La enseñanza de la proporcionalidad directa desde la
Metodología ABP
Joan Cristian Ríos Pardo
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias
Medellín, Colombia
2013
La enseñanza de la proporcionalidad directa desde la
Metodología ABP
Joan Cristian Ríos Pardo
Trabajo final presentado como requisito parcial para optar al título de:
Magister en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales
Director:
Msc. Ricardo Posada Jaramillo
Universidad Nacional de Colombia
Sede de Medellín
Facultad de Ciencias
Maestría en enseñanza de las ciencias exactas y naturales
2014
A mi madre por todo el apoyo y la
comprensión.
Agradecimientos
Agradezco para la realización de este trabajo a mi asesor Ricardo Posada Jaramillo por
su infinita paciencia y comprensión en tantos momentos.
A los Directivos, Docentes y Estudiantes de grado sexto de la Institución educativa
Samuel Barrientos Restrepo por su tiempo y colaboración.
A los Directivos, Docentes y compañeros de la Maestría en Enseñanza de las Ciencias
Exactas y Naturales de la Universidad Nacional de Colombia por todas sus enseñanzas y las
experiencias compartidas que siempre aportaron a mi crecimiento personal.
Resumen.
El siguiente trabajo corresponde a una propuesta de enseñanza sobre la proporcionalidad
directa en el grado sexto de la Institución Educativa Samuel Barrientos Restrepo, se basa en
la comprensión, identificación y aplicación de los conceptos de magnitud, magnitudes
proporcionales, razón y proporción. Para llegar a evaluar la pertinencia de la propuesta se
realizaron varias etapas que comprenden una evaluación de conocimientos previos de los
estudiantes, una evaluación típica o numérica de la adquisición de estos conceptos y
finalmente una evaluación por medio de problemas a partir de lo visual y gráfico con el fin
de analizar los resultados estadísticamente.
Palabras clave: Magnitud, Magnitudes proporcionales, razón, Proporción.
Abstract
The following work corresponds to a teaching proposal on direct proportionality in the
sixth grade of I.E Samuel Barrientos Restrepo, is based on understanding, identifying and
applying the concepts of magnitude, proportional magnitude, ratio and proportion. For
evaluating the relevance of the proposal, several steps comprising an assessment of
students' prior knowledge, a typical numerical evaluation of the acquisition of these
concepts and finally an evaluation by problems from the visual and graphic, they were
performed in order to analyze the results statistically.
Keywords: Magnitude, Proportional magnitude, Ratio, Proportion.
Resumen
VI
Contenido
Pág.
Resumen. ................................................................................................................................ V
Introducción .......................................................................................................................... 13
1. Diseño teórico ................................................................................................................... 15
1.1 Planteamiento del problema ........................................................................................ 15
1.2 Objetivo ...................................................................................................................... 15
1.3 Tareas de Investigación .............................................................................................. 15
1.4 Justificación ................................................................................................................ 16
2. Marco teórico .................................................................................................................... 19
2.1 Aprendizaje Significativo ........................................................................................... 19
2.2 Aprendizaje Basado en Problemas (ABP) .................................................................. 24
2.2.1 Situaciones Problema. .......................................................................................... 24
2.2.2 Situaciones Problema en el ámbito de la Enseñanza de las Matemáticas. .......... 25
2.2.3 Situaciones Problema en el proceso de Aprendizaje. .......................................... 25
2.2.4 Metodología para el diseño de situaciones Problema. ......................................... 26
2.2.5 Metodología según los conocimientos previos de los estudiantes. ...................... 27
2.2.6 Pautas que debe contener un Problema. ............................................................... 29
2.2.7 Pautas para presentar el Problema por parte del docente. .................................... 29
2.2.8 Consideraciones metodológicas con respecto a las relaciones Profesor-
Estudiante, Estudiante-Objeto de estudio. .................................................................... 30
2.2.9 Descubrimiento significativo de contenidos. ....................................................... 31
2.2.10 Proposición de tareas y dudas basadas en problemas. ....................................... 32
2.2.11 Creación de un escenario que provoque la duda y la reflexión. ........................ 32
Contenido
VIII
2.3 Referente disciplinar .................................................................................................. 33
2.3.1 Conceptos Básicos de la proporcionalidad directa. ............................................. 33
2.3.1.1 Propiedades de las Proporciones: ................................................................. 34
2.3.1.2 Una aplicación práctica: ............................................................................... 34
2.3.2 Casos Especiales de Proporcionalidad Directa. .................................................. 35
3. Antecedentes .................................................................................................................... 39
3.1 Antecedentes Históricos desde la perspectiva del arte y sus aplicaciones ................. 39
3.2 Desde la perspectiva Enseñanza-Aprendizaje ............................................................ 44
3.3 Antecedentes teóricos en la solución de Problemas ................................................... 45
3.3.1 La heurística como recurso para la solución de Problemas. ............................... 48
4. Metodología ..................................................................................................................... 55
5. Resultados ........................................................................................................................ 59
5.1 Análisis de resultados ................................................................................................. 59
5.1.1 Análisis de resultados inventario de conocimientos previos antes de iniciar el
tema. ............................................................................................................................. 59
5.1.2 Análisis de resultados de cada una de las pruebas realizadas en los estudiantes de
6° 1 y 6° 2. .................................................................................................................... 63
5.1.3 Análisis de resultados inventario de conocimientos previos al finalizar el tema y
luego de aplicar las pruebas. ........................................................................................ 63
6. Conclusiones y recomendaciones ..................................................................................... 67
6.1 Conclusiones .............................................................................................................. 67
6.2 Recomendaciones ....................................................................................................... 68
Bibliografía ........................................................................................................................... 69
Anexos .................................................................................................................................. 72
Anexo A. Inventario de conocimientos previos sobre el tema de proporcionalidad directa.
.......................................................................................................................................... 72
Contenido IX
Anexo B. Actividades de evaluación sobre los conceptos relacionados con la
proporcionalidad directa ................................................................................................... 73
Anexo C. Actividades de evaluación sobre los conceptos relacionados con la
proporcionalidad directa por medio de lo visual y lo gráfico. .......................................... 75
Contenido
X
Lista de Figuras
Pág.
Figura 2-1: Ilustración del teorema de Tales para la solución de triángulos semejantes. .... 36
Figura 3-1: Ilustración del teorema de Tales para la solución de triángulos semejantes. .... 40
Figura 3-2: Escultura de Fidias donde expone el uso de la “proporción divina”. ................ 41
Figura 3-3: El hombre vitruviano (1492). Formato: 34.4 x 24.5 cm. ................................... 42
Figura 3-4: Extracto de La Gioconda. Leonardo Da Vinci (1.503). .................................... 43
Figura 3-5: Leda Atómica, Salvador Dalí (1.949). .............................................................. 43
Contenido XI
Lista de Tablas
Pág.
Tabla 2-1: Tabla comparativa proceso de aprendizaje tradicional Vs. Proceso de
aprendizaje basado en problemas. ........................................................................................ 22
Tabla 5-1: Organización de la población de estudio. ............................................................ 59
Tabla 5-2: Resultados consolidados de las preguntas y/o afirmaciones del KPSI (Inicial). 61
Tabla 5-3: Resultados resumidos por nivel del KPSI (Inicial). ............................................ 62
Tabla 5-4: Resultados consolidados de la prueba final por grupo. ....................................... 63
Tabla 5-5: Resultados consolidados de las preguntas y/o afirmaciones del KPSI (Final). .. 64
Tabla 5-6: Resultados resumidos por nivel del KPSI (Final). .............................................. 65
Contenido
XII
Introducción
La propuesta que se presenta a continuación surge de la necesidad de elaborar, aplicar y
evaluar una serie de actividades previas, de control y de aplicación mediadas por lo visual y
lo gráfico para la enseñanza del concepto de Proporcionalidad Directa en la Institución
Educativa Samuel Barrientos Restrepo de la ciudad de Medellín, esto con el objetivo de
utilizar una metodología, a partir del Aprendizaje Basado en Problemas (ABP) para la
enseñanza de dicho tema. Se abordan conceptos necesarios tales como: magnitudes,
magnitudes directamente proporcionales, razón y proporcionalidad directa.
En razón de las dificultades observadas durante el desarrollo de esta temática para los
estudiantes de la institución, se evidenció la necesidad de diseñar una actividad que
permitiera el aprendizaje significativo a través de lo visual y gráfico y utilizando la
metodología del ABP (Aprendizaje Basado en Problemas), además de analizar si la
implementación de la actividad podía mejorar los resultados en las pruebas sobre la
adquisición del tema de Proporcionalidad Directa.
El trabajo se está estructurado en 6 capítulos de la siguiente manera: en el capítulo 1 se
encuentra el diseño teórico del trabajo, es decir, se describe el problema, los objetivos y las
tareas de investigación que se llevaron a cabo durante la realización del mismo, en el
capítulo 2 está el marco teórico que se utilizó como punto de referencia; la teoría del
aprendizaje significativo, el Aprendizaje basado en Problemas (ABP) desde diversas
perspectivas tanto para el maestro como para el estudiante y todos los requerimientos
conceptuales, técnicos y procedimentales para su aplicación, así como la conceptualización
básica de la proporcionalidad directa, en el capítulo 3 se abordan los antecedentes históricos
del tema de la proporcionalidad y sus aplicaciones además de una mirada desde la
enseñanza-aprendizaje del tema y su importancia en la formación de otros conceptos
fundamentales para la enseñanza de las matemáticas en los estudiantes de secundaria y en
su contexto con otros saberes técnicos y científicos.
La enseñanza de la proporcionalidad directa desde la Metodología ABP
14
El capítulo 4 contiene la metodología empleada para llevar a cabo las tareas de
investigación, la descripción del contexto en cual se desarrolló el problema, la evaluación
de conocimientos previos KPSI (inicial) tanto para el grupo control como para el grupo al
cual se le aplicó la estrategia, los resultados de la evaluación tradicional o numérica para el
grupo control, los resultados de la evaluación que contiene la estrategia a través de lo visual
y lo gráfico, así como una prueba de percepción de conocimientos adquiridos o KPSI
(final) aplicado a ambos grupos con el objetivo de verificar los resultados y los análisis
presentados posteriormente en el capítulo 5 de resultados y capítulo 6 de conclusiones . El
capítulo 5 presenta los resultados finales de todas las pruebas realizadas para evaluar la
propuesta de trabajo, por medio de tablas se comparan los resultados de las pruebas con el
objetivo de visualizar la pertinencia de la intervención, finalmente en el capítulo 6 se dan
las conclusiones y recomendaciones extraídas de las estadísticas realizadas y con el análisis
de los resultados obtenidos. Finalmente encontramos la bibliografía utilizada y los anexos.
1. Diseño teórico
El presente trabajo final de maestría parte de la necesidad, que como docente he
experimentado, al tratar de enseñar los conceptos básicos de magnitud, magnitudes
proporcionales, razón y proporción y por lo tanto son el origen del siguiente planteamiento
del problema:
1.1 Planteamiento del problema
Los estudiantes de sexto grado de la Institución Educativa Samuel Barrientos Restrepo
tienen dificultades para interpretar y resolver problemas aplicando el concepto de
proporcionalidad directa. Se ha identificado que las estrategias tradicionales para la
enseñanza de este tema no posibilitan la adquisición de los conceptos de magnitud,
magnitudes proporcionales, razón y proporción y, por lo tanto, se hace necesario revisar
estas estrategias y plantear una nueva que facilite la adquisición por parte de los estudiantes
de los conceptos planteados.
1.2 Objetivo
Utilizar una metodología, a partir del Aprendizaje Basado en Problemas (ABP) para la
enseñanza del concepto de proporcionalidad directa en los estudiantes del grado sexto de la
Institución Educativa Samuel Barrientos Restrepo.
1.3 Tareas de Investigación
Diseñar actividades que permitan identificar los conocimientos previos de los
estudiantes sobre los conceptos de magnitud, magnitudes proporcionales, razón,
proporción y proporcionalidad directa.
Diseñar actividades de aprendizaje y profundización del concepto de Proporcionalidad
directa con base en la metodología ABP.
La enseñanza de la proporcionalidad directa desde la Metodología ABP
16
Plantear un problema a partir de situaciones de la vida cotidiana que permitan al
estudiante un aprendizaje significativo de la teoría de proporcionalidad directa.
Demostrar que el recurso de lo visual y gráfico, facilita la Enseñanza-Aprendizaje del
concepto de proporcionalidad directa una vez se haya ejecutado la evaluación de la
propuesta.
