Kétrészecskés rendszerek szétesésénekszámítógépes szimulációja
Szakdolgozat
Bodor Áron Csaba
ELTE TTK, Fizika BSc, Fizikus szakirány Témavezeto
Dr. Horváth ÁkosELTE TTK Atomfizikai tanszék
Budapest,2016
Tartalomjegyzék
1. Bevezetés 1
1.1. Neutron glóriával rendelkezo atommagok [1] . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Coulomb-disszociáció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2. Kétrészecskés rendszerek szétesése 3
2.1. Kvantummechanika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1.1. Idofejlodés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.2. Az állapotok térbeli reprezentálása . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.3. A hely eltolása: impulzus sajátállapotok . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.4. Impulzus operátor és sajátállapotai helyreprezentációban . . . . 9
2.1.5. Várható értékek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2. A vizsgált rendszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.1. A rendszer Hamilton-operátora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.2. Kötött és kontinuum állapotok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.3. Reakciómodellek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3. Numerikus módszerek 15
3.1. Tér és ido diszkretizációja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2. Idoléptetés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3. Diszkrét differenciák, impulzusoperátor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.4. Hamilton-operátor diszkrét tartományon . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.5. Többváltozós eset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.6. Operator splitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.7. A numerikus algoritmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2
TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK
4. Eredmények 22
4.1. Elöljáróban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.1.1. A rendszer idofejlodésének követése projekciókkal . . . . . . . . 24
4.1.2. A relatív sebesség várható értéke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2. Szimulációk a VINT (r; t) modellben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2.1. Állapot idofüggése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2.2. Projekciók és relatív sebességek különbözo impakt paraméterek
esetén . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2.3. Felhasadás valószínusége és relatív sebességek széles (K, b) para-
métertartományon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.3. Szimulációk a VINT (r,R) modellben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.3.1. Állapot idofüggése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.3.2. Visszaszórt valószínuségsuruség leválasztása . . . . . . . . . . . 42
5. Diszkusszió 43
Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 3
1. fejezet
Bevezetés
1.1. Neutron glóriával rendelkezo atommagok [1]
Az izotóptérkép túlcsordulási vonalainak környezetében az atommagoknak különleges
szerkezete lehet. A modern magfizikai kutatások egyik fo célja ezen területek feltérké-
pezése. A könnyu, neutronban fajlagosan gazdag atommagok - a neutron túlcsordu-
lási vonal környékén - is ilyen atommagok. A magfizikai kutatások eredményeként
sikeresen elo lehet már állítani ilyen magok alkotta nyalábokat. Instabilitásuk miatt
ezeket csak szóráskísérletekben tudjuk vizsgálni. Ez megnehezíti a pontos szerkezet
meghatározását. Szóráskísérletek által bizonyított, hogy ezen könnyu egzotikus atom-
magoknak létezhet olyan szerkezete, ahol az utolsó neutron lazán (egy nagyságrend-
del kisebb kötési energiával) csatlakozik az atommaghoz. Emiatt ennek a neutronnak a
hullámfüggvénye kiterjedt. Ez egy glória elnevezésu magszerkezetet eredményez, ahol
a neutront - vagy neutronokat, esetleg neutron klasztereket - különállónak lehet tekin-
teni a atommagtól olyan értelemben mint egy elektront az atommagtól, ezért ezeket a
glóriaszerkezetet kialakító neutronokat valencia neutronoknak is szokták nevezni.
1.2. Coulomb-disszociáció
A Coulomb-disszociáció során az glóriás atommagok felhasadhatnak elektromágneses
tér hatására. Ez általában úgy realizálódik, hogy egy egzotikus atommagnyalábot ólom
céltárgyra lonek. Ekkor az ólom magok eros Coulomb-terében lehetségessé válik, hogy
az elektromágneses tér az atommagot kilökje a glória szerkezetbol. Ezen folyamat tehát
1
1. FEJEZET. BEVEZETÉS 1.2. COULOMB-DISSZOCIÁCIÓ
egy atommagot és egy, vagy több leszakadt neutront eredményez a vizsgált magtól
függoen. A Coulomb-disszociáció aktív kutatási terület és alkalmas eszköz nukleáris
asztrofizikai kérdések megválaszolására [2].
Szakdolgozatom célja, hogy egy idofüggo leírást adjak kétrészecskés nem relati-
visztikus kvantummechanikai rendszerek szétesésérol külso tér hatására. Ennek a mo-
tivációja, hogy a Coulomb-disszociáció során elofordulhat utógyorsítás. Ez azt jelenti,
hogy a Coulomb-tér hatására kiszakadt atommag és a neutron közötti relatív sebesség
eltér a nullától[7]. Feladatom ilyen jelenség kutatása egy egyszeru kvantummechanikai
modellben, amely alkalmas késobbi bovítésre.
Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 2
2. fejezet
Kétrészecskés rendszerek szétesése
Szakdolgozatom célja kétrészecskés kvantummechanikai rendszerek szétesésének di-
namikai vizsgálata. Ehhez szükséges áttekinteni a felhasznált elmélet, a kvantumme-
chanikai alapjait és következményeit: a 2.1 rész a teljesség igénye nélkül számol be
ezekrol. Ezen részben, mivel lényegében oktatási anyagokat tartalmaz, nem hivatkoz-
tam az egyenleteket, összefüggéseket, itt jegyezném meg, hogy megírásában a vezér-
fonalat [3, 4, 5] muvek szolgálták. A 2.2. részben bevezetem a vizsgált rendszert és a
paramétereit, a kölcsönhatás két lehetséges modelljét.
2.1. Kvantummechanika
Az állapottér a C komplex számtest fölött értelmezett Hilbert-tér, jelöljeH. Az állapoto-
kat ebben az absztrakt térben a Dirac-féle "bra-ket" konvenció szerint jelöljük: |Ψ〉 ∈ H.
A Born-féle valószínuségi értelmezés miatt az állapotteret megszorítjuk az egy normá-
jú állapotokra: 〈Ψ|Ψ〉 != 1, így a különbözo állapotok halmaza a H-beli egységgömb
felülete, a teljes állapottéren pedig a |Φ〉 = c |Ψ〉 , c ∈ C fizikailag azonos állapotként
interpretálhatóak: |Φ〉 ∼ |Ψ〉. Ezt röviden úgy mondhatjuk, hogy egy állapotnak a
Hilbert-tér egy sugara felel meg, nem pedig egy vektora.
A fizikai mennyiségek a Hilbert-téren ható önadjungált (hermitikus) operátorok, ezek
szokásos jelölése: A, A† = A.
3
2. FEJEZET. KÉTRÉSZECSKÉS RENDSZEREK SZÉTESÉSE 2.1. KVANTUMMECHANIKA
2.1.1. Idofejlodés
Hogy dinamikai leíráshoz jussunk, az állapottér elemeit az idovel paraméterezzük:
|Ψ(t)〉 ∈ H, t ∈ R. Az állapotok idobeli fejlodését szokásos az 2.1. ábrához hasonló
módon szemléltetni.
2.1. ábra. Az állapot idofejlodésének szokásos szemléltetése a H-beli egy-séggömbön.
Az állapotok idobeli fejlodésének leírásához vezessünk be egy idofejleszto operátort
a következo definiáló relációval és paraméterezéssel:
U : H → H, (2.1)
U(t, t0) |Ψ(t0)〉 = |Ψ(t)〉 , (2.2)
tehát U(t, t0) operátor a t0-beli állapotot a t-beli állapotba transzformálja. Az idofej-
leszto operátorra kiszabunk feltételeket, melyek teljesítése meghatározza az operátor
tulajdonságait:
F.1 az idofejlesztés legyen normatartó, tehát ne képezze az egység normájú állapoto-
Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 4
2. FEJEZET. KÉTRÉSZECSKÉS RENDSZEREK SZÉTESÉSE 2.1. KVANTUMMECHANIKA
kat nem egység normájú állapotokba:
〈Ψ(t)|Ψ(t)〉 = 〈Ψ(t0)|U†(t, t0)U(t, t0)|Ψ(t0)〉 != 〈Ψ(t0)|Ψ(t0)〉︸ ︷︷ ︸
=1
∀t, t0;
ennek a következménye, hogy az idofejleszto operátor egy unitér transzformáció:
U†(t, t0) = U−1(t, t0),
F.2 az idofejlesztés tartson az identikus transzformációhoz, ahogy a t ido paraméter
tart a t0 kezdopillanathoz:
limt→0U(t, 0) = I,
F.3 egymást követo idofejlesztések is legyenek idofejlesztések (csoport tulajdonság),
továbbá minden két idopont közötti idofejélesztést lehessen felbontani kisebb
idolépésekre:
U(t2, t1)U(t1, t0) = U(t2, t0),
F.4 zárt rendszerben teljesüljön az idoeltolási invariancia, tehát az idofejleszto operá-
tor csak az argumentumainak különbségétol függjön:
U(t2, t1) = U(t4, t3),{t1, t2, t3, t4
∣∣ |t2 − t1| = |t4 − t3|},
ilyenkor az U-val jelölt operátorokat át lehet paraméterezni, hogy csak egy argu-
mentumuk legyen:
t2 − t1 −→ t ⇒ U(t2, t1) −→ U(t),
tehát zárt rendszerben az F.3. feltétel alakja:
U(t′3 = t2 − t0 = t′2 + t′1) = U(t′2 = t2 − t1)U(t′1 = t1 − t0).
Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 5
2. FEJEZET. KÉTRÉSZECSKÉS RENDSZEREK SZÉTESÉSE 2.1. KVANTUMMECHANIKA
A F.2. és F.3 feltétel következménye, hogy:
U(0, t)U(t, 0) = U(0, 0) = I⇒ U−1(t, 0) = U†(t, 0) = U(0, t), (2.3)
tehát az idofejleszto operátorokon értelmezett adjungált megegyezik a fordított irányú
idofejlesztéssel. Fejtsük Taylor-sorba az U(t+ dt, t) infinitezimális idofejlesztést dt elto-
lásban elso rendig:
U(t+ dt, t) = U(t, t)︸ ︷︷ ︸=I
+dUdt
∣∣∣(t,t)
dt+O(dt2). (2.4)
A (2.4) egyenletben kihasználtuk a F.2. feltételt. Ahhoz, hogy (2.4) egyenletben az
operátor (dt rendben) unitér legyen a következo kell teljesüljön:
dUdt
∣∣∣(t,t)
= −iH(t)
~, H† = H, (2.5)
ahol bevezettük az idoeltolás generátorát, a Hamilton-operátort, amely hermitikus, te-
hát fizikai mennyiséghez rendelheto operátor. Zárt rendszerben az idoeltolás szimmet-
ria, ezért a Noether-tétel alapján a generátora egy megmaradó fizikai mennyiség. Az
idoeltoláshoz asszociált mennyiség az energia, ezért a H(t) operátor legyen az energia
operátora.
Sok esetben a vizsgált fizikai rendszernek ismertnek tekintjük a Hamilton-operátorát
és ennek függvényeként vagyunk kíváncsiak az idofejleszto operátorra, ezért érdemes
differenciálegyenletet írni rá, ugyanis ebben meg fog jelenni a Hamilton-operátor:
d |Ψ(t)〉dt
=dUdt
∣∣∣(t,t0)|Ψ(t0)〉 = lim
δt→0
(U(t+ δt, t0)− U(t, t0)
δt
)|Ψ(t0)〉 , (2.6)
amelybol U(t, t0)-t kiemelhetjük (F.3 feltétel miatt), így (2.4) egyenletet felhasználva:
d |Ψ(t)〉dt
= limδt→0
(U(t+ δt, t)− Iδt
)U(t, t0) |Ψ(t0)〉 =
−i~
H(t) |Ψ(t)〉 , (2.7)
ez a Schrödinger-egyenlet, amelyet átírhatunk az idofejleszto operátorra:
dUdt
∣∣∣(t,t0)
=−i~
H(t)U(t, t0). (2.8)
Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 6
2. FEJEZET. KÉTRÉSZECSKÉS RENDSZEREK SZÉTESÉSE 2.1. KVANTUMMECHANIKA
A (2.8) egyenlet megoldása zárt rendszer esetén(H(t) ≡ H
), illetve ha
[H(t1), H(t2)
]=
0, ∀ t1, t2 triviális:
U(t, t0) =
e−i~ H(t−t0) , ha H(t) ≡ H,
e
−i~
t∫t0
H(t′)dt′
, ha[H(t1), H(t2)
]= 0 ∀ t1, t2.
(2.9)
Ha a fenti feltételek egyike sem teljesül, akkor a megoldása az (2.8) egyenletnek:
U(t, t0) = Te
−i~
t∫t0
H(t′)dt′
, (2.10)
ahol Te az idorendezett exponenciálist jelöli, amelyet a következovel definiálunk:
Te
−i~
t∫t0
H(t′)dt′
= I +−i~
t∫t0
H(t′)dt′ +(−i~
)2t∫
t0
t′∫t0
H(t′)H(t′′)dt′′dt′ + ... (2.11)
Látható, hogy az idorendezésre azért van szükség, mert idotol függo, de a különbö-
zo idopontokban nem felcserélheto Hamilton-operátorok esetén, ha (2.9) egyenletben
felírt (második) képletet alkalmaznánk, az sértené a kauzalitást: az exponenciális sorát
kiírva lennének olyan tagok, ahol H(t′)H(t′′), t′′ ≥ t′. Ez azonban (ha a két Hamilton-
operátor nem felcserélheto) azt jelentené, hogy egy késobb levo idoeltolást egy koráb-
ban levo idoeltolás követ (az eltolási muveleteket jobbról balra kell "kiolvasni"), ez az
ami a kauzalitást sérti és emiatt kell kizárnunk az exponenciális függvény sorából eze-
ket a tagokat, és így jutunk az idorendezett exponenciális függvényhez.
2.1.2. Az állapotok térbeli reprezentálása
A helyt, mint fizikai mennyiséget, változót reprezentálja egy d-dimenziós euklideszi
vektortér, ezt jelöljük V-vel, dimV = d, elemei a helyvektorok: x ∈ V. Vezessük be
a helymérés vektoroperátorát: x, x† = x. Ez a helynek, mint fizikai mennyiségnek
megfelelo operátor. Az operátor sajátértékegyenlete:
x |x〉 = x |x〉 , (2.12)
Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 7
2. FEJEZET. KÉTRÉSZECSKÉS RENDSZEREK SZÉTESÉSE 2.1. KVANTUMMECHANIKA
〈x′|x〉 = δ(x′ − x) ortonormált sajátállapotok, valós sajátértékekkel. Ha a teljességi
reláció is teljesül: ∫ddx |x〉 〈x| = I, (2.13)
akkor x sajátállapotai egy teljes ortonormált rendszert alkotnak, tehát ezeken az álla-
potokon kifejezhetjük a Hilbert-tér állapotait:
|Ψ〉 =
∫ddx 〈x|Ψ〉 |x〉 =
∫ddxψ(x) |x〉 . (2.14)
A (2.14) egyenletben bevezettük ψ(x) függvényt, amelyet a |Ψ〉 állapot helyreprezen-
tációjának nevezünk. A (2.14) egyenlet segítségével levezetheto a skalárszorzat repre-
zentációja:
〈Φ|Ψ〉 =
∫dx
∫ddx′ 〈Φ|x〉 〈x′|Ψ〉 〈x|x′〉 =
∫x
ddxφ∗(x)ψ(x). (2.15)
A normáltság miatt ψ(x)-szel jelölt függvényeknek is normáltnak kell lenniük, ezért
ezeket általában az V téren értelmezett négyzetesen integrálható függvények terébol,
L2(V)-bol választjuk. A x függvényei helyreprezentációban:
〈x′| x |Ψ〉 = x′ 〈x′|Ψ〉 = x′ψ(x′)⇒ 〈x′| f(x) |Ψ〉 = f(x′) 〈x′|Ψ〉 = f(x′)ψ(x′), (2.16)
tehát a x operátor a helyreprezentációban az adott hely koordinátáival való szorzás
muvelete, és emiatt az operátor függvényei az adott helyen vett függvényértékkel való
szorzás muveleteiként ábrázolódnak.
2.1.3. A hely eltolása: impulzus sajátállapotok
A V fizikai tér eltolása, mint transzformáció, unitér módon ábrázolódik aH-téren, tehát
a x helyoperátor eltoltja:
x′ = U†a x Ua = x + a, (2.17)
ahol a∈ V az eltolásvektor. Az unitér transzformációt egy hermitikus operátor "gene-
rálja", ezt jelöljük p-vel és a fizikai impulzusnak feleltetjük meg (hasonló módon, az
idoeltolásnál a H Hamilton operátort az energiának feleltettük meg). Ekkor a transzfor-
Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 8
2. FEJEZET. KÉTRÉSZECSKÉS RENDSZEREK SZÉTESÉSE 2.1. KVANTUMMECHANIKA
máció:
x′ = eipa~ x e
−ipa~ = x + a. (2.18)
Az (2.18) egyenletben, ha a transzformációkat valamilyen infinitezimális da paramé-
terel végezzük el, a Heisenberg-relációra jutunk:
x′ = x +i
~
[p, x
]da +O(da2) = x + da⇒ [pi, xj ] =
~iδij . (2.19)
A Heisenberg-reláció legfontosabb következménye, hogy x és p operátoroknak nincs
közös sajátállapot-rendszere, tehát nincs olyan bázisa, melyben tetszoleges A(x,p) fizi-
kai mennyiség diagonális.
2.1.4. Impulzus operátor és sajátállapotai helyreprezentációban
Általánosan a hullámmechanikában (helyreprezentációban) fontos jelentosége van, hogy
a választott reprezentáns függvénytér elemeire hogyan hat az impulzus operátor, to-
vábbá, hogy az absztrakt sajátállapotai milyen hullámfüggvénnyel írhatóak le. Az elso
kérdésre a választ az x-bel hullámfüggvény (infinitezimális) ∆x-szel való eltranszfor-
málása adja:
ψ(x + ∆x) = eip∆x
~ ψ(x) ≈ (I +−ip∆x
~)ψ(x)⇒ −i~∂ψ(x)
∂xi↔ pi, (2.20)
ahol az egyenlet bal oldalát Taylor-sorba fejtettük. Ez alapján impulzus operátor elso-
rendu differenciáloperátor L2-en. Az impulzus sajátállapotokra fennáll: p |p〉 = p |p〉,ezért reprezentációjuk:
〈x|p〉 = 〈eipx~ ψ(0)|p〉 = 〈0|e
−ipx~ p〉 = e
−ipx~ 〈0|p〉 , (2.21)
ahol kihasználtuk a projektorfelbontást: f(p) =∫
ddpf(p) |p〉 〈p|. Az utolsó skalár-
szorzat szabadon rögzítheto, ezért legyen konvencionálisan
〈0|p〉 = (2π)−d/2. (2.22)
Látható tehát, hogy az impulzus sajátállapotok hullámfüggvénye:
〈x|p〉 = e−ipx
~ /(2π)d/2, (2.23)
Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 9
2. FEJEZET. KÉTRÉSZECSKÉS RENDSZEREK SZÉTESÉSE 2.2. A VIZSGÁLT RENDSZER
tehát a bázistranszformáció az impulzus- és a helyreprezentáció között azonos a Fourier-
transzformációval, hiszen:
ψ(x) = 〈x|Ψ〉 =
∫ddp 〈p|Ψ〉 〈x|p〉 =
∫ddp
(2π)d/2ψ(p) exp
(−ipx~)
= F−1{ψ(p)
},
(2.24)
ahol F a Fourier-transzformációt jelöli.
