1 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
La actividad argumentativa que emerge en estudiantes de grado noveno en torno a la
demostración en geometría
Camilo Arévalo Vanegas
Maestría en Educación
Facultad de Ciencias y Educación
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Bogotá D.C, 2016
2 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
La actividad argumentativa que emerge en estudiantes de grado noveno en torno a la
demostración en geometría
Camilo Arévalo Vanegas
Tesis presentada como requisito parcial para optar por el título de Magister en Educación en la línea de Educación Matemática.
Rodolfo Vergel Causado, PhD
Director
Maestría en Educación
Facultad de Ciencias y Educación
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Bogotá D.C, 2016
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Dedicatoria
A mi Madre, quien está presente en mi vida y logros profesionales
A Mónica, por su apoyo, amor, comprensión y por quien acepte este reto
A mi Abuela, Delfa, quien forjo mis pasos en la infancia
Agradecimientos
A Oscar González, amigo incondicional, leal y sincero
A Daniel Cifuentes, amigo que me colaboró con sus enseñanzas durante el tiempo de la
elaboración de la tesis y de quien recibí ayuda incondicional siempre que necesite un consejo
Al profesor Rodolfo Vergel Causado, por su sabiduría, apoyo y constante colaboración en la
asesoría de la tesis y todo lo que aprendí al escuchar sus aportes y lecciones
A los niños de la Institución Educativa Distrital Hernando Duran Dussan, por su constante
colaboración y respeto en la implementación de instrumentos
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Contenido
Pagina
Introducción 7 Capítulo 1. Delimitación del problema 9 1.1 Planteamiento de la temática o del problema de investigación 9 1.2 Pregunta de investigación 12 1.3 Objetivos 12 1.3.1 Objetivo General 12 1.3.2 Objetivos específicos 12 Capítulo 2. Marco teórico 13 2.1 Introducción 13 2.1.1 Estado de conocimiento sobre la enseñanza y el
aprendizaje de la demostración en Geometría 14 2.1.2 Estado de conocimiento sobre la argumentación
y la demostración en matemáticas 17 2.1.3 Estado de conocimientos sobre los esquemas
de argumentación 20 2.2 Teoría de argumentación de Toulmin 29 2.2.1 Estado de conocimiento del modelo/esquemas para
el análisis de los argumentos 30 2.3 Estado de conocimiento de la “emergencia” 33 2.4 Estado de conocimiento de la bisectriz como concepto 35 Capítulo 3. Marco metodológico 37 3.1 Tipo de investigación 37 3.2 Estudio de caso 38 3.3 Fases de investigación 41 3.4 Técnicas e instrumentos para la recolección de datos 43 3.4.1 Observación 43 3.4.2 Registros 44 3.5 Descripción de la población para la prueba de pilotaje 44 3.5.1 Aplicación de instrumentos “Pilotaje de la situación” 45 3.5.2 Antes de mostrar la representación gráfica 46 3.5.3 Después de mostrar la representación gráfica 47 3.6 Adaptación e implementación de la situación problema 50 3.7 Técnicas e instrumentos para la recolección de datos 51 3.7.1 Observación de la aplicación del instrumento 51 3.7.2 Registros de la aplicación del instrumento 51 3.8 Aplicación de instrumentos 52 3.8.1 Requerimientos técnicos 52 3.8.2 Proceso de grabación 53
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3.9 Descripción de la situación problema adaptada 54 3.9.1 Descripción de la aplicación de la situación 55 Capítulo 4. Organización y análisis de los datos 58 4.1 Organización de los datos 58 4.2 Transcripción de los datos obtenidos 60 4.3 Estudio de los resultados 62 4.5 Primer esquema de argumentación construido 65 4.5.1 Toma de datos de la primera transcripción 65 4.5.2 Primer esquema de argumentación 67 4.5.3 Análisis del primer esquema 69 4.6 Segundo esquema de argumentación construido 71 4.6.1 Toma de datos de la segunda transcripción 71 4.6.2 Segundo esquema de argumentación 74 4.6.3 Análisis del segundo esquema 76 4.7 Tercer esquema de argumentación construido 79 4.7.1 Toma de datos de la tercera transcripción 79 4.7.2 Tercer esquema de argumentación 84 4.7.3 Análisis del tercer esquema 85 4.8 Cuarto esquema de argumentación construido 89 4.8.1 Toma de datos de la cuarta transcripción 89 4.8.2 Cuarto esquema de argumentación 93 4.8.3 Análisis del cuarto esquema 96 4.9 Quinto esquema de argumentación construido 101 4.9.1 Toma de datos de la quinta transcripción 101 4.9.2 Quinto esquema de argumentación 103 4.9.3 Análisis del quinto esquema 104 Capítulo 5. Conclusiones y reflexiones 108 5.1 Categorías expuestas al analizar el grupo resolutor 108 5.2 Resultados o procesos esperados 113 5.3 Síntesis y reflexiones finales 118 Referencias bibliográficas 123
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Índice de figuras diagramas y tablas Pagina
Figura 1. Categorización de los proceso de prueba y demostración 15 Figura 2. Fases y etapas de resolución de problemas 16 Figura 3. Estructura de un argumento de Toulmin 21 Figura 4. Elementos del argumento 32 Figura 5. Esquema de argumentación independiente 33 Figura 6. Bisectriz de un ángulo 36 Figura 7. Primera representación de la situación 46 Figura 8. Nueva representación de la situación 55 Figura 9. Gráfica de las preguntas emergentes 56 Figura 10. Estructura de un argumento desde los datos encontrados 63 Figura 11. Esquema de argumentación estudiante 1 68 Figura 12. Interpretación del esquema de argumentación estudiante 1 71 Figura 13. Esquema de argumentación estudiantes 2 y 3 76 Figura 14. Interpretación esquema de argumentación estudiantes 2 y 3 80 Figura 15. Esquema de argumentación estudiante 4 86 Figura 16. Interpretación esquema de argumentación estudiante 4 88 Figura 17. Esquema de argumentación estudiante 5 95 Figura 18. Interpretación esquema de argumentación estudiante 5 100 Figura 19. Esquema de argumentación estudiante 6 104 Figura 20. Interpretación esquema de argumentación estudiante 6 106 Figura 21. Categorías expuestas de los esquemas de argumentación 110 Figura 22. Categorías contrastadas con los esquemas de argumentación 112 Imagen 1. Procedimiento estudio de caso 40 Imagen 2. Algunos diseños de la ubicación de plantas 60 Imagen 3. Diseños que surgen sobre la ubicación de las plantas 61 Imagen 4. Pregunta del docente al estudiante 1 66 Imagen 5. Escritura sobre segmentos iguales estudiante 1 66 Imagen 6. División del ángulo del triángulo equilátero 73 Imagen 7. Construcción de paralelogramos y sus lados iguales 82 Imagen 8. Construcción final de los paralelogramos 82 Imagen 9. Construcción de la demostración triángulos congruentes 90 Imagen 10. Demostración de triángulos congruentes 92 Imagen 11. Medidas de los lados del triángulo 93 Imagen 12. Ubicación de las plantas por parte del estudiante 102 Tabla 1. Fases del proyecto de grado 40 Tabla 2. Conclusiones prueba pilotaje 47
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INTRODUCCIÓN
El presente trabajo indaga por los esquemas de argumentación que emergen de un
grupo de estudiantes al interactuar con una situación problema en torno a la
demostración geométrica. Algunos trabajos investigativos constatan el fracaso respecto
a la capacidad de los estudiantes para formular una demostración en matemáticas,
como señala Gascón (2001) y Balacheff (1988), quienes formulan las preguntas;
¿Cómo se lleva a cabo el proceso de enseñanza de la demostración? y ¿Qué nivel de
comprensión alcanzan los estudiantes en una demostración, si ésta se basa única y
exclusivamente en la imitación?, se especifica la falta de criterios para abandonar la
imitación como proceso de resolución de problemas.
Ahora bien, se habla de argumentar ya que dicho proceso está presente en todos los
momentos de la actividad matemática en los que se afirma algo o en los que se quiere
certificar si algo es falso o verdadero; este proceso se define como la actividad de
generar argumentos que debe tener un carácter social y subyacen en el momento de
validar cualquier tipo de afirmación (Toulmin, 2003).
En este sentido el valor de verdad de una afirmación depende del contexto en el que se
esté desarrollando la actividad matemática, por ejemplo, para un grupo de estudiantes
de básica primaria que están desarrollando un ejercicio de generalización sobre
números naturales verificar la propiedad general en muchos casos podría ser un
argumento válido, mientras que en un contexto de formación de profesores un
argumento válido sería una demostración por inducción (Carranza, Álvarez, Ángel &
Soler, 2013).
El presente trabajo busca brindar elementos que contribuyan a la transformación de las
prácticas pedagógicas; se desarrolló por un grupo de estudiantes de grado noveno de
un colegio de carácter público, ubicado en Bogotá.
8 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
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En este sentido el proyecto se encargará de analizar los esquemas argumentativos que
surgen en la actividad demostrativa de estudiantes; tomando la argumentación como
justificar o validar afirmaciones que se hagan durante el proceso de demostración,
desde un contexto de socialización y generando la necesidad de garantizar la validez
de las afirmaciones.
El proyecto de investigación se enmarca en el paradigma cualitativo, interpretativo-
descriptivo, ya que caracterizará los argumentos y acciones de los estudiantes desde la
resolución de problemas y su quehacer matemático, para ello se retomarán técnicas
como la observación de clase y desde instrumentos como entrevistas, protocolos de
clase, registros audiovisuales y registros de los estudiantes que se llevarán a cabo en el
cuaderno resolutor para el análisis de la información.
Con los elementos de reflexión que se determinen se espera que un docente pueda
considerar o inferir criterios más asertivos para valorar el conocimiento al que recurre
un estudiante cuándo se enfrenta a un proceso de resolución de problemas; reflexiones
en torno a la enseñanza de la demostración en geometría y al análisis de los esquemas
de argumentación que subyacen en la actividad demostrativa.
9 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
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Capítulo 1
Delimitación del problema
1.1 Planteamiento de la temática o del problema de investigación
El presente trabajo indaga por los esquemas de argumentación que se pueden generar
en cualquier espacio abierto a la disertación o al debate, obviamente desde ideales,
posturas, justificaciones, conjeturas o razones para confrontar a un grupo de personas y
buscar la veracidad de las mismas.
Algunos trabajos investigativos constatan el fracaso respecto a la capacidad de los
estudiantes para formular una demostración en matemáticas (Balacheff, 1988). Un
estudio realizado por Senk (1985), determina que los estudiantes no experimentan la
necesidad de demostrar, especialmente al momento de establecer hipótesis, conjeturas
o deducciones lógicas de una demostración, pero esto se debe a que los estudiantes
conciben la matemática como la memorización de algoritmos, limitándose a copiar los
procesos que plantea y desarrolla el docente en sus clases, como señala Gascón
(2001) y Balacheff (1988), quienes formula las preguntas; ¿Cómo se lleva a cabo el
proceso de enseñanza de la demostración? y ¿Qué nivel de comprensión alcanzan los
estudiantes en una demostración, si ésta se basa única y exclusivamente en la
imitación?
Se deduce que los estudiantes no ven la demostración como un proceso de validación
de sus conjeturas, sino que, en general, se reducen a explicaciones confusas que no
satisfacen lo que se esperaría pudieran argumentar al momento de demostrar, ya que
centran su mirada en el producto final y en la imitación/reproducción de algoritmos.
10 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
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GEOMETRÍA
Ahora bien, se habla de argumentar ya que dicho proceso está presente en todos los
momentos de la actividad matemática en los que se afirma algo, o en los que se quiere
certificar si algo es falso o verdadero; este proceso se define como la actividad de
generar argumentos, que debe tener un carácter social y subyacen en el momento de
validar cualquier tipo de afirmación (Toulmin, 2003).
En este sentido el valor de verdad de una afirmación depende del contexto en el que se
esté desarrollando la actividad matemática, por ejemplo, para un grupo de estudiantes
de básica primaria que están desarrollando un ejercicio de generalización sobre
números naturales, verificar la propiedad general en muchos casos podría ser un
argumento válido, mientras que en un contexto de formación de profesores en el área
de Aritmética, un argumento válido sería una demostración por inducción (Carranza, et
al., 2013).
Para ello, es necesario tener en cuenta que los problemas que exigen la actividad
argumentativa, deben ser abiertos, es decir, no podrá asegurarse un resultado o
conclusión rápida, ya que como lo afirma León & Calderón (2001):“Para el caso de la
elaboración de argumentos orales, debe examinar que la solución no se restrinja a
elaborar una respuesta sino a buscar alternativas de solución que garanticen el carácter
de claridad, concisión, adecuación y de menor ambigüedad” (p. 3).
En los lineamientos curriculares de matemáticas, que aluden a la demostración
matemática, se establece que se debe promover la exploración de la matemática por
parte del estudiante, donde la comunicación oral y escrita y la verificación, negociación
y validación de sus afirmaciones sea puesta en juego dentro de procesos de
socialización (MEN, 1998).
11 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
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GEOMETRÍA
En el contexto colombiano la demostración no se puede concebir como un proceso a
descartar en la enseñanza de las matemáticas, porque contribuye a generar procesos
de reflexión frente a un objeto matemático, ya que como Camargo (2007) afirma:
Las dificultades con las que se enfrentan los estudiantes al interpretar,
realizar o usar demostraciones deductivas en los cursos de geometría llevan
a muchos profesores, desde hace algunos años, a evadir la enseñanza de la
demostración llegando al grado de eliminar la práctica de la justificación en
las aulas de matemáticas, con las funestas consecuencias que esto trae para
la formación matemática de los estudiantes. (p. 42)
Por tal razón, al efectuar razonamientos sobre una situación problema, el estudiante
genera aprendizajes puesto que en cada etapa de abstracción se necesitan conceptos
previos, generando una red de conocimientos en la que se enlazan conceptos previos
con los nuevos, garantizando que se generen conocimientos que posteriormente se
pueden aplicar en la resolución de problemas análogos, como dice Duval (2000) (Citado
por Boero, 2007), “es posible llegar a demostrar en el aula de clase desde los propios
procesos de argumentación del estudiante, concibiendo el argumentar y el demostrar
como un continuo, aunque con procesos diferentes de abstracción” (p. 145); esto para
resaltar la actividad del estudiante, como sujeto crítico, propositivo y reflexivo de sus
acciones.
Para Toulmin (2003) una de las prácticas generales que caracteriza la labor matemática
es la de razonar frente a lo que se hace, se piensa o se dice a los otros; esto es, el uso
de la argumentación. En este caso las situaciones o problemas con respecto a las
cuales se argumenta pueden ser distintas y por tanto las formas de argumentar también
lo serán; es por esto que Toulmin propone estudiar la estructura de los argumentos; es
decir, los elementos de los que se componen, las funciones que cumplen estos
elementos y la relación que se establece entre ellos.
12 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
En este sentido el presente proyecto de investigación tendrá como propósito responder
a la pregunta:
1.2 Pregunta de investigación
¿Cuáles son los esquemas de argumentación que emergen en la práctica demostrativa
de estudiantes de grado noveno y qué características tienen dichos esquemas?
1.3 Objetivos
1.3.1 Objetivo general
Identificar y caracterizar los esquemas de argumentación que emergen en la
práctica de la demostración en geometría en estudiantes de grado noveno.
1.3.2 Objetivos específicos
Identificar elementos que componen los esquemas de argumentación en la
producción matemática de los estudiantes de grado noveno cuándo abordan una
situación problema de geometría.
Establecer el papel que juegan los elementos identificados en los esquemas de
argumentación.
13 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
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Capítulo 2
Marco teórico
2.1 Introducción
Desde lo expuesto en el apartado anterior se ha evidenciado que los estudiantes no ven
la demostración en matemáticas como un proceso de validación de sus propias
conjeturas e hipótesis, ya que centran su mirada en el producto final.
Antes de trabajar en la tarea demostrativa es necesario reconocer que es demostrar,
como se demuestra y que características debe tener un argumento para llegar a
demostrar, es aquí cuando se establece la relación entre argumentar y demostrar que
aunque no son los mismos, son procesos dependientes a la hora de abordar una serie
de situaciones problema.
Ahora bien, la tarea demostrativa se debe desarrollar en problemas abiertos que den
lugar a una conjetura correspondiente, seguida de actividades que busquen el camino a
la demostración, donde dichos problemas o situaciones no planteen una solución rápida
y exijan el desarrollo y trabajo con una situación (Radford, 1994).
Desde los planteamientos de León et al. (2001) se retoma el análisis respecto a dos
conceptos, validar y argumentar, estableciendo que el proceso argumentativo se debe
realizar de forma escrita, sin detenerse a validar el trabajo desarrollado al enfrentarse a
la situación problema.
14 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
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Por tal razón, es importante mencionar que la tarea de argumentación se puede ver
desde dos perspectivas; cuándo el auditorio está o no está presente, esto teniendo en
cuenta que dicho auditorio es quien pude dar la razón de validez para afirmar y concluir
si una afirmación o proceso puede llegar a ser irrefutable.
Por esto, se pretende que la justificación de la propuesta se divida de la siguiente
manera; las razones en la enseñanza y aprendizaje de la demostración en geometría
(experiencias de aula e implementaciones) y la tarea argumentativa que se determina a
partir de la demostración:
2.1.1 Estado de conocimiento sobre la enseñanza y el aprendizaje de la
demostración en geometría. Ante esto, Gutiérrez (2001) muestra algunos trabajos en
los que la demostración en geometría trasciende su carácter formal despojándola de
ser el único medio para construir su aprendizaje. Estas propuestas según el autor son
aportes realmente útiles para entender los procesos de enseñanza-aprendizaje de la
demostración.
Balacheff (1988) afirma: “no por el hecho de que la demostración sea en sí misma un
contenido de enseñanza, ésta puede dejar de ser tratada como un tema específico y
esencial dentro de la enseñanza de las matemáticas” (p. 25).
Ahora bien, Gutiérrez (2001) propone una clasificación que complementa la teoría de
Balacheff (1988), está se enfoca en el análisis de los vacíos conceptuales que generan
los estudiantes al interpretar, analizar y razonar situaciones problemas en la geometría,
enmarcando a los estudiantes en dos grandes grupos, demostraciones empíricas en las
que el elemento de verificación son los ejemplos y las demostraciones deductivas, que
se basan en el análisis y razonamiento de propiedades e ideas lógicas de abstracción
formal. (Véase la figura 1)
15 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
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Figura 1. Categorización de los procesos de prueba y demostración Gutiérrez (2001)
Para identificar las acciones de los estudiantes, es posible considerar a Mason, Burton
& Stacey (1992), quienes aluden a la resolución de problemas en matemáticas desde el
estudio de procesos cognitivos “particularización y generalización” y con la propuesta
de Polya (1989) que se ubica en el quehacer matemático de un estudiante dentro de un
ambiente de resolución de problemas; basándose en métodos heurísticos donde a
partir de la actitud investigadora del estudiante se conlleve al descubrimiento por
medios propios, ya sea en base a contenidos matemáticos o por medio de procesos
para solucionar una situación (Véase la figura 2)
16 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
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Figura 2. Fases y etapas de resolución de problemas Polya (1989) y Mason, Burton & Stacey (1992)
Por otro lado, resulta importante la creciente actividad investigativa en torno a la
comprensión de los fenómenos relacionados con la actividad demostrativa de los
estudiantes, desde las dificultades que afrontan cuando tienen que argumentar,
(Fischbein & Kedem, 1982; Duval, 1991; Chazan, 1993; Moore, 1994; Harel & Sowder,
1996; Almeida, 1995, 1996, 2003) (Citados por Carranza et al., 2013, p. 83) hacia
estudios que discuten cómo es posible superar tales dificultades, que son necesarios a
la hora de adaptar y rescatar actividades sobre dicha temática.
17 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
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2.1.2 Estado de conocimiento sobre la argumentación y la demostración en
matemáticas. En este apartado se resalta la relación existente entre la actividad
argumentativa y los procesos de prueba y demostración desde dos posturas que
aparentemente concilian en la cercanía y relación de dependencia que existe entre
estos dos procesos que deben darse en algún momento al interior de aula de manera
progresiva.
Desde esta perspectiva, Balacheff (1987), Hanna (1990) y Simon (1996) (Citados por
Balacheff, 1988) pertenecientes a enfoques constructivistas, concuerdan en que la
intuición, la experimentación, la argumentación y la demostración aunque procesos
diferentes, también van de la mano y se hacen necesarios en algún momento para
formalizar lo que se considera por demostrar.
Duval (1999) en su enfoque cognitivo semiótico, afirma que se puede distinguir en la
argumentación y la demostración un continuo de intuir, explicar, argumentar y probar;
sin embargo, entre ellas hay un gran distanciamiento pues una no implica la otra. Ante
esto el mismo autor explica que “pasar de la argumentación a un razonamiento valido o
prueba, implica un descentramiento especifico que no se favorece por la discusión o por
la interiorización de una discusión” (Duval, 1999, p. 45). En este sentido es posible decir
que argumentar y demostrar son procesos diferentes pero no contradictorios además
de continuos pues entre ellas hay lasos de dependencia cuando de validar y justificar
ideas matemáticas se trata.
Por otra parte, Balacheff (1987) afirma que hay argumentaciones que evocan tipos de
demostraciones diferentes, las cuales llama empíricas y deductivas, que dependen del
rigor lógico de las argumentaciones que se realizan y de la formalidad deducción
realizada.
Dentro de las demostraciones empíricas, distingue tres formas de argumentación; el
empirismo ingenuo, que se basa en afirmaciones puramente experimentales e intuitivos
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DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
soportadas en ejemplos aislados; la experimentación crucial, donde los ejemplos aun
soportan las explicaciones y afirmaciones realizadas y donde el ejemplo es
indispensable para dar validez a los argumentos, si se suprime el ejemplo los
argumentos son inválidos; la experimentación genérica, que consiste en explicar de
manera general haciendo uso de un ejemplo.
Dentro de las demostraciones deductivas reconoce dos tipos: la experimentación
mental que consiste en argumentar de manera deductiva desprendida de los ejemplos y
la demostración formal donde los argumentos se convierten en axiomas y teoremas
válidos por la comunidad matemática y no se requiere del ejemplo porque tiene un
carácter universal. Estos niveles le permiten diferenciar y analizar los procesos de
validación utilizados por los estudiantes, advirtiendo que dichos niveles no
precisamente caracterizan la racionalidad de los estudiantes, ya que dentro de un
mismo proceso de resolución de un problema, se ha podido evidenciar más de un nivel
de prueba para un mismo estudiante ( Ver figura 1).
