KONSTRUKSI SOLUSI MULTI-INSTANTON UNTUK GRUP GAUGE U(N)
TUGAS AKHIR
Diajukan ke departemen fisika ITB untuk
memperoleh gelar sarjana sains
Oleh:
Franky A. M. Lumban Tobing
NIM. 10200046
KELOMPOK BIDANG KEAHLIAN FISIKA TEORETIK DEPARTEMEN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG
2004
i
Kalau kamu tetap bertahan,
kamu akan memperoleh hidupmu.
(Lukas 21:19)
- ,
,
, - , .
----------------
“met-met ahu on, bahen ias roha on,
sasada ho Jesus, donganhu tong-tong”,
amen.
Kupersembahkan untuk Ayah,
Ibu dan Adik-adikku.
i
LEMBAR PENGESAHAN
Nama : Franky A. M. Lumban Tobing
NIM : 10200046
Judul tugas akhir : Konstruksi Solusi Multi-Instanton Untuk Grup
Gauge U(N)
Sidang sarjana : 7 Juni 2004
Waktu : 14.00 – 16.30 WIB
Dosen penguji : Dr. rer. nat. Bobby E. G.
Dr. rer. nat. Freddy H.
Bandung, Juni 2004
Telah diperiksa dan disetujui oleh,
Dosen pembimbing:
Hans J. Wospakrik PhD
NIP. 130676126
ii
ABSTRAK
Dalam tugas akhir ini diberikan beberapa solusi klasik persamaan medan Yang-
Mills SU(N), dalam ruang–waktu Euclidean, yang berkaitan dengan solusi
instanton. Pertama dibahas medan Yang-Mills bersama penurunan persamaan
geraknya dan dipaparkan konstruksi solusi instanton untuk grup gauge SU(2)
dengan muatan topologi Q = 1. Solusi ini kemudian diperluas untuk mendapatkan
solusi multi-instanton (Q > 1) SU(2) ‘t Hooft. Setelah itu diperkenalkan
konstruksi instanton ADHM untuk sembarang grup gauge, yang dapat digunakan
untuk memperoleh solusi instanton yang paling umum. Terakhir, dipecahkan
kendala ADHM untuk memperoleh solusi umum instanton dengan muatan
topologi Q = 2 dari grup gauge U(N).
iii
DAFTAR ISI
LEMBAR PENGESAHAN........................................................................... i ABSTRAK................................................................................................... ii DAFTAR ISI................................................................................................iii KATA PENGANTAR................................................................................... v BAB I PENDAHULUAN......................................................................... 1
1.1 Latar belakang masalah...................................................... 1
1.1.1 Teori medan gauge...................................................1
1.1.2 Instanton................................................................... 3
1.2 Sistematika penulisan......................................................... 5
BAB II MEDAN YANG-MILLS: TEORI GAUGE NON-ABELIAN.......... 6 2.1 Simetri global dan lokal Abelian.......................................... 7
2.2 Konstruksi invariansi gauge non-Abelian lokal.................. 10
2.3 Persamaan gerak dan muatan Noether medan Yang-
Mills................................................................................... 18
2.4 Rangkuman....................................................................... 22
BAB III SOLUSI INSTANTON MEDAN YANG-MILLS......................... 24
3.1 Syarat batas untuk fungsi aksi S berhingga...................... 25
3.2 Konstruksi fungsi aksi S minimum.................................... 27
3.3 Muatan topologi................................................................. 28
3.4 Self-dual dan antiself-dual................................................. 32
3.5 Solusi eksplisit instanton BPST......................................... 33
BAB IV SOLUSI MULTI-INSTANTON................................................... 38
4.1 Solusi Q-instanton SU(2) 't Hooft...................................... 38
4.2 Parameter total solusi Q-instanton.................................... 41
4.3 Konstruksi Atiyah-Drinfeld-Hitchin-Manin (ADHM)............ 42
4.4 Solusi Q-instanton SU(2) ADHM....................................... 48
4.5 Interaksi instanton............................................................. 51
iv
BAB V KONSTRUKSI ADHM UNTUK GRUP GAUGE U(N)............... 53 5.1 Deskripsi solusi Q-instanton U(N) ADHM......................... 53
5.2 Parameter kendala Q = 2 instanton U(N) ADHM.............. 58
5.3 Kendala solusi Q = 2 instanton U(N) ADHM..................... 59
5.4 Solusi Q = 2 instanton U(N).............................................. 66
BAB VI INTERPRETASI DAN APLIKASI FISIS INSTANTON............. 74 BAB VII KESIMPULAN........................................................................... 76
APENDIKS A........................................................................................... 77
APENDIKS B........................................................................................... 84 APENDIKS C........................................................................................... 90 DAFTAR PUSTAKA................................................................................ 95
v
KATA PENGANTAR
Segala puji dan syukur yang terbaik hamba panjatkan hanya bagi Yesus Kristus di
surga, yang selalu setia menjagaku. Setelah melewati detik demi detik yang
berharga, akhirnya saya dapat menyelesaikan tugas akhir ini, untuk meraih gelar
pertamaku, SSi.
Pada saat pertama kali Pak Hans menantang saya untuk mengerjakan topik
instanton, saya kurang tertarik, sebab dari dulu saya ingin mencoba relativitas
umum. Namun beliau melalui cerita-ceritanya, meyakinkan saya bahwa topik ini
sangatlah menarik, dan kenyataan bahwa belum ada mahasiswa yang pernah
mengambil topik ini menjadi pemicu tambahan bagi saya. Seringnya mengabaikan
nasehat “jangan pernah menunda pekerjaan”, membuat saya banyak menyiakan-
nyiakan waktu untuk hal-hal yang menghambat proyek ini. Saya mulai bekerja
keras untuk menyelesaikan tugas akhir ini pada bulan Maret dan dua bulan
terakhir adalah saat-saat yang sangat menguras kekuatan dan penuh konsentrasi;
sendirian di laboratorium sampai subuh menjadi kenangan yang tak terlupakan.
Pada kesempatan ini, dari hati yang terdalam, saya ingin mengucapkan terima
kasih kepada:
1. Bapak Hans J. Wospakrik PhD, selaku dosen pembimbingku. Saya
hanyalah perpanjangan tangannya sehingga tugas akhir ini dapat tercipta.
Beliau tidak hanya sekedar menjadi dosen pembimbing, tetapi lebih dari
itu, kesabarannya, pengetahuannya yang luar biasa, dan gaya bahasanya
yang khas, membuat saya betah untuk mendengarkan kuliahnya dan
memberanikan diri untuk menanyakan segala hal yang tidak aku mengerti.
2. Dr. rer. nat. Bobby E. G., dan Dr. rer. nat. Freddy H., yang bersedia
meluangkan waktunya untuk menguji saya dalam sidang sarjana, serta
memberikan kritik dan saran demi kesempurnaan tugas akhir ini.
vi
3. Ayah dan Ibuku tercinta, atas kasih sayang yang diberikan dan didikannya
yang menjadikan saya anak yang tangguh, serta adik-adikku tersayang:
Lola, Ester, Tyson, Natal dan Ingot. Kalian adalah sumber kekuatan dan
semangat bagiku.
4. Bapak Freddy F. Zen DSc., selaku ketua KBK fisika teoretik, atas
penggunaan semua fasilitas di laboratorium.
5. Dosen-dosen yang telah memberikan kesempatan bagi saya untuk menjadi
asisten mata kuliahnya yaitu: Bapak Dr. Eng. Alamta S., Doddy S. PhD,
Hans J. W. PhD dan Ibu Siti N. K. MSc.
6. Bapak Satria Bijaksana PhD, yang baik. Beliau yang di setiap perjumpaan
tak pernah lupa memberikan semangat dan meyakinkan saya, untuk
mengejar wisuda Juli.
7. Suharyo S. (FSU), Hendra Kwee (WMC) dan Bapak Rahmat H, PhD
(ITB), yang selama ini menjadi penolong untuk mencarikan paper-paper
yang saya butuhkan.
8. Prof. E. F. Taylor (MIT), for a great discussion and also for his foc book.
9. Mahluk-mahluk sependeritaan di indekos: Brill, Paul, Sudi dan Rudi.
Kalian membuatku serasa dekat dengan keluarga.
10. Alex, saudara PA pertama, sebagai sahabat saya.
11. Rizal, saudara PA kedua, mauliate godang lae atas pinjaman printernya.
12. Elisa, Jong, Marojahan, dan Pahala sebagai sesama manusia yang
mengajariku bagaimana menjadi seorang teman yang baik.
13. Mahasiswa-mahasiswa yang bersamaku melewati masa-masa kuliah di
fisika: Ferensa, Hengki, James, Willy, Yonan, Zainul, dll.
14. Himafi, khususnya himafi 2000, yang banyak membantu mengembangkan
bakat sepakbolaku.
15. Teman-teman yang telah meluangkan waktunya untuk meramaikan sidang
sarjanaku: Dhiaurahman, Hijrah, Reza, Ronggo, Topan dan Yudi.
16. Kolega mahasiswa di KBK fisika teori: Ardian, Pak Ari, Azrul, Sigit, dll.
17. Pak Lomo dan Ibu Silvi sebagai penguasa perpustakaan, yang banyak
membantu saya mencari kitab-kitab fisika.
vii
18. Mr. Yeye dan pasukannya di TU Fisika ITB.
19. Dirjen Pendidikan Tinggi (DIKTI) yang memberikan Beasiswa TPSDP
selama 2 tahun berturut-turut.
20. Musisi-musisi yang telah mengisi hari-hariku dengan lagu-lagu yang indah
selama pembuatan tugas akhir ini.
21. Siapapun yang lupa disebutkan .
Terakhir, harapanku ini bukanlah karya yang pertama dan terakhir, tetapi
permulaan untuk menggapai cita-cita: AKU INGIN MENJADI SEORANG
FISIKAWAN. Amin.
Bandung, Juni 2004
F. Ali Mallatang L. T.
1
BAB I
PENDAHULUAN
It’s a beginning. It’s an end.
I leave to you the problem of ordering your perceptions
and making the journey from one to the other.
-- from Empire Star by Samuel R. Delaney
1.1 Latar belakang masalah 1.1.1 Teori medan gauge
Menurut teori medan kuantum, interaksi dua partikel berlangsung melalui
pertukaran partikel perantara interaksinya. Ini seibarat dua anak kecil yang
bermain riang dengan melempar-tangkapi sebuah bola (pejal). Semakin ringan
bola, semakin jauh jarak lemparannya; sebaliknya, semakin berat bola, semakin
pendek jarak lemparannya. Untuk interaksi elektromagnetik, partikel perantaranya
disebut foton. Karena jangkauannya tak terbatas, maka sejalan dengan kias bola
tadi, massa foton adalah nol. Sebaliknya, karena jangkauan interaksi lemah sangat
pendek, maka massa partikel perantaranya sangat besar, sekitar 80 kali massa
proton. Partikel perantara ini dinamai boson-vektor W (untuk weak: lemah).
Gagasan partikel perantara W ini dikemukakan oleh fisikawan Swedia, Oscar
Klein, pada tahun 1938.
Karena muatan listrik partikel yang berinteraksi secara elektromagnetik tidak
berubah, maka foton tak bermuatan listrik. Sebaliknya, pada pemancaran sinar
beta, yang dikendalikan oleh interaksi lemah, inti atom berubah nomor atom,
berubah muatan listrik. Ini berarti, partikel W bermuatan listrik positif maupun
negatif , yang berturut-turut disebut W-plus, dan W-min. Baik partikel W maupun
2
foton, ketiga-tiganya tergolong keluarga partikel boson vektor. Karena foton
secara tunggal terumuskan melalui teori elektromagnetik Maxwell, direka bahwa
partikel W pun demikian. Memadukan kedua partikel W ini ke dalam satu
rumusan teori medan semirip elektromagnetik ternyata tidaklah semudah yang
diperkirakan.
Upaya ini barulah membuahkan hasil pada tahun 1954 lewat tangan fisikawan AS
keturunan Cina, Chen Ning Yang (1922-...) beserta rekannya, Robert Mills [4].
Dalam rumusan ini, partikel perantara A, semirip W, tersusun dalam suatu
pernyataan matriks, yakni suatu susunan petak bilangan persegi. Untuk rumusan
dengan matriks petak 22× , medan boson vektornya paling sedikit berjumlah 3
buah: A-plus, A-min, dan A-netral. Teori ini kemudian dikenal sebagai teori
medan Yang-Mills.
Baik teori medan elektromagnetik maupun Yang-Mills, kedua-duanya memiliki
sifat kesetangkupan (simetri) gauge yang berarti, interaksi sistemnya tak berubah
terhadap transformasi gauge medan foton, A, dan partikel yang berinteraksi.
Ditilik dari sifat ini, kedua teori medan ini digolongkan dalam teori medan gauge.
Teori medan gauge merupakan salah satu revolusioner dalam fisika, sebagai
“tandingan” relativitas dan mekanika kuantum. Munculnya teori medan Yang-
Mills, memberikan inspirasi untuk pertama kalinya kepada para fisikawan,
bagaimana cara membangun teori yang lebih fundamental. Kesuksesan teori
medan gauge Yang-Mills dalam memberikan gabungan interaksi lemah dan
elektromagnetik – model Weinberg-Salam ),1(U)2(SU × dan memberikan teori
fundamental interaksi kuat – Kuantum Elektrodinamika berdasarkan grup gauge
SU(3), membangkitkan kepercayaan umum bahwa medan gauge adalah konsep
kunci dalam menjelaskan gaya fundamental dari alam ini. Kini dipahami, setiap
interaksi alam diperantarai oleh suatu medan gauge.
3
1.1.2 Instanton
Persamaan yang mengatur medan gauge adalah non-linear dan dikenal sebagai
persamaan Yang-Mills. Teori medan Yang-Mills memberikan kontribusi yang
sangat banyak dalam perkembangan fisika partikel. Namun, pada saat ditemukan,
orang jarang atau kurang tertarik untuk mencari solusi persamaan gerak Yang-
Mills. Bahkan Yang dan Mills sendiri tidak “menoleh” untuk mencari solusi dari
persamaan gerak medan yang mereka temukan itu. Dua puluh tahun berlalu,
namun solusi dari persamaan ini masih belum ditemukan. Penantian lama ini,
akhirnya terbayar dengan ditemukannya solusi dari persamaan gerak self-dual
Yang-Mills Euclidean oleh Belavin, Polyakov, Schwartz dan Tyupkin (BPST) [2]
pada tahun 1975. Oleh mereka solusi ini dinamakan pseudoparticle, yang oleh ‘t
Hooft nantinya disebut instanton. Solusi BPST adalah solusi 1-instanton untuk
SU(2) dengan 5 buah parameter. Tak lama setelah itu, mulai dari ‘t Hooft, Witten,
serta fisikawan dan matematikawan besar lainnya terjun untuk menangani
masalah ini. Di tahun yang sama, ‘t Hooft [1] pun memperoleh solusi Q-instanton
(multi-instanton) untuk grup SU(N). Dia menemukan ansatz yang dapat
melinearisasi persamaan gerak Yang-Mills, sehingga persamaannya dapat lebih
mudah diselesaikan. Ansatz ini diperoleh dengan mentransformasikan gauge
solusi BPST. Setahun kemudian, Edward Witten [7] juga menemukan solusi
multi-instanton SU(N), yang invarian dibawah rotasi spasial (simetri bola) yang
artinya semua instantonnya berkumpul pada satu titik. Akan tetapi, solusi ini
kurang mendapat perhatian dibandingkan solusi ‘t Hooft yang lebih umum dan
mudah.
Berbeda dari Witten, solusi ‘t Hooft adalah untuk Q-instanton, yang tersebar
dalam ruang Euclidean, namun masih merupakan solusi khusus, karena jumlah
parameter solusi yang disyaratkan oleh grup SU(2), yaitu sebanyak (8Q – 3) = 13
buah, untuk Q = 2 sebagai misal, belum dipenuhi. Karena, solusi ‘t Hooft hanya
memiliki 10 buah parameter. Artinya ada kehilangan 3 buah parameter, yang
tentunya hal ini disebabkan oleh keterbatasan ansatz yang diujikan. Solusi ini
4
kemudian diutak-atik oleh Jackiw dan Rebbi [5] pada tahun 1977 dengan
memeriksa sifat konformalnya yang menghasilkan fungsi ansatz baru (generalisasi
dari fungsi ansatz ‘t Hooft) yang memiliki 5Q + 4 = 14 buah parameter. Ternyata
parameter yang didapat malah lebih banyak dari yang diharapkan. Solusi multi-
instanton Witten ternyata bahkan lebih “parah” karena solusinya tidak
menyertakan parameter posisi. Di sinilah letak permasalahan yang dihadapi dalam
pencarian solusi instanton, yaitu bagaimana membangun solusi instanton untuk
grup tertentu dan memenuhi jumlah parameter solusi yang disyaratkan. Solusi
yang disinggung terakhir ini adalah “solusi umum” dari persamaan gerak medan
Yang-Mills.
Selain solusi ‘t Hooft dan Witten di atas masih terdapat banyak solusi lain, namun
dari kesemuanya ini tidak satupun yang memberikan solusi umum. Baru pada
tahun 1978, matematikawan Atiyah, Drinfeld, Hitchin, dan Manin (ADHM) [13]
mengusulkan konstruksi lengkap dalam membangun solusi instanton untuk semua
medan Yang-Mills Euclidean self-dual. Secara khusus, mereka menemukan
kumpulan lengkap medan gauge self-dual dari bermacam-macam muatan topologi
Q. Konstruksi mereka, yang bekerja untuk bermacam-macam grup gauge SU(N),
SO(N) atau Sp(N), tetapi tidak untuk grup tertentu, mereduksi persamaan Yang-
Mills self-dual menjadi sekumpulan kondisi aljabar (kendala ADHM) yang lebih
mudah untuk diselesaikan sebab hanya mengandung aljabar linear. Kecanggihan
dari metoda ADHM terbukti, dimana dengan masukan tertentu (data ADHM),
dapat diturunkan solusi multi-instanton ‘t Hooft di atas. Solusi ini jelas juga masih
merupakan solusi khusus SU(2). Untuk mendapatkan solusi yang lebih umum
dibutuhkan masukan untuk data ADHM yang lebih tepat sehingga parameter yang
disyaratkan dapat terpenuhi. Inilah kendala yang sampai sekarang masih belum
teratasi, yang mengimplikasikan bahwa, solusi umum dari persamaan gerak
medan Yang-Mills belum ditemukan.
5
1.2 Sistematika penulisan
Secara umum tugas akhir ini terdiri dari 2 bagian besar, yaitu: yang pertama teori
medan gauge non-Abelian (medan Yang-Mills), dalam Bab II; dan kedua solusi
Euclidean (instanton) persamaan medan Yang-Mills yang akan dibahas dalam bab
III-VI.
Bab I berisi pendahuluan dan sistematika penulisan, supaya pembaca dapat lebih
mengerti permasalahan yang akan dibahas dalam tugas akhir ini. Dalam bab II,
kasus yang sudah dikenal yaitu teori elektromagnetik, digunakan sebagai
pemandu pedagogis untuk pembangunan teori Yang-Mills. Selanjutnya
diturunkan persamaan gerak untuk teori gauge non-Abelian dan dibahas beberapa
kuantitas menarik dari teori Yang-Mills. Pembangunan solusi persamaan gerak
medan Yang-Mills akan dimulai pada Bab III. Bab ini memuat konfigurasi medan
Yang-Mills Euclidean lengkap dengan syarat batasnya dan konsep self-dual dan
antiself-dual yang nantinya akan dimanfaatkan untuk menurunkan solusi 1-
instanton untuk kasus grup SU(2) mengikuti solusi BPST.
Dalam Bab IV, akan dipaparkan solusi multi-instanton SU(2) yang diperoleh dari
transformasi solusi instanton BPST pada bab II. Dalam bab ini juga, akan
diperkenalkan deskripsi ADHM untuk membangun solusi multi-instanton dan
sebagai contoh, dengan menggunakan metoda ini akan diturunkan kembali solusi
multi-instanton SU(2) ‘t Hooft. Aplikasi lebih lanjut dari metoda ini dipaparkan
dalam Bab V yang akan membahas konstruksi multi-instanton ADHM untuk grup
U(N) dengan muatan topologi Q = 2 dan menurunkan secara eksplisit solusinya.
Pada Bab VI dibahas beberapa aplikasi fisis dari solusi instanton. Bab VII yang
merupakan bab terakhir, berisi tentang kesimpulan-kesimpulan tentang konstruksi
multi-instanton.
Notasi-notasi umum yang digunakan dalam tugas akhir ini, serta penurunan yang
lebih terinci dari perhitungan-perhitungan, akan diberikan pada bagian apendiks.
6
BAB II
MEDAN YANG-MILLS: TEORI GAUGE
NON-ABELIAN
We shall go on seeking [truth] to the end,
so long as there are men on the earth.
We shall seek it in all manner of strange ways;
some of them wise, and some of them utterly foolish.
But the search will never end.
-- Arthur Machen “With the Gods in Spring”
Generalisasi dari invariansi gauge Abelian yang dikenal dalam teori medan
elektromagnetik ke grup non-Abelian merupakan ide yang sangat menarik yang
pertama kali diusulkan oleh C. N. Yang dan R. Mills pada tahun 1954 [4]. Mereka
menunjukkan bahwa konsep invariansi fasa (parameter transformasi gauge) yang
global tidak konsisten dengan prinsip yang mendasari teori medan interaksi lokal.
Sebagai contoh, dalam formalisme spin isotopik untuk nukleon, terdapat dua
keadaan isospin: “atas (up)” dan “bawah (down)”, yang masing-masingnya
dikaitkan dengan proton (p) dan neutron (n). Kesimetrian isospin memberi
kebebasan dalam memilih keadaan yang mana yang berkaitan dengan proton dan
neutron. Menurut konvensi, isospin-atas dipilih untuk proton sedangkan neutron
sebaliknya. Akan tetapi pemilihan ini bersifat global. Bila kesimetrian isospin ini
diterapkan secara lokal, untuk sembarang titik ruang-waktu, maka konvensi tadi
tak lagi berlaku, mengingat pengubahan fasa dalam ruang internal isospin kini
bergantung pada titik-titik ruang-waktu. Dengan demikian konsep invariansi
isospin global perlu diperluas menjadi invariansi isospin lokal.
7
2.1 Simetri global dan lokal Abelian
Untuk membahas generalisasi transformasi gauge global ke lokal ditinjau sebuah
multiplet medan partikel yang terdiri atas n-komponen:
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
n
2
1
ψ
ψψ
ψM
. (2.1.1)
Untuk kejelasannya, berikut diambil ψ sebagai sebuah medan spinor Dirac yang
kerapatan Lagrangiannya adalah:
ψψ−ψ∂γψ= µµ mi0L ; µ = 0, 1, 2, 3 (2.1.2)
dimana γµ adalah matriks Dirac (lihat apendiks A2)
µνµννµ η=γγ+γγ dengan )1 ,1 ,1 ,1(diagonal −−−=ηµν (2.1.3)
dan 0γψ=ψ + sedangkan m adalah massa partikel. (Dalam bahasan selanjutnya
istilah Lagrangian dimaksudkan untuk rapat Lagrangian, kecuali ada penjelasan
tambahan).
