Koło Naukowe MatematykówUniwersytet Rzeszowski
Wybrane zastosowania
komputera
w
matematyce wyższej
Krzysztof Gąsior
VI Matematyczne Warsztaty KaeNeMówVI Matematyczne Warsztaty KaeNeMów
„Matematyka często przeplata się z informatyką
i wiele problemów rozwiązywanych
za pomocą
komputerów to problemy matematyczne”
Cel
jak ważnym narzędziem współczesnego
matematyka jest komputer;
niektórych zastosowania programów
komputerowych do rozwiązywania wybranych
problemów matematycznych.
Pokazanie:
Tematyka
programu Matematica 6 w równiach różniczkowych;
programowania w języku Java do wyznaczenia liczby relacji w
zbiorze n elementowym;
programu Excel do rozwiązania problemu dywersyfikacji
poziomu ryzyka inwestycyjnego.
Zastosowanie:
Równie różniczkowe rzędu
pierwszego zagadnienie
początkowe Cauch’egoZadanie 1. Rozwiązać zagadnienie początkowe
Cauch’ego:
Równie różniczkowe rzędu
pierwszego zagadnienie
początkowe Cauch’egoRozwiązanie:
Układ równań różniczkowych -
niejednorodnych
Zadanie 2. Znajdź całkę ogólną układu niejednorodnego:
Układ równań różniczkowych -
niejednorodnychRozwiązanie numer 1:
Układ równań różniczkowych -
niejednorodnych
Rozwiązanie numer 2:
Równanie różniczkowe cząstkowe
niejednorodneZadanie 3. Znaleźć rozwiązanie ogólne równania:
Równanie różniczkowe cząstkowe
niejednorodneRozwiązanie:
Układ równań różniczkowych
cząstkowychZadanie 4. Narysuj rozwiązanie układu równań różniczkowych cząstkowych:
przy następujących warunkach:
Układ równań różniczkowych
cząstkowych
Układ równań różniczkowych
cząstkowych
Uwaga
Teoria równań różniczkowych cząstkowych jest mniej
rozwinięta niż teoria równań różniczkowych zwyczajnych,
w szczególności, nie ma odpowiednika twierdzenia
Cauchy'ego-Kowalewskaiej, mówiącego nam o istnieniu i
jednoznaczności rozwiązania dla problemu Cauch’ego.
Oznacza to, że Mathematica może rozwiązać jedynie
symbolicznie podzbiór równań różniczkowych. Konkretnie,
DSolve może znaleźć rozwiązanie ogólne dla słabo liniowych i
nieliniowych równań różniczkowych cząstkowych.
Więcej informacji John D. Carter, „A Review of Mathematica 6”, Mathematics
Department Seattle University, Seattle 2007.
Harald Höller, „ Einführung in das Arbeiten mit Mathematica
6.0, Interaktive Nutzung von Mathematica 6”, 2007.
Wolfram Mathematica: Documentation Center.
G. Drwal, „Mathematica 5”, Gliwice 2004.
J. Niedoba, W. Niedoba, „Równia różniczkowe zwyczajne i
cząstkowe, zadanie z matematyki”, Kraków 2001.
Co zrobić, jeżeli nie możemy
znaleźć gotowego programu
rozwiązującego nasz problem
matematyczny?
hm, hm.
W oparciu o wiedzę dziedzinową
można stworzyć algorytm rozwiązania
i zaimplementować go w znanym języku
programowania.
Terminologia Algorytm Algorytm jest przepisem na rozwiązanie
postawionego zadania, będącym określonym
układem elementarnych instrukcji wraz z
porządkiem ich wykonania.
Implementacja algorytmu Implementacja algorytmu jest realizacją tego
algorytmu w postaci programu na komputerze dla
konkretnych danych.
Relacje
Relacją nazywamy dowolny podzbiór iloczynu
kartezjańskiego zbioru.
Reprezentacja relacji
Relacje można reprezentować przy pomocy:
• listy;
• macierzy binarnej;
• grafu skierowanego.
pełna rozumiemy ;
Relacje
Przez relacje:
Interpretacja macierzowa
pusta rozumiemy ;
identyczności rozumiemy
Działania na macierzach binarnych
Rodzaje relacji:
• zwrotną, gdy ;
• symetryczną, gdy ;
• przechodnią, gdy ;
• równoważności, gdy jest zwrotna, symetryczna i przechodnia;
• quasi porządku, gdy jest zwrotna i przechodnia;
Poszukiwanie liczby relacji
Rozwiązanie problemu wyznaczenia
liczby relacji, będzie polegało na
generowaniu kolejnych macierzy od relacji
pustej do pełnej i testowanie ich pod
względem własności relacyjnych.
Poszukiwanie liczby relacji
Jeżeli przez n oznaczymy liczbę
elementów w zbiorze, to ilość wszystkich
relacji, będzie wynosić .
Czy macierz spełnia własność?
StartStart
BigInteger count = new BigInteger („0”);BigInteger l = new BigInteger („0”);boolean [][] macierz;
l <
Generuj macierz
Czytaj(n);macierz = new boolean[n][n];
Zwiększ zmienną count o jeden;
NIE
TAK
TAK
Część programu odpowiedzialna za
zliczanie ilości relacji danego typu.
Metody weryfikujące
Metody weryfikujące
Metody weryfikujące
Część programu odpowiedzialna za
generowanie kolejnych macierzy.
