Download - Kuliah keenam mekanika bahan
-
Kuliah 6 :
Tegangan Normal Akibat Gaya Normal dan Momen Lentur dan Tegangan Geser 1. Gaya Normal Sentris 2. Tegangan Normal Akibat kombinasi Gaya
Normal Sentris dan Momen Lentur 3. Tegangan Geser
-
Pada kuliah kelima sudah dijelaskan bagaimana menentukan besaran
penampang momen inersia Ix, Iy dan Ixy baik untuk penampang tunggal dan
penampang tersusun serta perhitungan sumbu-sumbu utama penampang yang
memberikan nilai momen inersia maksimum dan minimum.
-
Untuk menentukan letak sumbu yang memberikan momen inersia maksimum atau minimum, maka
digunakan sumbu lain yang diputar sebesar q terhadap
sumbu X dan sumbu Y.
-
Sebuah penampang mempunyai sumbu berat X dan Y. Penampang mempunyai harga momen inersia Ix, Iy dan Ixy
Sumbu X dan Y diputar sebesar q berlawanan arah perputaran jarum jam menjadi sumbu X1 dan Y1
-
sin2*Ixy-2cos*2
IyIx
2
IyIxIx1
Harga momen inersia akan berubah jika sudut q berubah. Jika Ixy = 0 dan sudut q = 0, maka Ix1 = Ix dan Iy1 = Iy. Pada saat q = 0 dan Ixy = 0 maka nilai Ix1y1 juga mempunyai nilai = 0.
sin2*Ixycos2*2
IyIx
2
IyIxIy1
sin2*2
IyIxcos2IxyIx1y1
Untuk mencari sudut q yang memberikan nilai maksimum atau minimum (nilai ekstrim) dari momen inersia, maka persamaan IX1, Iy1 dan IX1Y1 diturunkan terhadap q.
-
IyIx
Ixy2arctg2
IyIx
Ixy22tg
22
Ixy2
IyIx
Ixy-2sin
22
Ixy2
IyIx
2
Iy-Ix
2cos
IyIxIxy2
2tg
cos2*Ixy2-2sin2*2
IyIx
d
dI x1
-
22
x1
22
22
x1
Ixy2
IyIx
2
IyIxI
Ixy2
IyIx
2
Iy-Ix
2cos
Ixy2
IyIx
Ixy-2sin
sin2*Ixy2cos*2
IyIx
2
IyIxI
-
IyIxIxy2
2tg
0cos2*Ixy*2sin2*2
IyIx*2
d
dI y1
22
Ixy2
IyIx
Ixy-2sin
22
Ixy2
IyIx
2
Iy-Ix
2cos
-
22
y1
22
22
y1
Ixy2
IyIx
2
IyIxI
Ixy2
IyIx
2
Iy-Ix
2cos
Ixy2
IyIx
Ixy-2sin
sin2*Ixy2cos*2
IyIx
2
IyIxI
-
22
Ixy2
IyIx
2
IyIxImax/min
Rumus Ix1 ekstrim dan Iy1 ekstrim mempunyai rumus yang sama hanya berbeda pada tanda suku ke dua (didepan akar). Kedua rumus di atas menunjukkan bahwa jika nilai Ix1 maksimum akan memberikan nilai Iy1 minimum. Sebaliknya jika nilai Iy1 mencapai maksimum, maka nilai Ix1 mencapay nilai minimum. Dengan argumentasi di atas, maka nilai momen inersia maksimum dan minimum dapat ditentukan dari rumus :
Harga maksimum dan minimum dari kedua momen inersia tersebut dikenal dengan momen inersia utama. Sumbu-sumbu X1 dan Y1 yang memberikan nilai momen inersia maksimum dan minimum dikenal sebagai sumbu inersia utama. Ix1 + Iy1 = Ix + Iy Imax + Imin = Ix + Iy Jika Ix1 maximum maka Iy1 akan minimum Jika Iy1 maximum maka Ix1 akan minimum
-
Cara menentukan arah sumbu-sumbu utama penampang.
-
Contoh 1 A = 300 + 900 + 300 = 1500 cm2
Y = (300*75 + 900*40 + 300*5)/1500 Y = (22500 + 36000 + 1500)/1500 Y = 40 cm X = (300*15 + 900*15 + 300*15)/1500 X = 15 cm
Ix = 1010000 cm4
Iy = 61875 cm4
Ixy = 0 cm4
0
0IyIx
Ixy22tg
Imax = Ix = 1010000 cm4
Imin = Iy = 61875 cm4
Penampang yang mempunyai Ixy = 0 dikenal sebagai penampang simetri. Penampang dapat simetri satu sumbu atau dua sumbu.
