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Moisés Villena Muñoz Cap. 3Cap. 3Cap. 3Cap. 3 La integral La integral La integral La integral
57
3
3.1 DEFINICIÓN DE ANTIDERIVADA O INTEGRAL INDEFINIDA
3.2 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN 3.2.1 FORMULAS 3.2.2 PROPIEDADES 3.2.3 INTEGRACIÓN DIRECTA 3.2.4 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN 3.2.5 INTEGRACIÓN POR PARTES (OPCIONAL)
3.3 LA INTEGRAL DEFINIDA. 3.4 AREAS DE REGIONES PLANAS
ObjetivoObjetivoObjetivoObjetivos:s:s:s: Se pretende que el estudiante: • Encuentre algebraicamente integrales • Evalué integrales definidas. • Calcule áreas de regiones planas • Determine espacio recorrido dada la velocidad
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En la antigüedad existían dos problemas a resolver; el de la recta tangente, como ya lo mencionamos en el capítulo anterior, y el otro es del área bajo una curva. El problema del cálculo del área bajo una curva se lo resuelve con las nociones del cálculo integral los cuales expondremos en este capítulo.
Sin embargo empezaremos hallando antiderivadas (proceso contrario al de la derivación) que luego utilizaremos para los propósitos del cálculo integral. 3.1 INTEGRAL INDEFINIDA
Llamamos a F una antiderivada, primitiva o integral indefinida
de f en un intervalo I , si )()( xfxFDx
= es decir )()´( xfxF =
La función f ahora será una derivada
3.1.1 Notación La notación que emplearemos para referirnos al cálculo de una
antiderivada es la siguiente:
∫ += CxFdxxf )()(
3.1.2 Teorema
Si )´()´( xGxF = , ( )bax ,∈∀ entonces existe una
constante C tal que CxGxF += )()( , ( )bax ,∈∀ Con este teorema justificamos haber ubicado la constante C
sumando a la antiderivada en la notación. Para una derivada habrá muchas antiderivadas que difieren en una constante. Lo cual también lo podemos observar como que la solución es una familia de curvas.
Bien, ahora dediquémonos a encontrar antiderivadas o integrales
indefinidas.
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3.2 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
Integración significa calcular antiderivadas o primitivas, el proceso contrario de la derivación.
En primera instancia, es importante pensar que siempre se va a
poder determinar la antiderivada empleando fórmulas, igual como se lo hacia en el calculo de derivadas.
3.2.1 FORMAS (FÓRMULAS) ESTÁNDARES DE INTEGRALES
1. ∫ += Cxdx
2. ∫ ++
=
+
Cn
xdxx
nn
1
1
; 1−≠n
3. ∫ += Cxdxx
ln1
4. ∫ += Cedxe xx
5. ∫ += Ca
adxa
xx
ln
6. ∫ +−= Cxxdx cossen
7. ∫ += Cxxdx sencos
8. ∫ += Cxxdx tgsec2
9. ∫ +−= Cgxxdx cotcsc2
10. ∫ += Cxxdxx sectgsec
11. ∫ +−= Cxgdxx csccotcsc
12. CxCxxdx +=+−=∫ seclncoslntg
13. ∫ += Cxgxdx senlncot
14. ∫ ++= Cxxxdx tgseclnsec
15. ∫ +−= Cgxxxdx cotcsclncsc
Las primeras 11 fórmulas se las puede entender fácilmente de
acuerdo a las formulas que se proporcionaron para derivadas.
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Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1
Calcular ∫ dxx2
SOLUCIÓN: Sería cuestión de emplear la formula 2.
Cx
Cx
dxx +=++
=
+
∫ 312
3122
La solución es una familia de curvas de la forma 3
3
xy C= + , si quisiéramos una solución
en particular deberíamos conocer un punto de la curva, por ejemplo suponga que 1y =
cuando 1x = , reemplazando se puede calcular el valor de C :
311
3
2
3
C
C
= +
=
Por tanto, la solución particular sería: 3 2
3 3
xy = +
Ejemplo 2Ejemplo 2Ejemplo 2Ejemplo 2
Calcular ∫ dxx
1
SOLUCIÓN: Sería cuestión de emplear la formula 2.
Cx
dxxdxx
+==+−
+−−
∫∫ 1
1
21
2
1
2
1
1
Para suma, resta de funciones y multiplicación por escalares
hacemos uso de las siguientes propiedades. 3.2.2 PROPIEDADES La Integral Indefinida cumple con propiedades de linealidad, es
decir:
1. [ ] ∫∫ ∫ ±=± dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
2. ∫∫ ∈= Rkdxxfkdxxkf ;)()(
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3.2.3 INTEGRACIÓN DIRECTA Sólo con recursos algebraicos, propiedades y formulas, en ocasiones,
se pueden encontrar antiderivadas de manera inmediata.
Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1
Calcular ∫ dxx35
SOLUCIÓN: Aplicando propiedades
CxCx
Cx
dxxdxx +=+=+==+
+
∫∫ 34
1
1
31
3
4
155555
3
4
3
4
3
1
3
1
Ejemplo 2Ejemplo 2Ejemplo 2Ejemplo 2
Calcular ∫
−+ dxex
x
x4sin32
SOLUCIÓN: Aplicando propiedades y fórmulas:
Cexx
dxexdxdxx
dxedxdxx
dxexx
x
x
xx
+−−=
−+=
−+=
−+
∫ ∫∫∫ ∫∫∫
4cos3ln2
4sin31
2
4sin32
4sin32
Ejemplo 3Ejemplo 3Ejemplo 3Ejemplo 3
Calcular ∫
−+dx
x
xxe x
2
46 3
SOLUCIÓN:
Cxxe
dxxdxx
dxe
dxxx
edxx
xxe
x
x
xx
+−+=
−+=
−+=
−+
∫∫∫
∫∫
3
2
23
6
1ln23
2
1123
2
123
2
46
Ejemplo 4Ejemplo 4Ejemplo 4Ejemplo 4
Calcular ( )
∫−
dxxx
x
3
31
SOLUCIÓN: Elevando al cubo el binomio y luego simplificando para aplicar propiedades, resulta:
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( )
Cxxxx
Cxxxx
dxxdxxdxxdxx
dxxxxx
dx
x
x
x
x
x
x
x
dx
x
xxxdx
xx
x
+−+−−=
+−+−−
=
−+−=
−+−=
−+−=
−+−=
−
−
−
−−
−−
∫∫∫∫∫∫∫∫
38
35
32
31
38
35
32
31
35
32
31
34
35
32
31
34
34
3
34
2
34
34
34
32
3
3
8
3
5
9
2
93
38
35
3
32
3
31
33
33
331
3311
EjEjEjEjercicios Propuestos ercicios Propuestos ercicios Propuestos ercicios Propuestos 3333.1.1.1.1 Hallar:
1. ( )2
2 x dx−∫
2. ( )∫ − dxx323
3. ( )2
1x x dx−∫
4. ∫
− dxxxx2
11
5. ( )1 23sec 2 tanxe x x dx++ −∫
6. 2
2
2 3x senx xdx
x
− +
∫
7. 2 secxxe x x
dxx
+ −
∫
8. ( )
dxx
x
∫−
33
9. ( )( )
dx
x
xx∫ −+
3 2
22 21
10. 2 110 20
5
x x
xdx
+ +−
∫
3.2.4. INTERGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE
VARIABLE Cuando se presentan funciones con reglas de correspondencias un
tanto más complejas, en las que ya no es posible una integración directa, puede ser que con un artificio matemático llamado cambio de variable se transformen en integrales inmediatas.
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En este caso las fórmulas de integrales se las puede observar no sólo para " x " sino para otra variable.
Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1
Calcular ( )∫ − dxx30
1
SOLUCIÓN: No sería práctico obtener el desarrollo del binomio, porque el exponente es 30. Entonces, sería más
conveniente si empleamos el cambio de variable xt −= 1 .
Del cambio de variable, tenemos:
dtdx
dxdx
dt
−=
−= 1.
Ahora sustituyendo resulta: ( ) Ct
dttdtt +−=−=− ∫∫ 31
313030
Una vez integrado, reemplazando t se obtiene: ( )( )
Cx
dxx +−
−=−∫ 31
11
3130
Ejemplo 2Ejemplo 2Ejemplo 2Ejemplo 2
Calcular∫ dxx
xsen
SOLUCIÓN:
Aquí empleamos el cambio de variable: xt = .
Del cambio de variable se obtiene:
dtxdx
xdx
dt
2
2
1
=
=.
Sustituyendo resulta: ( )∫ ∫∫ +−=== Cttdtdtxx
tdx
x
xcos2sen22
sensen
Una vez integrado, reemplazando " t " tenemos: Cxdxx
x+−=∫ cos2
sen
Ejemplo 3Ejemplo 3Ejemplo 3Ejemplo 3
Calcular∫ − dxxx 1
SOLUCIÓN:
Aquí empleamos el cambio de variable: 1−= xt
Del cambio de variable se obtiene:
dtdx
dx
dt
=
= 1
Sustituyendo resulta: ∫∫ =− dttxdxxx 1
Como no se simplifica la x , debemos reemplazarla.
