![Page 1: La retta reale - biomat.dimi.uniud.itbiomat.dimi.uniud.it/presenta/p03reale.pdf · La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 1/4 La retta reale Materiale integrativo](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022722/5c67f5d609d3f2c85f8cc1c5/html5/thumbnails/1.jpg)
La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 1/4
La retta realeMateriale integrativo del
Corso integrato di
Matematica
per le scienze naturali ed applicate
Paolo Baiti, Lorenzo Freddi
![Page 2: La retta reale - biomat.dimi.uniud.itbiomat.dimi.uniud.it/presenta/p03reale.pdf · La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 1/4 La retta reale Materiale integrativo](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022722/5c67f5d609d3f2c85f8cc1c5/html5/thumbnails/2.jpg)
La retta reale
Dall’intuizione alla definizione
Esempio
La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 2/4
La retta reale
Siar una retta orientata e con un’unità dimisura
![Page 3: La retta reale - biomat.dimi.uniud.itbiomat.dimi.uniud.it/presenta/p03reale.pdf · La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 1/4 La retta reale Materiale integrativo](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022722/5c67f5d609d3f2c85f8cc1c5/html5/thumbnails/3.jpg)
La retta reale
Dall’intuizione alla definizione
Esempio
La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 2/4
La retta reale
Siar una retta orientata e con un’unità dimisura
0 1 r
![Page 4: La retta reale - biomat.dimi.uniud.itbiomat.dimi.uniud.it/presenta/p03reale.pdf · La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 1/4 La retta reale Materiale integrativo](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022722/5c67f5d609d3f2c85f8cc1c5/html5/thumbnails/4.jpg)
La retta reale
Dall’intuizione alla definizione
Esempio
La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 2/4
La retta reale
Siar una retta orientata e con un’unità dimisura
0 1 r
Rappresentiamo sur i numeri razionalimediantemultipli e frazionidell’unità dimisura
![Page 5: La retta reale - biomat.dimi.uniud.itbiomat.dimi.uniud.it/presenta/p03reale.pdf · La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 1/4 La retta reale Materiale integrativo](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022722/5c67f5d609d3f2c85f8cc1c5/html5/thumbnails/5.jpg)
La retta reale
Dall’intuizione alla definizione
Esempio
La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 2/4
La retta reale
Siar una retta orientata e con un’unità dimisura
0 1 r
Rappresentiamo sur i numeri razionalimediantemultipli e frazionidell’unità dimisura
![Page 6: La retta reale - biomat.dimi.uniud.itbiomat.dimi.uniud.it/presenta/p03reale.pdf · La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 1/4 La retta reale Materiale integrativo](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022722/5c67f5d609d3f2c85f8cc1c5/html5/thumbnails/6.jpg)
La retta reale
Dall’intuizione alla definizione
Esempio
La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 2/4
La retta reale
Siar una retta orientata e con un’unità dimisura
0 1 r
Rappresentiamo sur i numeri razionalimediantemultipli e frazionidell’unità dimisura
![Page 7: La retta reale - biomat.dimi.uniud.itbiomat.dimi.uniud.it/presenta/p03reale.pdf · La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 1/4 La retta reale Materiale integrativo](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022722/5c67f5d609d3f2c85f8cc1c5/html5/thumbnails/7.jpg)
La retta reale
Dall’intuizione alla definizione
Esempio
La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 2/4
La retta reale
Siar una retta orientata e con un’unità dimisura
0 1 r2
Rappresentiamo sur i numeri razionalimediantemultipli e frazionidell’unità dimisura
![Page 8: La retta reale - biomat.dimi.uniud.itbiomat.dimi.uniud.it/presenta/p03reale.pdf · La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 1/4 La retta reale Materiale integrativo](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022722/5c67f5d609d3f2c85f8cc1c5/html5/thumbnails/8.jpg)
La retta reale
Dall’intuizione alla definizione
Esempio
La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 2/4
La retta reale
Siar una retta orientata e con un’unità dimisura
0 1 r2 3 4 5-1-2-3-4
Rappresentiamo sur i numeri razionalimediantemultipli e frazionidell’unità dimisura
![Page 9: La retta reale - biomat.dimi.uniud.itbiomat.dimi.uniud.it/presenta/p03reale.pdf · La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 1/4 La retta reale Materiale integrativo](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022722/5c67f5d609d3f2c85f8cc1c5/html5/thumbnails/9.jpg)
La retta reale
Dall’intuizione alla definizione
Esempio
La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 2/4
La retta reale
Siar una retta orientata e con un’unità dimisura
0 1 r2 3 4 5-1-2-3-4 12
32
13
Rappresentiamo sur i numeri razionalimediantemultipli e frazionidell’unità dimisura
![Page 10: La retta reale - biomat.dimi.uniud.itbiomat.dimi.uniud.it/presenta/p03reale.pdf · La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 1/4 La retta reale Materiale integrativo](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022722/5c67f5d609d3f2c85f8cc1c5/html5/thumbnails/10.jpg)
La retta reale
Dall’intuizione alla definizione
Esempio
La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 2/4
La retta reale
Siar una retta orientata e con un’unità dimisura
0 1 r2 3 4 5-1-2-3-4 12
32
13
Rappresentiamo sur i numeri razionalimediantemultipli e frazionidell’unità dimisura: si ottiene la “retta razionale”
![Page 11: La retta reale - biomat.dimi.uniud.itbiomat.dimi.uniud.it/presenta/p03reale.pdf · La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 1/4 La retta reale Materiale integrativo](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022722/5c67f5d609d3f2c85f8cc1c5/html5/thumbnails/11.jpg)
La retta reale
Dall’intuizione alla definizione
Esempio
La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 2/4
La retta reale
Siar una retta orientata e con un’unità dimisura
0 1 r2 3 4 5-1-2-3-4 12
32
13
Il punto corrispondente a√
2 non vieneindividuato perchénon è una frazione.
