TRANSFORMASI LAPLACE
11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 1
Asep NajmurrokhmanJurusan Teknik ElektroUniversitas Jenderal Achmad Yani
Tujuan Belajar :
• mengetahui ide penggunaan dan definisi transformasi Laplace.
• menurunkan transformasi Laplace beberapa sinyal. • mengetahui dan menggunakan sifat-sifat
transformasi Laplace.• menerapkan konsep dan sifat transformasi Laplace
dalam menyelesaikan persamaan diferensial.• menggunakan tabel transformasi Laplace dalam
menganalisis sinyal dan sistem.
11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 2
Inovator
11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 3
Pierre-Simon Laplace, French Mathematician (1749-1827)
Ide
11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 4
Persamaan diferensial Persamaan aljabar
Solusi persamaan diferensial
Transformasi Laplace
Domain waktu Domain frekuensi
Ilustrasi
11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 5
tutytyRC
?
?
Transformasi Laplace
11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 6
0
stF s f t e dt
F(s) = L(f(t))
• s C (bilangan kompleks)
•F adalah fungsi bernilai kompleks dari bilangan kompleks
• s disebut variabel frekuensi dengan satuan per detik, sehingga st tidak bersatuan
• Bentuk integral di atas mengasumsikan bahwa f tidak mengandung impuls di t = 0.
• Dalam beberapa literatur, jika huruf kecil menandakan sinyal, maka hurufbesarnya menandakan transformasi Laplacenya, misalnya U = L(u), Vin = L(vin), dst.
Transformasi Laplace adalah sebuah tipetransformasi integral
Berikan sebuah fungsi ke dalamnya0
s te dt
( )f t
maka diperoleh fungsi baru
( )F s
Fungsi baru dalam domain yang berbeda
11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 7
( )F s adalah transformasi Laplace dari ( ).f tSimbol : ( ) ( ),f t F sL
0 s te dt
( )f t ( )F sJika
( ) ( ),
( ) ( ), etc.
y t Y s
x t X s
LL
11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 8
Korespondensi satu-satu
11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 9
L(f) = L(g) f = g
j
j
st dsesFj
tf21
Transformasi Laplace balik
Contoh (1)
Tentukan transformasi Laplace dari f(t) = et.
11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 10
1 1
00 0
1 11 1
s t s tt stF s e e dt e dt es s
1 0s te t ∞
Jawab :
Integral di atas terpenuhi jika apabila
yang mensyaratkan bagian real dari variabel s lebih dari 1
ROC (region of convergence) = daerah konvergensi
Contoh (2)
Tentukan transformasi Laplace untuk fungsi f(t) = 1 , t 0.
11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 11
00
1 1st stF s e dt es s
Contoh (3)
Tentukan transformasi Laplace dari fungsi sinusoidal :
f(t) = cos t
11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 12
1 12 2
j t j tf t e e
Jawab :
Ubah ke bentuk eksponensial
0 0 0
1 1 1 12 2 2 2
s j t s j tst j t j te e e dt e dt e dt
1 1 1 12 2s j s j
2 2s
s
Transformasi Laplace
f(t) F(s) ROC
δ(t) (impuls) 1 semua s
1 (unit step) Re(s)>0
tn Re(s)>0
e-at Re(s)+Re(a)>0
cos ωtRe(s)>0
sin ωtRe(s)>0
11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 13
s1
1
!ns
n
as 1
22 ss
22
s
Sifat-sifat Transformasi Laplace
11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 14
Sifat f(t) F(s)
Linieritas a f(t) + b g(t) a F(s) + b G(s)
Penskalaan waktu f(at)
Penundaan waktu f(t-T) e-sT F(s)
Penskalaan eksponensial eat f(t) F(s-a)
Konvolusi waktu x(t) * y(t) X(s) Y(s)
asF
a1
Sifat-sifat Transformasi Laplace
11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 15
Sifat f(t) F(s)
Konvolusi frekuensi (modulasi) x(t) y(t)
Perkalian dengan t g(t) = t f(t)
Diferensiasi waktu
Integral
)(*)(21 sYsX
j
)(txdtd
n
n
1
0
)()0(
1)(n
k
kknn xssXs
t
dftg0
011
tdfs
sFs
sG
sFsG
Linieritas
L (3(t) - 2et) = 3 L ((t)) - 2 L (et)
11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 16
231s
3 51
ss
Penyekalaan eksponensial
L(cos t) =12 s
s
11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 17
L(e-tcos t) = ?
