UNIVERSITร DEGLI STUDI DI CAGLIARI
Facoltร di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
Corso di Laurea Triennale in Matematica
Tesi di laurea
LA FUNZIONE DELTA E
ALCUNE APPLICAZIONI
Relatore Candidato
Prof. Lucio Cadeddu Cristina Cambedda
A.A. 2010/2011
La funzione ๐ฟ(๐ก) fu introdotta dal
fisico Paul Dirac nella sua opera
ยซPrincipi di meccanica quantisticaยป, del
1930.
La teoria fu sviluppata a partire da
Sobolev nel 1936, e successivamente da
Schwartz.
Definizione
๐ฟ ๐ฅ = +โ ๐๐๐ ๐ฅ = 0 0 ๐๐๐ ๐ฅ โ 0
Ed รจ tale che:
๐ฟ ๐ฅ ๐๐ฅ = 1+โ
โโ
Il suo grafico รจ:
y
x
Si puรฒ definire anche come limite di
una successione di funzioni.
Ad esempio:
๐ฟ๐(๐ฅ) =
0 ๐๐๐ โโ < ๐ฅ < โ1
2๐
๐ ๐๐๐ โ1
2๐< ๐ฅ <
1
2๐
0 ๐๐๐ 1
2๐< ๐ฅ < +โ
Il grafico di queste funzioni รจ:
๐
๐๐ โ
๐
๐๐
N
x
y
Al crescere di N
y
x
Perciรฒ
lim๐โ+โ
๐ฟ๐ ๐ฅ = ๐ฟ ๐ฅ
Per descrivere la delta possono essere
utilizzate anche altre funzioni che
assumono valori vicino a ๐ฅ = 0.
In generale รจ sufficiente che:
โข ๐ฟ๐ ๐ฅ โฅ 0 ๐๐๐ โ ๐ฅ โ โ;
E per qualunque coppia di interi positivi a e b:
โข lim๐โ+โ
๐ฟ๐ ๐ฅ ๐๐ฅ = 0;๐
๐
โข lim๐โ+โ
๐ฟ๐ ๐ฅ ๐๐ฅ = 0;โ๐
โ๐
โข lim๐โ+โ
๐ฟ๐ ๐ฅ ๐๐ฅ = 1;๐
โ๐
Alcune proprietร
โข ๐ฟ ๐๐ฅ ๐๐ฅ =1
|๐|
+โ
โโ dove ๐ถ โ 0
Da cui ricaviamo ๐ฟ ๐๐ฅ = ๐ฟ ๐ฅ
|๐|
Caso particolare: ๐ถ = โ1
๐ฟ โ๐ฅ = ๐ฟ ๐ฅ
La funzione delta รจ lโanalogo continuo
della funzione discreta delta di
Kronecker, definita:
๐ฟ๐๐ = 1 ๐ ๐ ๐ = ๐;0 ๐ ๐ ๐ โ ๐;
โข Per la delta di Dirac vale:
se ๐ ๐ฅ รจ continua nellโintervallo ๐ผ, ๐ฝ e
๐ผ < ๐ < ๐ฝ
๐ ๐ฅ๐ฝ
๐ผ
๐ฟ ๐ฅ โ ๐ ๐๐ฅ = ๐ ๐
Dove
๐ฟ ๐ฅ โ ๐ = +โ ๐ ๐ ๐ฅ = ๐;0 ๐ ๐ ๐ฅ โ ๐;
ร la funzione delta traslata nel punto ๐ถ.
โข Calcoliamo lโintegrale
๐ป ๐ฅ = ๐ฟ ๐ก ๐๐ก = 0 ๐ ๐ โ โ < ๐ฅ < 0;1 ๐ ๐ 0 < ๐ฅ < +โ;
๐ฅ
โโ
๐ป ๐ฅ รจ la funzione di Heaviside.