-
Contoh 2 Ix = 1010000 cm4
Iy = 95625 cm4
Ixy = 157500 cm4
o
9.50419.0092
0.345956251010000
157500*2
IyIx
Ixy22tg
4
x1
x1
x1
cm41036368.7651300.37598432255.887552812.5I
9)sin(-19.00*157500-19.009)(cos*2
956251010000
2
956251010000I
sin2*Ixy-(22cos*2
IyIx
2
IyIxI
-
Contoh 2 Ix = 1010000 cm4
Iy = 95625 cm4
Ixy = 157500 cm4
o
9.50419.0092
0.345956251010000
157500*2
IyIx
Ixy22tg
4
x1
x1
x1
cm2363.9256651300.37598432255.887552812.5I
9)sin(-19.00*15750019.009)(cos*2
956251010000
2
956251010000I
sin2*Ixy2cos*2
IyIx
2
IyIxI
-
Contoh 2 A = A1 + A2 + A3 = 1500 cm2
Y = (300*75 + 900*40 + 300*5)/1500 Y = 40 cm X = (300*30 + 900*22.5 + 300*15)/1500 X = 22.5 cm
Ix = 1010000 cm4
Iy = 95625 cm4
Ixy = 157500 cm4
22
1575002
562590100001
2
562591010000Imax/min
Imax = 552812.5 + 483556.2637 = 1036368.764 cm4
Imin = 552812.5 483556.2637 = 69256.2363 cm4
-
Contoh 2
Y = (2400*30-600*30-400*20)/1400 = 32.857 cm X = (2400*20-600*17.5-400*5)/1400 = 25.357 cm
A = 2400-600-400 = 1400 cm
Ix = 535238.095 cm4
Iy = 171488.095cm4
Ixy = - 29082.582 cm4
o
542.4085.92
0.1599095.714881095.352385
2)(-29082.58*2
IyIx
Ixy22tg
4
x1
x1
x1
cm633.5375481268.5924411.795931095.353363I
sin(9.085)*582.90822(9.085)cos*2
095.714881095.352385
2
095.714881095.352385I
sin2*Ixy2cos*2
IyIx
2
IyIxI
-
Contoh 2
Y = (2400*30-600*30-400*20)/1400 = 32.857 cm X = (2400*20-600*17.5-400*5)/1400 = 25.357 cm
A = 2400-600-400 = 1400 cm
Ix = 535238.095 cm4
Iy = 171488.095cm4
Ixy = - 29082.582 cm4
o
542.4085.92
0.1599095.714881095.352385
2)(-29082.58*2
IyIx
Ixy22tg
4
x1
y1
y1
cm557.1691771268.5924411.795931095.353363I
sin(9.085)*582.90822(9.085)cos*2
095.714881095.352385
2
095.714881095.352385I
sin2*Ixy2cos*2
IyIx
2
IyIxI
-
Contoh 2
Y = (2400*30-600*30-400*20)/1400 = 32.857 cm X = (2400*20-600*17.5-400*5)/1400 = 25.357 cm
A = 2400-600-400 = 1400 cm
Ix = 535238.095 cm4
Iy = 171488.095cm4
Ixy = - 29082.582 cm4
22
29082.582-2
171488.095535238.095
2
171488.095535238.095Imax/min
Imax = 353363.095 + 184185.5374 = 537548.632 cm4
Imin = 353363.095 - 184185.5374 = 169177.558 cm4
-
Bagaimana cara menentukan bahwa sebuah penampang mempunyai sumbu simetri atau mempunyai nilai Ixy = 0 hanya dengan melihat bentuk penampang ?
-
Tegangan majemuk :
Kombinasi tegangan normal akibat gaya normal sentris dan
momen lentur.
-
Gaya normal sentris adalah gaya normal yang bekerjanya (titik tangkapnya) pada titik berat
penampang
-
Gaya normal bekerja pada titik berat penampang. Akibat gaya normal sentris maka akan timbul
tegangan s = P/A
-
Jika kita perhatikan arah tegangan yang terjadi pada suatu potongan batang akibat gaya normal sentris dan momen lentur selalu mempunyai arah tegak
lurus penampang batang.