2.1.5. Várható értékek
Egy A=A† fizikai mennyiség várható értékét egy adott állapotban a következo össze-
függés definiálja:
〈A〉Ψ = 〈Ψ| A |Ψ〉 . (2.25)
A A |a〉 = a |a〉 sajátértékproblémával definiált{|a〉}
teljes ortonormált rendszert fel-
használva:
〈A〉Ψ =∑a,a′
〈Ψ|a′〉 〈a′| A |a〉 〈a|Ψ〉 =∑a
a | 〈a|Ψ〉 |2, (2.26)
tehát az | 〈a|Ψ〉 |2 pozitív definit, egyre normált mennyiséget megfeleltethetünk egy el-
oszlásnak:
ρΨ(a) = | 〈a|Ψ〉 |2 ⇔ A operátorral való mérési eredmény a ρ(a) valószínuséggel.
(2.27)
Ez a kvantumfizika mérési axiómája. Ez alapján | 〈x|Ψ〉 |2 annak az eloszlását adja, hogy
hol található a rendszer, amelynek állapotát Ψ jegyzi, ezt a hullámmechanikában Born-
féle interpretációnak nevezik, amelyre hivatkozva tettük meg a 〈Ψ|Ψ〉 = 1 megszorítást
ezen rész elején.
2.2. A vizsgált rendszer
Szakdolgozatom célja, hogy két részecskébol álló rendszereket vizsgáljak, melyek kez-
detben kötöttek, azonban adott külso behatásra felszakad ez a kötés. Ezeket a rendsze-
reket kvantumdinamikailag vizsgáltam, hogy az egyes átmenetek, folyamatok idobeli
lefolyásáról számot adhassak. Az alábbi általános feltételezésekkel éltem:
• a fizikai tér (V) egy dimenziós, dimV = d = 1, így a szabadsági fokok (f ) maxi-
mális száma: f = n× d = 2,
Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 10
2. FEJEZET. KÉTRÉSZECSKÉS RENDSZEREK SZÉTESÉSE 2.2. A VIZSGÁLT RENDSZER
• a két részecske megkülönböztetheto,
• a rendszer térbeli és impulzusbeli reprezentációját vizsgáltam.
A rendszert Hamilton-operátora határozza meg, általános cél adott rendszerek Hamilton-
operátorának megtalálása (amennyire az meghatározható lehet). Egy szokásos eljárás
lehet ezen feladat teljesítésére az operátor "megsejtése" klasszikus analógiából, ebbol a
(2.7), vagy ezzel analóg egyenlet megoldása és fizikai mennyiségek (reakciókról beszél-
ve ez általában a hatáskeresztmetszet) kiszámítása.
A szakdolgozat célja a kétrészecskés rendszer felszakadásának vizsgálata volt kü-
lönbözo modellek szintjén, nem konkrét mérési eredmények magyarázata, ezért kü-
lönbözo, önkényesen1 megválasztott Hamilton-operátorok esetén vizsgáltam ezt. A
magfizikai motiváció leszukíti a választott paramétereket, kölcsönhatásokat kvalitatív
és kvantitatív módon.
2.2.1. A rendszer Hamilton-operátora
A rendszer belso viszonyait leíró Hamilton-operátorát a következoképpen választot-
tuk:
H(x1, p1, x2, p2) =p2
1
2m1+
p22
2m2+ VC
(|x1 − x2|
). (2.28)
A (2.28) operátort a nem relativisztikus kvantummechanikában szokásos kanonikus
kvantálás alapján választottuk meg: tartalmazza a két részecske kinetikus energiaope-
rátorát és a két részecskét összeköto centrális potenciált. Felhasználva a (2.20) össze-
függést, a (2.28)-beli operátor térbeli reprezentációja:
H(x1,−i~∂1, x2,−i~∂2) =−~2
2m1∂2
1 +−~2
2m2∂2
2 + VC(|x1 − x2|
). (2.29)
A tömegközéppont és a relatív koordináta (2.31) bevezetésével átírhatjuk a Hamilton-
operátort olyan alakba, hogy a szabadsági fokokat ne csatolja:
r = x1 − x2, x1 = R+µ
m1r, (2.30)
R =m1x1 +m2x2
m1 +m2, x2 = R− µ
m2r, (2.31)
1Az önkényesség itt azt jelenti, hogy fontosabb egy szemléltetheto képpel indokolni a Hamilton-operátor megválasztását, mint mérési eredményekkel.
Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 11
2. FEJEZET. KÉTRÉSZECSKÉS RENDSZEREK SZÉTESÉSE 2.2. A VIZSGÁLT RENDSZER
ahol bevezettük a µ = m1m2m1+m2
redukált tömeget. A koordinátákhoz tartozó impulzus-
operátorokat kiszámíthatjuk az inverz transzformáció segítségével, ennek eredménye:
pr = µ( p1
m1− p2
m2
), (2.32)
pR = p1 + p2. (2.33)
Meggyozodhetünk arról, hogy (2.33) egyenletekben definiált impulzusoperátorok a
megfelelo (2.31)-beli helyoperátorokkal teljesítik az (2.19) kommutátoros relációkat. A
Hamilton-operátor, mint az új koordináták függvénye:
H(r,−i~∂r, R,−i~∂R) =−~2
2M∂2R +−~2
2µ∂2r + VC
(|r|), (2.34)
tehát két független "részecskére" bontottuk a Hamilton-operátort, a tömegközéppontra
és a relatív koordinátára.
2.2.2. Kötött és kontinuum állapotok
A Hamilton-operátor sajátértékegyenlete, ha az operátor nem idofüggo, ekvivalens az
exponenciális függvény képzésével a projektorfelbontás és (2.9) értelmében, másképp
mondva az operátor exponenciálisához ismernünk kell annak sajátállapotait. A két
részecskés rendszert leíró operátor nem idofüggo, ezért ebben az esetben is a megfe-
lelo Schrödinger-egyenlet a sajátértékegyenlet (idofüggetlen Schrödinger-egyenlet). A
(2.34)-beli operátort szétválaszthatjuk egy szabad részecske és a relatív koordináta ál-
tal reprezentált részecske összegére. Ilyenkor az állapottal ekvivalens hullámfüggvényt
szeparálhatjuk változóiban és egy szabad részecskét leíró és egy potenciálmozgást vég-
zo részecske Schrödinger-egyenletére jutunk:
H = Hr + HR, (2.35)
ansatz: ψ(r,R) = φ(r)χ(R), (2.36)
⇒ HRχ(R) = ERχ(R), (2.37)
⇒ Hrφ(r) = εrφ(r). (2.38)
A fentiek közül (2.37) megoldása egy impulzus sajátállapot ER(pR) = p2R/2M diszper-
zióval, (2.38) pedig egy potenciálmozgás, (2.34)-ben definiált potenciállal, ez lesz az,
Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 12
2. FEJEZET. KÉTRÉSZECSKÉS RENDSZEREK SZÉTESÉSE 2.2. A VIZSGÁLT RENDSZER
amely a kezdofeltételeken kívül a fizikailag lényeges tartalmat meghatározza: a kötött
rendszer állapotát.
Egy potenciálmozgást kötöttnek nevezünk, ha a részecske εr energiájára r-ben aszimp-
totikusan: εr < V (r →∞), εr < V (r → −∞). Ha ez nem teljesül, akkor ez a részecske
is szabad mozgást végez εr(r, pr) = p2r/2µ + VC(|r|) diszperzióval. Ez alapján egy kö-
tött rendszer felszakadása azt jelenti, hogy a kötött energiás sajátállapotból a rendszer
valamilyen külso hatásra egy kontinuum állapotba kerül.
2.2.3. Reakciómodellek
A rendszert és a külso behatást írja le egy teljes Hamilton-operátor, amely teljesen álta-
lánosan lehet idofüggo. Ezt az operátort a következo alakúnak feltételeztük:
Htot(r,−i~∂r, R,−i~∂R; t) = H(r,−i~∂r, R,−i~∂R) + VINT (r,R; t). (2.39)
A VINT kölcsönhatási potenciáltól függ a probléma komplexitása. Ezt egy b impakt
paraméterrel regularizált Coulomb-potenciálnak vettem, amely csak az egyik, töltéssel
rendelkezo részecskére hat. Olyan eseteket vizsgáltam, ahol ez a potenciál a lehetséges
három argumentumából csak kettotol függ: r-tol és t-tol vagy r-tol és R-tol.