![Page 12: La retta reale - biomat.dimi.uniud.itbiomat.dimi.uniud.it/presenta/p03reale.pdf · La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 1/4 La retta reale Materiale integrativo](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022722/5c67f5d609d3f2c85f8cc1c5/html5/thumbnails/12.jpg)
La retta reale
Dall’intuizione alla definizione
Esempio
La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 2/4
La retta reale
Siar una retta orientata e con un’unità dimisura
0 1 r2 3 4 5-1-2-3-4 12
32
13
Il punto corrispondente a√
2 non vieneindividuato perchénon è una frazione.
I punti rappresentati non coprono la rettar!
![Page 13: La retta reale - biomat.dimi.uniud.itbiomat.dimi.uniud.it/presenta/p03reale.pdf · La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 1/4 La retta reale Materiale integrativo](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022722/5c67f5d609d3f2c85f8cc1c5/html5/thumbnails/13.jpg)
La retta reale
Dall’intuizione alla definizione
Esempio
La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 2/4
La retta reale
Siar una retta orientata e con un’unità dimisura
0 1 r2 3 4 5-1-2-3-4 12
32
13
Il punto corrispondente a√
2 non vieneindividuato perchénon è una frazione.
I punti rappresentati non coprono la rettar!
La retta razionale è una linea piena di “buchi”.Colmare i buchi significa aggiungere i numeriirrazionali a quelli razionali.
![Page 14: La retta reale - biomat.dimi.uniud.itbiomat.dimi.uniud.it/presenta/p03reale.pdf · La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 1/4 La retta reale Materiale integrativo](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022722/5c67f5d609d3f2c85f8cc1c5/html5/thumbnails/14.jpg)
La retta reale
Dall’intuizione alla definizione
Esempio
La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 2/4
La retta reale
Siar una retta orientata e con un’unità dimisura
0 1 r2 3 4 5-1-2-3-4 12
32
13
Il punto corrispondente a√
2 non vieneindividuato perchénon è una frazione.
I punti rappresentati non coprono la rettar!
I numeri realicoprono tutta la rettar.
![Page 15: La retta reale - biomat.dimi.uniud.itbiomat.dimi.uniud.it/presenta/p03reale.pdf · La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 1/4 La retta reale Materiale integrativo](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022722/5c67f5d609d3f2c85f8cc1c5/html5/thumbnails/15.jpg)
La retta reale
Dall’intuizione alla definizione
Esempio
La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 3/4
Dall’intuizione alla definizione
Abbiamo pensato i numeri irrazionali come“buchi” nella retta.
![Page 16: La retta reale - biomat.dimi.uniud.itbiomat.dimi.uniud.it/presenta/p03reale.pdf · La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 1/4 La retta reale Materiale integrativo](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022722/5c67f5d609d3f2c85f8cc1c5/html5/thumbnails/16.jpg)
La retta reale
Dall’intuizione alla definizione
Esempio
La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 3/4
Dall’intuizione alla definizione
Abbiamo pensato i numeri irrazionali come“buchi” nella retta.Come definireste un buco?