1.4 Justificación
Una preocupación constante para cualquier persona dedicada a la enseñanza de las
Matemáticas es ¿Cómo motivar a los estudiantes para que aprendan los conceptos
Matemáticos que se les ofrecen? O en este caso particular ¿Cómo motivar a los estudiantes
para que aprendan el concepto de Proporcionalidad directa? Surge entonces la pregunta del
por qué escoger este tema en específico para el desarrollo de este trabajo, de manera tal que
se pueda cumplir con el objetivo de lograr tal motivación por aprender. Es en este punto en
cual se justifica de la siguiente manera: “lo bello” es una idea o un ideal humano que parece
a veces una cuestión tan subjetiva que puede llegar a olvidarse que ésta obedece
completamente a un concepto matemático, es decir, una proporción, según el diccionario de
la Real Academia de la Lengua Española (2013) una de las definiciones de la belleza es:
“Propiedad de las cosas que hace amarlas, infundiendo en nosotros deleite espiritual. Esta
propiedad existe en la naturaleza y en las obras literarias y artísticas”. Y la definición de
proporción: “Disposición, conformidad o correspondencia debida de las partes de una cosa
con el todo o entre cosas relacionadas entre sí”. Sin duda entonces existe una estrecha
relación entre lo que consideramos bello, aún de manera intuitiva, es decir, sin
conocimiento de la idea de proporción pero que sin embargo es innata en casi todos los
seres humanos, basta solo mencionar algunos ejemplos para reforzar la idea, qué sería de la
música sin la proporción entre sus sonidos, o de los elementos de la naturaleza que sin la
debida proporción consideraríamos “Monstruosos”, y aún el cuerpo humano sin una
relación entre las partes entre sí y las partes y el todo, no es acaso una relación
proporcional? Qué decir de la arquitectura entendida como el hábitat creado por el humano
en ansias de que sus espacios sean agradables y bellos, la misma poesía obedece a una
La enseñanza de la proporcionalidad directa desde la Metodología ABP
17
métrica y a una proporción sin la cual no tendría la belleza y ese especial agrado y
musicalidad a nuestro oído. Ahora si eso que llamamos “bello” nos hace amarlo, sea un ser
humano, una pieza musical, una pintura, una poesía, etc. por qué no mostrarlo a la luz de
las matemáticas y lograr hacer de éstas mismas algo amable y lograr esa motivación tan
deseable en nuestros estudiantes, se puede considerar entonces más que justa -valga la
redundancia- la justificación para este trabajo. No olvidando sin embargo que aún las cosas
bellas - tan perceptibles algunas a simple vista - necesitan de un esfuerzo extra, del
desarrollo de ciertas habilidades y el estudio de conceptos relacionados para lograr
comprenderlas en su totalidad, es decir, no basta con la simple apreciación plana o
superficial como a veces se piensa, no, también la comprensión de las cosas bellas como las
matemáticas requieren el trabajo y el entusiasmo constantes para lograr esa
correspondencia tan deseada ante eso que es “bello”. Además este tema es de vital
importancia como parte del currículo escolar y que su enseñanza a partir de situaciones
problema en la vida cotidiana utilizando la Metodología ABP pueden mejorar el
aprendizaje de los estudiantes en este tema.
La enseñanza de la proporcionalidad directa desde la Metodología ABP
18
2. Marco teórico
Las teorías que soportan, justifican y argumentan esta propuesta de enseñanza son el
aprendizaje significativo, el Aprendizaje Basado en Problemas (ABP), finalizando con la
parte disciplinar que comprende los conceptos básicos de la proporcionalidad directa. A
continuación se expone cada uno de estas teorías.
2.1 Aprendizaje Significativo
En el contexto actual de nuestro diario quehacer docente surgen a menudo diversos
problemas relacionados con la adquisición y apropiación de los conceptos matemáticos,
para el caso particular éstos deben dividirse en dos grandes temas a saber según los
Estándares Básicos en competencias Matemáticas del Ministerio de Educación Nacional
(1998) en: el conocimiento teórico-conceptual y el conocimiento práctico-procedimental. El
primer conocimiento está asociado a la adquisición de herramientas puramente teóricas,
capacidad de abstracción y el entendimiento de cuestiones tales como el conocimiento del
qué y el por qué, el segundo está relacionado con el desarrollo y adquisición de técnicas y
estrategias que le permiten al estudiante la transformación de los conceptos teóricos en
destrezas y habilidades para la solución de problemas en contexto. Sin desmedro del
conocimiento teórico, debe considerarse que la adquisición de las habilidades para la
solución de problemas prácticos puede abrir en el estudiante un campo de percepción lo
suficientemente amplio para que en un proceso de retroalimentación pueda con el tiempo
re-adquirir algunos elementos teóricos que en un primer momento no le han quedado
claros, es decir, al enfrentarse a una situación problema contextualizada a sus necesidades y
su interacción con su mundo conocido puede y debe desarrollar tanto las competencias
teóricas como las prácticas, al enfrentarse al conflicto de la nueva situación planteada surge
la motivación para que se dé en él el aprendizaje.
En este escenario es que la teoría del aprendizaje significativo y la metodología del ABP
(Aprendizaje Basado en Problemas) nos ofrecen sus mejores frutos. En palabras de Ausubel
Novakk-Hanesian (1983) “un aprendizaje es significativo cuando los contenidos: Son
La enseñanza de la proporcionalidad directa desde la Metodología ABP
20
relacionados de modo no arbitrario y sustancial (no al pie de la letra) con lo que el alumno
ya sabe. Por relación sustancial y no arbitraria se debe entender que las ideas se relacionan
con algún aspecto existente específicamente relevante de la estructura cognoscitiva del
alumno, como una imagen, un símbolo ya significativo, un concepto o una proposición..
Esto quiere decir que en el proceso educativo, es importante considerar lo que el individuo
ya sabe de tal manera que establezca una relación con aquello que debe aprender. Este
proceso tiene lugar si el educando tiene en su estructura cognitiva conceptos, estos son:
ideas, proposiciones, estables y definidos, con los cuales la nueva información puede
interactuar” (Ausubel et al. 1983: 18). En este sentido cualquier problema que se extrae del
entorno y contexto del educando debe ofrecerle la posibilidad de ser potencialmente
significativo, ya que por derecho debe tener ideas previas o subsunsores que le permitirán
un verdadero aprendizaje, esto se da debido a la característica fundamental del Aprendizaje
Significativo y es que estas ideas previas o subsunsores le permitirán el anclaje o amarre
entre éstos y cualquier conocimiento “nuevo” que llegará a ser significativo y hará ya parte
de su estructura cognitiva.
Otro aspecto relacionado entre el ABP y Aprendizaje significativo es el aprendizaje por
descubrimiento que también en palabras de Ausubel (1983) “el aprendizaje por
descubrimiento, lo que va a ser aprendido no se da en su forma final, sino que debe ser re-
construido por el alumno antes de ser aprendido e incorporado significativamente en la
estructura cognitiva. El aprendizaje por descubrimiento involucra que el alumno debe
reordenar la información, integrarla con la estructura cognitiva y reorganizar o transformar
la combinación integrada de manera que se produzca el aprendizaje deseado” (Ausubel,
1983: 18). Considerado entonces desde esta teoría la metodología del ABP puede, desde
una orientación apropiada ser efectiva para la consecución del aprendizaje.
Teniendo en cuenta además que el Aprendizaje Basado en Problemas es un enfoque de
enseñanza-aprendizaje con una base constructivista y que en este paradigma, la meta de la
instrucción consiste en representar la estructura del mundo dentro del estudiante (Jonassen,
1991). El conocimiento emerge en contextos que le son significativos. Por tanto, para
comprender el aprendizaje que ha tenido lugar en el individuo, debe examinarse la totalidad
La enseñanza de la proporcionalidad directa desde la Metodología ABP
21
de su experiencia (Bendar et al. 2.000). El aprendizaje del estudiante debe basarse en que
éste construya interpretaciones personales de su mundo a partir de las experiencias e
interacciones que como individuo percibe en su entorno particular, y que además se
caracterice por la capacidad de realizar trabajo en equipo y el uso de problemas del “mundo
real” como contexto. El ABP enfatiza la investigación que ocurre cuando los estudiantes,
trabajando en equipo, se preguntan qué se necesita para comprender, solucionar y mejorar
una situación particular. El ABP recoge los siguientes principios del constructivismo:
El entendimiento con respecto a una situación de la realidad surge de las interacciones
con el medio ambiente.
El conflicto cognitivo al enfrentar cada nueva situación estimula el aprendizaje.
El conocimiento se desarrolla mediante el reconocimiento y aceptación de los procesos
sociales y de la evaluación de las diferentes interpretaciones individuales del mismo
fenómeno (Fosnot, 1996).
Enfocado específicamente en la enseñanza del concepto de Proporcionalidad Directa se
puede evidenciar que haciendo uso tanto de la teoría del Aprendizaje Significativo como
de la metodología ABP se puede lograr el diseño de las herramientas suficientes y
necesarias para un correcto diagnóstico y creación de actividades de aprendizaje y
profundización de dicho concepto, además de facilitar los procesos de enseñanza-
aprendizaje tanto para el docente como para el estudiante debido a características del ABP
que aparecen en el documento El Aprendizaje Basado en Problemas como técnica didáctica
del Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey y que se presentan a
continuación:
Es un método de trabajo activo donde los estudiantes participan constantemente en la
adquisición de su conocimiento.
La enseñanza de la proporcionalidad directa desde la Metodología ABP
22
El método se orienta a la solución de problemas que son seleccionados o diseñados para
lograr el aprendizaje de ciertos objetivos de conocimiento.
El aprendizaje se centra en el alumno y no en el profesor o sólo en los contenidos.
Es un método que estimula el trabajo colaborativo en diferentes disciplinas, se trabaja en
grupos pequeños.
Los cursos con este modelo de trabajo se abren a diferentes disciplinas del
conocimiento.
El maestro se convierte en un facilitador o tutor del aprendizaje.
Por estas características el aprendizaje gira en torno a la búsqueda de la solución de la
situación problema y se llega a partir de la experiencia o autodescubrimiento – ya planteado
como un importante elemento de aprendizaje por Ausubel- creando la motivación necesaria
por la investigación y posibilitando el autoaprendizaje al enfrentar al estudiante con
situaciones reales de su entorno. El Aprendizaje Basado en Problemas como técnica
didáctica.
Comparado con un proceso de aprendizaje tradicional podemos observar mucho mejor
las ventajas del ABP.
Tabla 2-1: Tabla comparativa proceso de aprendizaje tradicional Vs. Proceso de
aprendizaje basado en problemas.
En un proceso de aprendizaje
tradicional:
En un proceso de Aprendizaje Basado en
Problemas:
El profesor asume el rol de experto o
autoridad formal.
Los profesores tienen el rol de facilitador,
tutor, guía, coaprendiz, mentor o asesor.
Los profesores transmiten la información a
los estudiantes.
Los estudiantes toman la responsabilidad de
aprender y crear alianzas entre alumno y
La enseñanza de la proporcionalidad directa desde la Metodología ABP
23
profesor.
Los profesores organizan el contenido en
exposiciones de acuerdo a su disciplina.
Los profesores diseñan su curso basado en
problemas abiertos.
Los profesores incrementan la motivación
de los estudiantes presentando problemas
reales.
Los estudiantes son vistos como
“recipientes vacíos” o receptores pasivos de
información.
Los profesores buscan mejorar la iniciativa
de los estudiantes y motivarlos. Los
estudiantes son vistos como sujetos que
pueden aprender por cuenta propia.
Las exposiciones del profesor son basadas
en comunicación unidireccional; la
información es transmitida a un grupo de
estudiantes.
Los estudiantes trabajan en equipos para
resolver problemas, adquieren y aplican el
conocimiento en una variedad de contextos.
Los estudiantes localizan recursos y los
profesores los guían en este proceso.
Los estudiantes trabajan por separado. Los estudiantes conformados en pequeños
grupos interactúan con los profesores
quienes les ofrecen retroalimentación.
Los estudiantes absorben, transcriben,
memorizan y repiten la información para
actividades específicas como pruebas o
exámenes.
Los estudiantes participan activamente en la
resolución del problema, identifican
necesidades de aprendizaje, investigan,
aprenden, aplican y resuelven problemas.
El aprendizaje es individual y Competitivo Los estudiantes experimentan el aprendizaje
en un ambiente cooperativo.
Adaptado del documento El Aprendizaje Basado en Problemas como técnica didáctica del Instituto
Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey.
En este marco de Teoría del Aprendizaje Significativo y haciendo uso de la metodología
del ABP, es que se pretende la realización de este trabajo que puede considerarse ya, que se
ha evidenciado que conducirán a la consecución de todos los objetivos propuestos, es decir,
comparativamente entre un proceso de aprendizaje tradicional versus un proceso de
Aprendizaje Basado en Problemas parece más probable que los estudiantes logren un
aprendizaje significativo, debido a las múltiples ventajas que ofrece la metodología ABP.
Además de lo anteriormente expuesto puede considerarse también la Enseñanza-
Aprendizaje del concepto de proporcionalidad desde otro ángulo de la teoría del
pensamiento y preguntas tales como ¿Qué entendemos por razón, razonar? ¿Por qué se
La enseñanza de la proporcionalidad directa desde la Metodología ABP
24
afirma que la razón es aquella cualidad que nos separa de los animales y nos hace
humanos? Hacen referencia inequívoca a una capacidad de observar relaciones entre las
cosas, la semejanza, la diferencia, la comparación, el sentido de lo armónico, todos estos
conceptos relacionados con la proporcionalidad.