-
Tegangan akibat gaya normal : s = P/A Tegangan akibat momen lentur : s = MY/Ix
Kedua tegangan dapat di kombinasikan (dijumlahkan) dan rumus kombinasi tegangan menjadi :
Ix
MY
A
N
-
Tanda + pada rumus tegangan kombinasi dipakai jika arah tegangan N/A sama dengan MY/Ix
Tanda - pada rumus tegangan kombinasi dipakai jika arah tegangan N/A berlawanan dengan MY/Ix
Ix
MY
A
N
-
Ix
Ya*M
A
Na
Ix
Yb*M
A
Nb
Pada balok bekerja gaya normal Tekan dan Momen
Positif
Akibat gaya N tekan dan M positif, sa selalu akan tekan
Akibat gaya N tekan dan M positif, tarik sb tekan nol
-
Ix
Ya*M
A
N21a ss
Ix
Yb*M
A
N31b ss
Akibat gaya N tekan dan M positif, sa selalu akan tekan
Akibat gaya N tekan dan M positif, sb = tarik jika s3 > s1 sb = tekan jika s3 < s1 sb = nol jika s3 = s1
-
Ix
Ya*M
A
N21a ss
Ix
Yb*M
A
N31b ss
Akibat gaya N tekan dan M positif, sa selalu akan tekan
Akibat gaya N tekan dan M positif, sb = tarik karena s3 > s1
-
Ix
Ya*M
A
N21a ss
Ix
Yb*M
A
N31b ss
Akibat gaya N tekan dan M positif, sa selalu akan tekan
Akibat gaya N tekan dan M positif, sb = tekan karena s3 < s1
-
Ix
Ya*M
A
N21a ss
Ix
Yb*M
A
N31b ss
Akibat gaya N tekan dan M positif, sa selalu akan tekan
Akibat gaya N tekan dan M positif, sb = 0 karena s3 = s1
-
Ix
MY
A
Na
Ix
MY
A
Nb
Pada balok bekerja gaya normal Tekan dan Momen
Negatif
-
21Ix
Ya*M
A
Na ss
31Ix
Yb*M
A
Nb ss
-
s2 > s1
s2 < s1
s2 = s1
-
Sebuah balok di atas dua tumpuan menderita beban merata q = 5 kN/m
dan beban normal N = 20 kN. Hitung dan gambarkan tegangan
maksimum pada balok akibat gaya normal dan momen lentur
contoh
-
Pada saat yang bersamaan balok akan menderita dua gaya dalam yaitu gaya normal tekan (merata sepanjang balok) sebesar 20 kN dan momen lentur (berubah-ubah) dengan
nilai maksimum terletak di tengah bentang balok
contoh
-
Jika balok berbentuk empat persegi panjang dengan
ukuran 30*60 cm2
contoh
Balok akan menderita dua jenis tegangan yaitu tegangan akibat gaya
normal dan akibat momen lentur
-
Pada potongan I-I di tengah bentang balok akan terjadi tegangan akibat M
tekan = 7.8125 MPa tarik = 7.8125 MPa
Dan tegangan akibat N tekan = 0.111 MPa
contoh
-
Ke tiga tegangan tersebut mempunyai arah tegak lurus bidang potongan
balok Tegangan normal akibat M dapat dijumlahkan dengan tegangan normal akibat N
contoh
-
contoh
Hasil penjumlahan tegangan : tekan = 7.9235 MPa tarik = 7.7015 MPa
Sumbu netral berjarak 30.426 cm dari sisi atas
-
contoh
Sebuah balok di atas dua tumpuan menderita beban merata q = 5 kN/m
dan beban normal N = 200 kN. Hitung dan gambarkan tegangan maksimum pada balok pada posisi
tumpuan A, B dan pada posisi momen positif maksimum akibat gaya normal
dan momen lentur
-
Dari gambar bidang gaya dalam terlihat :
MA = 15.625 kNm (-) MB = 10 kNm (-)
MC = 127.827 kNm (+) MC adalah momen positif maksimum terletak pada
jarak 7.575 m dari tumpuan A
Gaya normal N = 200 kN (tekan)
-
contoh
MA = 15.625 kNm N = 200 kN
s1 = N/A = 1111.111kN/m2 = 1.111MPa s2=s3 = 15.625*0.3/0.0054 = 868.056 kN/m2
= 0.868 Mpa.