VINT (r; t) reakciómodell
Tételezzük fel, hogy a tömegközéppont egy klasszikus R(t) trajektória mentén mozog.
Ezáltal az R változó egy paraméter lesz, mely az idotol függ, nem operátor: nem vizs-
gáljuk ennek a fizikai mennyiségnek a |ψ(R)|2 eloszlását. A trajektóriát egyenes vonalú,
egyenletes mozgásnak feltételeztem, tehát:
R(t) = R0 +~KM
t, (2.40)
ahol K a tömegközépponthoz konjugált impulzus, R0 kezdofeltétel. Ezt felhasznál-
va, továbbá, ha feltételezzük, hogy a tér csak az m1 tömeggel és q1 töltéssel jellemzett
részecskével hat kölcsön, VINT (r; t) alakja:
VINT (r; t) =q1ZT e
2
4πε0
1√(R(t) + µ/m1r)2 + b2
, (2.41)
Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 13
2. FEJEZET. KÉTRÉSZECSKÉS RENDSZEREK SZÉTESÉSE 2.2. A VIZSGÁLT RENDSZER
ahol ZT a kölcsönhatási potenciált kelto töltés nagysága (a T index a target-nek felel
meg), e az elemi töltés és ε0 a vákuum dielektromos állandója. Látható, hogy a (2.40)
behelyettesítésével (2.41)-be VINT expliciten idofüggo, tehát ebben az esetben a rend-
szer dinamikáját leíró idofejleszto operátort (2.10) formulával számíthatjuk ki. Ebben a
modellben tehát a rendszert leíró egyenlet:
ψ(r; t) = T exp
(−i~
t∫t0
dt′(−~2∂2
r
2µ+ VC(|r|) + VINT (r; t′)
))ψ(r; t0), (2.42a)
ψ(r; t0) = ψ0(r) kezdofeltétel, (2.42b)
ψ(r → ±∞; t) = 0 határfeltétel. (2.42c)
VINT (r,R) reakciómodell
Ha nem teszünk fel semmit a tömegközépponti mozgásról, akkor az ennek megfelelo
R mennyiségnek is figyelembe kell vennünk a dinamikáját. Mivel nem használunk fel
ekkor R(t) klasszikus trajektóriát, a kölcsönhatási potenciált így írhatjuk:
VINT (r,R) =q1ZT e
2
4πε0
1√(R+ µ/m1r)2 + b2
, (2.43)
tehát (2.41)-vel szemben itt két dinamikai változó van, viszont a potenciál maga nem
lesz idofüggo, így a rendszert és dinamikáját leíró egyenlet (2.9) felhasználásával:
ψ(r,R; t) = exp
(−i~
(t− t0)(−~2∂2
R
2M+−~2∂2
r
2µ+ VC(|r|) + VINT (r,R)
))ψ(r,R; t0),
(2.44a)
ψ(r,R; t0) = ψ0(r,R) kezdofeltétel, (2.44b)
ψ(r → ±∞, R; t) = 0 határfeltétel, (2.44c)
ψ(r,R→ ±∞; t) = 0 határfeltétel. (2.44d)
A (2.42) és (2.44) egyenletek az idofüggo Schrödinger-egyenlet formális megoldásai az
adott reakciómodellek esetén, ezt fogjuk kiszámítani numerikusan adott kezdofeltéte-
lekkel, közelíto módszereket alkalmazva. Ezekrol a következo fejezetben írok.
Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 14
3. fejezet
Numerikus módszerek
A 2. fejezetben leírást adtam a szakdolgozatban kituzött feladatról, annak matematikai
és fizikai hátterérol. Az (2.42) és (2.44) egyenleteket numerikusan kezeltem, az ehhez
szükséges hátteret, felhasznált numerikus módszereket ebben a fejezetben vezetem be.
3.1. Tér és ido diszkretizációja
Numerikus számításokhoz át kell térni diszkrét és véges értelmezési tartományra:
tn = t0 + n∆t, n ∈ [0, Nt] ∩ Z, (3.1a)
rj = r0 + j∆r, j ∈ [0, Nr] ∩ Z, (3.1b)
Rk = R0 + k∆R, k ∈ [0, NR] ∩ Z. (3.1c)
Ezeken a rácspontokon értelmezzük függvények diszkretizációja:
ψ(r,R; t) −→ ψnjk = ψ(r0 + j∆r,R0 + ∆R; t0 + n∆t) ∈ CNt×Nr×NR . (3.2)
Látható tehát, hogy a (3.1) formulákkal definiált tartományon értelmezett függvények
komplex szám Nt × Nr × NR-esek. Természetesen ha nem függ minden változótól a
függvény ennek számtáblázatnak annál kevesebb indexe van.
15
3. FEJEZET. NUMERIKUS MÓDSZEREK 3.2. IDOLÉPTETÉS
3.2. Idoléptetés
A (3.1)-ben bevezetett tartományon értékeljük ki a (2.42) és (2.44) egyenleteket, ezt az
ido diszkretizációját kihasználva ∆t lépésenként tesszük meg. Ez (2.44) esetén egzaktul
megteheto, mivel itt a Hamilton-operátornak nincs explicit idofüggése. A (2.42) egyen-
letet úgy közelítjük, hogy az exponenciális argumentumában található integrált ∆t ido-
re végezzük el úgy, hogy erre az idolépésre az integrandust konstansnak vesszük, tehát:
t+∆t∫t
dt′f(t′) ≈ f(t)∆t (3.3)
közelítéssel élünk. Ezek figyelembevételével a következo idoléptetéseket alkalmazzuk:
ψ(r,R; t+ ∆t) = exp(−i∆t
~
(−~2∂2r
2µ+ VC(|r|) + VINT (r; t)
))ψ(r,R; t), (3.4)
ψ(r,R; t+ ∆t) = exp(−i∆t
~
(−~2∂2R
2M+−~2∂2
r
2µ+ VC(|r|) + VINT (r,R)
))ψ(r,R; t).
(3.5)
3.3. Diszkrét differenciák, impulzusoperátor
Az impulzus operátor, mint láttuk (2.20) alapján a helyreprezentációban arányos a de-
riválással. Diszkrét értelmezési tartományon a deriválás nem létezik, ezzel analóg fo-
galom a véges differencia. Vezessük be az egy változós elsorendu véges differenciákat
elso szomszéd közelítésben:
D+ψi =ψi+1 − ψi
∆, (3.6a)
D−ψi =ψi − ψi−1
∆, (3.6b)
D1/2ψi =ψi+1 − ψi−1
2∆, (3.6c)
ahol felhasználtuk, hogy az értelmezési tartomány ∆ lépéshosszú darabokra van fel-
osztva. Fel lehet tenni a kérdést, hogy ez az analitikus deriválást mennyire jól közelíti.
Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 16
3. FEJEZET. NUMERIKUS MÓDSZEREK 3.4. HAMILTON-OPERÁTOR DISZKRÉT TARTOMÁNYON
Ehhez a folytonos ψ(x) függvény Taylor-sorát vizsgáljuk x ∆ sugarú környezetében:
ψ(x+∆) = ψ(x)+ψ′(x)∆+O(∆2)⇒ ψ(x+ ∆)− ψ(x)
∆≈ ψ′(x)⇒ ||ψ′(x)−D+u|| ∝ O(∆),
(3.7)
és hasonlóan a többi differenciasémára megmutatható, hogy ||ψ′(x)−D−ψ|| ∝ O(∆) és
||ψ′(x)−D1/2ψ|| ∝ O(∆2). Most fejezzük ki a centrális másodrendu véges differenciát
hasonlóképpen (3.6c) egyenlethez:
D(2)1/2ψi =
ψi+1 + ψi−1 − 2ψi∆2
. (3.8)
Itt is a vizsgált függvény Taylor-sorával meg lehet mutatni, hogy ||D(2)1/2ψi − ψ
′′(x)|| ∝O(∆2). Részletesebb leírás a véges differenciák módszerérol elérheto [6] jegyzetben.
Az impulzus operátor helyreprezentációban az elso deriváltat állítja elo (2.20) alap-
ján. Ha a helyreprezentáció diszkrét, akkor a deriválást a (3.6) egyenletekkel közelítjük.
A nem relativisztikus Hamilton-operátorok a részecskék szabad mozgását leíró részei
az impulzus operátorokban kvadratikusak, tehát diszkrét tartományon ezek kifejtése
(3.8) alapján történik.
3.4. Hamilton-operátor diszkrét tartományon
A numerikus számítások során a diszkrét függvényeket vektorokba rendezve kezel-
jük, ekkor a (3.6)-(3.8) egyenletekben bevezetett differencia-operációk mátrixszorzás-
ként írhatók fel. Olyan Hamilton-operátorokat vizsgáltam ((2.42) és (2.44) egyenletek),
melyekben az impulzus operátorok négyzeteitol és a helytol függo tagok vannak. A
helyfüggo tagok diszkréten is olyan operátorok, mint folytonos esetben, tehát (2.16)-
hoz hasonlóan:
f(xi)ψ(xi) = f(xi)ψ(xi) = fiψi. (3.9)
Ez azt jelenti, hogy a helytol függo függvények diagonális mátrixokba rendezhetoek:
f(x)→ f =
f(x1) 0 · · ·
0 f(x2) · · ·...
.... . .