En este punto se introduce una definición de lo que es el pensamiento analógico según
Abarca Fernández Ramón. (1991) “El término analogía procede del griego ,
que significa "según proporción". En términos generales, es la correlación entre los
términos de dos o varios sistemas u órdenes, es decir, la existencia de una relación entre
cada uno de los términos de otro. La analogía equivale, entonces, a la proporción. El
razonamiento analógico puede definirse así: la argumentación, a través de la cual, de una
proposición descubierta por nosotros, inferimos otra proposición no descubierta. Se habla
también de la analogía como semejanza de una cosa con otra, de la similitud de unos
caracteres o funciones con otros. En este caso, la analogía consiste en la expresión de una
correspondencia, semejanza o correlación. Con este término se expresa ante todo la
analogía del conocimiento, el cual concibe un ente por su relación con otro distinto. Se
concluye entonces que la analogía constituye el fundamento de la mayoría de nuestros
razonamientos ordinarios y que por lo tanto el aprendizaje adecuado del concepto de
proporcionalidad capacitará al estudiante para “razonar” mejor no sólo en el sentido
matemático sino también en cualquier ámbito científico o argumentativo”.
2.2 Aprendizaje Basado en Problemas (ABP)
Parafraseando a Ortiz Ocaña, Alexander Luis (2009) el Aprendizaje Basado en problemas
debe considerar todos los aspectos siguientes:
2.2.1 Situaciones Problema. Es una situación en la cual el problema se convierte en un
facilitador del diálogo entre el estudiante y el docente, canalizando adecuadamente los
interrogantes, ideas, afirmaciones y razonamientos orientados hacia el estudio de un
determinado tema. Tiene la virtud fundamental de propiciar un ambiente colaborativo tanto
en la relación estudiante-estudiante, es decir, entre pares, como entre docente-estudiante,
cumpliendo así con objetivos formativos y pedagógicos.
La enseñanza de la proporcionalidad directa desde la Metodología ABP
25
2.2.2 Situaciones Problema en el ámbito de la Enseñanza de las Matemáticas. Debido a
las ventajas que ofrecen las situaciones problema en el desarrollo de un estudiante más
proactivo y participativo, que se involucra en su propio aprendizaje, sin dejar de la lado la
labor del docente, las situaciones problema ofrecen para la enseñanza de las matemáticas la
posibilidad de una construcción de conceptos y la aplicación de procesos tanto algorítmicos
como otros de mayor complejidad y profundidad como son la modelación de problemas, el
razonamiento lógico-matemático, la comunicación y resolución de problemas, el análisis y
comparación de información que constituyen la base para formar un estudiante que no sólo
aplica sino que además es capaz de pensar y construir de manera autónoma.
2.2.3 Situaciones Problema en el proceso de Aprendizaje. Considerada la situación
Problema como un reto a la intelectualidad y los conocimientos del estudiante supone
entonces una cierta barrera, antes de la cual se sitúan los conocimientos previos del
estudiante y después de ella la adquisición de nuevas competencias y la adquisición de
nuevos aprendizajes que le permitan franquear dicha barrera y resolver el problema.
Es impensable el avance de todo tipo de conocimientos en el hombre en general sin que
se le haya presentado una situación problema, es decir, una en la cual debe replantear todos
sus conocimientos anteriores y a partir de ellos avanzar en la búsqueda de otros nuevos,
entonces en el caso de la situación problema en el ámbito del proceso de aprendizaje con
mayor razón siendo medio y fin se crea en el estudiante toda una atmósfera, un escenario
propicio, motivador que proporciona las condiciones internas para que de forma proactiva
se busque y se indague hasta encontrar la solución al problema.
Sin embargo esta curiosidad inicial del estudiante debe ser conducida apropiadamente
por parte del docente, la pregunta o preguntas que se plantean deben ser guiadas de manera
que pongan en juego como se ha dicho tanto los conocimientos previos del estudiante, o sea
que se relacionen con un contexto conocido o cognoscible pero que al mismo tiempo le
resulten incómodas, retadoras, surgiendo de nuevo la curiosidad y necesidad de investigar
más profundamente. En el proceso de Aprendizaje del ser humano en general la situación
La enseñanza de la proporcionalidad directa desde la Metodología ABP
26
problema debe plantear una cierta contradicción entre lo que el estudiante sabe o conoce
previamente y lo que debe saber para solucionar la nueva situación, es allí, en las relaciones
que se presentan entre lo conocido y lo desconocido donde esta escena o atmósfera el
estudiante se apropia de manera vital al problema, ya no lo ve como algo exterior y sin
ninguna relación con él y con su mundo, sino por el contrario se lo plantea como su
problema, llevándolo a una situación psíquica en la cual él está completamente involucrado.
El docente entonces tiene un papel en el cual ya no el dueño del problema, no es un agente
exterior que provoca el problema, es un comunicador que de alguna manera extrae en el
estudiante algo con lo que ya venía y le presenta una situación que estimula el proceso
intelectual, la curiosidad por entender, esa incomodidad que lo sacude y lo saca de un
estado pasivo en el que todo sucede porque sí, sin ningún antecedente o consecuencia y lo
vincula directamente, lo hace parte activa y directa del problema, ante lo cual tiene que
moverse, reaccionar.
2.2.4 Metodología para el diseño de situaciones Problema. Para la correcta aplicación de
una metodología basada en problemas se deben tener claros los componentes de lo que
podría llamarse un sistema de Enseñanza-Aprendizaje, este sistema tiene como
componentes a los estudiantes, los docentes y los componentes que median entre esto dos,
es decir, todos aquellos requerimientos sociológicos, sicológicos y pedagógicos necesarios
para que el proceso sea exitoso.
El profesor como parte del sistema tiene el papel o la función de guiar el proceso de
apropiación de conocimientos, a partir tanto de su conocimiento de la disciplina específica,
sus contenidos, métodos como de su particularidad como ser humano, su forma de entender
y explicar su cultura. El profesor debe tener entonces unas características que le permitirán
cumplir con los fines y principios del sistema de Enseñanza-Aprendizaje. Por un lado tiene
unos conocimientos específicos que le permiten - en teoría- enseñarlos a los estudiantes y
sin embargo está la pregunta por el método, es decir, la vía o camino mediante el cual se va
a llevar a cabo el proceso de Enseñanza-Aprendizaje, es el método donde se pone en juego
o movimiento todo el proceso, es el que dinamiza las relaciones profesor-conocimiento-
estudiante. Es por medio del método que se dan las relaciones entre las partes más
La enseñanza de la proporcionalidad directa desde la Metodología ABP
27
importantes del sistema, estudiante-profesor y entre éstos y el fin, es decir, la apropiación
adecuada de un objeto de estudio. En la manifestación de su cultura, sus conocimientos
previos, sus experiencias, sus motivaciones hay conexión fluida que permite que el sistema
funcione bien o una ruptura que aísla los componentes del sistema y destruye el proceso
completamente.
Desde lo metodológico el profesor también es entonces junto con el estudiante un sujeto
del proceso pedagógico, debido a las necesarias e ineludibles relaciones que se configuran
entre ellos, por lo cual para que el estudiante se empodere o apropie del conocimiento es
necesaria una comunicación abierta, fluida y afectiva con los demás componentes del
sistema, es evidente por lo tanto que el profesor es no solo un contenedor de conocimientos
específicos sino un ser cultural con intereses y necesidades, que debe realizar ajustes
constantes de manera que la sistematización de contenidos y aprendizajes por parte del
estudiante se ajuste también a las necesidades, intereses y conocimientos propios del
estudiante. El estudiante tiene también como parte del sistema Enseñanza-Aprendizaje un
papel activo en la dinámica del proceso, si la comunicación es parte fundamental en las
relaciones estudiante-conocimiento-profesor, su parte activa implica la participación
consciente en la apropiación de dichos conocimientos, si bien el profesor a través de su
método propicia el ambiente de aprendizaje, el estudiante también debe promover que las
relaciones afectivo-cognitivas sean propias para el cumplimiento de los fines del sistema.
2.2.5 Metodología según los conocimientos previos de los estudiantes. Según el modelo
pedagógico de cada institución es deber del profesor ajustar sus métodos y contenidos de
forma que pueda responder a su encargo de acuerdo al contexto socio-económico y cultural
de los estudiantes. Por lo tanto los contenidos y temas deben estar acorde a la formación del
potencial del estudiante. A modo de preparación se identifican principios, leyes, conceptos
relativos al tema que contribuyan al cumplimiento de los objetivos finales. En este punto el
profesor hace referencia al grado de dificultad del tema y comienza a extender los
diferentes vínculos relaciones del tema con otros antes estudiados, presentando en lo
posible casos cotidianos o dentro del contexto de los estudiantes, analizando por medio de
La enseñanza de la proporcionalidad directa desde la Metodología ABP
28
la participación los conocimientos previos de los estudiantes, además y al mismo tiempo
trazando los objetivos que ésta metodología implica.
Para que la situación problema pueda satisfacer los fines u objetivos del sistema
Enseñanza-Aprendizaje debe contener ciertas características como son la validez,
problema asequible y la motivación. La primera característica implica para el estudiante el
deseo de franquear la situación problema, es decir, que le plantee la incomodidad propia del
no saber, de la aceptación de que sus competencias y habilidades de su contexto no son
suficientes para resolverlo, de allí se llega a la siguiente instancia que le permitirá
apropiarse del problema, esto es, que el problema sea asequible, por lo cual, aún en el punto
del no saber, al mismo tiempo sabe que puede llegar a resolverlo dadas sus cualidades y
potenciales, esta comprensión de su propio potencial es indispensable como motor para que
llegue a la etapa de la motivación, aunque la situación le plantea una barrera entre lo que
sabe y lo que no sabe, está motivado, se siente retado en su intelecto para llegar a la
solución de la situación problema. El profesor actúa de manera que el estudiante por sí
mismo descubra tal contradicción, no es necesario que le apunte directamente, sino que a
través de una sutil guía, casi sin darse cuenta el estudiante sabe que algo hace falta, que las
soluciones con las cuales ha estado acostumbrado a resolver los anteriores problemas no
son ya suficientes, entonces sabe que necesita desarrollar todo ese potencial con las
competencias propias para resolver el problema.
En la práctica se pueden presentar dos tipos de problemas, uno en cual se puede
solucionar solo con los datos que se plantean en la situación problema, conocido como
problema cerrado y otro en el cual requiere de información adicional que le permite
resolver el problema por otras vías no tradicionales, conocido como problema abierto, cada
uno proporciona elementos que de nuevo con la acertada guía del profesor pueden
estructurar una metodología para solucionar problemas, si el estudiante logra en un primer
momento diferenciar a qué tipo de problema se enfrenta se habrá dado un gran paso, es
decir, cuando es capaz de captar la contradicción entre lo que sabe y lo que no sabe,
diferencia, clasifica en qué punto está su confusión, si es de tipo conceptual, algorítmico o
La enseñanza de la proporcionalidad directa desde la Metodología ABP
29
práctico lo cual lo sensibiliza y lo moviliza, es un límite entre lo que le han enseñado y lo
que tiene que aprender.
2.2.6 Pautas que debe contener un Problema. Para que una tarea se transforme de un
ejercicio tradicional en una verdadera situación problema que promueva la apropiación del
conocimiento por parte del estudiante y cumpla con los criterios de validez, problema
asequible y motivación se requiere el cumplimiento de los siguientes criterios:
Que las tareas propicien un escenario de creatividad en la cual estudiante tenga varias
posibilidades de solución, que pueda tomar decisiones sobre el mismo.
Contextualización de la tarea en los escenarios propios de los estudiantes, relación entre
la vida cotidiana y la sociedad en la cual se desenvuelve el estudiante para que esta sea
significativa para él.
La presentación de la tarea debe diferir de la tradicional de modo que le plantee la
posibilidad de no utilizar las soluciones tradicionales.
Que para resolver el problema necesite la integración de la teoría y la práctica, la
aplicación de lo conceptual y lo algorítmico, evitando que se presenten como un
formato de un contenido.
Que le exijan la utilización de métodos e instrumentos característicos no solo de su
contexto actual sino en lo posible de su contexto en el futuro, uso de elementos técnicos
como materiales, sistemas computacionales, dispositivos eléctricos o electrónicos, etc.
De su propio contexto.
2.2.7 Pautas para presentar el Problema por parte del docente. Así como el problema
debe cumplir con las anteriores características para que realmente los problemas sean
significativos para el estudiante, también el profesor requiere de unas pautas para su
presentación, de manera que propicie un aprendizaje autónomo, contextualizado y
significativo para el estudiante, las siguientes son algunas de las pautas que debe contener
la presentación de una situación problema:
Dirigir la formación de conceptos por medio de un sistema de preguntas.