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En este caso, despejando x del cambio de variable, resulta: 1+= tx
Entonces:
( ) ( )
Ctt
dttdttdttttdtttdttx
++=
+=+=+= ∫ ∫ ∫∫∫2
3
322
5
52
21
23
1
Una vez integrado, reemplazando t resulta:
( ) ( ) Cxxdxxx +−+−=−∫ 23
322
5
52 111
Ejemplo 4Ejemplo 4Ejemplo 4Ejemplo 4
Calcular dxx
x
∫
+1
42
SOLUCIÓN:
Esta integral se la resuelve por el cambio de variable 12+= xt ,
de donde xdx
dt2= , entonces
x
dtdx
2= .
Sustituyendo, resulta: CxCtdttx
dt
t
xdx
x
x++=+===
+ ∫∫∫ 1ln2ln21
22
4
1
4 2
2
Ejercicios Propuestos 3.2Ejercicios Propuestos 3.2Ejercicios Propuestos 3.2Ejercicios Propuestos 3.2
Calcular:
1. ( )∫ − 2
525x
dx
2. dxe
e
x
x
∫ +1
3. ( )
∫ dxx
x2
ln
4. dxx
x
∫ +1
5. dxxx∫ +1
6. dxxx∫ + 32
7. dxx
x∫ −
+
1
12
12. ( )∫ −
dx
xx3
2
1
13. dxx
x
x∫
−
+
− 1
1ln
1
1
2
14. ∫ +
++
dxx
xx
2
2
1
1ln
15. ∫
π+4
2sen2 x
dx
16. ( )
dxxx
xxx
∫ −−
−−−
13
13sen16
2
2
17. ∫+
dxx
ex x
sec
sec sen3
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8. ∫ dxxx ln
1
9. ∫ + xx
dxx
ln1
ln
10. dxx
xx
∫ +
+
2
2
1
1ln4
11. ( )∫ xxx
dx
lnlnln
18. ∫ dxx
x )4sen(ln 2
19. ∫+
dxx
x
2sen
2cos12
20. dxee
eexx
xx
∫ −
−
+
−
22
22
3.2.5 INTEGRACION POR PARTES.(Opcional)
Para el producto de funciones, tenemos: ( ) vduudvuvd +=
Despejando e integrando término a término, resulta:
( )
( ) ∫∫∫ −=
−=
vduuvdudv
vduuvdudv
En definitiva, la fórmula que se emplea en integración por partes es:
∫∫ −= vduuvudv
Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1
Calcular ∫ dxex x
SOLUCIÓN:
Haciendo xu = y dxedv x= .
Entonces dxdu = y xxedxev == ∫
Integrando, resulta:
} } } }}
Ceex
dxeexdxex
xx
duv
x
v
x
udv
x
u
+−=
−= ∫∫876
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Ejemplo 2Ejemplo 2Ejemplo 2Ejemplo 2
Calcular ( )∫ −+ dxxxx sen532 2
SOLUCIÓN:
Haciendo 532 2−+= xxu y dxxdv sen= .
Entonces ( )dxxdu 34 += y xxdxv cossen −== ∫
Por lo tanto, integrando tenemos:
( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )∫∫∫
++−+−=
+−−−−+=−+
xdxxxxx
dxxxxxxdxxxx
duvvudvu
cos34cos532
34coscos532sen532
2
2248476484764847644 844 764847644 844 76
Ahora, la integral ( )∫ + xdxx cos34 , también se la realiza por partes.
Haciendo 34 += xu y dxxdv cos= . Entonces dxdu 4= y xxdxv sencos == ∫
Por tanto: ( ) ( ) ( )
( ) xxx
dxxxxxdxx
cos4sen34
4sensen34cos34
++=
−+=+ ∫∫
Finalmente:
( ) ( ) ( ) Cxxxxxxdxxxx ++++−+−=−+∫ cos4sen34cos532sen532 22
Ejemplo 3Ejemplo 3Ejemplo 3Ejemplo 3
Calcular xdxex cos∫
SOLUCIÓN:
Haciendo xeu = y dxxdv cos= .
Entonces dxedu x= y xxdxv sencos == ∫
Por tanto: ∫∫ −= dxexxexdxe xxx sensencos
La integral ∫ dxxe xsen se la calcula por parte. Hacemos xeu = y dxxdv sen= . Entonces
dxedu x= y xxdxv cossen −== ∫ .
