Download - Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola
![Page 1: Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020119/587606041a28ab963c8b7de0/html5/thumbnails/1.jpg)
Krzywe stożkoweLekcja VI: Parabola
Marek Skarupski
Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola
![Page 2: Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020119/587606041a28ab963c8b7de0/html5/thumbnails/2.jpg)
Czym jest parabola?
Parabola jest krzywą stożkową powstałą przez przecięcie stożkapłaszczyzną pod kątem β = α (gdzie α jest kątem pomiędzy wysokościąstożka a jego tworzącą) tak, aby linia cięcia nie pokrywała się z tworzącąstożka.
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola
![Page 3: Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020119/587606041a28ab963c8b7de0/html5/thumbnails/3.jpg)
Czym jest parabola?
Załóżmy, że mamy pewien punkt F oraz prostą k wzajemnie rozłączne.Parabolę można zdefiniować także jako zbiór punktów takich, że ichodległość punktu F jest równa odległości od prostej k.
Formalnie:
{P ∈ R2 : |PF | = d(P, k)}
Punkt F nazywamy ognieskiem paraboli, a prostą k kierownicą.
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola
![Page 4: Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020119/587606041a28ab963c8b7de0/html5/thumbnails/4.jpg)
Czym jest parabola?
Załóżmy, że mamy pewien punkt F oraz prostą k wzajemnie rozłączne.Parabolę można zdefiniować także jako zbiór punktów takich, że ichodległość punktu F jest równa odległości od prostej k. Formalnie:
{P ∈ R2 : |PF | = d(P, k)}
Punkt F nazywamy ognieskiem paraboli, a prostą k kierownicą.
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola
![Page 5: Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020119/587606041a28ab963c8b7de0/html5/thumbnails/5.jpg)
Czym jest parabola?
Załóżmy, że mamy pewien punkt F oraz prostą k wzajemnie rozłączne.Parabolę można zdefiniować także jako zbiór punktów takich, że ichodległość punktu F jest równa odległości od prostej k. Formalnie:
{P ∈ R2 : |PF | = d(P, k)}
Punkt F nazywamy ognieskiem paraboli, a prostą k kierownicą.
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola
![Page 6: Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020119/587606041a28ab963c8b7de0/html5/thumbnails/6.jpg)
Elementy paraboli
W - wierzchołek paraboli. Punkt leżący na prostej przechodzącej przezognisko i prostopadłej do kierownicy.
r - promień wodzący punktu P.Parametr ogniskowy p: odległość ogniska od kierownicy. Wierzchołekparaboli jest oddalony od kierownicy o odległość p2 . Mimośród paraboli:m = 1.
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola
![Page 7: Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020119/587606041a28ab963c8b7de0/html5/thumbnails/7.jpg)
Elementy paraboli
W - wierzchołek paraboli. Punkt leżący na prostej przechodzącej przezognisko i prostopadłej do kierownicy. r - promień wodzący punktu P.
Parametr ogniskowy p: odległość ogniska od kierownicy. Wierzchołekparaboli jest oddalony od kierownicy o odległość p2 . Mimośród paraboli:m = 1.
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola
![Page 8: Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020119/587606041a28ab963c8b7de0/html5/thumbnails/8.jpg)
Elementy paraboli
W - wierzchołek paraboli. Punkt leżący na prostej przechodzącej przezognisko i prostopadłej do kierownicy. r - promień wodzący punktu P.Parametr ogniskowy p: odległość ogniska od kierownicy. Wierzchołekparaboli jest oddalony od kierownicy o odległość p2 .
Mimośród paraboli:m = 1.
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola
![Page 9: Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020119/587606041a28ab963c8b7de0/html5/thumbnails/9.jpg)
Elementy paraboli
W - wierzchołek paraboli. Punkt leżący na prostej przechodzącej przezognisko i prostopadłej do kierownicy. r - promień wodzący punktu P.Parametr ogniskowy p: odległość ogniska od kierownicy. Wierzchołekparaboli jest oddalony od kierownicy o odległość p2 . Mimośród paraboli:m = 1.