La enseñanza de la proporcionalidad directa desde la Metodología ABP
30
Promover en el estudiante la manifestación de hipótesis o ideas acerca de las posibles
soluciones del problema.
Potencializar la construcción de competencias que coadyuven al estudiante en la
utilización de métodos y procedimientos propios de su contexto actual y futuro.
Propiciar un ambiente de trabajo participativo entre los estudiantes de manera que se
comuniquen y encausen hacia una tarea común.
Proporcionar de acuerdo al nivel de avance del estudiante la información que el
estudiante requiere para solucionar el problema incentivando en ellos el hábito de
realizar las preguntas correctas más que la respuesta a preguntas.
Hacer visible en el estudiante su potencial, incentivarlos para que se apropien de sus
conocimientos previos, que se sepan poseedores de habilidades y competencias que les
permitirán resolver el problema.
Tener en cuenta el nivel de reflexión alcanzado por el estudiante, el proceso mediante el
cual busca y encuentra soluciones más allá de la rapidez con la cual solucione el
problema.
2.2.8 Consideraciones metodológicas con respecto a las relaciones Profesor-
Estudiante, Estudiante-Objeto de estudio. En el sistema Enseñanza-Aprendizaje son
ineludibles y además necesarias las interacciones Estudiante-Profesor y Estudiante-objeto
de estudio, mediadas éstas por los contenidos y el método, por lo cual se hace también
necesaria una vía de comunicación clara y con características muy especiales. En este
sentido se plantean los papeles que deben cumplir tanto los docentes como los estudiantes,
el docente como guía, como alguien que a través de su conocimiento y su método enseña,
muestra un camino y el estudiante quien se instruye y se educa formando ambos una
relación particular en su contexto.
La actividad de clase se convierte en esta relación en el vehículo mediante el cual el
estudiante se relaciona con su objeto de estudio, sólo una comunicación efectiva entre el
estudiante y el profesor permitirá que dicha actividad como vínculo con el objeto de estudio
incida directamente en la formación cognitiva, intelectual y formativa del estudiante. La
apropiación del conocimiento, la independencia de pensamiento y la formación de
La enseñanza de la proporcionalidad directa desde la Metodología ABP
31
aprendizajes significativos para el estudiante dependerá en gran medida de la comunicación
que se establezca en esa relación Estudiante-Profesor y del direccionamiento adecuado que
el profesor como guía propicie, de manera que cada uno de los estudiantes se identifique
con objeto de estudio y las actividades propuestas, en este sentido se requiere de las
siguientes pautas de comunicación de actividades:
Descubrimiento significativo de contenidos.
Proposición de tareas y dudas basadas en problemas.
Creación de un escenario que provoque la duda y la reflexión.
2.2.9 Descubrimiento significativo de contenidos. La interacción entre el estudiante y el
profesor, es decir, la comunicación efectiva es como ya se mencionó indispensable para la
apropiación del conocimiento de manera significativa, el descubrimiento comienza
entonces a través del diálogo Estudiante-Profesor y entre los pares de clase, las preguntas
estimulantes, el error y la rectificación afianzan estas relaciones al mismo tiempo que las
dinamizan en sentido positivo, ayudan a conocer las actitudes y aptitudes de los estudiantes,
se conocen sus intereses y esto los motiva para continuar indagando, reflexionando y
analizando el objeto de estudio.
Mediante la contextualización de los temas se genera un ambiente de
autodescubrimiento, el estudiante identifica, clasifica con elementos que ya conoce, la
dirección del docente debe proporcionar un estímulo para que la participación se
autorregule, el estudiante aprende también a escuchar tanto al profesor como a sus pares
académicos, se potencia más el deseo por investigar o buscar que el de contestar o recitar
contenidos sin ningún significado para el estudiante.
Aunque el profesor debe dominar el tema simula desconocer algunas partes para
incentivar la participación, induce a veces al error para que evidencien por sí mismos las
contradicciones propias de las situaciones problema, de esta manera no es el profesor quien
le da significado a la situación sino más bien el estudiante por vía de su propio
descubrimiento significativo.
La enseñanza de la proporcionalidad directa desde la Metodología ABP
32
2.2.10 Proposición de tareas y dudas basadas en problemas. Para cumplir con este
requerimiento es necesario que el profesor tenga objetivos claros, es decir, una dirección
que conduzca finalmente a la apropiación del objeto de estudio por parte de los estudiantes.
Al ofrecer o presentar algunas contradicciones que se presentan en la ciencia o en el
contexto social del estudiante brinda la oportunidad de que éste entienda que el
conocimiento no es una obra acabada, que a pesar de los grandes conocimientos científicos
y tecnológicos que ha desarrollado la humanidad aún falta mucho por aprender. Con
frecuencia es apropiado sugerirle que plantee alguna situación problema de manera que al
analizarla aprenda a realizar preguntas más que contestar o realizar soluciones
mecanizadas, el aprendizaje de plantear problemas es un instrumento importante ya que le
permite diferenciar los elementos del problema y la forma de contextualizarlo, es decir,
empoderarse de la situación problema, adaptarla a sí mismo, motivarse para resolverlo.
2.2.11 Creación de un escenario que provoque la duda y la reflexión. Donde no hay
problemas no hay búsqueda, no hay investigación ni creatividad, no se presenta ni la
discusión y por lo tanto no hay pensamiento, se deben proponer objetivos comunes que
permitan a los estudiantes un discusión abierta, el intercambio de la diversidad de formas
de pensamiento, como se ha mencionado la comunicación y la interacción deben ser parte
fundamental en la generación de conocimiento. Sólo a través de las contradicciones, de los
estados del saber y el no saber puede surgir lo nuevo y corresponde al profesor generar en
un principio este escenario de duda, de incomodidad que estimule la búsqueda y la
investigación por parte del estudiante.
La contextualización con los problemas sociales, económicos y científicos en el entorno
más cercano del estudiante permite de nuevo dinamizar la comunicación, activa el deseo de
indagar, de preguntarse, se toca esa parte sensible del estudiante, porque se siente
involucrado en la situación, reflexiona sobre las causas y las consecuencias, imagina
escenarios futuros y se atreve a ser crítico, de esta manera articula lo que sabe, lo que
conoce e identifica por sí mismo que debe desarrollar otras competencias para superar
aquellas dificultades que se le presentan en la situación problema.
La enseñanza de la proporcionalidad directa desde la Metodología ABP
33
2.3 Referente disciplinar
Como referente disciplinar se definirán los conceptos básicos de la Proporcionalidad
directa como son magnitud, magnitudes proporcionales, razón y proporción que se pueden
impartir en el grado sexto.
2.3.1 Conceptos Básicos de la proporcionalidad directa. En esta propuesta de enseñanza
de la proporcionalidad directa para el grado sexto, se definen los siguientes conceptos:
Magnitud: se denomina magnitud a la cualidad de un objeto a la que se le puede asignar
una medida. El tiempo, la masa, la temperatura o la longitud son ejemplos de magnitudes.
Magnitudes Directamente Proporcionales: se dice que dos magnitudes A y B son
directamente proporcionales si el cociente entre ambas es constante, lo cual se expresa
como:
= k
Razón: se denomina razón a cierta relación (usualmente de comparación) entre las medidas
de dos magnitudes. Las magnitudes pueden ser del mismo tipo (magnitudes homogéneas) o
de diferente tipo (magnitudes heterogéneas). Por ejemplo, si en un rectángulo cuyo largo
mide 10 metros y cuyo ancho mide 2 metros se pueden establecer relaciones entre las
longitudes de sus lados.
Las razones también puede expresarse como una fracción así:
Los términos o las partes de una razón se llaman: antecedente y consecuente. Osea el
antecedente es el dividendo y el consecuente es el divisor.
La enseñanza de la proporcionalidad directa desde la Metodología ABP
34
Por ejemplo: si un Carro necesita 2 galones de gasolina para recorrer una distancia de
100 Kilómetros se puede representar como una razón de la siguiente forma:
2 Galones
100 Kilómetros
Proporción: en palabras sencillas es una igualdad entre dos razones, que se puede
representar también como la igualdad entre dos fracciones de la siguiente forma:
En donde a y d se llaman extremos y b y c se llaman medios. En una proporción
numérica siempre se cumple que el producto de extremos es igual al producto de medios,
dicha igualdad se conoce como la propiedad fundamental de las proporciones, que se puede
expresar así:
2.3.1.1 Propiedades de las Proporciones:
Medios y extremos se pueden intercambiar entre sí, esto es:
⇒ ⇒ ⇒
2.3.1.2 Una aplicación práctica:
Regla de tres simple directa. Una forma muy sencilla de resolver un problema de
proporcionalidad es utilizar un procedimiento conocido como “regla de tres”. Consiste en
aprovechar la constante de proporcionalidad para hallar un cuarto término desconocido.
Por Ejemplo: Si con $1.000 se pueden comprar 2 bombillos, cuánto dinero se necesita
para comprar 10? Esto se puede plantear como una regla de tres de la siguiente forma:
$1.000 ⇒ 2 bombillos
¿? ⇒ 10 bombillos
La enseñanza de la proporcionalidad directa desde la Metodología ABP
35
Y aprovechando la constante de proporcionalidad se plantea como una proporcionalidad
o igualdad entre dos razones numéricas así:
=
Como sabemos que en una proporción siempre se cumple que el producto de medios es
igual al producto de extremos tenemos la expresión:
Y por lo tanto: x = entonces x = 5.000, es decir, el costo de los 10 bombillos es
de $5.000. De esta manera se puede resolver cualquier problema en el cual las magnitudes
sean directamente proporcionales utilizando la regla de tres.
2.3.2 Casos Especiales de Proporcionalidad Directa. En la teoría de la proporcionalidad
directa existen dos casos especiales de gran trascendencia histórica debido a la calidad y
amplio conocimiento de quienes las han expuesto y utilizado, además de su belleza y
simplicidad que ejemplifican perfectamente la intención de este trabajo, estos dos casos
especiales son el conocido “primer teorema de Tales” y la “Divina Proporción” también
conocida como “Proporción Áurea” o “Número de Oro”.
Teorema de Tales: “Si dos rectas r y r’ se cortan por un sistema de paralelas, los
segmentos determinados por los puntos de intersección sobre una de ellas son
proporcionales a los determinados por los puntos correspondientes en la otra”.
Existe una leyenda mencionada por Fiol y Fortuny (1990) en el libro Proporcionalidad
Directa: La Forma y el Número, que atribuye a Tales el uso de sus conocimientos de
geometría para medir las dimensiones de las pirámides de Egipto y calcular la distancia a la
costa de barcos en alta mar. Diógenes Laertes, junto con Plinio y Plutarco señalan que la
medida de la altura de las pirámides se llevó a cabo a través de la determinación de la
longitud de la sombra que ellas producían cuando una vara clavada verticalmente en el
suelo producía una sombra igual a su altura. Para medir la distancia de los barcos en alta
La enseñanza de la proporcionalidad directa desde la Metodología ABP
36
mar a la costa, la leyenda dice que Tales fue el primero en emplear la proporcionalidad de
los lados de triángulos semejantes.
Figura 2-1: Ilustración del teorema de Tales para la solución de triángulos semejantes.
Como en triángulos semejantes, se cumple que , por lo tanto la altura de la pirámide
es , con lo cual resolvió el problema.
La divina Proporción. Todo empieza con una línea recta. Imagínese un segmento de una
longitud dada 1, como se muestra a continuación:
_______________________________ = 1 y ahora se divide en dos partes, pero
de la forma más bella posible, de la forma más armónica. Por ejemplo, sean a y b esos dos
segmentos, tal que a + b = 1.
________a___________ + ______b___ = 1
El mayor grado de armonía se alcanza cuando la relación entre la longitud total y el
segmento mayor es igual a la relación entre el segmento mayor y el menor.
Vitrubio indicó que para que un todo dividido en partes desiguales pareciera hermoso,
entre la parte mayor y la menor debe existir la misma relación que existe entre la mayor y el
todo.
Matemáticamente, esto se expresa como.
La enseñanza de la proporcionalidad directa desde la Metodología ABP
37
b
a
a
ba
(1)
Y desarrollando esta igualdad.
22 bb·aa (2)
0baba 22 (3)
Si hacemos a= X, b=1 tenemos entonces la ecuación de segundo grado.
(4)
Y resolviendo esta ecuación de segundo grado tenemos.
b2
51
2
5bb
2
b4bba
22
(5)
Tomando el valor positivo de la raíz, obtenemos que.
2
51
b
a (6)
El número de oro, es un número irracional cuyo valor numérico es.
= 1,618033989.... (7)
Esta relación o cociente entre las longitudes de dos segmentos es la base de uno de los
capítulos más curiosos y sugerentes de la Ciencia. Desde la antigüedad ha despertado el
interés y la curiosidad de filósofos, geómetras, matemáticos, pintores, arquitectos y
escultores. Es inevitable mencionar el número de Oro en cualquier trabajo sobre
proporciones y su importancia para todas las Artes o las manifestaciones humanas que
puedan considerarse o apreciarse como bellas y que por lo tanto ofrecen al estudiante la
posibilidad de motivarse hacia el aprendizaje del concepto de proporcionalidad.