Por su parte, Duval (1999) distingue las argumentaciones retóricas de las
argumentaciones heurísticas; las primeras enfatizan en el convencimiento personal y
social lo que se llamaría desde la postura de este trabajo, argumentos intuitivos y
explicativos donde argumentar no implica siempre el uso de un razonamiento, pues la
importancia radica en su discursividad y el abordaje del mismo, del contexto en el cual
se está generando. Las segundas apuntan al progreso de un problema deductivo con
miras a construir una demostración, llamados en este caso argumentos probativos o
comprobadores. Según Duval (1999) “Los argumentos ocupan un lugar en el discurso,
es decir, en una serie de operaciones sucesivas que ponen en funcionamiento un
sistema semiótico” (p. 44)
Podríamos relacionar las ideas de demostración de Balacheff (1998) y la postura sobre
argumentación de Duval (1999) con la de Freudenthal (1983) sobre la constitución de
objetos mentales a partir de la organización de los fenómenos para los cuales han sido
19 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
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creados (matematización) anterior a la constitución de una idea o concepto matemático,
donde los primeros dos autores concuerdan en el distanciamiento entre los procesos de
argumentación y demostración, en el que uno no es vía para llegar al otro; Sin
embargo, es posible a partir de las ideas de Freudenthal (1983) relacionar las
argumentaciones del estudiante que se logran en la resolución de situaciones llevadas
al aula y a la organización de los fenómenos que se dan en la actividad argumentativa,
constituir una idea formal de demostración por parte de los estudiantes, donde se cree
un carácter de responsabilidad y necesidad por un acercamiento a procesos de prueba,
reconociendo a la intuición, la explicación y a la prueba, como fenómenos de la
argumentación de los cuales se derivan procesos de demostración.
Aquí la propuesta freudenthaliana será una apuesta para lograr que el distanciamiento
entre la actividad argumentativa de los estudiantes y los procesos de demostración se
conciban como elementos estrechamente relacionados y considerarlos como procesos
continuos que se pueden lograr a partir de la resolución de situaciones.
Por otro lado, Harel y Sowder (1998) consideran que “las dificultades para aprender a
demostrar obedecen a la variedad de formas como los estudiantes se convencen a sí
mismos o persuaden a otros de la certeza de una observación” donde “Los estudiantes
deberían aprender que las demostraciones son, primero que todo, argumentos
convincentes, que son un producto de la actividad humana, en la cual ellos pueden y
deben participar y que son parte esencial de la actividad matemática” (p. 257).
Donde la meta de la demostración en el aula debe ser construir y clarificar sus propios
esquemas de argumentación lo que constituye una justificación en matemáticas, desde
esquemas dominados por la percepción empírica de los objeto matemáticos, la
manipulación simbólica de los mismos y los discursos en procesos de socialización,
hasta esquemas basados en la necesidad lógica y deductiva, pasando por esquemas
basados en la intuición y la convicción personal y social, explicación y prueba.
20 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
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2.1.3 Estado de conocimiento sobre los esquemas de argumentación. Una de las
discusiones en las que se enmarca la investigación, y que es necesario aclarar, es que
los procesos de argumentación son diferentes a la misma demostración, ya que en el
primero se habla de criterios de pertinencia y convencimiento del otro y de sí mismo,
mientras que en el segundo debe tener un sustento teórico válido y formal para mostrar
la veracidad de un enunciado. El fin de cada una de ellas es diferente, la argumentación
busca lo creíble en actividades de coherencia; la demostración busca la verdad desde
los postulados de la lógica.
En cuanto a los trabajos de Duval (1999), se hace necesario reforzar los procesos de
argumentación de los estudiantes y valorar aquellos que conducen a una toma de
conciencia y responsabilidad para concebir a la demostración como una forma de
validación formal de sus enunciados, donde también es necesario replantear aquellos
problemas y situaciones que se le asignan a los estudiantes para acceder a la
demostración, aquellos que son comunes y de donde se presupone un resultado directo
y predecible, apostarle a problemas donde el estudiante no infiera la respuesta de
manera directa, sino que la pueda construir a partir de procesos argumentativos. Duval
(1999), propone que se deben diseñar actividades que puedan mostrar al estudiante
una vía para acceder al aprendizaje de la demostración.
Argumentar tiene un carácter social y cobra sentido cuando hay la necesidad de
garantizar la validez de alguna afirmación hecha Toulmin (2003). Se plantea la
argumentación como la práctica comunicativa que se sustenta en tres principios
fundamentales, que según León et al. (2001) son:
(i) La característica discursiva con el objetivo de convencer.
(ii) La característica de razonar sobre su discurso.
(iii) La característica de la convicción personal frente a lo argumentado.
21 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
El modelo de argumentación que propone Toulmin, es una herramienta eficaz para
analizar los argumentos que los estudiantes construyen durante el desarrollo de la
actividad demostrativa (Pedemonte, 2007, Boero et al. 2010, Perry et al., 2013) (Citados
por Lara & Samper 2014, p. 11). Un argumento es un enunciado oral o escrito, utilizado
para convencerse o convencer a otros sobre la veracidad de un hecho particular
(Toulmin, 2003, p. 92).
Un argumento tiene lugar cuando a partir de unos datos se elabora una afirmación
(conclusión). El paso de los datos a la conclusión es el garante y hace referencia a una
regla o principio general. El garante, también se debe sustentar en un grupo de
afirmaciones que hacen parte de un conjunto de contenidos o creencias denominado
respaldo. Las refutaciones o reservas son el conjunto de circunstancias en las cuales el
garante se podría anular y el cualificador modal es una construcción lingüística que
acompaña a la conclusión, atenuándola, indica el grado de probabilidad o de fuerza de
la conclusión (Carranza, et al., 2013). (Véase la figura 3)
Figura 3. Estructura de un argumento de Toulmin Carranza (2013)
22 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
Para Harel & Sowder (1996) (Citados por Camargo, Samper & Perry, 2007, p. 67),
existen dos tipos de argumentos, el valido o el refutado, estos dependen de que los
datos sean ligados con el garante y sustentados por los respaldos para generar la
conclusión, dejando sin oportunidad a las refutaciones. Según esto en matemáticas se
considera válido un argumento que es sustentado por reglas teóricas y en los que se
hace un correcto uso de la lógica.
De allí se definen tres tipos de argumentos (Perry, 2013, p. 19-21) (Citada por Lara,
2014, p. 11):
Deductivo, si a partir de los datos y usando la garantía se obtiene la conclusión.
Abductivo, cuando conociendo la conclusión, se determinan los posibles datos y
con ello la garantía, que permite deducir dicha conclusión.
Inductivo, con el cual se establece la garantía a partir de varios ejemplos para los
cuales los datos ya conclusión son los mismos.
Del apartado anterior, se prioriza tener presente la validación, como la forma de
comunicación e interacción que complemente dicho proceso de argumentación, desde
dos puntos de vista; a) Situar la validación en el contexto social, para establecer
criterios que pretendan determinar el estatus de valido o de verdadero de la actividad
demostrativa y b) El objetivo de persuadir o convencer al auditorio. Se establece que
una argumentación, no tiene la obligación de generar ni garantizar una buena
demostración en matemáticas.
En palabras de Toulmin (2003) el término argumentación se usa para referirse a la
actividad total de plantear pretensiones, ponerlas en cuestionamiento, respaldarlas
produciendo razones, criticando esas razones, refutando las críticas, etc.
De la misma manera Toulmin diferencia la argumentación en dos sentidos; el primero
establece que el argumento es un tramo de razonamiento en el que se presenta una
23 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
secuencia de pretensiones y razones encadenadas, que entre ellas establecen la fuerza
de las proposiciones a favor de una pretensión, mientras el segundo establece que el
argumento se presenta como confrontaciones; esto es, las interacciones humanas a
través de las cuales se formula, debate y/o se da vuelta a los tramos de razonamiento.
Desde la propuesta de Toulmin (2003) la investigación tomará el argumento como
secuencia de proposiciones lógicas que requieren el uso de razonamiento, se puede
organizar en un modelo o esquema que contempla por lo menos cinco elementos; las
pretensiones, las razones, las garantías, las refutaciones y el respaldo.
Las pretensiones (Claim) son el punto de partida así como el destino de la secuencia
argumentativa que busca el proceder en la argumentación. Aquí alguien llamado
proponente, plantea un problema frente a otro u otros llamados oponentes, quienes
cuestionarán de alguna forma la pretensión con lo que el proponente deberá dar
razones en favor a su pretensión inicial, que deben ser relevantes y suficientes para
apoyarla, justificarla y respaldarla.
Las razones (Grounds) no serán leyes generales o se apoyarán de teorías acabadas,
sino que se sustentarán de hechos específicos de la situación misma. Aquí surge
entonces una discusión en la que el oponente pedirá justificar el paso de las razones a
la pretensión aun si ya la ha aceptado; en este caso, surgen los enunciados generales
que autorizan este paso a los cuales se llaman garantías del argumento.
Las garantías (Warrant) representan enunciados generales que permiten el paso de los
datos a las conclusiones, puede ser una regla deducida por experiencia, en una norma,
ley o principio. En todo caso la garantía no se basa en hechos sino en reglas que
autorizan el paso de un enunciado a otro (Toulmin, 2003).
Cuando se han presentado las garantías que apoyan en el argumento, aquellas podrían
no ser suficientes; en este caso, será necesario mostrar que son válidas, relevantes y
24 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
superiores a cualquier otra. Para ello deberá indicar el campo general de información o
respaldo (backing) que se diferencia de las garantías en que este puede expresarse en
forma de enunciado categórico sobre hechos, mientras que los enunciados de la
garantía son hipotéticos. Aquí el respaldo se refiere a teorías generales, creencias y
estrategias que proporcionan más apoyo a la garantía e indica por qué la pretensión
debería ser aceptada.
Es por ello que argumentar tiene un carácter social y cobra sentido cuando hay la
necesidad de garantizar la validez de alguna afirmación. Un argumento es un
enunciado oral o escrito, utilizado para convencerse o convencer a otros sobre la
veracidad de un hecho particular (Toulmin, 2003). Un argumento tiene lugar cuando a
partir de unos hechos o datos se elabora una afirmación (conclusión). El paso de los
datos a la conclusión es el garante y hace referencia a una regla. El garante, también
se debe sustentar en un grupo de afirmaciones que hacen parte de un conjunto de
contenidos denominado respaldo (Carranza et al., 2013). (Véase la figura 3)
Aunque el esquema propuesto por Toulmin (2003) proporciona una herramienta potente
para analizar la argumentación y en especial los elementos que constituyen al
argumento desde una perspectiva formal, donde a partir de dichos esquemas
argumentativos que se generan en la resolución de problemas realistas, se forje el
desarrollo progresivo de procesos de resolución de la situación misma.
Cabe aclarar que la teoría de Toulmin (1958) no se centra principalmente en el campo
de la justificación matemática sino más de la jurídica, ha sido una fuerte contribución a
la hora de realizar análisis de estructuras argumentativas en este campo; por ejemplo,
(Krummheuer, 1995) (Citado por Toulmin, 1958) propone un modelo de argumentación
en matemáticas basado en Toulmin. Sin embargo, reduce el sistema original a cuatro
elementos: datos (pretensión), justificación (garantía), fundamentos (respaldo) y
conclusión (pretensión aceptada).
25 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
Aun así, el modelo de Toulmin (1958) ha sido utilizado para dar cuenta de razonamiento
matemático cuando hay procesos de interacción en contextos de socialización en el
aula. Esto permite inferir que este modelo podría ser una alternativa viable para analizar
y caracterizar los esquemas argumentativos que surgen en el aula cuando los
estudiantes se sumergen en procesos de resolución de situaciones; en la que se
estudiaría la composición y secuencia del argumento como garante de una validación
de proposiciones aceptados en el seno de la comunidad de estudiantes que se
enfrentan a la resolución de problemas.
La estructura de Toulmin (1958) ha sido usada por varios autores para analizar
procesos de aprendizaje dentro de las matemáticas, entre ellos (Knipping, 2008) (Citado
por Toulmin, 2003) propone problemas dentro del marco de la demostración matemática
para analizar los elementos constitutivos del argumento a la hora de validar ideas. Este
análisis lo realiza a partir de tres etapas:
(i) La primera en un entorno de discusión y socialización alrededor de un
problema de demostración para los estudiantes.
(ii) La segunda seguido de un análisis del esquema argumentativo desde un
marco local usando la estructura de Toulmin
(iii) Y un marco global desde el proceso mismo de demostración para finalmente
comparar la estructura argumentativa con su fundamento lógico.
Todo ello con el fin de verificar que efectivamente se da una organización argumentativa
bajo este modelo ligado a procesos de prueba en los estudiantes.
Por otro lado, Hollebrands, Conner y Smith (2010) (Citados en Toulmin, 2003) usan el
modelo de Toulmin dentro de un ambiente de geometría dinámica, con el uso de un
software para el aprendizaje de geometría no euclidiana. En este caso, aunque no hay
una situación contextualizada y explicita para el estudiante, el software y el ambiente
26 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
dinámico de aprendizaje se convierten en escenarios realísticos de aprendizaje, ya que
son contextos que el estudiante puede imaginar, comprender y bajo los que puede
actuar con mirar a resolver algo que es problemático para él.
Weber, Maher y Powell (2008) (Citados en Toulmin, 2003) a partir de situaciones
relacionadas con procesos de justificación y demostración, usan el modelo de Toulmin
para desarrollar en los estudiantes la idea de validación matemática a través de la
inferencia en un escenario de confrontación y debate, como consecuencia de las
objeciones de otros estudiantes. Este estudio constata que existe un interés muy
marcado por parte de los estudiantes por desafiar los argumentos de sus compañeros y
validar los suyos propios, a través de principios matemáticos implícitos en sus
intervenciones y que dan cuenta de un “permiso de inferencia” como base para dotar
sus intervenciones de un sentido lógico.
Estas propuestas de distintos autores, dan cuenta que es posible pensar los
componentes de la secuencia argumentativa de Toulmin como una forma de interpretar
los procesos de matematización, donde se privilegia la resolución de problemas como
práctica matemática cuya actividad característica es la matematización ya sea dentro de
la realidad o de la matemática misma (Freudenthal, 1983).
Otros autores (Stephan y Rasmussen, 2002; Whitneack y Knipping, 2002; Yackel, 2002;
Rasmussen et al., 2004; Pedemonte, 2005) (Citados en Toulmin, 2013) han usado esta
estructura argumentativa en diversos tópicos matemáticos y en diferentes niveles
escolares, mostrando que a partir de situaciones que aunque no llaman realísticas
explícitamente podríamos inferirse como tal, por sus características de ser susceptibles,
mostrando además que es útil transversalmente al nivel escolar y al contenido de la
argumentación usando el modelo Toulmin desde situaciones problema que motivan la
actividad matemática.
27 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
Toulmin usa el término argumentación para referirse a “la actividad total de plantear
pretensiones, ponerlas en cuestionamiento, respaldarlas produciendo razones,
criticando esas razones, refutando las críticas, etc.” (Toulmin, Rieke Janik, 1984, p. 14);
de la misma manera, Toulmin reconoce el argumento en dos sentidos; el primero
establece que es “un tramo de razonamiento en la que se presenta una secuencia de
pretensiones y razones encadenadas, que entre ellas establecen el contenido y la
fuerza de las proposiciones a favor de una pretensión”; mientras que el segundo
establece que se presenta como disputas en escenarios de confrontación; esto es, “las
interacciones humanas a través de las cuales se formula, debate y/o se da vuelta a los
tramos de razonamiento”. Sin embargo, en ambos sentidos, el argumento busca
manifestar la racionalidad del proponente.
Desde la propuesta de Toulmin (1958), el argumento se puede organizar en un modelo
o esquema que contempla por lo menos cinco elementos; las pretensiones, las razones,
las garantías, las refutaciones y el respaldo, (Carranza et al., 2013). (Véase la figura 3).
Ahora bien, la conclusión es el punto de partida así como el destino de la secuencia
argumentativa que busca el proceder en la argumentación. Aquí un (proponente)
plantea un problema frente a otros (oponentes) quienes cuestionarán de alguna forma
la conclusión, con lo que el proponente deberá determinar datos en favor a su
pretensión inicial, que deben ser relevantes y suficientes para apoyarla (Ver figura 3).
En este caso los datos no serán leyes generales o se apoyarán de teorías acabadas,
sino que se sustentarán de hechos específicos de la situación misma. Aquí surge
entonces una discusión en la que el oponente pedirá justificar el paso de los datos a la
conclusión aun si ya la ha aceptado de antemano; en este caso, surgen los enunciados
generales que autorizan este paso a los cuales se denominan garantías del argumento.
Estas garantías, representan enunciados generales que permiten el paso de los datos a
las conclusiones puede ser una regla deducida por experiencia, en una norma, ley o
28 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
principio. En todo caso la garantía no se basa en hechos sino en reglas que autorizan el
paso de un enunciado a otro (Toulmin, 1958, p.100).
Cuando se han presentado las garantías que apoyan el argumento, aquellas podrían no
ser suficientes; en este caso, será necesario mostrar que son válidas, relevantes y
superiores a cualquier otra; para ello deberá indicar el campo general de información o
respaldo que se diferencia de las garantías en que este puede expresarse en forma de
enunciado categórico sobre hechos, leyes, enunciados o teoremas (Toulmin, 1958,
p.106), mientras que los enunciados de la garantía son hipotéticos. Aquí el respaldo se
refiere a teorías generales, creencias, y estrategias que proporciona más apoyo a la
garantía e indica que la conclusión debería ser aceptada.
Aunque tanto el respaldo como los datos se apoyen en hechos, se distinguen entre sí
porque siempre será necesaria alguna razón para poder hablar de un argumento, el
respaldo solo aparece si se pone en cuestión la garantía.
Para Harel y Sowder (1998) existen dos tipos de argumentos que dependen de la
contundencia en que los datos son hilados de manera veraz en la garantía y
sustentados por los respaldos para dar fuerza a la conclusión, dejando sin oportunidad
a las refutaciones. Según esto en matemáticas se considera válido un argumento que
es sustentado por reglas teóricas y en los que se hace un correcto uso de la lógica.
Por tanto debemos tener presente la validación, como la forma de comunicación e
interacción que complemente dicho proceso de argumentación, desde dos puntos de
vista; a) Situar la validación en el contexto social, para establecer criterios que
pretendan determinar el status de valido o de verdadero de la actividad demostrativa. b)
El objetivo de persuadir o convencer al auditorio. Se evidencia que una argumentación,
no tiene la obligación de generar una buena demostración.
29 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
Teniendo en cuenta dicha estructura y ya que se evidenciaron algunos elementos
constitutivos del argumento, además de la ruta argumentativa que siguen los
estudiantes para dar cuenta de las razones por las cuales determinaron que las plantas
debían estar ubicados en un sitio específico, esto valida la pretensión inicial de la
investigación sobre indagar a los esquemas de argumentación que emergen en los
estudiantes al enfrentarse a una situación problema.
Como podemos ver en el esquema argumentativo se contemplan los elementos de todo
modelo de argumentación de Toulmin (1958); en el que los tres grupos exponen sus
diseños en forma de datos, es aquí donde empiezan a entrar en juego las garantías que
apoyan y le dan validez a las razones y justificaciones de los estudiantes; la garantía
está expuesta en la manera en que los estudiantes llegan a determinar que la única
manera que cumple con las condiciones de estar a igual distancia de ambos canales es
ubicar las plantas en el vértice del triángulo, estableciendo que de esta forma ambos
canales riegan las plantas y determinando que el sitio donde deben estar ubicadas
sería la altura del triángulo, que en términos matemáticos seria la bisectriz del triángulo
equilátero.
2.2 Teoría de argumentación de Toulmin
En este apartado expondré las ideas generales de Stephen Toulmin (1958) sobre la
teoría de la argumentación, en la cual se evidencia la manera en que se llevó a cabo la
organización de los datos.
Para Toulmin una de las prácticas generales que nos caracteriza es la de razonar,
frente a lo que hacemos, pensamos o decimos a los otros; esto es, el uso de la
argumentación. En este caso, las situaciones o problemas con respecto a las cuales se
argumenta pueden ser distintas y por tanto las formas de razonar también lo serán. Es
en este sentido que Toulmin propone estudiar la estructura misma de la argumentación;
30 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
es decir, los elementos de los que se componen los argumentos, las funciones que
cumplen estos elementos y la relación que se establece entre ellos.
Toulmin usa el término argumentación y razonamiento en sentidos diferentes pero no
contradictorios; usa argumentación para referirse a “la actividad total de plantear
pretensiones, ponerlas en cuestionamiento, respaldarlas produciendo razones,
criticando esas razones, refutando las críticas, etc.” (Toulmin-Rieke Janik, 1984, p. 14).
El término razonamiento lo usa en un sentido más restringido como “la actividad central
de dar razones a favor de una pretensión, así como para mostrar la manera en que
esas razones tienen éxito a la hora de darle fuerza a las pretensiones” (ibídem p.15).
De la misma manera, Toulmin diferencia claramente entre la argumentación en un
sentido amplio del argumento como algo más específico, donde lo distingue en dos
sentidos; el primero establece que el argumento es “un tramo de razonamiento en la
que se presenta una secuencia de pretensiones y razones encadenadas, que entre
ellas establecen el contenido y la fuerza de las proposiciones a favor de una
pretensión”. En el segundo, establece que el argumento se presenta como disputas en
escenarios de confrontación; esto es, “las interacciones humanas a través de las cuales
se formula, debate y/o se da vuelta a los tramos de razonamiento”. Sin embargo, en
ambos sentidos, el argumento busca manifestar la racionalidad del hablante.
2.2.1 Estado de conocimiento del modelo/esquema para el análisis de los
argumentos. Desde la propuesta de Toulmin (1958), el argumento como secuencia de
proposiciones lógicas que requieren el uso de razonamiento, se puede organizar en un
modelo o esquema que contempla por lo menos cinco elementos; las pretensiones, las
razones, las garantías, las refutaciones y el respaldo.
