluk ( Congruential ) yntemlerinde ise baz formller kullanlmaktadr.
rnein, arpm uygunluk ynteminde k ve m pozitif tamsaylar olmak zere ve
k m den kk olmak )( mk< art ile; uloXkX nn .(mod.1 =+ )m forml kullanlr.
).( nXk , )(m e blnr ise, rasgele saylar kalan deerlerdir ve bu saylar 1+nX
saysnn nX den retilecei anlamndadr.83
83 HALA Osman, a.g.e., Sayfa 352 - 353
-
8/2/2019 KOLMOGOROV-SMRNOV UYUM YL TEST
43/130
43
Rassal saylarn retilebilmesi iin gerekli olan rassal say generatrlerinin
izleyen zellikleri iermesi beklenir ;
1 . retilen rassal saylarn dzgn dalm en iyi ekilde temsil etmesinin salanmas,
2 . Kk (balang says) takip eden tesadfi saylarn tekrar retilebilme imkannn
olmas,
3 . Rassal say reteci hzl olmal,
4 . Mmkn olduunca az kayt yeri igal etmesi gerekir.84
Ayrca rassal saylar; (a) Kesikli rassal deikenlerin deerleri ve (b) Srekli
rassal deikenlerin deerleri ile bunlarn bir kmlatif dalm fonksiyonu altndaki
zellikler dikkate alnarak incelenmektedir.
( a ) Kesikli rasgele deikenler : Xin rasgele bir deiken olduu
dnlsn. Xin olas deerlerinin says sonlu yada saylabilen bir sonsuzlukta
ise X bir kesikli rasgele deiken olarak adlandrlr. Xin olas deerleri burada
.,.........21,xx olarak listelenebilir. Xin olas deerleri xR de xR = { },.....2,1,0 olarak
ifade edilebilir. Bununla birlikte, Xin kesikli bir rasgele deiken olduu dikkate
alndnda, buradan xR iindeki Xin olas deerleri ix ler iin )()( ii xXPxp ==
eitlii bir rasgele deikenin ix deerine eit olma olasln verir. )( ixp saylarnn,
,.......2,1=i olmak zere izleyen iki koulu karlamas gereklidir;
1 . 0)( i
xp tm i ler iin; (3.1)
2 .
=
=1
1)(i
ixp . (3.2)
84 YILMAZ Zekai, a.g.e., Sayfa 211
-
8/2/2019 KOLMOGOROV-SMRNOV UYUM YL TEST
44/130
44
Burada toplanan iftler olan ))(,( ii xpx , Xi ,.....2,1= in olaslk dalm olmakla
birlikte, )( ixp ise Xin olaslk yn fonksiyonu ( p m f ) olarak bilinir.
( b ) Srekli rasgele deikenler : X rasgele deikeninin dizisi olan Rx belirli
bir aralk yada aralk toplamlaryla ilgili ise, o zaman X bir rasgele srekli deiken
olarak tanmlanr. Srekli rasgele deiken Xin [ ]ba, aralnda yer almasnn
olasl u ekilde tanmlanabilir.
=b
a
dxxfbXap )()( (3.3)
Burada )(xf fonksiyonu X rasgele deikeninin olaslk younluk fonksiyonu
(p d f) olarak tanmlanmaktadr. Olaslk younluk fonksiyonu (pdf) ayrca aadaki
koullar karlamaktadr ;85
xR iindeki tm x ler iin 0)( xf . (3.4)
=xR
dxxf .1)( (3.5)
Eer x , xR iinde yer almyorsa, 0)( =xf . (3.6)
( c ) Kmlatif younluk fonksiyonu : Kmlatif younluk fonksiyonu ( c d f ),
)(xF ile gsterilir ve rasgele deiken X in, x den kk yada ona eit bir deer
alma olasln gsterir.