La enseñanza de la proporcionalidad directa desde la Metodología ABP
38
3. Antecedentes
Para entender y abordar el tema de la proporcionalidad es preciso leer el trabajo de
quienes han estudiado y escrito sobre el tema de desde diversos puntos de vista por tal
razón se hace necesario dividir los antecedentes en dos partes, en primer lugar el estudio
teórico del tema y sus diversas aplicaciones en las artes en las culturas Egipcia, Griega u
occidente y en segundo término - pero no menos importante - los aportes que se le han
hecho desde la intencionalidad sistemática de su enseñanza-aprendizaje.
El estudio de las proporciones ha ocupado un importante papel en las antiguas
civilizaciones en muchos sentidos, no sólo en el de sus aplicaciones prácticas como el de
establecer medidas sino también en la comprensión en un sentido quizá más profundo y
hasta espiritual de la naturaleza, su diseño, sus relaciones, etc. todo lo que significa ser
humano, aquello que se puede o desea percibir más allá de las necesidades propias de la
subsistencia, de nuevo se debe mencionar aquí la percepción o el ideal de “perfección”
humana y de cómo se expresa en la naturaleza misma, aún en la forma en que la mayoría de
las personas piensan y construyen conocimiento, debe haber una noción de la proporción
entendida como las relación entre las partes entre sí y las partes y el todo.
3.1 Antecedentes Históricos desde la perspectiva del arte y sus aplicaciones
Los egipcios descubrieron las proporciones divinas por análisis y observación buscando
medidas que le permitieran dividir la tierra de manera exacta a partir del hombre;
encontraron que el cuerpo humano media lo mismo de alto que de ancho con los brazos
extendidos y que el ombligo es el punto de división de la altura. De este antiguo
conocimiento en occidente por lo menos retomaron los griegos creando un cuerpo sólido de
conceptualizaciones que se conoce hasta hoy.
Tal vez el primero de ellos Tales de Mileto (640 a.C. - 560 a.C.), conocido como uno de
los siete sabios de la antigua Grecia y el padre de las matemáticas, la filosofía y la
astronomía griega, mantuvo mucho contacto con los matemáticos egipcios y
La enseñanza de la proporcionalidad directa desde la Metodología ABP
40
mesopotámicos, se cuenta que en uno de sus viajes realizó el cálculo de la altura de la
pirámide Keops de Egipto, utilizando un concepto geométrico: la semejanza de triángulos.
De esta forma a partir de una proporción pudo determinar tal medida evidenciando con ello
la utilidad de este conocimiento. De una manera más formal el Teorema de Tales dice: Si
dos rectas r y r’ se cortan por un sistema de paralelas, los segmentos determinados por los
puntos de intersección sobre una de ellas son proporcionales a los determinados por los
puntos correspondientes en la otra. La figura 3-1 nos muestra como a partir de la semejanza
de triángulos resolvió el problema de determinar la altura de la pirámide.
Figura 3-1: Ilustración del teorema de Tales para la solución de triángulos semejantes.
También artistas como Fidias (Atenas 490-432 a. de C.) el escultor más genial de la
antigüedad clásica realizó obras de gran importancia para la acrópolis de la ciudad. El
equilibrio, la belleza formal idealizada y la perfección técnica caracterizan todas sus obras,
entre las que destacan el Zeus olímpico y la Atenea pártenos, ambas en marfil y oro. El
número de oro o número áureo aparece en las proporciones geométricas o morfológicas que
guardan los edificios, las esculturas, las pinturas, e inclusive las partes de nuestro cuerpo.
Se llama número áureo a phi = 1,61803, de acuerdo a la primera letra del nombre de este
escultor, en la figura 3-2 podemos apreciar la puesta en práctica del conocimiento de las
proporciones del cuerpo humano en este artista y el legado qua aún permanece como
constancia.
La enseñanza de la proporcionalidad directa desde la Metodología ABP
41
Figura 3-2: Escultura de Fidias donde expone el uso de la “proporción divina”.
En el pensamiento griego, la proporcionalidad tenía una importancia fundamental que se
expresaba en los elementos de la naturaleza, en el hombre, en sus construcciones y en la
relación con lo divino. Esta idea de la proporción, como fundamento de la armonía y de la
simetría, se manifestaba en una proposición geométrica y estética que pasaba a todas las
alternativas del conocimiento. En la arquitectura y en la escultura desarrollada por los
griegos, el cuerpo humano fue considerado el ejemplo más perfecto de simetría. Pero, no
sólo en estas áreas se expresaba esta tendencia, pues, todo su esfuerzo y su concepción del
universo buscaban situar al hombre en el centro del universo, privilegiando el desarrollo
físico y espiritual en un contexto armónico.
Incluso el filósofo Arístocles de Atenas, apodado Platón, quien vivió de 427 a 347 a. de
C., fue probablemente el pensador que más meditó sobre la proporción y la armonía,
ocupándose con especial dedicación a las proporciones entre los sólidos. En su obra Timeo
escribe: «No es posible que dos términos formen por sí solos una hermosa composición sin
un tercero, pues, es necesario que entre ellos haya un vínculo que los aproxime. Ahora bien,
de todos los vínculos, el más bello es el que se da a sí mismo, y a los términos que une, la
unidad más completa. Y es naturalmente la proporción, la que realiza esto del modo más
bello». Evidenciamos entonces la forma como el pensamiento proporcional no sólo era
valioso para las Matemáticas como tales sino también para toda la cosmovisión y el
pensamiento griego.
La enseñanza de la proporcionalidad directa desde la Metodología ABP
42
Un poco más tarde – dos siglos más exactamente - el arquitecto Romano Marco Vitruvio
Polión heredero del pensamiento griego escribió diez libros sobre el recorrido
arquitectónico greco-romano, donde concibe el mismo principio, pero dice que la simetría
consiste en el acuerdo de medidas entre los diversos elementos de la obra y éstos con el
conjunto. Vitrubio ideó una fórmula matemática para la división del espacio dentro de un
dibujo, conocida como la sección áurea o de oro, que se basa en una proporción dada entre
los lados más largos y los más cortos de un rectángulo. Dicha simetría está regida por un
canon común, el número. También estableció una afinidad entre el hombre y las figuras
geométricas al descubrir que el hombre, de pie y con los brazos extendidos, puede
inscribirse en un cuadrado, y si separa las piernas puede inscribirse dentro de un círculo que
tiene como centro el ombligo. Blanco Dávila, Feliciano. (2004).
Figura 3-3: El hombre Vitruviano (1492). Formato: 34.4 x 24.5 cm.
Leonardo da Vinci realizó una gran cantidad de estudios sobre las proporciones del
cuerpo. Esta es la obra más conocida en este género de ensayos sobre anatomía. En ella el
autor plasma la perfección del cuerpo humano desde el punto de vista geométrico y
arquitectónico inspirado en las ideas de Vitrubio Polión.
La enseñanza de la proporcionalidad directa desde la Metodología ABP
43
El conocimiento y posiblemente la aplicación de algunas proporciones como la famosa
“Divina proporción” fueron olvidadas durante cientos de años para luego ser redescubiertas
durante el Renacimiento por Artistas como Leonardo Da Vinci quien la aplicó en muchas
de sus obras como la que podemos apreciar en la figura en un extracto de su más famosa
obra “La Gioconda” donde se evidencia el perfecto uso de la proporcionalidad divina en el
rostro. Blanco Dávila, Feliciano. (2004).
Figura 3-4: Extracto de La Gioconda. Leonardo Da Vinci (1.503).
Al igual que Da Vinci otros Artistas contemporáneos han utilizado como expresión de la
belleza en la pintura la utilización de las proporciones, en particular la “divina proporción”
como es el caso del pintor Español Salvador Dalí, en la figura 3-5 su obra Leda Atómica
(1.949) en la cual se puede observar el pentágono que forman sus partes y que está
construido con proporciones áureas.
Figura 3-5: Leda Atómica, Salvador Dalí (1.949).
La enseñanza de la proporcionalidad directa desde la Metodología ABP
44
3.2 Desde la perspectiva Enseñanza-Aprendizaje
El concepto de proporcionalidad ha sido objeto de mucho interés desde esta perspectiva
pues acarrea la comprensión y el acercamiento a muchos otros temas matemáticos. En
particular el trabajo de Pozueta Mendia, Edurne y González García, Fermín M. Ofrecen
una completa investigación del tema de la proporcionalidad y su importancia para los
estudiantes desde diversos puntos de vista, a este respecto escriben sobre el tema de
proporcionalidad: “Desde nuestra experiencia como docentes uno de los temas más
sugerentes en la enseñanza de las matemáticas es el de la proporcionalidad. Desde sus
orígenes la proporcionalidad ha estado presente en el estudio del mundo que rodea al
hombre. Así, por ejemplo, al no poder medir directamente distancias, el método ha sido
buscar recursos para compararlas. Vemos aparecer la noción primero en Astronomía y
después en las Ciencias en general, tanto a nivel de definir nuevas magnitudes como para
expresar relaciones numéricas, trabajar con índices, constantes o tasas. Así pues, la
proporcionalidad es un concepto básico en las Matemáticas y es un tema de gran
importancia en el currículo escolar (Fiol y Fortuny, 1990), ya que está relacionado con la
mayoría de los contenidos de Matemáticas y con los de otras asignaturas como Física,
Biología, Química, etc…”. Pero no es un concepto sencillo, (Rapetti 2003) señala que “el
aprendizaje de la noción de proporción no es simple y que requiere que el alumnado se
enfrente a una gama de situaciones diferentes en complejidad numérica y en el tipo de
magnitudes relacionados, puesto que la necesidad de considerar las cantidades en relación
unas con otras, más allá de abordarlas de modo absoluto constituye un problema para parte
del alumnado y se convierte en un obstáculo para la comprensión de contenidos que deben
aprenderse y que guardan relación con la noción de proporcionalidad”.
Además del importante trabajo de Pozueta Mendia y González García sobre el tema de la
enseñanza de la proporcionalidad se concluye esta presentación de antecedentes con un
fragmento que es muy apropiado para el entendimiento de lo esencial que resulta la
Enseñanza-Aprendizaje del concepto de proporcionalidad para los estudiantes “Uno de los
instrumentos matemáticos más importantes, si no el primordial, para el tratamiento de la
La enseñanza de la proporcionalidad directa desde la Metodología ABP
45
regularidad de sucesos que fundamentan el trabajo de investigación de la ciencia, el trabajo
técnico y el funcionamiento de gran número de aparatos de medida, es la relación de
proporcionalidad entre las magnitudes intervinientes. El sustrato de expresiones tales como
razón, proporción, constante de proporcionalidad, etc. que se unifican sintéticamente por
medio de la función lineal o función de proporcionalidad, lo constituyen las operaciones
división y producto, dependiendo de las características que fijan la naturaleza de lo que se
trata el que se utilice una u otra”. (Salinas Ruiz, 1999).
Se evidencia entonces con los antecedentes aportados que la Enseñanza-Aprendizaje del
concepto de proporcionalidad directa puede ser desde una teoría apropiada como el
fundamental para introducir al estudiante desde dos perspectivas ya mencionadas, por una
parte la adquisición del conocimiento teórico-conceptual y por el otro el conocimiento
práctico-procedimental, es decir, utilizando situaciones problemáticas de su entorno
cotidiano, de su contexto podrá adquirir las competencias necesarias para desenvolverse
con soltura en el ámbito de las Matemáticas.
3.3 Antecedentes teóricos en la solución de Problemas
Desde la perspectiva de varios autores es posible evidenciar lo que significa tanto
resolver un problema como los pasos o instancias necesarias para resolverlo, a este respecto
Perales Palacios, F.J. (1998 p. 120) escribe sobre la solución de problemas en la revista
Educación y Pedagogía, que “un problema se puede definir como una situación incierta en
la cual al sujeto que se pregunta le provoca una tendencia a hallar la solución y reducir de
esta forma la tensión inherente a esta pregunta particular”.
Para Fraisse y Piaget (1973, p. 54) “Un problema se puede considerar como toda
situación que un sujeto no puede resolver utilizando el repertorio de respuestas de las que
dispone de inmediato, además solo es posible hablar de problema cuando existe una
solución para el mismo”.
La enseñanza de la proporcionalidad directa desde la Metodología ABP
46
Montoya E. Escribe en la Revista (ACEM N° 3, 1998, p. 9) ¿Cuánto es 2x2? Es posible
que esta pregunta no represente ningún problema para él en particular pero por otro lado
¿Por qué 2x2 no puede ser igual a 5? Posiblemente si represente una situación problema.
De esta cuestión se deriva entonces que un problema es una situación o momento en el cual
se debe realizar una búsqueda por medio de una construcción desde lo conceptual,
procedimental y actitudinal, llevando al sujeto a un estado en el cual debe realizar una serie
de procesos en los cuales activará su estructura mental y de reflexión de todos sus saberes.