. (3.10)
Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 17
3. FEJEZET. NUMERIKUS MÓDSZEREK 3.5. TÖBBVÁLTOZÓS ESET
A (3.8)-beli véges differencia mátrixa:
D(2)1/2 = 1/∆2
−2 1 0 0 · · · 0 0 0 0
1 −2 1 0 · · · 0 0 0 0...
. . . . . . . . . · · ·...
......
...
0 0 0 0 · · · 0 1 −2 1
0 0 0 0 · · · 0 0 1 −2
. (3.11)
A (3.10) és (3.11) egyenletekkel arra jutottunk, hogy egyváltozós Hamilton-operátorok
diszkrét értelmezési tartományon mátrixos alakba rendezhetoek, erre tekintsük konk-
rét példaként (2.34)-beli operátor r relatív koordinátától függo részét:
Hr(r,−i~∂r) =−~2
2µ∂2r + VC
(|r|)→
→(Hr
)ij
=−~2
2µ∆r2(δi,i+1 + δi,i−1 − 2δi,j) + VC(|ri|)δi,j . (3.12)
3.5. Többváltozós eset
A korábbi részekben bemutattam diszkrét függvények és operátorok célszeru repre-
zentációját egyváltozós esetben. Ha több változó van az értelmezési tartomány ki-
bovül. Konkrétan a (3.1) képletekkel definiált tartományon értelmezett skalár értéku
függvények Nt × Nr × NR számot jelentenek, ezeket ilyen méretu hipermátrixban tá-
roltam a számítások során. A tér is ido változótól függo függvényeket (3.9) alapján
értelmezzük, ezért ezeket is elrendezhetjük Nt×Nr×NR alakú hipermátrixban. Ekkor
természetesen egy ilyen módon tárolt potenciál függvény állapotfüggvényre gyakorolt
hatását nem mátrixszorzással számítjuk ki, hanem elemenkénti szorzással. Természe-
tesen felmerül a kérdés, hogy hogyan lehet leírni a többváltozós véges differenciákat
mátrix alakban. Ha Nt × Nr × NR nagyságú oszlopvektorba rendezzük a skalárfügg-
vényeket, akkor (Nt ×Nr ×NR)× (Nt ×Nr ×NR) méretu mátrixra lenne szükségünk
a differenciaoperátorokhoz, tehát az értelmezési tartomány kibovítésével négyzetesen
no az ehhez szükséges memória, ezért ez nem optimális ábrázolása a differenciaoperá-
toroknak. Hogy kikerüljem a (fölöslegesen) memóriaigényes számítást egy közelítést
alkalmaztam, aminek segítségével elég csak skalárfüggvényeket használni a számítás
során, így a maximálisan felmerülo tömbméret Nt ×Nr ×NR.
Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 18
3. FEJEZET. NUMERIKUS MÓDSZEREK 3.6. OPERATOR SPLITTING
3.6. Operator splitting
A vizsgált idoléptetések ((3.4) és (3.5)) kiértékeléséhez képeznünk kell a Hamilton-
operátorok exponenciálisát. Ez, mivel mindkét esetben a Hamilton két változótól függ,
az elozo részben leírtaknak megfeleloen egy (Nt ×Nr ×NR)× (Nt ×Nr ×NR) méretu
mátrix exponencializálását jelenti gyakorlatilag, ami számításigényes lehet Nt, Nr, NR
számok függvényében. Az exponencializálás helyett egy közelítést alkalmazok, ame-
lyet Operator splittingnek neveznek. Ennek bemutatására írjuk az idolépteto operátoro-
kat általánosan a következo alakba:
exp((
A(pr, pR) + B(r, R))∆t)
(3.13)
A Heisenberg-reláció miatt[A, B
]6= 0, tehát nem lehet felbontani az exponenciális
függvényt:
e
(A+B
)∆t 6= eA∆teB∆t, (3.14)
azonban, ha ∆t megfeleloen kicsi, a Taylor-sorok vizsgálatával arra jutunk, hogy:
e
(A+B
)∆t = I +
(A + B
)∆t+
(A2 + B2 +
{A, B
})∆t2
2+O(∆t3), (3.15)
eA∆teB∆t = I +(A + B
)∆t+
(A2 + B2 + 2AB
)∆t2
2+O(∆t3) = (3.16)
= e
(A+B
)∆t −
[A, B
]∆t22
+O(∆t3), (3.17)
tehát elso rendben jó becslés lehet az exponenciális függvény szorzatra bontása ("split-
telése"), ha az idolépés megfeleloen kicsi. Egy pontosabb (másodrendu) becslést ad a
következo szimmetrikus split-formula:
eB∆t/2eA∆teB∆t/2 = e
(A+B
)∆t +O(∆t3). (3.18)
Számításaim során a (3.18) felbontását használtam az idolépteto operátornak. Erre azért
volt szükség, mert így az egyes, r-tol és R-tol illetve pr-tol és pR-tol függo tagok kü-
lönválnak az idoléptetésben. Mivel ez a négy operátor páronként definiálja a hely- és
impulzustér bázisait, ezért az exponenciális függvények diagonálisak ezeken a bázi-
sokon kifejtve. A bázistranszformáció (2.24) alapján a Fourier-transzformáció, amit a
diszkrét reprezentációban Fast Fourier Transform (FFT) algoritmussal végeztem. Ennek
Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 19
3. FEJEZET. NUMERIKUS MÓDSZEREK 3.7. A NUMERIKUS ALGORITMUS
a komplexitása O(N logN), ami sokkal kedvezobb a mátrix exponencializálás komple-
xitásánál.
3.7. A numerikus algoritmus
A fejezet összefoglalásaként felírom a numerikus algoritmust, az idoléptetést az egyes
reakciómodellek esetén. Hogy a képletek kiférjenek, bevezetem a következo rövidíté-
seket felhasználva a (3.1)-beli definíciót:
Anj = VINT (rj ; tn) + VC(|rj |), (3.19)
Bjk = VINT (rj , Rk) + VC(|rj |), (3.20)
Cj =(p2r)j
2µ, (3.21)
Djk =(p2r)j
2µ+
(p2R)k
2M. (3.22)
A VINT (r; t) reakciómodell esetén az állapotot ψnj ∈ CNt×Nr jelöli és Nt × Nr méretu
mátrixban tároltam, ahogyan Anj mennyiséget is, mivel ez diagonális a hely reprezen-
tációban. A Cj mennyiséget egy Nr méretu vektorban tároltam. A megfelelo idolépte-
tés (az FFT algoritmust F-fel jelöltem és csak az r változóra, tehát a második indexekre
vonatkozik):
ψn+1,j = exp(−i~∆t
2Anj
)F−1
{exp
(− i~∆tCq
)F{
exp(−i~∆t
2Ans
)ψns
}nq
}nj,
(3.23a)
ψ0j = (ψ0)j kezdofeltétel, (3.23b)
ψn0 = ψnNr = 0 határfeltétel. (3.23c)
A VINT (r,R) reakciómodell esetén a rendszer állapotát ψnjk ∈ CNt×Nr×NR kódolja,
amelyet egyNt×Nr×NR méretu hipermátrixban tároltam, aBjk ésDjk mennyiségeket
pedig Nr ×NR méretu mátrixokban. Jelölje F a két dimenziós FFT algoritmus mely az
Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 20
3. FEJEZET. NUMERIKUS MÓDSZEREK 3.7. A NUMERIKUS ALGORITMUS
utolsó két indexre fut, tehát a térbeli részeket transzformálja. Az algoritmus:
ψn+1jk = exp(−i~Bjk∆t
2
)F−1
{exp
(− i~∆tDpq
)F{
exp(−i~Blm∆t
2ψnlm
)}npq
}njk,
(3.24a)
ψ0jk = (ψ0)jk kezdofeltétel, (3.24b)
ψn0k = ψnj0 = ψnNrk = ψnjNR= 0 határfeltételek. (3.24c)
A numerikus számításokhoz Python programozási nyelvet használtam a Spyder
IDE tudományos integrált fejleszto környezetben. Az adatok tárolására a numPy könyv-
tár több dimenziós struktúráit, a felmerülo sajátértékproblémák megoldására és Fourier-
transzformációk elvégzésére a SciPy eljárásait, az eredmények vizuális ábrázolásához
pedig a matplotlib könyvtárat használtam.
Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 21
4. fejezet
Eredmények
4.1. Elöljáróban
A 3. fejezetben kifejeztem a kiértékelendo mennyiség numerikus alakját, lásd: (3.23)
és (3.24) egyenletek. Az eredmények értékeléséhez még szükséges pár konkrét dolgot
megjegyezni.
Minden eredmény megtekintheto a személyes oldalamon1. Ezt azért szükséges
megjegyezni, mert a szimulációkról mozgóképes ábrákat is készítettem.
Minden számítás során ~ = 14πε0
= 1 egyszerusítéssel éltem.
Az eredményeket, mennyiségeket nem dimenzionáltam, csak a numerikus értéke-
ket adtam meg, ennek oka, hogy nem kellett kísérleti eredménnyel összehasonlítani
oket, a kvalitatív tartalom pedig a tömeg arányokban és a potenciálok, illetve a kineti-
kus energiatagok nagyságában van. Utóbbiakat, ahogy a (3.11) formulában is látszik az
1/∆2 nagyságrend jellemzi, ahol ∆ az adott diszkretizált tartomány lépéshossza.