Las pretensiones (Claim), son el punto de partida así como el destino de la secuencia
argumentativa, que busca el proceder en la argumentación. Aquí alguien (Proponente)
plantea un problema frente a otro u otros (oponente) quien(es) cuestionarán de alguna
31 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
forma la pretensión, con lo que el proponente deberá dar razones (grounds) en favor a
su pretensión inicial, que deben ser relevantes y suficientes para apoyarla.
En este caso las razones no serán leyes generales o se apoyarán de teorías acabadas,
sino que se sustentarán de hechos específicos de la situación misma. Aquí surge
entonces una discusión en la que el oponente pedirá justificar el paso de las razones a
la pretensión aun si ya la ha aceptado de antemano; en este caso, surgen los
enunciados generales que autorizan este paso a los cuales llamamos garantías
(warrant) del argumento.
Estas garantías, representan a enunciados generales que permiten el paso de los datos
a las conclusiones puede ser una regla deducida por experiencia, en una norma, ley o
principio. En todo caso la garantía no se basa en hechos sino en reglas que autorizan el
paso de un enunciado a otro (Toulmin, 1958, p.100).
Cuando se han presentado las garantías que apoyan el argumento, aquellas podrían no
ser suficientes; en este caso, será necesario mostrar que son válidas, relevantes y
superiores a cualquier otra. Para ello deberá indicar el campo general de información o
respaldo (backing) que se diferencia de las garantías en que este puede expresarse en
forma de enunciado categórico sobre hechos (Toulmin, 1958, p.106), mientras que los
enunciados de la garantía son hipotéticos. Aquí el respaldo se refiere a teorías
generales, creencias, y estrategias que proporciona más apoyo a la garantía e indica
por qué la pretensión debería ser aceptada.
Aunque tanto el respaldo como las razones se apoyen en hechos, se distinguen entre sí
porque siempre será necesaria alguna razón para poder hablar de un argumento, el
respaldo solo aparece si se pone en cuestión la garantía, obviamente dicho respaldo se
fundamenta de un teorema que de solidez a la garantía y por ende se pueda llegar a
consolidar como válida y veraz.
32 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
Figura 4. Elementos del argumento Toulmin (1958)
Es importante considerar que un argumento puede formar parte de una cadena de
argumentos, donde la pretensión de un argumento puede funcionar también como una
razón de una nueva pretensión. En este caso, las razones pueden convertirse en
pretensiones que necesitan de nuevos argumentos, donde de la misma manera, la
garantía puede verse también la pretensión de un nuevo argumento.
De esta manera, es posible analizar una estructura argumentativa y calificar de válido o
no un argumento.
Sin embargo, en ocasiones la fuerza de los argumentos puede verse socavada por el
oponente cuando ante las garantías propuestas por el proponente, éste deduce una
refutación (Rebuttals) que tumba de alguna manera la fuerza del argumento y hace que
el proponente tenga que cambiar sus garantías apoyadas de razones que
indudablemente hará variar también su esquema argumentativo o definitivamente
desistir de su pretensión inicial, dichas refutaciones aparecen en forma de
contraejemplo a la garantía y producen una falla tanto en la conclusión, como en la
garantía y por tanto cuando se da este proceso no puede llegar a intervenir el respaldo.
33 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
Figura 5: Esquema de argumentación independiente
En este nuevo esquema de la estructura de un argumento, los elementos funcionan de
manera dependiente, donde se concibe que el mundo de la argumentación y del
razonamiento, son características propias de una comunidad racional donde no cabe
hablar de la incomunicación, pues siempre habrá cabida para el argumento y la
justificación cuando de actos de interacción se trata.
2.3 Estado de conocimiento de la “emergencia”
En este sentido, la conciencia sólo deviene conciencia al llenarse de un contenido
ideológico, es decir, sígnico y, por ende, solamente en el proceso de interacción y
relación social se pueden concebir los procesos psicológicos superiores que Vygotski
matiza en términos del funcionamiento interpsicológico, de esta manera se centra el
concepto de emergencia como la producción de esos procesos superiores que
produzcan inferencias y razones para generar un argumento, tal y como se refleja en su
formulación de la ley genética del desarrollo cultural (Vygotski, 1929) (Citado por
Vergel, 2014):
34 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
Cualquier función, presente en el desarrollo cultural del niño, aparece dos
veces o en dos planos distintos. En primer lugar aparece en el plano social,
para hacerlo, luego, en el plano psicológico. En principio, aparece entre las
personas y como una categoría interpsicológica, para luego aparecer en el
niño como una categoría intrapsicológica. Esto es igualmente cierto con
respecto a la atención voluntaria, la memoria lógica, la formación de
conceptos y el desarrollo de la volición. Podemos considerar esta
argumentación como una ley en el sentido estricto del término, aunque debe
decirse que la internalización transforma el proceso en sí mismo, cambiando
su estructura y funciones. Las relaciones sociales o relaciones entre las
personas subyacen genéticamente a todas las funciones superiores y a sus
relaciones. (Wertsch, 1988, pp.77-78) (Citado en Vergel 2014, p. 42)
De dicha formulación se puede concluir que para Vygostki los procesos psicológicos
superiores internalizados (pensamiento lógico, la deducción, la abstracción, la
categorización, la generalización, entre otros) no son copias de procesos externos
interpsicológicos, pues la internalización transforma el proceso en sí cambiando su
estructura y funciones además genera procesos de reflexión e interpretación de nuevas
disposiciones, en este caso la resolución de situaciones problema.
Por tanto se establece que la emergencia de los elementos del argumento serán
mediatizados a través de la actividad humana, ya que aparte de cumplir con su función
pragmática de solucionar una situación problema, son fundamentalmente importantes
ya que afectan los procesos psicológicos superiores.
Según Vygotski (1929) (Citado en Vergel, 2014) se puede plantear una distinción entre
los procesos mentales naturales “inferiores” de la percepción, la atención, la memoria y
la voluntad, ya que estas se enfatizan en proceso generales y las funciones
psicológicas “superiores” que aparecen bajo la influencia de los instrumentos simbólicos
35 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
o en este caso como se le denominaría a la emergencia de los esquemas de
argumentación a la hora de realizar la denostación en geometría.
2.4 Estado de conocimiento de la bisectriz como concepto
Otro punto a desarrollar es el contenido matemático que será expuesto en la situación
problema que afrontará el grupo de estudiantes, esto teniendo en cuenta que se
planteen hipótesis a la hora de implementar la situación desde las características y
propiedades del contenido; y así sustentar y generar una mayor aproximación a la hora
de exponer las preguntas orientadoras en la actividad.
Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas condiciones
o propiedades geométricas; en el plano cartesiano existen lugares geométricos como
la bisectriz ya que dado un ángulo la bisectriz cumple con la propiedad de que todos
sus puntos equidisten o estén a igual distancia de los lados de dicho ángulo.
La bisectriz de un ángulo es la recta que pasa por el vértice del ángulo y lo divide en
dos partes iguales (Ver figura 6); algunas de sus características se plantean a
continuación:
Los puntos de la bisectriz son equidistantes a los dos lados del ángulo
Dos rectas, al intersecarse, determinan cuatro ángulos consecutivos y sus
bisectrices, que pasan por el punto de intersección, forman cuatro ángulos rectos
consecutivos.
La bisectriz de un ángulo, como rayo, con cada uno de los lados forma dos ángulos
con lado común e iguales, cada uno de ellos es la mitad del original.
36 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
Figura 6. Bisectriz de un ángulo
Es importante resaltar, que se denomina lugar geométrico al grupo de puntos colocados
a un lado del punto fijo de la recta, ésta tiene un punto de origen y como todas las
rectas se expande hacia el infinito.
Del mismo modo el punto de la bisectriz será de igual distancia a las dos rectas del
ángulo, debido a su correlación, cuando dos rectas se entrelazan forman cuatro
ángulos, en donde cada uno de ellos determina una bisectriz, porque biseca cada uno
de los ángulos y por tanto proporciona de manera equitativa la amplitud de los mismos.
Cuando la bisectriz se aplica en un triángulo, las tres bisectrices de los ángulos de la
parte interior de un triángulo se partirán en un solo punto en donde se mostraran
equivalentes en relación a los lados, este punto se denomina incentro del triángulo, y
representa el centro de la circunferencia incorporada al triángulo.
Es importante mencionar que se establece el contenido bisectriz porqué es lo que
pretende indagar la situación, aunque es posible que los estudiantes no lleguen a
justificar o validar la bisectriz como la solución a la situación, o de alguna manera
lleguen a ella sin necesidad de tomar todas sus características o propiedades.
37 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
Capítulo 3
Marco metodológico
3.1 Tipo de investigación
El presente trabajo se desarrolla como una investigación de carácter cualitativo en tanto
se encarga de indagar y describir textualmente lo sucedido en los momentos de
resolución de problemas de carácter geométrico; desde un diseño fundamentado en los
esquemas de argumentación que emergen al demostrar.
La investigación es de carácter descriptivo, porque busca definir y especificar los
esquemas de argumentación que intervienen en el proceso de resolución de
situaciones geométricas; ya que los resultados serán descritos en forma de
interpretación, en cuanto su principal objetivo es identificar y caracterizar aquellos
esquemas argumentativos que se generan en el aula con miras a trabajar frente a la
necesidad de demostrar en geometría.
Como se mencionaba el enfoque metodológico general de la investigación es
cualitativo, interpretativo-descriptivo, que en términos de Gil (1998) (Citado por Murillo,
2011) afirma:
El objetivo de investigación sería mejorar la práctica, es decir, la
investigación ha de estar orientada a la resolución de problemas
relacionados con cursos de acción, pasando por la explicación sobre
posibles causas y consecuencias de tales problemas. La metodología
38 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
dominante consiste en descubrir estos significados e interpretaciones
mediante el estudio de casos en profundidad. (p. 11)
Desde este enfoque cualitativo, Cobb, Confrey, Lehrer & Schauble (2003), establecen la
fenomenología didáctica instaurando que las situaciones problema llevadas al aula
deben seleccionarse para organizarlas según los objetos matemáticos que los
estudiantes constituirán, en dicho enfoque el investigador diseña o plantea las
situaciones problema y su principal propósito es la preocupación por transformar e
interpretar los datos cualitativos.
Desde esta perspectiva, Taylor & Bogdan (1986) (Citados por Cobb et al., 2003)
consideran la investigación cualitativa como aquella que produce datos descriptivos de
las propias palabras de los sujetos, habladas o escritas, y la conducta observable; se
obtienen conclusiones generales de la población y solamente para dicha población. Ya
que se describirá detalladamente el comportamiento argumental de los estudiantes al
resolver una situación problema de carácter geométrico, donde el investigador plantea
sus creencias y posturas, observando las interacciones sociales del grupo resolutor;
estableciendo una metodología de estudio de caso de tipo participante.
3.2 Estudio de caso
En cuanto la intervención del objeto de estudio, que en este caso es la argumentación
emergente en procesos de demostración en geometría, la propuesta permite por medio
de un estudio de caso, desde la adaptación, aplicación y evaluación de problemas de
carácter geométrico, comprender los fenómenos que suceden entorno a la
argumentación en un grupo singular de estudiantes; sin la pretensión de generalizar los
resultados a poblaciones mayores sino de reflexionar en torno al grupo. Según Martínez
(2006), el estudio de caso es:
39 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
“Una estrategia de investigación dirigida a comprender las dinámicas
presentes en contextos singulares, la cual podría tratarse del estudio de un
único o de varios casos, desde distintos métodos para la recogida de
evidencia cualitativa o cuantitativa con el fin de describir, verificar o generar
teoría” (p. 174).
Se pretende desde los objetivos de un estudio de caso:
Describir las situaciones concretas que suceden con la población estudiada
Brindar nuevas perspectivas y en caso tal corroborar teoría ya existente.
Elaborar hipótesis en torno a lo que sucede al interior del grupo cuando se
enfrentan al problema y los argumentos.
Ahora bien, Frankel & Wallen (1996) describen que este tipo de estudio; debe tener
un ambiente natural y la labor del investigador es esencial, es decir, ellos son
quienes aseguran un entorno favorable para demostrar, sus conclusiones y
valoraciones finales van encaminadas a caracterizar los esquemas de
argumentación de los estudiantes por lo tanto se garantizan resultados de tipo
cualitativo.
Es por ello que el estudio de caso plantea un procedimiento metodológico para
desarrollar la investigación (Ver imagen 1), donde se plantea un paso a paso que
debe desarrollar el investigador, para organizar y establecer una investigación sólida
teóricamente.
40 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
Imagen 1. Procedimiento estudio de caso
3.3 Fases de investigación
A continuación se presenta una tabla con las fases que se llevarán a cabo con la
metodología, y desde las mismas el tipo de observaciones u hechos que abarcarán las
fases y los procesos que se realizarán en está:
Diseño Metodológico
Fase Observaciones
Planteamiento de la
propuesta y estudio
documental:
Construcción continua del proyecto de investigación, referentes,
propósitos, sustento e instrumentos, y en general el rastreo
41 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
identificación de los esquemas de argumentación.
Se plantean las hipótesis iniciales y en general se construye el
marco de referencia, para el diseño, implementación y análisis
de la investigación. Dichas consultas se sistematizan en fichas
bibliográficas.
Diseño y adaptación
de instrumentos
didácticos.
Construcción de un diseño de actividad que tenga distintos
momentos de intervención del docente, estudiantes y
conocimiento, fundamentado en problemas con geometría; para
ello no podrá asegurarse un resultado o conclusión rápida y la
actividad debe convertirse en un desafío recurriendo a
estrategias desde sus propios saberes y experiencias.
Caracterización de
los problemas y
Método de resolución
del problema:
Se realizará a partir de los referentes teóricos orientados a
caracterizar los esquemas de argumentación que surgen en la
actividad demostrativa de grado noveno.
El método de resolución se desarrollará bajo las ideas de
Mason, Burton & Stacey (1992), reconociendo los procesos que
emergen en los estudiantes desde el estudio de procesos
cognitivos “particularización y generalización”.
Aplicación de
instrumentos e
intervención en el
aula.
(Recolección de
datos)
A partir del diseño realizado en la fase anterior, se aplicará un
pilotaje de la situación problema y los instrumentos en grado
noveno.
En condiciones similares con estudiantes de la misma
institución, se realizará la aplicación final del diseño, dejando
42 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
como resultados evidencias en videos, y registros escritos y
orales (Cuaderno resolutor), que evidencien esquemas
argumentativos, recopilando información mediante diarios de
campo, de los cuales se harán trascripciones e informes de
sistematización.
Proceso de estudio y
análisis de los
resultados.
Culminada la resolución del problema de demostración
geométrica y obtenidos los resultados, se proseguirá a
evidenciar los esquemas argumentativos evidenciados en la
actividad demostrativa y si efectivamente lo realizado en el
grupo se considera una demostración dentro del campo de la
matemática.
Se procede a caracterizar los esquemas a través de la
propuesta de Toulmin (2003), desde la relación con el marco
construido y los resultados obtenidos, donde se compararan los
datos con las implicaciones que se deducen de la teoría.
Valoración y
enunciación de los
aportes:
A partir de los criterios expuestos por Toulmin (2003) para
determinar los esquemas de argumentación, se hará una
reinterpretación de las evidencias y observaciones de
implementación de instrumentos e intervención en el aula.
Desde los resultados obtenidos, dar a conocer los contrastes y
aportes de las teorías, para desarrollar una nueva propuesta
que debe caracterizar los esquemas de argumentación en la
actividad demostrativa.
En cuatro meses se dará forma al documento final,
estructurando y describiendo los apartados y los resultados
43 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
parciales en contraste con los objetivos y propósitos del trabajo.
Tabla 1. Fases del proyecto de grado
3.4 Técnicas e instrumentos para la recolección de datos
La recolección y organización de la información permitirá obtener los datos necesarios
para la etapa de principio de triangulación expuesta anteriormente (Ver imagen 1), así
lograr un proceso en el que una adecuada utilización de los instrumentos y su relación
detallada con los referentes expuestos que permitirán la construcción de unas
categorías de análisis para organizar y clasificar la información recolectada y que
brindará las posteriores reflexiones o conclusiones de la investigación.
A continuación se presentan las técnicas de recolección de la información y los
respectivos instrumentos que se utilizaran para recogerla y sistematizarla:
Teniendo en cuenta los intereses del investigador y su objetivo de investigación
identificar y caracterizar los esquemas de argumentación que emergen en la actividad
demostrativa de estudiantes de grado noveno, uno de las principales técnicas a utilizar
es la observación, por medio de instrumentos como dispositivos mecánicos, en este
caso la videograbación, donde se realizará un registro sonoro, fotográfico y fílmico de
los diversos aspectos y sujetos observados.
3.4.1 Observación. Es una técnica fundamental para esta investigación, pues permite
la obtención de información de la realidad, mediante la percepción intencionada y
selectiva de los esquemas argumentativos que emergen en los estudiantes cuando se
involucren en el proceso de resolución de la situación. Esta observación será
estructurada y participante ya que de antemano existen unas categorías de análisis
predeterminadas (Modelo argumentativo de Toulmin) y el investigador interviene de
44 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
manera activa. Para recolectar información se usarán los registros audiovisuales como
instrumento, pues permiten captar hechos en el acto, recoge muchos aspectos de la
interacción social y cultural de los sujetos; esta técnica es un método que toma una
mirada de los fenómenos, acciones, procesos, situaciones y su dinamismo de un grupo
de sujetos al interactuar con un objeto en su marco natural.
3.4.2 Registros. La situación problema presentada a los estudiantes permitirá que
pongan en juego su creatividad para diseñar y crear; por lo que se hace indispensable
obtener datos a través de los archivos, cálculos o registros elaborados por el
estudiante, por tanto cada integrante del grupo llevará un cuaderno resolutor; en el cual
consignará cada proceso, argumento, idea, duda, etc. que surja durante todo el proceso
demostrativo. En él consignará el trabajo individual como el grupal, el objetivo de ello es
que no se pierda ninguna afirmación, argumento, justificación o pregunta, que se
genere en el proceso demostrativo.
3.5 Descripción de la población y situación problema para la prueba de pilotaje
Al adoptar la investigación de carácter cualitativo como enfoque teórico y metodológico,
es necesario reconocer el contexto en el que se desenvuelve el estudiante, con el fin de
que las situaciones problema que se propongan sean creíbles, lógicas y permitan
acciones de los mismos para darles solución.
En este caso, el contexto de la población estudiada es fundamental, ya que se indagará
y describirá textualmente lo sucedido en los momentos de resolución de problemas al
demostrar geométricamente; la resolución de problemas es un método de inagotables
recursos dado que en cada experiencia con problemas matemáticos posibilita la
retroalimentación con experiencias pasadas, cautiva a los estudiantes con nuevas
metodologías y dota las prácticas de creatividad en espacios de socialización, es allí
donde la argumentación como un proceso comunicativo debe sobresalir.
45 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
Por tal razón la prueba pilotaje de la investigación se llevará a cabo en el Colegio
Bosques de Sherwood, se encuentra ubicado en la zona central del municipio de Chía,
Vereda Bojacá, sector Delicias, cuenta con 1000 estudiantes aproximadamente; es de
carácter mixto y naturaleza privada, imparte una educación integral fundamentada en
los valores. La población a investigar es el grupo de grado décimo que lo integran 30
estudiantes, de los cuales aproximadamente 4 viven en las zonas rurales fronterizas
con la vereda y los otros 26 viven en zonas urbanas de clase media-alta. Sus edades
oscilan entre los 14 y 16 años.
Cabe aclarar que los instrumentos serán aplicados a un grupo de estudiantes, ya que el
curso se dividirá en grupos para afrontar la situación, el investigador escogerá un grupo
teniendo en cuenta los resultados obtenidos en la prueba de pilotaje.
Es por ello que el diseño metodológico de la propuesta empieza con la aplicación de
una situación problema para el grupo de estudiantes.
3.5.1 Aplicación de instrumentos “Pilotaje de la situación”. Teniendo en cuenta el
contexto social y cultural en el que se va a desenvolver la situación problema de
carácter geométrico, se decidió implementar una prueba pilotaje con estudiantes de
grado décimo del Colegio Bosques de Sherwood, esto para optimizar la situación y de
esta manera llegar a adaptar o implementar dicha situación con el grado noveno que
fue el grado estipulado para realizar el proceso de investigación.
Dicha situación debe ser creíble, lógica y permitir que las acciones de los sujetos que
intervengan en la investigación puedan llegar a plantear una posible solución o
establecer hipótesis, inferencias o justificaciones que den a conocer los argumentos
que se plantean dichos sujetos; aunque cabe aclarar que la solución no es el propósito
de la investigación, sino por el contrario es una variable que no se tiene en cuenta, lo
que se pretende es identificar y caracterizar los esquemas de argumentación que
emergen en la actividad demostrativa, por tanto la solución no es primordial, es por ello
46 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
que se presentarán algunos análisis por medio de los sustentos encontrados en la
aplicación de la prueba.
La situación planteada fue:
Uno de los terrenos en la finca de don Gustavo tiene forma de cuña, bordeado por dos
canales de riego. Él quiere sembrar matas de arroz de tal forma que la distancia de
cada mata a cada canal sea la misma (Ver figura 7)
Figura 7. Primera representación de la situación
Se planteó la situación tal como aparece anteriormente, pero se presentaron dos
momentos, antes de mostrar la representación gráfica y después de mostrar dicha
representación gráfica, se destacan los dos momentos, ya que brindaron diferentes
miradas y aspectos a mejorar o corregir en el planteamiento de la situación, además se
identificaron distintas formas de abordar la situación y el desarrollo de la misma:
3.5.2 Antes de mostrar la representación gráfica. Se estableció la situación sin la
representación gráfica a 8 estudiantes de grado decimo, es importante mencionar que
la situación género muy pocas consideraciones e interés por parte de los estudiantes,
algunas de ellas fueron:
Algunas de las palabras que se establecen en el escrito de la situación no se
entienden.
47 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
No es claro el desarrollo de la situación y por tanto no se puede establecer que
se debe desarrollar
No se plantea ninguna pregunta que oriente el trabajo ni que defina el objetivo
del mismo, además se indagan por quien es don Gustavo.
Es importante que se ejemplifique o se dé a conocer una imagen que represente
algo más de la situación para poder resolverla.