Resolver el problema entonces significa un proceso de aprendizaje que involucra lo
cognoscitivo, lo creativo y lo procedimental. Para dicho proceso debe utilizar su estructura
mental y sus conocimientos previos y la creatividad lo llevará a buscar nuevas estrategias
para abordar el problema desde distintas perspectivas.
Para Bañuelos A. (1995). “La resolución de un problema supone un proceso cognitivo
complejo en el cual se involucran diversas clases de conocimientos que se encuentran en la
memoria de corto, mediano y largo plazo además de la aplicación de éstos, es decir, el
conocimiento estático o declarativo y el procedimental, en el cual se incluyen habilidades o
competencias” (Resolución de problemas matemáticos en estudiantes de bachillerato, p.
52). Para la misma autora resolver un problema requiere tres etapas a saber: 1° la entrada
(cómo se percibe o entiende el problema), 2° un proceso (puede ser algorítmico o
heurístico) y 3° la salida (una respuesta o solución adecuada). Cada una de estas fases
conlleva diferentes variables que se interrelacionan y de las cuales la más importante, tal
vez, sea la que se refiere al proceso de la solución del problema.
Desde la anterior perspectiva el trabajo que más ha influido en los procesos de
enseñanza-aprendizaje de las matemáticas en la básica y la media en nuestro entorno es el
realizado por Polya en su libro “Cómo resolverlo” (1954). Polya expone cuatro etapas para
la solución de un problema:
Comprender el Problema
Concebir o idear un Plan de trabajo
Ejecutar el Plan, y
La enseñanza de la proporcionalidad directa desde la Metodología ABP
47
Verificar o mirar hacia atrás
Más detenidamente se explica cada una de estas etapas:
Comprender el Problema. En esta etapa se debe identificar claramente cuál es la pregunta
del problema, qué es lo que se está preguntando exactamente, y cuál es la información o
sub-preguntas que se requieren para resolverlo, la falta de una visión clara en este punto es
fundamental para las etapas posteriores, un problema mal entendido llevará a soluciones
erróneas o a la pérdida de tiempo en resolver cuestiones que bien no se preguntan o no se
requieren para resolver el problema original, además de generar dudas, inseguridades y
contradicciones.
Para la completa comprensión del problema es necesario tener previamente o adquirir
durante el proceso competencias tales como:
Dividir o separar los elementos del problema, determinando cuántos, cuáles y cómo son
los datos que el problema proporciona, es decir, las condiciones iniciales del mismo, qué
clase de operaciones se requieren para resolverlo, y cuáles son las preguntas o incógnitas
que el problema plantea, ya que en muchas ocasiones se requiere para resolver el problema
principal el soluciones otra serie de llamémoslas sub-preguntas.
Concebir o idear un Plan de trabajo. Después de leer, releer y analizar detenidamente el
problema, separar toda la información que contiene y tener la certeza de cuál es la pregunta
principal, las sub-preguntas y las condiciones iniciales del problema se pasa a la
organización coherente y estructurada de toda la situación problema con el fin de
compararla con otra situación similar o que pueda asimilarse que haya sido resuelta con
anterioridad y así concebir un plan, es decir, se recurre al conocimiento previo, haciendo
uso de gráficas, mapas mentales, cuadros sinópticos o cualquier otra estrategia que
posibilite la estructuración de un plan de trabajo. También es muy útil plantear todas las
ecuaciones o relaciones que sean necesarias para la posible solución del problema, en este
punto es pertinente hacerse preguntas del tipo: ¿Existen problemas similares?, ¿Se puede
La enseñanza de la proporcionalidad directa desde la Metodología ABP
48
asimilar este problema a otro ya resuelto?, ¿Se conoce algún teorema que pueda utilizarse
para resolverlo?
Ejecutar el Plan. Una vez desarrolladas las etapas anteriores entonces se ejecuta el plan de
trabajo teniendo en cuenta el orden, paso por paso, sin dejar ningún dato por fuera. Para
Polya “poner en marcha un plan, concebir una idea de solución no es nada sencillo, para
lograrlo hace falta toda una serie de circunstancias tales como: conocimientos previos,
buenos hábitos de pensamiento y razonamiento, además de mucha concentración y buena
suerte”. (Cómo Resolverlo, 1954, p. 33).
Verificar o mirar hacia atrás. Verificar o mirar hacia atrás significa que una vez
encontrada la solución se replantea el cumplimiento de las condiciones iniciales del
problema, si la solución es lógica o tiene sentido, si la utilización de las ecuaciones,
cálculos algorítmicos, unidades fueron las apropiadas.
3.3.1 La heurística como recurso para la solución de Problemas.
Parte de Heurística, http://arquepoetica.azc.uam.mx/escritos/heuristica.html.
¡Eureka, eureka!
Arquímedes
Yo no Busco, yo encuentro
Pablo Picasso
“Heurística procede del término griego εὑρίσκειν, que significa encontrar, hallar, descubrir,
inventar…”
La heurística puede definirse como la estrategia sistémica para realizar de forma inmediata
innovaciones positivas. La facultad heurística es un rasgo característico de los visionarios,
aquellos que ven un poco más allá , se define como el arte y la ciencia del descubrimiento y
de la invención, amén de cómo resolver problemas a través del pensamiento lateral o
pensamiento divergente, los cuales constituyen a la creatividad.
La enseñanza de la proporcionalidad directa desde la Metodología ABP
49
La creatividad, conocida también como inventiva, pensamiento original, imaginación
constructiva, pensamiento divergente, pensamiento creativo, es la generación de nuevas
ideas o conceptos, o de nuevas asociaciones entre ideas y conceptos conocidos, que
habitualmente producen soluciones originales, conceptos, objetos, experiencias, servicios a
la vez nuevos (originales) y apropiados (adaptados, útiles). La creatividad se refiere a la
forma como se reestructura o se proponen estructuras diferentes a las ya establecidas o
inexistentes.
La Heurística también significa concebir y visualizar formas que sublimen las ya
existentes, que sean auténticas aportaciones que beneficien inmediatamente a los seres para
trascender sus limitaciones contemporáneas.
Explicación, definición, verificación son ya logros, proezas para las ciencias que miden,
describen, cuantifican, registran, simulan, analizan, comprueban o reconstruyen fenómenos
de la naturaleza o de las sociedades.
En Diseño la Heurística es imaginar, visualizar utopías que generen nuevos paradigmas,
bienes del conocimiento que propicien la Filogénesis: la majestad de la humanidad. La
Heurística en el Diseño precisa de inventar sistemáticamente, proyectar síntesis inéditas,
generar algoritmos y mapas, proponer cualificaciones que superen las realidades anteriores.
En conclusión siempre en todo lugar y tiempo se ha planificado, proyectado y
visualizado en todos los ámbitos de la cotidianidad se proyecta, se planifica, se imagina.
Planificar, proyectar y visualizar no son actividades exclusivas de las academias y de las
culturas materiales o científicas.
Otro término importante asociado a la heurística es el que se conoce como Gnoseología
de la heurística o el estudio del cómo se generan los conocimientos innovadores, bien
podríamos estar hablando de una nueva disciplina que tiene como misión analizar los
factores determinantes del conocimiento heurístico, su naturaleza y su génesis, así como los
procesos de definición y decisión referentes a un campo de conocimiento y transformación
La enseñanza de la proporcionalidad directa desde la Metodología ABP
50
concreto, amén de dilucidar el carácter de las estrategias cognitivas para la innovación. La
heurística refiere a estrategias, métodos, criterios o astucias utilizados para hacer posible la
solución de problemas complejos y difíciles.
El conocimiento heurístico es un tipo especial de conocimiento empleado a través del
tiempo y en diversas latitudes por los seres humanos para resolver problemas de alta
complejidad. Al conocimiento en la actualidad se le demanda el adjetivo heurístico que
significa comprender, esclarecer, descubrir, transformar, innovar, desarrollar, evolucionar,
solucionar…
Un método heurístico es un conjunto de procesos cognitivos, propositivos y reflexivos
que son necesarios realizar para identificar en el menor tiempo posible alternativas de
solución de alta calidad y flexibilidad para un determinado problema.
Al principio esta forma de resolver problemas no fue bien vista en los círculos
académicos, debido aparentemente a su escaso rigor lógico y matemático. Sin embargo,
gracias a su potencial práctico para solucionar problemas reales se fueron abriendo poco a
poco las puertas a los métodos heurísticos, sobre todo a partir de los años 60 del siglo XX.
Actualmente las versiones matemáticas y de diseño de métodos heurísticos continúan
desarrollándose y están incrementando el rango de sus aplicaciones, así como su variedad
de enfoques. Nuevos métodos y técnicas heurísticas son utilizadas a diario por científicos
de diversos campos, por empresarios, por diseñadores, por desarrolladores de informática y
cibernética, para visualizar y hacer prospectivas con las cuales resolver problemas que
antes eran demasiado complejos e impensables en las anteriores generaciones.
Todas las anteriores definiciones nos dan una idea de la heurística como un proceso más
o menos empírico en el cual la imaginación y la creatividad son sus constituyentes
fundamentales. Para los autores modernos sean estos científicos o filósofos, se puede
comprender este término de otras formas.
La enseñanza de la proporcionalidad directa desde la Metodología ABP
51
Para Polya en su libro Cómo Resolverlo (1989 p. 102) “La Heurística moderna trata de
comprender el método que conduce a la solución de problemas, en particular las
operaciones mentales típicamente útiles en este proceso”.
Es posible ejercitar y mejorar los procesos mentales por medio de la utilización de los
problemas como un reto que propicie los procesos y procedimientos creativos como son los
que se dan con la heurística.
Para otros autores “La heurística proporciona un plan o esquema para enfrentar los
problemas poco conocidos y pretende mejorar la capacidad personal de buscar soluciones
con métodos eficientes. En términos generales, su objetivo no es establecer un método muy
esquemático y sistemático, pues se trata, más que de una ciencia, de un arte”.
Cuando se quiere o se pretende establecer una metodología de trabajo heurística se
deben tener en cuenta los siguientes aspectos:
Tantear
Redefinir
Relacionar
Los sub-problemas
Conjeturar
Generalizar
Inducir o Inferir
Cada una de ellas debe cumplir unas características especiales que son de muchísima
utilidad al momento de resolver un problema, las características para cada uno de estos
aspectos son:
Tantear. Esta técnica es muy común, consiste en probar una varias acciones utilizando los
datos que provee el problema, hasta encontrar las soluciones que más se acomoden al
problema que se trata de resolver, es como el método de ensayo y error, aunque poco
ortodoxo a veces es útil.
La enseñanza de la proporcionalidad directa desde la Metodología ABP
52
Redefinir. Significa reescribir el problema, es decir, plantear el mismo problema utilizando
otras palabras, ordenando la información de otra manera, cambiar las unidades en las que se
plantea el problema hacia otra que sea más comprensible o todas aquellas acciones que sin
alterar el problema original propicien un mejor entendimiento del mismo.
Relacionar. Los conocimientos previos son de gran utilidad en este aspecto ya que es
posible que se haya resuelto con anterioridad un problema no igual pero sí con
características muy similares, de manera que utilizando procedimientos, fórmulas o técnicas
asimilables pueda ayudar a la solución del problema actual.
Los sub-problemas. Es necesario no solo para ordenar o estructurar el problema principal
sino también para su solución final el establecimiento de los sub-problemas, la separación
en varias partes que puedan contribuir a simplificar el proceso de solución final.
Conjeturar. Es realizar afirmaciones respecto del problema en su desarrollo, pueden ser
verdaderas o falsas, en algunas ocasiones también necesarias o innecesarias, que se deben
justificar con demostraciones matemáticas. En general la conjetura trata de generar una ley
general para cierta clase de problemas.
Generalizar. Significa pasar de lo particular a lo general, mediante el análisis de objetos
particulares y verificando en cierto conjunto de objetos del mismo conjunto, hasta concluir
por medio de una fórmula el resultado para todo el conjunto.
Para Polya (Cómo Resolverlo, 1989, p. 97) “La generalización consiste en pasar del
examen de un objeto, al examen de un conjunto de objetos, entre los cuales figura el
primero; o pasar de un conjunto limitado de objetos al de un conjunto más extenso que
incluya al conjunto limitado”.
Inducir o Inferir. Es un método muy común mediante el cual se descubren leyes generales
a partir de la observación de ejemplos particulares y combinaciones de éstos. Este método
La enseñanza de la proporcionalidad directa desde la Metodología ABP
53
se utiliza en todas las ciencias, en matemáticas se emplea para demostrar cierta clase de
teoremas. Pérez Peña, John Jairo. Vanegas Hernández, León Jairo (2001).