Il grafico:
y
x
1
0
Derivando la relazione precedente
๐ปโฒ ๐ฅ = ๐ฟ ๐ฅ
Si puรฒ ricavare la delta derivando una
funzione discontinua.
La funzione delta puรฒ rappresentare la
densitร di una massa unitaria posta
nellโorigine degli assi.
Infatti consideriamo la massa distribuita
uniformemente nellโintervallo
โ1
2๐,
1
2๐
Per ๐ โ +โ la massa si concentra
nellโorigine e la densitร coincide con la
funzione delta.
La densitร della massa sarร della forma:
โ๐
๐๐ต
๐
๐๐ต
N
x
y
La delta di Dirac trova applicazione
nella costruzione della funzione di
influenza, o funzione di Green, dal
nome del matematico George Green
che per primo ne sviluppรฒ il concetto.
Siano:
๐ ๐ฅ continua in ๐, ๐ , la funzione che
descrive lโazione di una forza su un
oggetto;
๐ (๐ฅ) la funzione che rappresenta il
risultato dellโazione ๐(๐ฅ).
A lโoperatore tale che:
๐ด ๐ ๐ฅ = ๐ (๐ฅ)
Supponiamo che valga il principio di
sovrapposizione.
๐ด ๐1 + ๐2 = ๐ด ๐1 + ๐ด[๐2]
e per c costante
๐ด ๐๐ = ๐๐ด[๐]
Cioรจ A รจ un operatore lineare.
Chiamiamo ๐บ(๐ฅ; ๐) il risultato nel punto
๐ฅ dellโazione esterna descritta dalla
funzione ๐ฟ(๐ฅ โ ๐) che agisce nel punto
๐ fissato.
๐ด ๐ฟ ๐ฅ โ ๐ = ๐บ(๐ฅ; ๐)
Suddividiamo la funzione ๐ ๐ฅ in
funzioni impulso
Perciรฒ
๐ ๐ฅ = ๐ ๐ ๐๐ ๐ฟ(๐ฅ โ ๐)
Questi impulsi sono uguali a
๐ ๐ ๐๐ ๐ฟ(๐ฅ โ ๐)
= ๐ ๐ ๐๐ ๐บ(๐ฅ; ๐)
= ๐ ๐ ๐๐ ๐ด ๐ฟ ๐ฅ โ ๐ =
= ๐ด ๐ ๐ ๐๐ ๐ฟ ๐ฅ โ ๐ =
Calcoliamo
๐ด ๐ ๐ฅ = ๐ด ๐ ๐ ๐๐ ๐ฟ ๐ฅ โ ๐ =
Se consideriamo gli intervalli d๐
infinitesimi
๐ด ๐ ๐ฅ = ๐บ ๐ฅ; ๐ ๐ ๐ ๐๐๐
๐
Dove ๐ e ๐ sono gli estremi del tratto
in cui applichiamo la forza ๐(๐ฅ).
Consideriamo un esempio.
Vogliamo calcolare la flessione โ(๐ฅ) di
unโasta sottoposta allโazione della forza
๐(๐ฅ) applicata trasversalmente.
Supponiamo che valga il principio di
sovrapposizione.
๐(๐ฅ) รจ la forza esterna e โ(๐ฅ) รจ la
funzione di risposta.
La flessione totale dellโasta รจ
โ ๐ฅ = ๐บ ๐ฅ; ๐๐
0
๐ ๐ ๐๐
๐บ(๐ฅ; ๐) รจ la flessione nel punto ๐ฅ
conseguente allโapplicazione nel punto
๐ di una sollecitazione unitaria descritta
da ๐ฟ(๐ฅ โ ๐).
In generale la flessione puรฒ essere descritta
da
๐ธ๐ผ๐4โ(๐ฅ)
๐๐ฅ4= ๐(๐ฅ)
Integrando lโequazione compare la funzione
di Heaviside.
La flessione si ottiene alla quarta
integrazione, ed รจ rappresentata da una
funzione polinomiale a tratti.
GRAZIE PER LโATTENZIONE!