3.5.3 Después de mostrar la representación gráfica. Al mostrar la representación
gráfica de la situación a los mismos estudiantes de grado décimo, empezaron a dar
mejores concepciones y establecer mayores conjeturas, sentían que la imagen les daba
herramientas para hablar de la situación, cabe aclarar que a cada estudiante se le
entrego un instrumento o guía.
Es importante concluir que la situación se debe implementar con una imagen que
genere mayores producciones de los estudiantes que motive su trabajo e indague por
establecer cuestionamientos y justificaciones que beneficien el propósito de la
investigación.
Algunas de las consideraciones que tuvieron los estudiantes y que sirvieron como
conclusiones de la prueba pilotaje fueron:
Evidencias de los estudiantes Análisis preliminar
Escasos conocimientos geométricos
Cabe aclarar que sería importante antes de implementar la situación, establecer algunos conceptos teóricos que sirvan al sujeto del grupo resolutor afrontar y definir argumentos válidos a la hora de trabajar en la situación. Es importante que tengan conocimientos previos que motiven el trabajo con la situación.
48 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
Especificar palabras y la manera de sembrar
Es importante aclarar o definir algunas palabras, que plantea la situación como por ejemplo; cuña, canales de riego y matas de arroz, establecer palabras que tengan que ver con su entorno y se contextualice para ellos. La forma en que se debe sembrar es esencial la imagen muestra algunas de las formas en que los estudiantes pensaron sembrar, podría ser más especifica la forma y así garantizar homogeneidad para los grupos a los que se aplicaran.
Bisectriz
Uno de los estudiantes llegó a plantear que la solución sería la bisectriz, cabe aclarar que la situación debe generar en los estudiantes una solución que sea menos rápida, por tanto se debe implementar cuestiones o establecer una situación que no establezca una respuesta tan rápida.
Preguntas orientadoras
Esta sugerencia me pareció muy importante, ya que en ocasiones sentía que los estudiantes no sabían que hacer unas preguntas podría brindar al lector un mayor grado de producción respecto a la situación. Es claro que el gráfico debe mejorar, por ejemplo porque estar abierto; en qué cambiaría si cerramos el plano.
Implementación de software de geometría dinámica
como Geogebra
Una sugerencia que apareció en un estudiante fue si pudieran llegar a implementar la situación respecto a Geogebra, es decir, brindar una solución
49 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
al problema con el software, ya que para ellos se facilitaría más que el cuaderno.
Tabla 2. Conclusiones prueba de pilotaje
Ahora bien, teniendo en cuenta este tipo de resultados y las evidencias plasmadas en el
cuadro anterior, se puede llegar a afirmar que la situación enriquece la obtención de
afirmaciones y justificaciones que se podrían llegar a validar como argumentos.
Desde la teoría de Toulmin (2003) se determina que los estudiantes tienen un
comportamiento argumental que permite justificar y validar afirmaciones o
justificaciones, pese a su poco trabajo con situaciones problema de este tipo,
estableciendo que abordar este tipo de problemas en el aula de clase motiva el trabajo
de los estudiantes y favorece el desarrollo en su madurez matemática.
Cabe aclarar que el trabajo en grupo favorece la concepción de formular y justificar
conjeturas y de esta manera llegar a analizar los argumentos que se generan en la
parte individual, a través del trabajo colectivo.
Por último quisiera mencionar que este tipo de situaciones motivan el comportamiento
argumental de los estudiantes y que por medio de la intervención de una situación
problema, se pueden motivar y construir justificaciones matemáticas que desarrollen el
pensamiento matemático del sujeto y su desenvolvimiento en el aula de clase frente a
distintitos tipos de problemas con su actitud crítica.
Algunas de las reflexiones generadas en las pruebas de pilotaje son:
Antes de implementar la situación se podrían establecer algunos conceptos teóricos
que sirvan al grupo resolutor afrontar y definir argumentos válidos a la hora de
trabajar en la situación.
50 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
Aclarar o definir algunas palabras que plantea la situación; por ejemplo; cuña,
canales de riego y matas de arroz, establecer palabras que tengan que ver con su
entorno y se contextualice para ellos.
El gráfico fue esencial para que los estudiantes pudieran plantear ideas y conjeturas
sobre situación.
Uno de los estudiantes llego a plantear que la solución sería la bisectriz, cabe
aclarar que la situación no debe generar soluciones rápidas, por tanto se debe
implementar cuestiones (preguntas).
Se puede llegar a implementar la situación respecto a Geogebra, es decir, brindar
una solución al problema con el software, ya que para ellos se facilitaría más que en
el cuaderno.
3.6 Adaptación e implementación de la situación problema
Al adoptar la investigación de carácter cualitativo como enfoque teórico y metodológico,
es necesario reconocer el contexto en el que se desenvuelve el estudiante, con el fin de
que las situaciones problema que se propongan sean creíbles, lógicas y permitan
acciones de los mismos para darles solución; en este caso, el contexto de la población
estudiada es fundamental, ya que se indagará y describirá textualmente lo sucedido en
los momentos de resolución de problemas al demostrar geométricamente.
La investigación se llevó a cabo en la IED HERNADO DURÁN DUSSAN que se
encuentra ubicada en la localidad de Bosa, específicamente en la parte occidental
barrio porvenir I, cuenta con aproximadamente con 800 estudiantes en la jornada
mañana; es de carácter mixto y naturaleza oficial, imparte una educación integral
fundamentada en los valores. La población a investigar es el grupo de grado Noveno
que lo integran 42 estudiantes, que viven en las zonas fronterizas a la institución,
51 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
dependen económicamente del sustento de sus padres. Sus edades oscilan entre los
14 y 16 años.
3.7 Técnicas e instrumentos para la recolección de datos
Las técnicas de recolección de la información fue la observación, teniendo en cuenta
que la prueba pilotaje arrojo los resultados esperados para abordar los diferentes
mecanismos de indagación, por tal motivo se usaron de nuevo dispositivos mecánicos
(videograbación), estableciendo un registro fílmico de los diversos aspectos y sujetos
observados, esto teniendo en cuenta que con anterioridad se generó la información a
los estudiantes involucrados; por ello fue importante tener en cuenta algunos
estándares técnicos y logísticos, como los insumos que se iban a necesitar, permisos
que se debían tener en cuenta y la planeación de la misma grabación.
3.7.1 Observación de la aplicación del instrumento. Esta fue estructurada y
participante ya que de antemano existen unas categorías de análisis predeterminadas
(Modelo argumentativo de Toulmin), por tanto se prepararon los instrumentos teniendo
en cuenta variables que podrían surgir en la aplicación de los instrumentos y el
desarrollo de la situación problema por parte de los estudiantes.
Para recolectar información se usarán los registros audiovisuales como instrumento,
pues permiten captar hechos en el acto, recoge muchos aspectos de la interacción
social y cultural de los sujetos; esta técnica es un método que toma una mirada de los
fenómenos, acciones, procesos, situaciones y el dinamismo de un grupo resolutor.
3.7.2 Registros de la aplicación del instrumento. La situación problema presentada
a los estudiantes permitirá que pongan en juego su creatividad para diseñar y crear; por
lo que se hace indispensable obtener datos a través de los archivos, cálculos o
registros elaborados por el estudiante, por tanto cada integrante del grupo llevará un
52 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
cuaderno resolutor (Carpeta); en el que consignará cada proceso, argumento, idea,
duda, etc. que surja durante todo el proceso demostrativo; el objetivo de ello es que no
se pierda ninguna afirmación, argumento, justificación o pregunta, que se genere en el
proceso demostrativo.
Cabe aclarar que las dos primeras sesiones se realizaron de manera individual,
mientras el estudiante identificaba la situación y se apropiaba del trabajo con la
situación, durante las siguientes cuatro sesiones se desarrolló la actividad en forma
grupal teniendo en cuenta los resultados arrojados en la prueba pilotaje, en la que se
mencionaba que la producción argumental y discursiva de los estudiantes emergía en
mayor producción al trabajar en equipos.
3.8 Aplicación de instrumentos
En este apartado se darán a conocer los requerimientos técnicos y las especificaciones
que se tuvieron en cuenta para realizar el proceso de grabación determinando algunas
exigencias para la misma.
3.8.1 Requerimientos técnicos. Al realizar un proceso de grabación es importante
contar con una cámara y batería requerida, es clave optar por baterías de repuesto o el
sistema de carga anexo para no interrumpir un proceso de grabación que ya se haya
iniciado, no olvidar tener el cable o dispositivo para descargar la información y un
trípode que mantenga la cámara donde se quiere destacar el proceso de estudiante,
para así garantizar la calidad de la grabación, teniendo en cuenta que lo importante era
observar no solo el trabajo del estudiante con la situación, sino la manera en que
generaba justificaciones e ideas para desarrollar la misma y de esta forma identificar la
forma en que imponía su discurso.
53 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
Otro de los principales requerimientos son los documentos legales esenciales para
realizar la grabación; la carta de presentación al colegio para llevar a cabo la
investigación donde se destaque el objetivo de la misma, los intereses como
investigador y los aportes a la institución donde se implementara la investigación.
Además del formato de aceptación de registros fílmicos por cada estudiante, donde
acepten ser grabados y especificando que estos registros serán usados para la
reflexión y el desarrollo del proceso investigativo, y por ningún motivo se usaran para
fines diferentes a lo académico garantizando la seguridad y confidencialidad del
material que será de uso exclusivo, por ultimo tener en cuenta algunos avisos de
grabación que brinden información a los demás entidades de la institución y contribuya
a que no hayan interrupciones en la misma.
3.8.2 Proceso de grabación. Al asistir a la institución el primer paso que se tuvo en
cuenta fue la preparación de los equipos, para ello se identificó la ubicación del docente
y el sitio donde se iba a ubicar la cámara; un segundo paso fue la revisión de las
autorizaciones de grabación por cada estudiante, esto para tener en cuenta que
estudiantes pueden ser grabados y ubicarlos de manera especial en el aula de clase.
Por último organizar y entregar los instrumentos que van a necesitar los estudiantes
para la realización del proceso de resolución de problemas teniendo en cuenta que los
registros se realizaran en un cuaderno resolutor (Carpeta previamente elaborada)
donde se plasmaran las evidencias a nivel individual y grupal.
Se planteó un protocolo que organizó la sesión de grabación, el primer momento fue
saludar al grupo de estudiantes y al docente, esto para garantizar que los estudiantes
no se sintieran intimidados por la cámara y en cierta prevención para que los mismos
no se cohíban con la resolución de la situación problema explicando que todos los
procesos con lápiz y papel debían quedar registrados en el cuaderno resolutor; además
aclarando que los estudiantes que no cuenten con el consentimiento de aceptación de
54 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
la grabación debían ubicarse en lugar dentro del aula de clase en el que no sean
captados por la cámara.
Posteriormente se tuvo en cuenta que la ubicación de la cámara tomará a un grupo
específico para el trabajo teniendo en cuenta los criterios hallados en la prueba pilotaje
y así brindar mejores insumos para el análisis de la información, por último se apagaron
algunos ventiladores que interferían con el sonido de la grabación
Cabe aclarar que antes de iniciar la grabación de los estudiantes se realizó un video
corto para revisar la calidad del video y el funcionamiento de la cámara, además ya se
había comprobado la manera de descargar los videos por medio de la memoria en
formato SD.
La grabación se desarrolló en tres momentos, primero un testimonio introductorio, luego
la grabación de la clase y por ultimo un testimonio de cierre. Durante este momento el
docente presentó una breve reflexión de la clase que acaba de ser grabada, realizando
un análisis crítico de esta y explicando que se podría mejorar para las próximas
sesiones y brindando la culminación del trabajo por este día.
3.9 Descripción de la situación problema adaptada
Es importante aclarar que los instrumentos que tenían los estudiantes fueron carpetas
en forma individual, dentro de ellas se planteaban preguntas orientadores y la situación
problema con su respectiva gráfica, a continuación se presenta la situación modificada
en la figura 8, después de la implementación en la prueba pilotaje y con los cambios
ejercidos por la prueba pilotaje:
55 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
Uno de los terrenos en la finca de don Gustavo tiene forma de triángulo equilátero,
bordeado por dos canales de riego. Él quiere sembrar plantas de arroz de tal forma que
la distancia de cada planta a cada canal sea la misma
Figura 8. Nueva representación de la situación
Las preguntas orientadoras a la situación son:
¿Dónde se podría llegar a sembrar las plantas? (Ten en cuenta el gráfico)
¿Cuántas plantas de arroz se pueden sembrar?
¿Cómo podría describirle a Don Gustavo el sitio donde debe sembrar las plantas?
(Ten en cuenta el gráfico)
Ahora bien, dichas preguntas orientadoras las tenían los instrumentos entregados, pero
antes de la implementación la función del investigador era tener en cuenta las
diferentes respuestas que los estudiantes podían realizar, por tanto cada pregunta tenia
variables que se establecieron para desarrollar un verdadero proceso de resolución de
problemas, para lo cual en este caso el investigador que cumplía con la función del
docente debía brindar al estudiante la manera de abordar la situación sin llegar afectar
o inmiscuirse en el proceso de resolución de los mismos.
3.9.1 Descripción de la aplicación de la situación. Al aplicar el instrumento se tuvo
en cuenta un protocolo que evidenció algunas preguntas que podían surgir a partir de
las tres preguntas orientadoras planteadas, cabe aclarar que estas preguntas
56 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
emergentes surgieron al mismo instante de iniciar la grabación y además todas estaban
encaminadas a dar cuenta de la pregunta de investigación planteada en la propuesta.
Para la primera pregunta ¿Dónde se pueden sembrar las plantas?, se determinó que el
estudiante efectuaría o daría a conocer una ubicación dentro del instrumento en donde
podría sembrar las plantas Don Gustavo, en dicho momento surgieron preguntas
emergentes que motivaron el trabajo, tales como; ¿Por qué ahí?, ¿Cómo se puede
garantizar que ese es el sitio?, ¿En A se puede sembrar?, ¿En B se puede sembrar? y
¿En C se puede sembrar? (Ver figura 9), dichas preguntas generaron en los
estudiantes motivación por continuar trabajando en la situación, ya que se dieron
cuenta que no tenían la verdad exacta, además se dieron cuenta que debían tener unas
razones y justificaciones por las cuales podrían determinar el sitio donde se podían
sembrar las plantas.
Figura 9. Gráfica de las preguntas emergentes
Para la segunda cuestión ¿Cuántas plantas de arroz se pueden sembrar?, se planteó
un ejemplo adicional deformando la figura y cuando fuese posible cerrarla, obviamente
dependiendo del trabajo definido por el grupo resolutor. Las preguntas que surgieron
fueron ¿La cantidad de plantas es infinita? y ¿Qué pasaría si la finca es infinita?, en
este momento los estudiantes empezaban a determinar medidas para las plantas,
estableciendo análisis como “si las plantas miden 3 cm, cabrían 15 plantas, pero si las
57 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
plantas miden 1 cm cabrían 45 plantas”; pero además llegaron a definir que la finca
nunca podría llegar a ser infinita porque debía tener algunos límites.
Para la última cuestión ¿Cómo podría describirle a Don Gustavo el sitio dónde debe
sembrar las plantas?, los estudiantes ya habían realizado un proceso de solución de las
mismas, lo cual facilitó que pudiesen describir de manera detallada el sitio dónde se
ubicarían las plantas, la pregunta que surgió fue ¿Qué medidas le van a dar a don
Gustavo?, esto teniendo en cuenta que los grupos empezaron a tomar medidas para
describir de manera detallada la finca de Don Gustavo y el sitio dónde se iban a ubicar
las plantas.
58 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
Capítulo 4
Organización y análisis de los datos
4.1 Organización de los datos
Siendo el énfasis de la actual investigación la caracterización de la actividad
argumentativa de los estudiantes como un proceso evolutivo que se da cuando éstos se
involucran en la resolución de situaciones problema; y la producción de argumentos
aspecto esencial de la misma, se hace necesario hablar de un objeto mental específico
de la matemática, que de manera intencional se encontrará ligado a la misma situación
problema llevada al aula. Dicho objeto mental es el de la “bisectriz”.
Es necesario aclarar que el análisis de los datos obtenidos desde los esquemas
argumentativos de los estudiantes al abordar la situación, se realizará por medio de los
análisis hacia estructuras básicas de argumentación y las producciones de los
estudiantes; es decir, se analizan los procesos de los estudiantes en los que el
investigador nota que se hace uso de los elementos del argumento planteados en la
teoría de Toulmin (1958) esto tiene por objetivo involucrar al estudiante con la situación
problema.
Además reconocer los conceptos matemáticos que ponen en juego para proponer
posibles soluciones iniciales e individuales al problema y de manera enfática dirigir su
atención a la “bisectriz de un ángulo” como objeto mental a constituir, que será el que
organice las estructuras que los estudiantes exploren y aborden en la solución de cada
una de las preguntas orientadoras.
59 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
Por otra parte tiene por objetivo hacer que los estudiantes se concienticen de las
características y propiedades geométricas que arroja la situación, esto teniendo en
cuenta que utilicen propiedades básicas; aunque no las contextualicen con las
definiciones exactas, pero sí a través de sus propiedades y su reconocimiento o
utilización.
Siendo el objetivo de esta investigación la de caracterizar y analizar los esquemas
argumentativos que surgen en la interacción entre los estudiantes alrededor de una
situación problema, se hace necesario explicar que Toulmin reconoce el argumento en
dos sentidos opuestos pero no contradictorios, el primero como “una actividad central
de dar razones a favor de una pretensión, que de algún modo muestra el razonamiento
de una persona” (Toulmin et al., 1984, p. 14).
Los esquemas argumentativos pueden surgir como producto de un análisis y reflexión
personal; sin embargo, para esta investigación se trabaja con la segunda concepción de
argumento del mismo autor; es decir, el de las disputas argumentativas, siendo estas
las “interacciones humanas a través de las cuales se formulan, debaten y/o se da vuelta
a los esquemas de razonamiento a la hora de apoyar una pretensión” (Toulmin et al.,
1984, p. 15)
A continuación se presenta la producción resultante en la aplicación de la situación
después de que cada grupo propuso su ubicación de las plantas en la finca de Don
Gustavo, donde se sostuvo un debate e inquietudes del sitio donde se deben ubicar las
plantas y a que se denomina igual distancia, obviamente a partir de sus propios
procesos e ideas para llegar a darle una solución a la situación problema.
Cabe aclarar que la sistematización de los datos se estructuró teniendo en cuenta tres
grandes grupos de argumentos, que se estructuraron de la información que desató la
aplicación del instrumento y los aportes que desarrollaron los estudiantes en el camino
de construir la actividad argumentativa.
60 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
4.2 Transcripción de los datos obtenidos
Los estudiantes en sus respectivos grupos realizaron los análisis sobre la situación
problema, enfrentándose a distinguir cada uno de sus términos y especificando en qué
consistían los canales de riego y qué tanto iban a intervenir en la situación. Cada grupo
elaboró un diseño y construcción de la ubicación donde debían estar las plantas, cabe
aclarar que los grupos concertaron un planteamiento y determinaron el sitio específico
donde debían estar las plantas, la principal dificultad de los grupos radicó en determinar
la ubicación de las plantas teniendo en cuenta el enunciado de la situación “la distancia
de cada planta a cada canal sea la misma”, es aquí cuando se plantearon las preguntas
emergentes ¿Por qué ahí?, ¿Cómo se puede garantizar que ese es el sitio?,
estableciendo las siguientes cuestiones:
La planta está ubicada a igual distancia
El terreno de Don Gustavo debe estar cercado o cerrado
Las plantas se pueden ubicar al lado de los canales de riego
Las cantidad de plantas que se pueden colocar son 20
Imagen 2. Algunos diseños de la ubicación de plantas
Como se ve en los diseños y construcciones elaboradas por los estudiantes de cada
grupo en donde deben estar ubicadas las plantas (Ver imagen 2), se evidencia que los
estudiantes se preocupan por obtener una ubicación dentro del rango de los canales, es
61 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
decir; su preocupación principal está en que las plantas queden dentro de los canales
de riego o queden cerca de ellos, sin percatarse del enunciado de la situación para
especificar la ubicación.
La situación problema propuesta ofrece una variedad de estrategias de solución;
permite que los estudiantes muestren sus estrategias e invenciones a otros, genera la
posibilidad de discutir el grado de eficacia de las destrezas usadas. A continuación se
presentan algunos de los gráficos en donde se plantearon distintas soluciones de la
ubicación de las plantas y por tanto se generaron debates, inquietudes y discusiones
entre los grupos, sobre qué gráfico es el más adecuado para indicar en donde debe
sembrar las plantas Don Gustavo.
En está ocasión los grupos coincidieron en que las plantas solo podrían estar ubicada
en el centro del triángulo (Ver imagen 3), ya que es la única manera en que los canales
de riego están a la misma distancia y se percataron de que cada planta debe estar
regada por los dos canales y no como lo planteaba un grupo solamente por uno.
Imagen 3: Diseños que surgen sobre la ubicación de las plantas
Ahora bien, por tal razón todos los esquemas de argumentación encontrados en la
resolución del problema, apuntan a la bisección del ángulo y por tanto a establecer las
justificaciones, afirmaciones y conjeturas por la cuales las plantas de arroz deben estar
62 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
ubicadas en la mitad del triángulo equilátero, para ello se pretende revisar la forma o
formas en que los estudiantes pueden persuadir o convencer al auditorio la manera en
que Don Gustavo puede llegar a sembrar las plantas y así determinar los elementos de
los argumento a la hora de demostrar.
4.3 Estudio de los resultados
Desde los aportes de Toulmin (1958) se determina que en los procesos de
argumentación se habla de criterios de pertinencia y convencimiento del otro y de sí
mismo, el proceso de argumentar está presente en todos los momentos de la actividad
matemática en los que se afirma algo o en los que se quiere garantizar la verdad o
falsedad de ciertas afirmaciones.
El proceso de generar argumentos tiene un carácter social y cobra sentido cuando hay
la necesidad de garantizar la validez de alguna afirmación hecha; se plantea como una
práctica comunicativa que se sustenta en tres principios fundamentales; la
característica discursiva con el objetivo de convencer, la característica de razonar sobre
su discurso y la característica de la convicción personal frente a lo argumentado León et
al. (2001).