La enseñanza de la proporcionalidad directa desde la Metodología ABP
54
4. Metodología
La propuesta didáctica está diseñada para la enseñanza del concepto de proporcionalidad
directa para los estudiantes de grado sexto de la Institución Educativa Samuel Barrientos
Restrepo, ubicada en la comuna 13 del municipio de Medellín. La muestra estuvo
conformada por 70 estudiantes de los grupos 6°1 y 6°2 con una intensidad de 10 horas. Al
grupo control 6°2 se le explicó y evaluó el tema de la forma tradicional, es decir, clase
magistral y una evaluación orientada en lo numérico, al igual que en los principales
conceptos de la proporcionalidad directa, al segundo grupo 6°1 se le explicó el tema, los
principales conceptos del mismo por medio de la metodología ABP, así como la evaluación
de conocimientos adquiridos utilizando un instrumento tipo taller que por medio de lo
visual y gráfico contenía todos los conceptos propios de la proporcionalidad directa.
En ambos grupos se realizó una encuesta o inventario de conocimientos previos
conocida como KPSI (ver anexo A) con el objetivo de indagar no sólo en sus
conocimientos anteriores a la exposición del tema sino conocer también la aprehensión
conceptual que se tuvo con la implementación de la propuesta de enseñanza.
El KPSI (Knowledge and Prior Study Inventory) es un instrumento diseñado por Tamir
y Lunetta en 1978, mediante el cual se obtiene información valiosa para determinar los
preconceptos y el grado de conocimiento que el estudiante cree que tiene en relación a los
contendidos de dinámica poblacional. (Jorba y Sanmartí, 1994).
Las preguntas del cuestionario de pre-post conceptos (KPSI) se gradúan en varios
niveles, el de mayor valor se refiere a si un estudiante es capaz de explicar el concepto o
procedimiento a un compañero o compañera. Este cuestionario facilita el aprendizaje de la
proporcionalidad directa como estrategia didáctica generadora de aprendizajes
significativos en educación matemática debido a que los cuestionarios tipo KPSI motivan
la toma de conciencia, permiten y facilitan la autorreflexión y autoevaluación de los
contenidos aprendidos durante el trabajo realizado y sus producciones.
La enseñanza de la proporcionalidad directa desde la Metodología ABP
56
Se aplica en dos momentos diferentes. El primero antes de iniciar con la ejecución de las
actividades, el segundo, finalizadas las actividades.
El objetivo central de la propuesta es el desarrollo de competencias y habilidades para la
solución de situaciones problema, teniendo como base la proporcionalidad directa haciendo
de lo visual y gráfico una manera “simple” de comprender el tema, además del desarrollo
de otras competencias transversales, es decir, el pensamiento proporcional o razonamiento
inductivo que se utiliza no solo en el área de las matemáticas sino en situaciones comunes
de su vida cotidiana.
La propuesta se desarrolló en cuatro momentos claves que permiten identificar el
proceso completo que realiza el estudiante en el aprendizaje de una temática cualquiera, al
mismo tiempo que permite una evaluación de la propuesta, es decir, se puede evidenciar si
el uso de lo visual y gráfico para el aprendizaje del concepto de proporcionalidad directa
realmente aportó en la adquisición de las competencias y habilidades ya mencionadas. Los
cuatro momentos fueron:
Evaluación de conocimientos previos sobre el concepto de proporcionalidad directa.
Aplicación de actividades desde la metodología ABP para la enseñanza de la
proporcionalidad directa, haciendo uso de lo visual y lo gráfico.
Aplicación de actividades e instrumentos de evaluación desde la metodología ABP para
la enseñanza de la proporcionalidad directa.
Evaluación de posconceptos utilizando el instrumento KPSI.
Además de estos cuatro momentos que permiten evaluar la pertinencia de la propuesta
también hacen parte de la metodología de trabajo la exposición magistral que se hizo acerca
de los conceptos de propios del tema de proporcionalidad directa, el refuerzo de estos
mismos conceptos a través de cada una de las actividades que se realizaron y las
discusiones que se dieron al interior de la clase durante el proceso de Enseñanza-
Aprendizaje del tema.
La enseñanza de la proporcionalidad directa desde la Metodología ABP
57
Con la aplicación de esta metodología de trabajo se pretendió dar cuenta lo más
aproximado posible y haciendo uso de las diferentes actividades que se realizaron del
aporte y la pertinencia de la propuesta de enseñanza del concepto de proporcionalidad
directa desde la metodología ABP para los estudiantes del grado sexto de la Institución
Educativa Samuel Barrientos Restrepo.
La enseñanza de la proporcionalidad directa desde la Metodología ABP
58
La enseñanza de la proporcionalidad directa desde la Metodología ABP
59
5. Resultados
Los resultados se basan en tres pruebas para cada grupo, es decir, para el grupo control
6°2 se analizan los resultados del inventario de conocimientos previos KPSI y la prueba
numérica sobre proporcionalidad directa, además del mismo cuestionario KPSI realizado al
finalizar las actividades para conocer el impacto de la enseñanza del tema y para el grupo
6°1 se analizan los resultados del inventario de conocimientos previos KPSI, la prueba
basada en lo visual y gráfico sobre el tema de proporcionalidad directa y un KPSI final de
control de los aprendizajes del tema posteriormente se comparan los resultados de las
pruebas finales llegando a las conclusiones sobre la propuesta de enseñanza y las
recomendaciones finales. En la tabla 5-1 se presenta la organización de la población de
estudio.
Tabla 5-1: Organización de la población de estudio.
GRUPO Hombres % Mujeres % TOTAL
Sexto 1 16 44,44 20 55,56 36
Sexto 2 12 35,29 22 64,71 34
La actividad tuvo una intensidad de 10 horas. Al grupo control 6° 2 se le aplicó un
pretest y postest (KPSI) con relación a la proporcionalidad directa y una prueba
estrictamente numérica.
Al grupo 6° 1 se le aplicó un pretest y postest (KPSI) con relación a la proporcionalidad
directa y una prueba basada en lo visual y gráfico, con el objetivo de verificar si la
metodología fue realmente significativa.
5.1 Análisis de resultados
5.1.1 Análisis de resultados inventario de conocimientos previos antes de iniciar el
tema. Teniendo en cuenta las dificultades observadas en los estudiantes para desenvolverse
La enseñanza de la proporcionalidad directa desde la Metodología ABP
60
de manera óptima tanto en lo conceptual del tema expuesto como en las competencias que
se desarrollan en el mismo, esto es, formular y resolver problemas; modelar procesos y
fenómenos de la realidad; comunicar; razonar, y formular comparar y ejercitar
procedimientos y algoritmos, procesos fundamentales formulados en los lineamientos y
estándares para el área de matemáticas, además de la transversalización de estas
competencias en las otras áreas del conocimiento se presentan en la siguiente tabla los
resultados del inventario de conocimientos previos (KPSI) que se practicó al iniciar el tema
de proporcionalidad con los estudiantes de los grados 6°1 y 6°2 de la Institución. El KPSI
tiene 9 afirmaciones y/o preguntas relacionadas con los contenidos propios de la
proporcionalidad directa (Ver anexo A), en donde se establecen una serie de categorías
donde el estudiante jerarquiza su entendimiento de la siguiente manera:
Lo sé y como lo sé lo podría explicar a alguien.
Lo sé.
No lo entiendo.
No lo sé.
Se abordan dos categorías de la siguiente forma:
Nivel conceptual (numerales 1, 2, 3, y 4)
Nivel procedimental (numerales 5, 6, 7, 8 y 9)
Los resultados consolidados de las preguntas y/o afirmaciones para el KPSI I (Inicial),
se muestran en la tabla 5-2.
La enseñanza de la proporcionalidad directa desde la Metodología ABP
61
Tabla 5-2: Resultados consolidados de las preguntas y/o afirmaciones del KPSI
(Inicial).
GRUPOS
6° 1 6° 2
1 2 3 4 1 2 3 4
N° Pregunta % % % % % % % %
1
Conozco el concepto de
magnitud 13,89 22,22 27,78 36,11 5,88 14,71 35,29 44,12
2
Diferencio las clases de
magnitudes 13,89 27,78 33,33 25,00 8,82 8,82 23,53 58,82
3
Conozco el concepto de
Razón 5,56 13,89 22,22 58,33 8,82 11,76 14,71 64,71
4
Conozco el concepto de
proporción 0,00 5,56 5,56 88,89 8,82 14,71 2,94 73,53
% TOTAL NIVEL
(Promedio) 8,33 17,36 22,22 52,08 8,09 12,50 19,12 60,29
5
Establezco una Razón
dadas dos magnitudes 0 8,33 0 91,67 0 0 8,82 91,18
6
Aplico la propiedad
fundamental de las
proporciones
0 5,56 2,78 91,67 2,94 0 8,82 88,24
7
Aplico la Regla de tres
simple para solucionar
problemas
13,89 13,89 27,78 44,44 14,71 20,59 14,71 50,00
8
Aplico procedimientos
para establecer cuando
dos razones forman una
proporción.
5,56 5,56 13,89 75,00 5,88 5,88 5,88 82,35
9
Resuelvo problemas de
proporcionalidad
directa.
13,89 8,33 13,89 63,89 11,76 2,94 0 85,29
% TOTAL NIVEL
(Promedio) 6,67 8,33 11,67 73,33 7,06 5,88 7,65 79,41
Las preguntas sobre del nivel conceptual (preguntas 1 a 4) pretenden determinar los
subsunsores que poseen los estudiantes sobre la proporcionalidad directa y la importancia
de los conceptos magnitud, razón y proporción, estos saberes previos son el punto de
partida para abordar el tema.
La enseñanza de la proporcionalidad directa desde la Metodología ABP
62
Los resultados revelan que el 74,31% los estudiantes del grado sexto 1 y el 79,41% de
los estudiantes de grado sexto 2 no entienden o desconocen la conceptualización propia de
la proporcionalidad directa, el desarrollo y la solución de situaciones problema les causa
gran dificultad. Se evidencia que han tenido contacto con dicha conceptualización, pero no
se apropian de ella. Un bajo porcentaje; 25,69% para sexto 1 y 20,59% para sexto 2 maneja
los conceptos. Además, se evidencia que los estudiantes recuerdan muy poco de éstos.
Las preguntas de la categoría nivel procedimental (preguntas 5 a 9) pretenden que el
estudiante de cuenta de su competencia para la ejecución de actividades propias del trabajo
científico en lo concerniente a la solución de problemas.
Se observa que en el nivel procedimental solo un 15% de los estudiantes de sexto
afirmaron poder realizar operaciones y resolver problemas asociados a la temática de la
proporcionalidad directa y para sexto 2 el porcentaje es de sólo un 12,94% a pesar de que
en el área de Matemáticas según los estándares la solución de problemas sea una
competencia fundamental. En la siguiente tabla se resumen estos resultados.
Tabla 5-3: Resultados resumidos por nivel del KPSI (Inicial)
KPSI Inicial GRUPOS
6° 1 6° 2
1 2 3 4 1 2 3 4
Pregunta % % % % % % % %
TOTAL NIVEL (Promedio) 8,33 17,36 22,22 52,08 8,09 12,50 19,12 60,29
TOTAL NIVEL
CONCEPTUAL 25,69 74,31 20,59 79,41
TOTAL NIVEL (Promedio) 6,67 8,33 11,67 73,33 7,06 5,88 7,65 79,41
TOTAL NIVEL
PROCEDIMENTAL 15,00 85,00 12,94 87,06
La enseñanza de la proporcionalidad directa desde la Metodología ABP
63
5.1.2 Análisis de resultados de cada una de las pruebas realizadas en los estudiantes de
6° 1 y 6° 2. A continuación se presentan los resultados de las pruebas realizadas para cada
uno de los grupos, dichos resultados se presentan como aprobados para aquellos que
superaron la prueba con un rendimiento igual o superior al 60% de la misma, y como
reprobado aquellos cuyo resultado fue inferior al 60% de la prueba, esto con el objetivo de
verificar si el uso de lo visual y lo gráfico tuvo alguna implicación en los resultados de las
pruebas de conocimientos acerca del tema de proporcionalidad directa y sus aplicaciones.
Tabla 5-4: Resultados consolidados de la prueba final por grupo.
GRUPO Aprobados % Reprobados %
Sexto 1 21 58,33 15 41,67
Sexto 2 10 29,41 24 70,59
De acuerdo a los resultados obtenidos en la prueba final de apropiación de los temas
relacionados con la proporcionalidad directa, podemos observar que los resultados del
grupo sexto 1 al cual se le aplicó la metodología del Aprendizaje Basado en Problemas
(ABP) presentada en este trabajo es de una aprobación del 58,33% mientras que para el
grupo control de sexto 2 al cual no se le dio igual tratamiento es del 29,41%. Aunque los
resultados no demuestran una gran diferencia entre ambos grupos si se evidencia una
influencia positiva.
5.1.3 Análisis de resultados inventario de conocimientos previos al finalizar el tema y
luego de aplicar las pruebas. En la siguiente tabla se presentan los resultados del
inventario de conocimientos (KPSI final) que se practicó al finalizar el tema de
proporcionalidad con los estudiantes de los grados 6°1 y 6° 2 de la Institución. Las
categorías que se evalúan son:
1. Lo sé y como lo sé lo podría explicar a alguien. 2. Lo sé. 3. No lo entiendo. 3. No
lo sé. Se abordan dos categorías de la siguiente forma:
Nivel conceptual (numerales 1, 2, 3, y 4)
Nivel procedimental (numerales 5, 6, 7, 8 y 9).