Por lo tanto ∫ ∫+−= xdxexexdxe xxx coscossen
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Finalmente:
∫∫∫∫
−+=
+−−=
xdxexexexdxe
xdxexexexdxe
xxxx
xxxx
coscossencos
coscossencos
Note que la última integral es semejante a la primera; entonces, despejando
Cxexe
xdxe
xexexdxe
xxx
xxx
++
=
+=
∫∫
2
cossencos
cossencos2
Ejemplo 4Ejemplo 4Ejemplo 4Ejemplo 4
Calcular ∫ xdxx ln
SOLUCIÓN: Aquí debemos tomar xu ln= y dxxdv = .(¿por qué?)
Entonces dxx
du1
= y 2
2x
xdxv == ∫
Por tanto:
( )
Cx
xx
xdxxx
dxx
xxxxdxx
+
−=
−=
−
=
∫∫∫
2ln
ln
1
22lnln
2
212
21
212
21
22
Ejemplo 5Ejemplo 5Ejemplo 5Ejemplo 5
Calcular ∫ xdxln
SOLUCIÓN:
Entonces, aquí sería también xu ln= y dxdv = . Entonces dxx
du1
= y xdxv == ∫
Por tanto:
Cxxx
dxx
xxxxdx
+−=
−= ∫∫
ln
1lnln
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68
Ejercicios Ejercicios Ejercicios Ejercicios Propuestos 3Propuestos 3Propuestos 3Propuestos 3....3333 (Opcional) Calcular:
1. ∫ dxex x3
2. ∫ − dxex x22
3. ( )∫ + dxxex2
4. ∫+dx
e
xx
1
5. ( )∫ +− dxexx x22 23
6. ∫ dxxx ln
7. ∫ dxxx 2ln
8. ∫ dxe x
9. ∫
++ dxxx 21ln
10. ( )∫ dxxlncos
11. dxx∫ sen
12. ( )∫ dxxlnsen
13. ( )∫ dxxx tglnsen
14. ∫ x
dxxx
2sen
cos
15. ∫ dxexx25
3.3 LA INTEGRAL DEFINIDA.
Suponga ahora que se desea determinar el área bajo una curva
( )y f x= en un intervalo [ ],a b
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69
Dividiendo la región en "n " rectángulos:
Las bases de los rectángulos son de dimensión no necesariamente igual. Las alturas de cada rectángulo estarían dadas por el respectivo valor que se obtiene en la función f con el punto (observe la figura) que se ha
denotado como x . El área del primer rectángulo sería 111)( xxfA ∆= , el
área del segundo rectángulo sería 222)( xxfA ∆= ; y así, el área del n-
ésimo rectángulo sería nnnxxfA ∆= )( .
La suma de las áreas de los n rectángulos sería:
( ) ( ) ( ) ( )nn xxfxxfxxfxxf ∆++∆+∆+∆ K
332211
Que de manera abreviada tenemos:
( )∑=
∆
n
i
ii xxf1
Bien, lo que se quiere es el área de la región, por tanto se debería
considerar una suma de una cantidad muy, pero muy grande de rectángulos, es decir una suma infinita. Por tanto, el área de la región estaría dada por:
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70
( )
∆= ∑
=∞→
n
i
iin
xxflímA1
De aquí surge la definición de Integral Definida.
Sea f una función que está definida en el intervalo [ ]ba, . Al
( )
∆∑=
∞→
n
iii
nxxf
1
lím se le denomina la integral definida (o integral de
Riemann) de f de "a " a "b" y se denota de la siguiente manera:
∫b
a
dxxf )( .
Nos queda la inquietud de que si calculamos el área por el límite
infinito de la suma sería algo engorroso. Pero entonces ¿qué?. El teorema siguiente nos permitirá evaluar integrales definidas de
una manera muy rápida y sencilla.
3.3.2 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
Sea f continua en [ ]ba, y sea F cualquier antiderivada de
f en [ ]ba, entonces:
)()()( aFbFdxxfb
a
−=∫
Con el teorema fundamental del cálculo es muy sencillo evaluar
integrales definidas. Note que aquí encaja el hecho de encontrar antiderivadas que ya lo tratamos de entrada.
EjemploEjemploEjemploEjemplo
Calcular dxx∫3
1
2
SOLUCIÓN: Aplicando el teorema fundamental del cálculo:
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71
3
26
3
1
3
27
3
1
3
3
3
333
1
3
3
1
2=−=
−−+=
+=∫ CCC
xdxx
La constante C siempre se va a suprimir.