Bu durum zellikle ;
)()( xXPxF = eklinde gsterilebilir. (3.7)
Eer X bu durumda kesikli ise,
85 BANKS J.,CARSON II J.S., NELSON B.L, a.g.e., Sayfa 186 - 187
-
8/2/2019 KOLMOGOROV-SMRNOV UYUM YL TEST
45/130
45
=
xxtm
i
i
xpxF )()( (3.8)
Eer X bu durumda srekli ise,
=
x
dxxfxF )()( . (3.9)
Kmlatif younluk fonksiyonu ( c d f )nin baz zellikleri u ekilde ifade edilebilir;
F azalmayan bir fonksiyondur. Eer ba ise, o zaman )()( bFaF dir.
x
lim .1)( =xF (3.10)
xlim .0)(
=xF
(3.11)
Ardk rasgele saylarn, en nemli iki istatistiksel zellii niform ve
bamsz olmalardr. Her iR rasgele says 0 ile 1 arasndaki srekli bir niform
dalmdan bamsz rneklemler ekilerek oluur. Burada olaslk younluk
fonksiyonu u ekilde belirlenir ;86
1 , 10 x
=)(xf (3.12)
0 , Dier Durumlarda.
86 BANKS J.,CARSON II J.S., NELSON B.L, , a.g.e., Sayfa 189 - 289
-
8/2/2019 KOLMOGOROV-SMRNOV UYUM YL TEST
46/130
46
3.2. Rastsal Say retelerinin Testi
Rassal say retelerinin test edilmesine ilikin olarak testler zelliklerine gre
iki farkl kategoriye ayrlmaktadr. Bunlar niform dalma ilikin testler ve
bamszlk testleri olarak adlandrlr. Sz konusu bu testlerden Kolmogorov - Smirnov
ve Ki Kare testleri niform dalma ilikin testler olmakla birlikte Frekans testi, Run
testi, Otokorelasyon testi, Gap testi ve Poker testi ise bamszlk testleri olarak bilinir.87
Bunlardan niform dalma ilikin olan her iki testte, rassal say reteleri
tarafndan retilen rasgele saylarn rnekleme dalm ile teorik niform dalmlarn
arasndaki uyumun derecesini ler. Ayrca, bu testler rnekleme dalm ile teorik
dalm arasnda kayda deer bir farkllk olmadn ifade eden sfr hipotezi temel
alnarak gelitirilmitir.88 Bu testler izleyen ekilde ele alnabilir;
3.2.1. Ki Kare Uygunluk Testi
Ki kare uygunluk testinin esas, n hacimlik bir rneklemin ana ktleyi iyi
temsil edip edemedii veya hangi blnmeye sahip bir ana ktleden geldii
unsurlarnn incelenmesidir. Bu anlamda, eer gzlenen frekanslarla teorik
frekanslar arasnda az ok bir fark ortaya karsa, ite bu durumda ki kare
uygunluk testi bu farkn rassal sebeplere balanp balanamayacan aratrr. Ki -
kare ( ) uygunluk testinin nasl ilediini ifade etmede izleyen admlar yararl
olacaktr.
Adm : 1
uygunluk testinde ilk adm olarak amaca ilikin hipotezler oluturulmaldr ;
87 BANKS J., CARSON II J.S., NELSON B.L., a.g.e, Sayfa 29888 BANKS J.,CARSON II J.S., NELSON B.L., a.g.e., Sayfa 299
-
8/2/2019 KOLMOGOROV-SMRNOV UYUM YL TEST
47/130
47
Burada;
0H : rneklem ana ktleyi temsil edebilir.
1H : rneklem ana ktleyi temsil edemez.
hipotezleri yazlabilir.
Adm : 2
Anlamllk dzeyi iin %1 ve %5 dzeylerinden biri, kararn etkilenmemesi
iin ncelikle belirlenir.
Adm : 3
Red blgesi ise, u ekilde tanmlanabilir;
Red blgesi : (Hesaplanan test istatistik deeri) 2hes > 2t ( Tablo deeri).