El modelo de argumentación que propone Toulmin es una herramienta eficaz para
analizar los argumentos que los estudiantes construyen durante el desarrollo de la
actividad demostrativa. Camargo et al. (2006, p. 19)
Un argumento tiene lugar cuando a partir de unos hechos o datos se elabora una
afirmación y el paso de los datos a la conclusión se denomina garantía y hace
referencia a una regla, norma o principio general; la garantía se sustenta en un grupo
de afirmaciones que hacen parte de un conjunto de contenidos o creencias denominado
respaldo. Las refutaciones o reservas son el conjunto de circunstancias en las cuales el
63 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
garante se podría anular, por tanto, un argumento es un enunciado oral o escrito,
utilizado para convencerse o convencer a otros sobre la veracidad de un hecho
particular Toulmin (2003, p. 92).
Ahora bien, al exponer las justificaciones de los estudiantes, se hacen presentes las
refutaciones de un modelo contra el otro en forma de contrargumentos, los cuales
requieren de un respaldo para aseverarlas, donde el proceso de justificar corresponde a
explicar el razonamiento que se llevó a cabo para identificar o interpretar los datos.
Según el modelo de Toulmin (1958) este indicador cumple la función de justificar, y bajo
nuestro modelo la validez de las justificaciones contemplan tanto las valoraciones
positivas como negativas (refutar).
A continuación se presenta la articulación entre los conceptos teóricos de la propuesta y
los datos que surgieron en la implementación de los instrumentos, es decir, la
vinculación entre la teoría y la práctica, para ello se construyó la estructura del
argumento desde la vinculación de los datos a dicha estructura.
Figura 10. Estructura de un argumento desde los datos encontrados
Datos Conclusión
Garantía
Respaldo
Determinar el sitio
donde debe estar
ubicadas las plantas
Las plantas se ubican
en el centro de los dos
canales de riego.
“Las plantas se pueden
sembrar a lo largo del canal
de riego para que quede en
la misma distancia”
Se ubican las plantas en la
altura del triángulo
equilátero, es decir, en la
bisectriz de dicho triangulo.
64 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
Dicho esquema en la figura 10 expresa un argumento donde se ponen en juego los
elementos del modelo argumentativo de Toulmin (1958), apoyado en las justificaciones
que emergen en una secuencia argumentativa lógica dentro de las matemáticas.
En este sentido se pone de manifiesto que el modelo argumentativo de Toulmin es
aplicable en cualquier disciplina o espacio abierto a la disertación, al debate y al
diálogo, no solo con el fin de esquematizar la ruta argumentativa de los estudiantes;
sino también de caracterizar las acciones de reflexión sobre la argumentación, qué es
uno de los objetivos de la propuesta.
65 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
4.5 Primer esquema de argumentación construido
4.5.1 Toma de datos de la primera transcripción. Para este punto los diferentes
grupos establecieron ciertos caminos para llegar a responder la situación, en este
sentido el primer grupo planteó la solución a la pregunta afirmando que las plantas de
arroz debían estar en el medio del terreno; para ello se valieron de instrumentos como
reglas y compas; al plantearles las preguntas emergentes se generó la siguiente
conversación y desde allí la estructura de uno de los primeros esquemas de
argumentación del grupo resolutor que contiene los elementos del argumento desde la
propuesta de Toulmin (1958):
Transcripción día 5 de noviembre de 2015
Profesor: ¿Cuál era el objetivo del trabajo?
Estudiante 1: …Teníamos que buscar como sembrar unas plantas de arroz a la misma
distancia para que cayera el riego igual a ambos lados.
Profesor: y… ¿Cómo determino dónde ubicar las plantas?
Estudiante 1: (El estudiante señalando el gráfico)…Yo pensé que era la mitad por la
circunferencia.
Profesor: (Toma el esfero del estudiante y apuntando en una zona fuera de la mitad
señalando) ¿Pero por qué no puede estar ubicada acá la planta?
Estudiante 1: (Vuelve a tomar el esfero y señalando) No puede ser ahí… porque no le
va a llegar la misma cantidad de agua de este lado que la que le va a llegar de
acá. Si me entiende… tiene que estar a la misma distancia y no puede estar ahí,
porque acá si está a la misma distancia.
66 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
Imagen 4. Pregunta del docente al estudiante 1
Profesor: Listo… Me dice que todas las plantas van a estar en la mitad (señalando con
el esfero)… ¿Cómo puedo afirmar que está planta está en la mitad?
Estudiante 1: Por la circunferencia, porque cuando hay un círculo el radio siempre es
igual… ¡o sea! no va a haber un lado desigual, porque el círculo está bien hecho.
Profesor: Explíqueme esto (Señalando a las letras con sus dedos)
Estudiante 1: Esto son los segmentos… ¡o sea! las letras… ¡o sea! La distancia de X y
Y... es la misma que sale de Z… entonces por eso ̅̅ ̅ ̅̅ ̅, ¡O sea! X y Y es
igual a Y y Z (señalando el gráfico)
Imagen 5. Escritura sobre segmentos iguales estudiante 1
Profesor: ¡Bien!
67 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
A continuación se presenta la interpretación de la producción del estudiante al
involucrarse en la situación y después de sostener un debate ante el auditorio se
generaron inquietudes como; el sitio dónde se deben ubicar las plantas, de qué manera
se pueden determinar las distancias iguales y el método que utilizó para interpretar la
situación.
Ahora bien, desde la postura planteada por el estudiante intenta resolver la situación a
partir de generar razones y justificaciones por las cuales las plantas deben estar
ubicadas en medio de los canales; de esta manera genera un procedimiento en el que
intenta dar cuenta de un argumento que forje validez y veracidad para incurrir ante un
auditorio y así evidenciar el método para dar solución a la situación problema y además
brindar un camino que llegue a enfocar el análisis desde los argumentos matemáticos.
Es claro precisar que aunque el estudiante no este especificando contenidos y
definiciones matemáticas formales, si está determinando contenidos emergentes en la
actividad matemática, es decir, llega a generar el objeto mental matemático desde sus
propias palabras y procesos, estableciendo coherencia entre lo trabajado en la
resolución de la situación y la actividad argumentativa que se pretendía rescatar al
demostrar geométricamente.
4.5.2 Primer esquema de argumentación. Como se observa en el trabajo realizado
por el estudiante Nº1 (Ver figura 11) al querer determinar dónde deben estar ubicadas
las plantas, se evidencia que este se inquieta por obtener una ubicación dentro del
rango de los canales, es decir; su preocupación principal consiste en que las plantas
queden dentro de los canales o queden cerca de ellos y de esta manera ser alcanzadas
por el riego.
La situación problema ofrece una variedad de estrategias de solución; permite que el
estudiante genere supuestos, ideas e hipótesis respecto a la manera de dar solución a
la misma; en este caso decide implementar la circunferencia como contenido
68 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
matemático que genere sustento para afirmar dónde deber estar ubicadas las plantas y
además dicho contenido sirve para garantizar y dar validez a las expresiones
planteadas durante su discurso.
A continuación se presenta la articulación de la propuesta de Toulmin (1958) respecto a
las evidencias que surgieron por parte del estudiante, de sus afirmaciones y razones se
generó el siguiente esquema qué representa el argumento emitido por el estudiante
para convencer al docente de la solución propuesta para la situación.
Cabe mencionar que dicho proceso se realizó de manera individual y se consolidó
como la solución de un estudiante y su proceso de experimentación con la situación,
posterior a ello socializó dicha solución y por tanto algunos de sus compañeros tomaron
como óptima la respuesta y decidieron hacer uso de ella.
Figura 11. Esquema de argumentación estudiante 1
69 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
4.5.3 Análisis del primer esquema. Teniendo en cuenta la estructura de la figura 11 y
la evidencia de algunos elementos constitutivos del argumento, además de la ruta
argumentativa que sigue el estudiante para dar cuenta de las razones por las cuales
determinó que las plantas debían estar ubicadas en un sitio específico; se válida la
pretensión inicial de la investigación sobre indagar a los esquemas de argumentación
que emergen en los estudiantes al enfrentarse a una situación problema, estableciendo
futuras conclusiones en donde se consolida el reconocimiento de los elementos del
argumento.
Como se observa en el esquema argumentativo se contemplan los elementos de todo
modelo de argumentación de Toulmin (1958); en el que el estudiante expone sus
diseños en forma de dato, estableciendo que es lo que le pide la situación y lo que
plantea o expone su enunciado, es decir, se sustenta de los hechos específicos de la
situación misma, estableciendo que el dato debe surgir de la situación expuesta o de lo
que pretenda realizar el estudiante al abordar dicha situación, en su declaración (E1)
“teníamos que buscar como sembrar unas plantas de arroz a la misma distancia para
que cayera el riego igual a ambos lados…”, es aquí donde empiezan a entrar en juego
las garantías que apoyan y le dan validez a las razones y justificaciones de los
estudiantes; la garantía está expuesta en la manera en que el estudiante llega a
determinar que la única manera que cumple con las condiciones de estar a igual
distancia de ambos canales es ubicar las plantas en el vértice del triángulo y sobre la
línea que divida a este.
Estableciendo que de esta forma ambos canales riegan las plantas y determinando que
el sitio donde deben estar ubicadas sería la altura del triángulo, que en términos
matemáticos seria la bisectriz del triángulo equilátero, que en palabras de Toulmin se
determina como la representación de un enunciado que permite el paso del dato a las
conclusión, en este caso estamos hablando de una regla deducida por experiencia de
trabajar en la situación e intentar darle una solución (proceso de experimentación).
70 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
Ahora bien, al exponer las justificaciones del estudiante se hace presente el respaldo
para aseverar y validar la garantía establecida, donde el proceso de justificar
corresponde a explicar el razonamiento que se llevó a cabo para identificar o interpretar
los datos. Según el modelo de Toulmin (2003) este indicador cumple con la función de
justificar, y bajo nuestro patrón la validez de las justificaciones contempla tanto las
valoraciones positivas como negativas, por tanto se determina que dicho respaldo surge
de un teorema, ley o enunciado, en este caso el estudiante establece la propiedad de la
circunferencia en que todo radio va a ser igual al otro o en sus propias palabras
“...Porque cuando hay un círculo, el radio siempre es igual…” y por tanto puede validar
la garantía desde un argumento matemático.
Es por ello que podemos afirmar que la conclusión se puede validar desde los
razonamientos establecidos por el estudiante, claro está que dicha conclusión se debe
generar cuando el estudiante exponga ante el auditorio (docente) el argumento
establecido, ya sea en forma gráfica o verbal.
Se presentó la articulación entre los conceptos teóricos de la propuesta y los datos que
surgieron en la implementación del instrumento, es decir, la vinculación entre la teoría y
la práctica, para ello se construyó la estructura del argumento desde la vinculación de
los datos a dicha estructura y de los razonamientos que surgieron del estudiante al
enfrentarse a la situación problema.
Dicho esquema (Ver figura 12) expresa un argumento donde se ponen en juego los
elementos del modelo argumentativo de Toulmin (1958), apoyado en las justificaciones
que emergen en una secuencia argumentativa lógica dentro de las matemáticas por
parte de un estudiante.
71 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
Figura 12. Interpretación del esquema de argumentación estudiante 1
En este sentido se pone de manifiesto que el modelo argumentativo de Toulmin (1958)
es aplicable en cualquier disciplina o espacio abierto a la disertación, al debate y al
diálogo, no solo con el fin de esquematizar la ruta argumentativa de los estudiantes;
sino además caracterizar las acciones de reflexión sobre la argumentación y su proceso
de solución al enfrentarse a una actividad matemática.
De esta manera a continuación se presentará la interpretación de un nuevo esquema
de argumentación que plantearon los estudiantes, dicha interpretación nace de la
función del investigador y busca establecer los criterios de relación desde la
implementación y el trabajo con los nuevos esquemas.
4.6 Segundo esquema de argumentación construido
4.6.1 Toma de datos de la segunda transcripción. En esta ocasión los diferentes
grupos se dividieron, empezando a entrevistar y a dialogar con los estudiantes de
72 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
manera individual; teniendo en cuenta que ya habían establecido ciertos caminos para
llegar a responder la situación, por tanto se pretendía caracterizar dicha solución
estableciendo no solo la videograbación del proceso de resolución, sino generar un
dialogo en el que los estudiantes involucrados determinarán y justificarán la solución al
problema.
En este sentido los grupos resolutores aseveraron que las plantas de arroz debían estar
en el medio; esto por medio de la división de los ángulos y teniendo en cuenta que la
finca tenia forma de triángulo equilátero, al plantear las preguntas emergentes se
generó la siguiente conversación y desde allí la estructura al segundo esquema de
argumentación de las estudiantes 2 y 3 que contiene los elementos del argumento de
Toulmin (1958) desde su propuesta de solución:
Transcripción día 6 de noviembre de 2015
Profesor: Ehhhhh !!! Listo muchachas entonces ustedes lo que están haciendo primero
es… ya hicieron la lectura de la situación y la primera tarea dice ¿Dónde se
pueden sembrar las plantas? ¿Qué encontraron?
Estudiante 2: …Pues encontramos que las plantas las podemos sembrar en la
intersección de dónde (Señalando con el esfero)… o sea de la línea…
Estudiante 3: La intersección de los dos canales ehhhh !!! Dejando 25cm del canal a la
primera planta… ehhh ¿Cómo sabemos que está a la misma distancia?, pues
aquí hicimos un paralelogramo (Apunta con su dedo la construcción) que explica
que todos sus lados son iguales entonces aquí es igual y aquí también; hicimos
estas líneas… para así dar a entender que tienen la misma distancia todas las
plantas.
Estudiante 2: Pero pues aquí para poder saber cuál era la mitad primero tuvimos en
cuenta el ángulo (Señalando con el esfero), o sea dependiendo del ángulo
pudimos trazar esta línea y así saber que aquí podíamos sembrar las plantas.
Profesor: ¿Por qué dependiente del ángulo?, perdón.
73 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
Estudiante 3: … Pues porque llegamos a la conclusión de que el terreno, que si es un
triángulo equilátero sus tres lados son iguales por la suma de los ángulos…
entonces por eso fue que tuvimos en cuenta eso.
Profesor: Y ¿Cuánto mide ese ángulo?
Estudiante 3: Pues si son la suma de los tres ángulos 60
Estudiante 2: 60
Estudiante 3: … Entonces la mitad seria 30, 30 aquí y 30 aquí (Señala con el esfero
indicando las regiones divididas)
Imagen 6. División del ángulo del triángulo equilátero
Profesor: Listo…Bien
Posterior a la conversación con las estudiantes se presenta el análisis de la producción
resultante al involucrarse en la situación, ya que al indagar sobre el lugar dónde
decidieron sembrar las plantas de Don Gustavo y al responder las preguntas
emergentes surge la noción de dividir los ángulos de la finca, esto teniendo en cuenta
que se trabajaba desde un triángulo equilátero que cumple con ciertas características y
propiedades que enriquecieron la solución de las estudiantes, además de establecer
74 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
una estructura argumental que presenta todos los elementos del argumento propuesto
por Toulmin (1958).
Ahora bien, desde el trabajo de las estudiantes se estipula que intentan resolver la
situación a partir de la división de un ángulo en dos partes iguales y comenzando con
generar razones, justificaciones y comentarios que conciban la validez y veracidad para
incurrir ante un auditorio en este caso el docente y su grupo de compañeros.
Cabe mencionar que en esta ocasión se preocupan por establecer ciertas
justificaciones que sustenten el trabajo realizado, además de evidenciar una solución
que emergió en las posibilidades de solución de la prueba pilotaje y las variables que se
plantearon podrían llegar a surgir al enfrentarse ante la situación problema, es
importante aclarar y comentar que las estudiantes de nuevo no utilizan contenidos
matemáticos formales, ni las definiciones específicas de cada uno, aunque recurran a
la interpretación y utilización de los contenidos generando el objeto mental matemático
desde sus propias palabras y procesos; por ende reconocen los contenidos
matemáticos desde sus propias palabras, solución y aplicación de los contenidos.
4.6.2 Segundo esquema de argumentación. Como se observa en la conversación
transcrita por las estudiantes 2 y 3 y en la figura 13 empiezan a generar preguntas y
evidencias de como aseverar que las plantas están a la misma distancia, cabe aclarar
que esta pregunta nace del mismo grupo resolutor y al realizar la entrevista se hace
evidente “… ¿Cómo sabemos que están a la misma distancia?...”, estableciendo los
primeros aportes desde la resolución de la situación llegando a generar nuevas
preguntas que benefician la resolución de la situación desde cuestiones que surgen de
la misma, evidenciando nuevamente su preocupación por determinar que las plantas
queden dentro de los canales de riego y su ubicación cumpla con una característica
específica de estar a igual distancia.
75 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
En este esquema se ofrece una estrategia de solución que permite generar ideas e
hipótesis respecto a la manera de dar solución a las preguntas que surgen al interpretar
la situación problema; en este caso deciden implementar la división de los ángulos y
desde allí generar una serie de conceptos que aunque no se establezcan de manera
formal, sí hacen alusión a ellos como la bisección o bisectriz del ángulo, esto porque se
atreven a mencionar que para poder ubicar las plantas y determinar que están a la
misma distancia deben dividir el ángulo en dos partes iguales, y conociendo la medida
del ángulo por ser un triángulo equilátero, recurren a la bisección del mismo, además
que dicho contenido sirve para garantizar y dar validez a las expresiones planteadas
durante su discurso.
A continuación se presenta la articulación de la propuesta de Toulmin (1958) respecto a
las evidencias que surgieron por parte de las estudiantes, de sus afirmaciones y
razones se generó el siguiente esquema que representa su argumento emitido para
convencer al docente y a sus compañeros de grupo de la solución planteada para la
situación, pero no puede quedar de lado que estas se plantean nuevas cuestiones a
partir de la situación; es decir al leer la situación problema indagan por recurrir a lo que
busca la misma y se atreven a crear sus propias preguntas para llegar a dar solución a
la misma.
76 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
Figura 13. Esquema de argumentación estudiantes 2 y 3
4.6.3 Análisis del segundo esquema. Teniendo en cuenta la estructura de la figura 13
y ya que se evidenciaron los elementos constitutivos del argumento y la ruta
argumentativa que siguen las estudiantes para dar cuenta de las razones por las cuales
determinaron que las plantas debían estar ubicadas en un sitio específico, además de
estar a la misma distancia de los canales; a continuación se pretende enumerar dichos
elementos y especificar las razones por las que cada uno es constitutivo de la
propuesta de Toulmin (2003).
Desde dicho esquema se pueden observar las características que cumple cada
elemento del argumento de la propuesta de Toulmin (1958) y contrastarla con las
evidencias resultantes de la interpretación y resultados que se generaron al plantear la
solución a la situación; en este ocasión el dato se establece como lo que pide la
situación, lo que plantea y expone su enunciado, pero en este esquema las estudiantes
¿Cómo sabemos que están a la
misma distancia?
…Pues porque llegamos a la
conclusión de que el terreno
que si es un triángulo
equilátero sus tres lados son
iguales por la suma de los
ángulos
Pues si son la suma de los tres ángulos 60
… Entonces la mitad seria 30, 30 aquí y 30 aquí
…Pero pues aquí para poder
saber cuál era la mitad primero
tuvimos en cuenta el ángulo,
ósea dependiendo del ángulo
pudimos trazar esta línea y así
saber que aquí podíamos
sembrar las plantas.
Dato Conclusión
Garantía
Respaldo
Lados y ángulos
de un triángulo
equilátero
77 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
son quienes plantean su propio dato, ya que sugieren plantear su propia pregunta para
dar solución a la situación, en este caso manifiestan “…¿Cómo sabemos que están a la
misma distancia?...”; generando desde sus propias palabras la pregunta que llegue a
dar solución a la situación o desde donde se debe partir para dar cuenta de la misma,
estableciendo que el dato debe surgir de la situación expuesta o de lo que pretenda
realizar el estudiante al abordar dicha situación.
Posterior a ello empiezan a entrar en juego las garantías que apoyan y le dan validez a
las razones y justificaciones de las estudiantes; la garantía se expone en la manera en
que estas llegan a determinar que la finca tenía forma de triángulo equilátero y desde
allí recurren a utilizar las características del mismo para llegar a plantear que por ser
triángulo equilátero no solamente tendrá sus tres lados iguales, sino además sus tres
ángulos; es más desde allí llegan a mencionar que los ángulos medirán exactamente
sesenta grados (60°) y se contrasta con la teoría ya que en palabras de Toulmin se
determina como la representación de un enunciado que permite el paso del dato a las
conclusión, que en sus propias palabras lo definen como “…el terreno que si es un
triángulo equilátero sus tres lados son iguales por la suma de sus ángulos…” en este
caso estamos hablando de una regla básica y formal de las matemáticas en la que todo
triángulo equilátero tendrá sus tres lados y tres ángulos iguales, pero dicha regla se
asume como una característica general de un objeto formal y por tanto recurren a
encontrar las características matemáticas para centrar la solución de la situación.
Ahora bien, al exponer las justificaciones se hace presente el respaldo para aseverar y
validar la garantía establecida donde el proceso de justificar corresponde a explicar el
razonamiento que se llevó a cabo para identificar o interpretar los datos. Según el
modelo de Toulmin (1958) este indicador cumple la función de justificar, por tanto se
determina que dicho respaldo surge de un teorema, ley o enunciado, en este caso el
estudiante establece las propiedades y características del triángulo equilátero que tiene
por su construcción ángulos de 60° y al dividir dicho ángulo en dos partes iguales se
establecen nuevos ángulos de 30°, por tanto pueden validar la garantía desde un
78 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
argumento matemático, que en su producción se determinó “pues si son la suma de los
tres ángulos 60,.. Entonces la mitad seria 30, 30 aquí y 30 aquí”; y es por ello que se
puede afirmar que la conclusión se puede validar desde los razonamientos establecidos
por las estudiantes.
Claro está que dicha conclusión se debe generar cuando expongan ante el auditorio
(docente y compañeros de clase) el argumento establecido ya sea en forma gráfica o
verbal, en esta ocasión se limitan a presentar la representación gráfica de la división del
ángulo en dos partes iguales y desde allí la construcción de una línea que divide dicho
ángulo, estableciendo que es allí donde se puede llegar a sembrar las plantas, pero los
más importante es que desde esta misma postura le dan solución a la pregunta que se
plantearon al generar el dato del argumento, afirmando que en dicha línea que divida el
terreno es donde las plantas cumplirán con la característica de estar a igual distancia de
ambos canales.