![Page 17: La retta reale - biomat.dimi.uniud.itbiomat.dimi.uniud.it/presenta/p03reale.pdf · La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 1/4 La retta reale Materiale integrativo](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022722/5c67f5d609d3f2c85f8cc1c5/html5/thumbnails/17.jpg)
La retta reale
Dall’intuizione alla definizione
Esempio
La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 3/4
Dall’intuizione alla definizione
Abbiamo pensato i numeri irrazionali come“buchi” nella retta.Come definireste un buco?Probabilmente utilizzando ciò che lo circonda.
![Page 18: La retta reale - biomat.dimi.uniud.itbiomat.dimi.uniud.it/presenta/p03reale.pdf · La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 1/4 La retta reale Materiale integrativo](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022722/5c67f5d609d3f2c85f8cc1c5/html5/thumbnails/18.jpg)
La retta reale
Dall’intuizione alla definizione
Esempio
La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 3/4
Dall’intuizione alla definizione
Abbiamo pensato i numeri irrazionali come“buchi” nella retta.Come definireste un buco?Probabilmente utilizzando ciò che lo circonda.Uno dei modi di farlo è il seguente.
x ∈ R (A, B)si identifica con
A = {approssimazioni razionali per difetto}B = {approssimazioni razionali per eccesso}
![Page 19: La retta reale - biomat.dimi.uniud.itbiomat.dimi.uniud.it/presenta/p03reale.pdf · La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 1/4 La retta reale Materiale integrativo](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022722/5c67f5d609d3f2c85f8cc1c5/html5/thumbnails/19.jpg)
La retta reale
Dall’intuizione alla definizione
Esempio
La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 3/4
Dall’intuizione alla definizione
Abbiamo pensato i numeri irrazionali come“buchi” nella retta.Come definireste un buco?Probabilmente utilizzando ciò che lo circonda.Uno dei modi di farlo è il seguente.
x ∈ R (A, B)si identifica con
A = {approssimazioni razionali per difetto}B = {approssimazioni razionali per eccesso}
A Bx
![Page 20: La retta reale - biomat.dimi.uniud.itbiomat.dimi.uniud.it/presenta/p03reale.pdf · La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 1/4 La retta reale Materiale integrativo](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022722/5c67f5d609d3f2c85f8cc1c5/html5/thumbnails/20.jpg)
La retta reale
Dall’intuizione alla definizione
Esempio
La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 4/4
Esempio
In pratica, è possibile trovare approssimazionirazionali dix precise quanto si vuole.
![Page 21: La retta reale - biomat.dimi.uniud.itbiomat.dimi.uniud.it/presenta/p03reale.pdf · La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 1/4 La retta reale Materiale integrativo](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022722/5c67f5d609d3f2c85f8cc1c5/html5/thumbnails/21.jpg)
La retta reale
Dall’intuizione alla definizione
Esempio
La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 4/4
Esempio
Consideriamox =√
2 , identificato con
A = {x ∈ Q : x ≤ 0} ∪ {x ∈ Q : x > 0, x2 < 2}
B = {x ∈ Q : x ≥ 0, x2 ≥ 2}
![Page 22: La retta reale - biomat.dimi.uniud.itbiomat.dimi.uniud.it/presenta/p03reale.pdf · La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 1/4 La retta reale Materiale integrativo](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022722/5c67f5d609d3f2c85f8cc1c5/html5/thumbnails/22.jpg)
La retta reale
Dall’intuizione alla definizione
Esempio
La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 4/4
Esempio
Consideriamox =√
2 , identificato con
A = {x ∈ Q : x ≤ 0} ∪ {x ∈ Q : x > 0, x2 < 2}
B = {x ∈ Q : x ≥ 0, x2 ≥ 2}
√2
A B
![Page 23: La retta reale - biomat.dimi.uniud.itbiomat.dimi.uniud.it/presenta/p03reale.pdf · La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 1/4 La retta reale Materiale integrativo](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022722/5c67f5d609d3f2c85f8cc1c5/html5/thumbnails/23.jpg)
La retta reale
Dall’intuizione alla definizione
Esempio
La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 4/4
Esempio
Consideriamox =√
2 , identificato con