…
Przykład działania dla relacji przechodnich w zbiorze 2 elementowym.
Jest relacją przechodniąNie jest relacją przechodnią
? ? ? ?
Czy macierz spełnia własność?
StartStart
BigInteger count = new BigInteger („0”);BigInteger l = new BigInteger („0”);boolean [][] macierz;
l <
Generuj macierz
Czytaj(n);macierz = new boolean[n][n];
Zwiększ zmienną count o jeden;
NIE
TAK
Wypisz wynik poszukiwań
TAK
NIE
Metoda wypisująca wynik.
Wszystkich relacji przechodnich w
zbiorze 2 elementowym jest 13.
Czy macierz spełnia własność?
StartStart
BigInteger count = new BigInteger („0”);BigInteger l = new BigInteger („0”);boolean [][] macierz;
l <
Generuj macierz
Czytaj(n);macierz = new boolean[n][n];
Zwiększ zmienną count o jeden;
NIE
TAK
Wypisz wynik poszukiwań
Stop
NIE
TAK
Wyniki
Ilość elementówIlość elementów
w zbiorzew zbiorze
Ilość relacjiIlość relacji
ZwrotnychZwrotnych SymetrycznychSymetrycznych PrzechodnichPrzechodnich
1 1 2 2
2 4 8 13
3 64 1 024 171
4 4 096 32 768 3 994
5 1 048 576 2 097 152 154 303
… … … …
Wyniki
Ilość elementów Ilość elementów w zbiorzew zbiorze
Ilość relacjiIlość relacji
równoważnościrównoważności quasi quasi porządku porządku
1 1 1
2 2 4
3 5 29
4 15 355
5 52 6942
… … …
Uwaga
Program działa prawidłowo dla n mniejszych od .
Aby zwiększyć zakres działania naszego programu należy
zmienić typ zmiennych sterujących wykonywanie
programu z int na BigInteger.
Więcej inforamcji
Wiej informacji na tematy związane z teorią relacji będzie można uzyskać:
G otz Pfeier, „Counting Transitive Relations”, Department of
Mathematics National University of Ireland, Galway.
M. Malec, „Elementy wstępu do teorii relacji, część 1”, AGH, Kraków
1998.
J. A. Szrejder, „Równość, podobieństwo, porządek”, WNT, Warszawa
1975;
Z. Moszner, O teorii relacji, PZWS, Warszawa 1967.
Problem dywersyfikacji ryzyka inwestycyjnego
Przykład. Klient biura maklerskiego chce zainwestować na
giełdzie 80.000 zł przy następujących kryteriach:
ograniczenie rocznego ryzyka maksymalnie do 700 zł;
zapewnienie rocznego zysku netto co najmniej 6.000 zł;
Problem dywersyfikacji ryzyka inwestycyjnego
FirmaFirma
AkcjiAkcji RocznaRoczna stopa stopa
zwrotuzwrotuCenaCena RyzykoRyzyko
Kowalski S. A. 25 zł 0,50 zł 12%
Tuptuś S. A. 50 zł 0,25 zł 10%
Terminologia DywidendaDywidenda – część zysku wypłacana
akcjonariuszom przypadająca na jedna akcję.
Dywersyfikacja portfela (portfolio Dywersyfikacja portfela (portfolio
diversification) diversification) - świadome działanie inwestora,
zmierzające do zróżnicowania portfela papierów
wartościowych w celu zminimalizowania ryzyka lub
maksymalizacji zysków.
Programowanie ilorazoweRozpatrzmy zadanie poszukiwania maksimum następującej funkcji:
0
x
bAx
mnm
n
aa
aa
A
...
.........
...
1
111
nx
x
x ...1
nb
b
b ...1
nc
c
c ...1
nd
d
d ...1
Model matematyczny
max (funkcja celu)
ryzyka
Ograniczenie:
zysku
wkładu własnego
nieujemność
=SUMA.ILOCZYNÓW(E3:E4;F3:F4)
=SUMA.ILOCZYNÓW(E3:E4;C3:C4)
=SUMA.ILOCZYNÓW(E3:E4;B3:B4)
=B8/B7
Maksymalny roczny zysk netto przy w/w
kryteriach z tytułu nabycia 800 akcji firmy
Kowalski S.A. oraz 1200 akcji firmy
Tuptuś S.A. wynosi 6 804,00 zł.
Więcej informacji Zbigniew Łucki, „Matematyczne techniki zarządzania, skrypt
wykładowy”, źródła w formacie elektronicznym.
Stanisław Krawczyk, „Programowanie Matematyczne, Zbiór
zadań”, Warszawa, PWE 19878.
Wiesław Grabowski, „Programowanie matematyczne”,
Warszawa PWE 1980.
Gerald Knight, „Excel. Analiza danych biznesowych”, Gliwice,
Helion 2006.
Excel – pomoc.
PodsumowanieUżywane pogramy
Matematica 6, Wolfram.
Excel 2007, Microsoft.
Darmowe:
JCreator LE vs. 3.5 LE, Xinox Software.
Mój program.
Podsumowanie Komputer nie w pełni wyręcza nas w rozwiązywaniu problemów
matematycznych;
Zawsze należy zweryfikować uzyskane rozwiązane;
W przypadku, gdy nie posiadamy gotowego programu w oparciu
o wiedzę dziedzinową (nie tylko matematyczną) i umiejętność
programowania możemy napisać własny program;
Wasze uwagi i spostrzeżenie odnośnie tego zagadnienia.