Adm : 4
2hes istatistiinin blnmesi 2t blnmesine ok yaklat iin, test
istatistii belli bir anlamllk dzeyine ve k - 1 serbestlik derecesine gre mevcut bir
Deerleri Tablosundan bulunan kritik deerler ile karlatrlmaktadr.
( 22 thes )
Test istatistii burada ;
2hes =
=
k
i i
ii
B
BG
1
2)( ( 2.1)
-
8/2/2019 KOLMOGOROV-SMRNOV UYUM YL TEST
48/130
48
formlne gre hesaplanr. Burada Gi , i. snftaki gzlemlenen frekans, Bi , i. snftaki
beklenen frekans ve k ise snf saysn gstermektedir. Yukarda red blgesi,
(2hes )nn (2t )den byk olduu blge eklinde tanmlanmtr. Bu tanmlamaya
gre 2hes < 2t olduunda H0 hipotezi kabul edilirken,
2hes
2t olduunda ise
reddedilir. H0 hipotezinin kabul edilmesi ise, rneklemden elde edilen frekans
blnmesinin H0 kart hipotezini destekleyici yeterli bir kant saylamayaca,
yani rneklem blnmesinin ana ktle blnmesine uygun olduu ( rneklemin
ana ktleyi temsil edebilecei ) anlamn tar.89
3.2.2 Kolmogorov - Smirnov Uygunluk Testi
Bu test niform dalmn srekli dalm fonksiyonu )(xF ile N adet
gzlem setinden rneklem olarak alnm olan ampirik srekli dalm fonksiyonu
)(xSN i karlatrmaktadr.
Tanm olarak;
xxF =)( , 10 x verilebilir. (2.2)
Ayrca, eer rasgele say reticilerinden alnan rneklem seti ; NRRR ,......,, 21
olarak belirlenir ise, o zaman ampirik srekli dalm fonksiyonu )(xSN u ekilde
tanmlanabilir;
)(xSN =N
xstoplamsayRR )(..,,........., 21 (2.3)
Bununla birlikte, N deeri bydke ( gzlem says arttka ),
)(xSN fonksiyonu, )(xF fonksiyonuna daha iyi bir yaklam ile sfr hipotezinin
doruluunu salayacaktr.
89 SERPER zer, Uygulamal statistik - 2 , Geniletilmi 2. Bask, Filiz Kitabevi, stanbul, 1993,Sayfa 114 - 116 - 117
-
8/2/2019 KOLMOGOROV-SMRNOV UYUM YL TEST
49/130
49
Kolmogorov Smirnov uygunluk testi, )(xF ve )(xSN fonksiyonlar
arasndaki en byk kesin sapmann, rasgele deikenler dizisi zerinden elde edilmesiile uyarlanan bir testtir. Bu durum bir istatistik zerinden uyarlamal olarak ;
)()(max xSxFD N= (2.4)
eklinde ifade edilir.
Bu ifade edilenlerin nda, niform srekli dalma sahip bir
fonksiyonun test edilmesine ilikin olarak test yntemi u admlar izlemektedir ;
Adm : 1
lk adm sz konusu verilerin kkten bye doru sralanmasdr. Bu
bakmdan, )(iR nin ininci en kk gzlemi belirttii dnlerek ;
Dolaysyla ;
)()2()1( ......... NRRR eklinde sralanabilir. (2.5)
Adm : 2
Bu admda ise aada yer alan eitlikler hesaplanr ;
{ })(1
/max iNi
RNiD =
+ ; (2.6)
{ }NiRD iNi
/)1()(1max =
; (2.7)
Adm : 3
Buradan ise ; ),max( += DDD hesaplanr. (2.8)
-
8/2/2019 KOLMOGOROV-SMRNOV UYUM YL TEST
50/130
50
Adm : 4
Bu admda ise, anlamllk dzeyi ve verilen N rneklem bykl ileD ,
kritik deeri tablo yardmyla tanmlanr.