Se presentó la articulación entre los conceptos teóricos de la propuesta y los datos que
surgieron en la implementación del instrumento, es decir, la vinculación entre la teoría y
la práctica, construyendo la estructura del argumento desde las justificaciones, ideas e
interpretaciones de las estudiantes hacia la situación problema.
Dicho esquema (Ver figura 14) expresa un argumento donde se ponen en juego los
elementos del modelo argumentativo de Toulmin (2003), apoyado en las
interpretaciones que el investigador le da a la estructura argumental que plantean, y con
ello se pretende caracterizar dicho esquema desde los que busca reconocer cada
elemento del argumento.
79 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
Figura 14. Interpretación del esquema de argumentación estudiantes 2 y 3
En este sentido se pone de nuevo de manifiesto que el modelo argumentativo de
Toulmin (1958) es aplicable en cualquier espacio abierto a la disertación, al debate y al
diálogo; y de esta manera caracterizar las acciones de reflexión sobre los elementos del
argumento que al contrastarlos con el primer esquema de argumentación construido se
presentan ciertas relaciones respecto a los datos y la garantía estableciendo que estos
tienen ciertas particularidades y se pueden presentar de ciertas formas específicas.
4.7 Tercer esquema de argumentación construido
4.7.1 Toma de datos de la tercera transcripción. Teniendo en cuenta el
planteamiento de la estructura de los argumentos anteriores, en esta ocasión se
pretende dar a conocer una nueva estructura de argumento que surgió de la producción
de los estudiantes. Cabe aclarar que en esta ocasión se entrevistó solamente a la
estudiante, esto teniendo en cuenta los procesos escritos que había desarrollado,
obviamente desde las posturas y estrategias de solución que partieron a través del
80 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
grupo resolutor, lo que se pretende es evidenciar la justificación que puede establecer
la estudiante para incurrir y validar su propuesta de solución ante el auditorio en este
caso el docente y su grupo de compañeros, por tal razón se requiere indagar sobre las
justificaciones que planteó la estudiante y de esta manera contribuir a generar un
argumento desde sus razonamientos con la resolución del problema.
Al plantear las cuestiones emergentes de cada pregunta establecida para la situación
se generó la siguiente conversación y desde allí la estructura del tercer esquema de
argumentación dónde se retoman todos los elementos del argumento que se plantean
en la propuesta de Toulmin (1958).
Transcripción día 09 de noviembre de 2015
Profesor: Una pregunta que digamos me surge respecto a lo que estaban haciendo en
el caso anterior. Ustedes tienen por ejemplo esa matica A (Marcando con el
esfero), esa matica ¿Se puede sembrar o no se puede sembrar?
Estudiante 4: ¡No se puede sembrar!
Profesor: ¿Por qué no se puede sembrar?
Estudiante 4: ¡Porque no está a la misma distancia de los canales!
Profesor: …Y cómo garantizamos eso, yo puedo decir ¡mire! yo soy medio bizco y me
parece que sí !!!!
Estudiante 4: No, porque nosotros lo podemos garantizar midiendo de acá. O sea de
esta raya que cruzamos acá, medimos sí, de aquí a acá… Entonces sólo se
pueden sembrar acá, ¿Por qué?, porque aquí ya no está cumpliendo la regla de
que de que está a la misma distancia de los canales.
Profesor: De dónde a dónde medirías esa planta, esa planta hasta donde, o sea solo
teniendo en cuenta la planta ¿A dónde la medirías, hasta donde llevarías el
metro para medirla?
81 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
Estudiante 4: Pues del centro hasta la planta, del centro ¿Por qué? porque ellos están
sembrando las plantas… Entonces tomamos la medida desde la planta al canal,
entonces aquí (Señalando el lugar con el dedo) de la planta al canal ya no mide
lo mismo, entonces del centro acá.
Profesor: Ahhh ok, o sea la primer medida sería desde acá y en línea recta hasta el
canal (Señalando en la figura con el dedo), o sea hasta este punto llámemolo
punto P… listo y de ¿Dónde tomaría la otra medida para compararla?
Estudiante 4: De este punto a la planta (Señala la figura), o sea digamos que este es
como el punto donde se cierra, ya donde termina la finca y pues la raya que
cruzamos o como el sendero que sigue.
Profesor: ¡El surco!
Estudiante 4: ¡El surco que hicimos!
Profesor: Listo…llamemos este punto S de surco, si la distancia entre surco y la planta,
son ¡no se! cinco metros y de la planta al canal otros cinco metros, o sea son
iguales, ¿Está planta se puede sembrar?
Estudiante 4: ¡No!
Profesor: ¿Por qué no?
Estudiante 4: Porque la regla dice que es del surco al canal… Entonces la planta no
está en el surco si no está en otro punto X y no cumple la regla.
Profesor: O sea estas comparando dos distancias, las distancias de la planta a este
canal y la distancia de esa planta al otro canal, ya tome esta distancia como
tomo la distancia a este canal, o sea ¿De dónde a dónde?
Estudiante 4: De… digamos de aquí, podemos medir hasta acá, medimos de la
intersección a este punto que sería más o menos el punto P y lo mediríamos la
planta de acá (Señala la figura subrayada)
82 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
Imagen 7. Construcción de paralelogramos y sus lados iguales
Profesor: Traza ahí la línea y miramos ahí claramente… listo. Y ahí ya podemos ver
cuál de las dos es más grande y por tanto no las sembrarías.
Profesor: Ehhh!!! Tú decías acá que para garantizar las distancias tenía que ser con el
paralelogramo, entonces tú ibas armando artos paralelogramos unos más
pequeños y más pequeños y siempre garantizando que los lados sean iguales. O
sea que si no se formará un paralelogramo no se podría encontrar este.
Imagen 8. Construcción final de los paralelogramos
Estudiante 4: Ehhh!!!Pues de poder se puede. Pero para estar más seguro y tener
como…algo en que sostener se haría un paralelogramo.
83 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
A continuación se presenta el análisis de la estudiante al involucrarse en la situación
después de sostener un debate e inquietudes del sitio donde se deben ubicar las
plantas, de qué manera se puede determinar porque el sitio donde se siembran las
plantas tienen distancias iguales y el método que utilizó para interpretar la situación,
destacando de su proceso de resolución el método de la construcción de
paralelogramos para ayudar a Don Gustavo a sembrar sus plantas.
Ahora bien, desde la postura planteada por la estudiante se determina que intenta
resolver la situación a partir de generar razones por las cuales las plantas deben estar
dentro de los canales de riego especialmente en medio de los dos; de esta manera
genera un procedimiento en el que utilizó los paralelogramos como contenido
demostrativo de las distancias iguales para dar cuenta y concebir un argumento que
genere validez y veracidad para incurrir ante el auditorio.
En el caso anterior es el docente quién realizó la entrevista para reconocer el proceso
de resolución de la estudiante y así evidenciar el método para dar solución a la
situación problema, identificando la manera en que sus razones se enlazan no solo
para dar solución a la situación, sino también para explicar al auditorio su método de
solución e intentar persuadirlos para que asuman su posible propuesta de solución
como óptima.
El hecho de entrevistar a la estudiante es una decisión que tomó el investigador
teniendo en cuenta que en la solución de la situación planteada se evidenció un dato
que se podía relacionar con la teoría propuesta y de esta manera llegar a reconocer
cada uno de los elementos que compone un argumento.
La manera en que la estudiante por medio de las preguntas emergentes en la entrevista
responde, genera una mayor validez no solo en sus afirmaciones, sino en las razones
por la cual destaca que la solución planteada es la verdadera y por tanto soluciona la
pregunta que indaga por el lugar dónde se deben ubicar las plantas.
84 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
A continuación se presenta el esquema que se construyó a través de la entrevista,
teniendo en cuenta no solo sus respuestas, sino la manera en que explica la resolución
de la situación, formas y expresiones:
4.7.2 Tercer esquema de argumentación. En la solución planteada por la estudiante
Nº4 (Ver figura 15) al determinar dónde deben estar ubicadas las plantas, la principal
cuestión es justificar que las plantas deben estar dentro de los canales, es decir; señala
que las plantas deben quedar entre los canales de riego o quedar exactamente en el
medio de ellos.
Se presenta la articulación de la propuesta de Toulmin (1958) respecto a las evidencias
que surgieron por parte de la estudiante, de sus afirmaciones y razones se generó el
siguiente esquema que representa el argumento emitido para convencer al docente de
la solución propuesta para la situación; su manera de convencer se enfatiza en explicar
las razones por las cuales su solución es la óptima para garantizar que las plantas
estén ubicadas en un sitio especifico; pero cabe aclarar que al recurrir al contenido y
definición de los paralelogramos la estudiante garantiza dicha cuestión, además recurre
a contenidos previos para dar solución a una nueva situación en este caso la plantas de
la finca de Don Gustavo, estableciendo una red de conceptos enlazados en los que
podría llegar a construir conceptos como la bisectriz teniendo en cuenta las
propiedades y características del mismo.
En esta ocasión se transcribe la producción de la estudiante al responder la entrevista y
por medio del dialogo se enuncia lo declarado y se contrasta con la teoría propuesta
para rescatar los elementos del argumento y de alguna manera llegar a caracterizarlos.
85 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
Figura 15. Esquema de argumentación estudiante 4
4.7.2 Análisis del tercer esquema. Teniendo en cuenta dicha estructura en la figura
15 y ya que se evidenciaron los elementos constitutivos del argumento, se determinó
que las plantas debían estar ubicadas en un sitio especifico, por tanto se pretende
mencionar y contrastar la propuesta de Toulmin (1958) con las respuestas de la
entrevista para plantear la solución a la situación, todo esto teniendo en cuenta la figura
17 y las otras dos estructuras que se plantaron en los argumentos anteriores (Ver
figuras 11 y 13).
86 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
En el esquema argumentativo se contemplan los elementos de todo modelo de
argumentación de Toulmin (1958); en el que la estudiante expone sus diseños en forma
de dato estableciendo que es lo que le pide la situación, lo que plantea y expone su
enunciado, es decir, se sustenta de los hechos específicos de la situación misma,
instaurando que el dato debe surgir de la situación expuesta, en este caso la misma
situación le arrojo lo que debía hacer, como se muestra en el siguiente fragmento
“¿Dónde se pueden sembrar las plantas de Don Gustavo?” y desde allí estructuró la
solución a la situación poniendo en juego las garantías que apoyan y le dan validez a
las razones y justificaciones de los estudiantes.
La garantía se establece cuándo la estudiante llega a determinar que para que la planta
cumpla con las características expuestas en la situación de Don Gustavo, está debe
equidistar de ambos canales y con ello podría avalar el sitio específico dónde deben
ubicarse las plantas, que en palabras de Toulmin (2003) se determina como la
representación de un enunciado que permite el paso del dato a la conclusión, en este
caso se habla de una regla deducida por la experiencia de trabajar en la situación e
intentar darle una solución; es decir a través del proceso de experimentación con la
situación se determina la regla que dará paso a dicha conclusión, en su producción (E4)
“…Pues del centro hasta la planta, del centro. Del centro ¿Por qué?, porque ellos están
sembrando las plantas… Entonces tomando la medida desde la planta al canal”, se
establece la toma de distancias iguales desde las plantas a los canales (Ver figura 15).
Ahora bien, al exponer las justificaciones de la estudiante se hace presente el respaldo
para aseverar y validar la garantía establecida; donde el proceso de justificar
corresponde a explicar el razonamiento que se llevó a cabo para identificar o interpretar
los datos. Bajo el modelo de argumentación la validez de las justificaciones contempla
tanto las valoraciones positivas como negativas, por tanto se determina que dicho
respaldo surge de un principio en este caso la estudiante establece la propiedad y
característica de los paralelogramos planteando que sus lados son paralelos y por
tanto deben ser iguales dos a dos o como lo sugiere la (E4) “Porque nosotros lo
87 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
podemos garantizar midiendo acá… o sea de está raya que cruzamos medimos… solo
podemos sembrar acá”, es por ello que pueden llegar a plantear que las distancias de
las plantas a los canales deben ser iguales y por tanto puede validar la garantía desde
un argumento matemático.
Lo anterior afirma que la conclusión se puede validar desde los razonamientos
establecidos por la estudiante, claro está que dicha conclusión se debe generar cuándo
está exponga ante el docente y compañeros de grupo el argumento establecido, en
este caso en forma gráfica y verbal, ya que por medio de las propiedades de los
paralelogramos pueden afirmar que todas las plantas que se construyan dentro del
terreno de Don Gustavo van a equidistar de los canales, ya que la intersección de todos
los paralelogramos va a generar una línea que pasara dentro de la finca y se convertirá
en palabras formales en la bisectriz del triángulo equilátero que es la forma que
determina el terreno de la finca.
Se presentó la articulación entre los conceptos teóricos de la propuesta, los datos que
surgieron en la implementación del instrumento y las estructuras de los argumentos
anteriores, para ello se construyó el esquema de argumentación desde la vinculación
de los datos a dicho esquema, esto teniendo en cuenta que de nuevo se asevera que
este alcanza cuatro de los elementos que tiene un argumento.
El esquema de la figura 16 expresa un argumento donde se ponen en juego los
elementos del modelo argumentativo de Toulmin (2003), apoyado en las justificaciones
que emergen en una secuencia argumentativa lógica dentro de las matemáticas por
parte de una estudiante. Estableciendo la solución a la situación desde las propiedades
matemáticas por la construcción de figuras, en este caso los paralelogramos, por medio
de esta regla llega a garantizar que las plantas se deben sembrar en un lugar específico
equidistando de los canales de riego y generando no solo una interpretación de la
situación, sino apoyándose de una construcción de la misma para aseverar todas las
ideas, justificaciones y planeaciones por parte de la estudiante.
88 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
Figura 16. Interpretación del esquema de argumentación estudiante 4
En este sentido se vuelve a poner de manifiesto que el modelo argumentativo de
Toulmin (1958) es aplicable a cualquier disciplina o espacio abierto a la disertación, al
debate y al diálogo, ya que no solo esquematiza la ruta argumentativa de los
estudiantes; sino también caracteriza las acciones de reflexión sobre la argumentación
y su proceso de solución al enfrentarse a una actividad matemática que a partir de darle
solución a la situación genera construcciones que modelan no solo la situación, sino
por el contario brindan nuevas formas de organizar justificaciones que garanticen la
interpretación de la solución a la situación problema y desde los aportes teóricos a la
caracterización de los elementos del argumento.
89 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
Además por medio de sus aseveraciones establece las propiedades y características de
un contenido para llegar a darle solución a la situación, instaurando una estructura
conceptual en la que conceptos previos constituyen una red de nuevos conceptos que
ligan o dan a entender la interpretación de un nuevo contenido que por las palabras y
afirmaciones de la estudiante se podría plantear como la bisectriz, reconociendo ciertas
propiedades del contenido sin llegar a mencionarlo ni hacer uso de él formalmente.
4.8 Cuarto esquema de argumentación construido
4.8.1 Toma de datos de la cuarta transcripción. Para el siguiente momento se
presentó una justificación argumental que no sólo evidencia los elementos del
argumento planteados por Toulmin (1958), sino además caracteriza un proceso de
demostración empírica Gutiérrez (2001) en donde se puede referenciar una
demostración basada en los juicios ejercidos por la estudiante al plantear la solución a
la situación, recurriendo al ejemplo genérico para aseverar sus ideas y de esta forma
llegar a establecer una solución formal donde pueda brindar una justificación y debatir
sus posturas ante un auditorio en este caso el docente.
Se evidencia que es posible llegar a demostrar en el aula de matemáticas y por medio
de la solución a las preguntas emergentes planteadas por el docente, capturar dicha
información para volverla un dato de investigación. Cabe precisar que aunque
inicialmente la idea se presentó de manera grupal, dicho argumento surgió de la propia
experiencia de la estudiante al involucrarse con la situación y desarrollar una idea para
establecer donde se debían ubicar las plantas, estableciendo que el lugar específico
para sembrarlas debía estar en una línea que se construye en medio de los dos canales
y con esto afirmar que la estudiante recurre al concepto de forma empírica por su
proceso de experimentación; a continuación se muestran las evidencias de la discusión
generada al momento de presentar la solución de la situación problema ante el
auditorio y el oponente:
90 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
Transcripción día 10 de noviembre de 2015
Profesor: Bueno ehhh!!! Que has hecho respecto a la situación.
Estudiante 5: Bueno al principio no lo hice exactamente con medidas o un método ¡no!,
…Pero explicándome ustedes…Hice…Tome medida del canal de los dos
canales, de la distancia que hay del punto final del canal hasta el otro ehhhhh!!!
dividí la distancia total de este en dos para dividirlo, después pues tome como
referente los tres puntos.
Profesor: Pero…entonces tu acá ya me estás diciendo que las matas van a estar acá
(Señalando el gráfico con el dedo)… Pero entonces porque la mata no puede
estar acá (Señalando el gráfico), si yo pusiera una mata acá, ¿Por qué no podría
estar ahí?
Estudiante 5: Porque acá dice que el canal… que los dos canales deben quedar a la
misma medida que las plantas… Entonces de acá a acá no es la misma
distancia de acá a acá (Señalando el gráfico con el dedo).
Profesor: Listo…entonces por eso, pero entonces ¿Por qué esta sí? (Señalando el
gráfico), por ejemplo o porque esta si tiene la…
Estudiante 5: Porque la planta de acá a acá (Señalando el gráfico con el esfero), es la
misma, ya que la ubique 3,2 centímetros que es la medida de acá (Señalando el
gráfico) y acá a acá vale lo mismo entonces el riego quedaría igual sembrado.
Imagen 9. Construcción de la demostración triángulos congruentes
Profesor: Bien!!! Ahora entonces tú me estás diciendo que para que la mata este ahí
¿Esta distancia debe ser igual a esta distancia? Sí!!!! (Señalando el gráfico).
91 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
Estudiante 5: sí…
Profesor: Listo y porque sale desde acá… porque sale desde ahí (Señalando el gráfico),
digamos si yo nombro este B (señalando con el esfero), CB o este lado va a ser
igual a este.
Estudiante 5: sí…
Profesor: ¿Por qué?
Estudiante 5: …CB es igual a CB, porque es un cuadro equilátero y supongo que sí es
así, son las mismas medidas.
Profesor: Ahhh listo muy bien. O sea que tú ya estás diciendo que esta distancia es
igual a esta distancia, y esta distancia es igual a esta distancia (Señalando el
gráfico), ahora que pasa con esto que tienes acá… con esta distancia!!!. ¿Por
qué tú pones estos ángulos? (Señalando el gráfico con el esfero)
Estudiante 5: Ahhhhh!!! porque al ser un cuadro equilátero tomándolo completo mide
60º cada uno, bueno porque conforma 180º cada uno, por eso entonces lo que
yo hice como estamos partiéndolo en la mitad, tomar el ángulo de los dos y ya
recogerlo.
Profesor: O sea que este ángulo va a medir 60, este mide 60 y este mide 60, pero
entonces ¿Por qué acá los pusiste 30 y 30?
Estudiante 5: Porque como vamos a partir la zona en dos o como para tomar la medida
de las plantas, entonces decidí hacerlo así, o sea como parte tome los dos
triángulos rectángulos y los partí.
Profesor: Y entonces… ¿Qué va a pasar con el ángulo?
Estudiante 5: Se va a dividir en dos!!!
Profesor: ¿Iguales o diferentes?
Estudiante 5: No!!! Son iguales.
92 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
Profesor: (Señalando la figura)… Entonces explícame que hiciste hasta el momento,
porque tú me estás diciendo que estos dos lados son iguales, pero entonces
explícame ¿Por qué van a ser iguales?
Estudiante 5: Al ser un triángulo equilátero estas dos medidas son iguales… ehhhhh por
ende este lado, esta distancia es igual para las dos y teniendo este ángulo que
es igual a los dos lados entonces ahí esta medida es igual (Señalando con el
esfero).
Imagen 10. Demostración de triángulos congruentes
Profesor: Listo…
Al entrevistar a la estudiante y propiciar un dialogo en el que diera a conocer su proceso
de experimentación al resolver la situación, surge el planteamiento de justificaciones,
ideas y posturas que generaron un debate al exponer la solución de la situación ante el
docente. La estudiante estableció que las plantas debían estar sembradas en medio de
los canales, pero al pedirle que justificará o evidenciará las razones por las cuales las
plantas debían estar en ese sitio específico, determinó una serie de razones que dieran
a conocer que su idea era la más óptima para llegar a determinar que el sitio escogido
era el correcto.
93 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
La idea concebida por la estudiante consistió en determinar medidas arbitrarias para la
finca de Don Gustavo, para ello lo primero que realizó fue cerrar el terreno en ese
momento se dio cuenta que se generaba un triángulo que al dividirlo en dos iba a
formar una línea divisora, dicha línea describía el sitio específico dónde debían estar
ubicadas las plantas; cabe esclarecer que para ello tomo la regla y midió cada uno de
los canales.
Al determinar la medida prosiguió a medir los demás lados de los triángulos que se
formaron (Ver imagen 11) con lo cual evidenció que se generaban dos triángulos
iguales, por tanto empezó a compararlos y así logro evidenciar la congruencia de los
mismos resaltando que dos de los lados iban a ser iguales por las medidas tomadas y
que el otro lado iba a ser compartido, por lo tanto los triángulos debían ser iguales o con
una definición más formal debían ser congruentes.
Imagen 11: Medidas de los lados del triángulo
Con las ideas anteriormente expuestas podemos dar paso a la construcción del cuarto
esquema de argumentación por medio del trabajo de la estudiante con la situación.
4.8.2 Cuarto esquema de argumentación. Teniendo en cuenta la transcripción de la
videograbación de la estudiante Nº5 al definir el sitio específico donde se debían
sembrar las plantas, se construye un nuevo esquema de argumentación que retoma
cada uno de los elementos del argumento propuesto por Toulmin (1958) y que
evidencia el trabajo de experimentación y apropiación de la estudiante al caracterizar
94 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
dicha solución desde la conceptualización de triángulos congruentes, claro está sin
llegar a utilizar la definición exacta, pero si a hacer uso de ella con sus propias
palabras.
