Download - La PROBABILITA’
![Page 1: La PROBABILITA’](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070415/56814f63550346895dbd17e5/html5/thumbnails/1.jpg)
La PROBABILITA’
è …
lo studio delle caratteristiche di regolarità dei fenomeni casuali
![Page 2: La PROBABILITA’](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070415/56814f63550346895dbd17e5/html5/thumbnails/2.jpg)
Sono fenomeni casuali
• Il lancio di un dado
• L’estrazione di una pallina numerata da un’urna
• Il lancio di una moneta
• Il diffondersi di un’epidemia
![Page 3: La PROBABILITA’](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070415/56814f63550346895dbd17e5/html5/thumbnails/3.jpg)
Un fenomeno complesso che si ripete più volte può essere studiato come
aleatorio, dal latino “alea”
![Page 4: La PROBABILITA’](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070415/56814f63550346895dbd17e5/html5/thumbnails/4.jpg)
Il calcolo delle probabilità permette di associare ad “eventi futuri” un modello
di tipo non deterministico, uno strumento che rende razionale il
comportamento dell’uomo di fronte all’incertezza: quando i fatti
osservabili non sono prevedibili e si devono prendere decisioni in base ad
ipotesi riguardanti le modalità di eventi futuri
![Page 5: La PROBABILITA’](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070415/56814f63550346895dbd17e5/html5/thumbnails/5.jpg)
E se gli eventi futuri ai quali sono legate le nostre decisioni ..
• sono ripetibili, in condizioni che possiamo ritenere uniformi, permette di fare previsioni quantitative e di regolare il nostro comportamento in modo da ottimizzare certe situazioni, che possiamo rappresentare mediante opportune “funzioni obiettivo” ( es lancio di un dado)
• NON sono ripetibili: serve a giustificare il nostro comportamento e a controllarne eventualmente la coerenza ( es: epidemie…)
![Page 6: La PROBABILITA’](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070415/56814f63550346895dbd17e5/html5/thumbnails/6.jpg)
Un modello si dice deterministico
• Se tutte le informazioni relative alla situazione che si sta esaminando in un istante permettono di determinare con certezza, con leggi semplici, quale sarà la situazione dopo qualsiasi intervallo di tempo;
CIOE’
• le grandezze in ingresso x i ( le condizioni iniziali)
permettono di calcolare le grandezze in uscita y i
![Page 7: La PROBABILITA’](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070415/56814f63550346895dbd17e5/html5/thumbnails/7.jpg)
La funzione associata ad un modello deterministico è
)(xfy
x0 y0
f
![Page 8: La PROBABILITA’](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070415/56814f63550346895dbd17e5/html5/thumbnails/8.jpg)
Un modello si dice non deterministico
• se non è possibile determinare a priori con certezza il valore della variabile in uscita y
i, ma si sa che essa assumerà uno dei valori di un insieme di eventi, chiamati
eventi casuali
![Page 9: La PROBABILITA’](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070415/56814f63550346895dbd17e5/html5/thumbnails/9.jpg)
In un fenomeno aleatorio:
• Tutti i possibili risultati sono punti dello spazio campione
• Ogni evento è un sottoinsieme dello spazio
• L’evento certo è lo spazio • L’evento impossibile è , l’insieme vuoto• E’ un evento il risultato di qualsiasi
operazione tra i sottoinsiemi di
![Page 10: La PROBABILITA’](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070415/56814f63550346895dbd17e5/html5/thumbnails/10.jpg)
Esempio: Lancio di un dado
• Spazio campione
• Evento:” uscita di un numero pari”
• L’evento: “uscita di un numero pari”può essere considerato come unione di eventi
singoli
1
23
4
5
6
![Page 11: La PROBABILITA’](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070415/56814f63550346895dbd17e5/html5/thumbnails/11.jpg)
Evento - risultato
• Nel lancio del dado l’evento: “uscita di un numero pari” ha come risultato x, un valore tra i tre possibili:
X=6
2
4
![Page 12: La PROBABILITA’](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070415/56814f63550346895dbd17e5/html5/thumbnails/12.jpg)
X: variabile casuale
• Si chiama variabile causale una variabile x che può assumere uno tra gli n valori possibili.