Adm : 5
Son adm ise, karar aamas olarak adlandrlr. Eer rneklem istatistiiD ,
D dan daha byk ise, o zaman rneklemin bir niform dalmdan geldii bilgisini
veren sfr hipotezi reddedilir. EerDD
ise, sonu olarak{ })()2()1(
,......,,N
RRR in
doru dalm ile niform dalm arasnda hibir fark olmad anlalr.90
Bunun yannda bamszlk testlerine ilikin tanmlamalar da izleyen ekilde
zetlenebilir ;
1 . Frekans Testi : Bu test, niform bir dalm ile retilen say setinin
dalmn karlatrmak amac ile Kolmogorov Smirnov yada Ki Kare testini
kullanr.
2 . Run Testi : retilen saylarn belirli bir ortalamann aasnda ve
yukarsnda yada altnda ve stnde yer alma durumunun gerek deerler ile
beklenen deerler karlatrlarak test edilmesine ilikindir. Karlatrma iin Ki kare
istatistiinden yararlanlmaktadr.
3 . Otokorelasyon Testi : Saylar arasndaki korelasyonu test ederek,
rneklem korelasyonu ile beklenen korelasyonu karlatrr.
4 . Gap Testi : Arada tekrarlanan belirli rakamlar ortaya karabilmek iin
rakamlarn saysn sayar ve daha sonra Kolmogorov - Smirnov testini kullanarak
boluklarn beklenen byklkleriyle karlatrr.
5 . Poker Testi : Bir poker elindeki gibi saylarn gruplandrld dnlr.
Daha sonra ise, Ki kare testi kullanlarak elden elde edilen ile beklenen durum
90 BANKS J.,CARSON II J.S., NELSON B.L., a.g.e. , Sayfa 299 - 300
-
8/2/2019 KOLMOGOROV-SMRNOV UYUM YL TEST
51/130
51
karlatrlr.91 Bununla birlikte, niformluun test edilmesinde hipotezler izleyen
ekilde olumaktadr ;
[ ]1,0:0 URH i =
[ ]1,0:1 URH i
Burada bo (sfr) hipotez olan0H hipotezi, [ ]1,0 aral zerinde
saylarn niform olarak daldn ifade eder. Ayrca bamszlk iin test yapmada
ilgili hipotezler u ekildedir ;
=iRH :0 Bamsz ( olarak birbirini etkilemeden dal gsterir.)
iRH :1 Bamsz (olarak birbirini etkilemeden dal gsterir.)
Burada ise0H hipotezi, saylarn bamsz olduklarn ifade etmektedir.
Bunlara ilave olarak, karar alc burada ifade edilen her bir test iin deerini
belirlemektedir. Bu deeri sk sk 0.01 yada 0.05 anlamllk dzeylerinde
belirlenmektedir.92
3.3. Rastsal Deiken Deerlerini Elde Etme Teknikleri
Rassal deiken deerlerinin elde edilmesi, bir simlasyon modeline ilikin olan
dalmdan rassal deiken deerlerinin bulunmas olarak ifade edilebilir. Bu ama
iin Gamma, Poisson, Beta vb., dalmlardan yararlanlabilir. Ayrca bu dalmlar
srekli yada kesikli bir biimde olabilir.