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola
![Page 10: Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020119/587606041a28ab963c8b7de0/html5/thumbnails/10.jpg)
Równanie kanoniczne paraboli
Równanie paraboli jest rozważane w dwóch przypadkach: gdy kierownicajest prostopadła do osi OX lub gdy jest równoległa do osi OX . Niechdany będzie wierzchołek paraboli W = (x0, y0). Wtedy równaniekanoniczne paraboli ma postać
(y − y0)2 = 2p(x − x0) (1)
W drugim wypadku dostajemy:
(x − x0)2 = 2p(y − y0). (2)
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola
![Page 11: Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020119/587606041a28ab963c8b7de0/html5/thumbnails/11.jpg)
Równanie kanoniczne paraboli
Równanie paraboli jest rozważane w dwóch przypadkach: gdy kierownicajest prostopadła do osi OX lub gdy jest równoległa do osi OX . Niechdany będzie wierzchołek paraboli W = (x0, y0). Wtedy równaniekanoniczne paraboli ma postać
(y − y0)2 = 2p(x − x0) (1)
W drugim wypadku dostajemy:
(x − x0)2 = 2p(y − y0). (2)
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola
![Page 12: Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020119/587606041a28ab963c8b7de0/html5/thumbnails/12.jpg)
Równanie w postaci parametrycznej
Przy takich samych założeniach jak poprzednio możemy wyznaczyćrównania parametryczne paraboli. W pierwszym wypadku są one danejako:
x = x0 + pt2, y = y0 + 2pt (3)
W drugim zaś jako:
x = x0 + 2pt, y = y0 + pt2 (4)
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola
![Page 13: Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020119/587606041a28ab963c8b7de0/html5/thumbnails/13.jpg)
Równanie w postaci parametrycznej
Przy takich samych założeniach jak poprzednio możemy wyznaczyćrównania parametryczne paraboli. W pierwszym wypadku są one danejako:
x = x0 + pt2, y = y0 + 2pt (3)
W drugim zaś jako:
x = x0 + 2pt, y = y0 + pt2 (4)
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola
![Page 14: Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020119/587606041a28ab963c8b7de0/html5/thumbnails/14.jpg)
Równanie w postaci biegunowej
Niech środek paraboli będzie w biegunie. Wtedy równanie biegunoweparaboli ma postać:
ρ =p
1 + cos(φ)(5)
gdzie p jest parametrem ogniskowym.
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola
![Page 15: Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020119/587606041a28ab963c8b7de0/html5/thumbnails/15.jpg)
Równanie w postaci biegunowej
Niech środek paraboli będzie w biegunie. Wtedy równanie biegunoweparaboli ma postać:
ρ =p
1 + cos(φ)(5)
gdzie p jest parametrem ogniskowym.