X=xm
x1
x2
…
![Page 13: La PROBABILITA’](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070415/56814f63550346895dbd17e5/html5/thumbnails/13.jpg)
La variabile casuale x
Può variare tra un insieme di punti dello spazio campione:
• Finito
• Infinito numerabile
• Infinito non numerabile
che sono distribuiti in un dato intervallo in modo continuo o discreto
![Page 14: La PROBABILITA’](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070415/56814f63550346895dbd17e5/html5/thumbnails/14.jpg)
La funzione P: A P(A)
Associa ad ogni sottoinsieme A di , l’insieme di punti-evento, un numero reale, che soddisfa ai seguenti assiomi:
![Page 15: La PROBABILITA’](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070415/56814f63550346895dbd17e5/html5/thumbnails/15.jpg)
Assiomi:
• A1 :
• A2 :
• A3 : Se Ai e Aj sono eventi incompatibili, cioè
allora
0)( AP
1)( P
)( ji AA
)()( AA iPiP
![Page 16: La PROBABILITA’](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070415/56814f63550346895dbd17e5/html5/thumbnails/16.jpg)
I simboli…• Insieme punti-evento
• F = {A1, A2, …, An} successione finita o
no, di eventi a due a due incompatibili
• P Numero reale
• Spazio di probabilità),,( PF
![Page 17: La PROBABILITA’](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070415/56814f63550346895dbd17e5/html5/thumbnails/17.jpg)
Teorema 1
• Se valgono
A1 :
e A2 :
Allora
la probabilità è un numero compreso tra zero e uno
dim-th1.ppt
0)( AP
1)( P
1)(0 AP
![Page 18: La PROBABILITA’](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070415/56814f63550346895dbd17e5/html5/thumbnails/18.jpg)
Teorema 2probabilità dell’evento impossibile
La probabilità dell’evento impossibile è zero
dim-th2
0)( P
![Page 19: La PROBABILITA’](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070415/56814f63550346895dbd17e5/html5/thumbnails/19.jpg)
Teorema 3probabilità dell’evento complementare
Un evento A e il suo complementareriempiono lo spazio campione
Può essere formulato:
• P(A) + P( )=1
oppure:
• P(A B) + P(B ) = P(B)
A
A
A
![Page 20: La PROBABILITA’](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070415/56814f63550346895dbd17e5/html5/thumbnails/20.jpg)
Teorema 4probabilità di eventi non disgiunti
• Se A e B sono eventi:)()()()( BAPBPAPBAP
A
B
BA
![Page 21: La PROBABILITA’](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070415/56814f63550346895dbd17e5/html5/thumbnails/21.jpg)
Eventi indipendenti
Definizione:
Gli eventi A e B sono indipendenti se:
)()()( BPAPBAP
![Page 22: La PROBABILITA’](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070415/56814f63550346895dbd17e5/html5/thumbnails/22.jpg)
Teorema 5probabilità di eventi indipendenti
Gli eventi A, B, C sono indipendenti
se e solo se:
• Sono indipendenti a due a due
• )()()()( CPBPAPCBAP
![Page 23: La PROBABILITA’](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070415/56814f63550346895dbd17e5/html5/thumbnails/23.jpg)
Probabilità condizionata P(A|H)
Definizione:
Dato uno spazio di probabilità
e due eventi H (che chiamiamo ipotesi o condizione), tale che P(H) 0, e A, la probabilità condizionata di A dato H è:
),,( PF
)(
)()(
HP
HAPHAP
![Page 24: La PROBABILITA’](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070415/56814f63550346895dbd17e5/html5/thumbnails/24.jpg)
Eventi indipendenti
Due eventi A e B sono indipendenti se il conoscere che uno si è verificato non altera la probabilità del verificarsi dell’altro.
In questo caso le tre leggi sono equivalenti: • • •
)()()( BPAPBAP
)()( APBAP
)()( BPABP
![Page 25: La PROBABILITA’](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070415/56814f63550346895dbd17e5/html5/thumbnails/25.jpg)
Teoremi della probabilità condizionata
)()()(, CBAPAPAP CBCB
...)()()()()( 2211 HPHAPHPHAPAP
...)()()()()( 2211 HHPHAPHHPHAPHAP
)...()...()()()...( 12121312121 nnn AAAAAPAAAPAAPAPAAAP
jjj
iii
HPHBP
HPHBPBHP
)()(
)()()(
![Page 26: La PROBABILITA’](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070415/56814f63550346895dbd17e5/html5/thumbnails/26.jpg)
Teoremi della probabilità condizionata
• Legge del condizionamento ripetuto
• Legge delle alternative
• Legge condizionata delle alternative
• Legge delle probabilità composte
• Legge di Bayes o probabilità delle cause
![Page 27: La PROBABILITA’](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070415/56814f63550346895dbd17e5/html5/thumbnails/27.jpg)
Legge del condizionamento ripetuto
)()()(, CBAPAPAP CBCB
![Page 28: La PROBABILITA’](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070415/56814f63550346895dbd17e5/html5/thumbnails/28.jpg)
Legge delle alternative
Un insieme di alternative è una partizione dell’insieme
(incompatibilità)
(esaustività)
per ogni indice i0)(
....
i
ii
ji
HP
H
jiHH
...)()()()()( 2211 HPHAPHPHAPAP
![Page 29: La PROBABILITA’](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070415/56814f63550346895dbd17e5/html5/thumbnails/29.jpg)
Legge condizionata delle alternative
Gli eventi H sono un insieme di alternative per H quando:
(incompatibilità)
(esaustività)
per ogni indice i0)(
....
i
ii
ji
HP
HH
jiHH
...)()()()()( 2211 HHPHAPHHPHAPHAP
![Page 30: La PROBABILITA’](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070415/56814f63550346895dbd17e5/html5/thumbnails/30.jpg)
Legge delle probabilità composte
)...()...()()(
)...(
121213121
21
nn
n
AAAAAPAAAPAAPAP
AAAP
![Page 31: La PROBABILITA’](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070415/56814f63550346895dbd17e5/html5/thumbnails/31.jpg)
Legge di Bayes o probabilità delle cause
jjj
iii
HPHBP
HPHBPBHP
)()(
)()()(