A VINT kölcsönhatási potenciálokban alkalmaztam levágást, egy olyan értéktol,
ahonnan a potenciál térben lassan változik és értéke kicsi a maximumához képest.
A kezdofeltételeket az eredményeknél feltüntetem, de általában a VINT (r; t) mo-
dellben a rendszer belso Vc(r) potenciáljának egy sajátállapota, a VINT (r,R) modellben
ugyanezen belso állapot szorzata egy R-tol függo hullámcsomaggal.
A határfeltételek biztosítása végett olyan tartományokon vizsgáltam a hullámfügg-
vényt (mind hely, mind impulzus térben), amelyeken a vizsgált hullámfüggvények le-
csengnek, a határokon a maximális értéke a normált |ψ|2 eloszlásoknak 0.01-nél kisebb
1http://baroncs1.web.elte.hu/BScDolgozat/Eredmenyek/eredmenyek.html
22
4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 4.1. ELÖLJÁRÓBAN
volt.
A rendszer belso viszonyait jellemzo VC(r) potenciálnak a Wood-Saxon-függvényt
választottam, ennek alakja:
VC(r) =V0
1 + exp( |r|−r(0∗)
a
) , r(0∗) = r(0)M1/3, (4.1)
ahol M a vizsgált rendszer össztömege (ez magfizika esetén analóg a tömegszámmal),
V0, r(0), a a potenciál paraméterei. Látható, hogy a potenciál szimmetrikus r-ben, (4.1)
alapján elég lenne az r tartományt pozitívnak venni. Azonban VINT potenciálban szá-
mít az r elojele, ezért a tartomány negatív felét is figyelembe vesszük. V0 értékét meg-
szabva lehet beállítani, hogy a Hr = −~2∂2r
2µ +VC(r) Hamilton-operátornak hány negatív
energiás (kötött) sajátállapota legyen. V0 értékét úgy választottam meg, hogy a Hr ope-
rátornak két kötött állapota legyen, ekkor az elso gerjesztett állapotra⟨r2⟩> 0, tehát
az állapot nem nullára centralizált lesz, mint a legmélyebb energiaszint esetén. Ezt
összefoglalóan a 4.1. ábrán látható egy Wood-Saxon-potenciál és a paraméterezése.
4.1. ábra. Wood-Saxon-potenciál és két kötött állapota az ábrán jelölt pa-raméterezés mellet az adott tartományon.
Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 23
4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 4.1. ELÖLJÁRÓBAN
4.1.1. A rendszer idofejlodésének követése projekciókkal
A rendszer belso viszonyait a Hr és HrR Hamilton-operátorok írják, melyek a követke-
zok:
Hr =−~2∂2
r
2µ+ VC(r) VINT (r; t) esetén, (4.2a)
HrR =−~2∂2
R
2M+ Hr VINT (r,R) esetén. (4.2b)
A ψ(r; 0) és ψ(r,R; 0) kezdofeltételeket úgy szabtam meg hogy azon (r∗, R∗) pontokra,
ahol ψ(r∗; 0) 6= 0 és ψ(r∗, R∗; 0) 6= 0 teljesüljön, hogy VINT (r∗; 0) = 0 és VINT (r∗, R∗) =
0. A VC(r) potenciált úgy választjuk, hogy a (4.2)-beli operátoroknak két negatív ener-
giás sajátállapota legyen r függvényében. Ezeket a következoképpen jelölöm:
HrψWS,0(r) = EWS,0ψWS,0(r), EWS,0 < 0, (4.3a)
HrψWS,1(r) = EWS,1ψWS,1(r), EWS,1 < 0, (4.3b)
ezen felül ψK(R) = 〈R|K〉 = exp (−iKR)√(2π)
jelöléssel (lásd (2.21)):
HrRψWS,0(r)ψK(R) = (EWS,0 +K2
2M)ψWS,0(r)ψK(R), (4.4a)
HrRψWS,1(r)ψK(R) = (EWS,1 +K2
2M)ψWS,1(r)ψK(R). (4.4b)
A (4.3) és (4.4) egyenletekben bevezetett sajátállapotokra levetítve aψ(r; t) és aψ(r,R; t)
függvényeket kifejezhetjük, hogy a rendszer mekkora valószínuséggel van a kötött ál-
lapotokban bármelyik idopontban.Ezek a projekciók a VINT (r; t) modellben:
P0(t) =
∫drψ∗WS,0(r)ψ(r; t) →
Nr∑j=0
ψ∗WS,0jψj∆r, (4.5a)
P1(t) =
∫drψ∗WS,1(r)ψ(r; t) →
Nr∑j=0
ψ∗WS,1jψj∆r, (4.5b)
Pcont(t) = 1− P1(t)− P0(t), (4.5c)
ahol Pcont a kontinuum állapotok valószínuségét jelöli, ami ekvivalens a felhasadás
valószínuségével (lásd 2.2.2. alfejezetet). A projekciók elvégzéséhez VINT (r,R) mo-
Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 24
4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 4.1. ELÖLJÁRÓBAN
dellben fejtsük ki az állapotot a HrR által meghatározott sajátállapotokon:
ψ(r,R; t) =∑kl
ckl(t)ψWS,k(r)ψKl(R), (4.6)
amibol a megfelelo projekciók:
P0(t) =∑l
|c0l|2, (4.7a)
P1(t) =∑l
|c1l|2, (4.7b)
Pcont(t) = 1− P1(t)− P0(t). (4.7c)
A cmn(t)együtthatók kiszámítása:
cmn(t) =
∫ ∫drdRψ∗WS,mψ
∗Kn
(R)ψ(r,R; t), (4.8)
amelyet a következoképpen végeztem numerikusan:∫drψ∗WS,m(r)ψ(r,R; t) = fm(R; t)→ cmn(t) = FR
{fm(R; t)
}n
= fm(Kn; t), (4.9)
tehát a projekciók (n a t, j az r, m az R, k a K változókat indexelik):
P0n =
NR∑k=0
∣∣F{ Nr∑j=0
∆rψ∗WS,0jψjmn}k
∣∣2, (4.10a)
P1n =
NR∑k=0
∣∣F{ Nr∑j=0
∆rψ∗WS,1jψjmn}k
∣∣2. (4.10b)
4.1.2. A relatív sebesség várható értéke
Az eredmények kiértékelésekor kiszámítottam a relatív sebességek várható értékét. Eh-
hez érdemesebb a (4.3) és a (4.4) egyenletek által definiált sajátállapotok rendszere
helyett az r-beli függést is ψk(r) = 〈r|k〉 = exp (−ikr)√(2π)
sajátállapotokon felírni, termé-
szetesen a relatív sebesség: v = k/µ. A k-nak, a relatív impulzus operátor hatása a
Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 25
4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 4.1. ELÖLJÁRÓBAN
ψ(k) = F{ψk(r)
}és ψ(k,R) = Fr
{ψk(r)ψK(R)
}függvényekre:
〈k| k |Ψ〉 = k 〈k|Ψ〉 = kψ(k), (4.11a)
〈k| 〈R| k |Ψ〉 = k 〈k| 〈R|Ψ〉 = kψ(k,R), (4.11b)
tehát a k/µ várható értéke:
⟨k/µ
⟩=⟨v(t)
⟩=
∫dkk
µ|ψ(k; t)|2, (4.12a)
⟨k/µ
⟩=⟨v(t)
⟩=
∫ ∫dkdRψ∗(k,R; t)
k
µψ(k,R; t) =
∫dkk
µ
∫dR|ψ(k,R; t)|2,
(4.12b)
melyek numerikusan kifejezve a következo alakot öltik (n az idot, m az r koordinátát,
j a k impulzust, p az R koordinátát indexeli):
⟨v⟩n
=
Nr∑j=0
∆r
2π
kjµ|F{ψnm
}nj|2, (4.13a)
⟨v⟩n
=
Nr∑j=0
NR∑p=0
∆R∆r
2π
kjµ|Fr{ψnmp
}njp|2. (4.13b)
Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 26
4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 4.2. SZIMULÁCIÓK A VINT (R;T ) MODELLBEN
4.2. Szimulációk a VINT (r; t) modellben
4.2.1. Állapot idofüggése
Tartomány Paraméterek
lépések száma kezdopont végpont érték érték
r Nr = 769 r0 = −8.0 rNr = 16 q1 3 m1 6t Nt = 180 t0 = 0.0 tNt = 0.9 ZT 82 m2 1
V0 30 a 0.08
levágás 50 r(0) 0.2b 0.4
Kezdeti értékek
R0 4K −100, −120
ψ(r; 0) ψWS,1(r)
A szimulációt két K értékre végeztem el, adott b = 0.4 impakt paraméterrel. K =
−100 esetén a szimuláció eredménye, a |ψ(r; t)|2 függvény a 4.2. ábrákon látható kü-
lönbözo idopontokban. Megállapítható az ábrákról, hogy a külso tér a legnagyobb
megközelítés elott a pozitív r irányba tolja az eloszlás pozitív felét, majd a legnagyobb
megközelítést követoen a negatív r tartomány felé tolja az eloszlást. A végállapotnál
látható, hogy az eloszlásnak lesz egy csúcsa r ≈ 0 környezetében és két kiterjedt csú-
csa a VC(r) potenciálgödrön kívülre centralizálva. Ezen szemrevételezés alapján azt
mondhatjuk hogy a külso potenciál a rendszert valamilyen arányban legerjesztette az
alapállapotba, egy részét pedig felhasította, amely ettol kezdve szabad részecskeként
viselkedik. Mindezt alátámasztják a 4.3. ábrák, ahol a Hr operátorra vett projekciók
láthatóak, mind a K = −100, mind a K = −120 esetben. Látható, hogy valóban a
legnagyobb megközelítést (t ≈ 0.29 és t ≈ 0.25) követoen az inicializált elso állapot
projekciója lecseng.
Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 27
4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 4.2. SZIMULÁCIÓK A VINT (R;T ) MODELLBEN
(a) t = 0.260 (b) t = 0.340
(c) t = 0.470 (d) t = 0.535
4.2. ábra. |ψ(r; t)|2 (fent), V (r; t) = VC(r) + VINT (r; t) és kötött állapotok energiája (lent) külön-bözo idopontok esetén. A szimuláció mozgóképes formátumban is elérheto a http://baroncs1.web.elte.huoldalon.
Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 28
4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 4.2. SZIMULÁCIÓK A VINT (R;T ) MODELLBEN
(a) K = −100
(b) K = −120
4.3. ábra. Projekciók a Hr alap és elso gerjesztett állapotára (??) alapján és a felszakadás valószínusége.
Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 29
4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 4.2. SZIMULÁCIÓK A VINT (R;T ) MODELLBEN
4.2.2. Projekciók és relatív sebességek különbözo impakt paraméterek esetén
Tartomány Paraméterek
lépések száma kezdopont végpont érték érték
r Nr = 1154 r0 = −14.0 rNr = 22 q1 3 m1 6t Nt = 540 t0 = 0.0 tNt = 2.7 ZT 82 m2 1
V0 30 a 0.08
levágás 50 r(0) 0.2b 0.4, 0.6, 0.7, 0.8
Kezdeti értékek
R0 4K −100
ψ(r; 0) ψWS,1(r)
Megvizsgáltam, hogy az elozo alrészhez hasonló paraméterezés esetén hosszú fu-
tási ido mellett hogyan alakulnak a projekciók az impakt paraméter (b) függvényében.
4.4. ábra. Projekciók különbözo impakt paraméterek esetén.
Eredményeim a 4.4. ábrán vannak. Látható, hogy minél kisebb impakt paraméter,
annál többet változik a rendszer a folyamat végéig. Az ábráról leolvasható továbbá,
Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 30
4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 4.2. SZIMULÁCIÓK A VINT (R;T ) MODELLBEN
hogy b = 0.4 és b = 0.6 esetén a végállapot közel azonos, de az átmenet idobeli alkulása
különbözik.
Vizsgáltam a relatív sebesség várható értékét (4.13a) összefüggés alapján, az ered-
mények a 4.5. ábrán láthatók. Megállapítható, hogy a kisebb impakt paraméter ese-
tén nagyobb a maximális sebesség. A sebesség maximuma a legnagyobb megközelítés
környezetében van. A kapott ábra elso, felgyorsuló, majd lelassuló szakaszát könnyen
értelmezhetjük. A pozitív tartományból (R0 > 0) indított rendszer (m1, q1) részecské-
jére tolópotenciál hat, ami a tömegközéppont mozgásával ellentétes, tehát azt a pozitív
irányba tolja. Emiatt, mivel a relatív koordinátát r = r1−r2 módon vezettük be, a hozzá
tartozó relatív sebesség a pozitív értéku lesz. A legnagyobb megközelítést követoen a
tolópotenciál a negatív irányba tolja az 1 indexu részecskét. A 4.6. ábrán a legnagyobb
megközelítés környezete kinagyítva látható.
4.5. ábra. Relatív sebesség várható értéke.
A 4.5. ábrán látható, hogy t > 0.5 idokre a relatív sebesség várható értéke oszcillál.
Ezt az oszcillációt az okozza, hogy a vizsgált rendszer állapotában jelen vannak a kötött
állapotok is, olyan amplitúdóval, melyek abszolút érték négyzete a 4.4. ábrán is látha-
tó. Hogy ezt alátámasszam és meghatározzam, hogy mekkora a relatív sebesség ha a
rendszer teljes bizonyossággal felhasad, a két kötött állapotot projekciók segítségével
levontam a hullámfüggvénybol és bevezettem egy redukált, ψbu(r; t) hullámfüggvényt,
Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 31
4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 4.2. SZIMULÁCIÓK A VINT (R;T ) MODELLBEN
4.6. ábra. Relatív sebesség várható értéke a maximum környezetében.
mely a felhasadt állapotokat írja le. Ennek eloállítása:
ψbu(r; t) = ψ(r; t)−∫
dr′ψ∗WS,0(r′)ψ(r′; t)−∫
dr′ψ∗WS,1(r′)ψ(r; t). (4.14)
Ellenorzésképpen megvizsgáltam, és teljesül, hogy |ψbu(r; t)|2 = Pcont(t), tehát az új
hullámfüggvény normája azonos a ψ(r; t) kontinuum állapotokra vett projekciójával.
A ψbu(r; t) hullámfüggvényt ezt követoen normáltam a√Pcont(t)-vel. Az így eloállított
ψbu(r; t) állapotokkal elvégeztem a (4.13a) összefüggésben leírt analízist, hogy kiszá-
mítsam a⟨vbu(t)
⟩relatív sebességet a kontinuum állapotokra vonatkozólag. A 4.7. áb-
rán látható. Szürkével jelöltem rajta 4.5. ábráról származó⟨v(t)
⟩mennyiségeket. Ész-
revehetjük, hogy a hullámfüggvény megszorításával olyan várható értékeket kaptunk,
melyek nem oszcillálnak, ezzel alátámasztva, hogy a 4.5. ábrán látható oszcillációt az
alapállapotok jelenléte okozza. Másrészt az újonnan kiszámolt⟨vbu(t)
⟩mennyiségbol
meg lehet határozni felhasadás esetén, adott impakt paraméter és bejövo impulzus (K)
mellett mekkora lesz a relatív sebesség végso értéke. Ez a magfizikában, Coulomb-
disszociáció vizsgálatában egy fontos mennyiség [7]. Erre a 5. fejezetben visszatérek.
Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 32
4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 4.2. SZIMULÁCIÓK A VINT (R;T ) MODELLBEN
4.7. ábra. A relatív sebesség várható értéke csak a ψbu(r; t) felhasadt állapotokkal kiszámítva.
4.2.3. Felhasadás valószínusége és relatív sebességek széles (K, b) paraméter-tartományon
Tartomány Paraméterek
lépések száma kezdopont végpont érték érték
r Nr = 769 r0 = −8.0 rNr = 16.0 q1 3 m1 6t Nt = 180 t0 = 0.0 tNt = 2.0 ZT 82 m2 1
V0 30 a 0.08
levágás 50 r(0) 0.2
Kezdeti értékek
R0 4ψ(r; 0) ψWS,1(r)
Megvizsgáltam (K, b) ∈ [−20,−240]× [0.2, 2.4], 20× 20 lépéssel felbontott paramé-
tertartományon a felszakadás valószínuségét, ezt most jelölje a Pbu(K, b). Ez azt jelenti,
hogy az adott paraméterezés mellett lefuttattam a szimulációt és vizsgáltam a végso
állapotok valószínuségét. Eredményeim a 4.8. ábrán láthatóak. A legnagyobb valószí-
nusége a felszakadásnak a (K, b) = (−20, 0.2) értékeknél van. A kis energiás rendszerek
Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 33
4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 4.2. SZIMULÁCIÓK A VINT (R;T ) MODELLBEN
(K2/2M kicsi) felszakadása úgy interpretálható, hogy a potenciál az (m1, q1) részecskét
visszaszórja a pozitív tartományba, míg a rendszer tömegközéppontja a (2.40) alapján
mozog, tehát az (m2, q2) részecske tovább halad azR < 0 tartomány felé a tömegközép-
ponttal. A kis impakt paraméteru eredményeknél látható, hogy a b→ min(b) irányban
Pbu(K, b) egyre meredekebben növekszik K2/2M → min(K2/2M) esetén.
4.8. ábra. Felhasadás valószínusége széles paramétertartományon.
A (4.14) muvelet elvégzésével kiszámíthatjuk a relatív sebességek ψbu(r; t) hullám-
függvénnyel vett várható értékének végso értékét minden (K, b) pontra. Ez látható a
4.9. ábrán. Megfigyelhetjük, hogy ahogy K-val és b-vel a kis értékek felé haladunk, an-
nál nagyobb (negatívabb) értéku lesz a relatív sebesség állandósult nagysága. Ezt úgy
interpretálhatjuk egy klasszikus fizikai kép segítségével, hogy a kölcsönhatási potenci-
ál a bejövo rendszerre a tömegközéppont mozgásával ellentétes erot fejt ki mivel ekkor
a kötött rendszerben az (m1, q1) részecskével hat kölcsön. Ha részecskék közötti kötés
felhasad, az (m2, q2) részecskét nem éri több erohatás, ellenben az (m1, q1) részecskével,
Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 34
4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 4.2. SZIMULÁCIÓK A VINT (R;T ) MODELLBEN
akire ugyanúgy hat a kölcsönhatás, de a tömege kisebb lett a felhasadás óta. Amíg a
kölcsönhatási potenciál erot fejt ki az 1-es részecskére, az gyorsul, így növelve a most
már szabadon mozgó 2-es részecskével szembeni sebességét.