EjeEjeEjeEjercicios propuestos 3.4rcicios propuestos 3.4rcicios propuestos 3.4rcicios propuestos 3.4 Calcular las siguientes integrales definidas:
1. ( )
1
2
0
2 1x dx+∫
2.
4
0
tan x dx
π
∫
3. ( )
1
0
3xe x dx+∫
4.
6
2
0
csc x dx
π
∫
5. ( )∫ ++
+
1
0
22 14
2dx
xx
x
6. ( )∫ π
21
0
2sen dxx
7. ( )[ ]∫ −+
1
0
33cos3 dxxx
8. ∫2
41
lndx
x
x
9. ∫+
−
1
2
1
e
dxx
x
10. ∫ −
−+
5
4
2
32
24dx
x
xx
Observe que 0)( =∫a
a
dxxf y ∫∫ −=
a
b
b
a
dxxfdxxf )()( ¿PORQUÉ?
3.3.3 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
3.3.3.1 PROPIEDAD DE LINEALIDAD
Suponga que f y g son integrables en el intervalo [ ]ba,
y sea Rk∈ , entonces:
1. [ ] [ ] [ ]∫∫∫ ±=±b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
Moisés Villena Muñoz Cap. 3Cap. 3Cap. 3Cap. 3 La integral La integral La integral La integral
72
2. ∫∫ =b
a
b
a
dxxfkdxxkf )()(
3.3.3.2 PROPIEDAD DE ADITIVIDAD
Si f es integrable en un intervalo que contiene a los puntos
a, b y c (no importar su orden), entonces:
∫∫∫ +=
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
Esta propiedad es útil cuando se trata con funciones que son
continuas en intervalos, es decir, funciones que presenta el siguiente comportamiento.
Demostración:Demostración:Demostración:Demostración:
Por el teorema fundamental del cálculo:
∫∫∫ =−=−+−=+
b
a
b
c
c
a
dxxfaFbFcFbFaFcFdxxfdxxf )()()()()()()()()(
PREGUNTA: ¿Verdadero o falso?
∫∫∫ +=
3
5
2
5
1
2
3
1
2 dxxdxxdxx
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73
Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo
Calcular ∫5
1
)( dxxf donde
<+−
≥−=
3;13
3;12)(
2 xxx
xxxf
SOLUCIÓN: Como f tiene dos reglas de correspondencia, es decir:
Entonces aplicando la propiedad de aditividad, tenemos:
( ) ( )
( ) ( )[ ]
3
38
3952512
3
3
13
2
279
2
2
2
3
3
1213)(
5
3
23
1
23
5
3
3
1
2
5
1
=
−−−+
+−−
+−=
−+
+−=
−++−= ∫∫∫x
xx
xx
dxxdxxxdxxf
Ejercicios Propuestos 3.5Ejercicios Propuestos 3.5Ejercicios Propuestos 3.5Ejercicios Propuestos 3.5 1. Calcular
1. ( ) ,
3
2
∫−
dxxf si ( )
≤<−
≤≤−=
31,21
12,2 2
xx
xxxf
2. ( ) ,
3
3
∫−
dxxf si ( )
>−
≤=
1,21
1,2
xx
xxxf
3. ( ) ,
3
5
∫−
dxxf si ( )
>
≤−=
2,
2,32 2
xx
xxxf
4. ∫ −
4
0
1 dxx
5. ∫−
−
5
2
3 dxx
6. ∫−
−
4
2
13 dxx
7. ∫−
−
2
1
12 dxx
Moisés Villena Muñoz Cap. 3Cap. 3Cap. 3Cap. 3 La integral La integral La integral La integral
74
3.4 AREAS DE REGIONES PLANAS
3.4.1 ÁREA BAJO UNA CURVA
Ya se mencionó que para calcular el valor del área bajo una curva, se particiona la región plana y luego se hace una suma infinita de las áreas de las particiones, lo cual equivale a una integral definida.
Ahora podemos hacerlo de una manera abreviada. Considerando sólo una partición representativa, un rectángulo diferencial que represente a cualquier partición de la región plana
El área del elemento diferencial será: dxxfhdxdA )(==
Por tanto, el área de la región plana es: ∫=
b
a
dxxfA )(
Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1
Calcular el área de la región limitada por
=
+−=
=
0
6
y
xy
xy
SOLUCIÓN:
Se dibuja en un mismo plano xy = y 6+−= xy
Se calcula las intersecciones y se identifica la región.