Lagrangian di atas invarian di bawah transformasi fasa global:
)x(e)x()x(
)x(e)x()x(
ig
fasa
ig'
' +α−++
α
ψ=ψ→ψ
ψ=ψ→ψ (2.1.4)
dimana g adalah sebuah konstanta tak berdimensi, sedangkan α adalah parameter
transformasi, yang tak bergantung pada koordinat ruang-waktu. Perhatikan bahwa
dalam transformasi (2.1.4) semua komponen medan ψ dikalikan dengan bilangan
kompleks modulus satuan: Λ = eigα yang sama. Jenis transformasi ini disebut
bersifat: Abelian. (Akan diperlihatkan kelak bahwa g berkaitan dengan konstanta
kopling medan partikel dengan medan interaksi, sebagai misal: muatan listrik
untuk kasus interaksi elektromagnetik).
8
Ide dasar dari gauging adalah merumuskan ulang Lagrangian di atas agar invarian
di bawah transformasi fasa lokal untuk mana α bukan sebuah parameter global
tetapi sebuah fungsi skalar yang bergantung pada koordinat ruang-waktu xµ, yaitu:
( ) )x(e)x()x(
)x(e)x()x( xig
)x(ig'
' +α−++
α
ψ=ψ→ψ
ψ=ψ→ψ. (2.1.5)
Di bawah transformasi pers. (2.1.5) didapatkan
)x()]x(ig[e)x( )x(ig ψα∂+∂→ψ∂ µµα
µ
sehingga
)x()x()x(g
mi
0
'''''00
α∂ψγψ−=
ψψ−ψ∂γψ=→
µµ
µµ
L
LL. (2.1.6)
Tampak bahwa Lagrangian L tak lagi invarian terhadap transformasi fasa lokal
akibat adanya suku kedua pada pers. (2.1.6) yang mengandung ∂µ. Untuk
memulihkan invariansi Langrangian L, operator turunan ∂µ diperluas dengan
memperkenalkan operator turunan baru Dµ yang di bawah transformasi fasa lokal
bertransformasi secara kovarian sebagai berikut:
)x(De)x(D)x(D )x(ig'' ψ=ψ→ψ µα
µµ . (2.1.7)
Operator Dµ ini dinamakan turunan kovarian. Dengan demikian, dalam operator
Dµ, Lagrangian awal L0 teralihkan menjadi:
ψψ−ψγψ≡→ µµ mDi0 LL , (2.1.8)
yang adalah invarian di bawah transformasi (2.1.5) dan (2.1.7). Operator Dµ di
atas didefinisikan melalui ansatz berikut:
)x(igAD µµµ +∂= (2.1.9)
dimana Aµ(x) adalah sebuah medan kompensasi real yang diperkenalkan untuk
menghilangkan suku kedua pada pers. (2.1.6).
Dari persyaratan kovariansi pers. (2.1.7), yang secara terurai adalah:
[ ] [ ]
[ ] [ ]ψ+ψ∂=ψ+ψ∂+ψα∂
ψ+∂=ψ+∂
µµαα
µµµ
µµαα
µµ
)x(igAe e)x(igA)x(ig
)x(igAee)x(igA )x(ig)x(ig'
)x(ig)x(ig'
(2.1.10)
diperoleh sifat transformasi untuk Aµ(x) sebagai berikut:
9
)x(g)x(A)x(A' α∂−= µµµ . (2.1.11)
Dengan demikian Lagrangian (2.1.8), dalam Aµ(x), adalah:
[ ]
)x(Ag
m)x(igAibaru
µµ
µµµ
ψγψ−=
ψψ−ψ+∂γψ=
L
L (2.1.12)
yang jelas invarian di bawah transformasi lokal simultan1:
)x(g)x(A)x(A)x(A
e)x()x('
)x(ig'
α∂−=→
ψ=ψ→ψ
µµµµ
α
. (2.1.13)
Perhatikan kemunculan konstanta g dalam pers. (2.1.12) pada suku interaksi
antara arus partikel ψγψ µ dengan medan gauge Aµ(x) yang memperlihatkan
secara eksplisit perannya sebagai konstanta kopling.
Untuk merumuskan suku kinetik dari medan Aµ(x), yang mempertahankan
invariansi gauge pers. (2.1.13), didefinisikan besaran tensor antisimetri berikut:
µννµνµµν ∂−∂== AA]D,D[ig1F (2.1.14)
yang adalah invarian terhadap transformasi gauge (2.1.13). Dengan demikian,
Lagrangian baru untuk medan Aµ berbentuk sebagai berikut:
µνµν−= FF
41
L (2.1.15)
Faktor 1/4 berkaitan dengan definisi suku kinetik )AA(21 00K µµ∂∂=L .
Perhatikan bahwa Lagrangian (2.1.15) sesuai dengan Lagrangian teori
elektromagnetik Maxwell (lihat apendiks A1).
Sekarang, dapat dibangun Lagrangian terpadu untuk interaksi antara medan
potensial elektromagnetik Aµ (berspin 1) dan medan spinor Dirac (berspin ½),
yakni:
444 3444 2143421 DIRAC
MAXWELL
mDiFF41
ψψ−ψγψ+−= µµµν
µνL . (2.1.16)
1 Pers. (2.1.13) membentuk transformasi gauge U(1). Medan tak bermassa foton Aµ dikenal sebagai medan gauge untuk interaksi elektromagnetik yang harus diperkenalkan agar terhadap transformasi persamaan tetap invarian.
10
2.2 Konstruksi invariansi gauge non-Abelian lokal
Dalam pasal sebelumnya telah ditunjukkan bagaimana membangun Lagrangian
yang invarian terhadap transformasi fasa (gauge) Abelian yang lokal. Sekarang
prosedur yang sama dilakukan untuk grup simetri Lie yang non-Abelian. Tinjau
kembali Lagrangian L yang secara terinci dituliskan sebagai berikut:
cc
cc mi ψψ−ψ∂γψ= µ
µL , (2.2.1)
dimana: c = 1, 2,..., n adalah indeks komponen multiplet (koordinat internal).
Sekarang ditinjau transformasi fasa non-Abelian global, yang melibatkan
komponen multiplet medan ψ sebagai berikut:
kck
'cc U)x()x( ψ=ψ→ψ , (2.2.2a)
atau secara intrinsik:
ψ=ψ→ψ U)x()x( ' , (2.2.2b)
dengan )U(U ck= adalah matriks )nn( × . Agar Lagrangian (2.2.1) invarian di
bawah transformasi global (2.2.2) maka U harus memenuhi sifat uniter:
1UU1UUUU −+++ =→== (2.2.3)
Dengan demikian, U adalah elemen grup uniter (lihat apendiks B), U(N) yakni
JJTigi eeU ωα= (2.2.4)
dimana TJ adalah matriks Hermitian traceless sebanyak (N2 - 1) buah dari aljabar
Lie SU(N), sedangkan ωJ, adalah parameter berkaitannya, dan α adalah parameter
subgrup U(1). Sekarang pers. (2.2.1) diperluas, untuk memasukkan invariansi di
bawah transformasi lokal dalam bentuk pers. (2.2.2), yaitu,
)x()x(U)x()x( ' ψ=ψ→ψ (2.2.5)
dengan
JJ T)x(ig)x(i ee)x(U ωα= . (2.2.6)
Karena U bergantung pada x, maka suku turunan ∂µψ tak lagi bertransformasi
secara kovarian, yakni:
11
)x()x(U
)x()x(U)x()]x(U[ )]x()x(U[)]x([)x( '
ψ∂≠
ψ∂+ψ∂=
ψ∂=ψ∂→ψ∂
µ
µµ
µµµ
. (2.2.7)
Sebagai akibatnya, Lagrangian di atas tak lagi invarian.
Sekarang bagaimana menggeneralisasi turunan ∂µψ agar invariansi L
dipertahankan. Sejalan dengan rumusan pada kasus Abelian, difinisikan turunan
kovarian dengan syarat bahwa
)x(D)x(U)x()x(UD
)x(D)x(U)x(D
)x(D)x(U])x(D[ )x(D
'
''
'
ψ=ψ
ψ=ψ
ψ=ψ→ψ
µµ
µµ
µµµ
(2.2.8)
Dalam kasus ini perlu ditekankan bahwa Dµ adalah matriks nn × sehingga dalam
pernyataan komponen, pers. (2.2.8) adalah
[ ] [ ] )x()D()x(U)x(D ccb
baa
ψ→ψ µµ . (2.2.9)
Jadi, Lagrangian baru yang invarian secara lokal di bawah U(N) adalah:
ψψ−ψγψ= µµ mDi'L (2.2.10)
Masalah berikutnya adalah merumuskan pernyataan eksplisit dari Dµ. Karena Dµ
adalah generalisasi dari ∂µ, maka seperti pada kasus Abelian, diambil ansatz:
)x(igAID µµµ +∂= (2.2.11)
dimana Aµ(x) adalah matriks Hermitian2 NN× karena i∂µ adalah Hermitian. Jadi
Aµ(x) adalah elemen dari aljabar Lie U(N), sehingga dapat ditulis sebagai berikut:
JJ T)x(A1)x(B)x(A µµµ += . (2.2.12)
Syarat kovariansi (2.2.8) mengimplikasikan bahwa
2 Kita perkenalkan medan vektor )x(A J
µ sebanyak yang dibutuhkan untuk membangun rapat Lagrangian yang invarian di bawah transformasi gauge lokal yang ditentukan oleh sudut αJ(x). Maka, )x(A J
µ akan memberikan analogi foton ketika medannya dikuantisasi, namun karena struktur grup non-Abelian yang lebih rumit kita akan mendapatkan bahwa akan ada lebih dari satu medan gauge boson yang diperlukan (indeks J), dan itulah sifat dari “foton non-Abelian” yang kemungkinan akan sangat berbeda dari foton yang biasa.
12
[ ] [ ]
[ ]ψ+ψ∂=ψ+ψ∂+ψ∂
ψ+∂=ψ+∂
µµµµµ
µµµµ
)x(iAU)x(A)(U)U(
)x(iAUU)x(iA '
'
. (2.2.13)
Bandingkan ruas kiri dan kanan pers. (2.2.13), dan gunakan sifat uniter (2.2.3),
diperoleh:
[ ] )x(U)x(A)x(U)x(U)x(iU)x(A ' +µ
+µµ +∂−= . (2.2.14)
Dapat diperiksa bahwa medan Bµ(x) dan )x(AJµ bertransformasi secara terpisah.
Dengan mengambil trace dari pers. (2.2.14), kita peroleh
[ ] [ ] [ ]JJJ'J' T)x(A1)x(BTr)x(U)x(UiTrT)x(A1)x(BrT µµ+
µµµ ++∂−=+
(Tr TJ = 0) sehingga,
[ ] [ ]
[ ] )x(NB)x(U)x(UiTr)x(NB
1)x(BTr)]x(U)[x(UiTr1)x(BTr '
'
µ+
µµ
µ+
µµ
+∂−=
+∂−= (2.2.15)
atau
)x(B)]x(U)[x(UTrNi)x(B'
µ+
µµ +∂−= (2.2.16)
Pers. (2.2.16) dapat ditulis ulang sebagai berikut:
[ ]
)x(B)x(
)x(B)x(iNNi)x(B'
µµ
µµµ
+α−∂=
+α∂−−= (2.2.17)
yang tak lain adalah transformasi gauge Abelian U(1) yang diperoleh pada pasal
2.1.
Berikut tinjau “transformasi gauge” infinitesimal dari pers. (2.2.6) yakni:
L+ω+= JJTi1)x(U (2.2.18)
dengan (ωJ)2 ≈ 0. Hingga orde ωJ, pers. (2.2.14) menjadi:
13
( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( )[ ]
( ) [ ]
[ ] )x(A)x(A,TiT
T)x(A)x(ATi)x(ATTiT
)x(ATT
T)x(Ai)x(ATi)x(ATiTi
Ti1)x(ATi1Ti1Ti1i)x(A
KKBB
KKKKJKJKK
KJKJ
KKJJKKJJ
KKJJKKJJ'
µµµ
µµµ
⟨⟨
µµ
µ⟨⟨
µµµµ
µµµ
+ω+ω∂−=
−ω++ω∂ω−ω∂−=
ωω+
ω−ω++ω∂−ω+=
ω−ω++ω−∂ω+−=
43421
321
jadi
( ) ( ) ( ) [ ] ( )2KKKK' O)x(A,TiTxAxAxA ω+ω+ω∂−=−=δ µµµµµ (2.2.19)
Kalikan pers. (2.2.19) dengan TL dan ambilkan tracenya memberikan
[ ] ( ) [ ] ( )( ) [ ] ( )2LKKKKLLKK
2LKKKLKLKKL
OT)x(A,TTri21TTTr)x(A
OT)x(A,TTriTTTrTT)x(AT)x(BTr
ω+ω+ω∂δ−=δ
ω+ω+ω∂−=δ+δ
µµµ
µµµµ
Gunakan sifat trace
( ) KLLK
21TTTr δ= , (2.2.20)
maka didapatkan transformasi infinitesimal dari Aµ sebagai berikut:
[ ] ( )2LKKLL OT)x(A,TTr)x(i2)x()x(A ω+ω+ω−∂=δ µµµ . (2.2.21)
Suku trace di ruas kanan dapat dihitung dengan menggunakan kenyataan bahwa
TJ memenuhi aljabar Lie SU(N):
[ ] LJKLKJ TifT,T = , (2.2.22)
dimana fJKL adalah konstanta struktur. Dengan menggunakan sifat siklis dari trace
yakni:
)LJK(Tr)KLJ(Tr)JKL(Tr == , (2.2.23)
maka
[ ] [ ][ ]
[ ] ( )MNLKMN
KL
LKKL
LKLKLK
TTTrf)x(iA
T,T)x(ATr
TT)x(ATT)x(ATr
TT)x(AT)x(ATTrT)x(A,TTr
µ
µ
µµ
µµµ
=
=
−=
−=
(2.2.24)
atau
14
[ ] LKMMLK f)x(A2iT)x(A,TTr µµ = . (2.2.25)
Jadi, diperoleh:
( )2LKMMKLL Of)x(A)x()x()x(A ω+ω−ω−∂=δ µµµ . (2.2.26)
Variasi ( )xALµδ di atas dapat dituliskan dalam pernyataan turunan kovarian di
bawah transformasi SU(n), yakni:
],A[iD ω+ω∂=ω µµµ . (2.2.27)
Diuraikan dalam generatornya pers. (2.2.27) menjadi:
[ ][ ]
( ) LKMLMKL
LKMLMKLL
MKMKLL
MMKKLLL
TfA
TfiAT
T,TiAT
T,TAiT]D[
ω+ω∂=
ω+ω∂=
ω+ω∂=
ω+ω∂=ω
µµ
µµ
µµ
µµµ
(2.2.28)
Bandingkan ekspresi pers. (2.2.26) dan (2.2.28) diperoleh
( ) ω−≅δ µµ DxA' (2.2.29)
yang menunjukkan bahwa meskipun Aµ(x) tidak bertransformasi di bawah SU(N)
oleh karena suku U∂µU+, namun perubahan infinitesimal iya sebab dapat
dinyatakan dalam suku turunan kovarian.
Sejauh ini Lagrangian telah diperluas supaya memiliki simetri U(N) lokal.
Persyaratannya adalah diperkenalkannya N2 medan vektor baru Aµ(x) untuk
membangun turunan kovarian. Agar memberikan eksistensi untuk medan ini, suku
kinetik Aµ(x) dan Bµ(x) harus dimasukkan, dimana diharapkan tidak merusak
simetri lokal awal. Kiat dalam membangun suku kinetik yang invarian di bawah
pers. (2.2.14), sejalan dengan kasus Abelian, adalah dengan memperkenalkan
besaran tensor antisimetri
]D,D[ig1F νµµν ≡ (2.2.30)
yang bertransformasi kovarian seperti halnya Dµ, yaitu
15
)x(U)x(F)x(U)x(F)x(F ' +µνµνµν =→ . (2.2.31)
Dengan menggunakan ekspresi Dµ dalam representasi fundamental pers. (2.2.11)
dan mengabaikan medan Bµ(x), akan diperoleh
ψ+∂−∂=
ψ−∂−∂=
ν↔µ−−ψ∂+ψ∂+ψ∂+ψ∂∂=
ψ+∂+∂=ψ
νµµννµ
νµµννµ
νµνµµννµνµ
ννµµµν
]A,A[igAA
]A,A[g)AA(igig1
)(AAgigA)](A)A[(igig1
]igA,igA[ig1F
2
2
Dari sini terbaca bahwa3:
]A,A[igAAF νµµννµµν +∂−∂= (2.2.32)
Karena Fµν(x) adalah matriks Hermitian ,NN× maka dengan menggunakan
ekspansi medan Aµ menurut pers. (2.2.12) diperoleh:
[ ] [ ] [ ]
JJ
LLKKJJJJ
TF1B
T)x(A,T)x(AiT)x(A1BT)x(A1BF
µνµν
νµµµνννµµν
+=
++∂−+∂= (2.2.33)
dengan
µννµµν ∂−∂= BBB (2.2.34a)
)x(A)x(Agf)x(A)x(AF LKJKLJJJνµµννµµν −∂−∂= . (2.2.34b)
Tensor Fµν adalah generalisasi Yang-Mills untuk tensor kuat medan
elektromagnetik.
Untuk bahasan selanjutnya akan ditinjau kasus grup gauge SU(N) untuk mana
0B =µ . Dalam hal ini ada beberapa catatan mengenai tensor Fµν, yaitu:
(a) Walaupun Fµν sendiri bukan invarian gauge, tetapi besaran
( ) µνµν
µνµν == J
J FFFFTr2I adalah invarian gauge.
3 Jika definisi turunan kovarian diambil Dµ = ∂µ – igAµ, maka Fµν = ∂µAν - ∂νAµ – ig[Aµ,Aν].
16
(b) Suku massa untuk medan Aµ, yakni Tr(AµAµ) tak diperkenankan karena
tidak invarian terhadap terhadap transformasi gauge lokal.
(c) Komponen µνF tidak semuanya bebas karena memenuhi identitas Bianchi:
0FDFDFD =++ µρσσµρρσµ , (2.2.35)
dimana Dµ bekerja pada Fµν. Identitas ini dapat dipahami karena dari pers.
(2.2.27), Fµν bertransformasi menurut transformasi adjoin dari SU(N),
sehingga berlaku identitas Jacobi untuk turunan kovarian:
0]]D,D[,D[]]D,D[,D[]]D,D[,D[ =++ ρµσµσρσρµ . (2.2.36)
Jadi, dapat disimpulkan bahwa rapat Lagrangian yang invarian di bawah
transformasi gauge non-Abelian lokal, yang memiliki suku kinetik yang sesuai
untuk Aµ(x), adalah:
( )
µνµν
µνµν
−=
−=
JJ
2
2YM
FFg41
FFTrg21
L (2.2.37)
dimana telah digunakan pers. (2.2.20) untuk matriks TJ.
Lagrangian di atas menggeneralisasi Lagrangian Maxwell, dan dapat dilihat
bahwa g tak berdimensi. Dengan menggunakan jabaran JFµν dalam JAµ menurut
pers. (2.2.34) maka Lagrangian (2.2.37) secara terurai adalah:
NMLKJMNJKL
2JLKJKL
JJJJ2
AAAAff4gAAAgf
AA21AA
21Lg
νµνµνµ
νµ
µννµ
νµνµ
−∂+
∂∂+∂∂−= (2.2.38)
Dua suku yang pertama dikenal memiliki tipe yang sama seperti Lagrangian
Maxwell (kecuali untuk penjumlahan). Akan tetapi, 2 suku selanjutnya
menunjukkan bahwa medan vektor memiliki interaksi kubik dan kuadratik
nontrivial diantara mereka.
17
Dari Lagrangian medan Dirac (2.1.2) dan medan Yang-Mills (2.2.37), Lagrangian
total untuk interaksi medan Yang-Mills dan Dirac diberikan oleh:
( )44 344 21
44 344 21 DIRACMILLSYANG
2 DiFFTrg21
ψψψγψ+−= µµ
−
µνµν m-L . (2.2.39)
Selain besaran invarian I = Tr(FµνFµν) pada poin (a) di atas, terdapat pula kuantitas
invarian lainnya, yakni:
ρσµνµνρσ∈= FFTrII (2.2.40)
sebagai kandidat untuk suku kinetik. Bahwa II tak diambil sebagai suku kinetik
adalah karena ia merupakan suatu divergensi murni. Untuk melihat hal ini,
tuliskan:
)AAAiA2AA(Tr4
)]AiAA)(AiAA[(Tr4II
σρνµσρνµµνρσ
σρσρνµνµµνρσ
+∂∂∈=
+∂+∂∈= (2.2.41)
dimana suku AµAνAρAσ telah dieliminasi dengan menggunakan sifat siklik dari
trace. Sekarang
)AAA(Tr31)AAA(Tr σνµ
µνρσρσρνµ
µνρσ ∈∂=∂∈ (2.2.42)
sehingga
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +∂∈∂= νµσνµσ
µνρσρ AAA
3i2AA4II (2.2.43)
gunakan 0A =∂∂∈ νµρµιρσ . Maka akan sampai pada
ρρρσµν
µνρσ ∂=∈ W4)FF(Tr (2.2.44)
dengan
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +∂=∈ νµσνµσ
µνρσρ AAA3i2AATrW . (2.2.45)
Ini berarti dengan mengambil II sebagai suku kinetik dari Lagrangian, maka tidak
dapat diturunkan persamaan gerak untuk potensial vektor Aµ karena II hanya
mempengaruhi aksi pada titik-titik ujungnya.