221
111
22
ss
ss
s
0 1 2 3 4 5 6-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Penundaan waktu
se as 1
se as 1
11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 18
a b
1
1 1
a b
s
eeeesFbsas
sbs
sas
11
Turunan
11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 19
bxaxtxtxtx 0,0;023
L (x') = s L(x) – x(0) = sX(s) – aSifat turunan :
L (x'') = s2X(s) – sx(0) - x'(0) = s2X(s) - s a - b
0232 sXassXbassXsdidapat :
23
32
ssabassX
Aplikasi Trans. Laplace dalam rangkaian elektrik :Contoh (1)
• R = 1 • C = 1 F
• Kapasitor tidak bermuatan pada t = 0, yaitu y(0) = 0
• sinyal input u berupa tangga satuan. Tentukanbentuk sinyal y.
11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 20
Solusi :Persamaan rangkaian tutyty
s
sYssY 1Transf. Laplace
Jawab
11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 21
11
1
1
ssssY s
111
11
sssssY tety 1
s
sYssY 1
Contoh (2)
Perhatikan rangkaian berikut, saklar ditutup saat t = 0 dan VC(0) = 1.0 V. Cari i(t) dalam rangkaian.
11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 22
Jawab
Persamaan rangkaian dapat dituliskan dalam bentuk berikut
atau
11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 23
Terapkan transformasi Laplace sehingga didapat
Karena VC(0) = 1.0 V maka
11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 24
Dengan demikian diperoleh
sehingga transformasi Laplace persamaan rangkaian berbentuk
11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 25
Bentuk terakhir adalah
sehingga diperoleh
11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 26
11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 27
Contoh (3)Perhatikan rangkaian berikut
Kapasitor tidak memiliki muatan saat t = 0. Jikasaklar ditutup, tentukan arus i1 dan i2, sertamuatan pada C untuk t > 0
11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 28
Jawab
Dengan menggunakan hukum Kirchhoff diperoleh
atau
11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 29
Substitusi (2) ke (1) diperoleh
atau
(3)
11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 30
Karena
dan maka sehinggatransformasi laplace persamaan (3) berbentuk
atau didapat
11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 31
Bentuk i(t) adalah
Dari persamaan (2) diperoleh
atau
11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 32
Untuk menghitung muatan pada kapasitor, kita memerlukan informasi tegangan pada kapasitor dan diperoleh
atau
11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 33
Karena maka
11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 34
Tugas#31. Perhatikan rangkaian berikut
Kapasitor memiliki muatan awal 1 mC dan saklar beradadi posisi 1 cukup lama sampai tercapai kondisi tunak. Saklar dipindahkan ke posisi 2 saat t = 0. Tentukan arusi(t) untuk t > 0.
11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 35
2. Perhatikan sistem berikut
a. nyatakan hubungan antara sinyal u dan y dalam bentuk LCCODE. Petunjuk : jika keluaran sebuah integrator w maka masukannya adalah w’ (turunan dari w).
11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 36
b. anggap kondisi mulanya nol, yaitu y(0) = y’(0) = y’’(0) = 0, nyatakan transformasi Laplace sinyal y sebagai fungsi transformasi Laplace dari sinyal u, yaitu
11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 37
sUsY
3. Sumber tegangan v(t) diberikan kepada sebuah motor arus searah (DC motor). Model sederhana dari motor tersebut adalah rangkaian seri antara sebuah induktansi L dan sebuah resistansi R, sehingga arus yang mengalir dalam motor memenuhi persamaan
11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 38
vRidtdiL
Sudut putar motor ditandai dengan (t) dan kecepatansudutnya (t), artinya . Arus motor menghasilkantorsi (t) yang sebanding dengan besar arusnya, yaitu
dengan k adalah konstanta motor. Inersia putar motor ditandai dengan J dan koefisien redamannya b. Persamaan Newton yang berlaku berbentuk
11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 39
dtd
tkit
bki
dtdJ
Anggap bahwa i(0) = 0, , dan . Nyatakan perbandingan transformasi Laplace(t) dengan transformasi Laplace v(t).
11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 40
00 00