Moisés Villena Muñoz Cap. 3Cap. 3Cap. 3Cap. 3 La integral La integral La integral La integral
75
Hay dos regiones bien definidas, por tanto el área está dada por:
( )
( )
( ) ( ) ( )
3
22
24836183
16
462
466
2
604
62
6
22
23
32
6
4
24
0
23
32
6
4
4
0
=
−++−=
+−−
+−+
−=
+−+=
+−+= ∫∫
A
xx
x
dxxdxxA
3.4.2 ÁREA ENTRE CURVAS
Si la región plana tuviera la siguiente forma:
El área del elemento diferencial será: [ ]( ) ( )dA hdx f x g x dx= = −
( ) ( )
( )( )49
049
03613
3612
6
6
2
2
22
=∨=
=−−
=+−
+−=
+−=
+−=
xx
xx
xx
xxx
xx
xx
Moisés Villena Muñoz Cap. 3Cap. 3Cap. 3Cap. 3 La integral La integral La integral La integral
76
Entonces el área de la región plana esta dada por:
[ ]( ) ( )
b
a
A f x g x dx= −∫
CONCLUSIÓN:CONCLUSIÓN:CONCLUSIÓN:CONCLUSIÓN:
Para hallar el área de una región plana, siga los siguientes pasos:
1. Dibuje las curvas dadas.
2. Identifique la región plana. Aquí se definen los límites de integración.
3. Defina el rectángulo diferencial, el elemento representativo.
4. Defina la integral o las integrales para él área.
5. Evalúe la integral definida.
Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1
Calcular el valor del área de la región limitada por
−=
+=
2
4
2xy
xy
SOLUCIÓN:
PASO 1: Graficamos en un mismo plano 4+= xy y 22−= xy
PASO 2: Identificamos la región plana, sombreándola y hallando las intercepciones de las curvas. PASO 3: Definimos el elemento diferencial. PASO 4: La integral definida para el área sería:
( )23
0)2(3
06
24
2
2
−=∨=
=+−
=−−
−=+
xx
xx
xx
xx
Moisés Villena Muñoz Cap. 3Cap. 3Cap. 3Cap. 3 La integral La integral La integral La integral
77
( ) ( )[ ]∫−
−−+=
3
2
2 24 dxxxA
PASO 5: Evaluando la integral definida, tenemos:
( ) ( )[ ] [ ]
( ) ( )( )
6
5
1223
818
2
99
262
2
3
2)3(6
2
3
3
3
623
624
2323
3
2
23
3
2
2
3
2
2
=
−+−++−=
−+
−+
−−−
++−=
++−=
++−=−−+=
−
−−
∫∫
A
xxx
dxxxdxxxA
Ejemplo 2Ejemplo 2Ejemplo 2Ejemplo 2
Calcular el valor del área de la región limitada por
=
−−=
0
623
y
xxxy
SOLUCIÓN:
PASO 1: Dibujamos xxxy 623−−=
PASO 2: Identificamos la región plana, sombreándola y hallando las intercepciones de la curva con el eje x. PASO 3: Definimos el elemento diferencial. PASO 4: La integral definida para el área sería:
( )[ ] [ ]dxxxxdxxxxA ∫∫ −−−+−−−=
−
3
0
23
0
2
23 6()0()0(6
( )( )
230
0)2(3
06
06
2
23
−=∨=∨=
=+−
=−−
=−−
xxx
xxx
xxx
xxx
Moisés Villena Muñoz Cap. 3Cap. 3Cap. 3Cap. 3 La integral La integral La integral La integral
78
PASO 5: Evaluando la integral definida, tenemos:
( )[ ] [ ]
[ ] [ ]
( ) ( ) ( )
12
253
2794
8112
3
84
)0(2
36
3
3
4
3
2
26
3
2
4
20
26
3426
34
66
6()0()0(6
234234
3
0
2340
2
234
3
0
23
0
2
23
3
0
23
0
2
23
=
++−+−−=
−
++−+
−−
−−
−−=
++−+
−−=
++−+−−=
−−−+−−−=
−
−
−
∫∫
∫∫
A
xxxxxx
dxxxxdxxxx
dxxxxdxxxxA
Ejercicios propuestos 3.6Ejercicios propuestos 3.6Ejercicios propuestos 3.6Ejercicios propuestos 3.6 Hallar el área de la región limitada por las curvas:
1. ,,2 2 xyxy =−=
2. ,0,4 2=−= yxxy entre 1=x y 3=x .
3. 8,0,4 ==−= xyxy .
4. 01,342=−−+−= yxxxy .
5. 2 , 2 4, 0y x y x x= = − = .
6. xxyxy 4, 22+−==
7. ,,6 3xyxy =+= 4
2xy −= .