18
2.3 Persamaan gerak dan muatan Noether medan Yang-Mills
Dalam pasal ini akan diturunkan persamaan gerak dan muatan Noether4 dari
fungsi aksi medan Yang-Mills SU(N), yang berdasarkan Lagrangian (2.2.37)
adalah:
( )∫ µνµν−= FFxTrd
g21S 4
2 . (2.3.1)
Pertama, akan diturunkan persamaan gerak dengan menggunakan metoda prinsip
aksi ekstrim, δS = 0. Variasi δS adalah:
[ ]
( )µνµν
µνµν
µνµν
δ−=
δ+δ−=δ
∫
∫
FFTrxdg1
)F(FF)F(Trxdg21 S
42
42
(2.3.2)
dimana
)(AigAAAigAF ν↔µ−δ+δ+δ∂=δ νµνµνµµν . (2.3.3)
Substitusikan pers. (2.3.3) ke dalam pers. (2.3.2) dan gunakan sifat antisimetri
dari Fµν, diperoleh
( ) [ ] )AigAAAig(FxTrdAFxTrdg2S 44
2νµνµ
µννµ
µν δ+δ+δ∂−=δ ∫∫ . (2.3.4)
Selanjutnya, integrasikan suku pertama secara parsial, dan membuang suku
divergensi total, karena setelah ditransformasikan ke integral permukaan nilainya
nol mengingat δAν = 0, maka pers. (2.3.4) menjadi:
( )νµµν
νµµν
νµν
µ δ+δ+δ∂−−=δ ∫ AAigFAAigFAFxTrdg2S 4
2 . (2.3.5)
Dengan memanfaatkan sifat siklis dari trace (2.2.22 ) diperoleh:
( )[ ]νµµν
ννµ
µνµν
µ δ−δ−δ∂−−=δ ∫ AAigFAFigAAFxTrdg2S 4
2 (2.3.6)
atau,
4 Teorema Noether mengatakan bahwa untuk setiap transformasi global yang membuat rapat Lagrangian invarian, terdapat sebuah kuantitas kekal, yaitu observabel yang nilainya tidak berubah terhadap waktu yang sering disebut sebagai muatan.
19
[ ]( ) νµνµ
µνµ δ−∂=δ ∫ AF,AigFxTrd
g2S 4
2 . (2.3.7)
Dari syarat δS = 0, karena δAν sembarang, maka berlaku:
[ ] 0F,AigF =+∂ µνµ
µνµ (2.3.8)
yang merupakan persamaan gerak medan Yang-Mills yang dicari. Persamaan
gerak ini dapat dinyatakan secara ringkas dalam turunan kovarian sebagai berikut:
0FD =µνµ , (2.3.9)
yang menunjukkan bahwa ia kovarian.
Medan Fµν juga memenuhi identitas Bianchi, (sama halnya dengan Fµν dalam teori
elektromagnetik), yakni:
0F~D =µνµ , (2.3.10)
dimana
ρσµνρσµν ∈= F
21F~ (2.3.11)
adalah dual dari Fµν. Perhatikan bahwa pers. (2.3.10) bukanlah persamaaan gerak,
yakni bersifat kinematik, karena dapat diselesaikan secara trivial dengan
menyatakan Fµν dalam suku potensial Aµ sebagaimana diberikan dalam pers.
(2.2.34b).
Dari persamaaan gerak (2.3.8) dapat didefinisikan arus jν berikut:
[ ]µνµ
µνµ
ν =−∂= F,AigFj . (2.3.12)
Karena 0F =∂∂ µννµ , maka arus jν memenuhi persamaan kontinuitas:
0j =∂ νν . (2.3.13)
Persamaan di atas dapat dituliskan secara terurai menjadi:
0jtj
0jj
0
kk
00
=⋅∇−∂∂
=∂+∂r
20
0jsdxdjdtd
0jxdxdtj
s
30
330
=⋅−
=⋅∇−∂∂
∫∫
∫ ∫rr
r
.
Dengan menganggap arus terbatas, maka berlaku syarat batas:
( ) 0rj →rr
untuk ∞→rr (2.3.14)
maka dengan mengambil jari-jari permukaan s suku permukaan menjadi nol,
sehingga
kekalQ0
dtQd
0xdjdtd 3
0
=→=
=∫ (2.3.15)
Dengan demikian, terdapat muatan kekal (disini dalam bentuk matriks )TQ JJ
,Fd
Fxd
xjdQ
0ii2
0ii3
03
σ−=
∂−=
≡
∫∫∫
(2.3.16)
dimana integral yang terakhir meliputi permukaan pada ruang tak terhingga.
Jelas, arus νj tak bertransformasi secara kovarian di bawah transformasi gauge.
Muatan Q , seperti dapat dilihat dari pers. (2.3.16), bertransformasi sebagai
berikut:
+σ−=→ ∫ UUFdQQ 0ii2' , (2.3.17)
dimana U berada pada permukaan batas di tak hingga. Untuk kasus U bernilai
(matriks) konstan dalam ruang spasial di tak hingga, maka U dapat dikeluarkan
dari dalam integral, sehingga jelas tampak bahwa Q bertransformasi secara
kovarian. Dapat diperlihatkan bahwa arus jµ adalah arus Noether yang diperoleh
melalui metoda kanonik.
Sistem Yang-Mills dapat dikopel dengan medan materi lain melalui penambahan
suku berikut:
21
( )µµ∫ JATrxdg2 4 (2.3.18)
pada fungsi aksi medan Yang-Mills (2.3.1), dimana EE T)x(J)x(J µµ = adalah sumber
eksternal (dari materi). Dengan menerapkan prinsip aksi ekstrim, diperoleh
persamaaan gerak berikut:
νµνµ = JFD . (2.3.19)
Dari persamaan ini, terlihat bahwa νJ harus bertransformasi secara kovarian:
+µµ → UUJJ , (2.3.20)
agar mempertahankan kovariansi dari persamaan gerak. Karena DµDνFµν = 0,
maka µJ memenuhi persamaan kontinuitas kovarian:
[ ] 0J,AiJJD =+∂= µµ
µµ
µµ . (2.3.21)
Perhatikan bahwa arus Noether bukanlah µJ tetapi gabungan arus berikut:
µρµρ
µ +−∂= JFj . (2.3.22)
memenuhi persyaratan arus Noether. Suku tambahan pers. (2.3.18) pada
umumnya tidak invarian di bawah transformasi gauge. Andaikan µJ
bertransformasi secara kovarian, yakni: ],J[iJJ ω+→ µµµ , maka berlaku:
( )( )µµ
µµµ
µ
∂ω−=
ω∂=δ
∫∫∫
JTrd
JTrd)JA(Trd4
44
(2.3.23)
yang berarti bahwa invariansi dapat dipulihkan jika sumber luar Jµ adalah kekal.
Dalam teori Maxwell persyaratan ini tak menimbulkan masalah, karena µJ tidak
bertransformasi dibawah perubahan gauge. Tetapi dalam teori Yang-Mills
pernyataan µµ∂ J tidaklah kovarian. Ini berati bahwa kopling (2.3.18) merusak
invariansi. Invariansi gauge ini terpulihkan dengan menambahkan suku kinetik
yang kovarian gauge, untuk medan yang membangkitkan arus µJ , mengikuti
konstruksi awal pada pasal 2.2 untuk kasus interaksi medan Yang-Mills dan
Dirac.
22
2.4 Rangkuman
Beberapa sifat umum penting dari medan Yang-Mills berdasarkan pembahasan
sebelumnya:
1. Invariansi gauge global mengimplikasikan adanya arus kekal, menurut
teorema Noether.
2. Seperti halnya invariansi gauge elektromagnetik U(1), simetri lokal
mengharuskan adanya penambahan vektor gauge boson Aµ(x) massless,
menentukan bentuk interaksi antara medan gauge Aµ(x) dan medan materi
ψ(x).
3. Bahkan untuk medan Yang-Mills murni (tanpa medan materi), rapat
lagrangiannya L tetap mengandung interaksi sebab self-couplings dari
medan gauge akan masuk melalui µνµν ⋅FF 5
4. Medan gauge non-Abelian bertransformasi menurut representasi-adjoint
dari grup, sebab banyaknya medan gauge yang dibutuhkan sama dengan
jumlah generator grupnya.
5. Hanya ada satu konstanta kopling gauge g yang muncul dalam formulasi
Yang-Mills apabila simetri gauge grup G tidak dapat difaktorisasi menjadi
produk langsung dari grup sederhana. Hal ini sangat ditentukan oleh sifat
dasar dari medan non-Abelian: perumusannya tidak berjalan jika skala
relatif operator dengan komutator terhingga diubah secara sembarang.
Dengan demikian medan Yang –Mills bertransformasi di bawah beberapa
grup G yang terkopel bersama kepada medan materi dan kepada dirinya,
mengakibatkan G tidak dapat difaktorisasi menjadi suatu produk langsung.
Hal ini tidak seperti halnya teori elektromagnetik U(1), dimana setiap
medan materi dapat dikopel kepada Aµ dengan muatannya sendiri.
6. Jika grup G dapat difaktorisasi menjadi k buah produk langsung
k11 GGGG K××= , (2.4.1)
5 ).FF(Tr2FFFF j
j µνµν
µνµν
µνµν ==⋅
23
maka akan terdapat k buah konstanta kopling gi yang saling bebas, yang
menentukan interaksi medan Yang-Mills dengan medan materi dan dengan
dirinya sendiri. Pada teori tertentu, konstanta kopling tunggal dapat
menggambarkan semua interaksi gauge.
6. Medan Yang-Mills haruslah medan vektor tak bermassa, karena adanya
suku massa akan merusak gauge invariansi jika secara eksplisit
dimasukkan di dalam Lagrangian.
Sejauh ini telah dibahas medan Yang-Mills, tanpa mempermasalahkan solusi
persamaan geraknya. Hal ini akan diulas dalam bab III.
24
BAB III
SOLUSI INSTANTON MEDAN YANG-MILLS
If people do not believe that mathematics is simple,
it is only because they do not realize how
complicated life is.
John Von Neumann
Pada bab sebelumnya telah diturunkan persamaan gerak medan Yang-Mills yang
ditunjukkan oleh pers. (2.3.8). Dengan menjabarkan persamaan tersebut secara
eksplisit dapat dilihat bahwa persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial
parsial orde-2 non-linear terkopel. Solusi eksak dari persamaan seperti ini sangat
sulit untuk diperoleh, karena belum terdapat metoda umum untuk menanganinya.
Dalam hal ini, penanganannya ditinjau secara per-kasus dengan menerapkan
metoda ansatz untuk memperoleh solusi berkaitan. Pada kenyataannya, hingga
sekarang, hanya solusi khusus yang dapat diperoleh.
Menyelesaikan persamaan diferensial orde-dua jelas lebih sulit daripada yang
orde-satu. Sangatlah baik apabila persamaan diferensial orde-2 ini dapat
digantikan dengan persamaan setara berorde satu. Ini dapat dicapai dengan
meninjau fungsi aksi medan Yang-Mills S dalam ruang waktu Euclidean (lihat
apendiks A1), untuk mana berlaku syarat Bogomolnyi, yang mengalihkan
persamaaan medan Yang-Mills orde-2 menjadi orde-1.
Dengan alasan di atas, dalam bab ini akan ditinjau solusi non-singular medan
Yang-Mills tanpa sumber dalam ruang-waktu Euclidean, yang memiliki fungsi
aksi S berhingga. Makna fisika dari solusi ini dapat ditafsirkan sebagai berikut.
Ruang-waktu Euclidean adalah ruang Minkowski dengan waktu imajiner,
25
sedangkan evolusi dengan waktu imajiner, secara formal, menurut mekanika
kuantum, berkaitan dengan efek tunnelling. Akan diperlihatkan bahwa syarat
Bogomolnyi, memberikan konfigurasi medan Yang-Mills dengan nilai fungsi aksi
yang minimum. Karena itu, solusi bersangkutan menyatakan tunnelling antara
beberapa minima dari fungsi aksi, yang akan dijelaskan dalam bab VI. Solusi non-
singular ini, oleh ‘t Hooft dinamakan instanton.
3.1 Syarat batas untuk fungsi aksi S berhingga
Sebagaimana disebutkan pada pengantar di atas, instanton adalah solusi
persamaan medan Yang-Mills dengan fungsi aksi:
( )∫ µνµν−= FFxTrd
g21S 4
2YMM (3.1.1)
bernilai hingga. Salah satu cara untuk memperoleh fungsi aksi berhingga ini
adalah dengan meninjau ruang-waktu Euclidean. Dalam hal ini, kooordinat ruang
Euclidean6 4-dimensi dinyatakan oleh xµ (µ = 1, 2, 3, 4), yang dapat dipandang
sebagai koordinat ruang-waktu Minkowski dengan kooordinat waktu x0 bernilai
imajiner: 40 ixx → .
Untuk mendapatkan solusi instanton ini perlu diidentifikasikan terlebih dahulu
syarat batas yang harus dipenuhi oleh sembarang konfigurasi medan Yang-Mills
agar memberikan fungsi aksi S yang berhingga.
Sebagai langkah pertama, tinjau konfigurasi dengan aksi nol. Dari pers. (3.1.1)
terlihat bahwa S = 0 jika dan hanya jika Fµν = 0. Hal ini memberikan tak terhingga
kemungkinan untuk medan Aµ yang dapat diperlihatkan sebagai berikut.
Perhatikan bahwa syarat Fµν = 0 adalah invarian gauge. Dengan demikian, kondisi
6 Mulai dari bab ini indeks ruang-waktu µ, ν, ρ, σ berjalan dari 1 sampai 4, kecuali ada beberapa pemberitahuan lebih lanjut.
26
ini tak hanya dipenuhi oleh Aµ = 0, tetapi juga oleh sembarang medan hasil
transformasi gauge yang diperoleh dari Aµ = 0. Medan ini dinamakan gauge
murni, yang diberikan oleh [lihat pers.(2.2.14)]
[ ] ,)x(UU(x)iA~ µµ+∂−= (3.1.2)
dimana )x(U , untuk setiap x, merupakan salah satu elemen dari grup SU(N).
Bahwa pers. (3.1.2) menghasilkan Fµν = 0, dapat diperlihatkan sebagai berikut.
Substitusikan µA~ ke dalam persamaan kuat medan (2.2.32) menghasilkan:
( )
[ ] [ ][ ] )(U)U(iU)U(iiU)Ui(
)(A~A~iA~A~F
ν↔µ−∂∂+∂∂=
ν↔µ−+∂=+
µ+
ν+
νµ
νµνµµµν (3.1.3)
Gunakan sifat berikut:
U)U(UU +
µµ+
µννµ
∂−=∂
∂∂=∂∂ (3.1.4)
maka terbukti:
( ) 0A~F =µµν . (3.1.5)
Sebaliknya pun berlaku, bahwa Fµν = 0 dipenuhi oleh µµ = A~A dalam pers.
(3.1.2).
Berikut, ditinjau konfigurasi dengan aksi berhingga. Jelas terlihat pada pers.
(3.1.1) bahwa syarat keberhinggan ini terpenuhi bila Fµν adalah nol pada batas
ruang Euclidean-4, yaitu pada permukaan bola dimensi-3 S3 dengan ∞→r
dimana 2124
23
22
21 )xxxx(xr +++=≡ adalah jari-jari dalam ruang Euclidean
berdimensi empat. Pada titik tak hingga )r( ∞→ kita menginginkan Fµν
berkurang secara asimtotik menuju nol, yakni:
0)x(Fx
B
∞→µν → (3.1.6)
Dengan demikian, pada kedudukan di tak hingga, medan Aµ mengambil
konfigurasi gauge murni menurut pers. (3.1.2) di atas.
27
3.2 Konstruksi fungsi aksi minimum
Setelah diperoleh syarat batas untuk medan Yang-Mills dalam pasal 3.1, sekarang
akan dibangun solusi dengan nilai fungsi aksi berhingga, mengikuti konstruksi
Belavin, Polyakov, Schwartz and Tyupkin (BPST) [2].
Pertama perhatikan bahwa dalam ruang Euclidean berlaku pertidaksamaan
berikut:
. 0)F~F~F~F2FF(xTrd
0])F~F[(xTrd4
24
≥+±
≥±
µνµνµνµνµνµν
µνµν
∫∫ (3.2.1)
Gunakan
)FF(xTrd)F~F~(xTrd 44µνµνµνµν ∫∫ = , (3.2.2)
maka
)F~F(xTrd)FF(xTrd 44µνµνµνµν ∫∫ ≥ m . (3.2.3)
Integral pada ruas kanan dari pertidaksamaan (3.2.3) dapat dituliskan sebagai
integral divergensi total-4 yaitu,
µµµνµν ∫∫ ∂= Wxd2)F~F(xTrd 44 , (3.2.4)
dimana Wµ diberikan oleh pers. (2.2.45).
Ruas kiri pers. (3.2.3) berkaitan dengan fungsi aksi YMES medan Yang-Mills,
sehingga dengan demikian ia memiliki nilai batas bawah, yakni:
∫∫ µµµµ σ=∂≥S
32
42
YME Wd
g1Wxd
g1S . (3.2.5)
dimana telah digunakan pers. (3.1.1) dan pada ruas terkanan telah dilakukan
transformasi ke integral permukaan. Perhatikan bahwa pada pers. (3.2.5), d3σµ
adalah elemen volume permukaan bola 3-dimensi S3, dengan jari-jari ∞→r .
Karena ruas kanan pers. (3.2.5) diintegrasikan pada permukaan di tak hingga
28
(Euclidean), maka nilai minimum aksi YMES akan bergantung kepada sifat medan
gauge di tak hingga.
Dengan memberlakukan syarat batas pers. (3.1.5), maka di tak hingga, medan Aµ
mengambil konfigurasi gauge murni (3.1.2). Substitusikan pernyataan ini ke
dalam Wµ yang diberikan oleh pers. (2.2.45), menghasilkan:
)U(U)U(U)U(U32)U](U)U([U)U(UTr
)]U(U)U(U)U(U32UU)U(U)U(U)U(U[Tr W
0
+σ
+ρ
+ν
+σ
+ρ
+νµνρσ
+σ
+ρ
+ν
=
+σρ
+ν
+σρ
+νµνρσµ
∂∂∂−∂∂−∂−=∈
∂∂∂−∂∂∂−∂∂∂−=∈43421
atau,
( ) ( )⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ∂∂∂=∈ +
σ+
ρ+
νµνρσµ UUUU)U(U31TrW (3.2.6)
dimana telah digunakan sifat antisimetri dari ρ dan σ serta UU+ = 1.
Dengan demikian, pers. (3.2.6), menjadi
( ) ( ) ( )[ ]+σ
+ρ
+νµνρσ
µ ∂∂∂∈σ≥ ∫ UUUUUUTrdg32S
S
32
YME (3.2.7)
yang bergantung seluruhnya kepada elemen grup U(x)! Hasil ini sungguh luar
biasa yang memperlihatkan bahwa nilai minimum dari fungsi aksi Yang-Mills
Euclidean hanyalah bergantung pada sifat elemen grup U(x) dan bukan pada
konfigurasi detail dari medan potensial gauge pada kedudukan berhingga.
3.3 Muatan topologi
Bahasan berikut akan dikhususkan pada kasus grup SU(2) (lihat apendiks B).
Setiap elemen grup SU(2), dalam representasi fundamental dapat dinyatakan
sebagai berikut:
jj44 iG σϕ+σϕ= , j = 1, 2, 3 (3.3.1)
dimana σ4 = I adalah matriks satuan )22( × , dan σj adalah ketiga matriks Pauli
(lihat apendiks A2).
29
Karena ),2(SUG∈ yakni IGG =+ , maka keempat fungsi µϕ , µ = 1,...,4,
memenuhi kendala:
1)()()( 232221 =ϕ+ϕ+ϕ (3.3.2)
yang menyatakan permukaan bola 3-dimensi, 3gS (g = grup). Dengan demikian,
setiap elemen SU(2) bergantung pada tiga buah parameter: 321 dan , , φφφ .
Untuk kasus medan Yang-Mills yang ditinjau di sini, ketiga parameter tadi
diambil bergantung pada x. Pada pers. (3.2.7), integrasi permukaan diambil untuk
permukaan bola 3-dimensi S3, dengan jari-jari yang sangat besar (~ tak
berhingga). Dengan demikian, U dapat dianggap sebagai pemetaan dari kedua
koordinat sudut ruang yang melabel permukaan bola 3-dimensi S3 ke bola 3-
dimensi 3gS yang dilabel oleh ketiga parameter grup di atas:
3g
3 S)2(SUS :U ≈→ . (3.3.3)
Sembarang pemetaan ini dikarakterisasi oleh kelas homotopi, yang berkaitan
dengan jumlah peliputan bola S3 pada bola hasil pemetaan 3gS . Singkatnya, kelas
homotopi 1 berarti bahwa permukaan bola S3 hanya sekali meliput permukaan
bola 3gS dari manifold grup SU(2). Secara umum, kelas homotopi Q menyatakan
peliputan sebanyak n kali dari permukaan bola S3 pada pada bola hasil pemetaan 3gS .
Kembali ke pers. (3.2.7), karena, )(UU jφ= , maka
+µ
+
=µ
+µ ∂φ∂=
φ∂∂
∂
φ∂=∂ ∑ UU
xU j
j
j
3
1j
j (3.3.4)
sehingga
( ) ( ) ( )[ ]+++σρνµνρσ
µ ∂∂∂φ∂φ∂φ∂∈σ≥ ∫ UUUUUUTrdg32S cba
lkj
S
32
YME (3.3.5)
atau, dengan menggunakan sifat antisimetri dari simbol ∈ ,
30
( ) ( ) ( )[ ]+++σρνµνρσ
µ ∂∂∂φ∂φ∂φ∂∈σ≥ ∫ UUUUUUTrdg4S 321
321
S
32
YME . (3.3.6)
Dalam pernyataan ini, terlihat jelas munculnya faktor Jacobian transformasi dari
variabel yang melabel permukaan S3 dan parameter iφ yang melabel 3gS .
Dengan menyatakan U dalam pernyataan eksponensial terfaktorisasi:
332211 Q
2i
2i
2i
eeeUσφ−σφ−σφ−
= (3.3.7)
dimana Q = 0, 1, 2,..., maka dengan perhitungan langsung, menggunakan sifat
matriks Pauli, diperoleh:
( ) ( ) ( )[ ]
∫
∫
∫
φ=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛σσσφ∂φ∂φ∂∈σ=
∂∂∂φ∂φ∂φ∂∈σ
σρνµνρσµ
+++σρνµνρσ
µ
3gS
3
3213
3321
S
3
321321
S
3
d4Q
Q2iTrd
UUUUUUTrd
(3.3.8)
Karena volume bola 3-dimensi 3gS adalah 16π2, akhirnya diperoleh hasil menarik
berikut:
( ) ( ) ( )[ ]+++σρνµνρσ
µ ∂∂∂φ∂φ∂φ∂∈σπ
= ∫ UUUUUUTrd4
1Q 321321
S
32 (3.3.9)
yang menyatakan muatan topologi untuk pemetaan kelas homotopi Q.
Berkaitan dengan pernyataan pers. (3.2.4) selanjutnya tersimpulkan bahwa
( )µνµνµµ ∫∫ π
=σπ
= F~FTrxd8
1Wd4
1Q 42S
32 . (3.3.10)
Perhatikan bahwa ruas kanan adalah tak lain daripada indeks Pontryagin (atau
kelas Chern kedua/ winding number). Jadi dapat disimpulkan bahwa muatan
topologi medan Yang-Mills Euclidean adalah tak lain daripada kelas Chern kedua.