Ix = 1/12*0.3*0.63 m4= 0.0054 m4
A = 0.3*0.6 m2 = 0.18 m2
-
contoh
MB = 10 kNm N = 200 kN
s1 = N/A = 1111.111kN/m2 = 1.111MPa s2=s3 = 10*0.3/0.0054 = 555.556 kN/m2
= 0.556 Mpa.
Ix = 1/12*0.3*0.63 m4= 0.0054 m4
A = 0.3*0.6 m2 = 0.18 m2
-
contoh
Tegangan di titik A
Tegangan di titik B
-
contoh
MB = 127.827 kNm N = 200 kN
s1 = N/A = 1111.111kN/m2 = 1.111MPa s2=s3 = 127.827*0.3/0.0054 = 7101.5 kN/m2
= 7.102 Mpa.
Ix = 1/12*0.3*0.63 m4= 0.0054 m4
A = 0.3*0.6 m2 = 0.18 m2
-
contoh
Tegangan di titik C
-
Tegangan Geser
-
Untuk melihat bagaimana tegangan geser dapat terjadi pada
elemen batang mari kita lihat contoh balok ditumpu di atas dua tumpuan dan menderita beban P.
-
Jika balok berupa benda masif dan kita potong pada potongan 1-1
dan 2-2 maka pada potongan 1-1 akan timbul momen M1 dan pada potongan 2-2 akan timbul momen M2 dan M1
-
Jika balok berupa benda yang tersusun dari dua balok masif dan
kita potong pada potongan 1-1 dan 2-2 maka pada potongan 1-1 akan timbul momen M1 dan pada potongan 2-2 akan timbul momen
M2 dan M1
-
Dari gambaran tersebut di atas, maka pada saat balok mengalami lenturan sebetulnya pada balok terjadi pergerakan dari elemen balok kesamping (bergeser kesamping). Balok masif tidak bergeser kesamping karena adanya ikatan yang kuat antara molekul- molekul balok sehingga dapat menahan pergerakan kesamping. Mengapa pergerakan kesamping (pergeseran) ini terjadi ?
-
Lihat eleman balok pada potongan 1-1 dan 2-2. Jarak kedua potongan = dz. Jarak dz sangat kecil. Pada potongan 1-1 akan ada momen M1 Pada potongan 2-2 akan ada momen M2
-
M1 = M M2 = M+dM
Ix
y*M
Akibat momen M maka pada potongan 1-1 akan timbul tegangan :
Akibat momen M + dM maka pada potongan 2-2 akan timbul tegangan :
Ix
y*dM)(M
-
Lihat pada potongan C-C dengan jarak y dari sumbu berat balok (sumbu netral balok)
-
ya
y
ya
y
SIx
MdAy
Ix
MdA*1F1
ya
y
ya
y
SIx
dM)(MdAy
Ix
dM)(MdA*3F2
S = statis momen elemen penampang terhadap sumbu X
F2 > F1
-
Karena gaya F1 tidak sama dengan gaya F2, maka elemen balok pada potongan C-C tidak seimbang. Elemen batang akan didorong ke kiri. Jika tidak ada gaya yang menahan pergerakan tersebut, maka elemen balok akan bergerak kekiri. Supaya elemen balok ada dalam kondisi seimbang maka harus ada gaya yang arahnya kekanan yang besarnya = F2 F1
F2 > F1
-
ya
y
ya
y
SIx
MdAy
Ix
MdA*1F1
ya
y
ya
y
SIx
dM)(MdAy
Ix
dM)(MdA*3F2
SIx
dMF1F2K
K timbul karena adanya gaya gesek antara dua lapisan elemen balok pada potongan C-C. Pada potongan C-C timbul tegangan
geser
-
SIx
dMF1F2K
zd*B*K
Ix*B
S*D
Dlintanggayadz
dM
Ix*B
S*
dz
dM
S*Ix
dMdz*B*
-
dy*y*BS
dy*BdAelemenuntuk
Ix*B
S*D
-
parabolisberbentukgeserdiagramIx*B
S*D
)yH4
1(*B
2
1S
)yH2
1(*
2
1*y)H
2
1(*BS
H*B12
1Ix
22
3
-
0
0)yH4
1(*BS
H*B12
1Ix
2
H y
22
3
BH3
2
D
BH12
1*B
BH8
1*D
BH8
1)H
4
1(*B
2
1S
H*B12
1Ix
0 y
3
2
22
3
A'
D
BH3
2
D
BH3
2
D