Cabe recalcar que dicho trabajo expone la importancia que tuvo el querer darle una
solución a la situación y por medio de la misma intentar validar ante un auditorio la
demostración de esta, es decir, ante el docente y algunos compañeros expresar la
solución por medio de características matemáticas que validarán su respuesta es desde
allí que se genera la construcción del cuarto esquema de argumentación que subyace
del grupo resolutor y que se evidenciará en la figura 17.
De nuevo se puede asegurar que la situación ofrece una variedad de estrategias de
solución; permite que la estudiante genere ideas e hipótesis respecto a la manera de
dar solución a las preguntas emergentes que surgen al interpretar la situación problema
y al querer exponer dichas soluciones ante los demás; en este caso decide implementar
la congruencia de triángulos y desde allí generar una demostración empírica desde el
ejemplo genérico para validar sus ideas y evidenciar que recurre a una serie de
conceptos que aunque no se establezcan de manera formal si hacen alusión a ellos.
Ya que al establecer que existe en la congruencia de triángulos un lado compartido,
dicho lado se podría expresar como la bisección o bisectriz del ángulo, es decir, la
estudiante intuitivamente recurre a conceptos formales desde su propia postura y
trabajo con la situación, validando dichos conceptos desde su discurso a la hora de
expresar la solución ante los demás. Cabe mencionar que en este caso la estudiante no
sólo se atreve a establecer el sitio dónde se deben sembrar las plantas, sino además
defiende el lugar desde su proceso de experimentación y logra convencer al auditorio
con la solución que le da a la situación.
A continuación se presenta la articulación de la propuesta de Toulmin (2003) respecto a
las evidencias que surgieron por parte de la estudiante, de sus afirmaciones y razones
95 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
se generó el siguiente esquema que representa el argumento con el cual convenció al
auditorio y determinó una solución válida a la situación. Se afirma que la solución es
válida porque los demás la aceptaron y se convencieron del proceso de resolución que
emitió la estudiante; este esquema de argumentación no sólo le plantea una solución a
la situación, sino que evidencia una demostración por parte de la estudiante.
Figura 17. Esquema de argumentación estudiante 5
Porque acá dice que el canal… que los dos canales deben
quedar a la misma medida que las plantas…
…Porque como vamos a partir la zona en dos o como para tomar la medida de las plantas, entonces
decidí hacerlo así, o sea como parte tome los dos triángulos
rectángulos y los partí…
…Al ser un triángulo equilátero estas dos medidas son iguales…
ehh por ende este lado, esta distancia es igual para las dos y
teniendo este ángulo que es igual a los dos lados entonces ahí esta
medida es igual…
…tome medida del canal de los dos canales, de la distancia que hay del punto final del canal hasta el otro ehhhhh
dividí la distancia total de este en dos para dividirlo, después pues tome como referente los
tres puntos.
Porque la planta de acá a acá es la misma ya que la ubique
3,2 centímetros que es la medida de acá y acá a acá vale
lo mismo entonces el riego quedaría igual sembrado…
Dato Conclusión
Garantía
Respaldo
96 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
Por consiguiente se establece que es posible demostrar en el aula de matemáticas
desde los propios procesos de experimentación con una situación matemática y al
querer dar una solución desde sus juicios y acciones a través de dar medidas
específicas al terreno, se observa que los triángulos iban a ser iguales y además iban a
compartir un lado que sería primordial para la solución de la situación.
4.8.3 Análisis del cuarto esquema. Teniendo en cuenta la estructura del argumento y
evidenciando cada uno de los elementos constitutivos del mismo, además de la ruta
argumentativa que sigue la estudiante para dar cuenta de las razones por las cuales
determinó que las plantas debían estar ubicadas en un sitio específico y además que
debían estar a la misma distancia de los canales, es primordial anotar que dicho
proceso se valió del ejemplo genérico haciendo uso de conceptos matemáticos
preconcebidos donde al utilizarlos llega a brindar una solución que convence al
auditorio de sus respuesta.
En este caso al docente y algunos de sus compañeros, estableciendo en medio del
debate razones claras y sustentadas por la cuales las plantas de arroz van a estar
sembradas sobre una línea que posteriormente se puede comparar con la línea divisora
o la bisección del ángulo, por tanto a continuación se pretende enumerar dichos
elementos y especificar las razones por las cuales se establecen como elementos
constitutivos de la propuesta de Toulmin (2003).
Se evidenciarán no solo los elementos del argumento, sino además cada uno de los
procesos intuitivos por los cuales la estudiante llego a dar solución a la situación;
procesos como la construcción de triángulos, la medición de lados y ángulos ya que
desde estos procesos se fue creando la idea para determinar la igualdad o congruencia
de triángulos con la que pudo aseverar ante el auditorio la solución a la situación,
posterior a ello establecer desde sus propias palabras y construcciones la demostración
de la situación y así obtener el sitio específico en donde Don Gustavo debía sembrar
las plantas.
97 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
Desde dicho esquema (Ver figura 17) se pueden observar las características que
cumple cada elemento del argumento de la propuesta de Toulmin (1958) y contrastarla
con las evidencias resultantes de la interpretación y resultados que se generaron al
plantear la solución a la situación.
Por tanto el dato se establece como lo que pide la situación, lo que plantea y expone su
enunciado, pero en esta ocasión la estudiante es quién plantea su propio dato, ya que
esboza su pregunta desde el trabajo y la charla que tuvo con el docente, es decir,
cuando ella lee la situación establece lo que va a realizar, pero al interactuar con el
docente y la serie de preguntas emergentes logra establecer ciertos criterios para
determinar que lo que quiere evidenciar es el lugar donde se deben ubicar o sembrar
las plantas de Don Gustavo, al afirmar (E5) “Porque acá dice que el canal…que los dos
canales deben quedar a la misma medida que las plantas” generando desde sus
propias palabras la cuestión que llegue a dar solución a la situación y desde allí el punto
de partida que establecerá en el proceso de experimentación y trabajo con la situación.
Las garantías apoyan y le dan validez a las razones y justificaciones de los estudiantes;
en este caso está expuesta en la forma en que la estudiante determina que al tomar
medidas específicas del terreno de la finca se formarán dos triángulos que tendrán
ciertas medidas de sus lados y ángulos iguales, pero que además comparten un lado y
es este el que brinda la seguridad de afirmar que este sitio es donde se deben sembrar
las plantas de Don Gustavo; al contrastarlo con la teoría ya que en palabras de Toulmin
(2003) se determina como la representación de un enunciado que permite el paso del
dato a la conclusión.
Se habla de la construcción de un figura geométrica en la que todo par de triángulos
cumplen con ciertas propiedades y características de comparación, pero dicha regla se
asume como una característica general de un objeto formal y por tanto el estudiante
recurre a características matemáticas para centrar la solución de la situación, es decir,
98 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
la estudiante recurre a palabras desde su propio entorno y experiencia con la
matemáticas para definir conceptos formales desde la matemáticas, haciendo uso de
ellos pero sin mencionarlos formalmente, aunque si los establezca y haga uso de sus
características, que se manifiesta “O sea tome los dos triángulos rectángulos y los
partí”.
Ahora bien, al exponer las justificaciones de la estudiante se hace presente el respaldo
para aseverar y validar la garantía establecida, donde el proceso de justificar
corresponde a explicar el razonamiento que se llevó a cabo para identificar o interpretar
los datos, por tanto se determina que dicho respaldo surge de un teorema, ley o
enunciado, en este caso ella establece las propiedades y características de los
triángulos.
Ya que al compararlos logra determinar que estos son iguales y por tanto tendrán las
mismas medidas, en este caso específico establece la congruencia de triángulos y
desde su comparación observa que uno de sus lados, el que comparten, se instaura
como el sitio donde se deben ubicar las plantas, que en sus declaraciones (E5) “…Al
ser un triángulo equilátero estas dos medidas son iguales…por ende este lado, esta
distancia es igual para los dos y teniendo este ángulo que es igual a los dos lados.
Entonces ahí, esta medida es igual…” que para hablar formalmente sería la bisección
del ángulo partiendo que el lado va a estar a 30º de cada canal, por tanto se puede
validar la garantía desde un argumento matemático.
La conclusión se puede validar desde los razonamientos establecidos por la estudiante,
claro está que dicha conclusión se debe generar cuando exponga ante el auditorio, en
este caso el docente y los compañeros de clase. En esta ocasión presenta la
representación gráfica de la división del ángulo en dos partes iguales por medio de la
congruencia de triángulos donde el lado compartido de dichos triángulos se convertirá
en la construcción de una línea que divide al ángulo y por tanto se plantea como el
99 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
único lugar donde se puede llegar a sembrar las plantas, porque cumple y garantiza con
estar a la misma distancia de ambos canales.
Cabe aclarar que nuevamente desde la misma postura le da solución a la pregunta que
la estudiante se planteó al generar el dato del argumento, afirmando que en dicha línea
que divida el terreno es donde las plantas cumplirán con la característica de estar a
igual distancia de ambos canales, estableciendo que el dato se puede dar de dos
maneras; interpretando e instituyendo lo que pide la situación o simplemente
contestando a la pregunta que se plantee en la situación problema.
Se presentó la articulación entre los conceptos teóricos de la propuesta y los datos que
surgieron en la implementación del instrumento, es decir, la vinculación entre la teoría y
la práctica construyendo la estructura del argumento desde las justificaciones, ideas e
interpretaciones de la estudiante hacía la situación problema, precisando en la
construcción de conceptos desde las propias palabras de la estudiante y concibiendo la
solución a la situación cómo una demostración empírica que hace alusión al ejemplo
genérico para validar las ideas desde la postura de Gutiérrez (2001).
Al ver la figura 18 se expresa un argumento donde se ponen en juego los elementos del
modelo argumentativo de Toulmin (1958) apoyado en las interpretaciones que el
investigador le da a la estructura argumental que plantea el estudiante, y con ello se
pretende caracterizar dicho esquema desde lo que busca reconocer cada elemento del
argumento.
Es por ello que se plantea un argumento como el análisis del esquema argumentativo
construido por la estudiante y así poderlos contrastar al analizar el proceso de
resolución de la situación planteada.
100 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
Figura 18. Interpretación del esquema de argumentación estudiante 5
En este sentido se pone de manifiesto que el modelo argumentativo de Toulmin (2003)
es aplicable en cualquier espacio abierto a la disertación, al debate y al diálogo, en está
ocasión se percibe que no solo la importancia fue llegar a darle solución a la situación
problema, sino que en medio del proceso de experimentación y el trabajo matemático
¿En dónde se deben ubicar las
plantas de Don Gustavo?
Existe una línea que se
encuentra entre los canales de
riego que cumple con la
condición de estar a igual
distancia de ambos canales
Teniendo en cuenta las medidas
de las distancias y los ángulos
dentro del terreno, se determina
la congruencia de triángulos, al
desarrollar dicha congruencia se
establece que en el lado
compartido se deben sembrar las
plantas de arroz
Existe una línea que determina el
sitio donde se deben ubicar las
plantas
Dato Conclusión
Garantía
Respaldo
101 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
se percibe la demostración casi formal (empírica) de la solución a dicha situación,
estableciendo argumentos desde el ejemplo genérico y valorando definiciones
matemáticas formales desde las propias palabras de la resolutora, lo que género no
solo la validación de la solución, sino además brindó la oportunidad de caracterizar una
demostración en el aula de clase.
4.9 Quinto esquema de argumentación construido
4.9.1 Toma de datos de la quinta transcripción. Para este este nuevo esquema se
plantea el argumento refutado desde la primera concepción a la pregunta ¿Dónde se
deben sembrar las plantas de arroz?, cabe precisar que desde la postura de Toulmin
(2003) la refutación también se concibe como un elemento del argumento, de esta
manera a continuación se presenta la conversación entre el estudiante (proponente) y
docente (oponente) para llegar a determinar la refutación como contraejemplo a un
argumento válido:
Transcripción día 4 de noviembre de 2015
Profesor: ¿Cuál es su pregunta?
Estudiante 6: Profe vea…Se puede hacer dos. O sea… una acá y otra acá, y como
están a la misma distancia de acá y de acá, y acá se puede hacer otra que pase
acá… O sea pero a la misma distancia.
Profesor: Bueno… pero donde quedaría la finca de Don Gustavo, la parte de acá
adentro o la parte de afuera o ¿Dónde está la finca?
Estudiante 6: Pues sería como esto, quedaría adentro (Señalando el gráfico con el
esfero).
Profesor: ¡O sea los canales de riego están dentro de la finca!
Estudiante 6: ¡Sí!
102 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
Profesor: O sea que usted propone como hacer dos hileras de matas.
Imagen 12. Ubicación de las plantas por parte del estudiante
Estudiante 6: ¡Sí! O sea como se ve en la primera foto pero… ósea una acá, ósea dos
así que vengan desde por acá (Señalando el gráfico) si me hago entender… o
sea que salgan desde por acá con la misma distancia.
Profesor: Listo. Coloque un ejemplo, sólo un puntico a dónde quedaría una mata.
Estudiante 6: (Señalando el gráfico con el esfero) Por decir, quedaría, una quedaría de
aquí por ahí hasta acá y la otra como es de la misma distancia de aquí a acá.
Profesor: Listo… entonces ahí la pregunta es por ejemplo, esta mata de arroz ¿Está a
igual distancia de este canal que de este canal?
Estudiante 6: No!!!! O sea que no se puede.
Profesor: Entonces como hacemos para medir la distancia que quede igual en ambos
canales.
Estudiante 6: Pues podría entonces quedar una no más en la mitad, por decir acá y acá
(Señalando con el esfero) y ahí si quedaría a la misma distancia no más una.
Profesor: Listo perfecto… entonces vamos a trabajar en ese tema.
Aunque el proponente intenta encontrar en la primera concepción de la situación el sitio
específico dónde se deben ubicar las plantas y sostiene por medio de justificaciones su
103 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
postura, se da cuenta que las razones no son suficientes para llegar a validar su
conjetura y por tanto se encuentra forjado a admitir que las razones que el oponente
plantea para refutar su postura pueden llegar a ser veraces.
4.9.2 Quinto esquema de argumentación. En el proceso realizado por el estudiante 6
(Ver figura 19) al querer determinar dónde deben estar ubicadas las plantas y sobretodo
que estas estén a igual distancia de ambos canales, se evidencia que su principal
preocupación está en que las plantas no solamente queden dentro de los canales, sino
además estén a igual distancia de cada uno, es decir, que cada canal tenga plantas
diferentes para ser regadas, concibiendo en su postura que deben haber dos hileras de
plantas y una de ellas para cada canal, estableciendo una mala interpretación de la
situación al querer abordarla.
Ahora bien, cuando el estudiante da a conocer sus razones y plantea la solución a la
situación, el docente sin necesidad de juzgar su respuesta sino simplemente planteado
una pregunta emergente, logra que el estudiante empiece a revisar la solución
planteada al problema y pueda llegar a admitir que esta no puede ser válida, esto
teniendo en cuenta las condiciones que planteaba la situación problema, que en esos
momentos no eran tenidas en cuenta por el resolutor.
Dicho proceso se realizó de manera individual y al ser refutado por el oponente que en
este caso era el docente, el mismo auditorio aceptó y validó la refutación, por tanto se
preocuparon por interpretar de nuevo la situación y tener en cuenta las condiciones que
planteaba la misma y además qué ahora debían tener en cuenta que la condición
establecida por su compañero no era la más óptima y que fue refutada por por sus
compañeros de clase.
104 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
Figura 19. Esquema de argumentación estudiante 6
4.9.3 Análisis del quinto esquema. Al apreciar el esquema argumentativo de la figura
19 se puede contemplar los elementos del modelo de argumentación de Toulmin
(2003); pero en esta ocasión se utiliza uno de sus elementos más apropiados para
adjudicar la falta de argumentación que se denomina refutación.
En la refutación el estudiante o proponente expone no solo sus razones, sino las
justificaciones a la solución de la situación, en este caso el dato se establece como lo
que pide la situación, pero para el esquema el estudiante interpreto lo que exigía la
situación y por tanto planteo su propia hipótesis al leer la situación que en sus palabras
se expone con la frase “…Determinar que las plantas están a igual distancia de los
canales”…, cabe mencionar que para refutar un argumento, todavía se debe tener en
cuenta el dato.
Determinar que las plantas están a
igual distancia de los dos canales
¡Sí! ósea como se ve en la
primera foto pero… ósea
una acá, ósea dos así que
vengan desde por acá si
me hago entender… ósea
que salgan desde por acá
con la misma distancia.
No! Ósea que no se puede
Profe vea…Se puede hacer dos.
Ósea… una acá y otra acá, y
como están a la misma
distancia de acá y de acá, y
acá se puede hacer otra que
pase acá… Ósea pero a la
misma distancia.
Dato Conclusión
Garantía
Respaldo
Listo… entonces ahí la
pregunta es por ejemplo
esta mata de arroz ¿Está a
igual distancia de este
canal que de este canal?
Refutación
105 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
Desde el planteamiento anterior empieza a entrar en juego la garantía que está
expuesta al conjeturar que cada uno de los canales deberá tener una hilera de plantas
o como menciona el (E6) “…O sea dos así, que vengan desde por acá, [si me hago
entender] o sea que salgan desde por acá con la misma distancia…”, es decir, de esta
manera se genera una correspondencia uno a uno donde cada canal solo debe regar
las plantas que estén al lado de él.
En este caso estamos hablando de una regla deducida por experiencia al trabajar en la
situación, pero como el argumento será refutado se debe adjudicar el contraejemplo a
este elemento, que es mencionado en la teoría de Toulmin (2003).
Ahora bien, al exponer la pregunta emergente por parte del docente no se puede hacer
presente el respaldo, ya que el estudiante no asevera la conjetura establecida y por
tanto se puede afirmar que la garantía no es válida; es por ello que se logra certificar
que la conclusión será falsa “Se puede hacer dos…O sea una acá y otra acá y como
están a la misma distancia de acá y de acá, y acá se puede hacer otra que pase acá. O
sea pero a la misma distancia”, ya que no valida los razonamientos establecidos por el
estudiante y en ese instante aparece el elemento refutación tomado como
contraejemplo a la conclusión expuesta por el estudiante y que niega el argumento
establecido y por tanto las razones y justificaciones del estudiante respecto al sitio
dónde se deben sembrar las plantas.
Constituyendo la pregunta ¿Qué si al escoger solo una planta está iba a estar a igual
distancia de ambos canales?, se toma la respuesta del estudiante al contestar (E6),
“…qué no se puede…” es allí cuando empieza a interpretar de nuevo la situación y
acepta la refutación como válida, por tanto la construcción del esquema no puede
continuar, parando no solo en la garantía, sino generando que no se pueda llegar a
construir el postulado, como se observa en la figura 20.
106 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
Figura 20. Interpretación del esquema de argumentación estudiante 6
Dicho esquema de la figura 20 expresa la interpretación del argumento refutado, donde
se pone en juego el contraejemplo y se confirma una vez más que el modelo
argumentativo es aplicable a cualquier disciplina o espacio abierto al debate y al
diálogo, no solo con el fin de garantizar rutas argumentativas sólidas, sino por el
contrario dar a conocer que la refutación y contraejemplo se conciben como elemento
constitutivo de la teoría de Toulmin (2003) llegando a tener la misma validez que los
demás y que este se puede generar en cualquier esquema de argumentación que no
cumpla con los elementos del argumento establecidos.
De esta manera a continuación se presentan los resultados y reflexiones suscitadas a
través de la aplicación de instrumentos, recolección de la información y puesta en
escena de una situación problema que generó en los estudiantes apropiación y
¿Cómo determinar que las plantas
están a la misma distancia de los
canales de riego?
Cada hilera va a estar a
igual distancia de cada
canal, es decir, la hilera
está a igual distancia uno
a uno.
No alcanza a formar un
respaldo a su garantía.
Las plantas deben estar ubicadas en
don hileras, dentro del terreno de la
finca de Don Gustavo.
Dato Conclusión
Garantía
Respaldo
Como una de las plantas
no está a igual distancia de
ambos canales se genera
un contraejemplo
Refutación
107 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
constitución de soluciones y contenidos matemáticos por medio de la ruta
argumentativa.
108 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
CAPÍTULO 5
CONCLUSIONES Y REFLEXIONES
Este capítulo se presentarán tres momentos esenciales para la investigación que se
describirán de manera fluida, el primero apunta a la construcción de las posibles
categorías que especifican y caracterizan los elementos del argumento desde el trabajo
con cualquier situación problema que apunte a la actividad argumentativa, la segunda
propicia los resultados esperados respecto al trabajo de investigación y el análisis de
los cuatro esquemas de argumentación que se hallaron en el grupo resolutor y la
tercera apunta a las conclusiones y reflexiones generales que se destacan de la
investigación en torno a la actividad argumentativa y los elementos del argumento
propuestos en la teoría de Toulmin (2003).
5.1 Categorías expuestas al analizar el grupo resolutor
Teniendo en cuenta los argumentos que se generaron al implementar la situación,
recoger la información y transformarla en datos de investigación, surge un sistema de
categorías y criterios qué se podrían validar como categorías emergentes que servirían
no solo para analizar y clasificar la información, sino también para llegar a codificarla.
Estas categorías surgen de los diferentes esquemas de argumentación que se lograron
construir a lo largo de la experiencia y del trabajo de los diferentes estudiantes; cabe
mencionar que en todos los casos las estructuras argumentativas no fueron completas,
esto teniendo en cuenta que existe un elemento del argumento que se define como la
refutación o argumento refutado, expresado como la contradicción a la garantía y por
ende al respaldo al expresar una razón o justificación, generando un argumento que no
puede llegar a ser válido para un auditorio.
109 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
Es por ello que no se tomaron todos los elementos que se exponen en la teoría de
Toulmin (2003) pero los elementos que se reconocieron en el grupo resolutor brindaron
la oportunidad de construir una estructura (Ver figura 21) en donde se visualiza la forma
y manera en que se pueden determinar los elementos del argumento al trabajar con
una situación que exija la disertación y debate de las justificaciones u opiniones ante un
auditorio, estableciendo una serie de clases en las que se podrían llegar a visualizar y
reconocer cada uno de los elementos del argumento facilitando la obtención y
caracterización de los mismos.