A = {x ∈ Q : x ≤ 0} ∪ {x ∈ Q : x > 0, x2 < 2}
B = {x ∈ Q : x ≥ 0, x2 ≥ 2}
√21
A B
1
![Page 24: La retta reale - biomat.dimi.uniud.itbiomat.dimi.uniud.it/presenta/p03reale.pdf · La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 1/4 La retta reale Materiale integrativo](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022722/5c67f5d609d3f2c85f8cc1c5/html5/thumbnails/24.jpg)
La retta reale
Dall’intuizione alla definizione
Esempio
La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 4/4
Esempio
Consideriamox =√
2 , identificato con
A = {x ∈ Q : x ≤ 0} ∪ {x ∈ Q : x > 0, x2 < 2}
B = {x ∈ Q : x ≥ 0, x2 ≥ 2}
√21 2
A B
1 2
![Page 25: La retta reale - biomat.dimi.uniud.itbiomat.dimi.uniud.it/presenta/p03reale.pdf · La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 1/4 La retta reale Materiale integrativo](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022722/5c67f5d609d3f2c85f8cc1c5/html5/thumbnails/25.jpg)
La retta reale
Dall’intuizione alla definizione
Esempio
La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 4/4
Esempio
Consideriamox =√
2 , identificato con
A = {x ∈ Q : x ≤ 0} ∪ {x ∈ Q : x > 0, x2 < 2}
B = {x ∈ Q : x ≥ 0, x2 ≥ 2}
√21 2
1,4
A B
1 21.4
![Page 26: La retta reale - biomat.dimi.uniud.itbiomat.dimi.uniud.it/presenta/p03reale.pdf · La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 1/4 La retta reale Materiale integrativo](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022722/5c67f5d609d3f2c85f8cc1c5/html5/thumbnails/26.jpg)
La retta reale
Dall’intuizione alla definizione
Esempio
La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 4/4
Esempio
Consideriamox =√
2 , identificato con
A = {x ∈ Q : x ≤ 0} ∪ {x ∈ Q : x > 0, x2 < 2}
B = {x ∈ Q : x ≥ 0, x2 ≥ 2}
√21 2
1,4 1,5
A B
1 21.4 1.5
![Page 27: La retta reale - biomat.dimi.uniud.itbiomat.dimi.uniud.it/presenta/p03reale.pdf · La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 1/4 La retta reale Materiale integrativo](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022722/5c67f5d609d3f2c85f8cc1c5/html5/thumbnails/27.jpg)
La retta reale
Dall’intuizione alla definizione
Esempio
La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 4/4
Esempio
Consideriamox =√
2 , identificato con
A = {x ∈ Q : x ≤ 0} ∪ {x ∈ Q : x > 0, x2 < 2}
B = {x ∈ Q : x ≥ 0, x2 ≥ 2}
√21 2
1,4 1,5
1,41
A B
1 21.4 1.5
1.41
![Page 28: La retta reale - biomat.dimi.uniud.itbiomat.dimi.uniud.it/presenta/p03reale.pdf · La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 1/4 La retta reale Materiale integrativo](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022722/5c67f5d609d3f2c85f8cc1c5/html5/thumbnails/28.jpg)
La retta reale
Dall’intuizione alla definizione
Esempio
La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 4/4
Esempio
Consideriamox =√
2 , identificato con
A = {x ∈ Q : x ≤ 0} ∪ {x ∈ Q : x > 0, x2 < 2}
B = {x ∈ Q : x ≥ 0, x2 ≥ 2}
√21 2
1,4 1,5
1,41 1,42
A B
1 21.4 1.5
1.41 1.42
![Page 29: La retta reale - biomat.dimi.uniud.itbiomat.dimi.uniud.it/presenta/p03reale.pdf · La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 1/4 La retta reale Materiale integrativo](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022722/5c67f5d609d3f2c85f8cc1c5/html5/thumbnails/29.jpg)
La retta reale
Dall’intuizione alla definizione
Esempio
La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 4/4
Esempio
Consideriamox =√
2 , identificato con
A = {x ∈ Q : x ≤ 0} ∪ {x ∈ Q : x > 0, x2 < 2}
B = {x ∈ Q : x ≥ 0, x2 ≥ 2}
√21 2
1,4 1,5
1,41 1,42
1,414 1,415
A B
1 21.4 1.5
1.41 1.42
1.414 1.415
![Page 30: La retta reale - biomat.dimi.uniud.itbiomat.dimi.uniud.it/presenta/p03reale.pdf · La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 1/4 La retta reale Materiale integrativo](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022722/5c67f5d609d3f2c85f8cc1c5/html5/thumbnails/30.jpg)
La retta reale
Dall’intuizione alla definizione
Esempio
La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 4/4
Esempio
Consideriamox =√
2 , identificato con
A = {x ∈ Q : x ≤ 0} ∪ {x ∈ Q : x > 0, x2 < 2}
B = {x ∈ Q : x ≥ 0, x2 ≥ 2}
√21 2
1,4 1,5
1,41 1,42
1,414 1,415
A B
1 21.4 1.5
1.41 1.42
1.414 1.415
1.4142 1.4143