Batas bawah fungsi aksi medan Yang-Mills Euclidean ditentukan oleh muatan
topologi Q, yakni:
Qg
8S 2
2YME
π≥ (3.3.11)
dimana Q merupakan suatu bilangan bulat.
31
Dari pers. (3.2.3) dan (3.2.5) dapat dilihat bahwa batas bawah Q)g8(S 22YME π=
tercapai ketika,
( ) ( )( ) ( ) µνµνµνµνµνµν
µνµνµνµνµνµν
−=→=−
=→−=−
∫∫∫∫
FF~FF~xTrdFFxTrd
FF~FF~xTrdFFxTrd44
44
(3.3.12)
yang memberikan
µνµν ±= FF~ . (3.3.13)
Persamaan (3.3.13) merupakan persamaan self-dual dan antiself-dual. Apabila
tanda positif yang dipilih, Fµν dikatakan solusi self-dual sedangkan tanda negatif,
antiself-dual. Oleh karena itu, melalui prinsip Hamilton medan self-dual atau
antiself-dual mengekstrimasi aksi dan merupakan solusi dari persamaan Yang-
Mills dalam setiap kelas Q. Sekarang permasalahan dalam mencari solusi eksak di
atas tersederhanakan, sehingga hanya perlu untuk memandang solusi khusus yang
memenuhi persamaan self-dualitas (3.3.13), dimana µνF~ didefenisikan sebagai:
ρσµνρσµν ∈= F
21F~ (3.3.14)
µνρσ∈ adalah standar tensor antisimetrik dan 11234=∈ . Solusi dari pers. (3.3.13)
memenuhi dengan baik pers. (3.3.11). Solusi ini disebut instanton. Solusi untuk
persamaan antiself-dual disebut anti-instanton.
Jika pers. (3.3.14) dipenuhi, maka persamaan medan akan otomatis dipenuhi
sebab
0F~DFD =±= µνµµνµ (identitas Bianchi) (3.3.15)
Dapat dibuktikan bahwa pers. (3.3.15) memenuhi persamaan Euler-Lagrange.
32
3.4 Self-dual dan antiself-dual
Perhatikan bahwa dual dari tensor medan dual adalah
αβρσαβµνρσ
ρσµνρσµν
∈∈=
∈=
F41
F~21F
~~
(3.4.1)
Dalam ruang Euclidean, berlaku sifat metrik berikut:
)(2 ναµβνβµαρσαβµνρσ δδ−δδ=∈∈ , (3.4.2)
sehingga pers. (3.4.1) menjadi:
µννµµνµν =−= F)FF(21F
~~ (3.4.3)
Secara simbolik pers. (3.4.1) dapat ditulis menjadi:
FFF~~ 2 ==∈ (3.4.4)
dari pers. (3.4.2) didapat nilai eigen dari operator yang didualisasi adalah 1±∈= ;
Oleh karena itu FF~ ±= , yang menunjukkan bahwa konfigurasi self-dual dan
antiself-dual dimungkinkan dalam ruang Euclidean.
Sebaliknya, jika metriknya Minkowskian, pers. (3.4.1) teralihkan menjadi:
FF~~
FF41F
~~
−=
−=∈∈= αβαβαβ
ρσρσ
µνµν (3.4.5)
dimana sekarang nilai eigen dari operator terdualisasi menjadi i±∈= sehingga
FF~ ±≠ yang mana itu berarti bahwa konfigurasi self-dual dan antiself-dual tidak
mungkin ada. Jadi instanton hanya terdefenisi dalam ruang Euclidean.
33
3.5 Solusi eksplisit instanton BPST
Setelah pada seksi sebelumnya dibentuk konfigurasi instanton lengkap dengan
syarat batas berkaitannya, berikut dibangun solusi eksplisit dari instanton SU(2).
Bertolak dari syarat batas (3.1.5), medan vektor Aµ untuk r berhingga dipilih
berbentuk sebagai berikut:
µµµµ == xxr ,A~)r(fA 2 (3.5.1)
dimana µA~ medan gauge murni (3.1.2) serta f(r) memenuhi syarat batas 1)(f =∞
dan 0)0(f = . Syarat batas kedua, dipilih untuk menjamin Aµ tak singular di r = 0.
Dengan mensubstitusikan pers. (3.5.1) ke dalam pers. (2.2.32) maka7
( ) ( ) ( ) [ ]v2
vµvµµν A~,A~ifA~A~fA~fA~fF µµνµν +∂−∂+∂−∂= (3.5.2)
Gunakan gabungan ( ) 0A~F =µν untuk suku ketiga, memberikan:
( ) ( ) [ ] [ ]( ) ( ) ( )[ ]v
2vµ
v2
vvµ
A~,A~ffiA~fA~f
A~,A~ifA~,A~ifA~fA~fF
µ
Φ
µν
µµµνµν
−−∂−∂=
+−∂−∂=
µν
444 3444 21 (3.5.3)
Dari pers. (3.5.1b), diperoleh:
r
xxrx2
xrr2 µ
µµµ =∂∂
→=∂∂ (3.5.4)
Jadi,
drdf
rx
xr
drdff µ
µµ =∂∂
⋅=∂ . (3.5.5)
Karena )2(SUU∈ maka dapat dituliskan sebagai berikut:
( )j0 i, ,r
xU σσ=τ
τ= α
αα j = 1, 2, 3 (3.5.6)
atau, secara terurai:
( )jj02ixx
x1U σ+= (3.5.7)
7 Di sini g telah diserap ke dalam Aµ.
34
dimana matriks σr bekerja dalam ruang SU(2), dan
xxxx 20
2 rr⋅+= (3.5.8)
Selanjutnya dari pers. (3.5.6) diperoleh,
U
rx
r1
rxx
rU 3
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−τ=
τ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
δ=∂
µµ
αµααµ
µ
(3.5.9)
dimana telah digunakan pers. (2.2.3).
Dengan demikian,
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−τ=∂= +µ+
µ+
µµ UUr
xU
riUUiA~ (3.5.10)
atau
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−τ= µ+
µµ rx
UriA~ . (3.5.11)
Oleh karena itu,
( ) ( )
( )+µν+
νµ
µ+µ
νν+ν
µ
µννµµν
τ−τ⋅=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−τ⋅−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −τ⋅=
∂−∂=Φ
UxUxdrdf
ri
rx
Uri
drdf
rx
rx
Uri
drdf
rx
A~fA~f
2
(3.5.12)
Berikut ditinjau suku komutator:
[ ]( )[ ]( )[ ] ( )[ ]( )[ ]
( )[ ] ( )[ ]+
µν+
νµ
+µν
+νµ
+µ
+ν
+ν
+µ
µννµνµ
∂∂−∂∂=
∂−∂+∂−−∂=
∂∂−∂∂=
−=
UUUU
UUUUUU
UUUUiUUUUi
A~A~A~A~A~,A~
22
(3.5.13)
dimana telah digunakan sifat uniteritas (2.2.3). Selanjutnya, dengan pernyataan
(3.5.9) diperoleh:
35
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +τ−τ−ττ=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −τ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−τ=∂∂
νµ+
νµν+
µ+
νµ
+ν+ν
µµ
+νµ
xxr1Ux
r1xU
r1
r1
Ur
xU
rx
r1UU
22
2
(3.5.14)
Dengan demikian,
[ ]
( )+
µν+
νµ
µ+
νν+
µ+
µν+
νµ
νµ+
µνµ+
ν+
µν
νµ+
νµν+
µ+
νµνµ
τ+τ−
τ+τ−ττ−ττ=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +τ−τ−ττ−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +τ−τ−ττ=
Uxr1Ux
r1
xUr1xU
r1
xxr1Ux
r1xU
r1
xxr1Ux
r1xU
r1A~,A~r
2
22
(3.5.15)
Berikut, substitusikan sifat-sifat berikut:
( )
+νν
+ν
+µµ
α+
µαµαα+
αµ+
µ
µα+
µα+
αµ
τ−=τ
τ−=
ττ−δ=ττ=τ
δ=ττ+ττ
Ux2U
Ux2
x2xU
2
(3.5.16)
ke dalam pers. (3.5.15), memberikan:
[ ] ( ) ( ) ( )
+µ
ν+ν
µ
µ+νν
ν+µµ
+µν
+νµνµ
τ+τ−
τ−+τ−−ττ−ττ=
Ur
xU
rx
rx
Ux2r
xUx2A~,A~r 2
(3.5.17)
atau
[ ] ( ) +µν
+νµ
+µν
+νµνµ τ+τ−ττ−ττ= Ux
r2Ux
r2A~,A~r 2 . (3.5.18)
Dengan hasil di atas, tensor kuat medan µνF dalam pers. (3.5.3) setelah
disubstitusikan pers. (3.5.12) dan (3.5.18) menjadi:
( ) ( ) ( )
( ) ( )+µν+
νµ
+µν
+νµ
+µν
+νµµν
τ−τ−+
ττ−ττ−−τ−τ⋅=
UxUxr1ffi2
r1ffiUxUx
drdf
riF
32
22
2 (3.5.19)
36
Gunakan sifat berikut:
( ) ( )
rUx
rxx2
rUx
rxx2
2rxx
2rxx
rx
xr
xxUxUx
+µνµν
+νµνµ
+αµαµ
αν+αναν
αµ
+µ
ααν
+ν
ααµ
+µν
+νµ
τ+−
τ−=
ττ−δ−ττ−δ=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ τ
τ−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ τ
τ=τ−τ
(3.5.20)
dalam pers. (3.5.19) maka diperoleh pernyataan sederhana berikut:
( ) ( )
( )( )+µν+
νµ
+µν
+νµµν
ττ−ττ−−
τ−τ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=−
2
23
ffr
UxUxff2drdfrFir
(3.5.21)
Karena, pada suku terakhir matriks τµτν+ - τντµ+ = τµν dalam pers. (3.5.21) adalah
pernyataan self-dual sebagaimana diperlihatkan pada apendiks C3, maka agar µνF
adalah self-dual, suku pertama dalam pers. (3.5.21) harus lenyap yaitu:
( ) 0ff2drdfr 2 =−− . (3.5.22)
Substitusikan
rlns = , (3.5.23)
maka pers. (3.5.22) teralihkan menjadi:
( ) ds2f1
1f1df =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+ . (3.5.24)
Integralkan, maka diperoleh
( ) cs2f1
fln +=−
(3.5.25)
atau
cs2cs2 ea ,aeef1
f===
−+ . (3.5.26)
Jadi,
( ) a1 ,
rrf 2
22
2
=λλ+
= (3.5.27)
Dengan demikian diperoleh solusi:
37
( ) +µµ ∂⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛λ+
= UUr
riA 22
2
(3.5.28)
dan kuat medan yang berkaitan,
( ),irffF 2
2
µ+
νν+
µµν ττ−ττ−−
= (3.5.29)
Potensial pada pers. (3.5.28) memenuhi syarat pers. (3.1.5) untuk aksi yang
berhingga (λ2 adalah konstanta). Persamaan kuat medan (3.5.29) memberikan
muatan topologi Q = 1, sehingga nilai aksinya S = 8π2 [lihat apendiks C2].
Karena itu solusi ini disebut solusi satu instanton.
Perumusan (3.5.28) dapat ditulis menjadi:
( ) +µ
µµ
µµµ ∂⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
λ+−
−= UU
)ax()ax(
iA 22
2
(3.5.30)
yang memperlihatkan bahwa solusi ini mempunyai 5 parameter: 4 untuk posisi
(aµ) dan satu untuk parameter ukuran (“lebar”) λ. Akan diperlihatkan kemudian
bahwa jumlah parameter ini sesuai dengan karakteristik parameter solusi instanton
yaitu:
p = 8Q - 3 (3.5.31)
yang mana untuk Q = 1 memberikan p = 5.
Solusi yang diperoleh di atas merupakan solusi eksak (khusus) untuk Q = 1.
Sedangkan untuk memperoleh solusi instanton dengan sembarang Q, diperlukan
konstruksi lain, yang lebih umum. Umum dalam hal ini berarti, konstruksinya
dapat diaplikasikan untuk sembarang grup dan memenuhi parameter grup
tersebut. Konstruksi ini akan dibahas dalam bab berikutnya.
38
BAB IV
SOLUSI MULTI-INSTANTON
In this day and age Mathematicians so blind But gauges have flaws
The physicist sage Follow slowly behind God hems and haws
Writes page after page With their clever minds As the curtain He draws
On the current rage A theorem they’ll find O’er His physical laws
The gauge Only written and signed It may be a lost cause
I. Singer
Sejauh ini telah diturunkan solusi eksak satu instanton. Selanjutnya dalam bab ini
akan diulas solusi instanton untuk sembarang Q. Solusi banyak (multi) instanton8,
pertama kali ditemukan oleh ‘t Hooft pada tahun 1976 [1], setelah dirinya
menemukan ansatz yang dapat melinearisasi persamaan gerak YM. Solusi lain
ditemukan oleh Witten [7], namun dalam bab ini yang akan dibahas hanya solusi
‘t Hooft karena lebih umum dan mudah dibanding solusi Witten.
4.1 Solusi Q-instanton SU(2) ‘t Hooft
Solusi instanton BPST dalam bentuk awalnya (3.5.28), tidak melinearisasi
persamaan gerak Yang-Mills. Namun, solusi tersebut dapat dituliskan menjadi:
[ ]
[ ] 22ljklkj0
j22
2
j
22jj
422
2
4
λrxx
U)U(λr
rA
rx
U)U(λr
rA
+
σ∈+σ=∂⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=
λ+
σ−=∂⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=
+
+
(4.1.1)
8 Secara umum dipercaya bahwa tidak ada solusi eksak yang menggambarkan satu instanton dan satu anti-instanton.
39
Dalam representasi SU(2), yaitu:
)A(TrAA21A a
aa
a σ=→σ= µµµµ , (4.1.2)
pers. (4.1.1) teralihkan menjadi:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
λ+δ+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
λ+ε−=
λ+−=
λ+
σσ−=
224
ja22m
jamaj
22a
22ajja
4
rx2
rx2
A
,r
x2r
)(TrxA
(4.1.3)
Di sini indeks: a, j, k, l, m, berjalan dari 1 sampai 3!
Untuk menunjukkan bahwa potensial di atas adalah solusi dari suatu persamaan
gerak tertentu, pernyataan komponen medan gauge menurut (4.1.3), ditulis ulang
sebagai berikut:
ϕϕ∂
δ−ϕϕ∂
ε=
ϕϕ∂
=
4ja
mjam
aj
aa4
A
A (4.1.4)
dimana:
22rCλ+
=ϕ , 22rx2λ+
−=
ϕ
ϕ∂ µµ (4.1.5)
Untuk ( ) 21
8C λ= maka dapat diperlihatkan bahwa φ merupakan solusi dari
persamaan ڤ 03 =λϕ+ϕ , dengan λ ≠ 0.
Di pihak lain, solusi BPST (3.5.28) dapat ditransformasikan dengan menggunakan
matriks invers. U-1, sehingga potensial barunya adalah:
( )[ ] ( )
( )[ ]UUix
UUiUUUiUx
xA
22
2
22
2'
+µ
+µ
+µ
+µ
∂−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛λ+
λ=
∂−∂−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛λ+
=
(4.1.6)
Secara eksplisit, komponen 'Aµ serupa dengan ansatz pers. (4.1.4) yaitu:
40
φφ∂
δ+φ
φ∂ε=
φφ∂
−=
4ja
njamaj
'
aa4
'
A
A (4.1.7)
namun, dimana
2
2
r1 λ+=φ , ( )222
2
rrx2λ+
λ−=
φ
φ∂ µµ . (4.1.8)
Karena ڤ (1/r2) = 0, maka fungsi skalar φ memenuhi persamaan gerak:
φڤ) ) = 0 (4.1.9)
Pers. (4.1.7), dengan φ diberikan oleh (4.1.8), adalah solusi instanton yang setara
gauge dengan pers. (4.1.4) & (4.1.5). Tampak bahwa φ singular pada r = 0,
namun hal ini tidaklah menjadi masalah karena singularitas ini tak nyata. Karena
ketika r2 → 0 potensial 'Aµ , menurut pers.(4.1.6), menjadi gauge murni.
Solusi pers. (4.1.7) dan (4.1.8) menggambarkan 1-instanton dengan ukuran |λ|
berpusat pada titik asal. Pers. (4.1.9) menyarankan bahwa pers. (4.1.7) dapat
dipilih sebagai ansatz untuk Q-instanton. Dapat diperlihatkan bahwa pers. (4.1.9)
tetap dipenuhi, sehingga diperoleh solusi umum
( )∑
= −λ
+=φQ
1n2
n
n
ax1 (4.1.10)
yang menggambarkan Q buah instanton dengan ukuran λ = λn yang berbeda-beda
dan begitu pula dengan titik pusatnya x = an dalam ruang E4. Medan YM yang
bersesuaian, menurut pers. (4.1.7) adalah self-dual dan non-singular serta
mempunyai muatan topologi Q (tidak akan dibahas). Parameter λn disini
merupakan ukuran dari instanton ini, dan oleh karena itu bernilai positif.
Dengan sedikit perhitungan diperoleh potensial gauge:
)(lniA φ∂Σ= νµνµ , (4.1.11)
dimana µνΣ adalah komponen dari suatu matriks yang dibangun dari matriks Pauli
yakni:
41
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
σσσσ−σ−σσ−σσ−σ−σ−σ
=Σµν
00
00
21
221
312
213
123
. (4.1.12)
Secara kompak pers. (4.1.12), dapat ditulis dalam bentuk:
2
ij ση=Σ
µν
µν ; j = 1, 2, 3 (4.1.13)
dimana
⎩⎨⎧
=νδ−=νµε
=η−=ηµ
µννµµν
1 untuk 3 2, , 1 ,untuk
i
iii (4.1.14)
4.2 Parameter total solusi Q-instanton
Solusi Q-instanton ‘t Hooft diatas mempunyai 5Q buah parameter, dan
generalisasi invarian konformalnya9 mempunyai (5Q + 4) buah parameter. Solusi
Q-instanton yang paling umum [didefinisikan sebagai solusi self-dual dari teori
gauge SU(2) murni dengan muatan topologi Q] bergantung pada (8Q – 3) buah
parameter10. Parameter-parameter ini memiliki interpretasi fisis berikut. Ke-5Q
buah parameter di antaranya menentukan posisi dan ukuran dari instanton,
sedangkan 3Q buah parameter yang sisa dibutuhkan untuk menentukan orientasi
instanton dalam ruang SU(2) [solusi instanton adalah vektor SU(2), karena medan
gauge Aµ bertransformasi menurut representasi adjoin dari grup SU(2)]. Tetapi 9 Jackiw dan Rebbi menunjukkan bahwa fungsi skalar pada pers. (4.1.10) tidaklah invarian konformal. Dengan kata lain, fungsi ini, dan solusi n-instanton dari teori YM yang berkaitan, appearance berubah dibawah transformasi konformal. Mereka memperoleh fungsi skalar yang
invarian konformal ( )∑
= −=φ
Q
0n2
n
n
axb
. Fungsi ini invarian di bawah grup konformal Euclidean
penuh. Solusi fungsi ini dapat diubah menjadi solusi ‘t Hooft pers. (4.1.10) dengan mengambil limit ∞→0b ; ∞→2
0a dengan 1ab 20
20 = .
10 Penurunan yang jauh lebih tepat dari jumlah parameter p = 8Q – 3 diberikan oleh Schwartz [3], Atiyah dkk. [10], Pekerjaan mereka berdasarkan atas teorema yang sangat mendasar dalam matematika yang dikenal sebagai teorema indeks Atiyah-Singer.
42
ke-3 parameter orientasi SU(2) ini tidak memiliki arti fisis, karena transformasi
SU(2) global tidak dapat mempunyai efek fisis. Dengan demikian, tersisa (8Q - 3)
buah parameter. Perhatikan bahwa ansatz pers. (4.1.7) tidak mempunyai
kebebasan dalam orientasi SU(2) untuk setiap instanton. Pada dasarnya,
orientasinya ditentukan oleh posisi dari semua instanton. Oleh karena itu, ke-(3Q
– 3) buah parameter orientasi dapat dilenyapkan sehingga meninggalkan 5Q buah
parameter dalam solusi ‘t Hooft11.
4.2 Konstruksi Atiyah-Drinfeld-Hitchin-Manin (ADHM)
Untuk sembarang bilangan instanton Q, solusi instanton tidak dapat dituliskan
secara eksplisit. Akan tetapi, ada kemungkinan untuk menuliskannya secara
implisist dengan menggunakan formalisme yang ditemukan oleh Atiyah, Drinfeld,
Hitchin dan Manin (ADHM) [13]. Deskripsi mereka dikenal sebagai konstruksi
ADHM12. Mereka menunjukkan bagaimana cara membangun solusi self-dual
umum dari teori Yang-Mills dengan sembarang grup kompak. Konstruksi mereka
memberikan solusi eksak untuk semua Q-instanton dengan jari-jari, posisi dan
orientasi sembarang serta memungkinkan dicakupnya secara lengkap ke-(8Q – 3)
buah parameter maksimal yang disyaratkan. Dengan metoda ADHM,
permasalahan kalkulus diferensial, untuk mencari solusi instanton, teralihkan
menjadi masalah aljabar. Prosedur konstruktif umum ini mereduksi persamaan
self-dualitas menjadi kondisi aljabar murni yang lebih mudah diselesaikan. Solusi
umum dan lengkap dari permasalahan aljabar ini secara eksplisit belum
ditemukan. Meskipun demikian, konstruksi aljabar dari Atiyah dkk. merupakan
cara terbaik untuk mendapatkan solusi lengkap dari permasalahan self-dualitas.
11 Solusi ‘t Hooft bukan merupakan solusi umum, sebab jumlah parameternya belum sesuai dengan parameter instanton. 12 Konstruksi ADHM semula diperoleh dengan menggunakan metoda twistor dan aljabar geometri. Twistor adalah tak lain daripada “spinor” (representasi fudamental) dari grup konformal dalam R4.
43
Berikut akan ditunjukkan bagaimana konstruksi ini bekerja untuk grup gauge
SU(2)13. Untuk grup ini medan gauge Aµ dan kuat medannya Fµν dapat dituliskan
dalam bilangan kuaternion (lihat apendiks A3).
Konstruksi ADHM dimulai dengan ansatz untuk potensial gauge SU(2) yaitu:
MiMA µµ ∂= + , (4.2.1)
dimana M = M(x) adalah vektor kolom kuaternion dengan (n + 1) elemen
kuaternion, yaitu:
[ ]n10T M,,M,MM K= . (4.2.2)
Vektor kuaternion M dibutuhkan untuk memenuhi kondisi normalisasi
2nn1100 IMMMMMMMM =+++= ++++ L (4.2.3)
dimana I2 adalah elemen satuan kuaternion. Karena kuaternion adalah matriks
komples 22× , maka M adalah matriks kompleks ( ) 22k2 ×+ , yaitu:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
22n21n
12n11n
221211
121111
220210
120110T
MMMM
MMMM
MMMM
ML
L (4.2.4)
Ansatz ini terlihat seperti penjumlahan suku-suku gauge murni [akan tetapi
kuaternion bukanlah elemen matriks SU(2) kecuali kalau mereka unimodular].