8. 2, 2y x y x= = −
9. 3 23 , 4y x x y x= + =
10. xxyxxxy 4,86 223−=+−=
Moisés Villena Muñoz Cap. 3Cap. 3Cap. 3Cap. 3 La integral La integral La integral La integral
79
3.4.3 ÁREA DE REGIONES SIMPLE- y (OPCIONAL)
Si la región plana tuviese la siguiente forma:
Es más conveniente tomar el elemento diferencial representativo en disposición horizontal
El área del elemento diferencial será: dyyfxdyhdydA )(===
Entonces el área de la región plana es: ∫=
d
c
dyyfA )(
Y para el caso de regiones simple-y más generales, tenemos:
El área del elemento diferencial será: [ ]dyygyfhdydA )()( −==
Entonces el área de la región plana esta dada por:
[ ]∫ −=
d
c
dyygyfA )()(
Moisés Villena Muñoz Cap. 3Cap. 3Cap. 3Cap. 3 La integral La integral La integral La integral
80
Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1
Calcular el área de la región limitada por
=
+−=
=
0
6
y
xy
xy
SOLUCIÓN:
PASO 1: Se dibuja en un mismo plano xy = y 6+−= xy
PASO 2: Identificamos la región plana, sombreándola y hallamos las intercepciones de las curvas. PASO 3, 4 y 5: En este caso observamos que el elemento diferencial puede ser de las dos formas. Escogiendo el elemento diferencial horizontal: El área está dada por:
( )[ ]
( ) ( )
3
22
3
8212
03
2
2
226
326
6
32
2
0
32
2
0
2
=
−−=
−
−−=
−−=
−−=∫
A
yyy
dyyyA
Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1
Calcular el área de la región limitada por
−=
−=
23
1
yx
xy
SOLUCIÓN: PASO 1, PASO 2 y PASO 3: El elemento diferencial sería mejor horizontal en este caso
Moisés Villena Muñoz Cap. 3Cap. 3Cap. 3Cap. 3 La integral La integral La integral La integral
81
Paso 4 y 5: El área de la región sería:
( ) ( )[ ]
[ ]
( )( ) ( )
( )
2
9
423
82
2
1
3
1
222
2
3
212
2
1
3
1
223
2
13
2323
1
2
23
1
2
2
1
2
2
=
++−+−−=
−+
−−
−−−
+−−=
+−−=
+−−=
+−−=
−
−
−
∫
∫
A
yyy
dyyy
dyyyA
Ejercicios propuestos 3Ejercicios propuestos 3Ejercicios propuestos 3Ejercicios propuestos 3. 7. 7. 7. 7(Opcional) Hallar el área de la región limitada por las curvas:
1. 0124,02 22=−+=− xyxy .
2. 422−=+= xy,xy
( )( )12
012
02
31
2
2
=∨−=
=−+
=−+
−=+
yy
yy
yy
yy
Moisés Villena Muñoz Cap. 3Cap. 3Cap. 3Cap. 3 La integral La integral La integral La integral
82
3.4.4 APLICACIONES.
EjemploEjemploEjemploEjemplo 1111
Suponga que una partícula se desplaza con una velocidad dada por
( ) 2110
1v t t t= + + mseg
a) Determine el espacio recorrido durante los primeros 5 seg. b) Interprete gráficamente el espacio como el área bajo la curva de la velocidad.
SOLUCIÓN: a) La velocidad es la derivada del espacio con respecto al tiempo, entonces para encontrar el espacio habrá que integrar la derivada.
( ) ( )55 5 3 2
2110
0 0 0
1 125 251 5 41.67 .
10 3 2 30 2
t ts v t dt t t dt t m= = + + = + + = + + =∫ ∫
b) El espacio recorrido es el área bajo la curva de la velocidad
EjemploEjemploEjemploEjemplo 2222
Suponga que una máquina genera ingresos a razón de 2(́ ) 100 2R t t= − dólares al año
y que los costos se acumulan a razón de 2(́ ) 25C t t= + dólares al año.