Simlasyon iinde bu dalmlar kullanmann bir avantaj da
parametrelerin deiim aralnn belirlenmesi iin yaplan duyarllk analizlerine
olanak salanmasdr. Bununla birlikte, aratrmac kullanlan verilerin ait olduu
deikenleri modellemek iin uygun bir teorik dalm bulamyorsa, bu durumda belirli
bir takm tekniklerinin kullanmas nemli bir hale gelmektedir.93 Bu amala,
Ters - Dnm teknii ve Kabul - Red teknii rastsal deiken deeri elde etmek
91 BANKS J.,CARSON II J.S., NELSON B.L., a.g.e., Sayfa 29792 BANKS J.,CARSON II J.S., NELSON B.L., a.g.e., Sayfa 29893 BANKS J.,CARSON II J.S., NELSON B.L., a.g.e., Sayfa 223 328
-
8/2/2019 KOLMOGOROV-SMRNOV UYUM YL TEST
52/130
52
iin kullanlmaktadr. Bu tekniklerin her ikisinin de kkeninde ayn ekilde dalm
olan niform[ ]
1,0 rasgele saylarn ve bamsz birtakm olaylarn kullanm vardr.94
3.3.1 Ters Dnm Teknii
)(xF olaslk younluk fonksiyonundan (srekli yada kesikli) bir x rasgele
rneklemi elde edilecei varsaylsn. Ters dnm yntemi nce, y nin tanmlanm
tm deerleri iin 1)(0 xF olmak zere, { }xyPxF =)( birikimli olaslk
fonksiyonunun kapal bir formunu belirlemektedir.R , niform bir ( )1,0 dalmndan
elde edilen rasgele bir deiken olarak verilmi ise ve 1F de Fin tersi olarak
belirlenmi ise , yntemin admlar aadaki gibi olacaktr ;
Adm 1 . )1,0(R rasgele saysn ret.
Adm 2 . stenen )(1 RFx = deerini hesapla.
ekil 3.3.1, bu yntemi hem srekli hem de kesikli deikenler iin
gstermektedir. Burada dey )(xF eksenindeki niform )1,0(1R rassal say
deerlerinden dik klrsa, bunun fonksiyonu kestii yere karlk gelen yatay
eksen deeri1x deeri olarak belirlenmi olur.
F(x) ekil 3.3.1 F(x)
R 1 1------------------- R 1 1---------------------- -------
-----
-----
0 x1 x 0 x1 x
( a ) x Srekli ( b ) x Kesikli
94 TAHA Hamdy A., a.g.e., Sayfa 674
-
8/2/2019 KOLMOGOROV-SMRNOV UYUM YL TEST
53/130
53
nerilen bu yntemin geerliliinin ilgili teorem ile gsterildii gibi,
10 z aralnda niform olarak dalm )(xFz = rasgele deikenine dayand
grlmektedir.
Teorem 3.3.1 : x olmak zere, x rasgele deikeninin )(xF birikimli
younluk fonksiyonu verildiinde, 10 x olmak zere )(xFz = rasgele deikeni
aadaki olaslk younluk fonksiyonuna sahip olur :
1)( =xf , 10 x (3.13)
Bu bir niform ( )1,0 dalmdr.
spat Rasgele deiken sadece ve sadece ;
{ } ZZzP = , 10 Z (3.14)
ise niform dalmtr. Bu sonu aadaki eitlikten yararlanlarak dorudan karlr
{ } { } { } [ ] ZZFFZFxPZxFPZzP ====
)()()(
11
(3.15)
Ayrca, { } 10 ZzP olduundan 10 Z dir.95
3.3.2. Kabul Red Teknii
Kabul red teknii, bilinen dalmlarn uymad karmak olaslk younluk
fonksiyonlarn kullanabilmek iin tasarlanmtr. Bu teknikte karmak olaslk
younluk fonksiyonu )(xf i daha analitik olarak kullanabilen bir temsili (p d
f) )(xh ile deitirmektir. )(xh ten alnan rneklemler daha sonra orijinal (p d
f) )(xf teki rneklemleri belirlemede kullanlmaktadr.
)(xg gibi bir steleme fonksiyonu olduu ve bu foksiyonun yetiebildii her
yerde )(xf zerinde baskn bir davran sergiledii varsaylsn.