Jika n = 0 maka ( )2SUM0 ∈ , dan akan didapatkan potensial gauge murni. Untuk
n > 0, hal ini tidak akan menjadi masalah.
Perhatikan bahwa kondisi normalisasi memberikan:
0)M(MM)M()MM( =∂+∂=∂ µ++
µ+
µ (4.2.5)
seperti halnya untuk elemen suatu matriks SU(2). Oleh karena itu, Aµ adalah
Hermitian ( µ+µ = AA ) dan potensial gauge JAµ adalah real.
Transformasi gauge U - SU(2) dari potensial gauge Aµ mengakibatkan perubahan
berikut dalam M,
13 Untuk diskusi lebih lanjut mengenai konstruksi ADHM untuk berbagai grup gauge lihat paper Corrigan dkk. [6] dan Christ dkk. [19].
44
[ ]Tn10' UM,,UM,UMMUMM K==→ (4.2.6)
oleh karena itu, transformasi gauge mengubah elemen-elemen M dengan faktor
unimodular biasa.
Kuat medan gauge µνF didefinisikan dengan:
[ ]
( ) ( ) ( ) )(MMMMMMMM
)(AA)iA( )(AiAAiiF vv
ν↔µ−∂∂−∂∂+∂∂=
ν↔µ−+−∂=
ν↔µ−+∂−=−
ν++
µνµ+
ν+
µ
νµνµ
µµµν
(4.2.7)
atau
( )( ) )(MMMIMiF ν↔µ−∂−∂=− ν++
µµν . (4.2.8)
Perhatikan bahwa,
PMM =+ (4.2.9)
merupakan suatu operator proyeksi (lihat apendiks C3) terhadap M, dengan sifat-
sifat:
+++ ==== MPM ,MPM ,PP ,PP2 , (4.2.10)
dengan M adalah matriks kompleks, maka P adalah suatu matriks Hermitian
)2n2()2n2( +×+ dengan rank-2 yaitu: 2TrP = .
Dituliskan dalam P, kuat medan dalam pers. (4.2.8) menjadi:
( )( )( )( )( ) )(MP1P1M
)(MP1MiF
ν↔µ−∂−−∂=
ν↔µ−∂−∂=−
ν+
µ
ν+
µµν (4.2.11)
Gunakan,
( )( ) ( )
( )( ) ( ) MP1MP1P1MP1M
µµ
µ++
µ
∂−−=−∂
−∂−=−∂ (4.2.12)
maka,
( ) ( )[ ] ( )ν↔µ−−∂−∂=− νµ+
µν MP1P1MiF (4.2.13)
atau
[ ]MP,PMiF νµ+
µν ∂∂=− . (4.2.14)
45
Perhatikan bahwa
P1Q −= (4.2.15)
juga merupakan suatu proyektor, sebab QQ =+ dan QQ2 = yang merupakan
sifat-sifat dari P. Proyektor Q ini melenyapkan M, dengan
0MMPMMM)P1(MO =−=−=−= . (4.2.16)
Dengan mengambil trace (4.2.15), dimana I sekarang adalah matriks satuan
)2n2()2n2( +×+ , diperoleh n2 TrPTrIOTr 2n2 =−= + . Jadi, Q merupakan
matriks Hermitian )2n2()2n2( +×+ dengan rank – 2n.
Sehingga dituliskan dalam suku proyektor Q , kuat medan gauge (4.2.14) akan
menjadi:
[ ]MQ,QMiF νµ+
µν ∂∂=− . (4.2.17)
Karena Q adalah operator proyeksi, jadi dapat dituliskan sebagai:
+−+ ∆∆∆∆= 1)(Q (4.2.18)
dimana ∆ adalah matriks berelemen kompleks n2)2n2( ×+ atau matriks
berelemen kuaternion n)1n( ×+ . Lebih lanjut lagi, karena Q memusnahkan M,
yaitu:
[ ] 0M)(0MQ 1 =∆∆∆∆→= +−+ , (4.2.19)
maka ∆ harus memenuhi
0M =∆+ atau 0M =∆+ . (4.2.20)
∆ harus dipilih sedemikian rupa sehingga µνF adalah self-dual (3.3.14).
Untuk itu, substitusi Q dalam pers. (4.2.18) ke dalam persamaan kuat medan
(4.2.17) memberikan:
46
( ) ( )[ ][
]M)()())((
,)()())((M
M)(,)(MiF
111
111
11
+ν
−++−+ν
+−+ν
+µ
−++−+µ
+−+µ
+
+−+ν
+−+µ
+µν
∆∂∆∆∆+∆∆∆∂∆+∆∆∆∆∂
∆∂∆∆∆+∆∆∆∂∆+∆∆∆∆∂=
∆∆∆∆∂∆∆∆∆∂=−
(4.2.21)
Dengan menggunakan sifat ortogonal (4.2.20), pers. (4.2.21) direduksi menjadi:
[ ][ ] )(M)())((MiF 11 ν↔µ−∆∂∆∆∆∆∆∆∆∂=− +ν
−++−+µ
+µν , (4.2.22)
atau
( )( ) ( )( )[ ]MMiF 11 +µ
−+ν
+ν
−+µ
+µν ∆∂∆∆∆∂−∆∂∆∆∆∂=− . (4.2.23)
Perhatikan bahwa ∆ merupakan fungsi variabel kuaternion x, yang berkaitan
dengan titik 4Rx ∈µ (lihat apendiks A3). Elemen-elemen kuaternion dari M(x)
harus ditentukan sedemikian rupa agar Aµ merupakan solusi self-dual dari
persamaan gerak Yang-Mills. Agar Fµν dalam (4.2.23) adalah self-dual, maka
dipilih ∆ harus linear dalam x, yaitu:
bilanganb ),x)(b()a(
x=ττ+τ=
+=∆
αµµααµµ
ba (4.2.30)
dimana
a adalah matriks kuaternion n)1n( ×+ ,
b adalah matriks kuaternion n)1n( ×+ yang sebanding dengan σ4 dan,
bx berarti setiap elemen dari b dikalikan dengan x.
Parameter konstan dalam a dan b merupakan parameter dari solusi. Dengan kata
lain matriks-matriks ini yang akan menentukan solusinya. Matriks kuaternion a
dan b tidak dapat dipilih sembarang, akan tetapi, agar mengikuti konstruksi
aljabar hanya dimungkinkan jika ∆(x) memenuhi syarat:
∆+(x)∆(x) = R(x) = Rσ4, det R(x) ≠ 0 (4.2.31)
dimana R(x) merupakan matriks real nn × (yaitu elemen-elemen dari R adalah
bilangan real dikali matriks satuan 2-dimensi I2, sehingga komut dengan σ4) yaitu
47
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
σσσ
σσσσσσ
=
4kk42k41k
4k2422421
4k1412411
RRR
RRRRRR
R
L
MOMM
L
L
. (4.2.32)
Substitusi (4.2.31) ke dalam pers. (4.2.23), diperoleh:
[ ][ ][ ]M)(b)R(b)(b)R(bM
M)()b()R)(b(M
M)()R)(()()R)((MiF
10
10
10
10
10
+µνβαβ
−α
+νµβαβ
−α
+
µββ−
µαα+
+µ
−ν
+ν
−µ
+µν
ττττσ−ττττσ=
ν↔µ−ττσττ=
∆∂σ∆∂−∆∂σ∆∂=−
(4.2.33)
dimana telah digunakan (∆+∆)-1τµ = τµ(∆+∆)-1 yang menunjukkan mengapa ∆+∆ =
R, harus berelemen real dan bukan kuaternion. Agar self-dual maka dipilih:
( ),0b,0b,0b,bb 3210 ====α (4.2.34)
dengan b0 adalah matriks )nn( × sehingga pers. (4.2.33) menghasilkan:
( )[ ]
( ) Mb)R(bM
M)(b)R(bMiF
dualself
01
00
0001
00
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡ττ−ττσ=
ν↔µ−ττττσ=−
−
+µν
+νµ
−+
+νµ
−+µν
44 344 21
(4.2.35)
yang menjamin bahwa pers. (4.2.1) adalah solusi self-dual dari persamaan medan.
Pembangunan solusi eksplisit, dimulai dengan pemilihan matriks konstanta a dan
b secara khusus sehingga kondisi pers. (4.2.31) dipenuhi. Kondisi 0M =∆+
menentukan jumlah parameter bebas yang ada dalam solusi, dimana untuk SU(2)
ada (8n - 3) buah parameter. Jadi, n di sini adalah muatan topologi Q. Untuk
mendapatkan potensial gauge, pers. (4.2.20) harus harus terlebih dahulu
diselesaikan untuk memperoleh M. Namun, hal ini secara umum jauh lebih sulit.
48
4.3 Solusi Q-instanton SU(2) ADHM
Untuk mengilustrasikan konstruksi ADHM, berikut diturunkan solusi Q-instanton
untuk gauge SU(2)/ solusi ‘t Hooft14.
Mengikuti prosedur di atas, pertama dipilih:
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛ σλσλσλ
=
Q
2
1
4n4241
a00
0a000a
L
MOMM
L
L
L
a (4.3.1)
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
σ−
σ−σ−
=
4
4
4
00
0000000
L
MOMM
L
L
L
b (4.3.2)
dimana an = anµτµ menentukan posisi instanton ke-n dan λn = λnI2 adalah
ukurannya.
maka,
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−−
σλσλσλ
=+=∆
)xa(00
0)xa(000)xa(
x
Q
2
1
4n4241
L
MOMM
L
L
L
ba , (4.3.3)
dan
14 Solusi SU(2) yang lebih rumit dipelajari oleh Christ dkk. [19]. Secara khusus, mereka membahas permasalahan menemukan solusi Q-instanton untuk instanton dengan orientasi SU(2) yang berubah-ubah.
49
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
σλ
σλσλ
=∆
+
+
+
+
Q41
241
141
y00
0y000y
L
MOMMM
L
L
(4.3.4)
dimana telah dituliskan: -σ4x = -x.
Misalkan,
yn = an - x (4.3.5)
maka (∆+∆) diberikan oleh
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+σσλλσλλ
σλλ+σσλλ
σλλσλλ+σ
=∆∆+
2Q
24
2Q42Q41Q
4Q22
224
22412
4Q14212
124
21
yx
yxyx
L
MOMM
L
L
. (4.3.6)
Karena,
02
n2
n yy σ= (4.3.7)
dimana:
( ) ( ) Raxaxy 24n
421n
12n ∈−++−= L (4.3.8)
maka,
( )( )
( ) ⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
σ+λσλλσλλ
σλλσ+λσλλ
σλλσλλσ+λ
=∆∆+
42
Q2
Q42Q41Q
4Q242
22
2412
4Q142142
12
1
y
yy
L
MOMM
L
L
(4.3.9)
adalah matriks kuaternion real ( )kk × , yaitu setiap elemennya sebanding dengan
σ4 seperti yang dibutuhkan.
Selanjutntya, dari kondisi M+∆ = 0, yaitu:
[ ] 0
y00
0y000y
MMM
Q
2
1
4Q4241
Q10 =
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛ σλσλσλ
+++
L
MOMM
L
L
L
L (4.3.10)
50
diperoleh
0yMM
0yMM
0yMM
QQ0Q
2202
1101
=+λ
=+λ
=+λ
++
++
++
M (4.3.11)
atau,
0yMM nn0n =+λ ++ “tidak dijumlahkan” (4.3.12)
Selanjutnya, pers. (4.3.12) dikalikan dengan +ny dari kanan menghasilkan:
0yyMyM nnnn0n =+λ ++++ (4.3.13)
karena,
42
n2
nnnnn yyyyyy σ=== ++ (4.3.14)
maka diperoleh:
+++ λ−= n02
n
nn yM
yM . (4.3.15)
Kemudian, dari normalisasi M+M = σ4 = 1, didapatkan:
4
Q
1nnn02
n
i00
4
Q
1inn00
MyMy
MM
MMMM
σ=λ
−
σ=+
∑
∑
=
+++
=
++
(4.3.16)
Gunakan (4.3.12) untuk menggantikan Mn dalam (4.3.16), menghasilkan:
[ ]
Iy
1MM
IMMy
MM
IMMy
MM
Q
1n2
n
2n
00
Q
1n002
n
2n
00
Q
1n0n02
n
n00
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ λ+
=λ
+
=λ−λ
−
∑
∑
∑
=
+
=
++
=
++
(4.3.17)
maka diperoleh
401M σφ
= , (4.3.18)
51
dan
( )
( ) φ⋅
−
λ=
φ⋅
−
−λ= +
1ax
1ax
axM
n
n2
n
nnn (4.3.19)
dimana:
2Q
Q2
1
1
Q
1n2
n
n
)ax()ax(1
)ax(1
−
λ++
−λ
+=
−λ
+=φ ∑=
L
(4.3.20)
yang tak lain adalah fungsi ansatz skalar untuk solusi ‘t Hooft (pers. 4.1.10).
Namun diperlukan pilihan yang lebih tepat untuk pers. (4.3.1) dan (4.3.2), agar
diperoleh solusi umum multi-instanton SU(2).
4.4 Interaksi Instanton
Karena sifat self-dualitas, solusi Q-instanton (atau Q-anti-instanton) memenuhi
batas bawah pada aksi total, yaitu
Qg
8S 2
2π= . (4.4.1)
Untuk sembarang Q yang diberikan semua solusi instanton memiliki aksi yang
sama seperti pada persamaan di atas. Ini artinya bahwa, tidak terdapat interaksi
antara instanton dalam teori medan gauge murni. Karena instanton memperoleh
nilai aksi yang diskrit, maka solusi instanton dengan Q yang berbeda, tidak dapat
ditransformasikan ke solusi yang lain melalui deformasi kontinu dari potensial
gauge. Oleh karena itu aksinya tidak bergantung pada kedudukan instanton. Hal
ini menyatakan bahwa, instanton tidak berinteraksi dengan instanton, demikian
juga anti-instanton dengan anti-instanton. Namun, pernyataan ini tidak berlaku,
jika pusat dari kedua instanton dibuat berimpit. Maka, seperti terlihat pada pers.
(4.3.20), dua instanton akan bergabung menjadi satu instanton dengan parameter
ukuran baru, dan satuan muatan topologinya tinggal satu.
52
Terdapat interaksi logarithmic antara instanton dan anti-instanton. Penjelasannya
sebagai berikut. Tinjau satu instanton dan satu anti-instanton dengan jarak pisah
yang besar R ( >> R ukuran instanton). Potensial gauge yang menggambarkan
situasi ini adalah:
µµµ += AAZ (4.4.2)
dimana µA dan µA berturut-turut adalah potensial dari instanton dan anti-
instanton. Zµ adalah solusi aproksimasi dari persamaan gerak. Kuat medan
dihitung dari Zµ adalah
( )cbcbabc
aaa AAAAgFFZ µννµµνµνµν −ε++= . (4.4.3)
Selanjutnya, perhatikan kontribusi suku terakhir pada aksi total. µA dan µA
berturut-turut berkelakuan seperti x1 dan Rx1 − , (instanton dilokasikan pada
titik asal), dan di dalam menghitung aksinya didapat kontribusi Rln~ yang
berasal dari daerah x-yang kecil. Jelas bahwa interaksi logarithmic ini bersifat
atraktif, yaitu ketika instanton dan anti-instanton saling mendekati, mereka
cenderung saling memusnahkan. Dan ketika pusatnya berimpit, serta memiliki
ukuran yang sama, maka pemusnahannya akan sempurna dan menghasilkan gauge
murni (muatan topologi totalnya adalah nol).
53
BAB V KONSTRUKSI ADHM UNTUK GRUP GAUGE U(N)
Do not worry about your difficulties in
mathematics. I can assure you mine are still
greater.
Albert Einstein
Pada bab sebelumnya telah dibahas konstruksi solusi instanton ADHM, dan
ditunjukkan juga bahwa dengan konstruksi ini, dapat diperoleh solusi eksplisit
multi-instanton untuk grup SU(2). Kenyataan ini memberikan harapan guna
menemukan solusi multi-instanton untuk grup yang lebih umum dari SU(2),
seperti U(N) atau SU(N)15. Dalam bab terakhir ini, konstruksi ADHM diperumum
untuk grup gauge U(N), yang dicobakan untuk menurunkan solusi 2-instanton
dari grup gauge U(N) [17, 18]. Penurunannya mengikuti prosedur yang sama
seperti dalam bab sebelumnya dengan beberapa penyesuaian untuk data ADHM.
5.1 Deskripsi solusi Q-instanton U(N) ADHM
Konstruksi ADHM untuk U(N), dimulai dengan matriks kompleks [ ]Q2Q2N ×+∆ 16,
yang didefinisikan linear terhadap koordinat ruangwaktu x, menurut (4.2.30):
222Q)Q2N(2Q)Q2N(2Q)Q2N(Q2)Q2N( x)x()x( ×××+××+××+×+ +=∆=∆ ba . (5.1.1)
Di sini indeks 2Q telah dikomposisikan sebagai produk langsung dari indeks Q
dan 2, sedangkan: cbbaca BA)AB( ××× = . Matriks a dan b adalah matriks konstan
15 Konstruksi konfigurasi instanton ADHM tidak berlaku untuk N = 1, karena instanton ADHM merupakan fenomena teori gauge non-Abelian. 16 Notasi subscript menunjukkan ukuran dari baris dan kolom pada matriks.
54
bernilai kompleks yang mengandung data ADHM yang menggambarkan
instanton. Di sini x direpresentasikan sebagai kuaternion:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−++
=
+++=×
12
21
3412
1234
432122
zzzz
ixxixxixxixx
1xkxjxixx, (5.1.2)
dimana telah diperkenalkan koordinat kompleks z1 dan z2.
Secara umum, nullspace dari matriks Hermitian konjugat ( )x∆ adalah berdimensi
N, karena barisnya berjumlah N buah lebih banyak daripada jumlah kolom.
Vektor basis untuk nullspace ini dapat dituliskan dalam suatu matriks kompleks
M(x) berdimensi ( ) NQ2N ×+ yaitu:
0MM Q2)Q2N()Q2N(NN)Q2N()Q2N(Q2 =∆=∆ ×++××++× . (5.1.3)
Matriks M(x), selanjutnya dipilih ternormalisasi, yakni:
NNN)Q2N()Q2N(N 1MM ××++× = (5.1.4)
Medan gauge instanton Aµ(x) akhirnya dibangun dari matriks M(x). Untuk
muatan topologi Q = 0, medan gauge diberikan melalui transformasi gauge
vakum/ gauge murni:
( ) NQ2NmQ2NNNN MMA ×++××µ ∂= (5.1.5)
yang otomatis akan memenuhi persamaan self-dual (3.3.14).
Dalam konstruksi ADHM, rumusan (5.1.5) akan diambil sebagai ansatz, dengan
M dipilih sedemikian rupa sehingga memberikan solusi persamaan self-dual untuk
semua Q ≠ 0. Ansatz ini mengimplikasikan kondisi faktorisasi:
1QQ222Q)Q2N()Q2N(Q2 F1 −
××××++×× =∆∆ (5.1.6)
dimana F(x) adalah matriks Hermitian berdimensi QQ× yang bergantung pada x.
Gabungkan pers. (5.1.6) dengan syarat nullspace (5.1.3), maka pers. (5.1.6)
menghasilkan hubungan kelengkapan:
)Q2N(NN)Q2N()Q2N()Q2N()Q2N(Q2QQ2Q)Q2N( MM1F +××++×++×××××+ −=∆∆ (5.1.7)
55
Dengan menggunakan pers. (5.1.5, 5.1.6, 5.1.7) dan memanfaatkan kondisi
normalisasi (5.1.4), kuat medan pers. (2.2.32), dinyatakan dalam M, adalah self-
dual (pembuktiannya mengikuti prosedur dalam pasal 4.4).
Medan gauge (instanton) klasik yang akan dibangun memiliki grup gauge U(N)
[Untuk menentukan medan gauge instanton SU(N) klasik, kita dapat melakukan
transformasi gauge 1UgU → , dimana )1(Ug1 ∈ ]. Selanjutnya, untuk kemudahan,
ditetapkan indeks-indeks berikut untuk objek-objek yang merupakan data ADHM
(matriks M, ∆, a, b dan F, yang mengandung σ dan x):
4 3, 2, 1, , :(4) Lorentz indeks 2 1,β α, β, α, :(2) / Weylkuaternion indeks
2QN ,1 :2Q)(N ADHM indeks N vu,1 :(N) gauge grup indeks
Qn m, l,1 :(Q)instanton bilangan indeks
=νµ=
+≤ϑζ≤+≤≤≤≤
L
L&
L
L
L
(5.1.8)
Dalam konvensi ini pers. (5.1.1) menjadi:
αββζαζαζ +=∆ &&& x)x( lll ba , (5.1.9)
dimana konjugatnya adalah:
ζα
ααζαζβ
βαζαζααζ +=+=∆=∆=∆ mmmmmm xx)( baba &&&&&& . (5.1.10)
Kondisi faktorisasi (5.1.6) adalah:
( )lm1lm F−β
ααλζβ δ=∆∆ &
&&
& . (5.1.11)
Substitusikan pers. (5.1.9) ke dalam pers. (5.1.10) memberikan:
( )( ) ( )( )lm1
mlmlmlml
lm1
mmll
Fxxxx
Fxx−β
ααββζ
ζβ
ββαζ
ζβ
ββαβ
βζ
ζβαζ
λβ
−βααβ
βζαζ
ζβ
ββζβ
δ=+++
δ=++&
&&
&
&
&
&
&
&
&
&
&&&
&&
bbabbaaa
baba
Dengan demikian, definisi ∆(x) dan kondisi faktorisasi menyatakan secara tidak
langsung kondisi-kondisi berikut dalam a dan b:
βα
βααζ
ζβ δδ=&
&
&
&&
& ~ )( lmml aaaa (5.1.12)
βζ
βζβζ
ζβ =&&
mlml abba (5.1.13)
βα
βα
βζ
ζα δδ= ~ )( lmml bbbb (5.1.14)
56
Pers. (5.1.12, 5.1.13, 5.1.14) merupakan kendala ADHM. Matriks a dan b
mengandung koordinat kolektif dari konfigurasi medan gauge Q-instanton, dan
jumlah koordinat ini bertambah menurut Q2. Namun demikian, jumlah koordinat
fisis yang dibutuhkan untuk menggambarkan Q-instanton U(N) adalah 4NQ,
termasuk rotasi gauge global dari medan gauge. Oleh karena itu, matriks a dan b
bersama-sama membentuk sekumpulan koordinat kolektif yang berlebihan.