c) ¿Cuántos años transcurren antes de que la máquina deje de ser rentable? d) Calcule las ganancias Netas. Interprete gráficamente
SOLUCIÓN: Graficando ambas curvas para interpretar las ganancias netas, tenemos:
( ) 2110
1v t t t= + +
( )v t
t0 5
Moisés Villena Muñoz Cap. 3Cap. 3Cap. 3Cap. 3 La integral La integral La integral La integral
83
a) Igualando las ecuaciones, tenemos:
2 2
2
100 2 25
3 75
5
t t
t
t
− = +
=
=
Por tanto los ingresos son superiores a los costos, período de rentabilidad, durante los primeros 5 años. b) Las ganancias Netas están dada por :
[ ]
( ) ( )
( )
5
0
5
2 2
0
5
2
0
53
0
(́ ) (́ )
100 2 25
3 75
75
$250
Ganancias Netas R t C t dt
t t dt
t dt
t t
= −
= − − +
= − +
= − +
=
∫
∫
∫
Ejercicios PropuestosEjercicios PropuestosEjercicios PropuestosEjercicios Propuestos 3.83.83.83.8
1. Suponga que una partícula se desplaza con una velocidad dada por
( ) 2 25v t t= + mseg
a) Determine el espacio recorrido durante los primeros 4 seg. b) Interprete gráficamente el espacio como el área bajo la curva de la velocidad.
2. Suponga que una partícula se desplaza con una velocidad dada por
( ) 3 5v t t= + mseg
a) Determine el espacio recorrido durante los primeros 3 seg. b) Interprete gráficamente el espacio como el área bajo la curva de la velocidad.
Moisés Villena Muñoz Cap. 3Cap. 3Cap. 3Cap. 3 La integral La integral La integral La integral
84
3. Suponga que una máquina genera ingresos a razón de 2(́ ) 75R t t= − dólares al año y que los
costos se acumulan a razón de
2
´( ) 1064
tC t = + dólares al año.
a) ¿Cuántos años transcurren antes de que la máquina deje de ser rentable? b) Calcule las ganancias Netas. Interprete gráficamente.
4. Suponga que una máquina genera ingresos constantes a razón de (́ ) 105R t = dólares al año y
que los costos se acumulan a razón de 2(́ ) 5C t t= + dólares al año.
a) ¿Cuántos años transcurren antes de que la máquina deje de ser rentable? b) Calcule las ganancias Netas. Interprete gráficamente
5. Suponga que una máquina genera ingresos constantes a razón de (́ ) 1050R t = dólares al año
y que los costos se acumulan a razón de ´( ) 50 10tC t = + dólares al año.
a) ¿Cuántos años transcurren antes de que la máquina deje de ser rentable? b) Calcule las ganancias Netas. Interprete gráficamente.
MisceláneosMisceláneosMisceláneosMisceláneos 1. Encuentre las antiderivadas de:
1. ( )
dxx
xex
∫ +21
2. ∫ −
−dx
x
x
4
5
3. ( )∫ + dxxx ln8
4. ( )∫ −−+ dxeeCos
xx 102
5. ∫ ++
+dx
xx
xx
4 24
3
82
6. ∫ + dxxx 102 23
7. ∫ dxxx2csc
8. ( )∫ + dxxx 2
2
9. ( )∫ − dxxx ln1
10. ∫ +dxx
x
cos51
sen
11. ( )
∫ +
+dx
x
x
1
1ln
12. ∫
+
+dx
x
x
5
3ln
13. ∫
−+ dxx
x
x)12cos(
cos
sen
14. ( )24 13 ln5 xx x xe dx+
−∫
15. ∫ +
++dx
x
xx
5
13 2
16. ∫ +
+dx
ex
ex
x
x
25
5
2
17. ∫ +dxx
x 13 2
2
18. ( )
∫ dxx
xlncos
19. ∫ ++
+dxxx
xx
x)2ln(
2
1 2
2
20. ∫+dx
e
x
x
1
Moisés Villena Muñoz Cap. 3Cap. 3Cap. 3Cap. 3 La integral La integral La integral La integral
85
2. Encuentre el área entre las curvas:
1. x
y1
= , 2xy = ,2
1=x , 2=x
2. 84 2+−= xxy , xxy 22
−= 3. 3−= xy , 42
+= xy , 1−=x , 2=x
4. 92−= xy ,
2
93
2
2
+−= xx
y , 2−=x , 4=x
5. xxxy 44 23+−= , xy =
6. 22 =+ yx , 1=− xy , 72 =+ yx 7. 23 6xxy −= , 2xy −=
8. x
y8
= , xy = , 0=y , 8=x
9. 4,2,10,44 22==−=+−= xxxyxxy
10. 63 +−= xy , 24 xxy −= 3. Suponga que cuando tiene x años una máquina industrial genera ingresos a razón de
2(́ ) 200 4R x x= −
dólares por año y origina costos que se acumulan a razón de 2(́ ) 92 8C x x= + dólares por año.
a) Durante cuantos años es rentable el uso de la maquinaria. b) ¿Cuánta ganancia neta generará durante ese período? c) Interprete geométricamente las Ganancias Netas.