)()( xfxg ,
-
8/2/2019 KOLMOGOROV-SMRNOV UYUM YL TEST
54/130
54
olup, bunun ardndan temsili ( p d f ) olan )(h , )(xg in normalizasyonu ile
+
=
dxxg
xgxh
)(
)()( ,
-
8/2/2019 KOLMOGOROV-SMRNOV UYUM YL TEST
55/130
55
3.3.3. Convolution Teknii
Bu teknik iki yada daha fazla bamsz rassal deikenin olaslk dalmlarnn
istatistiksel olarak toplanmasn ngrr. Bunu ise, istenilen dalma sahip yeni bir
rassal deikeni ortaya karmak amacyla yapar. Bu teknik zellikle erlang, binom ve
normal dalm gibi teorik dalmlar iin kullanlmaktadr.97
Y rassal deikeninin nxxx +++ ......21 ile ayn dalma sahip olduu bir
nxxx +++ ......21 bamsz rassal deikenler dizisinin olduu varsaylsn. Buradan
zellikle Y = nxxx +++ ......21 yazlabilir.98
Herhangi bir Xinin T gibi ve Ynin ise F gibi bir dalm fonksiyonuna sahip
olduu da dnlrse, bu durumda Y rassal deiken deeri izleyen admlar ngrr:
Adm 1. Her birinin dalm fonksiyonu T olan bamsz nxxx +++ ......21 i
elde et.
Adm 2. Y = nxxx +++ ......21 al ve geriye dn.99
3.3.4. Yaklak Normal Rassal Deiken Deeri Oluturma Teknii
Normal bir rasgele sapmann elde edilebilmesine iyi bir yaklam da
merkezi limit teoreminin kullanlmasdr. Burada ifade edilen ayn dalmdan elde
edilecek n adet rasgele deikenin ortalamas ve n in limitte sonsuza gittii
dnldnde, normal dalmn sz konusu olduudur. Dolaysyla, standart sapma
orantsal olarak n/1 e eit olmaktadr. Bylece, eer n adet niform olaslksal
deiken birlikte toplanrsa ve sonuta elde edilen olaslksal deiken ).2/1( n ortalama
97 BANKS J.,CARSON II J.S., NELSON B.L., a.g.e., Sayfa 34398 TAHA Hamdy A., a.g.e., Sayfa 67699 LAW Averil M., KELTON W. David, a.g.e., Sayfa 490
-
8/2/2019 KOLMOGOROV-SMRNOV UYUM YL TEST
56/130
56
ve 12/n standart sapma ile normal dalma yaklar. Pratikte, n deerinin en az 10
olmas uygulama asndan kolaylk salar.100
Normal dalmn bir deikenin aklanmasna ynelik olarak kullanlmas
iin ortalamann ve standart sapmann bir ekilde belirlenmesi gerekir. Eer buna ilikin
olan simlasyon problemindeki x deikeninin srekli ve normal dald dnlrse
x deikeni aadaki eitlikten hesaplanabilir ; ),( 2NX .
=
+=n
i
xix nrn
x1
2/1)2/(
)()12( (3.18)
Bu eitlikte ;
x dalmn standart sapmasn,
x dalmn ortalamasn,
n ampirik gzlem saysn ifade eder.101
Normal dalmn (pdf) olaslk younluk fonksiyonu ise ;
[ ]2/)((2/1exp2
1)(
= xxf ,
-
8/2/2019 KOLMOGOROV-SMRNOV UYUM YL TEST
57/130
57
Birikimli olaslk younluk fonksiyonu (cdf) ise ;
[ ] ./)((2/1exp2
1)()( 2 dxxxXPxF
x
==
(3.20)
eitlii ile ifade edilmektedir.