Beberapa koordinat yang tidak diperlukan dapat dibuang melalui transformasi
bergantung-x yang tetap mempertahankan invarian kendala ADHM, yakni:
( ) ( )
,BfBf
,MM
,B
QQQQQQQQ
N)Q2N()Q2N()Q2N(N)Q2N(
1QQ2QQ2N)Q2N()Q2N(2QQ2N
+××××
×++×+×+
−×××++×+××+
→
Λ→
∆Λ→∆
(5.1.15)
dimana )Q2N(U)Q2N(: +∈+Λ dan )C,Q(GLB∈ .
Gunakan sifat simetri (5.1.15), representasi a dan b dapat dibawa ke bentuk
kanonik berikut, dimana derajat kebebasan berlebihan dari matriks b tereliminasi:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
×
××+ '
Q2Q2
Q2NQ2)Q2N( a
ua , ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
×
××+
Q2Q2
Q2NQ2)Q2N( I
0b . (5.1.16)
dimana sub-matriks u adalah matriks kompleks. Semua elemen sub-matriks
lm'' )a(a αα≡ & , juga direpresentasikan dengan menggunakan basis kuaternion:
,)a()a(a ,)a()a(a lm'
lm''
lm'
lm'' αα
νναα
αναναα σ==σ== &&&& (5.1.17)
Selain invariansi di bawah transformasi (5.1.15), terdapat pula simetri sisa yang
muncul dari simetri konstruksi ADHM dalam persamaan tadi. Yakni, bentuk
kanonik b, yang diberikan dalam pers. (5.1.16), adalah invarian dibawah rotasi
global )C,Q(GLQ2N(U)Q(U ×+∈ , yang bekerja pada [ ] Q2Q2N ×+∆ menurut:
Q2Q2Q2)Q2N(Q2Q2NQ2
Q2NNNQ2)Q2N( 0
01××+
××
×××+ Λ∆⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Λ
→∆ (5.1.18)
dimana 22QQQ2Q2 1 ××× Ω=Λ dan )k(UQQ ∈Ω × . Simetri sisa U(Q) ini dapat
digunakan untuk menyederhanakan bentuk akhir dari solusi kendala ADHM.
Dengan a dan b dalam bentuk kanonik, kendala ADHM pers. (5.1.14) otomatis
dipenuhi, dan 2 kendala yang lain akan memberikan:
57
0)(Tr j2 =σ α
βαβ &
&&& aa (5.1.19)
lmlm' )a()a( ν
+ν = (5.1.20)
Matriks Pauli σj telah digunakan untuk menyingkatkan hasil ),( aa (Tr2
menunjukkan trace meliputi indeks kuaternion), sehingga kendala pers. (5.1.19)
memberikan 3 persamaan yang berbeda.
Konstruksi instanton U(N) dalam kasus ini, tidaklah harus menggunakan
kuaternion untuk menurunkan kendala ADHM. Dapat pula digunakan matriks
kompleks sebagai gantinya seperti berikut:
( )
( ) ( )
kompleks matriks)ai(a)ai(-a)ai(a)ai(a
uu
kuaternion matriksau
QQ'3
'4QQ
'1
'2
QQ'1
'2QQ
'3
'4
QN2QN1
'22Q
2QN2Q2QN
←⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−+++=
←⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
××
××
××
×
××+a
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−≡
××
××
××
kk11kk12
kk12kk11
kN2kN1
rrrruu
, (5.1.21)
dimana telah diperkenalkan matriks kompleks u1, u2, r11 dan r12, dengan:
.iaar iaar
iaar iaar'1
'212
'1
'212
'3
'411
'3
'411
−=+=
−=+= (5.1.22)
Bentuk kanonik b dalam pers. (5.1.16) tetap tidak berubah. Kemudian namakan
elemen uα sebagai uα,uv, dengan menggunakan indeks yang ditetapkan diatas dan
gunakan indeks penempatan yang sama untuk elemen-elemen kompleks
konjugatnya (misalnya, untuk u1,11 : 1,1111,1 uu ≡∗ ).
Berikut ditinjau kasus Q = 2. Matriks 'a , untuk kasus ini, hanya mengandung 2
matriks kompleks (r11 dan r12), berukuran 22× sebagai pengganti 4 matriks
Hermitian lm' )a( ν berukuran 44× dalam rumusan sebelumnya.
58
Dengan matriks a dalam pers. (5.1.21) diperoleh,
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−+−+++
=11111212221211111212
11121211211212111111
rrrruurrrruurrrruurrrruu
aa . (5.1.23)
Bandingkan dengan pers. kendala ADHM pers. (5.1.12), dimana
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==δ ×
βα 10
01I 22
&
& (5.1.24)
diperoleh kendala ADHM17 untuk Q-instanton yang dinyatakan dalam matriks
kompleks 211211 udan u,r,r . Yaitu:
0rrrruu0rrrruu
1211111212
1112121121
=−+=−+
(5.1.25)
yang merupakan kendala ADHM kompleks, dan
0rrrrrrrruuuu 12121212111111112211 =−+−+− (5.1.26)
kendala ADHM real.
Akan tetapi, untuk kasus Q ≥ 2, kedua persamaan matriks ini akan mengandung
elemen real dan kompleks. Jadi, kendala pers. (5.1.19) memberikan kendala
ADHM Q-instanton U(N) utama, yaitu: pers. (5.1.25) dan (5.1.26).
5.2 Parameter kendala Q = 2 instanton U(N) ADHM
Dalam pasal ini akan dihitung jumlah paramater bebas real yang harus dimiliki
oleh solusi kendala ADHM. Matriks a, dalam pers. (5.1.21) mengandung
)Q2N(Q4 + parameter (derajat kebebasan) real. Penerapan kendala ADHM, pada
pers. (5.1.19) dan (5.1.20) secara berturut-turut, mengambil 3Q2 dan 4Q2
parameter real dari elemen a. Selanjutnya, simetri sisa, yakni: rotasi gauge global
U(Q), menghilangkan Q2 parameter real. Jadi, parameter total dari elemen adalah:
4Q(N + 2Q) - 3Q2 - 4Q2 - Q2 = 4QN (5.2.1)
17 Tidak ada analogi untuk kendala ADHM pers. (5.1.20) dalam perumusan ini, sebab bagian real maupun kompleks dari sub-matriks 'a sudah dimuat dalam r11 dan r12.
59
Untuk mendapatkan solusi dengan derajat kebebasan fisis murni yang hanya
mengandung jumlah koordinat kolektif yang tepat: penentu posisi, ukuran dan
orientasi (dalam ruang grup) dari Q-instanton, simetri rotasi gauge global U(N)
harus disisihkan. Hasilnya, jumlah parameter fisis bebas yang tersisa untuk SU(N)
menjadi:
4NQ – (N2 + 1) (5.2.2)
5.3 Kendala solusi Q = 2 instanton U(N) ADHM
Kendala ADHM mengandung tingkat kompleksitas18 yang tinggi, terlihat dari
pers. (5.1.25, 5.1.26). Dalam menentukan solusi yang paling umum dari kendala-
kendala ini, untuk Q = 2, yang memiliki 8N parameter bebas real, terlebih dahulu
dicari solusi dengan 8N + 4 parameter real. Kemudian simetri U(2) disisihkan,
yang secara efektif menyisihkan 4 parameter real dari ke-(8N + 4) buah
parameter tadi.
Untuk mempermudah notasinya, ambil:
∑∑==
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
N
1v 2v,1
1v,11
N
1v
2v,11v,11 0u
0uu ,
00uu
u (5.3.1)
∑∑==
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
N
1v 2,2v
2,1v2
N
1v
2v,21v,22 0u
0uu ,
00uu
u (5.3.2)
Dengan demikian, kuantitas-kuantitas dalam data ADHM, yang ada pada matriks
a, secara eksplisit, berbentuk sebagai berikut:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≡⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= ∑
= tz
yxN
1v 2v,21,2v1v,21,2v
2v,21,1v1v,21,1v21 UU
UU
uuuuuuuu
uu (5.3.3)
18 Indikasi dari keruwetan ini telah terlihat dari permulaan konstruksi ADHM, dimana hanya sedikit konfigurasi 3-instanton yang ditemukan, semuanya untuk grup Sp(1) ≈ SU(2) dan memiliki 21 parameter. Belum ditemukan konfigurasi instanton umum eksak dengan muatan topologi sama dengan atau lebih besar dari 3. Beberapa konfigurasi Q-instanton telah ditemukan, tetapi semuanya tidak merupakan solusi umum dari kendala ADHM merujuk pada jumlah parameter yang menggambarkannya.
60
∑=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−−
−−=−
N
1v2
2v,22
2v,12v,22,1n2v,11,1v
2v,22,1v2v,11,1v2
1v,22
1v,12211
uuuuuu
uuuuuuuuuu
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
≡423
21
UUUUU
(5.3.4)
Perhatikan bahwa dalam pers. (5.3.3, 5.3.4), indeks jumlah v berjalan dari 1
hingga N, dimana N dalam penjumlahan ini berkaitan dengan rank dari grup
gauge U(N). Selanjutnya dilakukan perubahan variabel sedemikian rupa, yang
hanya mengakibatkan perubahan pada elemen diagonal dari matriks r11, r12, yaitu:
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
+=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
+=
0
0
11
0
0
11
x21ab
cx21a
r ,x
21ac
bx21a
r (5.3.5)
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−αβ
γ+α=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−αγ
β+α=
1
1
12
1
1
12
x21
x21
r ,x
21
x21
r (5.3.6)
dimana C β, α, c, b, a, , x, x,x 210 ∈γ . Hal ini dilakukan agar interpretasi fisis
dari konfigurasi instanton U(N) dengan Q = 2, lebih jelas, serta
menyederhanakan perhitungan yang menyangkut r11 dan r12. Hasil utamanya
adalah solusi kendala ADHM U(N) untuk Q = 2 dengan (8N + 4) buah parameter
real, yaitu:
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−−−
−−
−+
=
0221
20
z
x0
1
y
1
z22
12
00
11
x21a
)1u(xx)PuP(ux
UUx
xU
xU
)1u(xx)PuP(x
x21a
r , (5.3.7)
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−α−
−−
−−−+α
=
1221
21
221
21
z
x11
12
x21
)1u(xx)PuP(x
)1u(xx)PuP(ux
UUxx
21
r , (5.3.8)
dimana
61
21
20
2z
y
y
x21
22
21y10z10
xxx
UU
u
UUxxUxUxxUxxP
+=
≡
−−+≡
(5.3.9)
Selain itu, termasuk pula kondisi-kondisi berikut yang berasal dari kendala
(5.1.25, 45.1.26), yang bersama dengan pers. (5.3.7, 5.3.8), menghasilkan solusi
umum dari kendala ADHM U(N) untuk Q = 2. Pertama, dihitung dahulu
kuantitas-kuantitas berikut:
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
++−−++−
++−++++=
22000
200
0022
0002
1111
cx41ax
21xa
21axc
21acbx
21ba
xc21acbx
21babx
41ax
21xa
21a
rr
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
++−−−++
−++++++=
22000
200
0022
0002
1111
bx41ax
21xa
21axc
21acbx
21ba
xc21acbx
21bacx
41ax
21xa
21a
rr
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+α−α−α+γγ+αγ+β−βα
γ+αγ+β−βα+α+α+β+α=
2111
2211
112
11122
1212
x41x
21x
21x
21x
21
x21x
21x
41x
21x
21
rr
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+α−α−α+βγ−αγ+β+βα
γ−αγ+β+βα+α+α+γ+α=
2111
2211
112
11122
1212
x41x
21x
21x
21x
21
x21x
21x
41x
21x
21
rr
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+α−−α+γγ+γ+−α
+α+β−ββ++α++α=
100101
101001
1112
xx41x
21xa
21acx
21axb
21b
xc21cx
21abxx
41x
21xa
21a
rr
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+α−−α+βγ−γ++α
−α+β+βγ++α++α=
100101
101001
1211
xx41x
21xa
21abx
21axb
21b
xc21cx
21acxx
41x
21xa
21a
rr
Dari sini, didapatkan untuk pers. (5.1.25):
62
0
cbUxxbUxcxUbcU
0rrrruu
t01z
10yx
1112121121
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
γ−β+γ−+−β+β−γ+
=−+
Ambilkan trace dari persamaan diatas diperoleh:
( )
0U U 0γcβbUβbγcU0rrrruuTr
tx
tx
1112121121
=+=−++−+
=−+
atau,
tx UU −= . (5.3.10)
Kendala ADHM pers. (5.1.26) selanjutnya menghasilkan:
0
cbUxxxcxbUxxxcxbUbcU
0rrrrrrrruuuu
2222411002
110022222
1
12121212111111112211
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
β−γ+−+β−γ+−+
β−γ+−+γ−β+−+
=−+−+−
Dengan cara yang sama, diperoleh:
( )
0UU 0cbUbcU
0rrrrrrrruuuuTr
41
22224
22221
12121212111111112211
=+
=β−γ+−++γ−β+−+
=−+−+−
atau,
222241 cbUU β−γ+−=−= . (5.3.11)
Dalam solusi pers. (5.3.7) – (5.3.11), masih terdapat simetri sisa U(Q), yang mana
penyisihannya mereduksi jumlah parameter bebas menjadi 8N. Aksi simetri U(Q)
menurut pers. (5.1.18) pada sub-matriks a adalah sebagai berikut:
( ) ( )ΩΩ→ 2121 uuuu , (5.3.12)
Ω⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
Ω→⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+
1112
1211
1112
1211
rrrr
rrrr
, (5.3.13)
dimana )2(U∈Ω untuk muatan topologi Q = 2. Transformasi khusus Ω ini dapat
digunakan untuk membuat Ux = 0 dan u1,11 = 0.
63
Dengan transformasi U(2) dapat dibangun solusi instanton ADHM U(N) untuk Q
= 2 yang mempunyai interpretasi fisis tertentu. Bentuk solusi 8N-parameter,
mengikuti bentuk solusi (8N + 4)-parameter menurut pers. (5.3.7) – (5.3.11),
adalah:
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−−
−−
−+
=
0221
20
1
y
1
z22
12
00
11
x21a
)1u(xx)RuR(ux
xU
xU
)1u(xx)RuR(x
x21a
r , (5.3.14)
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−α−
−−
−−+α
=
1221
21
221
21
1
12
x21
)1u(xx)RuR(x
)1u(xx)RuR(uxx
21
r , (5.3.15)
dimana R adalah
22
1y10z10 UxUxxUxxR −+≡ (5.3.16)
Kondisi pers. (5.3.10) dan (5.3.11) (dengan Ux = 0 dan u1,11 = 0) melengkapi
spesifikasi solusi instanton ADHM U(N) Q = 2. Untuk kasus N = 2, konfigurasi
2-instanton eksplisit dapat diasumsikan mempunyai bentuk sederhana yang
khusus. Melanjuti pemilihan untuk simetri U(2), untuk 2-instanton U(2)
diperoleh:
(i) Dari kendala ADHM pers. (5.3.3), :)2 ,1v2N( =→=
0uuuuU 21,21,211v,21,1vx === (5.3.17)
22,21,212v,21,1vy uuuuU == (5.3.18)
21,21,2211,21,121v,21,2vz uuuuuuU +== (5.3.19)
22,21,2212,21,122v,21,2vt uuuuuuU +== (5.3.20)
dan selanjutnya jika diambil 0u 21,1 = , maka 0U y = dan tz U,U tetap.
(ii) Dari kendala ADHM pers. (5.3.4)19,
19 Supaya U1 konsiten dengan pers. (5.3.11) maka U1 < 0, sehingga solusi 2-instanton U(2) dengan simetri bantu U(2) merupakan solusi yang valid. (U1 > 0tidak memenuhi).
64
2
21,22
11,22
1v,22
1v,11 uuuuU −−=−= (5.3.21)
)uuuu(uuuuU 22,22,2112,22,112v,22,1v2v,11,1v2 +−=−= (5.3.22)
dengan pemilihan ini, setiap elemen yang bukan diagonal dan sebanding dengan
Uy akan lenyap, dan matriks r11 dan r12 dalam pers. (5.3.14) dan (5.2.15) untuk
2N = tersederhanakan menjadi:
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−+
=
0
21
22
210z
201
0
11
x21a0
xx
UxxUxxx
21a
r , (5.3.23)
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+α−
+α
=12
12
22
11z2
00
1
12x
21
xx
UxxUxx
0x21
r . (5.3.24)
Dengan menggunakan pers. (5.3.18) – (5.3.22) dan memilih u1,21 = 0, u1,12 dapat
dieliminasi melalui hubungan Ux = -Ut = 0, [pers. (5.3.10)], yang membuat Uz
sebanding dengan 22,1u . Sedangkan modulus u1,22 dapat dilenyapkan melalui
41 UU −= [pers. (5.3.11)], dan kendala yang sisa, hubungan kedua dalam pers.
(5.3.11), melenyapkan bagian imajiner u1,22, melalui hubungan kuadratik dalam
kuantitas ini20.
Jumlah parameter bebas real yang tersisa dalam solusi kini menjadi 16 buah (8
dari u2,11, u2,12, u2,21, u2,22 dan 8 dari a, α, x0, x1), yang mana adalah sesuai
dengan hasil umum 8N = 16 parameter real menurut penghitungan parameter
dalam pers. (5.2.1). Jadi, dengan penyisihan simetri sisa U(2), data ADHM diatas
menggambarkan solusi dengan 16 buah parameter, yang unik, dari kendala
ADHM untuk grup gauge U(2) dan muatan topologi Q = 2.
20 Prosedur yang sama telah dilakukan untuk N = 3, dimana kendala pers. (5.3.11) menjadi lebih ruwet, namun pemilihan lain elemen dalam u1 dan u2 untuk dieliminasi dapat dipilih untuk memudahkan hal ini.
65
Untuk kasus grup gauge U(N), dengan N > 1, pengidentifikasian parameter fisis
dari solusi instantonnya dilakukan sebagai berikut. Koordinat pusat massa
instanton (koordinat translasi) diberikan oleh a dan α, yang sebanding dengan xµ
dan dapat diambil sama dengan nol. Posisi relatif instanton diambil x0 dan x1.
Selanjutnya, skala ukuran dapat dinyatakan dengan menggunakan definisi yang
diberikan untuk skala ukuran Q-instanton U(N) sebagai berikut:
( )∑∑==
−=−=ρN
1v
21v,2
21v,1
N
1v
22v,24
21 uu
21u
21U
21 , (5.3.25)
( )∑∑==
−=−=ρN
1v
22v,2
22v,1
N
1v
21n,21
22 uu
21u
21U
21 . (5.3.26)
Orientasi gauge global (yang mengikutsertakan iso-orientasi untuk sembarang
pemilihan N) diberikan oleh parameter sisa yang terdapat dalam sub-matriks u1
dan u2, karena mereka merotasikan 2-instanton dalam ruang grup U(N). Melalui
sub-matriks ini, sembarang 2-instanton U(N) dapat ditentukan. Dengan demikian,
untuk solusi U(2) yang diberikan di atas, jarak relatif instanton adalah x0, x1,
posisi pusat massa instanton adalah a, α, dan kedua skala ukuran instanton
adalah ρ1 dan ρ2, seperti didefinisikan dalam pers. (5.3.25) dan (5.3.26). Keenam
iso-orientasi U(2) terkandung dalam elemen-elemen sisa u2,11, u2,12, u2,21, u2,22
bersama dengan kondisi yang menghubungkannya.
Sekarang dapat dihitung parameter yang muncul dalam solusi 2-instanton U(N).
Koordinat translasi instanton dan jarak relatif, a, α, x0, x1, memberikan 8 buah
parameter. Terdapat 2 skala ukuran, ρ1, ρ2, yang diberikan oleh pers. (5.3.25)
dan (5.3.26); keduanya merupakan parameter real. Juga terdapat, untuk Q = 2,
(4N -5)Q = 8N – 10 buah iso-orientasi real. Jumlahkan semuanya memberikan:
8N – 10 + 8 + 2 = 8N buah parameter real, sesuai dengan perhitungan jumlah
parameter menurut pers. (5.2.1).
66
5.4 Solusi Q = 2 instanton U(N)
Setelah pada dua bab sebelumnya ditentukan kendala dan parameter kendala
solusi instanton U(N) Q = 2, maka sekarang dapat diuraikan konstruksi medan
gauge instanton Aµ dan menunjukkan bagaimana medan gauge (solusi) untuk
U(N) dengan Q = 2 dapat diperoleh dari solusi 8N-parameter yang diberikan oleh
pers. (5.3.10, 11) dan (5.3.14 – 5.3.16). Ambil dekomposisi untuk objek ADHM,
∆ dan M seperti:
( )'Q2NNN)Q2N(N'
NQ2
NNN)Q2N( MVM ,
MV
M ××+××
××+ =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= (5.4.1)
( )'Q2Q2NQ2)Q2N(Q2'
Q2Q2
Q2NQ2)Q2N( u ,
u××+×
×
××+ ∆=∆⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∆
=∆ (5.4.2)
Pertama Aµ dibangun dengan cara menentukan M dalam suku ∆. Hubungan
kelengkapan dalam pers. (5.1.7) dapat juga dituliskan dengan,
)Q2N(Q2QQ2Q)Q2N()Q2N()Q2N()Q2N(NN)Q2N( FIMM +×××××++×++××+ ∆∆−= . (5.4.3)
Substitusi dekomposisi pers. (5.4.1) dan (5.4.2) ke dalam persamaan di atas
diperoleh:
( ) ( )
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∆∆∆∆
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∆⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∆
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
××××××
××××××
××
××
××××
××××
××××
××
×
×
××
××××
×
×
'Q2Q2QQ
'Q2Q2NQ2QQ
'Q2Q2
'Q2Q2QQQ2NNQ2QQQ2N
Q2Q2Q2N
Q2NNN'
Q2N'
NQ2NN'
NQ2
'Q2NNNNNNN
'Q2Q2NQ2
QQQQ
QQQQ'
Q2Q2
Q2N
Q2k2Q2N
Q2NNN'Q2NNN'
NQ2
NN
FuFFuuFu
I00I
MMVMMVVV
uFFFFu
I00I
MVMV
Secara eksplisit setiap komponen persamaan di atas adalah
NQ2QQQ2NNNNNNN uFuIVV ×××××× −= (i)
'Q2Q2QQQ2N
'Q2NNN ∆FuMV ××××× −= (ii)
NQ2QQ'
q2Q2NN'
NQ2 uFVM ××××× ∆−= (iii)
'Q2Q2QQ
'Q2Q2Q2Q2
'QN
'NQ2 FIMM ×××××× ∆∆−= (iv)
dari pers. (i) diperoleh:
uuFIVVV 2 −== . (5.4.4)
67
Sembarang matriks V yang memenuhi pers. (5.4.4) dihubungkan satu sama lain
melalui transformasi gauge NVgV → , dimana )N(Ug N ∈ . Pemilihan V secara
khusus berhubungan dengan penentuan gauge (lokal) dari instanton. V (dalam
singular gauge) diberikan oleh salah satu akar matriks pada pers. (5.4.4)
( ) 21
uuFIV −= . (5.4.5)
Selanjutnya, dari pers. (iii) dapat diperoleh ekspresi 'M dinyatakan dalam V yaitu:
1''
''
VuFMuFVM
−∆−=
∆−= (5.4.6)
Pers. (5.4.5) dan (5.4.6) yang menentukan M dalam pers. (5.4.1), dan juga medan
gauge Aµ melalui pers. (5.1.5).