La enseñanza de la proporcionalidad directa desde la Metodología ABP
64
Los resultados consolidados de las preguntas y/o afirmaciones para el KPSI I (Final), se
muestran en la tabla.
Tabla 5-5: Resultados consolidados de las preguntas y/o afirmaciones del KPSI
(Final).
GRUPOS
6° 1 6° 2
1 2 3 4 1 2 3 4
N° Pregunta % % % % % % % %
1
Conozco el concepto
de magnitud 55,56 8,33 11,11 25,00 44,12 5,88 11,76 38,24
2
Diferencio las clases
de magnitudes 55,56 5,56 5,56 33,33 32,35 5,88 14,71 47,06
3
Conozco el concepto
de Razón 69,44 13,89 5,56 11,11 67,647 0 2,94 29,41
4
Conozco el concepto
de proporción 63,89 11,11 5,56 19,44 41,176 5,8824 11,76 41,18
% TOTAL NIVEL
(Promedio) 61,11 9,72 6,94 22,22 46,32 4,41 10,29 38,97
5
Establezco una Razón
dadas dos magnitudes 69,44 13,89 5,56 11,11 58,82 11,76 14,71 14,71
6
Aplico la propiedad
fundamental de las
proporciones
66,67 22,22 2,78 8,33 50,00 17,647 8,82 23,53
7
Aplico la Regla de tres
simple para solucionar
problemas
55,56 19,44 8,33 16,67 67,65 8,82 14,71 8,82
8
Aplico procedimientos
para establecer cuando
dos razones forman
una proporción.
63,89 22,22 13,89 0,00 61,76 11,76 8,8235 17,65
9
Resuelvo problemas
de proporcionalidad
directa.
69,44 16,67 8,33 5,56 58,82 17,65 14,706 8,82
% TOTAL NIVEL
(Promedio) 65,00 18,89 7,78 8,33 59,41 13,53 12,35 14,71
Las intervenciones que se propusieron en las diferentes actividades motivaron un
mejoramiento notorio en el desempeño en la categoría nivel conceptual, pasando en el
La enseñanza de la proporcionalidad directa desde la Metodología ABP
65
grupo sexto 1 del 25,69% al 70,83% de estudiantes que sabían y podrían explicarle a un
compañero y en el caso del grupo sexto 2 para la misma categoría del 20,59% al 50,74%.
En la categoría nivel procedimental, se pasó en el grupo sexto 1 de un 15% de
estudiantes en el nivel 1 y 2 encontrados en la prueba diagnóstica, a un 83,89% en el KPSI
Final y para el caso del grupo sexto 2 de un 12,94% a un 72,94%. Después de la aplicación
de las actividades, los estudiantes podían observar los aspectos principales de una situación
problema, y evidenciaron una mejor capacidad en razonar y realizar operaciones
algorítmicas. En la tabla que se presenta a continuación se resumen los resultados.
Tabla 5-6: Resultados resumidos por nivel del KPSI (Final).
KPSI Final GRUPOS
6° 1 6° 2
1 2 3 4 1 2 3 4
Pregunta % % % % % % % %
TOTAL NIVEL (Promedio) 61,11 9,72 6,94 22,22 46,32 4,41 10,29 38,97
TOTAL NIVEL CONCEPTUAL 70,83 29,17 50,74 49,26
TOTAL NIVEL (Promedio) 65,00 18,89 7,78 8,33 59,41 13,53 12,35 14,71
TOTAL NIVEL
PROCEDIMENTAL 83,89 16,11 72,94 27,06
La enseñanza de la proporcionalidad directa desde la Metodología ABP
66
6. Conclusiones y recomendaciones
De acuerdo al análisis de las tablas observadas anteriormente se pueden realizar las
siguientes conclusiones y recomendaciones.
6.1 Conclusiones
En esta propuesta de trabajo implementada en el aula para los grupos sexto 1 y sexto 2
de la institución educativa Samuel Barrientos Restrepo de la ciudad de Medellín se puede
concluir que:
El objetivo general que consistió en utilizar una metodología, a partir del Aprendizaje
Basado en Problemas (ABP) para la enseñanza del concepto de proporcionalidad
directa en los estudiantes del grado sexto de la Institución Educativa Samuel Barrientos
Restrepo, resultó satisfactorio tanto en la ejecución como en su evaluación, situación
evidenciada en el análisis de resultados.
Se consiguió mediante la aplicación del KPSI inicial como instrumento, detectarse que
los estudiantes desconocen o tienen un bajo conocimiento y poca aprehensión de los
contenidos conceptuales y procedimentales propios de la proporcionalidad directa,
situación que reforzó la necesidad de implementar la estrategia didáctica basada en lo
visual y gráfico.
Mediante la implementación de la estrategia didáctica se logró que los estudiantes
diseñaran y ejecutaran el problema cotidiano de realizar un plano proporcional de su
casa que permitiera mejorar los procesos de aprendizaje de manera significativa.
El KPSI final reveló que la mayoría de los estudiantes de sexto 1 mejoró sus niveles de
percepción en lo conceptual en un 45,14% y en el nivel procedimental mejoró en un
68,89% mostrando que la propuesta de trabajo fue pertinente y eficaz.
La enseñanza de la proporcionalidad directa desde la Metodología ABP
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6.2 Recomendaciones
Se recomienda seguir investigando en el aula sobre métodos y estrategias de enseñanza
propios de las nuevas formas de aprendizaje de los estudiantes, su contexto, su forma de
vida con el objetivo de que su aprendizaje sea realmente significativo.
De acuerdo con lo anterior, la propuesta es asumir la ardua tarea de investigar en el aula y
rescatar prácticas didácticas que involucren activamente a los estudiantes, reflexionar sobre
ellas y favorecer las que sean más dinámicas y retadoras para los alumnos.
Mejorar la motivación de los estudiantes y profesores con prácticas innovadoras e
inspiradoras, diferentes a las tradicionales, debería ser el pilar fundamental de la
investigación en educación.
La enseñanza de la proporcionalidad directa desde la Metodología ABP
69
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http://arquepoetica.azc.uam.mx/escritos/heuristica.html.
Anexos
Anexo A. Inventario de conocimientos previos sobre el tema de proporcionalidad
directa.
Cuestionario de conocimientos previos sobre el tema de proporcionalidad
Nombre:
Grupo: Fecha:
Indicaciones:
Esta Evaluación inicial tiene como propósito el darse cuenta de algunos aspectos de la
Unidad que comenzaremos a trabajar; tus aprendizajes previos, con esa información
podremos saber el punto de partida, para posteriormente saber cuánto hemos aprendido.
Utilizando las categorías siguientes, marca con una X en el recuadro que lo
represente.
CATEGORÍAS:
1. Lo sé y como lo sé
lo podría explicar
a alguien.
2. Lo sé. 3. No lo
entiendo
4. No lo sé
1. NIVEL CONCEPTUAL
Planteamientos 1 2 3 4
1. Conozco el concepto de magnitud
2. Diferencio las clases de magnitudes
3. Conozco el concepto de Razón
4. Conozco el concepto de proporción
2. NIVEL PROCEDIMENTAL
Planteamientos 1 2 3 4
5. Establezco una Razón dadas dos magnitudes
6. Aplico la propiedad fundamental de las proporciones
7. Aplico la Regla de tres simple para solucionar problemas
8. Aplico procedimientos para establecer cuando dos razones
forman una proporción.
9. Resuelvo problemas de proporcionalidad directa.
Comentarios:
La enseñanza de la proporcionalidad directa desde la Metodología ABP
73
Anexo B. Actividades de evaluación sobre los conceptos relacionados con la
proporcionalidad directa
Las siguientes fueron las actividades que desarrollaron los estudiantes del grupo 6°2 para
evaluar los conocimientos adquiridos sobre los conceptos relacionados con la
proporcionalidad directa.
ACTIVIDAD 1: Magnitudes y Razones
OBJETIVO: Reconocer situaciones en donde se encuentra implícita una razón.
DEFINICIÓN
Magnitud: Se denomina magnitud a la cualidad de un objeto a la que se le puede asignar
una medida. El tiempo, la masa, la temperatura o la longitud son ejemplos de magnitudes.
Razón: Se denomina razón a cierta relación (usualmente de comparación) entre las
medidas de dos magnitudes. Las magnitudes pueden ser del mismo tipo (magnitudes
homogéneas) o de diferente tipo (magnitudes heterogéneas).
1. Identifica las magnitudes en cada situación y escríbelas en el mismo orden en el que se
encuentran.
a. En el salón de clases de 6°1 por cada 5 mujeres hay cuatro hombres:
b. Un automóvil necesita 3 galones de combustible para cada 100 kilómetros:
c. En un torneo de futbol un equipo jugó 20 partidos y perdió 5:
d. Para prepara una porción de arroz, se requieren 2 tazas de agua por 1 porción de arroz:
e. En la biblioteca del colegio por cada 20 libros de Matemáticas hay 30 de ciencias:
2. En cada una de las siguientes situaciones, establece un orden de relación entre las
magnitudes implícitas y las medidas asociadas a las mismas y escríbelas.
a. En un edificio cuyo frente tiene forma rectangular, la longitud de su base es 100 m y la
longitud de su altura es 150 m.
b. En la biblioteca de un colegio, por cada cinco libros de matemáticas existentes, hay un
libro de ciencias.
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c. Al llegar a la estación de gasolina y llenar el tanque, Daniel debió comprar 5 galones de
gasolina, pero también notó que el conductor de un camión que se encontraba al lado debió
usar 25 galones de gasolina para llenarlo.
e. En la cuadra donde vivo, existen cinco autos por cada tres camiones que hay.
ACTIVIDAD 2: Aproximación a las proporciones
OBJETIVO: Reconocer cuando dos razones forman una proporción directa.
DEFINICIÓN
Proporción: En palabras sencillas es una igualdad entre dos razones, que se puede
representar también como la igualdad entre dos fracciones de la siguiente forma:
En donde a y d se llaman extremos y b y c se llaman medios. En una proporción numérica
siempre se cumple que el producto de extremos es igual al producto de medios, dicha
igualdad se conoce como la propiedad fundamental de las proporciones, que se puede
expresar así:
a x d = b x c
1. Identifica cuáles de las siguientes parejas forman una proporción:
a. e.
b. f.
c. g.
d. h.
2. Utilizando la propiedad fundamental de las proporciones encuentra el valor del término
desconocido:
a.
b.
c.
d.
e.
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Anexo C. Actividades de evaluación sobre los conceptos relacionados con la
proporcionalidad directa por medio de lo visual y lo gráfico.
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ACTIVIDAD N° 1: 1. OBSERVA EL TRIÁNGULO A ¿CUÁLES DE LOS OTROS
TRIÁNGULOS SON PROPORCIONALES A ÉL?
2. OBSERVA EL TRIÁNGULO D ¿CUÁLES DE LOS OTROS TRIÁNGULOS SON
PROPORCIONALES A ÉL? POR QUÉ?
3. OBSERVA EL TRIÁNGULO G ¿CUÁLES DE LOS OTROS TRIÁNGULOS SON
PROPORCIONALES A ÉL? POR QUÉ?
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ACTIVIDAD N° 2:
1. OBSERVA LOS PERSONAJES. ¿PUEDES EXPLICAR CUÁLES DE LOS
PERSONAJES ENTRE SÍ SON PROPORCIONALMENTE IGUALES Y POR QUÉ?
2. EXPLICA DE ACUERDO A SU ALTURA Y ANCHURA POR QUÉ NO SON
PROPORCIONALES LOS SIGUIENTES PERSONAJES:
a. A y C. b. B y D. c. C y D
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ACTIVIDAD N° 3: DE ACUERDO AL RECTÁNGULO A DIBUJA OTRO QUE SEA:
a. Proporcionalmente 2 veces mayor.
b. Proporcionalmente la mitad
c. Proporcionalmente 3 veces mayor
d. Proporcionalmente la cuarta parte del rectángulo
A
La velocidad es el cociente entre distancia y tiempo, es decir, se puede expresar de la
siguiente forma:
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ACTIVIDAD N° 3: Observa la siguiente gráfica donde en el eje Y se representa la
distancia recorrida en Kilómetros y en el eje X el tiempo que tarda en horas un automóvil.
1. Expresa la relación entre distancia y tiempo como una razón para:
a. 2 horas
b. 180 Kilómetros
c. 8 horas
d. 360 Kilómetros
2. De acuerdo a la gráfica completa el siguiente cuadro:
Distancia
(Km)
60 150
Tiempo (h) 6 10 15
3. Determina la constante de proporcionalidad.
4. Si un automóvil recorre 150 Kilómetros en 2 horas a velocidad constante realiza la
gráfica hasta las 10 siguientes horas.