ekil 3.4.3 Normal Dalmn Olaslk Younluk Fonksiyonu
)(xf
Yukardaki ekil Xin ortalama ve 2 varyans ile normal daldn gsteren
X in normal olaslk younluk fonksiyonudur.102
102 BANKS J.,CARSON II J.S., NELSON B.L., a.g.e., Sayfa 209
-
8/2/2019 KOLMOGOROV-SMRNOV UYUM YL TEST
58/130
58
3.4. Rastsal Saylarn Dalmlar iin Rastsal Say reteleri ile retilmesi
a ) Srekli Dalmlardan rastsal say retme
niform dalm
Eksponansiyel (stel) dalm
Gamma dalm
Erlang dalm
Weibull dalm
Beta dalm
b ) Kesikli dalmlardan rastsal say retme
Poisson dalm
Geometrik dalm
Bernoulli dalm
Binom dalm
-
8/2/2019 KOLMOGOROV-SMRNOV UYUM YL TEST
59/130
59
3.4.1. Srekli dalmlardan rastsal say retilmesi
Srekli bir dalmdan rassal say retilebilmesi iin rassal say retecinin bu
dalm iin elde edilmesi gerekir.Ayn durum kesikli dalmlar iinde geerlidir. Bu
amala dalmlara Ters Dnm, Kabul Red, Convolution vb., teknikler de
uygulanmaktadr.
3.4.1.1. niform dalm iin rastsal say retecinin elde edilmesi
Bu dalmda X rasgele deikeni ),( ba aralnda niform olarak
dalmaktadr ve olaslk younluk fonksiyonu u ekilde ifade edilebilir ;
ab
1, bxa
=)(xf (3.18)
0 , Dier Durumlarda.
Buna bal olarak birikimli olaslk younluk fonksiyonu ise ;
0 , ax
)(xF =ab
ax
, bxa (3.19)
1 , bx
Dalma ilikin ortalama ve varyans formlleri sras ile aada ayrca
verilmitir ;
=)(XE 2
ba +, =)(XV
2
)( 2ab (3.20)
-
8/2/2019 KOLMOGOROV-SMRNOV UYUM YL TEST
60/130
60
niform dalm, simlasyon iinde ok nemli bir rol oynamaktadr.
Burada rasgele saylar, 0 ve 1 aralnda niform olarak dalarak rasgele olaylarn
retilmesi iin ortalamalar salamaktadr.103
X rasgele deikeninin daha ncede varsayld gibi [ ]ba, aralnda
niform olarak dald kabul edilir ise ;
;).( RabaX += ).1,0(R (3.21)
Bununla birlikte izleyen admlar nifom dalm iin rasgele saylarn
retilmesi amac ile kullanlr.
Adm 1 . lk olarak birikimli olaslk younluk fonksiyonu belirlenir ;
0 , ax
=)(xF ab
ax
, bxa (3.22)
0 , bx >
Adm 2 . Bu admda ise ;
.)/()()( RabaXXF == (3.23)
eitlii yukardaki kestirime bal olarak yazlr.
Adm 3 . Son olarak ise ;
RabaX ).( += (3.24)
eitliinden X, R nin terimlerine bal olarak zmlenir.104
103 BANKS J.,CARSON II J.S., NELSON B.L., a.g.e., Sayfa 201 - 202104 BANKS J.,CARSON II J.S., NELSON B.L., a.g.e., Sayfa 326
-
8/2/2019 KOLMOGOROV-SMRNOV UYUM YL TEST
61/130
61
3.4.1.2. Eksponansiyel dalm iin rastsal say retecinin elde edilmesi
Sz konusu dalmda, rasgele X deikeni 0> kouluna bal olarak
eksponansiyel bir dalm gsterir. Bu duruma ilikin olaslk younluk fonksiyonu ise
xe , 0x (3.25)=)(xf
0 , Dier Durumlarda.
eklinde ifade edilir.
ekil 3.4.2.1
Eksponansiyel younluk fonksiyonu Kmlatif younluk fonksiyonu
f ( x ) F ( x )
1 - - - - - - - - - - - - - - -
0 x 0 x ( a ) (b )
Eksponansiyel younluk fonksiyonu grafiinden de grld gibi x deki
artlara bal olarak fonksiyon deeri )( eksponansiyel olarak azalmaktadr.
-
8/2/2019 KOLMOGOROV-SMRNOV UYUM YL TEST
62/130
62
Birikimli olaslk younluk fonksiyonu ise ;