Selanjutnya, untuk memulai prosedur ini, pertama harus ditentukan matriks
Hermitian .F QQ× Untuk Q = 2, gunakan pers. (5.1.1) dan (5.1.2) untuk
membangun matriks ∆ = a + bx, dengan a diberikan oleh pers. (5.1.21) dan
( ) ( )
( ) ( )⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−=
××
××
221222
222221
IzIzIzIz00
xb . (5.4.8)
Masukkan pers. (5.1.21) dan pers. (5.4.8) ke dalam pers. (5.1.1) menghasilkan:
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
+−−++=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−+
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−=∆
111212
212111
21
12
21
1112
1211
21
ZrZrZrZr
uu
ZZZZ00
rrrruu
(5.4.9)
dimana,
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
1
11 z0
0zZ , ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
2
22 z0
0zZ . (5.4.10)
Dengan demikian,
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=+
2
1111 Ac
bAZr , ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛γ
β=+
2
1212 B
BZr (5.4.11)
dimana telah didefinisikan
68
.zx
21B ,zx
21B
,zx21aA ,zx
21aA
212211
102101
+−α≡++α≡
+−≡++≡ (5.4.12)
Dengan pilihan di atas, maka diperoleh:
⎟⎟⎠
⎞+++++++−++++
⎜⎜⎝
⎛−−+++++−−−++++
=∆∆
)Zr)(Zr()Zr)(Zr(uu)Zr)(Z-r()Zr)(Zr(uu
)Zr)(Zr()Zr)(Zr(uu)Zr)(Z-r()Zr)(Zr(uu
11111121221222
11121221211121
21211111121212
21221211111111
(5.4.13)
Untuk Q = 2 kondisi faktorisasi pers. (5.1.6) menjadi
[ ] ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==∆∆
−×
×−
×−×× 1
222
221
122
12244 F0
0FIF (5.4.14)
sehingga,
( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )11111121221222
1222
212212111111111
111
ZrZrZrZruuF
ZrZr-ZrZruuF
++++++=↔∆∆
−−−++++=↔∆∆−
−
(5.4.15)
dimana
( )( ) ( )( )
∑
∑
=
=
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
γ++++β+γ+++
β+γ+++β++++=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
γ+β+γ
β+γβ++⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++
+++⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛=
−−−++++=
N
1v22
222
22
2v,121211v,11,2v
21212v,11,1v22
122
12
1v,1
N
1v22
221
2122
122
221
2122
12
2v,11v,11,2v
2v,11,1v2
1v,1
212212111111111
1
BbAuBBcAbAuu
BBcAbAuuBcAu
BBBBBB
bAcAbAcAbAcA
uuu
uuu
ZrZr-ZrZruuF
( )( ) ( )( )
∑
∑
=
=
−
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
β++++++γ+β+
++γ+β+γ++++=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++
+++⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
β+γ+β
γ+βγ++⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛=
++++++=
N
1v222
22
22
2v,221211v,22,2v
21212v,22,1v
22221
21
21v,2
N
1v22
221
2122
122
221
2122
12
2v,21v,22,2v
2v,22,1v2
1v,2
111111212212221
2
cBAubAcABBuu
bAcABBuubBAu
cAbAcAbAcAbA
BBBBBB
uuu
uuu
ZrZrZrZruuF
Elemen ( )∆∆ yang lain dapat diperoleh dengan membandingkan pers. (5.4.15)
dengan kendala ADHM, yang menghasilkan:
69
( ) ( )( ) ( )( )
0 RRRRuu
ZrZr-ZrZruu
1112121121
1112122121112112
=−+=
+−++++=∆∆
(5.4.16)
( ) ( )( ) ( )( )
0 RRRRuu
ZrZrZrZruu
1211111212
2121111112121221
=−+=
−−+++++=∆∆
(5.4.17)
dengan,
.ZrR
ZrR
21212
11111
+=+=
(5.4.18)
Terlihat kesesuaiannya dengan ekspresi 1k2k2F−
× yaitu:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∆∆∆∆∆∆∆∆
=∆∆−
−
12
11
2221
1211
F00F
)()()()(
. (5.4.19)
Baik 11F− maupun 1
2F− dapat diambil sebagai bentuk F untuk menentukan V dan 'M . Hubungan 1
21
1 FF −− = yang dimplikasikan oleh pers. (5.4.14) menghasilkan
dua kendala ADHM U(N) untuk Q = 2. Merujuk ke sifat Hermitian dari F,
matriks V dalam pers. (5.4.5) jelas Hermitian. Dari pers. (5.4.4), matriks V2 dapat
dihitung, yang menghasilkan suatu matriks NN× yang bergantung pada elemen
dari F dan u1, u2.
Untuk menentukan V, diambil akar dari matriks V2, yang dihitung dengan cara
mendiagonalisasi V2 kemudian mengambil akar dari setiap elemen diagonalnya.
Bentuk umum matriks terdiagonalisasi V adalah seperti berikut:
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
λ
λλ
=
N
2
1
00
0000
V
L
MOMM
L
L
(5.4.20)
dimana λvadalah akar dari nilai-eigen matriks V2. Untuk matriks V di atas
diperoleh beberapa kuantitas berikut:
VV = ; v
N
1vN21Vdet λΠ=λ⋅⋅⋅λ⋅λ==
L (5.4.21)
maka
70
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
λ⋅⋅λ⋅λ⋅λ
λ⋅⋅λ⋅λ⋅λλ⋅⋅λ⋅λ⋅λ
λΠ=
=
−=
−
1N321
N431
N432
v
N
1v
C1
0000000
1
VVdet
1V
LL
OMM
LL
LL
atau secara ringkas:
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
λ
λ
λ
=−
N
2
1
1
100
010
001
V
L
MOMM
L
L
. (5.4.22)
Akhirnya dengan bentuk V dalam pers. (5.4.20), 'M dapat ditentukan melalui
pers. (5.4.6), melalui tahapan perhitungan sebagai berikut.
Untuk sederhananya ditinjau kasus Q = 2. Pertama dihitung dahulu matriks 'M :
1NNN422
'44
'N4 VuFM −
××××× ∆−= (5.4.23)
dengan
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
. ZrZrZrZr
zzzz
I00I
rrrr
xba
111212
212111
ZZZZ
12
21
2222
2222
22112212
22122211
''44
'44
'44
12
21
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−−++
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=
+=∆
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
××
××
××
××
×××
4444 34444 21
Substitusikan pers. (5.4.11) dan (5.4.12), diperoleh bentuk eksplisit:
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−αβ−
++γ−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++α−
+−αγ+−
β++α++
=∆
1021
1021
2110
2110
'
zx21abzx
21
czx21azx
21
zx21zx
21ac
zx21bzx
21a
71
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−β−γ−−
γβ
=
22
11
22
11
AbBcAB
BAcBbA
. (5.4.24)
Selanjutnya, untuk F diambil representasi matriksnya (dalam ruang spinor Weyl
α):
α
×
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
,lm
2221
1211
lm2221
121122
1000010000FF00FF
FFFF
F (5.4.25)
dan u sebagai berikut:
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
××
××
2,2N2,222,12
2,1N2,212,11
1,2N1,221,12
1,1N1,211,11
N22
2N,21N,22N,11N,1
22,221,222,121,1
12,211,212,111,1
22N
uuuuuuuuuuuu
u
uuuu
uuuuuuuu
u
L
L
L
L
MMMM
(5.4.26)
Kalikan pers. (5.4.25) dengan pers. (5.4.26) diperoleh:
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛++++++
= α
2,2N2,222,12
2,1N2,212,11
2,2N221,1N211,22221,21211,12221,1121
1,2N121,1N111,22121,21111,12121,1111
,mvlm
uuuuuu
uFuFuFuFuFuFuFuFuFuFuFuF
uFuF
L
L
L
L
. (5.4.27)
Kemudian pers. (5.2.27) dikalikan dengan pers. (5.4.22) dari kanan yang
menghasilkan:
72
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
λλλ
λλλ
+λ
+λ
+λ
+λ
+λ
+λ
=−
2,2NN
2,222
2,121
2,1NN
2,212
2,111
1,2N221,1N21N
1,22221,21212
1,12221,11211
1,2N121,1N11N
1,22121,21112
1,12121,11111
1
u1u1u1
u1u1u1
uFuF1uFuF1uFuF1
uFuF1uFuF1uFuF1
VuF
L
L
L
L
atau,
( )
( )
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
λ
λ
+λ
+λ
=−
2,2vv
2,1vv
1,2v221,1v21v
1,2v121,1v11v
1
u1
u1
uFuF1
uFuF1
VuF (5.4.28)
dimana v = 1, 2,…, N.
Jadi, untuk Q = 2, dengan bentuk V diberikan menurut pers. (5.4.20), untuk N
yang umum, dari pers. (5.4.23) didapati bahwa matriks 'M berbentuk sebagai
berikut:
( )
( )
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
λ
λ
+λ
+λ
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−β−γ−−
γβ
−=
∆−= −×
2,2vv
2,1vv
1,2v221,1v21v
1,2v121,1v11v
22
11
22
11
1''N4
u1
u1
uFuF1
uFuF1
AbBcAB
BAcBbA
VuFM
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−=
'N4
'42
'41
'N3
'32
'31
'N2
'22
'21
'N1
'12
'11
MMMMMMMMMMMM
L
L
L
L
(5.4.29)
atau,
73
[ ] [ ]
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−=×
'v4
'v3
'v2
'v1
'N4
MMMM
M (5.4.30)
dimana telah dimanfaatkan definisi menurut pers. (5.4.12) dan F dituliskan
sebagai Fij. Pernyataan elemen-elemen matriks 'M dalam pers. (5.4.30) adalah
sebagai berikut:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 2,2v22,1v1,2v221,1v2121,2v121,1v11v
'v4
2,2v2,1v11,2v221,1v211,2v121,1v111v
'v3
2,2v22,1v1,2v221,1v2121,2v121,1v11v
'v2
2,2v2,1v11,2v221,1v211,2v121,1v111v
'v1
uAubuFuFBuFuF1M
ucuAuFuFuFuFB1M
uBuuFuFAuFuFc1M
uuBuFuFbuFuFA1M
+++−+β−λ
=
+++γ−+−λ
=
+γ++++λ
=
β+++++λ
=
Jadi, matriks ADHM-M untuk U(N) dengan Q = 2 diberikan oleh:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
×
××+ '
N4
NNN)4N( M
VM . (5.4.31)
Konfigurasi medan gauge instanton Aµ yang berkaitan, selanjutnya diperoleh
dengan mensubstitusikan M ke dalam pers. (5.1.5).
Metoda di atas dapat pula diaplikasikan untuk grup U(N) dengan Q = 3, namun
tingkat kerumitannya menjadi lebih tinggi mengingat meningkatnya secara
berlebihan jumlah kendala terkopel yang harus diselesaikan.
Konstruksi ADHM memberikan secara implisit konfigurasi solusi (aksi
berhingga) instanton dari teori gauge Yang-Mills murni untuk semua grup Lie
kompak sederhana dan muatan topologi Q. Akan tetapi sejauh ini terbukti
konstruksi solusi eksplisitnya, untuk muatan topologi lebih besar daripada 3,
sangat sulit secara teknis. Seperti disinggung di atas, terhambatnya kemajuan
dalam memperoleh solusi instanton YM eksplisit ini diakibatkan oleh sifat
kendala ADHM yang menjadi semakin kompleks.
74
BAB VI INTERPRETASI DAN APLIKASI
FISIS INSTANTON
Dalam bahasan di depan telah diperlihatkan bahwa solusi instanton berkaitan
dengan konfigurasi medan gauge yang memiliki fungsi aksi S minimal. Dengan
demikian, solusi ini, secara kuantum, menyatakan keadaan vakum (vacuum state)
0 dari sistem kuantum medan gauge. Namun, telah diperlihatkan bahwa setiap
solusi instanton dicirikan oleh muatan topologi Q = n, (n = 1, 2, 3…) yang
menunjukkan bahwa terdapat tak hingga banyaknya keadaan vakum terbilangkan.
Masing-masing keadaan vakum ini dicirikan oleh muatan topologi Q = n: n
0 ,
dan terpisahkan satu dari yang lainnya. Secara kualitatif, berarti terdapat semacam
potensial halang (barrier) antar mereka. Dengan demikian, akan terjadi transisi
dari satu keadaan vakum ke keadaan vakum lainnya melalui efek tunneling
(penerobosan halang). Solusi tunneling inilah solusi instanton yang dibahas di
dalam tugas akhir ini.
Hadirnya keadaan vakum non-trivial yang degenerate (bertindihan) ini
mensyaratkan bahwa keadaan vakum sebenarnya dari teori kuantum medan Yang-
Mills haruslah merupakan superposisi dari semua keadaan vakum dengan muatan
topologi Q = n yang berbeda. Yakni:
n
n
in 0e0 ∑+∞
−∞=
θθ= (6.1)
dimana π≤θ melabel sektor terpisah, dari teori kuantum medan Yang-Mills,
yang tak terhubungkan lewat sembarang operator invarian gauge. Superposisi
keadaan vakum pada pers. (6.1) lazimnya disebut: vakum-θ (θ-vacuum). Dengan
demikian tiap θ
0 dengan θ tertentu memiliki ruang Hilbert (keadaan kuantum)
75
yang berbeda. Ini adalah analogi dari keadaan vakum Bloch dalam teori kristal
dengan potensial periodik (sebagai misal dalam potensial Kronig-Penney).
Kehadiran instanton dalam teori kuantum medan Yang-Mills menyiratkan bahwa
bila digunakan satu keadaan vakumn
0 dengan n tertentu, ketimbang θ
0 , maka
akan terdapat suku tambahan dalam Lagrangian efektif, yakni:
)F~F(Tr16
L 2YMefektif µνµνπθ
+=L . (6.2)
Suku tambahan sebanding θ adalah tak lain daripada suku anomali terkenal dalam
teori QCD [Quantum Chromodynamics, teori Yang-Mills SU(3)] Berkaitan
dengan ini, θ memainkan peran sebagai sebuah tetapan kopling yang
menggandeng ruang Hilbert berbeda yang dibangun dari konfigurasi solusi
instanton tertentu.
Karena keadaan θ
0 bukanlah eigen-state dari transformasi paritas P dan
Transformasi CP (Charge Conjugation plus Parity), sedangkan QCD adalah P
dan CP invarian maka θ seharusnya nol. Namun, berdasarkan batas pengukuran
eksperimen bahwa neutron memiliki momen dipol, maka lazimnya dipilih 910−≤θ . Upaya untuk memahami kecilnya nilai θ ini dikenal sebagai: strong CP
problem [12, 14].
Aplikasi lain dari konfigurasi solusi instanton ini adalah pada pemecahan
persoalan U(1) [U(1) problem] oleh ‘t Hooft [9, 14, 21], yang berkaitan dengan
anomali pada simetri chiral: ψ→ψ αγ5ie , dimana γ5 adalah matriks Dirac gamma-
5 sedangkan ψ adalah medan spinor kuark.
76
BAB VII KESIMPULAN
Dari pembahasan dalam bab II sampai V dapat diambil kesimpulan sebagai
berikut:
1. Persamaan gerak medan Yang-Mills adalah persamaan diferensial non-
linear terkopel orde-2 untuk medan potensial gauge Aµ. Oleh karena itu,
persamaan ini sulit untuk dipecahkan.
2. Instanton adalah solusi self-dual dari persamaan medan Yang-Mills dalam
ruang-waktu Euclidean R4. Solusi ini dicirikan oleh fungsi aksi S yang
berhingga nilainya dan muatan topologi Q. Solusi umum instanton grup
gauge SU(N) adalah solusi Q-instanton yang memenuhi jumlah parameter
solusi sebanyak: [8Q – (N2 –1)].
3. Metoda ADHM mereduksi persamaan self-dual menjadi kondisi aljabar
murni yang lebih mudah untuk diselesaikan. Metoda ini merupakan
konstruksi yang paling umum dan dibenarkan secara matematika. Artinya,
dengan mengikuti prosedur konstruksi ADHM dengan baik (masukan
yang tepat untuk data ADHM), maka akan diperoleh solusi umum multi-
instanton untuk sembarang grup kompak: SU(N), SO(N) dan Sp(N).
4. Solusi 2-instanton untuk grup U(N) pada bab V adalah solusi umum,
karena solusi ini memenuhi jumlah parameter yang disyaratkan.
5. Untuk muatan topologi 3Q ≥ , solusi instanton dengan metoda ADHM,
sangat sulit untuk diperoleh, sebab seiring dengan bertambahnya Q maka
jumlah kendalanya turut meningkat dan begitu pula dengan tingkat
kerumitannya..
6. Solusi umum multi-instanton U(N) untuk jumlah instanton 3Q ≥ masih
belum ditemukan (OPEN PROBLEM!).
77
APENDIKS
78
APENDIKS A
A1. Notasi dan konvensi indeks21 A1.1 Ruang-waktu Minkowski
Ruang Minkowski adalah ruang dimensi-4, dimana koordinat ruang-waktu (vektor
– empat)22 didefinisikan sebagai:
)z ,y ,x ,t()x ,t(),x ,x ,x ,x(x 3210 ===µ r (A1.1)
dengan elemen garis23
νµµνη=−−−= dxdx)dx()dx()dx()dx(ds 232221202 , (A1.2)
dimana
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−=η=η µν
µν
1000010000100001
(A1.3)
adalah tensor metrik Minkowski dimana tensor metrik kontravarian µν−µν η≡η )( 1 .
Berikut adalah definisi gradien (operator diferensial) dalam ruang Minkowski:
)- ,(x
) ,(x
x ,
x ,
x
0
0
321
∇∂=∂∂
η=∂
∇∂=∂∂
=∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
∂∂
=∇
αµαµ
µµ (A1.4)
maka operator d’ Alembertian ٱ dapat ditulis
= ٱ 2
3
2
2
2
1
2
0 xxxx⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
=∂∂ µµ (A1.5)
21 Dalam skripsi ini digunakan sistem satuan dimana c = ћ = 1. 22 Vektor kontravarian. 23 Kuantitas infinitesimal yang invariant terhadap transformasi dan rotasi Lorentz.
79
A1.2 Ruang Euclidean
Dalam ruang ini, elemen garisnya adalah:
νµµνδ=+++= dxdx)dx()dx()dx()dx(ds 232221202 (A1.5)
Untuk membedakan pelabelan koordinat dari ruang Minkowski di sini digunakan
label berikut:
) t,z ,y ,x() t,x()x ,x ,x ,x(x 4321 ===µ r (A1.6)
dan elemen garis (A.1.2) menjadi:
νµµνδ=++++= dxdx)dx()dx()dx()dx(ds 242322212 (A1.7)
dengan tensor metrik:
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=δµν
1000010000100001
(A1.8)
yang tak adalah simbol Delta Kronecker:
⎩⎨⎧ =
=δlain yang ,0
j i jika ,1ij (A1.9)
Dengan demikian dalam ruang waktu Euclidean ini tidak dibedakan antara indeks
kovarian (bawah) dan kontravarian (atas).
Simbol Levi-Civita ijk∈ :
Definisi simbol ini adalah sebagai berikut:
⎪⎩
⎪⎨
⎧=−=
=∈lainnya 0,
312atau 231, 123, ijk jika 1,312atau 231, 123, ijk jika 1,
ijk (A1.10)
Tensor Medan Elektromagnetik µνF :
Secara komponen, dalam pernyataan matriks, tensor ini berkaitan dengan
komponen medan listrik E dan magnet B sebagai berikut:
80
kijkijii0
123
132
231
321
µν
BF,EF0BBE
B0BEBB0E
EEE0
AAF
ε==
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−−
−−=∂−∂= µννµ (A1.11)
A2. Matriks Pauli dan Dirac
Matriks Pauli adalah ketiga matriks kompleks Hermitian, uniter, traceless, berikut:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=σ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=σ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=σ
1001
,0ii0
,0110
321 (A2.1)
(Biasanya dituliskan dengan indeks numeric: z1y1x1 ,, σ=σσ=σσ=σ , σ bukanlah
vector-4, sehingga tidak dibedakan antara indeks atas dan indeks bawah: 3
12
11
1 ,, σ=σσ=σσ=σ .) Dua sifat menarik yang dipenuhi ketiga matriks Pauli,
yang digunakan di dalam tugas akhir ini, adalah:
(a) Aturan perkalian.
ljkljkkj i σ∈+δ=σσ (A2.2)
(Suku pertama adalah matriks satuan 22× , dan penjumlahan untuk k
dalam suku kedua).
Maka, secara khusus:
12z
2y
2x =σ=σ=σ (A2.3)
yxzxzyzyx i ,i ,i σ=σσσ=σσσ=σσ (A2..4)
ljklj1 i2],[ σ∈=σσ (KOMUTATOR) (A2.5)
jkj1 2, δ=σσ (ANTI-KOMUTATOR) (A2.6)
dan untuk sembarang 2 vektor ar dan br
,
)ba(iba)b)(a(rrrrrrrrr
×⋅σ+⋅=σ⋅σ⋅ (A2.7)
(b) Eksponensial.
θσ⋅θ+θ=σ⋅θ sinˆicosei rrr
(A2.8)
81
Matriks Dirac γµ (µ = 0, 1, 2, 3) adalah keempat matriks uniter traceless 44× yang
dibangun dari matriks Pauli sebagai berikut:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≡γ
I00I0 , ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
σ−σ
≡γ0
0j
jj (A2.9)
Di sini I adalah matriks satuan 22× , dan 0 adalah matriks nol 22× ; σj adalah
ketiga matriks Pauli. Secara eksplisit pers. (A2.9) adalah:
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
=γ
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−
=γ
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
=γ
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=γ
001000011000
0100
,
000i00i00i00i000
,
0001001001001000
,
1000010000100001
32
10
(A2.10)
Indeks bawah dibedakan dari indeks atas menurut metrik gµν yaitu:
γ0 = γ0, γj = - γj (A2.11)
γ0 adalah Hermitian, sedangkan γj , j > 0 anti Hermitian, yang memenuhi sifat
µνµννµ η=γγ+γγ (A2.12)
dan 00 γγγ=γ µ+µ .