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola
![Page 16: Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020119/587606041a28ab963c8b7de0/html5/thumbnails/16.jpg)
Kierownice i ogniska paraboli
Jeśli parabola jest postaci (y − y0)2 = 2p(x − x0) to jej kierownica iwierzchołek dane są:
k : x = x0 −p2, W = (x0, 0)
Jeśli parabola jest postaci (x − x0)2 = 2p(y − y0) to jej kierownica iwierzchołek dane są:
k : y = y0 −p2, W = (0, y0)
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola
![Page 17: Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020119/587606041a28ab963c8b7de0/html5/thumbnails/17.jpg)
Kierownice i ogniska paraboli
Jeśli parabola jest postaci (y − y0)2 = 2p(x − x0) to jej kierownica iwierzchołek dane są:
k : x = x0 −p2, W = (x0, 0)
Jeśli parabola jest postaci (x − x0)2 = 2p(y − y0) to jej kierownica iwierzchołek dane są:
k : y = y0 −p2, W = (0, y0)
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola
![Page 18: Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020119/587606041a28ab963c8b7de0/html5/thumbnails/18.jpg)
Równanie stycznej do paraboli
Niech punkt P(x1, y1) należy do paraboli o kierownicy prostopadłej do osiOX . Wtedy równanie stycznej do paraboli w punkcie P ma postać:
(y1 − y0)(y − y0)(x1 − x0) + (x − x0)
= p
Niech punkt P(x1, y1) należy do paraboli o kierownicy prostopadłej do osiOY . Wtedy równanie stycznej do paraboli w punkcie P ma postać:
(x1 − x0)(x − x0)(y1 − y0) + (y − y0)
= p
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola
![Page 19: Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020119/587606041a28ab963c8b7de0/html5/thumbnails/19.jpg)
Równanie stycznej do paraboli
Niech punkt P(x1, y1) należy do paraboli o kierownicy prostopadłej do osiOX . Wtedy równanie stycznej do paraboli w punkcie P ma postać:
(y1 − y0)(y − y0)(x1 − x0) + (x − x0)
= p
Niech punkt P(x1, y1) należy do paraboli o kierownicy prostopadłej do osiOY . Wtedy równanie stycznej do paraboli w punkcie P ma postać:
(x1 − x0)(x − x0)(y1 − y0) + (y − y0)
= p
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola
![Page 20: Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020119/587606041a28ab963c8b7de0/html5/thumbnails/20.jpg)
Kreślenie paraboli
Załóżmy, że dysponujemy prostokątem. KROK I: wybieramy punkt wpołowie krótszego boku. Będzie to nasz wierzchołek.
KROK II: dzielimy dłuższy bok prostokąta na n równych części.KROK III: Łączymy każdy punkt podziału z wierzchołkiem
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola
![Page 21: Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020119/587606041a28ab963c8b7de0/html5/thumbnails/21.jpg)
Kreślenie paraboli
Załóżmy, że dysponujemy prostokątem. KROK I: wybieramy punkt wpołowie krótszego boku. Będzie to nasz wierzchołek.KROK II: dzielimy dłuższy bok prostokąta na n równych części.
KROK III: Łączymy każdy punkt podziału z wierzchołkiem
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola
![Page 22: Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020119/587606041a28ab963c8b7de0/html5/thumbnails/22.jpg)
Kreślenie paraboli
Załóżmy, że dysponujemy prostokątem. KROK I: wybieramy punkt wpołowie krótszego boku. Będzie to nasz wierzchołek.KROK II: dzielimy dłuższy bok prostokąta na n równych części.KROK III: Łączymy każdy punkt podziału z wierzchołkiem
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola
![Page 23: Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020119/587606041a28ab963c8b7de0/html5/thumbnails/23.jpg)
Kreślenie paraboli
Załóżmy, że dysponujemy prostokątem. KROK I: wybieramy punkt wpołowie krótszego boku. Będzie to nasz wierzchołek.KROK II: dzielimy dłuższy bok prostokąta na n równych części.KROK III: Łączymy każdy punkt podziału z wierzchołkiem
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola
![Page 24: Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020119/587606041a28ab963c8b7de0/html5/thumbnails/24.jpg)
Kreślenie paraboli
KROK IV: Dzielimy krótszy bok na 2n części i rysujemy pionowe liniepodziału.
KROK V: Punkty przecięcia prostych przechodzących przez punkty o tychsamych numerach to punkty przejścia paraboli.
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola
![Page 25: Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020119/587606041a28ab963c8b7de0/html5/thumbnails/25.jpg)
Kreślenie paraboli
KROK IV: Dzielimy krótszy bok na 2n części i rysujemy pionowe liniepodziału.KROK V: Punkty przecięcia prostych przechodzących przez punkty o tychsamych numerach to punkty przejścia paraboli.
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola
![Page 26: Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020119/587606041a28ab963c8b7de0/html5/thumbnails/26.jpg)
Podziękowania
Dziękuję za uwagę
Marek Skarupski
Krzywe stożkowe Lekcja VI: Parabola