4.9. ábra. Relatív sebességek várható értéke a ψbu(r; t) hullámfüggvénnyel. Az ábrán a végsebességekszerepelnek.
Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 35
4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 4.3. SZIMULÁCIÓK A VINT (R,R) MODELLBEN
4.3. Szimulációk a VINT (r, R) modellben
4.3.1. Állapot idofüggése
Tartomány Paraméterek
lépések száma kezdopont végpont érték érték
r Nr = 769 r0 = −8.0 rNr = 16.0 q1 3 m1 6R NR = 872 R0 = −12.0 RNR
= 5.0 ZT 82 m2 1t Nt = 180 t0 = 0.0 tNt = 0.9 V0 30 a 0.08
levágás 50 r(0) 0.2b 0.4
Kezdeti értékek
R(0) 4σR 0.1K0 −100,−120
ψ(r,R; 0) NψWS,1(r) exp( (R−R(0))2
2σR+ iK0R
)A szimulációt ugyanazon két K0 értékre végeztem el, mint a VINT (r; t) modell ese-
tén K-ra, azonban itt K0 szerepe megváltozik. Mivel R dinamikai mennyiség, a hozzá
konjugált impulzus, K eloszlását eltolja K0 a K-térben. A kezdeti hullámcsomag ido-
fejlodését vizsgáljuk. Mivel ez aK-térben (is) szétfolyik, ezért az eloszlást nem fogjaK0
jól jellemezni, az idofejlodés során⟨K⟩6= K0. A 4.10. ábrán látható a vizsgált kölcsön-
hatási és belso potenciál. A 4.11. ábrán látható az állapot idobeli fejlodése K = −100
esetén négy idopontban. Egybol szembetunik, hogy ha az R változót nem szorítjuk
meg egy trajektóriára, akkor lehetséges lesz a R-beli visszaszórás is. Ha megfigyeljük
a rendszert nagyobb kezdeti energiával (K0 = −120), akkor azt találjuk, hogy nem lesz
visszaszórás, lásd 4.12. ábrát.
Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 36
4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 4.3. SZIMULÁCIÓK A VINT (R,R) MODELLBEN
4.10. ábra. A rendszer belso viszonyait meghatározó VC(r) és a külso VINT (r,R) potenciálok.
Az (4.10) alapján meg lehet határozni a belso Hr operátor sajtállapotaira vett pro-
jekciókat. Ezeket az 4.13. és 4.14. ábrán lehet megtekinteni. Itt is megfigyelheto az
az effektus, hogy a kölcsönhatás "visszapumpálja" a rendszert az alapállapotba. Látha-
tó, hogy a nagyobb K0 esetén az átmenetek hamarabb végbemennek. Ezek kvalitatíve
hasonlók a VINT (r; t) modellben vizsgált átmenetekhez.
A (4.13b)-ben közölt eljárás alapján ki lehet számítani a relatív sebesség várható
értékét ebben a modellben is. A 4.15. ábrán ezt láthatjuk a K0 = −100 esetre. Meg-
állapíthatjuk, hogy a visszaszórt valószínuségsuruség - mivel pozitív r irányba terjed
- pozitív irányba tolja el a várható értéket, az azonos paraméterekkel kapott VINT (r; t)
modellbeli relatív sebességekhez képest (lásd 4.5. ábra). A 4.16. ábrán látható ugyanez
a mennyiség K0 = −120 esetben. Mivel itt nincs visszaszórás, kvalitatíve 4.5. ábrához
hasonló eredményre jutunk.
Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 37
4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 4.3. SZIMULÁCIÓK A VINT (R,R) MODELLBEN
(a) t = 0.260 (b) t = 0.340
(c) t = 0.470 (d) t = 0.535
4.11. ábra. |ψ(r,R; t)|2 idofejlodése K = −100 esetén. A szimuláció mozgóképes formátumban iselérheto a http://baroncs1.web.elte.hu oldalon.
Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 38
4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 4.3. SZIMULÁCIÓK A VINT (R,R) MODELLBEN
(a) t = 0.260 (b) t = 0.340
(c) t = 0.470 (d) t = 0.535
4.12. ábra. |ψ(r,R; t)|2 idofejlodése K = −120 esetén. A szimuláció mozgóképes formátumban iselérheto a http://baroncs1.web.elte.hu oldalon.
Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 39
4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 4.3. SZIMULÁCIÓK A VINT (R,R) MODELLBEN
4.13. ábra. Projekciók a Hr kötött állapotaira és a felhasadás valószínusége, K = −100.
4.14. ábra. Projekciók a Hr kötött állapotaira és a felhasadás valószínusége, K = −120
Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 40
4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 4.3. SZIMULÁCIÓK A VINT (R,R) MODELLBEN
4.15. ábra. A relatív sebesség várható értéke K = −100 esetén.
4.16. ábra. A relatív sebesség várható értéke K = −120 esetén.
Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 41
4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 4.3. SZIMULÁCIÓK A VINT (R,R) MODELLBEN
4.3.2. Visszaszórt valószínuségsuruség leválasztása
A visszaszórt valószínuségáram pozitív R irányba halad. Ez azt jelenti, hogy K impul-
zusnak az eloszlása az idofejlodés során kiterjed a pozitív K értékekre is. A szimuláció
eredményeként kapott ψ(r,R; t) állapotból a visszaszórt valószínuséget úgy szurtem
ki, hogy a ψ(r,K; t) Fourier-spektrumában a pozitív K értékek amplitúdóját nullával
tettem egyenlové, tehát:
ψ(r,K > 0; t) = 0. (4.15)
Végrehajtva ezen muveleteket, az eljárás helyességét úgy ellenoriztem, hogy a vissza-
transzformáltψ′(r,R; t) függvény normáját összehasonlítottam az eredetiψ(r,R; t) függ-
vény normájával R < 0 tartományon. A ketto egyezett.
4.17. ábra. A relatív sebesség várható értéke K = −100 esetén a visszaszórt valószínuség kiszurésével.
Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 42
5. fejezet
Diszkusszió
Szakdolgozatom során kétrészecskés kvantummechanikai rendszerek szétesését vizs-
gáltam az idofüggo Schrödinger-egyenlet megoldásával. Sikerült a magfizikai moti-
váció által fontosnak tartott⟨v(t)
⟩relatív sebességet megállapítanom. Ez mutatta az
utógyórsítás jelenségét (lásd 4.7., 4.9., 4.15., 4.17. és 4.16. ábrák), a végállapotokban
a relatív sebességek várható értéke nem nulla. Távlati célunk témavezetommel a té-
mával kapcsolatban, hogy a bemutatott kvantummechanikai rendszert kiterjesszük há-
rom dimenzióssá és a lehetséges mageroket alkalmasabb potenciálokkal modellezzük,
ebben az esetben már alkalmasak lennénk összevetni ezen számításokat kísérleti ered-
ményekkel, például a Nakamura et al. [8] által vizsgált utógyorsítási effektussal 11Be
Coulomb-felhasadása esetén.
43
Köszönetnyilvánítás
Szeretném megköszönni témavezetomnek, Dr. Horváth Ákosnak segítségét, belém ve-
tett bizalmát és a felajánlott témát. Szeretném továbbá megköszönni családomnak és
barátaimnak, hogy támogattak az egyetemi évek során.
44
Irodalomjegyzék
[1] C.A. Bertulani. Nuclear Physics in a Nutshell. Princeton Uniersity Press, 2007.
[2] R. Izsák, Á. Horváth, Á. Kiss, Z. Seres, A. Galonsky, C.A. Bertulani, Zs. Fülöp, T.
Baumann, D. Bazin, K. Ieki, C. Bordeanu, N. Carlin, M. Csanád, F. Deák, P. DeYo-
ung, N. Frank, T. Fukuchi, A. Gade, D. Galaviz, C. Hoffman, W.A. Peters, H. Sche-
lin, M. Thoennessen and G.I. Veres Determining the 7Li(n,γ) cross section via Coulomb
dissociation of 8Li. Physical Review C, 88 (2013) 065808.
[3] J.J. Sakurai. Modern Quantum Mechanics. Addison-Wesley Pub. Co., 1994.
[4] Jakovác Antal. A kvantummechanika speciális fejezetei. Egyetemi jegyzet, 2013. http:
//jakovac.web.elte.hu/Documents/kvantspec.pdf
[5] Steven Weinberg. Lectures on quantum mechanics. Cambridge University Press, 2013.
[6] Horváth Róbert, Izsák Ferenc, Karátson János. Parciális differenciálegyenletek numeri-
kus módszerei számítógépes alkalmazásokkal. Egyetemi jegyzet, 2013. http://www.cs.
elte.hu/~izsakf/numpde/pdnm_vegleges_2013.pdf
[7] Yasuyuki Suzuki, Rezso G. Lovas, Kazuhiro Yabana, Kálmán Varga. Structure and
reactions of light exotic nuclei. Taylor & Francis, 2003.
[8] T. Nakamura, S. Shimoura, T. Kobayashi, T. Teranishi, K. Abe, N. Aoi, Y. Doki, M.
Fujimaki, N. Inabe, N. Iwasa, K. Katori, T. Kubo, H. Okuno, T. Suzuki, I. Tanihata,
Y. Watanabe, A. Yoshida, M. Ishihara. Coulomb dissociation of a halo nucleus 11Be at
72A MeV. Physics Letters B 331 (1994) 296-301.
45