82
A3. Kuaternion
Kuaternion merupakan perluasan dari bilangan kompleks, sama halnya dengan
bilangan kompleks sebagai perluasan dari bilangan real. Dengan demikian
kuaternion tersusun dari 4 buah bilangan real, namun perkalian antar 2 kuaternion
berbeda tidaklah komutatif. Suatu kuaternion24 dapat dituliskan sebagai berikut:
4321 qkqjqiqq +++= (A3.1)
dimana q4, q1, q2, and q3 adalah bilangan-bilangan real, yang ditentukan oleh
kuaternion q, dengan ,i ,j dan k adalah basis kuaternion (perluasan bilangan
imajiner satuan i) yang memenuhi sifat perkalian:
1kjikji 222 −==== , kijji =−= (permutasi genap). (A3.2)
Jadi, setiap kuaternion adalah kombinasi linear real dari kuaternion satuan 1, i, j,
dan k, yang diekspresikan secara unik menurut pers. (A3.1).
Penjumlahan kuaternion dilakukan dengan menjumlahkan koefisien yang
bersesuaian, seperti halnya pada aturan penjumlahan bilangan kompleks.
A3.1 Sifat-sifat kuaternion
Tidak seperti bilangan real atau kompleks, perkalian kuaternion tidak komutatif:
jki ,jik ,ijk ,ikj ,kij ,kji −==−==−== (A3.1.1)
Konjugat dari kuaternion q didefinisikan sebagai,
kqjqiqqq 3214 −−−= (A3.1.2)
dan nilai absolut (modulus) dari q adalah bilangan real non-negatif yang
didefinisikan oleh:
)qqqq()qq(q 24
23
22
21 +++== (A3.1.3)
Invers multiplikatif dari kuternion yang tak-nol z dapat dihitung sebagai 24 Bilangan real diperluas menjadi bilangan kompleks dengan menambahkan bilangan i dimana i2 = -1, kuaternion diperoleh dengan menambahkan elemen i, j and k ke bilangan real sedemikian rupa yang memenuhi sifat pers. (A3.2).
83
2
1
q
qq =− (A3.1.4)
A3.2 Representasi kuaternion dengan matriks
Sedikitnya terdapat dua cara untuk mempresentasikan kuaternion sebagai matriks,
sedemikian rupa sehingga penjumlahan dan perkalian kuaternion berkaitan
dengan penjumlahan dan perkalian matriks. Salah satunya adalah dengan
menggunakan matriks kompleks 22× dan yang lain adalah dengan menggunakan
matriks real 44× . Dengan cara yang pertama kuaternion direpresentasikan
sebagai:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−++
=3412
1234
iqqiqqiqqiqq
q (A3.2.1)
Representasi ini mempunyai beberapa sifat menarik:
• Semua bilangan kompleks (q2 = q3 = 0) berkaitan dengan matriks yang
elemen-elemennya adalah bilangan real.
• Kuadrat nilai absolut dari suatu kuaternion sama dengan determinan dari
matriks yang bersesuaian.
• Konjugat dari kuaternion berkaitan dengan konjugat transpos dari matriks.
Sedangkan dalam cara yang kedua, kuaternion q direpresentasikan sebagai:
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−−−−
=
4132
1423
3241
2314
qqqqqqqqqqqqqqqq
q (A3.2.2)
Dalam representasi ini, konjugat dari suatu kuaternion, berkaitan dengan transpos
dari matriks.
84
Sifat basis kuaternion (A.3.2) sama seperti sifat yang dimiliki ketiga matriks
(kompleks) Pauli, sehingga mereka dapat direalisasikan dalam pernyataan
matriks:
4321 1 ,k ,j ,i σ=σ=σ=σ= (A3.2.2)
Dengan demikian setiap bilangan kuaternion dapat direalisasikan dalam matriks
uniter )22( × :
µµτ= qq , ).i,( j4 σσ=τµ (A3.2.3)
Koordinat ruang-waktu 4Rx ∈µ yaitu:
1xkxjxixx 4321 +++= (A3.2.4)
juga dapat direpresentasikan sebagai kuaternion sebagai berikut:
+µµ
+µµ τ=τ= xx ,xx (A3.2.5)
dimana
( )( )j4
j4
i,x
i,x
σ−σ=τ=∂
σσ=τ=∂+µ
+µ
µµ (A3.2.6)
sehingga
( ) µν+µν
+νµ
+µν
+νµ τ=ττ−ττ=∂∂−∂∂ xxxx (A3.2.7)
Pers. (A3.2.7) tak lain adalah ekspresi self-dual pada pers. (C3.6).
85
APENDIKS B
B1. Teori Grup
Definisi
Sebuah himpunan G = g1, g2,...bersama “aturan perkalian”, antar elemennya
mendefinisikan sebuah grup, jika dipenuhi 4 syarat berikut:
(a) Ketertutupan (closure)
,Gg ,g lk ∈∀ maka G)gg( lk ∈⋅
(b) Asosiatif
,Gg,g ,g mlk ∈∀ maka )gg(gg)gg( mlkmlk ⋅⋅=⋅⋅
(c) Terdapat elemen satuan GI∈ , sehingga Gg∈∀
ggIIg =⋅=⋅
(d) Gg∈∀ , terdapat elemene invers Gg 1 ∈− , sehingga
Igggg 11 =⋅=⋅ −−
Perkalian n-buah elemen yang sama ditulis dengan notasi pangkat
43421L
faktorn
n gg g gg−
=
Jika Gg ,g ba ∈∀ berlaku:
abba gg g g = maka G dikatakan komutatif (Abelian)
abba gg g g ≠ tak termasuk elemen identitas, dan perkalian invers
maka G: tak komutatif (non-Abelian)
Orde grup G
Jika n adalah jumlah elemen G, maka n menyatakan orde grup G. Untuk n
terbatas, grup G adalah berhingga, sebaliknya G adalah tak-hingga.
86
Seluruh bahasan dalam skripsi ini berkaitan dengan grup Lie, atau lebih khusus
lagi grup uniter U(N). Hubungan antara grup Lie dengan persamaan Yang-Mills,
adalah bahwa grup Lie yang berbeda akan memberikan persamaan Yang-Mills
yang berbeda juga, dan ini akan memdeskripsikan bermacam-macam gaya dalam
standar model fisika.
B2. Grup Lie
Grup Lie tergolong dalam grup tak-hingga yang memiliki jumlah elemen tak-
hingga banyaknya: G∞.
(a) Grup ∞ terbilangkan
Elemen grup G dibedakan oleh indeks diskrit: n = 1, 2, 3,...
G = g1, g2,...
(b) Grup kontinu/ topologi
Elemen grup G dibedakan oleh kebergantungannya pada sejumlah
parameter kontinu (α1, α2, ...,αn) ∈Rn.
Jadi,
G = g(α1, α2, ...,αn), dengan I = (0, 0,...,0)
dimana
dimensi G = jumlah parameter αk(n) = r.
(c) Grup Lie
G adalah grup Lie, jika
(1) G adalah grup topologi, dan
(2) Elemen g(α1, ...,αn) adalah fungsi analitik dari (α1,...,αn). Jadi
kk
lk
n
1l,k 1k
12
k0
n
1k k
kn1
TI
gi2
1g)0,,0(g),,(g
k
α+=
+ααα∂α∂
∂+α
α∂∂
+=αα ∑∑==α=
LKK
dimana
0k
kk
k
gT=α
α∂∂
= (B2.1)
87
adalah “generator” dari grup Lie G.
Jika Rk ≤α , maka grup Lie adalah compact, sedangkan jika ada 1
generator yang terbatas nilainya maka G non-compact.
B3. Grup Uniter B3.1 U(N)
Grup uniter U(N) adalah grup yang elemen-elemennya adalah matriks
bujursangkar g NN× yang memenuhi sifat:
gg+ = g+g = 1. (B3.1.1)
Jumlah parameter grup matriks U(N).
Dari syarat uniter:
ITTI)TI)(TI(gg =∈+∈+≅∈+∈+≅ +++ , (B3.1.2)
diperoleh:
0TT =++ , TT −=+ (anti Hermitis) (B3.1.3)
Untuk elemen diagonal: aa*aa tt −= yang berarti:
Rt ,t~it aaaaaa ∈= (B3.1.4)
Syarat (B3.1.3) dan (B3.1.4) memberikan matriks T memiliki bentuk umum:
1)1n(2
122112
1
t~ittt
tt~ittttt~ittttt~i
T
NN3N2N1N
*3N333231
*2N
*232221
*1N
*31
*2111
+−⋅
+⋅+⋅
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−−−−
=M
L
MOMMM
L
L
L
(B3.1.5)
Jadi,
NN)1N(2121k2R
N
1k
1N
1k+−⋅=+= ∑∑
=
−
=
(B3.1.6)
atau
R = N2 (B3.1.7)
88
B3.2 SU(N)
Grup SU(N) adalah grup matriks25 uniter orde N, dimana selain ),N(Ug∈ juga
disyaratkan:
det g = 1 g+ = g-1. (B3.2.1)
Karena elemen diagonal ,Rt~aa ∈ tak semuanya nol, maka
det g = e trT = 0 (B3.2.2)
atau
∑=
=N
1aaa 0t~ (B3.2.3)
yang memberikan 1 persamaan kendala tambahan.
Jadi
R = N2 – 1. (B3.2.4)
B3.3 Representasi grup
Setiap matriks uniter SU(N)26 dapat direpresentasikan melalui generator TJ(J = 1,
..., N2 - 1) sebagai:
JJTie)(U ω=ω (B3.3.1)
dengan penjumlahan untuk indeks A. Karena matriksnya uniter, maka
generatornya harus Hermitian. Lebih lanjut, karena det g = 1, generator TJ
haruslah traceless
TrTJ = 0 untuk setiap ωJ (B3.3.2)
Generator TJ memenuhi aljabar:
LJKLKJ Tif]T,T[ = (B3.3.3)
25 Definisi grup matriks adalah himpunan matriks non-singular N)G(N× dengan aturan perkalian matriks. 26 Untuk grup U(N) representasinya dapat ditulis U = exp (iΛCTC) dimana C = 1, 2,…,N2. Untuk N = 1, maka Λ adalah suatu bilangan.
89
dan ternormalisasi, yakni:
JKKJ
21)TT(Tr δ= (B3.3.4)
Di sini fJKL adalah konstanta struktur antisimetrik dari grup.
Berikut akan ditinjau grup SU(2), dimana konstanta strukturnya diberikan oleh
tensor antisimetrik:
3) 2, 1,(a 1εε acbabc ==−= (B3.3.5)
Generator Tk SU(2) dapat diturunkan dari bentuk infinitesimal grup matriks27
dimana di sini:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
dcba
g , ( ) Cd,,a ∈K , (B3.3.6)
dan memenuhi syarat (B3.1.1) dan (B3.2.1).
Tinjau bentuk infinitesimal g:
LL +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+=+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≅
s1rqp1
srqp
1001
g (B3.3.7)
Dari syarat determinan, 1gdet = :
( ) 1qrpssp1 =+−+++ L
diperoleh:
0qr 0,ps ,0sp ===+ (B3.3.8)
Dari syarat unitaritas:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+1001
s1rqp1
s1qrp1
atau
0rrpp,0pp1srpppp1 =+=+→=++++ (B3.3.9)
0srqp,0rq0rsrpqq0srrqpq
=+=+→⎭⎬⎫
=+++=+++
(B3.3.10)
0ss,0ssqq1ssss1qq =+=+→=++++ (B3.3.11)
dari pers. (B3.3.8) dan (B3.3.9, B3.3.11) diperoleh: 27 Pernyataan eksplisit generator dapat diturunkan dari simetrinya.
90
R,isp0pp,0sp ∈ϕϕ=−=→=+=+ (B3.3.12)
substitusi pers. (B3.3.12) ke dalam pers. (B3.3.9, B3.3.11) didapat:
0rq,0qq,0rr =+== (B3.3.13)
yang memiliki solusi infinitesimal:
,iq ψ+θ= dan R,;ir ∈ψθψ+θ−= (B3.3.14)
Jadi, pernyataan infinitesimal ( )2SUg∈ dalam ( ) R,, ∈ψϕθ :
( )ψϕθ≡+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ϕ−ψ+θ−ψ+θϕ+
= ,,gi1iii1
g L (B3.3.15)
Generator yang bersangkutan:
30
20
10
i10
01i
i00igT
i0ii0
i0110gT
i0110
i0ii0gT
σ=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=ϕ∂∂
=
σ=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=θ∂∂
=
σ=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
ψ∂∂
=
=ϕϕ
=θθ
=ψψ
(B3.3.16)
Tampak bahwa:
332θθ11ψ TiσT ;TiσT ;TiσT ====== ϕ (B3.3.17)
dimana σi(i = 1, 2, 3) adalah matriks Pauli. Perhatikan bahwa ketiga generator ini
bersifat anti-Hermitis.
Untuk kasus N = 3, maka generator representasi grupnya diberikan oleh matriks
Gell-Mann )33( × sebanyak 32 - 1 = 9 buah.
91
APENDIKS C
C1. Elemen integral d4x
α=
θα=
ϕθα=
ϕθα=
cosrxcossinrx
sinsinsinrxcossinsinrx
4
3
2
1
(C1.1)
ϕθα=⇔= dddrdgxddxdxdxdxxd 443214 (C1.2)
Untuk koordinat di atas elemen garisnya adalah (misal R = rsinα ):
[ ]
2222222222
2222222
2
222222
2222222
222222
242322212
dsinsinrdsinrdrdr )dcosrsindr()dsind(sinr)dcosrsindr(
)sinr(d
d)sincossin(sinR d)sinsincoscos(cosR )cossinsincos(sin)dR(
)dx()dx()dx()dx(ds
ϕθα+θα+α+=
αα−α+ϕθ+θα+αα+α=
α+
ϕϕθ+ϕθ+
θθ+ϕθ+ϕθ+
θ+ϕθ+ϕθ=
+++=
dimana diperoleh,
θα=
θαα=
sinsinrg
)sinsinr)(sinr)(r)(1(g23
222222
(C1.3)
maka
ϕθαθα= dddrdsinsinrxd 234 (C1.4)
α
S3
92
C2. Aksi Solusi 1-instanton (BPST)
Aksi medan Yang-Mills (Euclidean) didefinisikan dengan:
xdFTr21xdF~FTr
21S 42
µν4
µνµν ∫∫ == (C2.1)
Dalam bab III telah diturunkan solusi kuat medan 1-instanton yang diberikan
oleh:
( ),irffF 2
2
µ+
νν+
µµν ττ−ττ−−
= ( )22
2
rrfλ+
= (C2.2)
sehingga sekarang dapat dihitung nilai aksi untuk 1-instanton sebagai berikut:
( )( )
( )
( )
( ) ( )[ ]( )
( )[ ] ( )
( )( )
( )( ) ( )
( )( )
( )ϕθαθα
λ+λ=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
λ+
λ+−−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
λ+
λ
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
+⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡ττττ−ττ−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
λ+
λ+ττττ−δ−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
λ+
λ+ττττ−=
−ττττ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
=
+−−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
=
−−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
=
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
⋅⋅
ν+µµ
+νµ
+µ
ν+µµ
+νµν
ν+µν
+µ
ν+µν
+µ
++++++++
++++
dddrdsinsinrr
148
rxd]323216[
rxd32TrTr2
rxd322Tr
rxdITr16Tr
I16irff
xdTr
ττττττττττττττττirff
xdTr21
xdττττττττirff
xdTr21
S
23422
4
422
44
422
44
I44TrI4Tr
422
44
422
44
2
2
2
2
24
µνµν
32I
16I
ν
4I
µµν
16I
µ
4I
ννµνµνµ
2
2
24
4µννµµννµ
2
2
24
22
2
2
2
2
2
443442143421
4444 34444 2143421321
43421321
93
( )( )
( )∫
∫∫ ∫∫
∞
π
π∞
θ−
π
αα−
π
λ+λπ=
ϕθθ
∫
ααλ+
λ=
π
π
π⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ α−α
π
0422
342
2
2
00
cos
0
d2cos121
0
2422
34
rdrr96
ddsindsinr
drr48
2
0
2
02sin
21
21
0
4342143421
43421
444 3444 21
444 3444 21
misalkan:
dudr2ur 2 =→=
maka,
( )∫∞
+=
042
42
λuuduλ48πS
integralkan secara parsial, diperoleh:
( ) ( )
( )
.8π
λu21
31λ48π
λu3du
λu3uλ48π
26λ
1
0
22
42
032
0
0
32
42
4
=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+
−⋅=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
−−
+
−=
∞
∞
=
∞
∫
444 3444 21
43421
Hasil ini sesuai dengan pers. (3.3.11), untuk Q = 1, yang menunjukkan solusi 1-
instanton.
94
C3. Ekspresi self-dual dan antiself-dual
Dengan fungsi matriks gauge U pada pers. (3.5.6), berikut dihitung pernyataan
eksplisit self-dual dan antiself-dualnya. Pertama pandang ekspresi berikut,
+µν
+νµµν ττ−ττ=τ• (C3.1)
dimana
σ+ρµνρσρ
+σσ
+ρµνρσρσµνρσµν ττ=∈ττ−ττ∈=τ∈=τ )(
21
21 (C3.2)
Untuk µ = 0; ν = 1, ruas kiri pers. (C3.2) memberikan:
101100110 i2))(i()i)(( σ=σσ−−σσ=ττ−ττ ++++ (C3.3)
sedangkan ruas kanan:
1
32
320123230132320123
i2 )i)(i(2
2
σ=σ−σ=ττ∈=ττ∈+ττ∈ +++
(C3.4)
Bandingkan pers. (C3.3) dengan (C3.4) diperoleh:
)(21
ρ+σσ
+ρµνρσ
+µν
+νµ ττ−ττ∈=ττ−ττ (C3.5)
maka,
DUALSELF −→ττ−ττ=τ +µν
+νµµν . (C3.6)
Kemudian pandang ekspresi:
µ+νν
+µµν ττ−ττ=τ• ~ (C3.7)
dimana untuk µ = 0; ν = 1, ruas kanan dari persamaan di atas memberikan:
101100110 i2))(i()i()( σ−=σσ−σ−σ=ττ−ττ +++ (C3.8)
sehingga dengan membandingkan pers. (C3.3) dengan (C3.8) diperoleh:
( )ρ+σσ
+ρµνρσµ
+νν
+µ ττ−ττ∈−=ττ−ττ
21 (C3.9)
maka
DUALANTISELF~ −→ττ−ττ=τ µ+νν
+µµν . (C3.10)
95
C4. Operator proyeksi
Operator proyeksi adalah operator yang dibangun dari matriks ortogonal yang jika
dikerjakan terhadap basis-basisnya akan menghasilkan basis tersebut kembali.
Secara umum matriks
nm ),nm(M >×= (C4.1)
tidaklah ortonormal, yakni:
2
nn
MMM =×
+321 . (C4.2)
Matriks ortonormal berkaitannya adalah:
1MMMMM −== (C4.3)
Ini dapat dilihat sebagai berikut:
I MMM
MMMM
)MM()MM(MM
121
11
11
=
=
=
=
−−
−+−
−+−+
(C4.4)
Sekarang dapat didefinisikan operator proyeksi sebagai berikut:
+−+
+−
+−
+−−
+−−+
=
=
=
=
==
M)MM(M
M)M(M
MMM
MMMM
)MM)(MM(MMP
1
12
2
11
11
(C4.5)
Bila dikerjakan pada matriks M, kita peroleh:
MMIMM)MM(MPM 1 === +−+ (C4.6)
sebagaimana disebutkan di atas.
Karena operator proyeksi dibangun dari matriks ortonormal, maka ada n buah
kolom/baris yang tidak nol, yang berarti bahwa rank dari P sama dengan n.
Konsekuensinya: TrP = n.
96
DAFTAR PUSTAKA
[1] A. Actor, Classical Solutions of SU(2) Yang-Mills Theories, Reviews of
Modern Physics 51 (1979) 461.
[2] A. A. Belavin, A. M. Polyakov, A. S. Schwartz dan Yu. S. Tyupkin,
Pseudoparticle Solutions of the Yang-Mills Equations, Physics Letters B59
(1975) 85.
[3] A. S. Schwartz, Regular Solution of Euclidean Yang-Mills Equation,
Physics Letters 67B (1977) 172.
[4] C. N. Yang dan R. L. Mills, Conservation of Isotopic Spin and Isotopic
Gauge Invariance, Physical Review 96 (1954) 191.
[5] C. Nohl, C. Rebbi dan R. Jackiw, Conformal Properties of Pseudoparticle
Configuration, Physical Review D15 , (1977) 1642.
[6] E. Corrigan, D.B. Fairlie, S. Templeton dan P. Goddard, A Green Function
for the General Self-Dual Gauge Field, Nuclear Physics B140 (1978) 31.
[7] E. Witten, Some Exact Multipseudoparticle Solutions of Classical Yang-
Mills Theory, Physical Review Letters 38 (1977) 121.
[8] F. Gross, Relativistic Quantum Mechanics and Field Theory, Wiley, 1993.
[9] G. ‘t Hooft, Symmetry Breaking through Bell-Jackiw Anomalies, Physical
Review Letters 37 (1976) 8.
[10] M. F. Atiyah, N. J. Hitchin, I. M. Singer, Deformation of Instanton, Proc.
Nat. Acad. Sci. 74 (1977) 2662.
[11] K. Huang, Quarks Leptons and Gauge Fields, World Scientific, 1982.
[12] L.H. Ryder, Quantum Field Theory, Cambridge University Press, 1985.
[13] M. F. Atiyah, N. J. Hitchin, V. G. Drinfeld dan Yu. I Manin, Construction
of Instantons, Physics Letters A65 (1978) 185.
[14] M. Guidry, Gauge Field Theories: An Introduction with Application,
Wiley, 1980.
97
[15] M. J. Slater, M. P. Mattis dan V. V. Khoze, The Instanton Hunter’s Guide
to Supersymmetric SU(N) Gauge Theories, Nuclear Physics B536 (1998)
69 [arXiv:hep-th/9804009].
[16] M. P. Mattis, N. Dorey, T. J. Hollowood dan V. V. Khoze, The Calculus
of Many Instantons, Physics Report 371 (2002) 231 [arXiv:hep-
th/0206063].
[17] N. B. Pomeroy, Response to ‘Comments on the U(2) ADHM two-
instanton’, arXiv:hep-th/0307164.
[18] N. B. Pomeroy, The U(N) ADHM Two-Instanton, Physics Letters B547
(2002) 85 [arXiv:hep-th/0203184].
[19] N. H. Christ, E. J. Weinberg dan N. K. Stanton, General Self-Dual Yang-
Mills solutions, Physical Review D18 (1978) 2013.
[20] P. Ramond, Field Theory : A Modern Primer, 2nd ed., Addison-Wesley,
1990.
[21] R. Rajaraman, Solitons and Instantons, North-Holland, 1982.
98