Por tanto al consolidar dicha estructura se pretende llegar a codificar cualquier
argumento con los elementos que se plantean en la propuesta de Toulmin (1958), para
ello se establecerán características y razones por las cuales un dato, una garantía, un
respaldo y una conclusión podrían determinarse, dependiendo no solo en la forma en
que se anuncie, sino por medio del trabajo que se realice al enfrentarse a la solución de
una situación, es decir, dependiendo de la forma en que el estudiante exprese sus
afirmaciones, justificaciones o razones, se podría llegar a identificar qué tipo de
elemento del argumento está utilizando y de qué manera lo da a conocer.
Por tal razón para cada uno de los elementos se establecieron nuevas categorías que
estipularán la manera en que se pueden observar o detectar dichos elementos y así
facilitar el reconocimiento de un argumento cuándo se pretenda indagar por un trabajo
que amerite la discusión o debate de ideas o dónde se genere la necesidad de
argumentar las razones por las cuales se debe convencer a un auditorio.
A continuación se presentan las categorías que surgen al analizar los cuatro esquemas
de argumentación que surgieron en la implementación de la situación y desde dichos
argumentos se consolidó la estructura que daría pie a encontrar la manera de concebir
un argumento y determinar cada uno de sus elementos con tan solo establecer la forma
en que se exprese una persona; cabe mencionar que dicha estructura podría llegar a
110 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
generalizar la idea de concebir argumentos o simplemente facilitar la forma de hallar o
visualizar cada uno de sus elementos, ya que el investigador tendrá la oportunidad de
observar cómo se concibe y como se da a conocer dicho elemento constitutivo del
argumento, reconociendo el tipo de trabajo que se realiza con el mismo y motivando a
generar la argumentación en el aula de clase por medio de preguntas que generen y
motiven las acciones que se reconocieron al implementar la situación, en la figura 23 se
observan los elementos sin especificar la refutación ya que este desde la propuesta de
Toulmin (1958) se concibe como el contraejemplo:
Figura 21. Categorías expuestas de los esquemas de argumentación
Al observar la figura 21 se destacan las maneras en qué los diferentes elementos de los
esquemas de argumentación dato, garantía, respaldo y conclusión, se podrían llegar a
clasificar y evidenciar cuándo el estudiante interviene en la resolución de problemas
Esquema de
argumentación
Dato
Garantía
Respaldo
Conclusión
Gráfica
Gesto
Afirmación
Teorema
Ley
Principio
Hipótesis
Situación
Gráfica
Discursiva
Gestuales
111 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
matemáticos o simplemente en la disertación de su discurso. Cabe aclarar que dichas
categorías están posibles al cambio y por tanto serian emergentes y temporalmente
validas teniendo en cuenta que surgen de los análisis de un solo grupo resolutor, es
decir, se establecen las posibles categorías gracias al trabajo desarrollado por el grupo,
pero en ningún momento se afirma que generalizarían a la actividad argumentativa
implementada en cualquier espacio de disertación.
La pregunta orientadora por la cual se desató la idea de plantear algunas categorías
emergentes desde la resolución de la situación fue ¿Dónde se podría llegar a sembrar
las plantas?, ya que en dicho momento fue donde los estudiantes empezaron a
estructurar argumentos, además de justificar y validar sus respuestas desde los
procedimientos realizados en el cuaderno resolutor; planteando que cada elemento del
argumento propuesto por la teoría de Toulmin (1958) podría llegar a estructurarse
desde diferentes fases que surgieron de los distintos argumentos que empleo el grupo
resolutor.
Cada categoría emerge del análisis que se realizó de los cuatro esquemas de
argumentación que se generaron desde las justificaciones de los estudiantes y los
criterios para estructurar cada elemento por parte del investigador, además cabe
precisar que cada uno de los argumentos se estableció en una categoría y por ende se
constituyó la clasificación parcial a las categorías construidas.
Dicha clasificación surge al revisar las transcripciones de los procesos realizados por
los estudiantes y contrastarlo con la teoría de Toulmin (1958), pero es importante
mencionar que también surgen al enfrentar al grupo resolutor con las preguntas
emergentes instauradas por el docente que fueron de ayuda para consolidar no solo la
construcción de argumentos y el reconocimiento de sus elementos, sino además pensar
en que se podría llegar a evidenciar de alguna manera la forma en que se pueden
expresar los estudiantes al querer generar un argumento o una razón que persuada o
instigue a un auditorio a validar una idea.
112 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
Desde la construcción de los cuatro esquemas vistos anteriormente (Ver figuras 11, 13,
15 y 17) se justificará cada una de las nuevas categorías desde la manera en que se
pueden concebir y expresar ante la comunidad educativa, a continuación se observa
desde que argumento se centra la categoría y de alguna manera se codifica la
información para que de sustento a la construcción de dichas categorías, es importante
observar que cada categoría se contrasto con los esquemas encontrados en el grupo
resolutor y por ende brindan una validez para afirmar que la categorías podrían llegar a
ser validadas para cuándo se quiera llegar a retomar un trabajo con los mismos ideales
de debatir en cualquier espacio (Ver figura 22):
Figura 22. Categorías contrastadas con los esquemas de argumentación
113 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
Ya con esto se podría validar que desde el trabajo realizado al construir los esquemas
de argumentación del grupo resolutor con las postura de Toulmin (2003) y evidenciar
ciertas características que subyacen para identificar los elementos del argumento, se
plantean posibles categorías que brindarían una herramienta para identificar los
esquemas de argumentación que emergen en los estudiantes al involucrarse con la
solución de situaciones problema similares y de alguna manera propiciar la reflexión
sobre sus prácticas pedagógicas y motivar al estudiante a transformar o concebir un
contenido por medio de su labor.
Ahora bien, al instaurar dicha estructura como una herramienta didáctica y metodología
para docentes que quieran trabajar con situaciones que ameriten la actividad
argumentativa, no solo podrían llegar a encontrar de manera más eficaz los elementos
de un argumento , sino además codificar la información y estructurar de mejor manera
una investigación y así contribuir a generar un análisis desde los propios elementos del
argumento y desde la postura de Toulmin (2003), por último es importante mencionar
que la categorías se validaron desde el proceso desarrollado por el grupo resolutor por
lo tanto dichas categorías están expuestas a cambios totales o parciales.
Por tal razón fue esencial que cada nueva categoría se contrastara con la evidencia
resultante de la actividad del grupo resolutor y estableciendo en cada caso el esquema
de argumentación que se eligió y la razón por la que se prefirió (Ver figura 22).
5.2 Resultados o productos esperados
La metodología de resolución de problemas es un método de inagotables recursos,
dado que en cada experiencia con problemas matemáticos posibilita la
retroalimentación con experiencias pasadas, dota las prácticas de creatividad en
espacios de socialización y desarrolla una conciencia crítica, es allí donde la
argumentación como un proceso comunicativo debe sobresalir.
114 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
El aprendizaje en matemáticas debe ser significativo para el estudiante y el docente
debe estar atento al desarrollo y evolución del mismo, enfatizando primordialmente en
el saber matemático. Como lo menciona Arzaello (1998) (Citado por Gutiérrez et al.,
2013, p. 190), es así como debemos librarnos de evaluaciones donde cada vez es más
recurrente el examen escrito y donde los argumentos del estudiante frente a lo que
hace no es tenido en cuenta. Por tal razón la investigación caracterizó los esquemas
argumentativos implícitos en la resolución de la situación problema, adecuando
categorías de análisis desde los referentes teóricos, proporcionando una herramienta
metodológica y conceptual que caracterice el comportamiento del grupo resolutor y, a
partir de las reflexiones en torno a su trabajo brindar herramientas para la organización
y comprensión de los esquemas de argumentación que subyacen en la actividad
demostrativa.
Al reivindicar la argumentación dentro de procesos de socialización en torno a la
resolución de situaciones problema se ejecuta una toma de conciencia de la necesidad
y responsabilidad que debe darse a los procesos de demostración en el aula, se
pretende fundamentalmente concientizar a los docentes de matemáticas que deseen
abordar los procesos de argumentación y validación como un requisito primordial que
debe darse en un contexto de socialización de saberes al interior del aula en torno a
problemas propios de la matemática, dónde el estudiante en lugar de memorizar y
reproducir se concientice sobre la responsabilidad de crear, justificar y validar, lo que
sin duda alguna ayudará a superar los problemas de enseñanza de la demostración y
su trivialización en las prácticas docentes actuales.
Ahora bien, se establecen las rutas argumentativas de los estudiantes y desde allí las
estructuras argumentales basados en las propuesta de Toulmin (2003) teniendo en
cuenta los elementos de los argumentos y en consonancia se incorpora la nueva visión
de establecer posibles categorías para determinar los elementos de los argumentos y
en este caso establecer que la estructura del argumento en ocasiones se podría lograr
evidenciar y clasificar, generando un mayor avance entre los que se pretende generar
115 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
al motivar a los estudiantes a trabajar con actividades de tipo argumentativo dónde
tengan la necesidad de justificar, debatir y brindar razones e ideas para convencer a un
auditorio desde sus propias ideas.
Por lo tanto, esta propuesta investigativa podría suscitar elementos de reflexión a las
actuales maneras de llevar a cabo la enseñanza-aprendizaje de la demostración, donde
se privilegie a los estudiantes, a sus propias ideas y maneras de construir
conocimiento, creándole la necesidad de demostrar como un medio para descubrir,
tomando en cuenta las primeras afirmaciones e intuiciones que éste posee y las
primeras explicaciones que logra al abordar un problema que debe ser concebido como
un proceso evolutivo, una construcción de cadenas deductivas inicialmente
fundamentadas en las creencias del estudiante para llevarlas a discusión y aceptación
grupal en forma de argumentos, convenciendo al auditorio.
Pero un elemento que no se puede dejar de mencionar es que se puede llegar a generar
la demostración en el aula de clase, ya que al constituir el cuarto argumento, se
evidencia que el estudiante desde el ejemplo genérico llega a establecer que existe la
congruencia entre triángulos, obviamente desde sus propias palabras, pero que en
consonancia con el objetivo de la investigación no solo identifica los elementos del
argumento, sino que al caracterizar dicha actividad argumentativa funda en su proceso
la demostración desde su propio trabajo con la situación.
Desde la propuesta de Gutiérrez (2001) no solo se hablaría de una demostración
empírica que nace desde los mismos procesos ejercidos por el estudiante, sino por el
contrario se estaría hablando del paso a las demostraciones deductivas y más
específicamente a la etapa de experimento mental, ya que el estudiante por medio del
ejemplo y al tomar medidas exactas del gráfico que otorgaba la situación logró
determinar que los triángulos construidos iban a ser iguales y que justo el lado que
compartían dichos triángulos se convertiría en el sitio específico donde Don Gustavo
debía sembrar las plantas de arroz, favoreciendo la apropiación de conceptos desde su
116 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
trabajo y dando a conocer las definiciones y trabajo con conceptos desde sus propias
palabras y procesos realizados en la solución a la situación.
Se logró identificar cada uno de los elementos del argumento no solo dándolos a
conocer, sino además estableciendo las características de los mismos en la puesta en
práctica de la situación y además estableciendo algunos patrones que suscitan dichos
elementos a la hora de ejercer una actividad que fomente la actividad argumentativa.
Con ello se brinda la oportunidad a nuevos investigadores de propiciar este tipo de
actividades en el aula de clase dónde el estudiante tenga la libertad de expresar sus
razones y justificaciones desde sus juicios, motivando al debate y actitud crítica ante el
juzgamiento por parte de un auditorio dónde la principal fortaleza de un proponente es
querer convencer a su auditorio desde un postulado, una ley o un teorema que satisfaga
no solo sus ideas, sino que genere una propuesta desde su proceso de experimentación
que optimice la situación trabajada y establezca un argumento claro y coherente que
convenza al auditorio.
Al identificar, construir y analizar los cuatro argumentos que contenían los elementos
propuestos por Toulmin (2013), se obtiene que los estudiantes logran constituir
significados desde sus palabras como lo observado en los argumentos 3 y 4 cuándo por
medio del trabajo y la experiencia con la situación, establecen significados para la
bisectriz de un ángulo y la congruencia de triángulos y aunque logran reconocer algunas
características y propiedades de las mismas nunca utiliza las palabras formales de
estos, sino por el contrario los identifica y reconoce al utilizarlos para darle solución a la
situación.
Por ejemplo cuándo por medio de la identificación de las propiedades de los triángulos
equiláteros que tienen tres ángulos de 60º, llega identificar que el sitio dónde se
deberían sembrar las plantas es la línea divisora que corta a uno de los ángulos por la
mitad, obviamente generando dos ángulos de 30º, que al analizar recurre a las
117 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
propiedades de la bisección del ángulo sin llegarla a nombrar o cuándo determina que
dos triángulos iban a ser completamente iguales ya que tenían dos lados con las mismas
medidas y el otro lo compartían, estableciendo propiedades de los triángulos y por medio
de ellas instituyó conceptos a través de la construcción de conceptos previos,
fortaleciendo el aprendizaje significativo en los estudiantes y generando una red de
conocimientos por medio de su propio proceso de resolución de situaciones problema.
Ahora bien, es importante rescatar que uno de los resultados meritorios fue que el grupo
resolutor generó procedimientos que nunca se tuvieron en cuenta a la hora de plantear
las posibles soluciones a las situaciones o soluciones a priori; cuándo se estableció la
prueba pilotaje y se adaptó la situación problema de las plantas de arroz de Don
Gustavo, se tuvo en cuenta cuales iban a ser los posibles procedimientos que los
estudiantes iban a utilizar para dar solución a la situación y aunque la mayoría llegó a
utilizar la bisectriz del ángulo o más bien sus propiedades sin mencionar
específicamente el contenido, la solución de las circunferencias en el argumento 1 y los
paralelogramos en el argumento 3, constituyen la idea de que dichas situaciones
promueven el proceso de enseñanza y aprendizaje del estudiante, motivando a dar
soluciones desde sus posturas y construcción de conceptos, además estableciendo
solidez y validez de sus justificaciones a la hora de darlas a conocer ante un auditorio y
aprobadas matemáticamente desde la apropiación de propiedades y características de
algunos contenidos matemáticos.
Desde la postura anterior es fundamental mencionar que las preguntas emergentes y la
función del docente fue esencial a la hora de generar el proceso de resolución de la
situación, en los argumentos 1, 2 y 4; se prioriza que el docente por medio de las
preguntas emergentes instauró en los estudiantes no solo las ganas de continuar
elaborando una solución, sino además procurando no entrometerse en las posturas
expuestas por los estudiantes.
118 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
En este tipo de trabajos es muy importante que el docente tenga en cuenta la delgada
línea de pasar al terreno del estudiante, es decir, procurar que en medio del proceso de
experimentación y solución a la situación no se obstaculice al resolutor con las ideas
para generar una solución, sino por el contrario motivar dicho proceso por medio de las
preguntas emergentes para que ellos por si solos establezcan nuevos contenidos y
soluciones a través de sus construcciones, es por ello que la función del docente como
guía del aprendizaje y sus preguntas emergentes son fundamentales para contribuir en
el proceso de solución de este tipo de situaciones problema sin intervenir en la ideas,
posturas y aseveraciones del resolutor.
Por último el uso de la refutación está en la enunciación de contraejemplos, como
también se menciona en la teoría de Toulmin (1958); que en este caso surgió en la
constitución del argumento 5, donde al asegurar que las plantas iban a estar en un sitio
específico del terreno, el docente como auditorio refuta usando un contraejemplo
enmarcado en la matemática formal, dicha refutación funciona como garante para
cambiar el esquema argumentativo y su postura, generando nuevas ideas y juicios ante
las preguntas realizadas por el docente dónde terminan por aceptar y validar los
juzgamientos del auditorio.
5.3 Síntesis y reflexiones finales
Como se puede evidenciar la resolución de situaciones problema garantiza el
surgimiento de una actividad argumentativa en los estudiantes, constituyendo distintas
definiciones matemáticas, como circunferencia, paralelogramos y congruencia en
triángulos; donde se ponen en juego los elementos del modelo argumentativo de
Toulmin, apoyado fundamentalmente en justificaciones que emergen en una secuencia
argumentativa lógica dentro de las matemáticas.
119 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
En este sentido, se pone de manifiesto que el modelo argumentativo de Toulmin es
aplicable en cualquier disciplina o espacio abierto a la disertación, al debate y al
diálogo, no solo con el fin de esquematizar la ruta argumentativa de los estudiantes,
sino también de caracterizar las acciones de reflexión sobre la argumentación. Este
proceso contempla tanto reflexionar sobre la información que es tratada como
reflexionar sobre la secuencia de argumentación.
Por tanto la propuesta apunta a generar esquemas de argumentación dentro de
procesos de socialización y resolución de problemas, y de esta manera ser conscientes
de la necesidad y responsabilidad que debe generarse en los procesos de justificación
en el aula, donde el estudiante en lugar de memorizar y reproducir, se conscientice
sobre la responsabilidad de crear, justificar y validar, lo que ayudará a superar algunos
problemas de enseñanza de la demostración y su trivialización en las prácticas
docentes actuales.
Al analizar las estructuras argumentales de los estudiantes se establece que emplean el
mismo modo para generar sus argumentaciones sobre el proceso de resolución de la
situación; de ahí la importancia de establecer preguntas emergentes que suscitaran en
los estudiantes la necesidad de generar justificaciones y razones por las cuales definían
afirmaciones que promovieran al auditorio a convencerse de las propuestas del grupo
resolutor, despertando el interés de los estudiantes por deliberar y reflexionar sobre los
actos de argumentación propios y de los demás.
Frente a este aspecto Toulmin habla de la refutación como un elemento que puede
aparecer en el esquema argumentativo cuándo se presenta una negación por aceptar la
pretensión del otro; como en el caso de la estructura argumentativa de los
paralelogramos, en donde se generó la necesidad de entrevistar a la estudiante que
estableció el proceso de resolución de la situación para aseverar y constatar los
elementos del argumento, centrando el trabajo en, dónde se deben ubicar las plantas
(dato); ubicar las plantas entre los dos canales de riego (pretensión); por medio de las
120 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
características y propiedades de los paralelogramos se deducen distancias iguales
(garantía).
Este esquema argumentativo se refuerza gracias a la entrevista del docente cuando le
pide al estudiante que responda las preguntas emergentes, estableciendo que dicha
refutación no se concibe, y socavando la idea de que la estructura argumentativa no
tomaba todos los elementos del argumento, obviamente en la estudiante se quebranta
la idea de establecer que su solución es la más óptima y por tanto le da solución a la
situación.
En este sentido en las dinámicas de confrontación de las soluciones de la situación; es
decir, en la verificación y puesta en acción de los argumentos también se hace evidente
la mecánica de la refutación a partir del cuestionamiento del propio estudiante, pues
marca una pauta frente a cómo debe argumentarse en la clase, donde se empieza a
usar elementos propios de la matemática para poder validar las ideas propias y refutar
la de los demás, comprendiendo así la ventaja de la matemática como una disciplina útil
para darle validez y firmeza a los argumentos usados.
Ahora bien, se pone de nuevo de manifiesto que el modelo argumentativo de Toulmin
es aplicable en cualquier espacio abierto al debate y al diálogo, es decir los argumentos
emergen cuando el estudiante pretenda convencer a un auditorio, esto por medio de su
razones y justificaciones, es aquí donde se establece la estructura argumental de los
procesos de solución de la situación problema, por tanto podemos establecer que
cuando los estudiantes se enfatizan por debatir ante un grupo de personas, buscan
establecer y posicionar sus criterios con el objetivo de convencer y en este caso
podríamos admitir que recurren a los elementos del argumento que plantea Toulmin y
que además dichas estructuras no solo siguen el patrón de todos los elementos, sino
que además se conciben estructuras argumentales a través del reconocimiento de
algunos elementos del argumento.
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DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
Por lo tanto, esta propuesta investigativa suscita elementos de reflexión en el grupo
resolutor al trabajar las prácticas argumentativas en torno a la demostración matemática
por parte del docente, donde se privilegia a los estudiantes, sus ideas y maneras de
construir conocimiento, creando la necesidad de justificar cada afirmación u opinión que
declare durante un proceso de resolución de problemas, además que al apropiarse de
la resolución de la situación el estudiante genera nuevos conocimientos estableciendo
características y propiedades de los contenidos, aunque no los reconozcan de manera
formal.
Esto posibilita oportunidades de descubrimiento de aprendizajes; es decir, una manera
de que lo aprendido no sea gracias a las imposiciones del profesor o los procesos que
realiza para fundar nuevos contenidos, es decir; como la memorización o la repetición,
pues como lo muestran los resultados de la actual investigación, se evidencia que al
tomar en cuenta las primeras afirmaciones e intuiciones que posee el estudiante y las
primeras explicaciones, afirmaciones o razones que logra al abordar un problema,
generando la base para darle un significado a procesos más complejos relacionados
con la argumentación y la validación, como el acto mismo de demostrar (Bravo, 2002).
A partir de estas concepciones de los estudiantes, muchas veces de carácter empírico,
podrían ser la base para desarrollar conocimiento matemático formal, siendo este un
proceso de carácter evolutivo, en tanto se logra solo si la labor y trabajo del estudiante
en relación con el docente, mantienen una estrecha e íntima relación de coherencia;
donde los problemas que lleva el profesor al aula logren motivar la acción resolutora del
estudiante y el desarrollo de sus prácticas argumentativas; es decir, lo que se procura
es la búsqueda de problemas, donde el contexto del estudiante debe ser considerado
como un aspecto intrínseco a los mismos, además de valorar todos los procesos que
realiza el estudiante al intervenir en la solución de problemas, estableciendo que dichos
problemas deben ser vistos como una posibilidad de construir cadenas deductivas por
parte de los estudiantes, inicialmente fundamentadas en sus creencias, para llevarlas a
discusión y aceptación grupal en forma de argumentos, donde la validación sea un
122 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
GEOMETRÍA
aspecto de común acuerdo entre los integrantes del grupo y una responsabilidad por
encontrar la verdad por ambas partes.
Ahora bien, se determina que se identificaron en las estructuras argumentales de los
estudiantes los elementos planteados por Toulmin, además de identificar que se genera
un proceso evolutivo de aprendizaje, en donde a través de la concepción de ciertos
contenidos se logran reconocer características y propiedades que llevarían al
estudiante a enriquecer su red de conocimientos por medio de su propia labor y a
través de la relación y debate con el docente.
123 LA ACTIVIDAD ARGUMENTATIVA QUE EMERGE EN ESTUDIANTES
DE GRADO NOVENO EN TORNO A LA DEMOSTRACIÓN EN
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