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Konzentrationsmaße(Gini-Koeffizient, Lorenz-Kurve)
Konzentrationsmaße
Kennwert für die wirtschaftliche
Konzentration
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Typische Beispiele:
Verteilung des Geldvermögensunter den einzelnen Bevölkerungsgruppen
Verteilung von Marktanteilen
Aufteilung der landwirtschaftlichen Nutzflächen in einer Region
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Ein Markt wird von 5 Unternehmen beliefert. Die folgende Tabelle beschreibt die Aufteilung der Marktanteile:
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Daraus ergeben sich die folgenden Wertefür die Punkte auf der Lorenz-Kurve:
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Dazu die Lorenz-Kurve:
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Berechnung des Gini-Koeffizienten
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Landwirtschaftlich genutzteFläche einer Region
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Dazu die Lorenz-Kurve:
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Datenmatrix
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Kontingenztafelder absoluten Häufigkeiten
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Kontingenztafelder relativen Häufigkeiten
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X: Art des Betriebes1 = Handelsbetriebe2 = Freie Berufe (Leistungsbetriebe)3 = Fertigungsbetriebe
Y: Art der hinterzogenen Steuer1 = Lohnsteuer2 = Einkommenssteuer3 = Umsatzsteuer4 = Sonstige
Betriebe und hinterzogene SteuerKontingenztabelle
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Korrelationskoeffizientnach Bravais-Pearson
Eigenschaften
X und Y unabhängig
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X größer Y größer
X größer Y kleiner
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Positiver strikter Zusammenhang
Negativer strikter Zusammenhang
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Korrelationskoeffizientbei verschiedenen Konstellationen
von Ausprägungen
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Korrelationskoeffizient: 0.905Korrelationskoeffizient: 1.00
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Korrelationskoeffizient: 0.0.19Korrelationskoeffizient: 0.52
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Korrelationskoeffizient: 0.0.19Korrelationskoeffizient: 0.52
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Korrelationskoeffizient: -1.00Korrelationskoeffizient: -0.62
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Korrelationskoeffizientbei verschiedenen Konstellationen
von Ausprägungen
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Mögliche Funktionenklassenfür die
Regressionsrechnung
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Lineare FunktionenLineare Funktionen
Polynome
Exponentialfunktionen(Exponentielles Wachstum; x ist die Zeit)
Gompertz-Kurven
Logistische Funktionen
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Prinzip der kleinsten Quadrate(Kleinst-Quadrat-Schätzung)
Man sucht in der betrachteten Klassediejenige Funktion f, so dass die Summeder Abweichungsquadrate minimiert wird:
Bestimme f, so dass
minimal !!
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Aufgaben der Regressionsrechnung
Stellt man sich für den Moment x als die Zeit vor, so möchte man die beobachteten Werte auf die „Zukunft“extrapolieren. Man erstellt eine „Prognose“.Dazu bedient man sich der gefundenen Funktion f, um für eine „Zeit“ x der „Zukunft“ den Wert y = f(x)zu schätzen.
1. Extrapolation
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2. Interpolation
Man interessiert sich für den Wert von y = f(x)für Zwischenwerte von x, d. h. fürWerte x, die zwischen 2 beobachtetenWerten liegen:
Wieder bedient man sich der Funktion f, um eine Interpolation der Wertedurchzuführen.
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Lineare RegressionFinde reelle Zahlen a und b,so dass der Wert von
minimal wird!
Mit anderen Worten: Finde den „Punkt“(a ,b), an dem die Funktion
ihr Minimum annimmt!
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Steigung der Regressionsgeraden
Schnitt der Regressionsgeradenmit der y-Achse bei
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BestimmtheitsmaßMaß für die Güte der Anpassung derDaten an die Regressionsfunktion
Dabei ist
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In einem Kaufhauskonzern mit 10 Filialen soll die Wirkung von Werbeausgaben auf die Umsatzsteigerung untersucht werden.Die Daten sind:
X: Werbeausgaben in 1000 EuroY: Umsatzsteigerung in 10 000 Euro
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Demonstrationsbeispiel Lineare Regression
Mittelwerte Varianzen
Kovarianz
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Steigung der Regressionsgeraden
Schnitt der Regressionsgeradenmit der y-Achse bei